Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2,5:0,5−5(6,5−112)=0\displaystyle 2{,}5:0{,}5-5\left(6{,}5-\frac{11}{2}\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Transformăm împărțirea de numere zecimale într-una de numere întregi, amplificând cu 10\displaystyle 10: 2,5:0,5=25:5\displaystyle 2{,}5:0{,}5=25:5. Scriem fracția ca număr zecimal: 112=5,5\displaystyle \dfrac{11}{2}=5{,}5.
    2,5:0,5−5(6,5−112)=25:5−5(6,5−5,5)\displaystyle 2{,}5:0{,}5-5\left(6{,}5-\frac{11}{2}\right)=25:5-5(6{,}5-5{,}5)
  2. Efectuăm împărțirea: 25:5=5\displaystyle 25:5=5. Calculăm paranteza: 6,5−5,5=1\displaystyle 6{,}5-5{,}5=1.
    25:5=5 și 6,5−5,5=1\displaystyle 25:5=5\text{ și }6{,}5-5{,}5=1
  3. Înlocuim în expresie rezultatele obținute: 5−5⋅1\displaystyle 5-5\cdot 1. Efectuăm înmulțirea, 5⋅1=5\displaystyle 5\cdot 1=5, apoi scăderea, 5−5=0\displaystyle 5-5=0. Egalitatea cerută este demonstrată.
    5−5⋅1=5−5=0\displaystyle 5-5\cdot 1=5-5=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 soluțiile ecuației x2+mx+1=0\displaystyle x^2+mx+1=0, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că x1+x2+2x1x2=1\displaystyle x_1+x_2+2x_1x_2=1.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2+mx+1=0\displaystyle x^2+mx+1=0 are coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=m\displaystyle b=m, c=1\displaystyle c=1. Relațiile lui Viète sunt x1+x2=−ba\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} și x1x2=ca\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}.
    x1+x2=−m1\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{m}{1},x1x2=11\displaystyle \quad x_1x_2=\dfrac{1}{1}
  2. Simplificăm fracțiile și obținem suma și produsul soluțiilor în funcție de m\displaystyle m.
    x1+x2=−m\displaystyle x_1+x_2=-m, x1x2=1\displaystyle \ x_1x_2=1
  3. Scriem relația dată sub forma (x1+x2)+2⋅x1x2=1\displaystyle (x_1+x_2)+2\cdot x_1x_2=1 și înlocuim suma și produsul.
    −m+2⋅1=1\displaystyle -m+2\cdot 1=1
  4. Din −m+2=1\displaystyle -m+2=1 obținem −m=−1\displaystyle -m=-1, deci m=1\displaystyle m=1.
    −m+2⋅1=1, deci m=1\displaystyle -m+2\cdot 1=1\text{, deci }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1+x−2=3\displaystyle 1+\sqrt{x-2}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul există doar dacă expresia de sub el este pozitivă sau nulă: x−2≥0\displaystyle x-2\ge 0, deci x≥2\displaystyle x\ge 2.
    x∈[2,+∞)\displaystyle x\in[2,+\infty)
  2. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri ai ecuației 1+x−2=3\displaystyle 1+\sqrt{x-2}=3 și obținem x−2=3−1\displaystyle \sqrt{x-2}=3-1, adică x−2=2\displaystyle \sqrt{x-2}=2.
    x−2=2\displaystyle \sqrt{x-2}=2
  3. Ridicăm la pătrat ambii membri: (x−2)2=22\displaystyle \left(\sqrt{x-2}\right)^{2}=2^{2}, deci x−2=4\displaystyle x-2=4.
    x−2=3−1⇒x−2=4\displaystyle \sqrt{x-2}=3-1\Rightarrow x-2=4
  4. Din x−2=4\displaystyle x-2=4 obținem x=4+2\displaystyle x=4+2, adică x=6\displaystyle x=6.
    x=6\displaystyle x=6
  5. Verificăm: 6≥2\displaystyle 6\ge 2, iar 1+6−2=1+2=3\displaystyle 1+\sqrt{6-2}=1+2=3, adevărat. Deci soluția ecuației este x=6\displaystyle x=6.
