Bac matematică M3 tehnologic 2021, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (0,25⋅10−12)(0,25⋅10+12)=6\displaystyle \left(0{,}25\cdot 10-\frac{1}{2}\right)\left(0{,}25\cdot 10+\frac{1}{2}\right)=6.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul 0,25⋅10\displaystyle 0{,}25\cdot 10, care apare în ambele paranteze: 0,25⋅10=2,5\displaystyle 0{,}25\cdot 10=2{,}5.
    0,25⋅10=2,5\displaystyle 0{,}25\cdot 10=2{,}5
  2. Transformăm fracția 12\displaystyle \frac{1}{2} în număr zecimal, adică 0,5\displaystyle 0{,}5, și înlocuim în expresie.
    (2,5−0,5)(2,5+0,5)\displaystyle (2{,}5-0{,}5)(2{,}5+0{,}5)
  3. Calculăm separat cele două paranteze: diferența 2,5−0,5=2\displaystyle 2{,}5-0{,}5=2, iar suma 2,5+0,5=3\displaystyle 2{,}5+0{,}5=3.
    2⋅3\displaystyle 2\cdot 3
  4. Înmulțim rezultatele obținute: 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6, deci egalitatea din enunț este adevărată.
    2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−ax+1\displaystyle f(x)=x^2-ax+1, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A(2,1)\displaystyle A(2,1) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(2,1)\displaystyle A(2,1) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(2)=1\displaystyle f(2)=1, adică atunci când înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2, valoarea funcției este 1\displaystyle 1.
    f(2)=1\displaystyle f(2)=1
  2. Calculăm f(2)\displaystyle f(2) înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în formula funcției: f(2)=22−a⋅2+1\displaystyle f(2)=2^2-a\cdot 2+1. Îl egalăm cu 1\displaystyle 1.
    4−2a+1=1\displaystyle 4-2a+1=1
  3. Reducem termenii constanți: 4+1=5\displaystyle 4+1=5, deci 5−2a=1\displaystyle 5-2a=1. Mutăm termenii: 2a=5−1=4\displaystyle 2a=5-1=4.
    2a=4\displaystyle 2a=4
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem valoarea lui a\displaystyle a.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x+2+3x=30\displaystyle 3^{x+2}+3^x=30.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea puterilor: 3x+2=3x⋅32\displaystyle 3^{x+2}=3^x\cdot 3^2. Ecuația devine 3x⋅32+3x=30\displaystyle 3^x\cdot 3^2+3^x=30.
    3x⋅32+3x=30\displaystyle 3^x\cdot 3^2+3^x=30
  2. Dăm factor comun 3x\displaystyle 3^x: 3x(32+1)=30\displaystyle 3^x\left(3^2+1\right)=30. Cum 32+1=9+1=10\displaystyle 3^2+1=9+1=10, obținem 10⋅3x=30\displaystyle 10\cdot 3^x=30.
    3x(32+1)=30⇔10⋅3x=30\displaystyle 3^x\left(3^2+1\right)=30\Leftrightarrow 10\cdot 3^x=30
  3. Împărțim ambii membri la 10\displaystyle 10: 3x=3010\displaystyle 3^x=\dfrac{30}{10}, deci 3x=3\displaystyle 3^x=3.
    3x=3\displaystyle 3^x=3
  4. Scriem 3=31\displaystyle 3=3^1, deci 3x=31\displaystyle 3^x=3^1. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, așa că exponenții sunt egali: x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Un obiect costă 500\displaystyle 500 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 20%\displaystyle 20\%.
Vezi rezolvarea
  1. Scumpirea reprezintă 20%\displaystyle 20\% din prețul inițial. Scriem procentul ca fracție: 20%=20100\displaystyle 20\%=\dfrac{20}{100}.
    20%=20100\displaystyle 20\%=\dfrac{20}{100}
  2. Calculăm valoarea scumpirii: 20100⋅500=15⋅500=100\displaystyle \dfrac{20}{100}\cdot 500=\dfrac{1}{5}\cdot 500=100 de lei.
