Bac matematică M3 tehnologic 2017, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right):\frac{5}{6}=1

.

Vezi rezolvarea

Aducem fracțiile din paranteză la același numitor. Cel mai mic multiplu comun al numitorilor $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 3$ este $\displaystyle 6$ . Amplificăm prima fracție cu $\displaystyle 3$ și a doua cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ , $\displaystyle \quad \frac{1}{3}=\frac{2}{6}$
Adunăm fracțiile având același numitor: adunăm numărătorii și păstrăm numitorul. Suma din paranteză este $\displaystyle \dfrac{5}{6}$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$
Înlocuim suma în expresia dată. Obținem $\displaystyle \dfrac{5}{6}:\dfrac{5}{6}$ . Orice număr nenul împărțit la el însuși este $\displaystyle 1$ , deci rezultatul este $\displaystyle 1$ . Verificăm și prin regula împărțirii: înmulțim prima fracție cu inversa celei de-a doua.
$\displaystyle \frac{5}{6}:\frac{5}{6}=\frac{5}{6}\cdot\frac{6}{5}=\frac{30}{30}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x+3

. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției

\displaystyle f

cu axa

\displaystyle Oy

.

Vezi rezolvarea

Punctul de intersecție a graficului cu axa $\displaystyle Oy$ are abscisa egală cu zero, deoarece toate punctele de pe axa $\displaystyle Oy$ au prima coordonată $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle x=0$
Calculăm valoarea funcției în zero, înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 0$ în expresia $\displaystyle f(x)=2x+3$ : $\displaystyle f(0)=2\cdot 0+3=3$ .
$\displaystyle f(0)=2\cdot 0+3=3$
Ordonata punctului este $\displaystyle f(0)=3$ , deci punctul de intersecție are coordonatele $\displaystyle (0,3)$ , adică $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle y=3$ .
$\displaystyle x=0\text{ și }y=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \lg\left(x^2+5\right)=\lg 9

.

Vezi rezolvarea

Condiția de existență: $\displaystyle x^{2}+5>0$ . Cum $\displaystyle x^{2}\geq 0$ , avem $\displaystyle x^{2}+5\geq 5>0$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle x^{2}+5>0$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Funcția $\displaystyle \lg$ este injectivă, deci din $\displaystyle \lg\left(x^{2}+5\right)=\lg 9$ rezultă $\displaystyle x^{2}+5=9$ . Mutăm 9 în membrul stâng și obținem $\displaystyle x^{2}-4=0$ .
$\displaystyle x^{2}+5=9\Rightarrow x^{2}-4=0$
Descompunem: $\displaystyle x^{2}-4=(x-2)(x+2)=0$ , deci $\displaystyle x-2=0$ sau $\displaystyle x+2=0$ .
$\displaystyle (x-2)(x+2)=0$
Obținem $\displaystyle x=-2$ sau $\displaystyle x=2$ . Pentru ambele valori $\displaystyle x^{2}+5=9>0$ , deci $\displaystyle \lg\left(x^{2}+5\right)=\lg 9$ și ambele soluții convin.
$\displaystyle x=-2\text{ sau }x=2\text{, care verifică ecuația}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

După o ieftinire cu

\displaystyle 10\%

, prețul unui obiect este

\displaystyle 270

de lei. Calculați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle p$ prețul obiectului înainte de ieftinire, în lei. Ieftinirea cu $\displaystyle 10\%$ înseamnă că se scade din preț $\displaystyle 10\%$ din $\displaystyle p$ .
$\displaystyle p-10\%\cdot p$
Prețul după ieftinire este $\displaystyle 270$ de lei, deci scriem ecuația cu procentul.
$\displaystyle p-10\%\cdot p=270$
Scriem procentul ca fracție: $\displaystyle 10\%=\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$ . Dăm factor comun pe $\displaystyle p$ .
$\displaystyle p\left(1-\dfrac{1}{10}\right)=270$
Calculăm paranteza: $\displaystyle 1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}$ , deci $\displaystyle 90\%$ din $\displaystyle p$ este $\displaystyle 270$ .
$\displaystyle \dfrac{9}{10}\cdot p=270$
Înmulțim ambii membri cu $\displaystyle \dfrac{10}{9}$ : $\displaystyle p=270\cdot\dfrac{10}{9}=30\cdot 10$ . Prețul obiectului înainte de ieftinire a fost $\displaystyle 300$ de lei.
$\displaystyle p=300\text{ de lei}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(3,1)

și

\displaystyle B(3,5)