    x=6, care convine\displaystyle x=6\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 10\displaystyle 10.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99, deci numărul cazurilor posibile este 99−10+1\displaystyle 99-10+1.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  3. Numerele de două cifre divizibile cu 10\displaystyle 10 sunt 10,20,…,90\displaystyle 10, 20, \ldots, 90, adică 10⋅k\displaystyle 10\cdot k cu k∈{1,2,…,9}\displaystyle k\in\{1,2,\ldots,9\}. Sunt 9\displaystyle 9 cazuri favorabile.
    nr. cazuri favorabile=9\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=9
  4. Înlocuim în formulă și simplificăm fracția prin 9\displaystyle 9: p=990=110\displaystyle p=\dfrac{9}{90}=\dfrac{1}{10}.
    p=990=110\displaystyle p=\dfrac{9}{90}=\dfrac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−4,6)\displaystyle A(-4,6), B(4,6)\displaystyle B(4,6) și C(−4,0)\displaystyle C(-4,0). Determinați perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte: MN=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_N-x_M)^{2}+(y_N-y_M)^{2}}. Perimetrul este suma celor trei laturi: PABC=AB+AC+BC\displaystyle P_{ABC}=AB+AC+BC.
    PABC=AB+AC+BC\displaystyle P_{ABC}=AB+AC+BC
  2. Calculăm AB\displaystyle AB. Punctele A(−4,6)\displaystyle A(-4,6) și B(4,6)\displaystyle B(4,6) au aceeași ordonată, deci AB=(4−(−4))2+(6−6)2=64\displaystyle AB=\sqrt{(4-(-4))^{2}+(6-6)^{2}}=\sqrt{64}.
    AB=8\displaystyle AB=8
  3. Calculăm AC\displaystyle AC. Punctele A(−4,6)\displaystyle A(-4,6) și C(−4,0)\displaystyle C(-4,0) au aceeași abscisă, deci AC=(−4−(−4))2+(0−6)2=36\displaystyle AC=\sqrt{(-4-(-4))^{2}+(0-6)^{2}}=\sqrt{36}.
    AC=6\displaystyle AC=6
  4. Calculăm BC\displaystyle BC pentru B(4,6)\displaystyle B(4,6) și C(−4,0)\displaystyle C(-4,0): BC=(−4−4)2+(0−6)2=64+36=100\displaystyle BC=\sqrt{(-4-4)^{2}+(0-6)^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}. Așadar, lungimile laturilor sunt AB=8\displaystyle AB=8, AC=6\displaystyle AC=6, BC=10\displaystyle BC=10.
    AB=8\displaystyle AB=8, AC=6\displaystyle \ AC=6, BC=10\displaystyle \ BC=10
  5. Adunăm lungimile laturilor: PABC=6+8+10\displaystyle P_{ABC}=6+8+10.
    PABC=6+8+10=24\displaystyle P_{ABC}=6+8+10=24
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cos⁡A\displaystyle \cos A, știind că A\displaystyle A este unghi ascuțit astfel încât sin⁡A=45\displaystyle \sin A=\frac{4}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim identitatea fundamentală a trigonometriei: sin⁡2A+cos⁡2A=1\displaystyle \sin^{2}A+\cos^{2}A=1.
    sin⁡2A+cos⁡2A=1\displaystyle \sin^{2}A+\cos^{2}A=1
  2. Exprimăm cos⁡2A=1−sin⁡2A\displaystyle \cos^{2}A=1-\sin^{2}A.
    cos⁡2A=1−sin⁡2A\displaystyle \cos^{2}A=1-\sin^{2}A
  3. Unghiul A\displaystyle A este ascuțit, deci cos⁡A>0\displaystyle \cos A>0. Luăm rădăcina pătrată cu semnul plus și înlocuim sin⁡A=45\displaystyle \sin A=\dfrac{4}{5}.
    cos⁡A=1−(45)2\displaystyle \cos A=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}
  4. Calculăm (45)2=1625\displaystyle \left(\dfrac{4}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}. Apoi scriem 1=2525\displaystyle 1=\dfrac{25}{25} și scădem: 2525−1625=925\displaystyle \dfrac{25}{25}-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}.
