Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 20: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2−12)(3−13)(4−14):15=1\displaystyle \left(2-\frac{1}{2}\right)\left(3-\frac{1}{3}\right)\left(4-\frac{1}{4}\right):15=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima paranteză, aducând la același numitor: 2−12=4−12\displaystyle 2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4-1}{2}.
    2−12=4−12=32\displaystyle 2-\frac{1}{2}=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}
  2. La fel pentru a doua paranteză: 3−13=9−13\displaystyle 3-\dfrac{1}{3}=\dfrac{9-1}{3}.
    3−13=9−13=83\displaystyle 3-\frac{1}{3}=\frac{9-1}{3}=\frac{8}{3}
  3. La fel pentru a treia paranteză: 4−14=16−14\displaystyle 4-\dfrac{1}{4}=\dfrac{16-1}{4}.
    4−14=16−14=154\displaystyle 4-\frac{1}{4}=\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}
  4. Înlocuim în expresie: 4−12⋅9−13⋅16−14:15\displaystyle \dfrac{4-1}{2}\cdot\dfrac{9-1}{3}\cdot\dfrac{16-1}{4}:15. Produsul fracțiilor este 32⋅83⋅154=3⋅8⋅152⋅3⋅4\displaystyle \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{8}{3}\cdot\dfrac{15}{4}=\dfrac{3\cdot 8\cdot 15}{2\cdot 3\cdot 4}, iar după simplificare cu 3\displaystyle 3 și cu 2⋅4=8\displaystyle 2\cdot 4=8 obținem 15\displaystyle 15.
    4−12⋅9−13⋅16−14:15=15:15\displaystyle \frac{4-1}{2}\cdot\frac{9-1}{3}\cdot\frac{16-1}{4}:15=15:15
  5. Împărțim: 15:15=1\displaystyle 15:15=1, deci egalitatea din enunț este adevărată.
    15:15=1\displaystyle 15:15=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+5\displaystyle f(x)=x^2+5. Arătați că f(x)−f(−x)=0\displaystyle f(x)-f(-x)=0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru un număr real x\displaystyle x oarecare, avem f(x)=x2+5\displaystyle f(x)=x^{2}+5.
    f(x)=x2+5\displaystyle f(x)=x^{2}+5
  2. Calculăm f(−x)\displaystyle f(-x) înlocuind peste tot x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în formula funcției: f(−x)=(−x)2+5\displaystyle f(-x)=(-x)^{2}+5.
    f(−x)=(−x)2+5\displaystyle f(-x)=(-x)^{2}+5
  3. Formăm diferența f(x)−f(−x)\displaystyle f(x)-f(-x), punând pe f(−x)\displaystyle f(-x) între paranteze, ca scăderea să afecteze ambii termeni.
    f(x)−f(−x)=x2+5−((−x)2+5)\displaystyle f(x)-f(-x)=x^{2}+5-\left((-x)^{2}+5\right)
  4. Folosim faptul că (−x)2=x2\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}, deoarece puterea este pară. Apoi desfacem parantezele schimbând semnele termenilor: x2+5−x2−5\displaystyle x^{2}+5-x^{2}-5.
    x2+5−x2−5\displaystyle x^{2}+5-x^{2}-5
  5. Reducem termenii asemenea: x2−x2=0\displaystyle x^{2}-x^{2}=0 și 5−5=0\displaystyle 5-5=0. Deci f(x)−f(−x)=0\displaystyle f(x)-f(-x)=0 pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x2+5−x2−5=0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x^{2}+5-x^{2}-5=0\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x−3=2x+1\displaystyle \sqrt{4x-3}=\sqrt{2x+1}.
Vezi rezolvarea
  1. Determinăm condițiile de existență: expresiile de sub radical trebuie să fie pozitive sau nule. Pentru 4x−3\displaystyle 4x-3 cerem 4x−3≥0\displaystyle 4x-3\ge 0, adică x≥34\displaystyle x\ge \dfrac{3}{4}, iar pentru 2x+1\displaystyle 2x+1 cerem 2x+1≥0\displaystyle 2x+1\ge 0, adică x≥−12\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{2}. Împreună dau x≥34\displaystyle x\ge \dfrac{3}{4}.
    x∈[34,+∞)\displaystyle x\in\left[\dfrac{3}{4},+\infty\right)
  2. Ridicăm ecuația la pătrat. Pătratul unui radical este expresia de sub radical, deci radicalii dispar: (4x−3)2=(2x+1)2\displaystyle \left(\sqrt{4x-3}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}.