    20100⋅500=100 de lei\displaystyle \dfrac{20}{100}\cdot 500=100\text{ de lei}
  3. Prețul nou este prețul inițial plus scumpirea: 500+100=600\displaystyle 500+100=600 de lei.
    500+100=600 de lei\displaystyle 500+100=600\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,3)\displaystyle A(0,3) și B(8,3)\displaystyle B(8,3). Punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Calculați distanța de la punctul M\displaystyle M la punctul O(0,0)\displaystyle O(0,0).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formulele pentru mijlocul segmentului AB\displaystyle AB: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    M(xA+xB2,yA+yB2)\displaystyle M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)
  2. Înlocuim coordonatele lui A(0,3)\displaystyle A(0,3) și B(8,3)\displaystyle B(8,3): xM=0+82=4\displaystyle x_M=\dfrac{0+8}{2}=4 și yM=3+32=3\displaystyle y_M=\dfrac{3+3}{2}=3. Deci mijlocul este M(4,3)\displaystyle M(4,3).
    M(4,3)\displaystyle M(4,3)
  3. Distanța dintre punctele M(xM,yM)\displaystyle M(x_M,y_M) și O(xO,yO)\displaystyle O(x_O,y_O) este OM=(xM−xO)2+(yM−yO)2\displaystyle OM=\sqrt{(x_M-x_O)^2+(y_M-y_O)^2}. Înlocuind, obținem OM=(4−0)2+(3−0)2\displaystyle OM=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}.
    OM=(4−0)2+(3−0)2\displaystyle OM=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}
  4. Calculăm: OM=16+9=25\displaystyle OM=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}. Deci distanța de la M\displaystyle M la O\displaystyle O este 5\displaystyle 5.
    OM=16+9=25=5\displaystyle OM=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=5\displaystyle AB=5 și AC=10\displaystyle AC=10. Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC. Cateta AC\displaystyle AC este înălțime corespunzătoare bazei AB\displaystyle AB, deci aria este jumătate din produsul catetelor.
    AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}
  2. Înlocuim lungimile catetelor date, AB=5\displaystyle AB=5 și AC=10\displaystyle AC=10, în formula ariei.
    AΔABC=5⋅102\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{5\cdot 10}{2}
  3. Calculăm produsul de la numărător, 5⋅10=50\displaystyle 5\cdot 10=50, apoi împărțim la 2\displaystyle 2. Aria triunghiului este 25\displaystyle 25.
    5⋅102=502=25\displaystyle \frac{5\cdot 10}{2}=\frac{50}{2}=25
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1312)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\1&2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem formula determinantului de ordin 2: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Aplicăm formula pentru matricea A\displaystyle A, cu a=1\displaystyle a=1, b=3\displaystyle b=3, c=1\displaystyle c=1, d=2\displaystyle d=2: produsul de pe diagonala principală este 1⋅2\displaystyle 1\cdot 2, iar cel de pe diagonala secundară este 1⋅3\displaystyle 1\cdot 3.
    det⁡A=∣1312∣=1⋅2−1⋅3\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&3\\1&2\end{vmatrix}=1\cdot 2-1\cdot 3
  3. Calculăm produsele și facem scăderea: 2−3=−1\displaystyle 2-3=-1, deci det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡A=2−3=−1\displaystyle \det A=2-3=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1312)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\1&2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅A−3A=I2\displaystyle A\cdot A-3A=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind liniile matricei A\displaystyle A cu coloanele ei. Elementul din stânga sus este 1⋅1+3⋅1\displaystyle 1\cdot 1+3\cdot 1, cel din dreapta sus este 1⋅3+3⋅2\displaystyle 1\cdot 3+3\cdot 2, cel din stânga jos este 1⋅1+2⋅1\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 1, iar cel din dreapta jos este 1⋅3+2⋅2\displaystyle 1\cdot 3+2\cdot 2.
