Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 19: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (12−23+34):1412=12\displaystyle \left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right):\frac{14}{12}=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun 12\displaystyle 12: 12=612\displaystyle \dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{12}, 23=812\displaystyle \dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}, 34=912\displaystyle \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}.
    12=612\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{6}{12}, 23=812\displaystyle \ \frac{2}{3}=\frac{8}{12}, 34=912\displaystyle \ \frac{3}{4}=\frac{9}{12}
  2. Scriem paranteza cu numitor comun și expresia devine 6−8+912:1412\displaystyle \dfrac{6-8+9}{12}:\dfrac{14}{12}.
    6−8+912:1412\displaystyle \frac{6-8+9}{12}:\frac{14}{12}
  3. Calculăm numărătorul: 6−8+9=7\displaystyle 6-8+9=7, deci paranteza are valoarea 712\displaystyle \dfrac{7}{12}.
    712:1412\displaystyle \frac{7}{12}:\frac{14}{12}
  4. Împărțirea la o fracție se transformă în înmulțire cu inversa ei: 712:1412=712⋅1214\displaystyle \dfrac{7}{12}:\dfrac{14}{12}=\dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{12}{14}.
    712⋅1214\displaystyle \frac{7}{12}\cdot\frac{12}{14}
  5. Simplificăm cu 12\displaystyle 12 și apoi cu 7\displaystyle 7: 712⋅1214=714=12\displaystyle \dfrac{7}{12}\cdot\dfrac{12}{14}=\dfrac{7}{14}=\dfrac{1}{2}, ceea ce trebuia arătat.
    712⋅1214=714=12\displaystyle \frac{7}{12}\cdot\frac{12}{14}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care punctul A(1,0)\displaystyle A(1,0) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ax+1\displaystyle f(x)=x^2+ax+1.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(1,0)\displaystyle A(1,0) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în f(x)=x2+ax+1\displaystyle f(x)=x^{2}+ax+1 și obținem f(1)=12+a⋅1+1\displaystyle f(1)=1^{2}+a\cdot 1+1.
    f(1)=1+a+1\displaystyle f(1)=1+a+1
  3. Din condiția f(1)=0\displaystyle f(1)=0 rezultă ecuația 1+a+1=0\displaystyle 1+a+1=0.
    1+a+1=0\displaystyle 1+a+1=0
  4. Reducem termenii: a+2=0\displaystyle a+2=0, deci a=−2\displaystyle a=-2.
    a=−2\displaystyle a=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x−4=x+20\displaystyle \sqrt{3x-4}=\sqrt{x+20}.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația are radicali de ordin 2 pe ambele părți. Ridicăm ambele membre la pătrat, cu condiția ca 3x−4≥0\displaystyle 3x-4\ge 0 și x+20≥0\displaystyle x+20\ge 0. Obținem ecuația 3x−4=x+20\displaystyle 3x-4=x+20.
    3x−4=x+20\displaystyle 3x-4=x+20
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în membrul stâng și numerele în membrul drept: 3x−x=20+4\displaystyle 3x-x=20+4. Reducem termenii asemenea.
    2x=24\displaystyle 2x=24
  3. Împărțim ambii membri la 2\displaystyle 2: x=242\displaystyle x=\dfrac{24}{2}.
    x=12\displaystyle x=12
  4. Verificăm soluția în ecuația inițială. Pentru x=12\displaystyle x=12 avem 3⋅12−4=32≥0\displaystyle 3\cdot 12-4=32\ge 0 și 12+20=32≥0\displaystyle 12+20=32\ge 0, deci 32=32\displaystyle \sqrt{32}=\sqrt{32}. Soluția convine.
    x=12, care convine\displaystyle x=12\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={10,11,12,13,14,15,16,17,18,19}\displaystyle M=\{10,11,12,13,14,15,16,17,18,19\}, acesta să fie număr par.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Cazurile posibile sunt toate elementele mulțimii M\displaystyle M. Numerele de la 10\displaystyle 10 până la 19\displaystyle 19 sunt în total 19−10+1=10\displaystyle 19-10+1=10.