    1−1625=925\displaystyle \sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}
  5. Extragem rădăcina pătrată: 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3 și 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5. Deci cos⁡A=35\displaystyle \cos A=\dfrac{3}{5}.
    cos⁡A=35\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A=(1133)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 3 & 3\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A+I2)=5\displaystyle \det(A+I_2)=5.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm element cu element matricele A\displaystyle A și I2\displaystyle I_2: A+I2=(1133)+(1001)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 3 & 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
    A+I2=(1+11+03+03+1)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}1+1 & 1+0\\ 3+0 & 3+1\end{pmatrix}
  2. Efectuăm adunările din fiecare poziție și obținem matricea sumă A+I2\displaystyle A+I_2.
    A+I2=(2134)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 3 & 4\end{pmatrix}
  3. Determinantul de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A+I2)=∣2134∣=2⋅4−3⋅1\displaystyle \det(A+I_2)=\begin{vmatrix}2 & 1\\ 3 & 4\end{vmatrix}=2\cdot 4-3\cdot 1.
    det⁡(A+I2)=∣2134∣=2⋅4−3⋅1\displaystyle \det(A+I_2)=\begin{vmatrix}2 & 1\\ 3 & 4\end{vmatrix}=2\cdot 4-3\cdot 1
  4. Calculăm produsele: 2⋅4=8\displaystyle 2\cdot 4=8 și 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3, deci 8−3=5\displaystyle 8-3=5. Am arătat că det⁡(A+I2)=5\displaystyle \det(A+I_2)=5.
    8−3=5\displaystyle 8-3=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A=(1133)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 3 & 3\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅A=4A\displaystyle A\cdot A=4A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, adică înmulțim matricea A\displaystyle A cu ea însăși, linie cu coloană.
    A⋅A=(1133)⋅(1133)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 3 & 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 1\\ 3 & 3\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului: linia 1 cu coloana 1 dă 1⋅1+1⋅3=4\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 3=4, linia 1 cu coloana 2 dă 1⋅1+1⋅3=4\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 3=4, linia 2 cu coloana 1 dă 3⋅1+3⋅3=12\displaystyle 3\cdot 1+3\cdot 3=12, linia 2 cu coloana 2 dă 3⋅1+3⋅3=12\displaystyle 3\cdot 1+3\cdot 3=12.
    A⋅A=(1+31+33+93+9)=(441212)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1+3 & 1+3\\ 3+9 & 3+9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 4\\ 12 & 12\end{pmatrix}
  3. Calculăm 4A\displaystyle 4A înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu 4\displaystyle 4 și observăm că obținem aceeași matrice. Deci A⋅A=4A\displaystyle A\cdot A=4A.
    4A=4(1133)=(441212)=A⋅A\displaystyle 4A=4\begin{pmatrix}1 & 1\\ 3 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 4\\ 12 & 12\end{pmatrix}=A\cdot A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și A=(1133)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 3 & 3\end{pmatrix}.

Demonstrați că există o infinitate de matrice X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), pentru care A⋅X=X⋅A\displaystyle A\cdot X=X\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Alegem o matrice generală X=(xyzt)\displaystyle X=\begin{pmatrix}x & y\\ z & t\end{pmatrix}, cu x,y,z,t∈R\displaystyle x,y,z,t\in\mathbb{R}. Căutăm condițiile pe care trebuie să le îndeplinească aceste numere ca să avem A⋅X=X⋅A\displaystyle A\cdot X=X\cdot A.
