Bac matematică M3 tehnologic 2021, model, test de evaluare 9: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați suma primilor patru termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1} în care a2=5\displaystyle a_2=5 și a3=8\displaystyle a_3=8.
Vezi rezolvarea
  1. Rația este diferența dintre doi termeni consecutivi: r=a3−a2=8−5\displaystyle r=a_3-a_2=8-5.
    r=3\displaystyle r=3
  2. Cum a2=a1+r\displaystyle a_2=a_1+r, avem a1=a2−r=5−3\displaystyle a_1=a_2-r=5-3.
    a1=2\displaystyle a_1=2
  3. Cum a4=a3+r\displaystyle a_4=a_3+r, obținem a4=8+3\displaystyle a_4=8+3.
    a4=11\displaystyle a_4=11
  4. Suma primilor patru termeni este a1+a2+a3+a4=2+5+8+11\displaystyle a_1+a_2+a_3+a_4=2+5+8+11.
    26\displaystyle 26
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−8\displaystyle f(x)=3x-8. Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care a⋅f(a)=f(1)\displaystyle a\cdot f(a)=f(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în f(x)=3x−8\displaystyle f(x)=3x-8 și obținem f(a)=3a−8\displaystyle f(a)=3a-8.
    f(a)=3a−8\displaystyle f(a)=3a-8
  2. Pentru x=1\displaystyle x=1 avem f(1)=3⋅1−8=−5\displaystyle f(1)=3\cdot 1-8=-5.
    f(1)=3⋅1−8=−5\displaystyle f(1)=3\cdot 1-8=-5
  3. Relația a⋅f(a)=f(1)\displaystyle a\cdot f(a)=f(1) devine a(3a−8)=−5\displaystyle a(3a-8)=-5, adică 3a2−8a=−5\displaystyle 3a^{2}-8a=-5.
    3a2−8a=−5\displaystyle 3a^{2}-8a=-5
  4. Adunăm 5\displaystyle 5 în ambii membri și obținem ecuația de gradul al doilea 3a2−8a+5=0\displaystyle 3a^{2}-8a+5=0.
    3a2−8a+5=0\displaystyle 3a^{2}-8a+5=0
  5. Discriminantul este Δ=(−8)2−4⋅3⋅5=64−60=4\displaystyle \Delta=(-8)^{2}-4\cdot 3\cdot 5=64-60=4, deci Δ=2\displaystyle \sqrt{\Delta}=2.
    Δ=64−60=4\displaystyle \Delta=64-60=4
  6. Din formula a=8±26\displaystyle a=\dfrac{8\pm 2}{6} obținem a=66=1\displaystyle a=\dfrac{6}{6}=1 și a=106=53\displaystyle a=\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}. Deci numerele căutate sunt 1\displaystyle 1 și 53\displaystyle \dfrac{5}{3}.
    a=1 sau a=53\displaystyle a=1\text{ sau }a=\frac{5}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(25−x)=log⁡5(x+5)\displaystyle \log_5(25-x)=\log_5(x+5).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, deci 25−x>0\displaystyle 25-x>0 și x+5>0\displaystyle x+5>0. Rezultă x∈(−5,25)\displaystyle x\in(-5,25).
    x∈(−5,25)\displaystyle x\in(-5,25)
  2. Logaritmii au aceeași bază, iar funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: 25−x=x+5\displaystyle 25-x=x+5.
    25−x=x+5\displaystyle 25-x=x+5
  3. Aducem termenii cu x\displaystyle x în același membru: 25−5=2x\displaystyle 25-5=2x, adică 20=2x\displaystyle 20=2x. Împărțind la 2 obținem x=10\displaystyle x=10.
    2x=20⇒x=10\displaystyle 2x=20\Rightarrow x=10
  4. Verificăm: 10∈(−5,25)\displaystyle 10\in(-5,25). Într-adevăr, 25−10=15>0\displaystyle 25-10=15>0 și 10+5=15>0\displaystyle 10+5=15>0, deci soluția convine.
    x=10, care convine\displaystyle x=10\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifre din mulțimea A={2,3,5,9}\displaystyle A=\{2,3,5,9\}.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de două cifre are cifra zecilor și cifra unităților. Cifrele se aleg din mulțimea A={2,3,5,9}\displaystyle A=\{2,3,5,9\}, care are 4\displaystyle 4 elemente, iar cifrele trebuie să fie distincte. Alegem mai întâi cifra unităților: avem 4\displaystyle 4 posibilități, deoarece nu există nicio restricție.