    nr. cazuri posibile=10\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=10
  3. Cazurile favorabile sunt numerele pare din M\displaystyle M, adică 10,12,14,16,18\displaystyle 10,12,14,16,18. Sunt 5\displaystyle 5 numere pare.
    nr. cazuri favorabile=5\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=5
  4. Înlocuim în formulă și simplificăm fracția prin 5\displaystyle 5: p=510=12\displaystyle p=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}.
    p=510=12\displaystyle p=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−2,4)\displaystyle A(-2,4), B(4,4)\displaystyle B(4,4) și C(4,8)\displaystyle C(4,8). Determinați lungimea înălțimii din C\displaystyle C a triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele A(−2,4)\displaystyle A(-2,4) și B(4,4)\displaystyle B(4,4) au aceeași ordonată, deci dreapta AB\displaystyle AB este orizontală, cu ecuația y=4\displaystyle y=4.
    AB: y=4\displaystyle AB:\ y=4
  2. Înălțimea din C\displaystyle C este distanța de la C\displaystyle C la dreapta AB\displaystyle AB. Pentru o dreaptă orizontală y=4\displaystyle y=4, distanța de la C(4,8)\displaystyle C(4,8) este modulul diferenței ordonatelor: d(C,AB)=∣yC−4∣\displaystyle d(C,AB)=|y_C-4|.
    d(C,AB)=∣8−4∣\displaystyle d(C,AB)=|8-4|
  3. Calculăm: ∣8−4∣=4\displaystyle |8-4|=4. Deci lungimea înălțimii din C\displaystyle C este 4\displaystyle 4.
    d(C,AB)=4\displaystyle d(C,AB)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡x=1213\displaystyle \sin x=\frac{12}{13}, știind că x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=513\displaystyle \cos x=\frac{5}{13}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim identitatea fundamentală a trigonometriei sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2} x+\cos^{2} x=1. Din ea exprimăm sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2} x=1-\cos^{2} x.
    sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2} x=1-\cos^{2} x
  2. Înlocuim cos⁡x=513\displaystyle \cos x=\dfrac{5}{13} și obținem sin⁡2x=1−(513)2=1−25169\displaystyle \sin^{2} x=1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^{2}=1-\dfrac{25}{169}.
    sin⁡2x=1−25169\displaystyle \sin^{2} x=1-\dfrac{25}{169}
  3. Aducem la același numitor: 1=169169\displaystyle 1=\dfrac{169}{169}, deci sin⁡2x=169−25169\displaystyle \sin^{2} x=\dfrac{169-25}{169}.
    sin⁡2x=144169\displaystyle \sin^{2} x=\dfrac{144}{169}
  4. Din sin⁡2x=144169\displaystyle \sin^{2} x=\dfrac{144}{169} rezultă sin⁡x=±1213\displaystyle \sin x=\pm\dfrac{12}{13}. Deoarece x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), avem sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0, deci alegem semnul plus.
    sin⁡x=1213\displaystyle \sin x=\dfrac{12}{13}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1234)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, B=(4321)\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix} și C=(1111)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=−2\displaystyle \det A=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Avem A=(1234)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}. Pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    det⁡(abcd)=ad−bc\displaystyle \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc
  2. Înlocuim a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=3\displaystyle c=3, d=4\displaystyle d=4 și obținem det⁡A=1⋅4−2⋅3\displaystyle \det A=1\cdot 4-2\cdot 3.
    det⁡A=1⋅4−2⋅3\displaystyle \det A=1\cdot 4-2\cdot 3
  3. Calculăm produsele: 1⋅4=4\displaystyle 1\cdot 4=4 și 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6. Atunci det⁡A=4−6=−2\displaystyle \det A=4-6=-2, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡A=4−6=−2\displaystyle \det A=4-6=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1234)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, B=(4321)\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix} și C=(1111)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x(A+B)=C\displaystyle x(A+B)=C.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele A\displaystyle A și B\displaystyle B element cu element: 1+4\displaystyle 1+4, 2+3\displaystyle 2+3, 3+2\displaystyle 3+2, 4+1\displaystyle 4+1.
