Bac matematică M3 tehnologic 2014, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul 3(4+3)−27\displaystyle 3\left(4+\sqrt{3}\right)-\sqrt{27} este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem paranteza prin distributivitate: înmulțim pe 3\displaystyle 3 cu fiecare termen din paranteză, adică 3⋅4\displaystyle 3\cdot 4 și 3⋅3\displaystyle 3\cdot\sqrt{3}.
    3(4+3)=12+33\displaystyle 3\left(4+\sqrt{3}\right)=12+3\sqrt{3}
  2. Scriem 27\displaystyle \sqrt{27} sub forma 33\displaystyle 3\sqrt{3}, deoarece 27=9⋅3\displaystyle 27=9\cdot 3 și 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3.
    27=9⋅3=33\displaystyle \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}
  3. Înlocuim în expresia dată și reducem termenii care conțin radical: 33−33=0\displaystyle 3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0. Rămâne 12\displaystyle 12, care este număr natural.
    12+33−33=12∈N\displaystyle 12+3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=12\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați f(1)+f(2)+…+f(10)\displaystyle f(1)+f(2)+\ldots+f(10) pentru funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3\displaystyle f(x)=2x+3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem suma cerută folosind formula funcției, f(k)=2k+3\displaystyle f(k)=2k+3, pentru fiecare k\displaystyle k de la 1\displaystyle 1 la 10\displaystyle 10.
    S=∑k=110(2k+3)\displaystyle S=\sum_{k=1}^{10}(2k+3)
  2. Separăm suma în două: partea cu 2k\displaystyle 2k și partea cu 3\displaystyle 3. Constanta 3\displaystyle 3 apare de 10\displaystyle 10 ori, deci adaugă 30\displaystyle 30, iar factorul 2\displaystyle 2 se scoate în fața sumei numerelor de la 1\displaystyle 1 la 10\displaystyle 10.
    f(1)+f(2)+…+f(10)=2(1+2+…+10)+30\displaystyle f(1)+f(2)+\ldots+f(10)=2(1+2+\ldots+10)+30
  3. Calculăm suma primelor 10\displaystyle 10 numere naturale nenule cu formula n(n+1)2\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2}, pentru n=10\displaystyle n=10.
    1+2+…+10=10⋅112=55\displaystyle 1+2+\ldots+10=\dfrac{10\cdot 11}{2}=55
  4. Înlocuim suma 55\displaystyle 55 în expresia obținută: 2⋅55+30\displaystyle 2\cdot 55+30.
    2⋅55+30=110+30=140\displaystyle 2\cdot 55+30=110+30=140
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡7(x2+8)=log⁡7(6x)\displaystyle \log_7\left(x^2+8\right)=\log_7\left(6x\right).
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Expresia x2+8\displaystyle x^{2}+8 este mereu pozitivă, deci rămâne doar condiția 6x>0\displaystyle 6x>0, adică x>0\displaystyle x>0.
    x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty)
  2. Logaritmii au aceeași bază, 7\displaystyle 7, iar funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: x2+8=6x\displaystyle x^{2}+8=6x. Apoi mutăm toți termenii în partea stângă.
    x2+8=6x⇒x2−6x+8=0\displaystyle x^{2}+8=6x\Rightarrow x^{2}-6x+8=0
  3. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=36−32=4\displaystyle \Delta=36-32=4, deci rădăcinile sunt x=6±22\displaystyle x=\dfrac{6\pm 2}{2}.
    x1=2\displaystyle x_1=2,x2=4\displaystyle \quad x_2=4
  4. Verificăm condiția de existență: ambele valori, 2\displaystyle 2 și 4\displaystyle 4, sunt strict pozitive, deci convin. Verificare directă: pentru x=2\displaystyle x=2 avem 4+8=12=6⋅2\displaystyle 4+8=12=6\cdot 2; pentru x=4\displaystyle x=4 avem 16+8=24=6⋅4\displaystyle 16+8=24=6\cdot 4.