    X=(xyzt)\displaystyle X=\begin{pmatrix}x & y\\ z & t\end{pmatrix}, x\displaystyle \ x,y\displaystyle y,z\displaystyle z,t∈R\displaystyle t\in\mathbb{R}
  2. Calculăm A⋅X\displaystyle A\cdot X, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui X\displaystyle X: prima linie dă 1⋅x+1⋅z\displaystyle 1\cdot x+1\cdot z și 1⋅y+1⋅t\displaystyle 1\cdot y+1\cdot t, iar a doua linie dă 3x+3z\displaystyle 3x+3z și 3y+3t\displaystyle 3y+3t.
    A⋅X=(x+zy+t3x+3z3y+3t)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}x+z & y+t\\ 3x+3z & 3y+3t\end{pmatrix}
  3. Calculăm X⋅A\displaystyle X\cdot A, înmulțind liniile lui X\displaystyle X cu coloanele lui A\displaystyle A: prima linie dă x+3y\displaystyle x+3y și x+3y\displaystyle x+3y, iar a doua linie dă z+3t\displaystyle z+3t și z+3t\displaystyle z+3t.
    A⋅X=(x+zy+t3x+3z3y+3t) și X⋅A=(x+3yx+3yz+3tz+3t)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}x+z & y+t\\ 3x+3z & 3y+3t\end{pmatrix}\text{ și }X\cdot A=\begin{pmatrix}x+3y & x+3y\\ z+3t & z+3t\end{pmatrix}
  4. Egalitatea A⋅X=X⋅A\displaystyle A\cdot X=X\cdot A înseamnă egalitatea elementelor de pe aceleași poziții: x+z=x+3y\displaystyle x+z=x+3y, y+t=x+3y\displaystyle y+t=x+3y, 3x+3z=z+3t\displaystyle 3x+3z=z+3t și 3y+3t=z+3t\displaystyle 3y+3t=z+3t.
    {x+z=x+3yy+t=x+3y3x+3z=z+3t3y+3t=z+3t\displaystyle \begin{cases}x+z=x+3y\\ y+t=x+3y\\ 3x+3z=z+3t\\ 3y+3t=z+3t\end{cases}
  5. Din prima ecuație, reducând x\displaystyle x, obținem z=3y\displaystyle z=3y. Din a doua ecuație, scăzând y\displaystyle y, obținem t=x+2y\displaystyle t=x+2y.
    z=3y și t=x+2y\displaystyle z=3y\text{ și }t=x+2y
  6. Verificăm celelalte două ecuații. A patra se reduce la z=3y\displaystyle z=3y. A treia, 3x+2z=3t\displaystyle 3x+2z=3t, devine după înlocuire 3x+6y=3x+6y\displaystyle 3x+6y=3x+6y, adevărată pentru orice x,y\displaystyle x,y, deci nu impune condiții noi.
    3x+2⋅3y=3(x+2y)⇔3x+6y=3x+6y\displaystyle 3x+2\cdot 3y=3(x+2y)\Leftrightarrow 3x+6y=3x+6y
  7. Înlocuind z=3y\displaystyle z=3y și t=x+2y\displaystyle t=x+2y în X\displaystyle X, obținem matricele de forma de mai jos, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale alese liber. Fiecare pereche (x,y)\displaystyle (x,y) dă o altă matrice, deci există o infinitate de matrice X\displaystyle X pentru care A⋅X=X⋅A\displaystyle A\cdot X=X\cdot A.
    X=(xy3yx+2y), unde x și y sunt numere reale\displaystyle X=\begin{pmatrix}x & y\\ 3y & x+2y\end{pmatrix}\text{, unde }x\text{ și }y\text{ sunt numere reale}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+x+y−12\displaystyle x*y=\frac{xy+x+y-1}{2}.

Arătați că 1∗2=2\displaystyle 1*2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=xy+x+y−12\displaystyle x*y=\dfrac{xy+x+y-1}{2}. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2.