. Calculați distanța de la punctul

\displaystyle O(0,0)

la mijlocul segmentului

\displaystyle AB

.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle M$ mijlocul segmentului $\displaystyle AB$ . Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: $\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{3+3}{2}$ și $\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{1+5}{2}$ .
$\displaystyle x_M=\dfrac{3+3}{2}=3$ , $\displaystyle \quad y_M=\dfrac{1+5}{2}=3$
Rezultă că mijlocul segmentului $\displaystyle AB$ este punctul $\displaystyle M(3,3)$ .
$\displaystyle M(3,3)$
Aplicăm formula distanței dintre două puncte pentru $\displaystyle O(0,0)$ și $\displaystyle M(3,3)$ : $\displaystyle OM=\sqrt{(x_M-x_O)^2+(y_M-y_O)^2}$ .
$\displaystyle OM=\sqrt{(3-0)^2+(3-0)^2}$
Calculăm: $\displaystyle 3^2=9$ , deci sub radical avem $\displaystyle 9+9=18$ , iar $\displaystyle \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$ . Distanța de la $\displaystyle O$ la mijlocul lui $\displaystyle AB$ este $\displaystyle 3\sqrt{2}$ .
$\displaystyle OM=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Dacă

\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

și

\displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}

, arătați că

\displaystyle \operatorname{tg} x=1

.

Vezi rezolvarea

Folosim identitatea fundamentală a trigonometriei: $\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ . Rezultă $\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x$ .
$\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x$
Înlocuim $\displaystyle \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . Pătratul este $\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ . Obținem $\displaystyle \sin^{2}x=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \sin^{2}x=1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$
Deoarece $\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ , avem $\displaystyle \sin x>0$ . Deci $\displaystyle \sin x=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Tangenta este raportul dintre sinus și cosinus: $\displaystyle \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{2}}=1$ . Am arătat că $\displaystyle \operatorname{tg}x=1$ .
$\displaystyle \operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\4&8\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}8&4\\2&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Calculați

\displaystyle \det A

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei $\displaystyle A$ , care are elementele $\displaystyle 1, 2$ pe prima linie și $\displaystyle 4, 8$ pe a doua linie.
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\4&8\end{vmatrix}$
Aplicăm formula determinantului de ordinul doi: $\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$ , adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
$\displaystyle \det A=1\cdot 8-2\cdot 4$
Calculăm cele două produse, $\displaystyle 1\cdot 8=8$ și $\displaystyle 2\cdot 4=8$ , apoi facem scăderea.
$\displaystyle \det A=8-8=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\4&8\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}8&4\\2&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle 9(A+B)-(A\cdot B+B\cdot A)=45I_2

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A\cdot B$ : înmulțim liniile lui $\displaystyle A$ cu coloanele lui $\displaystyle B$ . De exemplu, elementul de pe linia 1, coloana 1 este $\displaystyle 1\cdot 8+2\cdot 2=12$ .
$\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1\cdot 8+2\cdot 2&1\cdot 4+2\cdot 1\\4\cdot 8+8\cdot 2&4\cdot 4+8\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12&6\\48&24\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle B\cdot A$ în același mod, înmulțind liniile lui $\displaystyle B$ cu coloanele lui $\displaystyle A$ . Produsul de matrice nu este comutativ, deci rezultatul diferă de $\displaystyle A\cdot B$ .
$\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}8\cdot 1+4\cdot 4&8\cdot 2+4\cdot 8\\2\cdot 1+1\cdot 4&2\cdot 2+1\cdot 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24&48\\6&12\end{pmatrix}$
Adunăm cele două produse element cu element.
$\displaystyle A\cdot B+B\cdot A=\begin{pmatrix}12&6\\48&24\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}24&48\\6&12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}36&54\\54&36\end{pmatrix}$
Calculăm suma $\displaystyle A+B$ și apoi o înmulțim cu $\displaystyle 9$ , înmulțind fiecare element cu $\displaystyle 9$ .
$\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}9&6\\6&9\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \quad 9(A+B)=\begin{pmatrix}81&54\\54&81\end{pmatrix}$
Scădem din $\displaystyle 9(A+B)$ matricea $\displaystyle A\cdot B+B\cdot A$ , element cu element. Obținem o matrice cu $\displaystyle 45$ pe diagonala principală și $\displaystyle 0$ în rest, adică $\displaystyle 45$ înmulțit cu matricea unitate $\displaystyle I_2$ . Relația cerută este demonstrată.
$\displaystyle 9(A+B)-(A\cdot B+B\cdot A)=\begin{pmatrix}81-36&54-54\\54-54&81-36\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}45&0\\0&45\end{pmatrix}=45\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=45I_2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\4&8\end{pmatrix}

,

\displaystyle B=\begin{pmatrix}8&4\\2&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

, pentru care

\displaystyle \det(A+xI_2)=0

.