    x1=2 și x2=4, care verifica˘ ecuația\displaystyle x_1=2\text{ și }x_2=4\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 30%\displaystyle 30\%, prețul unui obiect este 325\displaystyle 325 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al obiectului, în lei. Scumpirea cu 30%\displaystyle 30\% înseamnă că prețul crește cu 30%\displaystyle 30\% din x\displaystyle x, deci prețul nou este x+30%⋅x\displaystyle x+30\%\cdot x și este egal cu 325\displaystyle 325.
    x+30%⋅x=325\displaystyle x+30\%\cdot x=325
  2. Scriem procentul ca fracție: 30%=30100=310\displaystyle 30\%=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}. Apoi dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(1+310)=1310⋅x\displaystyle x\left(1+\dfrac{3}{10}\right)=\dfrac{13}{10}\cdot x.
    1310⋅x=325\displaystyle \dfrac{13}{10}\cdot x=325
  3. Aflăm x\displaystyle x înmulțind ambii membri cu 1013\displaystyle \dfrac{10}{13}: x=325⋅1013\displaystyle x=325\cdot\dfrac{10}{13}. Cum 325:13=25\displaystyle 325:13=25, obținem x=25⋅10=250\displaystyle x=25\cdot 10=250. Prețul obiectului înainte de scumpire este 250\displaystyle 250 de lei.
    x=250\displaystyle x=250
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele P(1,3)\displaystyle P(1,3) și R(3,3)\displaystyle R(3,3). Determinați coordonatele punctului Q\displaystyle Q, știind că R\displaystyle R este mijlocul segmentului PQ\displaystyle PQ.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm Q(xQ,yQ)\displaystyle Q(x_Q,y_Q). Deoarece R\displaystyle R este mijlocul segmentului PQ\displaystyle PQ, coordonatele lui R\displaystyle R sunt jumătățile sumelor coordonatelor lui P\displaystyle P și Q\displaystyle Q.
    xR=xP+xQ2 și yR=yP+yQ2\displaystyle x_R=\frac{x_P+x_Q}{2}\text{ și }y_R=\frac{y_P+y_Q}{2}
  2. Înlocuim xR=3\displaystyle x_R=3 și xP=1\displaystyle x_P=1 în prima egalitate: 3=1+xQ2\displaystyle 3=\dfrac{1+x_Q}{2}.
    3=1+xQ2\displaystyle 3=\frac{1+x_Q}{2}
  3. Înmulțim cu 2\displaystyle 2: 6=1+xQ\displaystyle 6=1+x_Q, deci scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri.
    xQ=6−1=5\displaystyle x_Q=6-1=5
  4. Înlocuim yR=3\displaystyle y_R=3 și yP=3\displaystyle y_P=3 în a doua egalitate: 3=3+yQ2\displaystyle 3=\dfrac{3+y_Q}{2}.
    3=3+yQ2\displaystyle 3=\frac{3+y_Q}{2}
  5. Înmulțim cu 2\displaystyle 2: 6=3+yQ\displaystyle 6=3+y_Q, deci yQ=3\displaystyle y_Q=3. Astfel punctul căutat este Q(5,3)\displaystyle Q(5,3).
    yQ=3\displaystyle y_Q=3, Q(5,3)\displaystyle \ Q(5,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡10∘+sin⁡30∘−sin⁡170∘=12\displaystyle \sin 10^\circ+\sin 30^\circ-\sin 170^\circ=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 170∘=180∘−10∘\displaystyle 170^\circ=180^\circ-10^\circ, deci putem folosi formula sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(180^\circ-x)=\sin x, adică sinusurile unghiurilor suplementare sunt egale.
    170∘=180∘−10∘\displaystyle 170^\circ=180^\circ-10^\circ
  2. Aplicăm formula cu x=10∘\displaystyle x=10^\circ și obținem că sin⁡170∘\displaystyle \sin 170^\circ este egal cu sin⁡10∘\displaystyle \sin 10^\circ.
    sin⁡170∘=sin⁡(180∘−10∘)=sin⁡10∘\displaystyle \sin 170^\circ=\sin(180^\circ-10^\circ)=\sin 10^\circ
  3. Înlocuim sin⁡170∘\displaystyle \sin 170^\circ cu sin⁡10∘\displaystyle \sin 10^\circ în expresia dată. Termenii sin⁡10∘\displaystyle \sin 10^\circ și −sin⁡10∘\displaystyle -\sin 10^\circ se reduc, deci rămâne doar sin⁡30∘\displaystyle \sin 30^\circ.