    1∗2=1⋅2+1+2−12\displaystyle 1*2=\frac{1\cdot 2+1+2-1}{2}
  2. La numărător avem 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2, apoi 2+1+2−1=4\displaystyle 2+1+2-1=4.
    1⋅2+1+2−1=4\displaystyle 1\cdot 2+1+2-1=4
  3. Deci 1∗2=42\displaystyle 1*2=\dfrac{4}{2}, adică 2\displaystyle 2, ceea ce trebuia arătat.
    42=2\displaystyle \frac{4}{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+x+y−12\displaystyle x*y=\frac{xy+x+y-1}{2}.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x\displaystyle x pentru care x∗x≤1\displaystyle x*x\le 1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii: x∗x=x⋅x+x+x−12=x2+2x−12\displaystyle x*x=\dfrac{x\cdot x+x+x-1}{2}=\dfrac{x^{2}+2x-1}{2}.
    x∗x=x2+2x−12\displaystyle x*x=\dfrac{x^{2}+2x-1}{2}
  2. Scriem condiția din enunț, x∗x≤1\displaystyle x*x\le 1, adică x2+2x−12≤1\displaystyle \dfrac{x^{2}+2x-1}{2}\le 1. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 (număr pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează): x2+2x−1≤2\displaystyle x^{2}+2x-1\le 2. Trecem 2\displaystyle 2 în partea stângă și obținem x2+2x−3≤0\displaystyle x^{2}+2x-3\le 0.
    x2+2x−12≤1⇔x2+2x−3≤0\displaystyle \dfrac{x^{2}+2x-1}{2}\le 1\Leftrightarrow x^{2}+2x-3\le 0
  3. Descompunem trinomul în factori. Căutăm două numere cu suma 2\displaystyle 2 și produsul −3\displaystyle -3: ele sunt 3\displaystyle 3 și −1\displaystyle -1. Deci x2+2x−3=(x+3)(x−1)\displaystyle x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1), iar inegalitatea devine (x+3)(x−1)≤0\displaystyle (x+3)(x-1)\le 0.
    (x+3)(x−1)≤0\displaystyle (x+3)(x-1)\le 0
  4. Studiem semnul: funcția de gradul al doilea are coeficientul dominant pozitiv și rădăcinile −3\displaystyle -3 și 1\displaystyle 1, deci este negativă între rădăcini și zero în rădăcini. Prin urmare inegalitatea (x+3)(x−1)≤0\displaystyle (x+3)(x-1)\le 0 este adevărată exact pentru −3≤x≤1\displaystyle -3\le x\le 1.
    x∈[−3,1]\displaystyle x\in[-3,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+x+y−12\displaystyle x*y=\frac{xy+x+y-1}{2}.

Calculați (−1)∗0∗1∗…∗2020\displaystyle (-1)*0*1*\ldots*2020.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm (−1)∗x\displaystyle (-1)*x pentru un număr real oarecare x\displaystyle x, înlocuind −1\displaystyle -1 în definiția legii: x∗y=xy+x+y−12\displaystyle x*y=\dfrac{xy+x+y-1}{2}.
    (−1)∗x=−x−1+x−12\displaystyle (-1)*x=\dfrac{-x-1+x-1}{2}
  2. Reducem termenii asemenea: −x\displaystyle -x și x\displaystyle x se anulează, iar −1−1=−2\displaystyle -1-1=-2. Rezultă că −1\displaystyle -1 este element absorbant la stânga.
    (−1)∗x=−22=−1\displaystyle (-1)*x=\dfrac{-2}{2}=-1, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Legea este asociativă, deci putem grupa expresia: primul termen −1\displaystyle -1 rămâne la stânga, iar restul factorilor se compun între ei și dau un număr real a\displaystyle a.