    A+B=(1+42+33+24+1)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}1+4&2+3\\3+2&4+1\end{pmatrix}
  2. Efectuăm calculele din fiecare element și obținem o matrice cu toate elementele egale cu 5\displaystyle 5.
    A+B=(5555)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}5&5\\5&5\end{pmatrix}
  3. Înmulțim matricea A+B\displaystyle A+B cu numărul x\displaystyle x: fiecare element se înmulțește cu x\displaystyle x.
    x(A+B)=(5x5x5x5x)\displaystyle x(A+B)=\begin{pmatrix}5x&5x\\5x&5x\end{pmatrix}
  4. Egalăm matricea obținută cu C\displaystyle C. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale, deci 5x=1\displaystyle 5x=1.
    (5x5x5x5x)=(1111)⇒5x=1\displaystyle \begin{pmatrix}5x&5x\\5x&5x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\Rightarrow 5x=1
  5. Împărțim ecuația 5x=1\displaystyle 5x=1 la 5\displaystyle 5 și obținem valoarea lui x\displaystyle x.
    x=15\displaystyle x=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1234)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, B=(4321)\displaystyle B=\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix} și C=(1111)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care A⋅B−B⋅A=2X+C\displaystyle A\cdot B-B\cdot A=2X+C.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B\displaystyle B: 1⋅4+2⋅2=8\displaystyle 1\cdot4+2\cdot2=8, 1⋅3+2⋅1=5\displaystyle 1\cdot3+2\cdot1=5, 3⋅4+4⋅2=20\displaystyle 3\cdot4+4\cdot2=20, 3⋅3+4⋅1=13\displaystyle 3\cdot3+4\cdot1=13.
    A⋅B=(852013)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}8&5\\20&13\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A în același fel: 4⋅1+3⋅3=13\displaystyle 4\cdot1+3\cdot3=13, 4⋅2+3⋅4=20\displaystyle 4\cdot2+3\cdot4=20, 2⋅1+1⋅3=5\displaystyle 2\cdot1+1\cdot3=5, 2⋅2+1⋅4=8\displaystyle 2\cdot2+1\cdot4=8.
    B⋅A=(132058)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}13&20\\5&8\end{pmatrix}
  3. Facem diferența A⋅B−B⋅A\displaystyle A\cdot B-B\cdot A, element cu element.
    A⋅B−B⋅A=(8−135−2020−513−8)=(−5−15155)\displaystyle A\cdot B-B\cdot A=\begin{pmatrix}8-13&5-20\\20-5&13-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&-15\\15&5\end{pmatrix}
  4. Din egalitatea A⋅B−B⋅A=2X+C\displaystyle A\cdot B-B\cdot A=2X+C izolăm 2X=A⋅B−B⋅A−C\displaystyle 2X=A\cdot B-B\cdot A-C, adică scădem matricea C\displaystyle C din diferența obținută.
    2X=(−5−1−15−115−15−1)=(−6−16144)\displaystyle 2X=\begin{pmatrix}-5-1&-15-1\\15-1&5-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6&-16\\14&4\end{pmatrix}
  5. Împărțim toate elementele matricei 2X\displaystyle 2X la 2\displaystyle 2 și obținem matricea X\displaystyle X.
    X=(−3−872)\displaystyle X=\begin{pmatrix}-3&-8\\7&2\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12.

Arătați că 2020∘(−4)=−4\displaystyle 2020\circ(-4)=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12 pe x\displaystyle x cu 2020\displaystyle 2020 și pe y\displaystyle y cu −4\displaystyle -4.