Vezi rezolvarea

Calculăm matricea $\displaystyle xI_2$ : se înmulțește fiecare element al matricei unitate cu $\displaystyle x$ , deci obținem matricea cu $\displaystyle x$ pe diagonala principală și $\displaystyle 0$ în rest.
$\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}$
Adunăm matricele element cu element și obținem matricea $\displaystyle A+xI_2$ .
$\displaystyle A+xI_2=\begin{pmatrix}1+x&2\\4&8+x\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul de ordin $\displaystyle 2$ : produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Desfacem parantezele și reducem termenii: $\displaystyle (1+x)(8+x)-2\cdot 4=x^2+9x+8-8$ .
$\displaystyle \det(A+xI_2)=(1+x)(8+x)-2\cdot 4=x^2+9x$
Punem condiția $\displaystyle \det(A+xI_2)=0$ și obținem ecuația $\displaystyle x^2+9x=0$ , pe care o rezolvăm dând factor comun pe $\displaystyle x$ : $\displaystyle x(x+9)=0$ .
$\displaystyle x(x+9)=0$
Un produs este nul când cel puțin unul dintre factori este nul, deci $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x+9=0$ . Ambele valori sunt numere reale.
$\displaystyle x=-9\text{ sau }x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-3X^2-6X+8

.

Arătați că

\displaystyle f(2)=-8

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle X$ cu $\displaystyle 2$ în expresia polinomului $\displaystyle f=X^3-3X^2-6X+8$ .
$\displaystyle f(2)=2^3-3\cdot 2^2-6\cdot 2+8$
Calculăm separat fiecare termen: $\displaystyle 2^3=8$ , $\displaystyle 3\cdot 2^2=3\cdot 4=12$ și $\displaystyle 6\cdot 2=12$ .
$\displaystyle \left(2^3,\ 3\cdot 2^2,\ 6\cdot 2\right)=\left(8,\ 12,\ 12\right)$
Înlocuim valorile obținute și efectuăm calculul: $\displaystyle 8-12-12+8=16-24=-8$ . Deci $\displaystyle f(2)=-8$ .
$\displaystyle f(2)=8-12-12+8=-8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-3X^2-6X+8

.\n\nDeterminați câtul și restul împărțirii polinomului

\displaystyle f

la polinomul

\displaystyle X-1

.

Vezi rezolvarea

Scriem coeficienții polinomului $\displaystyle f$ : $\displaystyle 1,\ -3,\ -6,\ 8$ , iar rădăcina lui $\displaystyle X-1$ este $\displaystyle 1$ . Aplicăm schema lui Horner.
$\displaystyle a=1$
Coborâm primul coeficient: $\displaystyle 1$ . Apoi $\displaystyle -3+1\cdot 1=-2$ , iar $\displaystyle -6+(-2)\cdot 1=-8$ .
$\displaystyle 1$ , $\displaystyle \ -2$ , $\displaystyle \ -8$
Primele trei numere obținute sunt coeficienții câtului, care are gradul cu $\displaystyle 1$ mai mic decât $\displaystyle f$ , deci gradul $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle q=X^{2}-2X-8$
Restul este ultimul număr din schema lui Horner: $\displaystyle 8+(-8)\cdot 1=0$ . Este același cu $\displaystyle f(1)=1-3-6+8=0$ . Deci $\displaystyle X-1$ divide $\displaystyle f$ .
$\displaystyle r=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Se consideră polinomul

\displaystyle f=X^3-3X^2-6X+8

.