    (−1)∗0∗1∗…∗2020=(−1)∗(0∗1∗…∗2020)=(−1)∗a\displaystyle (-1)*0*1*\ldots*2020=(-1)*(0*1*\ldots*2020)=(-1)*a, a∈R\displaystyle \ a\in\mathbb{R}
  4. Aplicăm rezultatul (−1)∗x=−1\displaystyle (-1)*x=-1 cu x=a\displaystyle x=a. Răspunsul final este −1\displaystyle -1.
    (−1)∗0∗1∗…∗2020=−1\displaystyle (-1)*0*1*\ldots*2020=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2-2\ln x.

Arătați că f′(x)=2(x−1)(x+1)x\displaystyle f'(x)=\frac{2(x-1)(x+1)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen funcția f(x)=x2−2ln⁡x\displaystyle f(x)=x^{2}-2\ln x. Avem (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, deci (−2ln⁡x)′=−2x\displaystyle (-2\ln x)'=-\dfrac{2}{x}.
    f′(x)=2x−2x\displaystyle f'(x)=2x-\frac{2}{x}
  2. Aducem expresia la același numitor x\displaystyle x, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty): 2x=2x⋅xx=2x2x\displaystyle 2x=\dfrac{2x\cdot x}{x}=\dfrac{2x^{2}}{x}.
    f′(x)=2x2x−2x=2x2−2x\displaystyle f'(x)=\frac{2x^{2}}{x}-\frac{2}{x}=\frac{2x^{2}-2}{x}
  3. Dăm factor comun pe 2\displaystyle 2 la numărător: 2x2−2=2(x2−1)\displaystyle 2x^{2}-2=2\left(x^{2}-1\right). Apoi folosim diferența de pătrate x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1). Obținem forma cerută.
    f′(x)=2(x2−1)x=2(x−1)(x+1)x, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\frac{2\left(x^{2}-1\right)}{x}=\frac{2(x-1)(x+1)}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2-2\ln x.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este definită pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Calculăm derivata: (x2)′=2x\displaystyle (x^{2})'=2x și (2ln⁡x)′=2x\displaystyle (2\ln x)'=\dfrac{2}{x}, deci derivata lui f\displaystyle f este diferența lor.
    f′(x)=2x−2x\displaystyle f'(x)=2x-\dfrac{2}{x}
  2. Aducem f′(x)\displaystyle f'(x) la același numitor și descompunem numărătorul: 2x2−2=2(x−1)(x+1)\displaystyle 2x^{2}-2=2(x-1)(x+1).
    f′(x)=2x2−2x=2(x−1)(x+1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{2}-2}{x}=\dfrac{2(x-1)(x+1)}{x}
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Cum x>0\displaystyle x>0, avem x>0\displaystyle x>0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci rămâne x−1=0\displaystyle x-1=0. Singurul punct critic este x=1\displaystyle x=1.
    f′(x)=0⇔x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1
  4. Studiem semnul derivatei pe (0,1]\displaystyle (0,1]. Aici x−1≤0\displaystyle x-1\le 0, iar x+1>0\displaystyle x+1>0 și x>0\displaystyle x>0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0. Prin urmare f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1].
    f′(x)≤0, pentru orice x∈(0,1]⇒f este descresca˘toare pe (0,1]\displaystyle f'(x)\le 0\text{, pentru orice }x\in(0,1]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }(0,1]
  5. Studiem semnul derivatei pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty). Aici x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0, iar x+1>0\displaystyle x+1>0 și x>0\displaystyle x>0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0. Prin urmare f\displaystyle f este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    f′(x)≥0, pentru orice x∈[1,+∞)⇒f este cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle f'(x)\ge 0\text{, pentru orice }x\in[1,+\infty)\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2ln⁡x\displaystyle f(x)=x^2-2\ln x.