    sin⁡10∘+sin⁡30∘−sin⁡10∘=sin⁡30∘\displaystyle \sin 10^\circ+\sin 30^\circ-\sin 10^\circ=\sin 30^\circ
  4. Folosim valoarea cunoscută: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}. Așadar egalitatea cerută este demonstrată.
    sin⁡10∘+sin⁡30∘−sin⁡170∘=sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 10^\circ+\sin 30^\circ-\sin 170^\circ=\sin 30^\circ=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−312−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3&1\\2&-2\end{pmatrix} și B=(0110)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.

Calculați det⁡A\displaystyle \det A.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin 2: pentru o matrice cu liniile (a, b)\displaystyle (a,\ b) și (c, d)\displaystyle (c,\ d), determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Aplicăm formula pentru matricea A\displaystyle A, cu a=−3\displaystyle a=-3, b=1\displaystyle b=1, c=2\displaystyle c=2 și d=−2\displaystyle d=-2. Diagonala principală dă produsul (−3)⋅(−2)=6\displaystyle (-3)\cdot(-2)=6, iar diagonala secundară dă produsul 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2. Obținem 6−2\displaystyle 6-2.
    det⁡A=∣−312−2∣=(−3)⋅(−2)−1⋅2=6−2\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}-3&1\\2&-2\end{vmatrix}=(-3)\cdot(-2)-1\cdot 2=6-2
  3. Efectuăm scăderea: 6−2=4\displaystyle 6-2=4. Deci determinantul matricei A\displaystyle A este 4\displaystyle 4.
    det⁡A=4\displaystyle \det A=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−312−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3&1\\2&-2\end{pmatrix} și B=(0110)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}. Arătați că B⋅A−A⋅B=(11−1−1)\displaystyle B\cdot A-A\cdot B=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A. Linia întâi a lui B\displaystyle B este (0, 1)\displaystyle (0,\ 1), deci linia întâi a produsului este linia a doua a lui A\displaystyle A. Linia a doua a lui B\displaystyle B este (1, 0)\displaystyle (1,\ 0), deci linia a doua a produsului este linia întâi a lui A\displaystyle A.
    B⋅A=(0⋅(−3)+1⋅20⋅1+1⋅(−2)1⋅(−3)+0⋅21⋅1+0⋅(−2))=(2−2−31)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}0\cdot(-3)+1\cdot 2&0\cdot 1+1\cdot(-2)\\1\cdot(-3)+0\cdot 2&1\cdot 1+0\cdot(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-2\\-3&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B. Înmulțirea cu B\displaystyle B la dreapta schimbă între ele coloanele lui A\displaystyle A.
    A⋅B=(−3⋅0+1⋅1−3⋅1+1⋅02⋅0+(−2)⋅12⋅1+(−2)⋅0)=(1−3−22)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}-3\cdot 0+1\cdot 1&-3\cdot 1+1\cdot 0\\2\cdot 0+(-2)\cdot 1&2\cdot 1+(-2)\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-3\\-2&2\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrici element cu element și obținem egalitatea cerută.
    B⋅A−A⋅B=(2−1−2−(−3)−3−(−2)1−2)=(11−1−1)\displaystyle B\cdot A-A\cdot B=\begin{pmatrix}2-1&-2-(-3)\\-3-(-2)&1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−312−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3&1\\2&-2\end{pmatrix} și B=(0110)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A+xB)=0\displaystyle \det(A+xB)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea xB\displaystyle xB, înmulțind fiecare element al lui B\displaystyle B cu x\displaystyle x.
    xB=(0xx0)\displaystyle xB=\begin{pmatrix}0&x\\x&0\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele A\displaystyle A și xB\displaystyle xB, element cu element.