    A⋅A=(1+33+61+23+4)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1+3&3+6\\1+2&3+4\end{pmatrix}
  2. Efectuăm calculele din fiecare element și obținem matricea A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    A⋅A=(4937)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}4&9\\3&7\end{pmatrix}
  3. Calculăm 3A\displaystyle 3A, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 3\displaystyle 3.
    3A=(3936)\displaystyle 3A=\begin{pmatrix}3&9\\3&6\end{pmatrix}
  4. Scădem matricele element cu element: 4−3\displaystyle 4-3, 9−9\displaystyle 9-9, 3−3\displaystyle 3-3, 7−6\displaystyle 7-6. Rezultatul este matricea unitate I2\displaystyle I_2, deci egalitatea este demonstrată.
    A⋅A−3A=(4937)−(3936)=(1001)=I2\displaystyle A\cdot A-3A=\begin{pmatrix}4&9\\3&7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&9\\3&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1312)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\1&2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Se consideră matricea X=(1xy1)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&x\\y&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale. Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care A⋅X−X⋅A=(−21−12)\displaystyle A\cdot X-X\cdot A=\begin{pmatrix}-2&1\\-1&2\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅X\displaystyle A\cdot X, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui X\displaystyle X. Prima linie: 1⋅1+3⋅y\displaystyle 1\cdot 1+3\cdot y și 1⋅x+3⋅1\displaystyle 1\cdot x+3\cdot 1. A doua linie: 1⋅1+2⋅y\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot y și 1⋅x+2⋅1\displaystyle 1\cdot x+2\cdot 1.
    A⋅X=(1+3yx+31+2yx+2)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}1+3y&x+3\\1+2y&x+2\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul X⋅A\displaystyle X\cdot A. Prima linie: 1⋅1+x⋅1\displaystyle 1\cdot 1+x\cdot 1 și 1⋅3+x⋅2\displaystyle 1\cdot 3+x\cdot 2. A doua linie: y⋅1+1⋅1\displaystyle y\cdot 1+1\cdot 1 și y⋅3+1⋅2\displaystyle y\cdot 3+1\cdot 2.
    A⋅X=(1+3yx+31+2yx+2)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}1+3y&x+3\\1+2y&x+2\end{pmatrix}, X⋅A=(1+x3+2xy+13y+2)\displaystyle \ X\cdot A=\begin{pmatrix}1+x&3+2x\\y+1&3y+2\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element și reducem termenii asemenea: de exemplu, (1+3y)−(1+x)=3y−x\displaystyle (1+3y)-(1+x)=3y-x și (x+3)−(3+2x)=−x\displaystyle (x+3)-(3+2x)=-x.
    A⋅X−X⋅A=(3y−x−xyx−3y)\displaystyle A\cdot X-X\cdot A=\begin{pmatrix}3y-x&-x\\y&x-3y\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele de pe aceleași poziții cu cele ale matricei date. Din elementul de pe linia 1, coloana 2, obținem −x=1\displaystyle -x=1, deci x=−1\displaystyle x=-1. Din elementul de pe linia 2, coloana 1, obținem y=−1\displaystyle y=-1.
    −x=1\displaystyle -x=1, y=−1\displaystyle \ y=-1
  5. Verificăm cu celelalte două elemente: 3y−x=−3+1=−2\displaystyle 3y-x=-3+1=-2 și x−3y=−1+3=2\displaystyle x-3y=-1+3=2, deci toate egalitățile sunt satisfăcute. Răspuns: x=−1\displaystyle x=-1 și y=−1\displaystyle y=-1.
    x=−1 și y=−1\displaystyle x=-1\text{ și }y=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4xy+x+y\displaystyle x\circ y=4xy+x+y.

Arătați că 3∘2=29\displaystyle 3\circ 2=29.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∘y=4xy+x+y\displaystyle x\circ y=4xy+x+y. Pentru x=3\displaystyle x=3 și y=2\displaystyle y=2 înlocuim în formulă.
    3∘2=4⋅3⋅2+3+2\displaystyle 3\circ 2=4\cdot 3\cdot 2+3+2
  2. Calculăm produsul 4⋅3⋅2=24\displaystyle 4\cdot 3\cdot 2=24 și suma 3+2=5\displaystyle 3+2=5.
    4⋅3⋅2=24\displaystyle 4\cdot 3\cdot 2=24,3+2=5\displaystyle \quad 3+2=5
  3. Adunăm rezultatele: 24+5=29\displaystyle 24+5=29, deci 3∘2=29\displaystyle 3\circ 2=29, adică exact ce trebuia arătat.