Demonstrați că ln⁡23≤−518\displaystyle \ln\frac{2}{3}\le -\frac{5}{18}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): f′(x)=2x−2x=2(x2−1)x\displaystyle f'(x)=2x-\dfrac{2}{x}=\dfrac{2(x^{2}-1)}{x}.
    f′(x)=2(x2−1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x^{2}-1)}{x}
  2. Studiem semnul derivatei. Pentru x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1) avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, deci f\displaystyle f este descrescătoare, iar pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty) avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, deci f\displaystyle f este crescătoare. Rezultă că x=1\displaystyle x=1 este punct de minim.
    f(x)≥f(1), pentru orice x>0\displaystyle f(x)\ge f(1)\text{, pentru orice }x>0
  3. Calculăm f(1)=12−2ln⁡1=1\displaystyle f(1)=1^{2}-2\ln 1=1, deci inegalitatea devine x2−2ln⁡x≥1\displaystyle x^{2}-2\ln x\ge 1 pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    f(1)=1, deci x2−2ln⁡x≥1\displaystyle f(1)=1\text{, deci }x^{2}-2\ln x\ge 1
  4. Înlocuim x=23\displaystyle x=\dfrac{2}{3}, care aparține intervalului (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): (23)2−2ln⁡23≥1\displaystyle \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}-2\ln\dfrac{2}{3}\ge 1.
    49−2ln⁡23≥1\displaystyle \dfrac{4}{9}-2\ln\dfrac{2}{3}\ge 1
  5. Mutăm termenul 49\displaystyle \dfrac{4}{9} în dreapta: 2ln⁡23≤49−1=−59\displaystyle 2\ln\dfrac{2}{3}\le\dfrac{4}{9}-1=-\dfrac{5}{9}. Împărțind la 2\displaystyle 2 obținem ln⁡23≤−518\displaystyle \ln\dfrac{2}{3}\le-\dfrac{5}{18}, ceea ce trebuia demonstrat.
    2ln⁡23≤49−1, de unde ln⁡23≤−518\displaystyle 2\ln\dfrac{2}{3}\le\dfrac{4}{9}-1\text{, de unde }\ln\dfrac{2}{3}\le-\dfrac{5}{18}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2020−2020x+1\displaystyle f(x)=x^{2020}-2020x+1.

Arătați că ∫01(f(x)+2020x−1)dx=12021\displaystyle \int_0^1\left(f(x)+2020x-1\right)dx=\frac{1}{2021}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2020−2020x+1\displaystyle f(x)=x^{2020}-2020x+1 în integrand: f(x)+2020x−1=x2020−2020x+1+2020x−1\displaystyle f(x)+2020x-1=x^{2020}-2020x+1+2020x-1.
    f(x)+2020x−1=x2020−2020x+1+2020x−1\displaystyle f(x)+2020x-1=x^{2020}-2020x+1+2020x-1
  2. Reducem termenii asemenea: −2020x+2020x=0\displaystyle -2020x+2020x=0 și 1−1=0\displaystyle 1-1=0. Rămâne doar x2020\displaystyle x^{2020}, deci integrala devine ∫01x2020dx\displaystyle \int_0^1 x^{2020}dx.
    ∫01(f(x)+2020x−1)dx=∫01x2020dx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)+2020x-1\right)dx=\int_0^1 x^{2020}dx
  3. Aplicăm formula ∫xndx=xn+1n+1\displaystyle \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Pentru n=2020\displaystyle n=2020 primitiva este x20212021\displaystyle \dfrac{x^{2021}}{2021}, apoi folosim formula Leibniz-Newton cu limitele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    ∫01(f(x)+2020x−1)dx=∫01x2020dx=x20212021∣01\displaystyle \int_0^1\left(f(x)+2020x-1\right)dx=\int_0^1 x^{2020}dx=\frac{x^{2021}}{2021}\Big|_0^1
  4. Evaluăm primitiva în limite: valoarea în 1\displaystyle 1 minus valoarea în 0\displaystyle 0. Cum 12021=1\displaystyle 1^{2021}=1 și 02021=0\displaystyle 0^{2021}=0, obținem rezultatul cerut.
    12021−020212021=12021\displaystyle \frac{1^{2021}-0^{2021}}{2021}=\frac{1}{2021}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2020−2020x+1\displaystyle f(x)=x^{2020}-2020x+1.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este convexă pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}. Din definiția primitivei, derivata lui F\displaystyle F este f\displaystyle f, pentru orice x\displaystyle x real.