    4x−3=2x+1\displaystyle 4x-3=2x+1
  3. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: 4x−2x=1+3\displaystyle 4x-2x=1+3, deci 2x=4\displaystyle 2x=4.
    2x=4\displaystyle 2x=4
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  5. Verificăm soluția. Valoarea 2\displaystyle 2 este mai mare decât 34\displaystyle \dfrac{3}{4}, deci respectă condiția de existență. Înlocuind, 4⋅2−3=5\displaystyle \sqrt{4\cdot 2-3}=\sqrt{5} și 2⋅2+1=5\displaystyle \sqrt{2\cdot 2+1}=\sqrt{5}, deci egalitatea este adevărată. Soluția convine.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr x\displaystyle x din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}, acesta să fie soluție a ecuației x2−3x+2=0\displaystyle x^2-3x+2=0.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea A={1,2,…,10}\displaystyle A=\{1,2,\ldots,10\} are 10 elemente, deci numărul cazurilor posibile este egal cu numărul elementelor lui A\displaystyle A.
    10\displaystyle 10
  2. Rezolvăm ecuația x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}-3x+2=0. Discriminantul este Δ=9−8=1\displaystyle \Delta=9-8=1, iar soluțiile sunt x=3±12\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{2}.
    x1=1\displaystyle x_1=1, x2=2\displaystyle \ x_2=2
  3. Ambele soluții, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, aparțin mulțimii A\displaystyle A, deci avem 2\displaystyle 2 cazuri favorabile.
    1 și 2, deci 2 cazuri favorabile\displaystyle 1\text{ și }2\text{, deci }2\text{ cazuri favorabile}
  4. Aplicăm formula p=cazuri favorabilecazuri posibile=210\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{2}{10} și simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2.
    p=210=15\displaystyle p=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,3)\displaystyle A(0,3) și B(3,0)\displaystyle B(3,0). Determinați ecuația dreptei care trece prin O(0,0)\displaystyle O(0,0) și este paralelă cu dreapta AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Două drepte paralele au aceeași pantă, deci mai întâi calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula pantei dintre două puncte: mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.
    mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(0,3)\displaystyle A(0,3) și B(3,0)\displaystyle B(3,0) și obținem panta dreptei AB\displaystyle AB: mAB=0−33−0=−1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{0-3}{3-0}=-1.
    mAB=0−33−0=−1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{0-3}{3-0}=-1
  3. Dreapta căutată este paralelă cu AB\displaystyle AB, deci are aceeași pantă: m=−1\displaystyle m=-1. Ecuația unei drepte cu panta m\displaystyle m care trece prin origine este y=mx\displaystyle y=mx, fiindcă termenul liber este zero.
    y=mx\displaystyle y=mx,m=−1\displaystyle \quad m=-1
  4. Înlocuind m=−1\displaystyle m=-1, obținem ecuația dreptei căutate. Se verifică ușor că O(0,0)\displaystyle O(0,0) o satisface.
    y=−x\displaystyle y=-x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria rombului ABCD\displaystyle ABCD, știind că AC=6\displaystyle AC=6 și BD=4\displaystyle BD=4.
Vezi rezolvarea
  1. Diagonalele rombului ABCD\displaystyle ABCD sunt perpendiculare și se înjumătățesc. Ele împart rombul în patru triunghiuri dreptunghice congruente, de aceea aria rombului este semiprodusul diagonalelor: AABCD=AC⋅BD2\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=\dfrac{AC\cdot BD}{2}.
    AABCD=AC⋅BD2\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2}
  2. Înlocuim lungimile diagonalelor date în enunț, AC=6\displaystyle AC=6 și BD=4\displaystyle BD=4, și obținem AABCD=6⋅42\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=\dfrac{6\cdot 4}{2}.