    A+xB=(−31+x2+x−2)\displaystyle A+xB=\begin{pmatrix}-3&1+x\\2+x&-2\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Apoi dezvoltăm paranteza (1+x)(2+x)=x2+3x+2\displaystyle (1+x)(2+x)=x^{2}+3x+2 și reducem termenii.
    det⁡(A+xB)=(−3)(−2)−(1+x)(2+x)=6−x2−3x−2=−x2−3x+4\displaystyle \det(A+xB)=(-3)(-2)-(1+x)(2+x)=6-x^{2}-3x-2=-x^{2}-3x+4
  4. Punem condiția det⁡(A+xB)=0\displaystyle \det(A+xB)=0 și înmulțim ecuația cu −1\displaystyle -1, ca să obținem o ecuație de gradul al doilea cu coeficientul dominant pozitiv.
    −x2−3x+4=0⇔x2+3x−4=0\displaystyle -x^{2}-3x+4=0\Leftrightarrow x^{2}+3x-4=0
  5. Calculăm discriminantul ecuației, Δ=32−4⋅1⋅(−4)=25\displaystyle \Delta=3^{2}-4\cdot 1\cdot(-4)=25, apoi rădăcinile cu formula x=−3±52\displaystyle x=\dfrac{-3\pm 5}{2}.
    x1=−3−52=−4 și x2=−3+52=1\displaystyle x_{1}=\dfrac{-3-5}{2}=-4\text{ și }x_{2}=\dfrac{-3+5}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12.

Arătați că x∘3=3∘x=3\displaystyle x\circ 3=3\circ x=3, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12 și înlocuim y=3\displaystyle y=3.
    x∘3=x⋅3−3(x+3)+12\displaystyle x\circ 3=x\cdot 3-3(x+3)+12
  2. Desfacem parantezele: 3x−3x−9+12\displaystyle 3x-3x-9+12. Termenii 3x\displaystyle 3x și −3x\displaystyle -3x se reduc, iar −9+12=3\displaystyle -9+12=3.
    x∘3=3x−3x−9+12=3\displaystyle x\circ 3=3x-3x-9+12=3
  3. Acum calculăm 3∘x\displaystyle 3\circ x, înlocuind în definiție primul număr cu 3\displaystyle 3 și al doilea cu x\displaystyle x.
    3∘x=3⋅x−3(3+x)+12\displaystyle 3\circ x=3\cdot x-3(3+x)+12
  4. Desfacem parantezele: 3x−9−3x+12=3\displaystyle 3x-9-3x+12=3. Cum x∘3=3\displaystyle x\circ 3=3 și 3∘x=3\displaystyle 3\circ x=3, rezultă egalitatea cerută pentru orice număr real x\displaystyle x.
    3∘x=3x−3(3+x)+12=3⇒x∘3=3∘x=3\displaystyle 3\circ x=3x-3(3+x)+12=3\Rightarrow x\circ 3=3\circ x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∘x=x\displaystyle x\circ x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem x∘x\displaystyle x\circ x folosind definiția legii, cu y=x\displaystyle y=x: x∘x=x⋅x−3(x+x)+12\displaystyle x\circ x=x\cdot x-3(x+x)+12.
    x∘x=x2−3⋅2x+12\displaystyle x\circ x=x^{2}-3\cdot 2x+12
  2. Efectuăm calculul: 3⋅2x=6x\displaystyle 3\cdot 2x=6x, deci x∘x=x2−6x+12\displaystyle x\circ x=x^{2}-6x+12.
    x∘x=x2−6x+12\displaystyle x\circ x=x^{2}-6x+12
  3. Egalăm expresia obținută cu x\displaystyle x, conform ecuației x∘x=x\displaystyle x\circ x=x.
    x2−6x+12=x\displaystyle x^{2}-6x+12=x
  4. Mutăm x\displaystyle x în membrul stâng și reducem termenii asemenea: −6x−x=−7x\displaystyle -6x-x=-7x. Obținem ecuația de gradul al doilea.
    x2−7x+12=0\displaystyle x^{2}-7x+12=0
  5. Calculăm discriminantul: Δ=(−7)2−4⋅1⋅12=49−48=1\displaystyle \Delta=(-7)^{2}-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.