    3∘2=24+5=29\displaystyle 3\circ 2=24+5=29
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4xy+x+y\displaystyle x\circ y=4xy+x+y.

Demonstrați că x∘y=(4x+1)(4y+1)−14\displaystyle x\circ y=\frac{(4x+1)(4y+1)-1}{4}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=4xy+x+y\displaystyle x\circ y=4xy+x+y și o scriem ca fracție cu numitorul 4\displaystyle 4, amplificând cu 4\displaystyle 4.
    x∘y=4(4xy+x+y)4=16xy+4x+4y4\displaystyle x\circ y=\frac{4(4xy+x+y)}{4}=\frac{16xy+4x+4y}{4}
  2. Adunăm și scădem 1\displaystyle 1 la numărător, fără să schimbăm valoarea fracției.
    x∘y=16xy+4x+4y+1−14\displaystyle x\circ y=\frac{16xy+4x+4y+1-1}{4}
  3. Din 16xy+4x\displaystyle 16xy+4x dăm factor comun 4x\displaystyle 4x, obținând 4x(4y+1)\displaystyle 4x(4y+1). Termenii 4y+1\displaystyle 4y+1 rămân grupați.
    x∘y=4x(4y+1)+(4y+1)−14\displaystyle x\circ y=\frac{4x(4y+1)+(4y+1)-1}{4}
  4. Dăm factor comun 4y+1\displaystyle 4y+1 în 4x(4y+1)+(4y+1)\displaystyle 4x(4y+1)+(4y+1) și obținem (4x+1)(4y+1)\displaystyle (4x+1)(4y+1). Astfel egalitatea cerută este demonstrată pentru orice x,y\displaystyle x,y reale.
    x∘y=(4x+1)(4y+1)−14\displaystyle x\circ y=\frac{(4x+1)(4y+1)-1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4xy+x+y\displaystyle x\circ y=4xy+x+y.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x\displaystyle x pentru care x∘x≤2\displaystyle x\circ x\le 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii: x∘x=4x⋅x+x+x=4x2+2x\displaystyle x\circ x=4x\cdot x+x+x=4x^{2}+2x.
    x∘x=4x2+2x\displaystyle x\circ x=4x^{2}+2x
  2. Scriem expresia ca pătrat perfect: 4x2+2x=16x2+8x4\displaystyle 4x^{2}+2x=\dfrac{16x^{2}+8x}{4}, iar 16x2+8x=(4x+1)2−1\displaystyle 16x^{2}+8x=(4x+1)^{2}-1. Obținem x∘x=(4x+1)2−14\displaystyle x\circ x=\dfrac{(4x+1)^{2}-1}{4}.
    x∘x=(4x+1)2−14\displaystyle x\circ x=\dfrac{(4x+1)^{2}-1}{4}
  3. Scriem inegalitatea x∘x≤2\displaystyle x\circ x\le 2 cu această formă: (4x+1)2−14≤2\displaystyle \dfrac{(4x+1)^{2}-1}{4}\le 2. Înmulțim cu 4\displaystyle 4 și adunăm 1\displaystyle 1: (4x+1)2≤9\displaystyle (4x+1)^{2}\le 9.
    (4x+1)2≤9\displaystyle (4x+1)^{2}\le 9
  4. Inegalitatea (4x+1)2≤9\displaystyle (4x+1)^{2}\le 9 este echivalentă cu ∣4x+1∣≤3\displaystyle |4x+1|\le 3, adică −3≤4x+1≤3\displaystyle -3\le 4x+1\le 3. Scădem 1\displaystyle 1: −4≤4x≤2\displaystyle -4\le 4x\le 2, apoi împărțim la 4\displaystyle 4: −1≤x≤12\displaystyle -1\le x\le \dfrac{1}{2}. Mulțimea cerută este intervalul [−1,12]\displaystyle \left[-1,\dfrac{1}{2}\right].
    x∈[−1,12]\displaystyle x\in\left[-1,\dfrac{1}{2}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+xx2+1\displaystyle f(x)=e^x+\frac{x}{x^2+1}.