    AABCD=6⋅42\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=\frac{6\cdot 4}{2}
  3. Calculăm: 6⋅4=24\displaystyle 6\cdot 4=24, iar 242=12\displaystyle \dfrac{24}{2}=12. Deci aria rombului este 12\displaystyle 12.
    AABCD=12\displaystyle \mathcal{A}_{ABCD}=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−25−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-2\\5&-3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=A−xI2\displaystyle B(x)=A-xI_2, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(B(0))=1\displaystyle \det(B(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în B(x)=A−xI2\displaystyle B(x)=A-xI_2. Cum 0⋅I2\displaystyle 0\cdot I_2 este matricea nulă, obținem B(0)=A\displaystyle B(0)=A.
    B(0)=A−0⋅I2=A=(3−25−3)\displaystyle B(0)=A-0\cdot I_2=A=\begin{pmatrix}3&-2\\5&-3\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei B(0)\displaystyle B(0) și aplicăm formula ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(B(0))=∣3−25−3∣=3⋅(−3)−(−2)⋅5\displaystyle \det(B(0))=\begin{vmatrix}3&-2\\5&-3\end{vmatrix}=3\cdot(-3)-(-2)\cdot 5
  3. Calculăm produsele: 3⋅(−3)=−9\displaystyle 3\cdot(-3)=-9 și (−2)⋅5=−10\displaystyle (-2)\cdot 5=-10, deci scăderea lui −10\displaystyle -10 înseamnă adunarea lui 10\displaystyle 10. Rezultă det⁡(B(0))=1\displaystyle \det(B(0))=1, adică exact ce trebuia arătat.
    −9+10=1⇒det⁡(B(0))=1\displaystyle -9+10=1\Rightarrow \det(B(0))=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−25−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-2\\5&-3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=A−xI2\displaystyle B(x)=A-xI_2, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A⋅A+I2=O2\displaystyle A\cdot A+I_2=O_2, unde O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană, cu matricea A=(3−25−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-2\\5&-3\end{pmatrix}.
    A⋅A=(3−25−3)⋅(3−25−3)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&-2\\5&-3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&-2\\5&-3\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului: 3⋅3+(−2)⋅5=9−10=−1\displaystyle 3\cdot 3+(-2)\cdot 5=9-10=-1, 3⋅(−2)+(−2)⋅(−3)=−6+6=0\displaystyle 3\cdot(-2)+(-2)\cdot(-3)=-6+6=0, 5⋅3+(−3)⋅5=15−15=0\displaystyle 5\cdot 3+(-3)\cdot 5=15-15=0, 5⋅(−2)+(−3)⋅(−3)=−10+9=−1\displaystyle 5\cdot(-2)+(-3)\cdot(-3)=-10+9=-1.
    A⋅A=(−100−1)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricea I2\displaystyle I_2 la rezultat, element cu element.
    A⋅A+I2=(−100−1)+(1001)=(−1+100−1+1)\displaystyle A\cdot A+I_2=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+1&0\\0&-1+1\end{pmatrix}
  4. Efectuăm calculele și obținem matricea nulă O2\displaystyle O_2, deci egalitatea cerută este adevărată.
    A⋅A+I2=(0000)=O2\displaystyle A\cdot A+I_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−25−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-2\\5&-3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=A−xI2\displaystyle B(x)=A-xI_2, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că det⁡(B(x))≥1\displaystyle \det(B(x))\ge 1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea xI2\displaystyle xI_2: are x\displaystyle x pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest.
    xI2=(x00x)\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}
  2. Scădem xI2\displaystyle xI_2 din A\displaystyle A, element cu element, și obținem matricea B(x)\displaystyle B(x).
    B(x)=A−xI2=(3−x−25−3−x)\displaystyle B(x)=A-xI_2=\begin{pmatrix}3-x&-2\\5&-3-x\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordin 2\displaystyle 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(B(x))=(3−x)(−3−x)−(−2)⋅5\displaystyle \det(B(x))=(3-x)(-3-x)-(-2)\cdot 5.
    det⁡(B(x))=(3−x)(−3−x)+10\displaystyle \det(B(x))=(3-x)(-3-x)+10
  4. Dezvoltăm produsul: (3−x)(−3−x)=−(3−x)(3+x)=−(9−x2)=x2−9\displaystyle (3-x)(-3-x)=-(3-x)(3+x)=-(9-x^{2})=x^{2}-9. Adunăm 10\displaystyle 10 și obținem determinantul.