    2020∘(−4)=2020⋅(−4)+4⋅2020+4⋅(−4)+12\displaystyle 2020\circ(-4)=2020\cdot(-4)+4\cdot 2020+4\cdot(-4)+12
  2. Calculăm produsele: 2020⋅(−4)=−8080\displaystyle 2020\cdot(-4)=-8080, 4⋅2020=8080\displaystyle 4\cdot 2020=8080, iar 4⋅(−4)=−16\displaystyle 4\cdot(-4)=-16.
    −8080+8080−16+12\displaystyle -8080+8080-16+12
  3. Termenii −8080\displaystyle -8080 și 8080\displaystyle 8080 se reduc, iar rămâne −16+12=−4\displaystyle -16+12=-4. Deci 2020∘(−4)=−4\displaystyle 2020\circ(-4)=-4.
    −16+12=−4\displaystyle -16+12=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12.

Demonstrați că x∘y=(x+4)(y+4)−4\displaystyle x\circ y=(x+4)(y+4)-4, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y: x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12.
    x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12
  2. Scriem 12\displaystyle 12 ca 16−4\displaystyle 16-4, pentru a obține termenul 16\displaystyle 16 care va permite gruparea factorilor.
    x∘y=xy+4x+4y+16−4\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+16-4
  3. Grupăm primii doi termeni, xy\displaystyle xy și 4x\displaystyle 4x, și scoatem x\displaystyle x factor comun. Grupăm apoi 4y\displaystyle 4y și 16\displaystyle 16 și scoatem 4\displaystyle 4 factor comun. În ambele cazuri apare paranteza y+4\displaystyle y+4.
    xy+4x+4y+16=x(y+4)+4(y+4)\displaystyle xy+4x+4y+16=x(y+4)+4(y+4)
  4. Scoatem factor comun paranteza y+4\displaystyle y+4 și obținem (x+4)(y+4)\displaystyle (x+4)(y+4). Rămâne scăderea lui 4\displaystyle 4, deci egalitatea este demonstrată pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x(y+4)+4(y+4)−4=(x+4)(y+4)−4, pentru orice numere \displaystyle x(y+4)+4(y+4)-4=(x+4)(y+4)-4\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4x+4y+12\displaystyle x\circ y=xy+4x+4y+12.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘x=x\displaystyle x\circ x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie în formă factorizată: xy+4x+4y+12=(x+4)(y+4)−4\displaystyle xy+4x+4y+12=(x+4)(y+4)-4, deoarece (x+4)(y+4)=xy+4x+4y+16\displaystyle (x+4)(y+4)=xy+4x+4y+16.
    x∘y=(x+4)(y+4)−4\displaystyle x\circ y=(x+4)(y+4)-4
  2. Luăm y=x\displaystyle y=x în forma factorizată și obținem expresia lui x∘x\displaystyle x\circ x, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    x∘x=(x+4)2−4\displaystyle x\circ x=(x+4)^2-4
  3. Punem condiția x∘x=x\displaystyle x\circ x=x și scriem ecuația obținută.
    (x+4)2−4=x\displaystyle (x+4)^2-4=x
  4. Desfacem parantezele: (x+4)2=x2+8x+16\displaystyle (x+4)^2=x^2+8x+16, deci ecuația devine x2+8x+12=x\displaystyle x^2+8x+12=x, adică x2+7x+12=0\displaystyle x^2+7x+12=0.
    x2+7x+12=0\displaystyle x^2+7x+12=0
  5. Descompunem trinomul în factori: căutăm două numere cu suma 7\displaystyle 7 și produsul 12\displaystyle 12, adică 3\displaystyle 3 și 4\displaystyle 4. Deci ecuația este echivalentă cu (x+4)(x+3)=0\displaystyle (x+4)(x+3)=0.