Demonstrați că

\displaystyle (x_1+1)^2+(x_2+1)^2+(x_3+1)^2=30

, unde

\displaystyle x_1

,

\displaystyle x_2

și

\displaystyle x_3

sunt rădăcinile polinomului

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle f=X^3-3X^2-6X+8$ relațiile lui Viète dau suma rădăcinilor $\displaystyle x_1+x_2+x_3=-\dfrac{-3}{1}=3$ .
$\displaystyle x_1+x_2+x_3=3$
Suma produselor rădăcinilor luate câte două este $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{-6}{1}=-6$ .
$\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-6$
Din identitatea $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$ obținem $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=3^2-2\cdot(-6)=9+12$ .
$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=3^2-2\cdot(-6)=21$
Desfacem pătratele: $\displaystyle (x_i+1)^2=x_i^2+2x_i+1$ . Însumând pentru $\displaystyle i=1,2,3$ obținem suma pătratelor, plus dublul sumei rădăcinilor, plus $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle (x_1+1)^2+(x_2+1)^2+(x_3+1)^2=\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2(x_1+x_2+x_3)+3$
Înlocuim $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=21$ și $\displaystyle x_1+x_2+x_3=3$ : $\displaystyle 21+2\cdot 3+3=30$ , deci egalitatea cerută este demonstrată.
$\displaystyle 21+2\cdot 3+3=30$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x^3-9x^2+12x+1

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=6(x-1)(x-2)

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Derivăm funcția termen cu termen, folosind formula $\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}$ , iar derivata unei constante este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle f'(x)=(2x^{3})'-(9x^{2})'+(12x)'+(1)'$
Calculăm fiecare derivată în parte: $\displaystyle (2x^{3})'=6x^{2}$ , $\displaystyle (9x^{2})'=18x$ , $\displaystyle (12x)'=12$ , $\displaystyle (1)'=0$ . Obținem expresia lui $\displaystyle f'(x)$ .
$\displaystyle f'(x)=6x^{2}-18x+12$
Dăm factor comun pe $\displaystyle 6$ din toți termenii.
$\displaystyle f'(x)=6\left(x^{2}-3x+2\right)$
Descompunem trinomul $\displaystyle x^{2}-3x+2$ : căutăm două numere cu suma $\displaystyle 3$ și produsul $\displaystyle 2$ , adică $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 2$ . Deci $\displaystyle x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle f'(x)=6\left(x^{2}-3x+2\right)=6(x-1)(x-2)$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x^3-9x^2+12x+1

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-f(x)}{f'(x)}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției $\displaystyle f$ , derivând fiecare termen: $\displaystyle (2x^3)'=6x^2$ , $\displaystyle (-9x^2)'=-18x$ , $\displaystyle (12x)'=12$ , iar $\displaystyle (1)'=0$ .
$\displaystyle f'(x)=6x^2-18x+12$
Scriem numărătorul explicit: $\displaystyle 2x^3-f(x)=2x^3-(2x^3-9x^2+12x+1)$ . Termenii în $\displaystyle x^3$ se reduc, iar ceilalți își schimbă semnul.
$\displaystyle 2x^3-f(x)=9x^2-12x-1$
Înlocuim numărătorul și derivata în limită. Obținem un raport de două polinoame de gradul $\displaystyle 2$ , deci o nedeterminare de tip $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-f(x)}{f'(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{9x^2-12x-1}{6x^2-18x+12}$
Împărțim numărătorul și numitorul la cea mai mare putere a lui $\displaystyle x$ , adică $\displaystyle x^2$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{9-\frac{12}{x}-\frac{1}{x^2}}{6-\frac{18}{x}+\frac{12}{x^2}}$
Când $\displaystyle x\to+\infty$ , fracțiile $\displaystyle \dfrac{12}{x}$ , $\displaystyle \dfrac{1}{x^2}$ , $\displaystyle \dfrac{18}{x}$ , $\displaystyle \dfrac{12}{x^2}$ tind la $\displaystyle 0$ . Rămân doar termenii liberi $\displaystyle 9$ la numărător și $\displaystyle 6$ la numitor, iar $\displaystyle \dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$ .
$\displaystyle \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x^3-9x^2+12x+1

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x=1

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)$ .
$\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)$
Calculăm $\displaystyle f(1)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 1$ în expresia funcției: $\displaystyle f(1)=2\cdot 1^{3}-9\cdot 1^{2}+12\cdot 1+1=2-9+12+1$ .
$\displaystyle f(1)=6$
Derivăm funcția $\displaystyle f$ , termen cu termen: $\displaystyle f'(x)=2\cdot 3x^{2}-9\cdot 2x+12$ .
$\displaystyle f'(x)=6x^{2}-18x+12$
Calculăm $\displaystyle f'(1)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 1$ în derivată: $\displaystyle f'(1)=6-18+12$ . Deci panta tangentei este $\displaystyle 0$ , iar împreună cu $\displaystyle f(1)$ obținem perechea cerută.
$\displaystyle f(1)=6$ , $\displaystyle \ f'(1)=0$
Înlocuim $\displaystyle f(1)=6$ și $\displaystyle f'(1)=0$ în formula tangentei: $\displaystyle y-6=0\cdot(x-1)$ , adică $\displaystyle y=6$ . Tangenta este o dreaptă orizontală.
$\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-2x

.