    Δ=1\displaystyle \Delta=1
  6. Aplicăm formula rădăcinilor: x1,2=7±12\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{7\pm 1}{2}, deci x1=62=3\displaystyle x_1=\dfrac{6}{2}=3 și x2=82=4\displaystyle x_2=\dfrac{8}{2}=4. Ambele sunt numere reale, deci sunt soluții.
    x1=3 și x2=4\displaystyle x_1=3\text{ și }x_2=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy−3(x+y)+12\displaystyle x\circ y=xy-3(x+y)+12.

Calculați 1∘2∘…∘2014\displaystyle 1\circ 2\circ\ldots\circ 2014.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea sub formă factorizată: x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3. Verificăm: (x−3)(y−3)+3=xy−3x−3y+9+3=xy−3(x+y)+12\displaystyle (x-3)(y-3)+3=xy-3x-3y+9+3=xy-3(x+y)+12.
    x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3
  2. Deducem că 3\displaystyle 3 este element absorbant: pentru orice x\displaystyle x real, x∘3=(x−3)⋅0+3=3\displaystyle x\circ 3=(x-3)\cdot 0+3=3, iar 3∘x=3\displaystyle 3\circ x=3 la fel.
    x∘3=3∘x=3\displaystyle x\circ 3=3\circ x=3, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Legea fiind asociativă, putem grupa termenii cum dorim. Îl izolăm pe 3\displaystyle 3 din șir: calculăm separat 1∘2\displaystyle 1\circ 2, apoi îl grupăm cu 3\displaystyle 3 și cu restul termenilor 4∘5∘…∘2014\displaystyle 4\circ 5\circ\ldots\circ 2014.
    1∘2∘…∘2014=(1∘2)∘3∘(4∘5∘…∘2014)\displaystyle 1\circ 2\circ\ldots\circ 2014=(1\circ 2)\circ 3\circ(4\circ 5\circ\ldots\circ 2014)
  4. Folosim faptul că 3\displaystyle 3 este element absorbant: prima parte, (1∘2)∘3\displaystyle (1\circ 2)\circ 3, este egală cu 3\displaystyle 3, deoarece x∘3=3\displaystyle x\circ 3=3 pentru orice x\displaystyle x. Apoi 3∘(4∘5∘…∘2014)=3\displaystyle 3\circ(4\circ 5\circ\ldots\circ 2014)=3, tot din proprietatea de element absorbant. Astfel, rezultatul total este 3\displaystyle 3.
    3∘(4∘5∘…∘2014)=3\displaystyle 3\circ(4\circ 5\circ\ldots\circ 2014)=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x\displaystyle f(x)=e^x-x.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=ex−x\displaystyle f(x)=e^x-x este diferența dintre funcția exponențială și funcția liniară, deci o derivăm termen cu termen: (u−v)′=u′−v′\displaystyle (u-v)'=u'-v'.
    f′(x)=(ex−x)′=(ex)′−x′\displaystyle f'(x)=\left(e^x-x\right)'=\left(e^x\right)'-x'
  2. Folosim formulele de derivare: (ex)′=ex\displaystyle \left(e^x\right)'=e^x și x′=1\displaystyle x'=1.
    (ex)′=ex și x′=1\displaystyle \left(e^x\right)'=e^x\text{ și }x'=1
  3. Înlocuim derivatele găsite: f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=ex−1, pentru orice x∈R\displaystyle f'(x)=e^x-1\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x\displaystyle f(x)=e^x-x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=0\displaystyle x_0=0: y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în f(x)=ex−x\displaystyle f(x)=e^x-x: f(0)=e0−0=1−0\displaystyle f(0)=e^0-0=1-0.
    f(0)=e0−0=1\displaystyle f(0)=e^{0}-0=1
  3. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x și (x)′=1\displaystyle (x)'=1, deci f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1.
    f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^{x}-1
  4. Calculăm f′(0)\displaystyle f'(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0: f′(0)=e0−1=1−1\displaystyle f'(0)=e^0-1=1-1.
    f′(0)=e0−1=0\displaystyle f'(0)=e^{0}-1=0
  5. Înlocuim f(0)=1\displaystyle f(0)=1 și f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0 în formula tangentei: y−1=0⋅(x−0)\displaystyle y-1=0\cdot(x-0), deci tangenta este dreapta orizontală y=1\displaystyle y=1.
    f(0)=1\displaystyle f(0)=1, f′(0)=0⇒y=1\displaystyle \ f'(0)=0\Rightarrow y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex−x\displaystyle f(x)=e^x-x.