Arătați că f′(x)=ex+1−x2(x2+1)2\displaystyle f'(x)=e^x+\frac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este o sumă, deci o derivăm termen cu termen: (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x, iar xx2+1\displaystyle \dfrac{x}{x^2+1} se derivează cu regula câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
    f′(x)=(ex)′+(xx2+1)′\displaystyle f'(x)=(e^x)'+\left(\frac{x}{x^2+1}\right)'
  2. Luăm u(x)=x\displaystyle u(x)=x și v(x)=x2+1\displaystyle v(x)=x^2+1. Atunci u′(x)=1\displaystyle u'(x)=1 și v′(x)=2x\displaystyle v'(x)=2x.
    u′(x)=1\displaystyle u'(x)=1,v′(x)=2x\displaystyle \quad v'(x)=2x
  3. Înlocuim în formula câtului: u′v−uv′=1⋅(x2+1)−x⋅2x\displaystyle u'v-uv'=1\cdot\left(x^2+1\right)-x\cdot 2x, iar numitorul este (x2+1)2\displaystyle \left(x^2+1\right)^2.
    f′(x)=ex+1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=e^x+\frac{1\cdot\left(x^2+1\right)-x\cdot 2x}{\left(x^2+1\right)^2}
  4. Efectuăm calculele la numărător: x2+1−2x2=1−x2\displaystyle x^2+1-2x^2=1-x^2. Rezultă formula cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece x2+1≠0\displaystyle x^2+1\neq 0.
    ex+x2+1−2x2(x2+1)2=ex+1−x2(x2+1)2\displaystyle e^x+\frac{x^2+1-2x^2}{\left(x^2+1\right)^2}=e^x+\frac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+xx2+1\displaystyle f(x)=e^x+\frac{x}{x^2+1}.

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞\displaystyle -\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre −∞\displaystyle -\infty are ecuația y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to-\infty}f(x), dacă această limită există și este finită. Studiem separat cei doi termeni ai sumei.
    L=lim⁡x→−∞(ex+xx2+1)\displaystyle L=\lim_{x\to-\infty}\left(e^{x}+\frac{x}{x^{2}+1}\right)
  2. Pentru primul termen, ex\displaystyle e^{x} tinde la 0\displaystyle 0 când x→−∞\displaystyle x\to-\infty.
    lim⁡x→−∞ex=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{x}=0
  3. Pentru al doilea termen, împărțim numărătorul și numitorul la x≠0\displaystyle x\neq 0 și obținem xx2+1=1x+1x\displaystyle \dfrac{x}{x^{2}+1}=\dfrac{1}{x+\frac{1}{x}}.
    xx2+1=1x+1x\displaystyle \frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}
  4. Când x→−∞\displaystyle x\to-\infty, avem x→−∞\displaystyle x\to-\infty și 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0, deci numitorul x+1x→−∞\displaystyle x+\dfrac{1}{x}\to-\infty, iar fracția tinde la 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→−∞1x+1x=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x+\frac{1}{x}}=0
  5. Adunăm limitele celor doi termeni, ambele egale cu 0\displaystyle 0, deci limita lui f\displaystyle f la −∞\displaystyle -\infty este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞(ex+1x+1x)=0+0=0\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(e^{x}+\frac{1}{x+\frac{1}{x}}\right)=0+0=0
  6. Limita este finită și egală cu 0\displaystyle 0, deci graficul funcției f\displaystyle f admite spre −∞\displaystyle -\infty asimptota orizontală de ecuație y=0\displaystyle y=0.
    y=0\displaystyle y=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ex+xx2+1\displaystyle f(x)=e^x+\frac{x}{x^2+1}.