    (x+4)(x+3)=0\displaystyle (x+4)(x+3)=0
  6. Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci x+4=0\displaystyle x+4=0 sau x+3=0\displaystyle x+3=0. Soluțiile sunt x=−4\displaystyle x=-4 și x=−3\displaystyle x=-3.
    x=−4 sau x=−3\displaystyle x=-4\text{ sau }x=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3+6x2+5\displaystyle f(x)=4x^3+6x^2+5.

Arătați că f′(x)=12x(x+1)\displaystyle f'(x)=12x(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=4x3+6x2+5\displaystyle f(x)=4x^3+6x^2+5 este o sumă de trei termeni, deci derivata ei este suma derivatelor termenilor.
    f′(x)=(4x3)′+(6x2)′+5′\displaystyle f'(x)=(4x^3)'+(6x^2)'+5'
  2. Derivăm fiecare termen cu formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^n)'=n\cdot x^{n-1}. Constanta se scoate în fața derivatei, iar derivata unei constante este 0\displaystyle 0.
    (4x3)′=4⋅3x2=12x2\displaystyle (4x^3)'=4\cdot 3x^2=12x^2,(6x2)′=6⋅2x=12x\displaystyle \quad (6x^2)'=6\cdot 2x=12x,5′=0\displaystyle \quad 5'=0
  3. Adunăm cele trei derivate.
    f′(x)=12x2+12x+0=12x2+12x\displaystyle f'(x)=12x^2+12x+0=12x^2+12x
  4. Dăm factor comun pe 12x\displaystyle 12x și obținem forma cerută, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    12x2+12x=12x(x+1), x∈R\displaystyle 12x^2+12x=12x(x+1)\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3+6x2+5\displaystyle f(x)=4x^3+6x^2+5.

Calculați lim⁡x→+∞f′(x)f(x)−4x3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)-4x^3}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen funcția f(x)=4x3+6x2+5\displaystyle f(x)=4x^3+6x^2+5, folosind (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1} și derivata unei constante egală cu 0\displaystyle 0.
    f′(x)=12x2+12x\displaystyle f'(x)=12x^{2}+12x
  2. La numitor, f(x)−4x3=4x3+6x2+5−4x3\displaystyle f(x)-4x^3=4x^3+6x^2+5-4x^3, deci termenul 4x3\displaystyle 4x^3 se reduce.
    f(x)−4x3=6x2+5\displaystyle f(x)-4x^{3}=6x^{2}+5
  3. Înlocuim f′(x)\displaystyle f'(x) și f(x)−4x3\displaystyle f(x)-4x^3 în limita cerută.
    lim⁡x→+∞f′(x)f(x)−4x3=lim⁡x→+∞12x2+12x6x2+5\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)-4x^{3}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{12x^{2}+12x}{6x^{2}+5}
  4. Avem 12x2+12x=12x2(1+1x)\displaystyle 12x^2+12x=12x^2\left(1+\dfrac{1}{x}\right) și 6x2+5=x2(6+5x2)\displaystyle 6x^2+5=x^2\left(6+\dfrac{5}{x^2}\right).
    lim⁡x→+∞12x2(1+1x)x2(6+5x2)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{12x^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x^{2}\left(6+\frac{5}{x^{2}}\right)}
  5. După simplificarea cu x2\displaystyle x^2, folosim 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0 și 5x2→0\displaystyle \dfrac{5}{x^2}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty.