Demonstrați că ex≥x+1\displaystyle e^x\ge x+1, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că inegalitatea ex≥x+1\displaystyle e^x\ge x+1 este echivalentă cu ex−x≥1\displaystyle e^x-x\ge 1, adică f(x)≥1\displaystyle f(x)\ge 1. Vom arăta că valoarea minimă a funcției f\displaystyle f este 1\displaystyle 1.
    ex≥x+1  ⟺  f(x)≥1\displaystyle e^x\ge x+1\iff f(x)\ge 1
  2. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: derivata lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, iar derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1.
    f′(x)=ex−1\displaystyle f'(x)=e^x-1, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0: ex=1\displaystyle e^x=1, deci x=0\displaystyle x=0. Prin urmare f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0.
    f′(0)=e0−1=0\displaystyle f'(0)=e^0-1=0
  4. Studiem semnul derivatei. Funcția ex\displaystyle e^x este strict crescătoare, deci pentru x<0\displaystyle x<0 avem ex<e0=1\displaystyle e^x<e^0=1, adică f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, iar pentru x>0\displaystyle x>0 avem ex>1\displaystyle e^x>1, adică f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0.
    f′(x)<0, pentru x∈(−∞,0) și f′(x)>0, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)<0\text{, pentru }x\in(-\infty,0)\text{ și }f'(x)>0\text{, pentru }x\in(0,+\infty)
  5. Rezultă că f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0] și strict crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), deci f\displaystyle f are minim global în x=0\displaystyle x=0. Calculăm valoarea minimă: f(0)=e0−0=1\displaystyle f(0)=e^0-0=1.
    f(0)=e0−0=1\displaystyle f(0)=e^0-0=1
  6. Deoarece f(x)≥f(0)=1\displaystyle f(x)\ge f(0)=1 pentru orice x\displaystyle x real, obținem ex−x≥1\displaystyle e^x-x\ge 1, adică ex≥x+1\displaystyle e^x\ge x+1, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f(x)≥f(0)⇒ex≥x+1, pentru orice x∈R\displaystyle f(x)\ge f(0)\Rightarrow e^x\ge x+1\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3−1x\displaystyle f(x)=3-\frac{1}{x}.

Calculați ∫12(3−f(x))dx\displaystyle \int_1^2 \left(3-f(x)\right)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3−1x\displaystyle f(x)=3-\dfrac{1}{x} în expresia de sub integrală: 3−f(x)=3−(3−1x)\displaystyle 3-f(x)=3-\left(3-\dfrac{1}{x}\right).
    3−f(x)=3−(3−1x)\displaystyle 3-f(x)=3-\left(3-\frac{1}{x}\right)
  2. Desfacem parantezele: 3−3+1x\displaystyle 3-3+\dfrac{1}{x}. Termenii 3\displaystyle 3 și −3\displaystyle -3 se reduc, deci 3−f(x)=1x\displaystyle 3-f(x)=\dfrac{1}{x}. Integrala devine o integrală de funcție simplă pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2], unde x>0\displaystyle x>0.
    ∫12(3−f(x))dx=∫121x dx\displaystyle \int_1^2\left(3-f(x)\right)dx=\int_1^2\frac{1}{x}\,dx
  3. O primitivă a funcției 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) este ln⁡x\displaystyle \ln x. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫121x dx=ln⁡x∣12=ln⁡2−ln⁡1\displaystyle \displaystyle\int_1^2\frac{1}{x}\,dx=\ln x\Big|_1^2=\ln 2-\ln 1.
    ln⁡x∣12=ln⁡2−ln⁡1\displaystyle \ln x\Big|_1^2=\ln 2-\ln 1
  4. Cum ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem ln⁡2−0=ln⁡2\displaystyle \ln 2-0=\ln 2. Deci integrala este ln⁡2\displaystyle \ln 2.
    ln⁡2\displaystyle \ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3−1x\displaystyle f(x)=3-\frac{1}{x}.