Demonstrați că 2−e2e≤f(x)≤2e+12\displaystyle \frac{2-e}{2e}\le f(x)\le\frac{2e+1}{2}, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f. Derivata lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, iar pentru fracție folosim formula derivatei unui cât: (xx2+1)′=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2\displaystyle \left(\dfrac{x}{x^2+1}\right)'=\dfrac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}.
    f′(x)=ex+x2+1−2x2(x2+1)2\displaystyle f'(x)=e^x+\dfrac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}
  2. Simplificăm numărătorul fracției: x2+1−2x2=1−x2\displaystyle x^2+1-2x^2=1-x^2.
    f′(x)=ex+1−x2(x2+1)2\displaystyle f'(x)=e^x+\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}
  3. Pentru x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1] avem x2≤1\displaystyle x^2\le 1, deci 1−x2≥0\displaystyle 1-x^2\ge 0. Numitorul (x2+1)2\displaystyle (x^2+1)^2 este strict pozitiv, deci fracția este ≥0\displaystyle \ge 0, iar ex>0\displaystyle e^x>0. Rezultă f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, deci f\displaystyle f este crescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1]. Atunci f(−1)≤f(x)≤f(1)\displaystyle f(-1)\le f(x)\le f(1).
    x∈[−1,1]⇒1−x2≥0⇒f′(x)≥0⇒f(−1)≤f(x)≤f(1)\displaystyle x\in[-1,1]\Rightarrow 1-x^2\ge 0\Rightarrow f'(x)\ge 0\Rightarrow f(-1)\le f(x)\le f(1)
  4. Calculăm f(−1)=e−1+−11+1=1e−12\displaystyle f(-1)=e^{-1}+\dfrac{-1}{1+1}=\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{2}. Aducem la numitor comun 2e\displaystyle 2e: 2−e2e\displaystyle \dfrac{2-e}{2e}.
    f(−1)=1e−12=2−e2e\displaystyle f(-1)=\dfrac{1}{e}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-e}{2e}
  5. Calculăm f(1)=e+11+1=e+12=2e+12\displaystyle f(1)=e+\dfrac{1}{1+1}=e+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2e+1}{2}. Din monotonie obținem inegalitatea cerută pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1].
    f(−1)=2−e2e\displaystyle f(-1)=\dfrac{2-e}{2e}, f(1)=2e+12⇒2−e2e≤f(x)≤2e+12\displaystyle \ f(1)=\dfrac{2e+1}{2}\Rightarrow \dfrac{2-e}{2e}\le f(x)\le\dfrac{2e+1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,+∞)→R\displaystyle f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x+1)x\displaystyle f(x)=(x+1)\sqrt{x}.

Arătați că ∫12f(x)x dx=52\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\,dx=\frac{5}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=(x+1)x\displaystyle f(x)=(x+1)\sqrt{x} în integrala dată.
    ∫12(x+1)xx dx\displaystyle \int_1^2\frac{(x+1)\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx
  2. Pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] avem x>0\displaystyle \sqrt{x}>0, deci putem simplifica fracția prin x\displaystyle \sqrt{x}. Rămâne de integrat x+1\displaystyle x+1.
    ∫12f(x)x dx=∫12(x+1) dx\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\,dx=\int_1^2(x+1)\,dx
  3. O primitivă a lui x+1\displaystyle x+1 este x22+x\displaystyle \dfrac{x^2}{2}+x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫12(x+1) dx=(x22+x)∣12\displaystyle \int_1^2(x+1)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_1^2
  4. Calculăm primitiva în 2\displaystyle 2: 42+2=4\displaystyle \dfrac{4}{2}+2=4, apoi în 1\displaystyle 1: 12+1=32\displaystyle \dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}, și facem diferența.
    (2+2)−(12+1)=4−32\displaystyle (2+2)-\left(\frac{1}{2}+1\right)=4-\frac{3}{2}
  5. Efectuăm scăderea: 4−32=82−32=52\displaystyle 4-\dfrac{3}{2}=\dfrac{8}{2}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    ∫12f(x)x dx=52\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\,dx=\frac{5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,+∞)→R\displaystyle f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x+1)x\displaystyle f(x)=(x+1)\sqrt{x}.

Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[0,1]→R\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)\displaystyle g(x)=f(x), este egal cu 17π12\displaystyle \frac{17\pi}{12}.