    12(1+0)6+0=126=2\displaystyle \frac{12\left(1+0\right)}{6+0}=\frac{12}{6}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3+6x2+5\displaystyle f(x)=4x^3+6x^2+5.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând fiecare termen: (4x3)′=12x2\displaystyle (4x^{3})'=12x^{2}, (6x2)′=12x\displaystyle (6x^{2})'=12x, (5)′=0\displaystyle (5)'=0.
    f′(x)=12x2+12x\displaystyle f'(x)=12x^{2}+12x
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Dăm factor comun 12x\displaystyle 12x și obținem 12x(x+1)=0\displaystyle 12x(x+1)=0, deci x=0\displaystyle x=0 sau x=−1\displaystyle x=-1.
    f′(x)=0⇔x=−1 sau x=0\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{ sau }x=0
  3. Studiem semnul derivatei f′(x)=12x(x+1)\displaystyle f'(x)=12x(x+1), o funcție de gradul al doilea cu coeficientul dominant pozitiv. Pe (−∞,−1)\displaystyle (-\infty,-1) ambii factori x\displaystyle x și x+1\displaystyle x+1 sunt negativi, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0. Pe (−1,0)\displaystyle (-1,0) avem x<0\displaystyle x<0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0. Pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) ambii factori sunt pozitivi, deci f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0.
    f′(x)>0 pe (−∞,−1)\displaystyle f'(x)>0\text{ pe }(-\infty,-1), f′(x)<0 pe (−1,0)\displaystyle \ f'(x)<0\text{ pe }(-1,0), f′(x)>0 pe (0,+∞)\displaystyle \ f'(x)>0\text{ pe }(0,+\infty)
  4. Din semnul derivatei deducem monotonia: f\displaystyle f crește unde f′>0\displaystyle f'>0 și scade unde f′<0\displaystyle f'<0. Capetele −1\displaystyle -1 și 0\displaystyle 0 se includ în intervale, deoarece f\displaystyle f este continuă.
    f cresca˘toare pe (−∞,−1]\displaystyle f\text{ crescătoare pe }(-\infty,-1], f descresca˘toare pe [−1,0]\displaystyle \ f\text{ descrescătoare pe }[-1,0], f cresca˘toare pe [0,+∞)\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x3+4x2\displaystyle f(x)=3x^3+4x^2.

Arătați că ∫02(f(x)−4x2)dx=12\displaystyle \int_0^2\left(f(x)-4x^2\right)dx=12.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3x3+4x2\displaystyle f(x)=3x^3+4x^2 în integrand: f(x)−4x2=3x3+4x2−4x2\displaystyle f(x)-4x^2=3x^3+4x^2-4x^2. Termenii 4x2\displaystyle 4x^2 și −4x2\displaystyle -4x^2 se reduc, deci rămâne doar 3x3\displaystyle 3x^3.
    f(x)−4x2=3x3\displaystyle f(x)-4x^2=3x^3
  2. Integrala devine ∫023x3 dx\displaystyle \int_0^2 3x^3\,dx. O primitivă a lui x3\displaystyle x^3 este x44\displaystyle \dfrac{x^4}{4}, deci o primitivă a lui 3x3\displaystyle 3x^3 este 3x44\displaystyle \dfrac{3x^4}{4}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫023x3 dx=3x44∣02\displaystyle \int_0^2 3x^3\,dx=\left.\frac{3x^4}{4}\right|_0^2
  3. Calculăm diferența valorilor primitivei în capetele intervalului: în 2\displaystyle 2 avem 3⋅244\displaystyle \dfrac{3\cdot 2^4}{4}, iar în 0\displaystyle 0 avem 3⋅044=0\displaystyle \dfrac{3\cdot 0^4}{4}=0. Cum 24=16\displaystyle 2^4=16, obținem 34⋅16=12\displaystyle \dfrac{3}{4}\cdot 16=12.
    34⋅24−0=34⋅16=12\displaystyle \frac{3}{4}\cdot 2^4-0=\frac{3}{4}\cdot 16=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x3+4x2\displaystyle f(x)=3x^3+4x^2.

Determinați primitiva F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f pentru care F(0)=2020\displaystyle F(0)=2020.
Vezi rezolvarea
  1. Primitivele lui f\displaystyle f se obțin integrând termen cu termen: ∫f(x) dx=3∫x3 dx+4∫x2 dx\displaystyle \int f(x)\,dx=3\int x^{3}\,dx+4\int x^{2}\,dx, folosind formula ∫xn dx=xn+1n+1+c\displaystyle \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c.
    ∫f(x) dx=3∫x3 dx+4∫x2 dx\displaystyle \int f(x)\,dx=3\int x^{3}\,dx+4\int x^{2}\,dx
  2. Calculăm: 3⋅x44+4⋅x33\displaystyle 3\cdot\dfrac{x^{4}}{4}+4\cdot\dfrac{x^{3}}{3}, apoi adăugăm constanta c\displaystyle c. Deci primitivele lui f\displaystyle f sunt funcțiile F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} de forma de mai jos, cu c∈R\displaystyle c\in\mathbb{R}.
    F(x)=3x44+4x33+c, unde c∈R\displaystyle F(x)=\frac{3x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+c\text{, unde }c\in\mathbb{R}
  3. Impunem condiția F(0)=2020\displaystyle F(0)=2020. Înlocuim x=0\displaystyle x=0: F(0)=3⋅044+4⋅033+c=c\displaystyle F(0)=\dfrac{3\cdot 0^{4}}{4}+\dfrac{4\cdot 0^{3}}{3}+c=c. Deci c=2020\displaystyle c=2020.
    F(0)=c=2020\displaystyle F(0)=c=2020
  4. Înlocuim c=2020\displaystyle c=2020 în forma generală a lui F\displaystyle F și obținem primitiva cerută.
    F(x)=3x44+4x33+2020\displaystyle F(x)=\frac{3x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+2020
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x3+4x2\displaystyle f(x)=3x^3+4x^2.

Determinați numărul real m\displaystyle m, m>1\displaystyle m>1, știind că ∫1mf(x)x2dx=172\displaystyle \int_1^m\frac{f(x)}{x^2}dx=\frac{17}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm integrandul: f(x)x2=3x3+4x2x2=3x+4\displaystyle \dfrac{f(x)}{x^{2}}=\dfrac{3x^{3}+4x^{2}}{x^{2}}=3x+4.
    f(x)x2=3x+4\displaystyle \frac{f(x)}{x^{2}}=3x+4
  2. Integrala devine ∫1m(3x+4) dx\displaystyle \int_1^m(3x+4)\,dx. O primitivă a lui 3x+4\displaystyle 3x+4 este 3x22+4x\displaystyle \dfrac{3x^{2}}{2}+4x.
    ∫1m(3x+4) dx=(3x22+4x)∣1m\displaystyle \int_1^m(3x+4)\,dx=\left.\left(\frac{3x^{2}}{2}+4x\right)\right|_1^m
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Pentru x=1\displaystyle x=1 primitiva are valoarea 32+4=112\displaystyle \dfrac{3}{2}+4=\dfrac{11}{2}, deci integrala este 3m22+4m−112\displaystyle \dfrac{3m^{2}}{2}+4m-\dfrac{11}{2}.
    3m22+4m−112\displaystyle \frac{3m^{2}}{2}+4m-\frac{11}{2}
  4. Egalăm cu 172\displaystyle \dfrac{17}{2}: 3m22+4m−112=172\displaystyle \dfrac{3m^{2}}{2}+4m-\dfrac{11}{2}=\dfrac{17}{2}. Înmulțim cu 2\displaystyle 2: 3m2+8m−11=17\displaystyle 3m^{2}+8m-11=17, adică 3m2+8m−28=0\displaystyle 3m^{2}+8m-28=0.
    3m2+8m−28=0\displaystyle 3m^{2}+8m-28=0
  5. Discriminantul este Δ=64+336=400\displaystyle \Delta=64+336=400, deci m=−8±206\displaystyle m=\dfrac{-8\pm 20}{6}, adică m=2\displaystyle m=2 sau m=−143\displaystyle m=-\dfrac{14}{3}. Cum m>1\displaystyle m>1, convine doar m=2\displaystyle m=2.
    m=2\displaystyle m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.