Determinați primitiva F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R} a funcției f\displaystyle f pentru care F(1)=3\displaystyle F(1)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Primitivele lui f\displaystyle f se obțin integrând funcția pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): F(x)=∫(3−1x)dx\displaystyle F(x)=\int \left(3-\dfrac{1}{x}\right)dx.
    F(x)=∫(3−1x)dx\displaystyle F(x)=\int \left(3-\frac{1}{x}\right)dx
  2. Integrala unei diferențe este diferența integralelor: ∫3 dx−∫1x dx\displaystyle \int 3\,dx-\int \dfrac{1}{x}\,dx. Avem ∫3 dx=3x\displaystyle \int 3\,dx=3x, iar pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) avem ∫1x dx=ln⁡x\displaystyle \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln x, deoarece x>0\displaystyle x>0.
    ∫3 dx−∫1x dx=3x−ln⁡x\displaystyle \int 3\,dx-\int \frac{1}{x}\,dx=3x-\ln x
  3. Adăugăm constanta de integrare și obținem familia tuturor primitivelor lui f\displaystyle f: F(x)=3x−ln⁡x+c\displaystyle F(x)=3x-\ln x+c, unde c∈R\displaystyle c\in\mathbb{R}.
    F(x)=3x−ln⁡x+c, unde c∈R\displaystyle F(x)=3x-\ln x+c\text{, unde }c\in\mathbb{R}
  4. Impunem condiția F(1)=3\displaystyle F(1)=3. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și folosim ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0: F(1)=3⋅1−ln⁡1+c=3+c\displaystyle F(1)=3\cdot 1-\ln 1+c=3+c.
    F(1)=3⋅1−ln⁡1+c=3+c\displaystyle F(1)=3\cdot 1-\ln 1+c=3+c
  5. Din 3+c=3\displaystyle 3+c=3 rezultă c=0\displaystyle c=0, deci primitiva cerută este F(x)=3x−ln⁡x\displaystyle F(x)=3x-\ln x.
    F(1)=3⇔c=0⇒F(x)=3x−ln⁡x\displaystyle F(1)=3\Leftrightarrow c=0\Rightarrow F(x)=3x-\ln x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3−1x\displaystyle f(x)=3-\frac{1}{x}.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[1,2]→R\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=xf(x)\displaystyle g(x)=xf(x).
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm funcția g\displaystyle g: g(x)=x(3−1x)=3x−1\displaystyle g(x)=x\left(3-\dfrac{1}{x}\right)=3x-1.
    g(x)=3x−1\displaystyle g(x)=3x-1
  2. Volumul corpului de rotație în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫12g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2} g^{2}(x)\,dx, deci V=π∫12(3x−1)2 dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}(3x-1)^{2}\,dx.
    V=π∫12(3x−1)2 dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}(3x-1)^{2}\,dx
  3. Dezvoltăm pătratul: (3x−1)2=9x2−6x+1\displaystyle (3x-1)^{2}=9x^{2}-6x+1.
    V=π∫12(9x2−6x+1)dx\displaystyle V=\pi\int_{1}^{2}\left(9x^{2}-6x+1\right)dx
  4. Primitivele termenilor sunt: ∫9x2dx=3x3\displaystyle \int 9x^{2}dx=3x^{3}, ∫6x dx=3x2\displaystyle \int 6x\,dx=3x^{2}, ∫1 dx=x\displaystyle \int 1\,dx=x. Deci V=π(3x3−3x2+x)∣12\displaystyle V=\pi\left(3x^{3}-3x^{2}+x\right)\Big|_{1}^{2}.
    V=π(3x3−3x2+x)∣12\displaystyle V=\pi\left(3x^{3}-3x^{2}+x\right)\Big|_{1}^{2}
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: pentru x=2\displaystyle x=2 avem 3⋅8−3⋅4+2=14\displaystyle 3\cdot 8-3\cdot 4+2=14, pentru x=1\displaystyle x=1 avem 3−3+1=1\displaystyle 3-3+1=1. Deci V=π(14−1)=13π\displaystyle V=\pi(14-1)=13\pi.
    V=13π\displaystyle V=13\pi
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.