Vezi rezolvarea
  1. Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui g\displaystyle g în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx, unde g(x)=(x+1)x\displaystyle g(x)=(x+1)\sqrt{x}.
    V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx
  2. Calculăm g2(x)=(x+1)2⋅(x)2\displaystyle g^2(x)=(x+1)^2\cdot\left(\sqrt{x}\right)^2. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem (x)2=x\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)^2=x, deci g2(x)=x(x+1)2\displaystyle g^2(x)=x(x+1)^2.
    V=π∫01x(x+1)2 dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 x(x+1)^2\,dx
  3. Folosim (x+1)2=x2+2x+1\displaystyle (x+1)^2=x^2+2x+1 și înmulțim cu x\displaystyle x: x(x+1)2=x3+2x2+x\displaystyle x(x+1)^2=x^3+2x^2+x.
    V=π∫01(x3+2x2+x)dx\displaystyle V=\pi\int_0^1\left(x^3+2x^2+x\right)dx
  4. Integrăm termen cu termen, folosind ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, și obținem primitiva x44+2x33+x22\displaystyle \dfrac{x^4}{4}+\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}.
    V=π(x44+2x33+x22)∣01\displaystyle V=\pi\left(\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1
  5. Pentru x=0\displaystyle x=0 primitiva este 0\displaystyle 0, iar pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 14+23+12=312+812+612=1712\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{8}{12}+\dfrac{6}{12}=\dfrac{17}{12}. Deci volumul este 17π12\displaystyle \dfrac{17\pi}{12}.
    V=π(14+23+12)=17π12\displaystyle V=\pi\left(\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{17\pi}{12}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:[0,+∞)→R\displaystyle f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x+1)x\displaystyle f(x)=(x+1)\sqrt{x}.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că ∫1ef(x)xln⁡xx+1 dx=e2+a4\displaystyle \int_1^e\frac{f(x)\sqrt{x}\ln x}{x+1}\,dx=\frac{e^2+a}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=(x+1)x\displaystyle f(x)=(x+1)\sqrt{x} în integrand: (x+1)x⋅xln⁡xx+1\displaystyle \dfrac{(x+1)\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}\ln x}{x+1}. Simplificăm cu x+1\displaystyle x+1 și folosim x⋅x=x\displaystyle \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x.
    ∫1ef(x)xln⁡xx+1 dx=∫1exln⁡x dx\displaystyle \int_1^e\frac{f(x)\sqrt{x}\ln x}{x+1}\,dx=\int_1^e x\ln x\,dx
  2. Pentru integrarea prin părți observăm că x=(x22)′\displaystyle x=\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)', deci alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=(x22)′dx\displaystyle dv=\left(\dfrac{x^{2}}{2}\right)'dx.
    ∫1exln⁡x dx=∫1e(x22)′ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e x\ln x\,dx=\int_1^e\left(\frac{x^2}{2}\right)'\ln x\,dx
  3. Aplicăm formula de integrare prin părți. Termenul tabelar este x22ln⁡x∣1e=e22⋅1−12⋅0=e22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^e=\dfrac{e^2}{2}\cdot 1-\dfrac{1}{2}\cdot 0=\dfrac{e^2}{2}, deoarece ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0. În noua integrală, x22⋅1x=x2\displaystyle \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{2}.
    x22ln⁡x∣1e−∫1ex22⋅1x dx=e22−12∫1ex dx\displaystyle \frac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx=\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\int_1^e x\,dx
  4. Primitiva lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}, deci ∫1ex dx=x22∣1e=e22−12\displaystyle \displaystyle\int_1^e x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\Big|_1^e=\dfrac{e^2}{2}-\dfrac{1}{2}.
    e22−12⋅x22∣1e=e22−e24+14\displaystyle \frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}
  5. Reducem: e22−e24=e24\displaystyle \dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2}{4}=\dfrac{e^2}{4}, deci integrala este e2+14\displaystyle \dfrac{e^2+1}{4}. Comparând cu e2+a4\displaystyle \dfrac{e^2+a}{4} obținem a=1\displaystyle a=1.
    e2+14, deci a=1\displaystyle \frac{e^2+1}{4}\text{, deci }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.