Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 7: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 25⋅(23+1)−(2−43)=0\displaystyle \frac{2}{5}\cdot\left(\frac{2}{3}+1\right)-\left(2-\frac{4}{3}\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem la același numitor în prima paranteză: 23+1=23+33=2+33\displaystyle \dfrac{2}{3}+1=\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{3}=\dfrac{2+3}{3}.
    23+1=2+33=53\displaystyle \frac{2}{3}+1=\frac{2+3}{3}=\frac{5}{3}
  2. Aducem la același numitor în a doua paranteză: 2−43=63−43=6−43\displaystyle 2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{6}{3}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{6-4}{3}.
    2−43=6−43=23\displaystyle 2-\frac{4}{3}=\frac{6-4}{3}=\frac{2}{3}
  3. Înlocuim cele două paranteze în expresia dată și obținem expresia de mai jos.
    25⋅2+33−6−43\displaystyle \frac{2}{5}\cdot\frac{2+3}{3}-\frac{6-4}{3}
  4. Efectuăm înmulțirea; simplificăm factorul 5\displaystyle 5 de la numitorul primei fracții cu cel de la numărătorul celei de-a doua: 25⋅53=23\displaystyle \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{2}{3}.
    25⋅53−23=23−23\displaystyle \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{3}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}
  5. Scădem cele două fracții egale și obținem 0\displaystyle 0, deci egalitatea cerută este adevărată.
    23−23=0\displaystyle \frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care graficul funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−mx+3\displaystyle f(x)=x^2-mx+3 conține punctul A(2,5)\displaystyle A(2,5).
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(2,5)\displaystyle A(2,5) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(2)=5\displaystyle f(2)=5, adică ordonata punctului este valoarea funcției în abscisa punctului.
    f(2)=5\displaystyle f(2)=5
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în formula funcției f(x)=x2−mx+3\displaystyle f(x)=x^2-mx+3 și egalăm cu 5\displaystyle 5.
    22−2m+3=5\displaystyle 2^2-2m+3=5
  3. Calculăm 22=4\displaystyle 2^2=4 și adunăm cu 3\displaystyle 3, obținând 7−2m=5\displaystyle 7-2m=5.
    7−2m=5\displaystyle 7-2m=5
  4. Mutăm termenul 2m\displaystyle 2m în partea dreaptă și pe 5\displaystyle 5 în stânga: 7−5=2m\displaystyle 7-5=2m, deci 2m=2\displaystyle 2m=2.
    2m=2\displaystyle 2m=2
  5. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem m=1\displaystyle m=1. Verificare: f(x)=x2−x+3\displaystyle f(x)=x^2-x+3, iar f(2)=4−2+3=5\displaystyle f(2)=4-2+3=5.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+4−2=x\displaystyle \sqrt{x+4}-2=x.
Vezi rezolvarea
  1. Izolăm radicalul: mutăm termenul 2\displaystyle 2 în partea dreaptă. Ecuația devine x+4=x+2\displaystyle \sqrt{x+4}=x+2. Condiția de existență a radicalului este x+4≥0\displaystyle x+4\ge 0, adică x≥−4\displaystyle x\ge -4, iar pentru că radicalul este nenegativ, trebuie ca x+2≥0\displaystyle x+2\ge 0, adică x≥−2\displaystyle x\ge -2.
    x+4=x+2\displaystyle \sqrt{x+4}=x+2,x≥−2\displaystyle \quad x\ge -2
  2. Ridicăm ecuația la pătrat, apoi dezvoltăm pătratul din partea dreaptă: (x+2)2=x2+4x+4\displaystyle (x+2)^2=x^2+4x+4.
    x+4=(x+2)2=x2+4x+4\displaystyle x+4=(x+2)^2=x^2+4x+4
  3. Mutăm toți termenii în partea dreaptă și reducem termenii asemenea: obținem x2+3x=0\displaystyle x^2+3x=0.
    x2+3x=0\displaystyle x^2+3x=0
  4. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(x+3)=0\displaystyle x(x+3)=0. Rezultă x=0\displaystyle x=0 sau x=−3\displaystyle x=-3.
    x(x+3)=0⇒x=0 sau x=−3\displaystyle x(x+3)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=-3
  5. Verificăm soluțiile. Pentru x=−3\displaystyle x=-3: 1−2=−1≠−3\displaystyle \sqrt{1}-2=-1\ne -3 (de fapt x=−3\displaystyle x=-3 nu respectă condiția x≥−2\displaystyle x\ge -2), deci nu convine. Pentru x=0\displaystyle x=0: 4−2=0\displaystyle \sqrt{4}-2=0, egal cu x\displaystyle x, deci convine. Singura soluție este x=0\displaystyle x=0.
    x=−3, care nu convine sau x=0, care convine\displaystyle x=-3\text{, care nu convine sau }x=0\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele egale.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}, când toate numerele au aceeași șansă de a fi alese.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 până la 99\displaystyle 99. Numărul lor este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90. Acesta este numărul cazurilor posibile.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  3. Numerele de două cifre cu cifre egale sunt 11,22,33,44,55,66,77,88,99\displaystyle 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Sunt 9\displaystyle 9 numere, deci 9\displaystyle 9 cazuri favorabile.
    9\displaystyle 9
  4. Înlocuim în formulă: p=990\displaystyle p=\dfrac{9}{90}, apoi simplificăm fracția prin 9\displaystyle 9 și obținem 110\displaystyle \dfrac{1}{10}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=990=110\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,1)\displaystyle A(-1,1) și B(2,−2)\displaystyle B(2,-2). Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B și C(4,a)\displaystyle C(4,a) sunt coliniare.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula mAB=yB−yAxB−xA=−2−12−(−1)=−33\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-2-1}{2-(-1)}=\dfrac{-3}{3}.
    mAB=−1\displaystyle m_{AB}=-1
  2. Calculăm panta dreptei AC\displaystyle AC: mAC=a−14−(−1)=a−15\displaystyle m_{AC}=\dfrac{a-1}{4-(-1)}=\dfrac{a-1}{5}.
    mAC=a−15\displaystyle m_{AC}=\dfrac{a-1}{5}
  3. Punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B, C\displaystyle C sunt coliniare dacă mAB=mAC\displaystyle m_{AB}=m_{AC}, adică −1=a−15\displaystyle -1=\dfrac{a-1}{5}.
    −1=a−15\displaystyle -1=\dfrac{a-1}{5}
  4. Înmulțim cu 5\displaystyle 5: a−1=−5\displaystyle a-1=-5, de unde a=−5+1\displaystyle a=-5+1.
    a=−4\displaystyle a=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Diagonala pătratului MNPQ\displaystyle MNPQ are lungimea de 62\displaystyle 6\sqrt{2}. Calculați perimetrul acestui pătrat.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm latura pătratului cu l\displaystyle l. Din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic isoscel MNP\displaystyle MNP avem d2=l2+l2=2l2\displaystyle d^{2}=l^{2}+l^{2}=2l^{2}, deci d=l2\displaystyle d=l\sqrt{2}.
    d=l2\displaystyle d=l\sqrt{2}
  2. Înlocuim d=62\displaystyle d=6\sqrt{2} și obținem l2=62\displaystyle l\sqrt{2}=6\sqrt{2}. Împărțim cu 2\displaystyle \sqrt{2} și obținem l=6\displaystyle l=6.
    MN=l=6\displaystyle MN=l=6
  3. Perimetrul pătratului este PMNPQ=4⋅MN=4⋅6=24\displaystyle P_{MNPQ}=4\cdot MN=4\cdot 6=24.
    PMNPQ=4⋅MN=24\displaystyle P_{MNPQ}=4\cdot MN=24
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1101)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} și B=(1011)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A−B)=1\displaystyle \det(A-B)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem matricele element cu element: A−B=(1101)−(1011)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}.
    A−B=(1−11−00−11−1)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}1-1&1-0\\0-1&1-1\end{pmatrix}
  2. Efectuăm scăderile și obținem A−B=(01−10)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}.
    A−B=(01−10)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}
  3. Aplicăm formula determinantului de ordinul doi, adică produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară: det⁡(A−B)=∣01−10∣=0⋅0−(−1)⋅1\displaystyle \det(A-B)=\begin{vmatrix}0&1\\-1&0\end{vmatrix}=0\cdot 0-(-1)\cdot 1.
    det⁡(A−B)=0⋅0−(−1)⋅1\displaystyle \det(A-B)=0\cdot 0-(-1)\cdot 1
  4. Calculăm produsele: 0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0=0 și (−1)⋅1=−1\displaystyle (-1)\cdot 1=-1. Deci det⁡(A−B)=0−(−1)=1\displaystyle \det(A-B)=0-(-1)=1.
    det⁡(A−B)=0−(−1)=1\displaystyle \det(A-B)=0-(-1)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1101)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} și B=(1011)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}.

Demonstrați că matricea C=A⋅A+B⋅B\displaystyle C=A\cdot A+B\cdot B nu este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană: A⋅A=(1101)(1101)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}.
    A⋅A=(1⋅1+1⋅01⋅1+1⋅10⋅1+1⋅00⋅1+1⋅1)=(1201)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1\cdot 1+1\cdot 0&1\cdot 1+1\cdot 1\\0\cdot 1+1\cdot 0&0\cdot 1+1\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B⋅B\displaystyle B\cdot B în același mod: B⋅B=(1011)(1011)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}.
    B⋅B=(1⋅1+0⋅11⋅0+0⋅11⋅1+1⋅11⋅0+1⋅1)=(1021)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}1\cdot 1+0\cdot 1&1\cdot 0+0\cdot 1\\1\cdot 1+1\cdot 1&1\cdot 0+1\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}
  3. Adunăm cele două matrice, element cu element, și obținem matricea C\displaystyle C.
    C=(1201)+(1021)=(2222)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul matricei C\displaystyle C. O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul: det⁡C=2⋅2−2⋅2\displaystyle \det C=2\cdot 2-2\cdot 2.
    det⁡C=∣2222∣=4−4=0\displaystyle \det C=\begin{vmatrix}2&2\\2&2\end{vmatrix}=4-4=0
  5. Deoarece det⁡C=0\displaystyle \det C=0, matricea C\displaystyle C nu este inversabilă.
    det⁡C=0, deci matricea C nu este inversabila˘\displaystyle \det C=0\text{, deci matricea }C\text{ nu este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1101)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} și B=(1011)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care A⋅X=X⋅B\displaystyle A\cdot X=X\cdot B, unde X=(12xy)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&2\\x&y\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅X\displaystyle A\cdot X. Înmulțim fiecare linie a lui A\displaystyle A cu coloanele lui X\displaystyle X: prima linie (1, 1)\displaystyle (1,\ 1) cu prima coloană (1x)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\x\end{pmatrix} dă 1⋅1+1⋅x=1+x\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot x=1+x, iar cu a doua coloană (2y)\displaystyle \begin{pmatrix}2\\y\end{pmatrix} dă 1⋅2+1⋅y=2+y\displaystyle 1\cdot 2+1\cdot y=2+y. A doua linie (0, 1)\displaystyle (0,\ 1) dă x\displaystyle x și y\displaystyle y. Astfel, A⋅X=(1+x2+yxy)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}1+x&2+y\\x&y\end{pmatrix}.
    A⋅X=(1+x2+yxy)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}1+x&2+y\\x&y\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul X⋅B\displaystyle X\cdot B. Prima linie a lui X\displaystyle X, (1, 2)\displaystyle (1,\ 2), cu prima coloană a lui B\displaystyle B, (11)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, dă 1+2=3\displaystyle 1+2=3, iar cu a doua coloană (01)\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} dă 2\displaystyle 2. A doua linie (x, y)\displaystyle (x,\ y) dă x+y\displaystyle x+y și y\displaystyle y. Astfel, X⋅B=(32x+yy)\displaystyle X\cdot B=\begin{pmatrix}3&2\\x+y&y\end{pmatrix}.
    A⋅X=(1+x2+yxy), X⋅B=(32x+yy)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}1+x&2+y\\x&y\end{pmatrix}\text{, }X\cdot B=\begin{pmatrix}3&2\\x+y&y\end{pmatrix}
  3. Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale. Scriem cele patru egalități: 1+x=3\displaystyle 1+x=3, 2+y=2\displaystyle 2+y=2, x=x+y\displaystyle x=x+y, y=y\displaystyle y=y.
    {1+x=32+y=2x=x+yy=y\displaystyle \begin{cases}1+x=3\\2+y=2\\x=x+y\\y=y\end{cases}
  4. Din 1+x=3\displaystyle 1+x=3 obținem x=2\displaystyle x=2, iar din 2+y=2\displaystyle 2+y=2 obținem y=0\displaystyle y=0. Celelalte două egalități sunt verificate: x=x+0\displaystyle x=x+0 și y=y\displaystyle y=y. Deci valorile găsite convin.
    x=2 și y=0, care convin\displaystyle x=2\text{ și }y=0\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+1x+y\displaystyle x*y=\frac{xy+1}{x+y}.

Arătați că 1∗1=1\displaystyle 1*1=1.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=xy+1x+y\displaystyle x*y=\dfrac{xy+1}{x+y}. Pentru a calcula 1∗1\displaystyle 1*1, înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1.
    1∗1=1⋅1+11+1\displaystyle 1*1=\dfrac{1\cdot 1+1}{1+1}
  2. Numărătorul este 1⋅1+1=2\displaystyle 1\cdot 1+1=2, iar numitorul este 1+1=2\displaystyle 1+1=2.
    1⋅1+11+1=22\displaystyle \dfrac{1\cdot 1+1}{1+1}=\dfrac{2}{2}
  3. Simplificăm fracția: 22=1\displaystyle \dfrac{2}{2}=1, deci 1∗1=1\displaystyle 1*1=1, ceea ce trebuia demonstrat.
    1∗1=22=1\displaystyle 1*1=\dfrac{2}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+1x+y\displaystyle x*y=\frac{xy+1}{x+y}.

Determinați numărul x∈M\displaystyle x\in M pentru care x∗2=32\displaystyle x*2=\frac{3}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru x∗2\displaystyle x*2: în formula xy+1x+y\displaystyle \dfrac{xy+1}{x+y} punem y=2\displaystyle y=2. Obținem 2x+1x+2\displaystyle \dfrac{2x+1}{x+2}. Condiția x∈M\displaystyle x\in M înseamnă x>0\displaystyle x>0, deci numitorul x+2\displaystyle x+2 este nenul.
    x∗2=2x+1x+2\displaystyle x*2=\frac{2x+1}{x+2}
  2. Scriem ecuația x∗2=32\displaystyle x*2=\dfrac{3}{2}, adică 2x+1x+2=32\displaystyle \dfrac{2x+1}{x+2}=\dfrac{3}{2}.
    2x+1x+2=32\displaystyle \frac{2x+1}{x+2}=\frac{3}{2}
  3. Eliminăm numitorii prin înmulțire pe diagonală: 2(2x+1)=3(x+2)\displaystyle 2(2x+1)=3(x+2). Desfacem parantezele: 4x+2=3x+6\displaystyle 4x+2=3x+6.
    4x+2=3x+6\displaystyle 4x+2=3x+6
  4. Trecem termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: 4x−3x=6−2\displaystyle 4x-3x=6-2, deci x=4\displaystyle x=4. Verificăm: 4>0\displaystyle 4>0, deci 4∈M\displaystyle 4\in M și soluția convine.
    x=4, care convine\displaystyle x=4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy+1x+y\displaystyle x*y=\frac{xy+1}{x+y}.

Calculați lg⁡2∗lg⁡4∗lg⁡6∗lg⁡8∗lg⁡10\displaystyle \lg 2*\lg 4*\lg 6*\lg 8*\lg 10.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗1\displaystyle x*1 pentru orice x∈M\displaystyle x\in M, folosind definiția legii: x∗1=x⋅1+1x+1\displaystyle x*1=\dfrac{x\cdot 1+1}{x+1}.
    x∗1=x+1x+1\displaystyle x*1=\dfrac{x+1}{x+1}
  2. Deoarece x>0\displaystyle x>0, avem x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0, deci fracția se simplifică și obținem 1\displaystyle 1. Aceasta este proprietatea de care avem nevoie.
    x∗1=1, unde x∈M\displaystyle x*1=1\text{, unde }x\in M
  3. Observăm că lg⁡10=1\displaystyle \lg 10=1. De asemenea, numerele lg⁡2\displaystyle \lg 2, lg⁡4\displaystyle \lg 4, lg⁡6\displaystyle \lg 6, lg⁡8\displaystyle \lg 8 sunt pozitive, deci aparțin lui M\displaystyle M.
    lg⁡10=1\displaystyle \lg 10=1
  4. Legea este asociativă, deci putem grupa primii patru termeni și îl lăsăm pe lg⁡10\displaystyle \lg 10 la sfârșit.
    lg⁡2∗lg⁡4∗lg⁡6∗lg⁡8∗lg⁡10=(lg⁡2∗lg⁡4∗lg⁡6∗lg⁡8)∗lg⁡10\displaystyle \lg 2*\lg 4*\lg 6*\lg 8*\lg 10=(\lg 2*\lg 4*\lg 6*\lg 8)*\lg 10
  5. Înlocuim lg⁡10\displaystyle \lg 10 cu 1\displaystyle 1. Elementul dintre paranteze, notat cu x\displaystyle x, este în M\displaystyle M, deci aplicăm proprietatea x∗1=1\displaystyle x*1=1 și obținem rezultatul final.
    (lg⁡2∗lg⁡4∗lg⁡6∗lg⁡8)∗lg⁡10=(lg⁡2∗lg⁡4∗lg⁡6∗lg⁡8)∗1=1\displaystyle (\lg 2*\lg 4*\lg 6*\lg 8)*\lg 10=(\lg 2*\lg 4*\lg 6*\lg 8)*1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)={x2020+1,x∈(0,1]x+1x,x∈(1,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^{2020}+1,&x\in(0,1]\\\frac{x+1}{x},&x\in(1,+\infty)\end{cases}.

Arătați că funcția f\displaystyle f este continuă în x0=1\displaystyle x_0=1.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este continuă în x0=1\displaystyle x_0=1 dacă limita la stânga, limita la dreapta și valoarea f(1)\displaystyle f(1) sunt egale. Cum 1∈(0,1]\displaystyle 1\in(0,1], folosim prima formulă pentru f(1)\displaystyle f(1).
    f(1)=12020+1=2\displaystyle f(1)=1^{2020}+1=2
  2. Calculăm limita la stânga în 1. Pentru x<1\displaystyle x<1 avem f(x)=x2020+1\displaystyle f(x)=x^{2020}+1, o funcție polinomială, deci înlocuim direct x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→1x<1f(x)=lim⁡x→1x<1(x2020+1)=12020+1=2\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}f(x)=\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}}\left(x^{2020}+1\right)=1^{2020}+1=2
  3. Calculăm limita la dreapta în 1. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{x}, iar numitorul nu se anulează în 1\displaystyle 1, deci înlocuim direct x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→1x>1f(x)=lim⁡x→1x>1x+1x=1+11=2\displaystyle \lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}f(x)=\lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}\frac{x+1}{x}=\frac{1+1}{1}=2
  4. Limitele laterale sunt egale între ele și egale cu f(1)\displaystyle f(1), deci limita în 1\displaystyle 1 există și este egală cu f(1)\displaystyle f(1). Prin urmare, funcția f\displaystyle f este continuă în x0=1\displaystyle x_0=1.
    lim⁡x→1f(x)=2=f(1), deci f este continua˘ ıˆn x0=1\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)=2=f(1)\text{, deci }f\text{ este continuă în }x_0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)={x2020+1,x∈(0,1]x+1x,x∈(1,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^{2020}+1,&x\in(0,1]\\\frac{x+1}{x},&x\in(1,+\infty)\end{cases}.

Determinați ecuația asimptotei spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty putem considera x>1\displaystyle x>1, deci folosim a doua ramură a funcției: f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{x}.
    f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x}, x>1\displaystyle \ x>1
  2. Scriem limita funcției la +∞\displaystyle +\infty și dăm factor comun x\displaystyle x la numărător: x+1=x(1+1x)\displaystyle x+1=x\left(1+\dfrac{1}{x}\right).
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x+1x=lim⁡x→+∞x(1+1x)x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{x}
  3. Simplificăm cu x\displaystyle x și folosim faptul că 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Obținem limita 1\displaystyle 1.
    lim⁡x→+∞(1+1x)=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)=1
  4. Limita fiind un număr real finit, graficul are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty, de ecuație y=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle y=\lim_{x\to+\infty}f(x), adică y=1\displaystyle y=1.
    y=1\displaystyle y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)={x2020+1,x∈(0,1]x+1x,x∈(1,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^{2020}+1,&x\in(0,1]\\\frac{x+1}{x},&x\in(1,+\infty)\end{cases}.

Demonstrați că funcția f′\displaystyle f' este crescătoare pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) funcția este f(x)=x+1x\displaystyle f(x)=\dfrac{x+1}{x}. O scriem ca o sumă, ca să derivăm mai ușor: f(x)=1+1x\displaystyle f(x)=1+\dfrac{1}{x}.
    f(x)=1+1x=1+x−1\displaystyle f(x)=1+\dfrac{1}{x}=1+x^{-1}
  2. Derivăm: derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0, iar (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}. Deci f′(x)=−1x2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}} pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
    f′(x)=−1x2\displaystyle f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}
  3. Calculăm derivata a doua: scriem f′(x)=−x−2\displaystyle f'(x)=-x^{-2} și derivăm, obținând f′′(x)=−(−2)x−3=2x3\displaystyle f''(x)=-(-2)x^{-3}=\dfrac{2}{x^{3}}.
    f′′(x)=2x3\displaystyle f''(x)=\dfrac{2}{x^{3}}
  4. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem x3>0\displaystyle x^{3}>0, deci 2x3>0\displaystyle \dfrac{2}{x^{3}}>0. Așadar f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0 pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty), deci f′\displaystyle f' este crescătoare pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    f′′(x)>0, pentru orice x∈(1,+∞), deci f′ este cresca˘toare pe (1,+∞)\displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)\text{, deci }f'\text{ este crescătoare pe }(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x} și g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=exln⁡x\displaystyle g(x)=e^x\ln x.

Arătați că ∫12xf(x) dx=e(e−1)\displaystyle \int_1^2 x f(x)\,dx=e(e-1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=exx\displaystyle f(x)=\dfrac{e^{x}}{x} în expresia de sub integrală: xf(x)=x⋅exx\displaystyle x f(x)=x\cdot\dfrac{e^{x}}{x}.
    xf(x)=x⋅exx\displaystyle x f(x)=x\cdot\dfrac{e^{x}}{x}
  2. Pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] avem x≠0\displaystyle x\neq 0, deci putem simplifica cu x\displaystyle x și obținem xf(x)=ex\displaystyle x f(x)=e^{x}. Atunci integrala devine o integrală imediată.
    ∫12xf(x) dx=∫12ex dx\displaystyle \int_1^2 x f(x)\,dx=\int_1^2 e^{x}\,dx
  3. O primitivă a funcției ex\displaystyle e^{x} este ex\displaystyle e^{x}, deci după formula Leibniz-Newton integrala este diferența valorilor primitivei în 2\displaystyle 2 și în 1\displaystyle 1.
    ∫12ex dx=ex∣12\displaystyle \int_1^2 e^{x}\,dx=e^{x}\Big|_1^2
  4. Calculăm ex∣12=e2−e1=e2−e\displaystyle e^{x}\Big|_1^2=e^{2}-e^{1}=e^{2}-e. Dând factor comun pe e\displaystyle e, obținem e2−e=e(e−1)\displaystyle e^{2}-e=e(e-1), deci egalitatea cerută este demonstrată.
    e2−e=e(e−1)\displaystyle e^{2}-e=e(e-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x} și g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=exln⁡x\displaystyle g(x)=e^x\ln x.

Calculați ∫ee2g(x)xex dx\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{g(x)}{xe^x}\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim g(x)=exln⁡x\displaystyle g(x)=e^{x}\ln x în integrand: g(x)xex=exln⁡xxex\displaystyle \dfrac{g(x)}{xe^{x}}=\dfrac{e^{x}\ln x}{xe^{x}}.
    g(x)xex=exln⁡xxex\displaystyle \dfrac{g(x)}{xe^{x}}=\dfrac{e^{x}\ln x}{xe^{x}}
  2. Simplificăm fracția prin ex≠0\displaystyle e^{x}\neq 0 și obținem ln⁡xx=1xln⁡x\displaystyle \dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{1}{x}\ln x. Integrala devine ∫ee21xln⁡x dx\displaystyle \int_e^{e^2}\dfrac{1}{x}\ln x\,dx.
    ∫ee2g(x)xex dx=∫ee21xln⁡x dx\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{g(x)}{xe^x}\,dx=\int_e^{e^2}\frac{1}{x}\ln x\,dx
  3. Deoarece (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, avem (12ln⁡2x)′=ln⁡x⋅1x\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\ln^{2}x\right)'=\ln x\cdot\dfrac{1}{x}, deci 12ln⁡2x\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln^{2}x este o primitivă a funcției 1xln⁡x\displaystyle \dfrac{1}{x}\ln x. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫ee21xln⁡x dx=12ln⁡2x∣ee2\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{1}{x}\ln x\,dx=\frac{1}{2}\ln^{2}x\Big|_e^{e^2}
  4. Calculăm ln⁡e2=2\displaystyle \ln e^{2}=2 și ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, deci 12ln⁡2x∣ee2=12(22−12)\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln^{2}x\Big|_e^{e^2}=\dfrac{1}{2}\left(2^{2}-1^{2}\right).
    12(22−12)\displaystyle \frac{1}{2}\left(2^{2}-1^{2}\right)
  5. Calculăm 12(4−1)=32\displaystyle \dfrac{1}{2}(4-1)=\dfrac{3}{2}.
    32\displaystyle \frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcțiile f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=exx\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x} și g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=exln⁡x\displaystyle g(x)=e^x\ln x.

Demonstrați că ∫1e(f(x)+g(x))dx=ee\displaystyle \int_1^e\left(f(x)+g(x)\right)dx=e^e.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim liniaritatea integralei și scriem ∫1e(f(x)+g(x))dx\displaystyle \int_1^e\left(f(x)+g(x)\right)dx ca suma a două integrale, înlocuind f(x)=exx\displaystyle f(x)=\dfrac{e^x}{x} și g(x)=exln⁡x\displaystyle g(x)=e^x\ln x.
    ∫1e(f(x)+g(x))dx=∫1eexx dx+∫1eexln⁡x dx\displaystyle \int_1^e\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int_1^e\frac{e^x}{x}\,dx+\int_1^e e^x\ln x\,dx
  2. În a doua integrală alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci du=1x dx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, dv=ex dx ⇒ du=1x dx\displaystyle \ dv=e^x\,dx\ \Rightarrow\ du=\frac{1}{x}\,dx, v=ex\displaystyle \ v=e^x
  3. Aplicăm formula ∫abu dv=uv∣ab−∫abv du\displaystyle \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du. Obținem ∫1eexln⁡x dx=exln⁡x∣1e−∫1e1xex dx\displaystyle \int_1^e e^x\ln x\,dx=e^x\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\dfrac{1}{x}e^x\,dx. Înlocuim în suma inițială, iar integralele ∫1eexx dx\displaystyle \int_1^e\dfrac{e^x}{x}\,dx se reduc.
    ∫1eexx dx+exln⁡x∣1e−∫1e1xex dx=exln⁡x∣1e\displaystyle \int_1^e\frac{e^x}{x}\,dx+e^x\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\frac{1}{x}e^x\,dx=e^x\ln x\Big|_1^e
  4. Înlocuim limitele: exln⁡x∣1e=eeln⁡e−e1ln⁡1\displaystyle e^x\ln x\Big|_1^e=e^e\ln e-e^1\ln 1. Cum ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, obținem ee⋅1−e⋅0=ee\displaystyle e^e\cdot 1-e\cdot 0=e^e, deci egalitatea este demonstrată.
    eeln⁡e−e1ln⁡1=ee\displaystyle e^e\ln e-e^1\ln 1=e^e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.