    det⁡(B(x))=−9+x2+10=x2+1\displaystyle \det(B(x))=-9+x^{2}+10=x^{2}+1
  5. Pentru orice număr real x\displaystyle x avem x2≥0\displaystyle x^{2}\ge 0, deci adunând 1\displaystyle 1 la ambii membri obținem x2+1≥1\displaystyle x^{2}+1\ge 1. Prin urmare det⁡(B(x))≥1\displaystyle \det(B(x))\ge 1 pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(B(x))=x2+1≥1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \det(B(x))=x^{2}+1\ge 1\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y+4\displaystyle x*y=xy+x+y+4.

Arătați că 2020∗(−1)=3\displaystyle 2020*(-1)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii x∗y=xy+x+y+4\displaystyle x*y=xy+x+y+4 pentru x=2020\displaystyle x=2020 și y=−1\displaystyle y=-1: înlocuim în expresie.
    2020∗(−1)=2020⋅(−1)+2020+(−1)+4\displaystyle 2020*(-1)=2020\cdot(-1)+2020+(-1)+4
  2. Calculăm produsul: 2020⋅(−1)=−2020\displaystyle 2020\cdot(-1)=-2020, deci expresia devine −2020+2020−1+4\displaystyle -2020+2020-1+4.
    −2020+2020−1+4\displaystyle -2020+2020-1+4
  3. Termenii −2020\displaystyle -2020 și 2020\displaystyle 2020 se reduc, iar rămâne −1+4=3\displaystyle -1+4=3. Deci 2020∗(−1)=3\displaystyle 2020*(-1)=3.
    −1+4=3\displaystyle -1+4=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y+4\displaystyle x*y=xy+x+y+4.

Demonstrați că x∗y=(x+1)(y+1)+3\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)+3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∗y=xy+x+y+4\displaystyle x*y=xy+x+y+4.
    x∗y=xy+x+y+4\displaystyle x*y=xy+x+y+4
  2. Scriem pe 4\displaystyle 4 ca 1+3\displaystyle 1+3, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∗y=xy+x+y+1+3\displaystyle x*y=xy+x+y+1+3
  3. Grupăm primii doi termeni, scoțând factor comun pe x\displaystyle x: xy+x=x(y+1)\displaystyle xy+x=x(y+1). Ceilalți doi termeni, y+1\displaystyle y+1, rămân grupați.
    x∗y=x(y+1)+(y+1)+3\displaystyle x*y=x(y+1)+(y+1)+3
  4. Scoatem factor comun pe y+1\displaystyle y+1: x(y+1)+(y+1)=(x+1)(y+1)\displaystyle x(y+1)+(y+1)=(x+1)(y+1). Obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=(x+1)(y+1)+3, pentru orice numere \displaystyle x*y=(x+1)(y+1)+3\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y+4\displaystyle x*y=xy+x+y+4.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere întregi pentru care m∗n=2\displaystyle m*n=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție în forma factorizată. Cum (x+1)(y+1)=xy+x+y+1\displaystyle (x+1)(y+1)=xy+x+y+1, obținem x∗y=(x+1)(y+1)+3\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)+3.
    x∗y=(x+1)(y+1)+3\displaystyle x*y=(x+1)(y+1)+3
  2. Înlocuim x=m\displaystyle x=m și y=n\displaystyle y=n în condiția m∗n=2\displaystyle m*n=2 și obținem ecuația de mai jos.
    (m+1)(n+1)+3=2\displaystyle (m+1)(n+1)+3=2
  3. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri și obținem un produs egal cu −1\displaystyle -1.
    (m+1)(n+1)=−1\displaystyle (m+1)(n+1)=-1
  4. Numerele m+1\displaystyle m+1 și n+1\displaystyle n+1 sunt întregi cu produsul −1\displaystyle -1, deci unul este 1\displaystyle 1 și celălalt este −1\displaystyle -1. Avem cazurile m+1=1, n+1=−1\displaystyle m+1=1,\ n+1=-1 sau m+1=−1, n+1=1\displaystyle m+1=-1,\ n+1=1.