    F′(x)=f(x)=x2020−2020x+1, pentru orice x∈R\displaystyle F'(x)=f(x)=x^{2020}-2020x+1\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm încă o dată: F′′(x)=f′(x)\displaystyle F''(x)=f'(x). Derivăm termen cu termen: (x2020)′=2020x2019\displaystyle \left(x^{2020}\right)'=2020x^{2019}, (−2020x)′=−2020\displaystyle (-2020x)'=-2020, iar (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    F′′(x)=f′(x)=2020x2019−2020\displaystyle F''(x)=f'(x)=2020x^{2019}-2020
  3. Dăm factor comun 2020\displaystyle 2020 și obținem o formă din care se vede semnul.
    F′′(x)=2020(x2019−1)\displaystyle F''(x)=2020\left(x^{2019}-1\right)
  4. Pentru x≥1\displaystyle x\ge 1 avem x2019≥12019=1\displaystyle x^{2019}\ge 1^{2019}=1, deci x2019−1≥0\displaystyle x^{2019}-1\ge 0. Cum 2020>0\displaystyle 2020>0, derivata a doua este nenegativă pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty). Prin urmare orice primitivă F\displaystyle F este convexă pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    F′′(x)=2020(x2019−1)≥0, pentru orice x∈[1,+∞)\displaystyle F''(x)=2020\left(x^{2019}-1\right)\ge 0\text{, pentru orice }x\in[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2020−2020x+1\displaystyle f(x)=x^{2020}-2020x+1. Calculați ∫01(f(−x)−f(x))exdx\displaystyle \int_0^1\left(f(-x)-f(x)\right)e^x dx.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(−x)\displaystyle f(-x). Deoarece 2020\displaystyle 2020 este par, (−x)2020=x2020\displaystyle (-x)^{2020}=x^{2020}, iar −2020⋅(−x)=2020x\displaystyle -2020\cdot(-x)=2020x.
    f(−x)=x2020+2020x+1\displaystyle f(-x)=x^{2020}+2020x+1
  2. Scădem f(x)\displaystyle f(x) din f(−x)\displaystyle f(-x): termenii x2020\displaystyle x^{2020} și 1\displaystyle 1 se reduc, iar rămân doi termeni egali cu 2020x\displaystyle 2020x.
    f(−x)−f(x)=(x2020+2020x+1)−(x2020−2020x+1)=4040x\displaystyle f(-x)-f(x)=\left(x^{2020}+2020x+1\right)-\left(x^{2020}-2020x+1\right)=4040x
  3. Înlocuim în integrală, scoatem constanta în fața integralei și aplicăm integrarea prin părți, cu u=x\displaystyle u=x și dv=exdx\displaystyle dv=e^x dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    ∫01(f(−x)−f(x))exdx=4040∫01xexdx=4040xex∣01−4040∫01exdx\displaystyle \int_0^1\left(f(-x)-f(x)\right)e^x dx=4040\int_0^1 xe^x dx=4040xe^x\Big|_0^1-4040\int_0^1 e^x dx
  4. Calculăm termenii: la limita 1\displaystyle 1 avem e\displaystyle e, la limita 0\displaystyle 0 avem 0\displaystyle 0, deci primul termen este 4040e\displaystyle 4040e. Integrala lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, deci al doilea termen este 4040ex∣01=4040e−4040\displaystyle 4040e^x\Big|_0^1=4040e-4040.
    4040e−(4040e−4040)\displaystyle 4040e-\left(4040e-4040\right)
  5. Scădem cele două rezultate: 4040e−(4040e−4040)\displaystyle 4040e-\left(4040e-4040\right) se reduce la 4040\displaystyle 4040.
    4040e−4040ex∣01=4040e−4040e+4040=4040\displaystyle 4040e-4040e^x\Big|_0^1=4040e-4040e+4040=4040
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.