Arătați că

\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)+2x\right)dx=\frac{2}{3}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=x^{2}-2x$ în integrand: $\displaystyle f(x)+2x=x^{2}-2x+2x$ .
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)+2x\right)dx=\int_{-1}^{1}\left(x^{2}-2x+2x\right)dx$
Reducem termenii opuși $\displaystyle -2x$ și $\displaystyle 2x$ , deci integrandul devine $\displaystyle x^{2}$ .
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(x^{2}-2x+2x\right)dx=\int_{-1}^{1}x^{2}dx$
O primitivă a lui $\displaystyle x^{2}$ este $\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton, adică scădem valoarea primitivei în $\displaystyle -1$ din valoarea ei în $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \int_{-1}^{1}x^{2}dx=\frac{x^{3}}{3}\Big|_{-1}^{1}$
Calculăm: $\displaystyle \dfrac{1^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}$ și $\displaystyle \dfrac{(-1)^{3}}{3}=-\dfrac{1}{3}$ , deci diferența este $\displaystyle \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ .
$\displaystyle \frac{x^{3}}{3}\Big|_{-1}^{1}=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-2x

.

Calculați

\displaystyle \int_{0}^{1}e^x\left(x^2-f(x)\right)dx

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=x^2-2x$ în integrand: $\displaystyle x^2-f(x)=x^2-(x^2-2x)=2x$ .
$\displaystyle x^2-f(x)=2x$
Integrala devine $\displaystyle \int_{0}^{1}e^x\left(x^2-f(x)\right)dx=\int_{0}^{1}2xe^x\,dx$ .
$\displaystyle \int_{0}^{1}2xe^x\,dx$
Aplicăm integrarea prin părți: alegem $\displaystyle u=2x$ și $\displaystyle dv=e^x\,dx$ , deci $\displaystyle du=2\,dx$ și $\displaystyle v=e^x$ . Folosim $\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du$ .
$\displaystyle \int_{0}^{1}2xe^x\,dx=2xe^x\Big|_{0}^{1}-2\int_{0}^{1}e^x\,dx$
Calculăm termenul integrat: $\displaystyle 2xe^x\Big|_{0}^{1}=2e-0=2e$ . Integrala rămasă este $\displaystyle \int_{0}^{1}e^x\,dx=e^x\Big|_{0}^{1}=e-1$ .
$\displaystyle 2e-2\left(e-1\right)$
Desfacem parantezele și reducem termenii: $\displaystyle 2e-2e+2=2$ .
$\displaystyle 2e-2e+2=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-2x

.

Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției

\displaystyle f

, axa

\displaystyle Ox

și dreptele de ecuații

\displaystyle x=0

și

\displaystyle x=1

are aria egală cu

\displaystyle \frac{2}{3}

.

Vezi rezolvarea

Aria cerută este $\displaystyle \mathcal{A}=\int_{0}^{1}|f(x)|\,dx$ . Pentru a elimina modulul, studiem semnul funcției $\displaystyle f$ pe $\displaystyle [0,1]$ .
$\displaystyle \mathcal{A}=\int_{0}^{1}|f(x)|\,dx$
Scriem $\displaystyle f(x)=x(x-2)$ . Pentru $\displaystyle x\in[0,1]$ avem $\displaystyle x\ge 0$ și $\displaystyle x-2<0$ , deci $\displaystyle f(x)\le 0$ . Rezultă $\displaystyle |f(x)|=-f(x)=2x-x^2$ .
$\displaystyle |f(x)|=-f(x)=2x-x^{2}$
Înlocuim în integrală și separăm în două integrale: $\displaystyle \int_{0}^{1}2x\,dx$ are primitiva $\displaystyle x^{2}$ , iar $\displaystyle \int_{0}^{1}x^{2}\,dx$ are primitiva $\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}$ .
$\displaystyle \mathcal{A}=\int_{0}^{1}\left(2x-x^{2}\right)dx=x^{2}\Big|_{0}^{1}-\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}$
Aplicăm formula Leibniz-Newton, adică înlocuim limitele $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 0$ : $\displaystyle x^{2}\Big|_{0}^{1}=1-0=1$ , iar $\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}$ . Deci aria este $\displaystyle 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ .
$\displaystyle \mathcal{A}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M3 tehnologic 2017, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani