Bac matematică M3 tehnologic 2018, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul n=8(2+1)−22\displaystyle n=\sqrt{8}\left(\sqrt{2}+1\right)-2\sqrt{2} este pătratul unui număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 8=4⋅2=22\displaystyle \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}, pentru a putea reduce termenii asemenea mai târziu.
    8=22\displaystyle \sqrt{8}=2\sqrt{2}
  2. Distribuim 8\displaystyle \sqrt{8} în paranteză: 8⋅2=16\displaystyle \sqrt{8}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{16}, iar 8⋅1=8\displaystyle \sqrt{8}\cdot 1=\sqrt{8}.
    n=16+8−22\displaystyle n=\sqrt{16}+\sqrt{8}-2\sqrt{2}
  3. Calculăm 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4 și înlocuim 8=22\displaystyle \sqrt{8}=2\sqrt{2}.
    n=4+22−22\displaystyle n=4+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}
  4. Termenii cu radical se reduc, deci n=4=22\displaystyle n=4=2^{2}, pătratul numărului natural 2\displaystyle 2.
    n=4=22\displaystyle n=4=2^{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+2\displaystyle f(x)=x^2-x+2 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x+1\displaystyle g(x)=x+1. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=g(a)\displaystyle f(a)=g(a).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formulele funcțiilor: f(a)=a2−a+2\displaystyle f(a)=a^{2}-a+2 și g(a)=a+1\displaystyle g(a)=a+1.
    f(a)=a2−a+2\displaystyle f(a)=a^{2}-a+2,g(a)=a+1\displaystyle \quad g(a)=a+1
  2. Din condiția f(a)=g(a)\displaystyle f(a)=g(a) obținem ecuația a2−a+2=a+1\displaystyle a^{2}-a+2=a+1.
    a2−a+2=a+1\displaystyle a^{2}-a+2=a+1
  3. Scădem a+1\displaystyle a+1 din ambii membri și reducem termenii asemenea: a2−a−a+2−1=0\displaystyle a^{2}-a-a+2-1=0, deci a2−2a+1=0\displaystyle a^{2}-2a+1=0.
    a2−2a+1=0\displaystyle a^{2}-2a+1=0
  4. Observăm că a2−2a+1=(a−1)2\displaystyle a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}, deci ecuația devine (a−1)2=0\displaystyle (a-1)^{2}=0, de unde a−1=0\displaystyle a-1=0.
    (a−1)2=0⇒a=1\displaystyle (a-1)^{2}=0\Rightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x2−6x+5=x−1\displaystyle \sqrt{2x^2-6x+5}=x-1.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația are radical, deci trebuie ca membrul drept să fie pozitiv sau zero: x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0, adică x≥1\displaystyle x\ge 1. Expresia de sub radical, 2x2−6x+5\displaystyle 2x^{2}-6x+5, are discriminantul 36−40<0\displaystyle 36-40<0, deci este mereu pozitivă.
    x≥1\displaystyle x\ge 1
  2. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat: (2x2−6x+5)2=(x−1)2\displaystyle \left(\sqrt{2x^{2}-6x+5}\right)^{2}=(x-1)^{2}.
    2x2−6x+5=x2−2x+1\displaystyle 2x^{2}-6x+5=x^{2}-2x+1
  3. Mutăm toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea: 2x2−x2−6x+2x+5−1=0\displaystyle 2x^{2}-x^{2}-6x+2x+5-1=0.
    x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0
  4. Recunoaștem pătratul unei diferențe: (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0, deci x−2=0\displaystyle x-2=0.
    x=2\displaystyle x=2
  5. Verificăm soluția în ecuația inițială: x=2\displaystyle x=2 respectă condiția x≥1\displaystyle x\ge 1. Membrul stâng este 8−12+5=1=1\displaystyle \sqrt{8-12+5}=\sqrt{1}=1, iar membrul drept este 2−1=1\displaystyle 2-1=1. Egalitatea este adevărată, deci soluția convine.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte au cifrele elemente ale mulțimii {1,2,3,4,5}\displaystyle \{1,2,3,4,5\}.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul are trei cifre distincte, alese din mulțimea {1,2,3,4,5}\displaystyle \{1,2,3,4,5\}. Alegem cifrele pe rând, începând cu cifra sutelor. Pentru ea putem alege oricare dintre cele 5\displaystyle 5 cifre ale mulțimii (niciuna nu este 0\displaystyle 0, deci nu apar restricții).
    5\displaystyle 5
  2. Cifra zecilor trebuie să fie diferită de cifra sutelor, deci rămân 4\displaystyle 4 cifre disponibile.
    4\displaystyle 4
  3. Cifra unităților trebuie să fie diferită de primele două cifre alese, deci rămân 3\displaystyle 3 cifre disponibile.
    3\displaystyle 3
  4. Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de alegeri pentru fiecare cifră. Obținem 5⋅4⋅3=60\displaystyle 5\cdot 4\cdot 3=60 de numere.
    5⋅4⋅3=60\displaystyle 5\cdot 4\cdot 3=60
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,1)\displaystyle A(2,1) și B(3,0)\displaystyle B(3,0). Determinați ecuația dreptei d\displaystyle d care trece prin mijlocul segmentului AO\displaystyle AO și este paralelă cu dreapta AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB folosind coordonatele punctelor A(2,1)\displaystyle A(2,1) și B(3,0)\displaystyle B(3,0): mAB=yB−yAxB−xA=0−13−2\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{0-1}{3-2}.
    mAB=0−13−2=−1\displaystyle m_{AB}=\dfrac{0-1}{3-2}=-1
  2. Dreptele paralele au aceeași pantă, deci md=mAB\displaystyle m_d=m_{AB}.
    mAB=−1\displaystyle m_{AB}=-1, md=−1\displaystyle \ m_d=-1
  3. Aflăm mijlocul M\displaystyle M al segmentului AO\displaystyle AO, unde O(0,0)\displaystyle O(0,0): xM=2+02\displaystyle x_M=\dfrac{2+0}{2} și yM=1+02\displaystyle y_M=\dfrac{1+0}{2}.
    M(1,12)\displaystyle M\left(1,\dfrac{1}{2}\right)
  4. Scriem ecuația dreptei d\displaystyle d prin M\displaystyle M cu panta −1\displaystyle -1: y−yM=md(x−xM)\displaystyle y-y_M=m_d(x-x_M), adică y−12=−1⋅(x−1)\displaystyle y-\dfrac{1}{2}=-1\cdot(x-1).
    y−12=−x+1\displaystyle y-\dfrac{1}{2}=-x+1
  5. Aducem ecuația la forma redusă: y=−x+1+12\displaystyle y=-x+1+\dfrac{1}{2}. Aceasta este ecuația dreptei d\displaystyle d.
    y=−x+32\displaystyle y=-x+\dfrac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că (sin⁡x+7cos⁡x)2+(7sin⁡x−cos⁡x)2=50\displaystyle (\sin x+7\cos x)^2+(7\sin x-\cos x)^2=50, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm primul pătrat folosind formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, cu a=sin⁡x\displaystyle a=\sin x și b=7cos⁡x\displaystyle b=7\cos x.
    (sin⁡x+7cos⁡x)2=sin⁡2x+14sin⁡xcos⁡x+49cos⁡2x\displaystyle (\sin x+7\cos x)^2=\sin^2 x+14\sin x\cos x+49\cos^2 x
  2. Dezvoltăm al doilea pătrat folosind formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, cu a=7sin⁡x\displaystyle a=7\sin x și b=cos⁡x\displaystyle b=\cos x.
    (7sin⁡x−cos⁡x)2=49sin⁡2x−14sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x\displaystyle (7\sin x-\cos x)^2=49\sin^2 x-14\sin x\cos x+\cos^2 x
  3. Adunăm cele două expresii. Termenii micști 14sin⁡xcos⁡x\displaystyle 14\sin x\cos x și −14sin⁡xcos⁡x\displaystyle -14\sin x\cos x se reduc, iar termenii cu sin⁡2x\displaystyle \sin^2 x și cu cos⁡2x\displaystyle \cos^2 x se adună.
    sin⁡2x+49sin⁡2x+49cos⁡2x+cos⁡2x=50sin⁡2x+50cos⁡2x\displaystyle \sin^2 x+49\sin^2 x+49\cos^2 x+\cos^2 x=50\sin^2 x+50\cos^2 x
  4. Dăm factor comun pe 50\displaystyle 50 și aplicăm identitatea fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1, valabilă pentru orice x\displaystyle x real. Obținem 50\displaystyle 50, deci egalitatea este demonstrată.
    50(sin⁡2x+cos⁡2x)=50⋅1=50\displaystyle 50(\sin^2 x+\cos^2 x)=50\cdot 1=50
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(12mm+1)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1&2\\m&m+1\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m\displaystyle m cu 0\displaystyle 0 în matricea A(m)\displaystyle A(m). Prima linie rămâne (1, 2)\displaystyle (1,\ 2), iar a doua linie devine (0, 0+1)=(0, 1)\displaystyle (0,\ 0+1)=(0,\ 1).
    A(0)=(1201)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0), care este un determinant de ordin 2\displaystyle 2.
    det⁡(A(0))=∣1201∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordin 2\displaystyle 2 ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: 1⋅1−2⋅0=1−0=1\displaystyle 1\cdot 1-2\cdot 0=1-0=1. Deci det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
    det⁡(A(0))=1⋅1−2⋅0=1−0=1\displaystyle \det(A(0))=1\cdot 1-2\cdot 0=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(12mm+1)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1&2\\m&m+1\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că A(m)+A(−m)=2A(0)\displaystyle A(m)+A(-m)=2A(0), pentru orice număr real m\displaystyle m.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(−m)\displaystyle A(-m), înlocuind peste tot pe m\displaystyle m cu −m\displaystyle -m în A(m)\displaystyle A(m). Elementul m+1\displaystyle m+1 devine −m+1\displaystyle -m+1.
    A(−m)=(12−m−m+1)\displaystyle A(-m)=\begin{pmatrix}1&2\\-m&-m+1\end{pmatrix}
  2. Adunăm cele două matrice element cu element: 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 2+2=4\displaystyle 2+2=4, m+(−m)=0\displaystyle m+(-m)=0, iar (m+1)+(−m+1)=2\displaystyle (m+1)+(-m+1)=2.
    A(m)+A(−m)=(12mm+1)+(12−m−m+1)=(2402)\displaystyle A(m)+A(-m)=\begin{pmatrix}1&2\\m&m+1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&2\\-m&-m+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix}
  3. Calculăm A(0)\displaystyle A(0), înlocuind m\displaystyle m cu 0\displaystyle 0 în A(m)\displaystyle A(m).
    A(0)=(1201)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}
  4. Înmulțim matricea A(0)\displaystyle A(0) cu 2\displaystyle 2, adică înmulțim fiecare element cu 2\displaystyle 2. Obținem exact matricea de la suma calculată, care nu depinde de m\displaystyle m. Deci egalitatea are loc pentru orice număr real m\displaystyle m.
    2A(0)=2(1201)=(2402)=A(m)+A(−m), pentru orice numa˘r real m\displaystyle 2A(0)=2\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix}=A(m)+A(-m)\text{, pentru orice număr real }m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(m)=(12mm+1)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1&2\\m&m+1\end{pmatrix}, unde m\displaystyle m este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care A(2)⋅X=A(5)\displaystyle A(2)\cdot X=A(5).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=2\displaystyle m=2 și m=5\displaystyle m=5 în A(m)=(12mm+1)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1&2\\m&m+1\end{pmatrix} și obținem matricele A(2)\displaystyle A(2) și A(5)\displaystyle A(5).
    A(2)=(1223)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}, A(5)=(1256)\displaystyle \ A(5)=\begin{pmatrix}1&2\\5&6\end{pmatrix}
  2. Calculăm det⁡(A(2))=1⋅3−2⋅2\displaystyle \det(A(2))=1\cdot 3-2\cdot 2. Determinantul este nenul, deci A(2)\displaystyle A(2) este inversabilă.
    det⁡(A(2))=1⋅3−2⋅2=−1\displaystyle \det(A(2))=1\cdot 3-2\cdot 2=-1
  3. Pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} inversa este 1det⁡(d−b−ca)\displaystyle \dfrac{1}{\det}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. Aici împărțim la −1\displaystyle -1.
    (A(2))−1=1−1(3−2−21)=(−322−1)\displaystyle (A(2))^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}3&-2\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}
  4. Înmulțim egalitatea A(2)⋅X=A(5)\displaystyle A(2)\cdot X=A(5) la stânga cu (A(2))−1\displaystyle (A(2))^{-1}. Cum (A(2))−1⋅A(2)=I2\displaystyle (A(2))^{-1}\cdot A(2)=I_2, rezultă X=(A(2))−1⋅A(5)\displaystyle X=(A(2))^{-1}\cdot A(5).
    X=(A(2))−1⋅A(5)=(−322−1)(1256)\displaystyle X=(A(2))^{-1}\cdot A(5)=\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\5&6\end{pmatrix}
  5. Calculăm elementele produsului: (−3)⋅1+2⋅5=7\displaystyle (-3)\cdot 1+2\cdot 5=7, (−3)⋅2+2⋅6=6\displaystyle (-3)\cdot 2+2\cdot 6=6, 2⋅1+(−1)⋅5=−3\displaystyle 2\cdot 1+(-1)\cdot 5=-3, 2⋅2+(−1)⋅6=−2\displaystyle 2\cdot 2+(-1)\cdot 6=-2.
    X=(76−3−2)\displaystyle X=\begin{pmatrix}7&6\\-3&-2\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2.

Arătați că x∘y=3(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=3(x+1)(y+1)-1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2 și scriem 2=3−1\displaystyle 2=3-1, ca să apară constanta 3\displaystyle 3, necesară pentru factorul comun.
    x∘y=3xy+3x+3y+3−1\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+3-1
  2. Grupăm 3xy+3x=3x(y+1)\displaystyle 3xy+3x=3x(y+1) și 3y+3=3(y+1)\displaystyle 3y+3=3(y+1). În ambele grupe apare factorul y+1\displaystyle y+1.
    x∘y=3x(y+1)+3(y+1)−1\displaystyle x\circ y=3x(y+1)+3(y+1)-1
  3. Dăm factor comun pe 3(y+1)\displaystyle 3(y+1): 3x(y+1)+3(y+1)=3(y+1)(x+1)\displaystyle 3x(y+1)+3(y+1)=3(y+1)(x+1). Deci egalitatea cerută are loc pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=3(x+1)(y+1)−1, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=3(x+1)(y+1)-1\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2.

Arătați că x∘(−23)=x\displaystyle x\circ\left(-\frac{2}{3}\right)=x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Avem 3(x+1)(y+1)=3xy+3x+3y+3\displaystyle 3(x+1)(y+1)=3xy+3x+3y+3, deci x∘y=3xy+3x+3y+3−1\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+3-1, adică x∘y=3(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=3(x+1)(y+1)-1.
    x∘y=3(x+1)(y+1)−1\displaystyle x\circ y=3(x+1)(y+1)-1
  2. Înlocuim y=−23\displaystyle y=-\dfrac{2}{3} în forma factorizată.
    x∘(−23)=3(x+1)(−23+1)−1\displaystyle x\circ\left(-\frac{2}{3}\right)=3(x+1)\left(-\frac{2}{3}+1\right)-1
  3. Calculăm paranteza: −23+1=13\displaystyle -\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{1}{3}.
    x∘(−23)=3(x+1)⋅13−1\displaystyle x\circ\left(-\frac{2}{3}\right)=3(x+1)\cdot\frac{1}{3}-1
  4. Simplificăm 3⋅13=1\displaystyle 3\cdot\dfrac{1}{3}=1 și obținem x+1−1=x\displaystyle x+1-1=x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x+1−1=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x+1-1=x\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=3xy+3x+3y+2\displaystyle x\circ y=3xy+3x+3y+2.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care n∘(n−1)<17\displaystyle n\circ(n-1)<17.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în legea de compoziție x\displaystyle x cu n\displaystyle n și y\displaystyle y cu n−1\displaystyle n-1: n∘(n−1)=3n(n−1)+3n+3(n−1)+2\displaystyle n\circ(n-1)=3n(n-1)+3n+3(n-1)+2.
    n∘(n−1)=3n(n−1)+3n+3(n−1)+2\displaystyle n\circ(n-1)=3n(n-1)+3n+3(n-1)+2
  2. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: 3n2−3n+3n+3n−3+2=3n2+3n−1\displaystyle 3n^{2}-3n+3n+3n-3+2=3n^{2}+3n-1, care se scrie și 3(n+1)n−1\displaystyle 3(n+1)n-1.
    n∘(n−1)=3n2+3n−1=3(n+1)n−1\displaystyle n\circ(n-1)=3n^{2}+3n-1=3(n+1)n-1
  3. Scriem inegalitatea cerută: 3(n+1)n−1<17\displaystyle 3(n+1)n-1<17. Mutăm 17 în stânga și obținem 3n2+3n−18<0\displaystyle 3n^{2}+3n-18<0. Împărțim cu 3\displaystyle 3, care este pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează.
    3(n+1)n−1<17⇔3n2+3n−18<0⇔n2+n−6<0\displaystyle 3(n+1)n-1<17\Leftrightarrow 3n^{2}+3n-18<0\Leftrightarrow n^{2}+n-6<0
  4. Rezolvăm ecuația asociată n2+n−6=0\displaystyle n^{2}+n-6=0. Discriminantul este Δ=1+24=25\displaystyle \Delta=1+24=25, deci rădăcinile sunt n1=−1−52=−3\displaystyle n_1=\dfrac{-1-5}{2}=-3 și n2=−1+52=2\displaystyle n_2=\dfrac{-1+5}{2}=2. Deci n2+n−6=(n+3)(n−2)\displaystyle n^{2}+n-6=(n+3)(n-2).
    n1=−3\displaystyle n_1=-3, n2=2\displaystyle \ n_2=2
  5. Coeficientul lui n2\displaystyle n^{2} este pozitiv, deci trinomul este negativ între rădăcini. Așadar n∈(−3,2)\displaystyle n\in(-3,2). Numerele naturale din acest interval sunt 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    n∈(−3,2), deci n=0, n=1\displaystyle n\in(-3,2)\text{, deci }n=0\text{, }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+6xx−2\displaystyle f(x)=\frac{x^2+6x}{x-2}.

Arătați că f′(x)=(x−6)(x+2)(x−2)2\displaystyle f'(x)=\frac{(x-6)(x+2)}{(x-2)^2}, x∈(2,+∞)\displaystyle x\in(2,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât de două funcții derivabile, deci folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}. Aici u(x)=x2+6x\displaystyle u(x)=x^{2}+6x și v(x)=x−2\displaystyle v(x)=x-2, cu v(x)≠0\displaystyle v(x)\neq 0 pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty).
    f′(x)=(x2+6x)′(x−2)−(x2+6x)(x−2)′(x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}+6x)'(x-2)-(x^{2}+6x)(x-2)'}{(x-2)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: (x2+6x)′=2x+6\displaystyle (x^{2}+6x)'=2x+6 și (x−2)′=1\displaystyle (x-2)'=1. Le înlocuim în formulă.
    f′(x)=(2x+6)(x−2)−(x2+6x)⋅1(x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x+6)(x-2)-(x^{2}+6x)\cdot 1}{(x-2)^{2}}
  3. Desfacem parantezele de la numărător: (2x+6)(x−2)=2x2−4x+6x−12=2x2+2x−12\displaystyle (2x+6)(x-2)=2x^{2}-4x+6x-12=2x^{2}+2x-12.
    (2x+6)(x−2)=2x2+2x−12\displaystyle (2x+6)(x-2)=2x^{2}+2x-12
  4. Scădem x2+6x\displaystyle x^{2}+6x din acest rezultat: 2x2+2x−12−x2−6x=x2−4x−12\displaystyle 2x^{2}+2x-12-x^{2}-6x=x^{2}-4x-12.
    f′(x)=x2−4x−12(x−2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}-4x-12}{(x-2)^{2}}
  5. Descompunem numărătorul: căutăm două numere cu produsul −12\displaystyle -12 și suma −4\displaystyle -4, adică −6\displaystyle -6 și 2\displaystyle 2. Deci x2−4x−12=(x−6)(x+2)\displaystyle x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2). Verificare: (x−6)(x+2)=x2+2x−6x−12=x2−4x−12\displaystyle (x-6)(x+2)=x^{2}+2x-6x-12=x^{2}-4x-12. Obținem relația cerută pentru x∈(2,+∞)\displaystyle x\in(2,+\infty).
    f′(x)=(x−6)(x+2)(x−2)2, x∈(2,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-6)(x+2)}{(x-2)^{2}}\text{, }x\in(2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+6xx−2\displaystyle f(x)=\frac{x^2+6x}{x-2}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right). Începem cu m\displaystyle m.
    m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}
  2. Înlocuim f(x)=x2+6xx−2\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2+6x}{x-2} și împărțim la x\displaystyle x, deci numitorul devine x(x−2)\displaystyle x(x-2).
    f(x)x=x2+6xx(x−2)=x2+6xx2−2x\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{x^2+6x}{x(x-2)}=\frac{x^2+6x}{x^2-2x}
  3. Numărătorul și numitorul au gradul 2\displaystyle 2, deci limita este raportul coeficienților dominanți, adică 1\displaystyle 1. Rezultă m=1\displaystyle m=1.
    m=lim⁡x→+∞x2+6xx(x−2)=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+6x}{x(x-2)}=1
  4. Calculăm acum n=lim⁡x→+∞(f(x)−x)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x) și aducem la același numitor x−2\displaystyle x-2.
    f(x)−x=x2+6x−x(x−2)x−2\displaystyle f(x)-x=\frac{x^2+6x-x(x-2)}{x-2}
  5. Desfacem parantezele: x2+6x−x2+2x=8x\displaystyle x^2+6x-x^2+2x=8x, deci x2\displaystyle x^2 se reduce.
    f(x)−x=x2+6x−x2+2xx−2=8xx−2\displaystyle f(x)-x=\frac{x^2+6x-x^2+2x}{x-2}=\frac{8x}{x-2}
  6. Numărătorul și numitorul au gradul 1\displaystyle 1, deci limita este raportul coeficienților dominanți, adică 81=8\displaystyle \dfrac{8}{1}=8. Deci n=8\displaystyle n=8, iar cu m=1\displaystyle m=1 asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty este y=x+8\displaystyle y=x+8.
    n=lim⁡x→+∞8xx−2=8, deci y=x+8\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{8x}{x-2}=8\text{, deci }y=x+8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(2,+∞)→R\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+6xx−2\displaystyle f(x)=\frac{x^2+6x}{x-2}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f nu are puncte de inflexiune.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a găsi punctele de inflexiune, studiem derivata a doua. Mai întâi simplificăm expresia funcției prin împărțirea polinoamelor: x2+6x\displaystyle x^{2}+6x se împarte la x−2\displaystyle x-2, cu câtul x+8\displaystyle x+8 și restul 16\displaystyle 16.
    f(x)=x+8+16x−2\displaystyle f(x)=x+8+\dfrac{16}{x-2}, x∈(2,+∞)\displaystyle \ x\in(2,+\infty)
  2. Calculăm derivata întâi, derivând termen cu termen. Derivata lui 16x−2\displaystyle \dfrac{16}{x-2} este −16(x−2)2\displaystyle -\dfrac{16}{(x-2)^{2}}.