    {m+1=1n+1=−1 sau {m+1=−1n+1=1\displaystyle \left\{\begin{array}{l}m+1=1\\ n+1=-1\end{array}\right.\text{ sau }\left\{\begin{array}{l}m+1=-1\\ n+1=1\end{array}\right.
  5. Rezolvăm cele două cazuri: în primul m=0\displaystyle m=0 și n=−2\displaystyle n=-2, în al doilea m=−2\displaystyle m=-2 și n=0\displaystyle n=0. Verificare: 0∗(−2)=0+0−2+4=2\displaystyle 0*(-2)=0+0-2+4=2. Perechile cerute sunt (−2,0)\displaystyle (-2,0) și (0,−2)\displaystyle (0,-2).
    (m,n)=(−2,0) sau (m,n)=(0,−2)\displaystyle (m,n)=(-2,0)\text{ sau }(m,n)=(0,-2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x4−4x2−3\displaystyle f(x)=2x^4-4x^2-3.

Arătați că f′(x)=8x(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=8x(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen, folosind formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}, iar derivata unei constante este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=(2x4)′−(4x2)′−(3)′\displaystyle f'(x)=(2x^{4})'-(4x^{2})'-(3)'
  2. Calculăm fiecare derivată în parte: (2x4)′=8x3\displaystyle (2x^{4})'=8x^{3}, (4x2)′=8x\displaystyle (4x^{2})'=8x, (3)′=0\displaystyle (3)'=0. Obținem:
    f′(x)=8x3−8x\displaystyle f'(x)=8x^{3}-8x
  3. Dăm factor comun pe 8x\displaystyle 8x din cei doi termeni:
    f′(x)=8x(x2−1)\displaystyle f'(x)=8x\left(x^{2}-1\right)
  4. Descompunem diferența de pătrate x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1), după formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). Obținem forma cerută, pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=8x(x−1)(x+1), x∈R\displaystyle f'(x)=8x(x-1)(x+1)\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x4−4x2−3\displaystyle f(x)=2x^4-4x^2-3.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1). Trebuie deci să calculăm f(1)\displaystyle f(1) și f′(1)\displaystyle f'(1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției: f(1)=2⋅14−4⋅12−3=2−4−3\displaystyle f(1)=2\cdot 1^{4}-4\cdot 1^{2}-3=2-4-3.
    f(1)=2−4−3=−5\displaystyle f(1)=2-4-3=-5
  3. Derivăm funcția: f′(x)=2⋅4x3−4⋅2x−0\displaystyle f'(x)=2\cdot 4x^{3}-4\cdot 2x-0.
    f′(x)=8x3−8x\displaystyle f'(x)=8x^{3}-8x
  4. Calculăm f′(1)\displaystyle f'(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în derivată: f′(1)=8⋅13−8⋅1=8−8\displaystyle f'(1)=8\cdot 1^{3}-8\cdot 1=8-8. Astfel obținem valorile cerute: f(1)=−5\displaystyle f(1)=-5 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0.
    f(1)=−5\displaystyle f(1)=-5, f′(1)=0\displaystyle \ f'(1)=0
  5. Înlocuim f(1)=−5\displaystyle f(1)=-5 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0 în formula tangentei: y−(−5)=0⋅(x−1)\displaystyle y-(-5)=0\cdot(x-1), adică y+5=0\displaystyle y+5=0. Rezultă că tangenta este dreapta orizontală y=−5\displaystyle y=-5.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=−5\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x4−4x2−3\displaystyle f(x)=2x^4-4x^2-3.

Demonstrați că −5≤f(x)≤−3\displaystyle -5\le f(x)\le -3, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției: f′(x)=8x3−8x\displaystyle f'(x)=8x^{3}-8x.
    f′(x)=8x3−8x\displaystyle f'(x)=8x^{3}-8x
  2. Descompunem derivata în factori: f′(x)=8x(x2−1)=8x(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=8x(x^{2}-1)=8x(x-1)(x+1).
    f′(x)=8x(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=8x(x-1)(x+1)
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 și obținem x=−1\displaystyle x=-1, x=0\displaystyle x=0, x=1\displaystyle x=1, adică f′(−1)=f′(0)=f′(1)=0\displaystyle f'(-1)=f'(0)=f'(1)=0.
    f′(−1)=f′(0)=f′(1)=0\displaystyle f'(-1)=f'(0)=f'(1)=0
  4. Studiem semnul derivatei. Pe [−1,0]\displaystyle [-1,0]: x≤0\displaystyle x\le 0, x−1<0\displaystyle x-1<0, x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0. Pe [0,1]\displaystyle [0,1]: x≥0\displaystyle x\ge 0, x−1≤0\displaystyle x-1\le 0, x+1>0\displaystyle x+1>0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0.
    x∈[−1,0]⇒f′(x)≥0 și x∈[0,1]⇒f′(x)≤0\displaystyle x\in[-1,0]\Rightarrow f'(x)\ge 0\text{ și }x\in[0,1]\Rightarrow f'(x)\le 0
  5. Deducem că f\displaystyle f este crescătoare pe [−1,0]\displaystyle [-1,0] și descrescătoare pe [0,1]\displaystyle [0,1]. Deci maximul pe [−1,1]\displaystyle [-1,1] este f(0)\displaystyle f(0), iar minimul este atins în −1\displaystyle -1 sau în 1\displaystyle 1.
    f↗ pe [−1,0]\displaystyle f\nearrow\text{ pe }[-1,0],f↘ pe [0,1]\displaystyle \quad f\searrow\text{ pe }[0,1]
  6. Calculăm f(−1)=2⋅1−4⋅1−3=−5\displaystyle f(-1)=2\cdot 1-4\cdot 1-3=-5, f(1)=2−4−3=−5\displaystyle f(1)=2-4-3=-5 și f(0)=−3\displaystyle f(0)=-3.
    f(−1)=f(1)=−5\displaystyle f(-1)=f(1)=-5,f(0)=−3\displaystyle \quad f(0)=-3
  7. Pe [−1,0]\displaystyle [-1,0] funcția crește de la −5\displaystyle -5 la −3\displaystyle -3, iar pe [0,1]\displaystyle [0,1] scade de la −3\displaystyle -3 la −5\displaystyle -5. Prin urmare −5≤f(x)≤−3\displaystyle -5\le f(x)\le -3 pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1].
    f(−1)=f(1)=−5 și f(0)=−3⇒−5≤f(x)≤−3, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle f(-1)=f(1)=-5\text{ și }f(0)=-3\Rightarrow -5\le f(x)\le -3\text{, pentru orice }x\in[-1,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x\displaystyle f(x)=x^2-\sqrt{x}.

Arătați că ∫14(f(x)+x)dx=21\displaystyle \int_1^4\left(f(x)+\sqrt{x}\right)dx=21.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2−x\displaystyle f(x)=x^{2}-\sqrt{x} în integrandul f(x)+x\displaystyle f(x)+\sqrt{x}.
    f(x)+x=x2−x+x\displaystyle f(x)+\sqrt{x}=x^{2}-\sqrt{x}+\sqrt{x}
  2. Termenii −x\displaystyle -\sqrt{x} și +x\displaystyle +\sqrt{x} se reduc, deci f(x)+x=x2\displaystyle f(x)+\sqrt{x}=x^{2}, iar integrala devine una simplă.
    ∫14(f(x)+x)dx=∫14x2dx\displaystyle \int_1^4\left(f(x)+\sqrt{x}\right)dx=\int_1^4 x^{2}dx
  3. O primitivă a funcției x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, așa că aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫14x2dx=x33∣14\displaystyle \int_1^4 x^{2}dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_1^4
  4. Calculăm 433=643\displaystyle \dfrac{4^{3}}{3}=\dfrac{64}{3} și 133=13\displaystyle \dfrac{1^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}, apoi scădem valorile.
    643−13=633=21\displaystyle \frac{64}{3}-\frac{1}{3}=\frac{63}{3}=21
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x\displaystyle f(x)=x^2-\sqrt{x}.

Demonstrați că funcția F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x33−2xx3+2020\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{2x\sqrt{x}}{3}+2020 este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Ca să arătăm că F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f, trebuie să verificăm că F\displaystyle F este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și că F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
  2. Rescriem termenul cu radical sub formă de putere, ca să putem aplica formula de derivare a puterilor: xx=x⋅x12=x32\displaystyle x\sqrt{x}=x\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}.
    F(x)=x33−23⋅x32+2020\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}+2020
  3. Derivăm termen cu termen, folosind formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^n)'=n\cdot x^{n-1}. Derivata constantei 2020\displaystyle 2020 este 0\displaystyle 0. Obținem (x33)′=3x23\displaystyle \left(\dfrac{x^3}{3}\right)'=\dfrac{3x^2}{3} și (23⋅x32)′=23⋅32⋅x12\displaystyle \left(\dfrac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}\right)'=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}.
    F′(x)=3x23−23⋅32⋅x12\displaystyle F'(x)=\frac{3x^2}{3}-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}
  4. Simplificăm: 3x23=x2\displaystyle \dfrac{3x^2}{3}=x^2 și 23⋅32=1\displaystyle \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{2}=1, iar x12=x\displaystyle x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}. Rezultă F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x>0\displaystyle x>0, deci F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=x2−x=f(x), pentru orice x∈(0,+∞), deci F este o primitiva˘ a \displaystyle F'(x)=x^2-\sqrt{x}=f(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x\displaystyle f(x)=x^2-\sqrt{x}.

Arătați că ∫12(f(x)+x)exdx=e(2e−1)\displaystyle \int_1^2\left(f(x)+\sqrt{x}\right)e^xdx=e(2e-1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2−x\displaystyle f(x)=x^{2}-\sqrt{x} în integrand. Atunci f(x)+x=x2\displaystyle f(x)+\sqrt{x}=x^{2}, deci radicalul se reduce.
    ∫12(f(x)+x)exdx=∫12x2exdx\displaystyle \int_1^2\left(f(x)+\sqrt{x}\right)e^xdx=\int_1^2x^{2}e^xdx
  2. Integrăm prin părți cu u=x2\displaystyle u=x^{2} și dv=exdx\displaystyle dv=e^xdx, deci du=2x dx\displaystyle du=2x\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Formula este ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.
    ∫12x2exdx=x2ex∣12−∫122xexdx\displaystyle \int_1^2x^{2}e^xdx=\left.x^{2}e^x\right|_1^2-\int_1^2 2xe^xdx
  3. Calculăm x2ex∣12=4e2−e\displaystyle \left.x^{2}e^x\right|_1^2=4e^{2}-e. Scoatem constanta 2\displaystyle 2 în fața integralei rămase și integrăm din nou prin părți, cu u=x\displaystyle u=x și dv=exdx\displaystyle dv=e^xdx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    4e2−e−2(xex∣12−∫12exdx)\displaystyle 4e^{2}-e-2\left(\left.xe^x\right|_1^2-\int_1^2e^xdx\right)
  4. Avem xex∣12=2e2−e\displaystyle \left.xe^x\right|_1^2=2e^{2}-e și ∫12exdx=ex∣12=e2−e\displaystyle \int_1^2e^xdx=\left.e^x\right|_1^2=e^{2}-e.
    xex∣12=2e2−e\displaystyle \left.xe^x\right|_1^2=2e^{2}-e,∫12exdx=e2−e\displaystyle \quad \int_1^2e^xdx=e^{2}-e
  5. Înlocuim: 4e2−e−2(2e2−e−(e2−e))=4e2−e−2(2e2−e)+2(e2−e)\displaystyle 4e^{2}-e-2\left(2e^{2}-e-(e^{2}-e)\right)=4e^{2}-e-2\left(2e^{2}-e\right)+2\left(e^{2}-e\right). Desfacem parantezele: 4e2−e−4e2+2e+2e2−2e=2e2−e\displaystyle 4e^{2}-e-4e^{2}+2e+2e^{2}-2e=2e^{2}-e. Dăm factor comun pe e\displaystyle e.
    4e2−e−2(2e2−e)+2ex∣12=2e2−e=e(2e−1)\displaystyle 4e^{2}-e-2\left(2e^{2}-e\right)+\left.2e^x\right|_1^2=2e^{2}-e=e(2e-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.