    4\displaystyle 4
  2. Cifra zecilor trebuie să fie diferită de cifra unităților deja aleasă, deci o putem alege din cele 3\displaystyle 3 elemente rămase ale mulțimii. Nu apar probleme cu cifra 0\displaystyle 0, deoarece mulțimea nu o conține.
    3\displaystyle 3
  3. Aplicăm regula produsului: numărul total de numere este produsul numărului de alegeri pentru unități cu numărul de alegeri pentru zeci, adică 4⋅3=12\displaystyle 4\cdot 3=12. Deci se pot forma 12\displaystyle 12 numere.
    4⋅3=12\displaystyle 4\cdot 3=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreapta d\displaystyle d de ecuație y=2x+a\displaystyle y=2x+a, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a știind că punctul A(2,3)\displaystyle A(2,3) aparține dreptei d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Dacă punctul A(2,3)\displaystyle A(2,3) aparține dreptei d\displaystyle d, coordonatele lui verifică ecuația dreptei: x=2\displaystyle x=2 și y=3\displaystyle y=3 trebuie să satisfacă y=2x+a\displaystyle y=2x+a.
    xA=2\displaystyle x_A=2, yA=3\displaystyle \ y_A=3
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 și y\displaystyle y cu 3\displaystyle 3 în ecuația y=2x+a\displaystyle y=2x+a și obținem o ecuație în necunoscuta a\displaystyle a.
    3=2⋅2+a\displaystyle 3=2\cdot 2+a
  3. Calculăm 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, deci ecuația devine 3=4+a\displaystyle 3=4+a. Scădem 4\displaystyle 4 din ambii membri și obținem a=3−4\displaystyle a=3-4, adică a=−1\displaystyle a=-1.
    a=−1\displaystyle a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 4sin⁡60∘(tg⁡60∘−cos⁡30∘)=3\displaystyle 4\sin 60^\circ(\operatorname{tg}60^\circ-\cos 30^\circ)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 60∘\displaystyle 60^\circ și 30∘\displaystyle 30^\circ: sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, tg⁡60∘=3\displaystyle \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt{3}, iar cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, tg⁡60∘=3\displaystyle \ \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt{3}, cos⁡30∘=32\displaystyle \ \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia 4sin⁡60∘(tg⁡60∘−cos⁡30∘)\displaystyle 4\sin 60^\circ(\operatorname{tg}60^\circ-\cos 30^\circ).
    4⋅32(3−32)\displaystyle 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
  3. Simplificăm primul factor: 4⋅32=23\displaystyle 4\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}. În paranteză, 3−32=32\displaystyle \sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    23⋅32\displaystyle 2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
  4. Înmulțim: 23⋅32=3⋅3=3\displaystyle 2\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3. Deci egalitatea este demonstrată.
    4sin⁡60∘(tg⁡60∘−cos⁡30∘)=3\displaystyle 4\sin 60^\circ(\operatorname{tg}60^\circ-\cos 30^\circ)=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−1−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-1&-3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(a)=(aa36)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a&a\\3&6\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡A=−5\displaystyle \det A=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=∣21−1−3∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&1\\-1&-3\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣21−1−3∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&1\\-1&-3\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c. Diagonala principală dă 2⋅(−3)\displaystyle 2\cdot(-3), iar cea secundară dă 1⋅(−1)\displaystyle 1\cdot(-1), deci det⁡A=2⋅(−3)−1⋅(−1)\displaystyle \det A=2\cdot(-3)-1\cdot(-1).
    det⁡A=2⋅(−3)−1⋅(−1)\displaystyle \det A=2\cdot(-3)-1\cdot(-1)
  3. Calculăm produsele: 2⋅(−3)=−6\displaystyle 2\cdot(-3)=-6 și 1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot(-1)=-1. Scăderea lui −1\displaystyle -1 revine la adunarea lui 1\displaystyle 1, deci det⁡A=−6+1\displaystyle \det A=-6+1.
    det⁡A=−6+1\displaystyle \det A=-6+1
  4. Efectuăm adunarea: −6+1=−5\displaystyle -6+1=-5. Am arătat că det⁡A=−5\displaystyle \det A=-5.
    det⁡A=−5\displaystyle \det A=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−1−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-1&-3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(a)=(aa36)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a&a\\3&6\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care B(1)⋅B(−1)+3A=4B(a)\displaystyle B(1)\cdot B(-1)+3A=4B(a).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu 1\displaystyle 1 și apoi cu −1\displaystyle -1 în matricea B(a)\displaystyle B(a).
    B(1)=(1136)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}1&1\\3&6\end{pmatrix}, B(−1)=(−1−136)\displaystyle \ B(-1)=\begin{pmatrix}-1&-1\\3&6\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B(1)⋅B(−1)\displaystyle B(1)\cdot B(-1), înmulțind fiecare linie a primei matrice cu fiecare coloană a celei de-a doua: de exemplu 1⋅(−1)+1⋅3=2\displaystyle 1\cdot(-1)+1\cdot 3=2 și 3⋅(−1)+6⋅3=15\displaystyle 3\cdot(-1)+6\cdot 3=15.
    B(1)B(−1)=(251533)\displaystyle B(1)B(-1)=\begin{pmatrix}2&5\\15&33\end{pmatrix}
  3. Calculăm 3A\displaystyle 3A, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu 3\displaystyle 3.
    3A=(63−3−9)\displaystyle 3A=\begin{pmatrix}6&3\\-3&-9\end{pmatrix}
  4. Adunăm cele două matrice element cu element și obținem membrul stâng al egalității.
    B(1)B(−1)+3A=(251533)+(63−3−9)=(881224)\displaystyle B(1)B(-1)+3A=\begin{pmatrix}2&5\\15&33\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6&3\\-3&-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&8\\12&24\end{pmatrix}
  5. Calculăm membrul drept, 4B(a)\displaystyle 4B(a), înmulțind fiecare element cu 4\displaystyle 4.
    4B(a)=(4a4a1224)\displaystyle 4B(a)=\begin{pmatrix}4a&4a\\12&24\end{pmatrix}
  6. Egalăm matricele element cu element. Elementele de pe linia a doua coincid (12\displaystyle 12 și 24\displaystyle 24), iar din primul rând rezultă 4a=8\displaystyle 4a=8, deci a=2\displaystyle a=2.
    (881224)=(4a4a1224)⇒4a=8⇒a=2\displaystyle \begin{pmatrix}8&8\\12&24\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4a&4a\\12&24\end{pmatrix}\Rightarrow 4a=8\Rightarrow a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−1−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-1&-3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(a)=(aa36)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a&a\\3&6\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) cu proprietatea că X⋅(A−2I2)=B(0)\displaystyle X\cdot(A-2I_2)=B(0).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A−2I2\displaystyle A-2I_2 scăzând 2\displaystyle 2 din elementele de pe diagonala principală a lui A\displaystyle A: A−2I2=(21−1−3)−(2002)\displaystyle A-2I_2=\begin{pmatrix}2&1\\-1&-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}.
    A−2I2=(01−1−5)\displaystyle A-2I_2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-5\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: det⁡(A−2I2)=0⋅(−5)−1⋅(−1)\displaystyle \det(A-2I_2)=0\cdot(-5)-1\cdot(-1). Fiind nenul, matricea A−2I2\displaystyle A-2I_2 este inversabilă.
    det⁡(A−2I2)=1\displaystyle \det(A-2I_2)=1
  3. Pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} cu determinantul δ\displaystyle \delta, inversa este 1δ(d−b−ca)\displaystyle \dfrac{1}{\delta}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. Aici δ=1\displaystyle \delta=1, deci inversa se obține direct.
    (A−2I2)−1=(−5−110)\displaystyle (A-2I_2)^{-1}=\begin{pmatrix}-5&-1\\1&0\end{pmatrix}
  4. Înmulțim egalitatea X⋅(A−2I2)=B(0)\displaystyle X\cdot(A-2I_2)=B(0) la dreapta cu (A−2I2)−1\displaystyle (A-2I_2)^{-1}. Pentru a=0\displaystyle a=0 avem B(0)=(0036)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}0&0\\3&6\end{pmatrix}.
    X=B(0)⋅(A−2I2)−1=(0036)⋅(−5−110)\displaystyle X=B(0)\cdot(A-2I_2)^{-1}=\begin{pmatrix}0&0\\3&6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-5&-1\\1&0\end{pmatrix}
  5. Efectuăm înmulțirea. Prima linie este nulă, iar pe a doua avem 3⋅(−5)+6⋅1=−9\displaystyle 3\cdot(-5)+6\cdot 1=-9 și 3⋅(−1)+6⋅0=−3\displaystyle 3\cdot(-1)+6\cdot 0=-3.
    X=(00−9−3)\displaystyle X=\begin{pmatrix}0&0\\-9&-3\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(2x−y+1)(2y−x+1)\displaystyle x*y=(2x-y+1)(2y-x+1).

Arătați că 3∗4=18\displaystyle 3*4=18.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=(2x−y+1)(2y−x+1)\displaystyle x*y=(2x-y+1)(2y-x+1). Înlocuim x=3\displaystyle x=3 și y=4\displaystyle y=4.
    3∗4=(2⋅3−4+1)(2⋅4−3+1)\displaystyle 3*4=(2\cdot 3-4+1)(2\cdot 4-3+1)
  2. Prima paranteză: 2⋅3−4+1=6−4+1=3\displaystyle 2\cdot 3-4+1=6-4+1=3.
    2⋅3−4+1=3\displaystyle 2\cdot 3-4+1=3
  3. A doua paranteză: 2⋅4−3+1=8−3+1=6\displaystyle 2\cdot 4-3+1=8-3+1=6.
    2⋅4−3+1=6\displaystyle 2\cdot 4-3+1=6
  4. Înmulțim: 3⋅6=18\displaystyle 3\cdot 6=18, deci 3∗4=18\displaystyle 3*4=18.
    3∗4=3⋅6=18\displaystyle 3*4=3\cdot 6=18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(2x−y+1)(2y−x+1)\displaystyle x*y=(2x-y+1)(2y-x+1).

Demonstrați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Comutativitatea înseamnă că x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y. Pornim de la definiția legii: x∗y\displaystyle x*y este produsul a doi factori.
    x∗y=(2x−y+1)(2y−x+1)\displaystyle x*y=(2x-y+1)(2y-x+1)
  2. Folosim comutativitatea înmulțirii numerelor reale și schimbăm ordinea celor doi factori.
    x∗y=(2x−y+1)(2y−x+1)=(2y−x+1)(2x−y+1)\displaystyle x*y=(2x-y+1)(2y-x+1)=(2y-x+1)(2x-y+1)
  3. Calculăm y∗x\displaystyle y*x înlocuind în definiție pe x\displaystyle x cu y\displaystyle y și pe y\displaystyle y cu x\displaystyle x: y∗x=(2y−x+1)(2x−y+1)\displaystyle y*x=(2y-x+1)(2x-y+1). Este exact produsul de la pasul anterior, deci x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∗y=(2y−x+1)(2x−y+1)=y∗x, pentru orice numere \displaystyle x*y=(2y-x+1)(2x-y+1)=y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(2x−y+1)(2y−x+1)\displaystyle x*y=(2x-y+1)(2y-x+1).

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale pentru care (2m)∗n=13\displaystyle (2m)*n=13.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii x=2m\displaystyle x=2m și y=n\displaystyle y=n. Primul factor devine 2⋅2m−n+1=4m−n+1\displaystyle 2\cdot 2m-n+1=4m-n+1, iar al doilea 2n−2m+1\displaystyle 2n-2m+1.
    (2m)∗n=(4m−n+1)(2n−2m+1)\displaystyle (2m)*n=(4m-n+1)(2n-2m+1)
  2. Ecuația devine un produs de doi factori egal cu 13\displaystyle 13. Cum m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt naturale, ambii factori sunt numere întregi, deci sunt divizori ai lui 13\displaystyle 13. Notăm a=4m−n+1\displaystyle a=4m-n+1 și b=2n−2m+1\displaystyle b=2n-2m+1.
    a⋅b=13\displaystyle a\cdot b=13,a\displaystyle \quad a,b∈Z\displaystyle b\in\mathbb{Z}
  3. Deoarece 13\displaystyle 13 este prim, perechile posibile de factori întregi (a,b)\displaystyle (a,b) sunt (1,13)\displaystyle (1,13), (13,1)\displaystyle (13,1), (−1,−13)\displaystyle (-1,-13) și (−13,−1)\displaystyle (-13,-1).
    (a,b)∈{(1,13),(13,1),(−1,−13),(−13,−1)}\displaystyle (a,b)\in\{(1,13),(13,1),(-1,-13),(-13,-1)\}
  4. Calculăm 2a+b=8m−2n+2+2n−2m+1=6m+3\displaystyle 2a+b=8m-2n+2+2n-2m+1=6m+3. Obținem m=2a+b−36\displaystyle m=\dfrac{2a+b-3}{6}, iar apoi din prima expresie n=4m+1−a\displaystyle n=4m+1-a.
    m=2a+b−36\displaystyle m=\dfrac{2a+b-3}{6},n=4m+1−a\displaystyle \quad n=4m+1-a
  5. Pentru (1,13)\displaystyle (1,13): m=126=2\displaystyle m=\dfrac{12}{6}=2 și n=8+1−1=8\displaystyle n=8+1-1=8. Pentru (13,1)\displaystyle (13,1): m=246=4\displaystyle m=\dfrac{24}{6}=4 și n=16+1−13=4\displaystyle n=16+1-13=4. Pentru (−1,−13)\displaystyle (-1,-13): m=−186=−3\displaystyle m=\dfrac{-18}{6}=-3, care nu este natural. Pentru (−13,−1)\displaystyle (-13,-1): m=−306=−5\displaystyle m=\dfrac{-30}{6}=-5, care nu este natural.
    (m,n)=(2,8) sau (m,n)=(4,4)\displaystyle (m,n)=(2,8)\text{ sau }(m,n)=(4,4)
  6. Verificare: pentru (2,8)\displaystyle (2,8) factorii sunt 8−8+1=1\displaystyle 8-8+1=1 și 16−4+1=13\displaystyle 16-4+1=13, deci produsul este 13\displaystyle 13. Pentru (4,4)\displaystyle (4,4) factorii sunt 16−4+1=13\displaystyle 16-4+1=13 și 8−8+1=1\displaystyle 8-8+1=1, deci produsul este 13\displaystyle 13. Perechile căutate sunt (2,8)\displaystyle (2,8) și (4,4)\displaystyle (4,4).
    (4m−n+1)(2n−2m+1)=13, perechile (m,n)∈{(2,8),(4,4)}\displaystyle (4m-n+1)(2n-2m+1)=13\text{, perechile }(m,n)\in\{(2,8),(4,4)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−5,+∞)→R\displaystyle f:(-5,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+7x+5\displaystyle f(x)=\frac{2x+7}{x+5}.

Arătați că f′(x)=3(x+5)2\displaystyle f'(x)=\frac{3}{(x+5)^2}, x∈(−5,+∞)\displaystyle x\in(-5,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile pe (−5,+∞)\displaystyle (-5,+\infty), iar numitorul x+5\displaystyle x+5 este nenul. Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, cu u=2x+7\displaystyle u=2x+7 și v=x+5\displaystyle v=x+5.
    f′(x)=(2x+7)′(x+5)−(2x+7)(x+5)′(x+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+7)'(x+5)-(2x+7)(x+5)'}{(x+5)^{2}}
  2. Calculăm (2x+7)′=2\displaystyle (2x+7)'=2 și (x+5)′=1\displaystyle (x+5)'=1, apoi le înlocuim în formulă.
    f′(x)=2(x+5)−(2x+7)(x+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x+5)-(2x+7)}{(x+5)^{2}}
  3. Desfacem parantezele la numărător: 2(x+5)=2x+10\displaystyle 2(x+5)=2x+10, iar minusul din fața parantezei schimbă semnele din 2x+7\displaystyle 2x+7. Termenii 2x\displaystyle 2x și −2x\displaystyle -2x se reduc, iar 10−7=3\displaystyle 10-7=3.
    f′(x)=2x+10−2x−7(x+5)2=3(x+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x+10-2x-7}{(x+5)^{2}}=\dfrac{3}{(x+5)^{2}}, x∈(−5,+∞)\displaystyle \ x\in(-5,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−5,+∞)→R\displaystyle f:(-5,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+7x+5\displaystyle f(x)=\frac{2x+7}{x+5}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă limita există și este finită. Calculăm această limită.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2x+7x+5\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+7}{x+5}
  2. Limita are forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Dăm factor comun x\displaystyle x la numărător și la numitor.
    lim⁡x→+∞x(2+7x)x(1+5x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(2+\frac{7}{x}\right)}{x\left(1+\frac{5}{x}\right)}
  3. Simplificăm cu x\displaystyle x, care este nenul când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Fracțiile 7x\displaystyle \dfrac{7}{x} și 5x\displaystyle \dfrac{5}{x} tind la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞2+7x1+5x=2+01+0=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2+\frac{7}{x}}{1+\frac{5}{x}}=\frac{2+0}{1+0}=2
  4. Limita este finită și egală cu 2\displaystyle 2, deci graficul are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta y=2\displaystyle y=2.
    y=2 este asimptota orizontala˘ \displaystyle y=2\text{ este asimptota orizontală }spre +∞\displaystyle \text{spre }+\infty
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−5,+∞)→R\displaystyle f:(-5,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x+7x+5\displaystyle f(x)=\frac{2x+7}{x+5}.

Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f\displaystyle f în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este paralelă cu dreapta de ecuație y=3x+5\displaystyle y=3x+5.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta y=3x+5\displaystyle y=3x+5 are panta 3\displaystyle 3. Două drepte sunt paralele când au aceeași pantă, iar panta tangentei în punctul de abscisă a\displaystyle a este f′(a)\displaystyle f'(a). Deci condiția este f′(a)=3\displaystyle f'(a)=3, cu a∈(−5,+∞)\displaystyle a\in(-5,+\infty).
    f′(a)=3\displaystyle f'(a)=3, a∈(−5,+∞)\displaystyle \ a\in(-5,+\infty)
  2. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f cu formula derivatei unui cât: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, unde u=2x+7\displaystyle u=2x+7 și v=x+5\displaystyle v=x+5.
    f′(x)=2(x+5)−(2x+7)⋅1(x+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x+5)-(2x+7)\cdot 1}{(x+5)^{2}}
  3. Simplificăm numărătorul: 2x+10−2x−7=3\displaystyle 2x+10-2x-7=3. Rezultă f′(x)=3(x+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3}{(x+5)^{2}}.
    f′(x)=3(x+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3}{(x+5)^{2}}
  4. Punem condiția f′(a)=3\displaystyle f'(a)=3 și obținem 3(a+5)2=3\displaystyle \dfrac{3}{(a+5)^{2}}=3, adică (a+5)2=1\displaystyle (a+5)^{2}=1.
    (a+5)2=1\displaystyle (a+5)^{2}=1
  5. Din (a+5)2=1\displaystyle (a+5)^{2}=1 avem a+5=1\displaystyle a+5=1 sau a+5=−1\displaystyle a+5=-1, deci a=−4\displaystyle a=-4 sau a=−6\displaystyle a=-6. Cum a∈(−5,+∞)\displaystyle a\in(-5,+\infty), valoarea a=−6\displaystyle a=-6 nu convine. Rămâne a=−4\displaystyle a=-4, abscisa căutată.
    a=−4\displaystyle a=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−2x+2\displaystyle f(x)=x-2\sqrt{x}+2.

Arătați că ∫13(f(x)+2x)dx=8\displaystyle \int_1^3\left(f(x)+2\sqrt{x}\right)dx=8.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x−2x+2\displaystyle f(x)=x-2\sqrt{x}+2 în integrandul din enunț: f(x)+2x=x−2x+2+2x\displaystyle f(x)+2\sqrt{x}=x-2\sqrt{x}+2+2\sqrt{x}.
    f(x)+2x=x−2x+2+2x\displaystyle f(x)+2\sqrt{x}=x-2\sqrt{x}+2+2\sqrt{x}
  2. Termenii −2x\displaystyle -2\sqrt{x} și +2x\displaystyle +2\sqrt{x} se reduc, deci f(x)+2x=x+2\displaystyle f(x)+2\sqrt{x}=x+2. Integrala devine o integrală de polinom.
    ∫13(f(x)+2x)dx=∫13(x+2) dx\displaystyle \int_1^3\left(f(x)+2\sqrt{x}\right)dx=\int_1^3(x+2)\,dx
  3. O primitivă a funcției x+2\displaystyle x+2 este x22+2x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}+2x, deoarece (x22)′=x\displaystyle \left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'=x și (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫13(x+2) dx=(x22+2x)∣13\displaystyle \int_1^3(x+2)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\Big|_1^3
  4. Pentru limita superioară: 322+2⋅3=92+6=212\displaystyle \dfrac{3^{2}}{2}+2\cdot 3=\dfrac{9}{2}+6=\dfrac{21}{2}. Pentru limita inferioară: 122+2⋅1=12+2=52\displaystyle \dfrac{1^{2}}{2}+2\cdot 1=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}.
    212−52\displaystyle \frac{21}{2}-\frac{5}{2}
  5. Scădem: 212−52=162=8\displaystyle \dfrac{21}{2}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{16}{2}=8, ceea ce trebuia arătat.
    212−52=8\displaystyle \frac{21}{2}-\frac{5}{2}=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−2x+2\displaystyle f(x)=x-2\sqrt{x}+2.

Arătați că funcția f\displaystyle f este o primitivă a funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=x−1x\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru ca f\displaystyle f să fie primitivă a lui g\displaystyle g pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), trebuie ca f\displaystyle f să fie derivabilă pe acest interval și să avem f′(x)=g(x)\displaystyle f'(x)=g(x) pentru orice x>0\displaystyle x>0. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), fiind suma unor funcții derivabile.
    f′(x)=g(x)\displaystyle f'(x)=g(x), ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
  2. Derivăm f\displaystyle f termen cu termen: (x)′=1\displaystyle (x)'=1, (x)′=12x\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, iar (2)′=0\displaystyle (2)'=0.
    f′(x)=(x−2x+2)′=1−2⋅12x+0\displaystyle f'(x)=\left(x-2\sqrt{x}+2\right)'=1-2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}+0
  3. Simplificăm factorul 2\displaystyle 2 din produs și obținem f′(x)=1−1x\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
    f′(x)=1−1x\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x}}
  4. Aducem la același numitor, x\displaystyle \sqrt{x}: 1=xx\displaystyle 1=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}. Obținem f′(x)=x−1x\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}, adică exact g(x)\displaystyle g(x), pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Deci f\displaystyle f este o primitivă a lui g\displaystyle g.
    f′(x)=1−1x=x−1x=g(x), pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}=g(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−2x+2\displaystyle f(x)=x-2\sqrt{x}+2.

Calculați ∫121f(x2)dx\displaystyle \int_1^2\frac{1}{f\left(x^2\right)}dx.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(x2)\displaystyle f\left(x^{2}\right). Pentru x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2] avem x2=x\displaystyle \sqrt{x^{2}}=x, deci înlocuim în f(x)=x−2x+2\displaystyle f(x)=x-2\sqrt{x}+2.
    f(x2)=x2−2x+2\displaystyle f\left(x^{2}\right)=x^{2}-2x+2
  2. Scriem integrala cerută cu această expresie la numitor.
    ∫121f(x2)dx=∫121x2−2x+2dx\displaystyle \int_1^2\frac{1}{f\left(x^{2}\right)}dx=\int_1^2\frac{1}{x^{2}-2x+2}dx
  3. Scriem numitorul ca pătrat perfect plus 1: x2−2x+2=(x−1)2+1\displaystyle x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1. Observăm că (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1, deci numărătorul este derivata lui x−1\displaystyle x-1.
    ∫12(x−1)′(x−1)2+1dx\displaystyle \int_1^2\frac{(x-1)'}{(x-1)^{2}+1}dx
  4. Folosim formula ∫u′u2+1dx=arctg⁡u\displaystyle \int\frac{u'}{u^{2}+1}dx=\operatorname{arctg}u, cu u=x−1\displaystyle u=x-1, și aplicăm formula Leibniz-Newton.
    arctg⁡(x−1)∣12\displaystyle \operatorname{arctg}(x-1)\Big|_1^2
  5. Înlocuim limitele: pentru x=2\displaystyle x=2 obținem arctg⁡1\displaystyle \operatorname{arctg}1, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem arctg⁡0\displaystyle \operatorname{arctg}0.
    arctg⁡1−arctg⁡0\displaystyle \operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}0
  6. Știm că arctg⁡1=π4\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4} și arctg⁡0=0\displaystyle \operatorname{arctg}0=0, deci rezultatul final este π4\displaystyle \dfrac{\pi}{4}.
    π4\displaystyle \frac{\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.