    f′(x)=1−16(x−2)2\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{16}{(x-2)^{2}}
  3. Derivăm încă o dată. Scriem termenul ca −16(x−2)−2\displaystyle -16(x-2)^{-2}, a cărui derivată este 32(x−2)−3\displaystyle 32(x-2)^{-3}.
    f′′(x)=32(x−2)3\displaystyle f''(x)=\dfrac{32}{(x-2)^{3}}, x∈(2,+∞)\displaystyle \ x\in(2,+\infty)
  4. Pentru x>2\displaystyle x>2 avem x−2>0\displaystyle x-2>0, deci și (x−2)3>0\displaystyle (x-2)^{3}>0, iar fracția cu numărător 32\displaystyle 32 este pozitivă. Derivata a doua nu își schimbă semnul și nu se anulează pe intervalul dat. Un punct de inflexiune ar cere schimbarea semnului lui f′′\displaystyle f'' (sau anularea lui), deci funcția nu are puncte de inflexiune.
    f′′(x)>0, pentru orice x∈(2,+∞)⇒f nu are puncte de \displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice }x\in(2,+\infty)\Rightarrow f\text{ nu are puncte de }inflexiune\displaystyle \text{inflexiune}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1ex+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{e^x+1}.

Arătați că ∫01(ex+1)f(x) dx=1\displaystyle \int_0^1 (e^x+1)f(x)\,dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia dată: f(x)=1ex+1\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{e^{x}+1}.
    ∫01(ex+1)⋅1ex+1 dx\displaystyle \int_0^1 (e^x+1)\cdot\frac{1}{e^x+1}\,dx
  2. Factorul ex+1\displaystyle e^{x}+1 este strict pozitiv pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci putem simplifica. Integrandul devine constanta 1\displaystyle 1.
    ∫01(ex+1)⋅1ex+1 dx=∫011 dx\displaystyle \int_0^1 (e^x+1)\cdot\frac{1}{e^x+1}\,dx=\int_0^1 1\,dx
  3. O primitivă a funcției constante 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫011 dx=x∣01\displaystyle \int_0^1 1\,dx=x\Big|_0^1
  4. Calculăm diferența dintre valoarea în 1\displaystyle 1 și valoarea în 0\displaystyle 0. Obținem 1\displaystyle 1, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    x∣01=1−0=1\displaystyle x\Big|_0^1=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1ex+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{e^x+1}.

Arătați că ∫01xf(x) dx=32\displaystyle \int_0^1\frac{x}{f(x)}\,dx=\frac{3}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Din f(x)=1ex+1\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{e^{x}+1} obținem 1f(x)=ex+1\displaystyle \dfrac{1}{f(x)}=e^{x}+1, deci xf(x)=x(ex+1)\displaystyle \dfrac{x}{f(x)}=x\left(e^{x}+1\right).
    xf(x)=x(ex+1)\displaystyle \frac{x}{f(x)}=x\left(e^{x}+1\right)
  2. Înlocuim în integrală, desfacem parantezele x(ex+1)=xex+x\displaystyle x(e^{x}+1)=xe^{x}+x și folosim liniaritatea integralei.
    ∫01xf(x) dx=∫01x(ex+1) dx=∫01xex dx+∫01x dx\displaystyle \int_0^1\frac{x}{f(x)}\,dx=\int_0^1 x(e^x+1)\,dx=\int_0^1 xe^x\,dx+\int_0^1 x\,dx
  3. Pentru ∫01xex dx\displaystyle \int_0^1 xe^{x}\,dx integrăm prin părți cu u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^{x}\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^{x}.
    ∫01xex dx=xex∣01−∫01ex dx\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx=xe^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx
  4. Cum ∫ex dx=ex\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}, avem xex−ex=(x−1)ex\displaystyle xe^{x}-e^{x}=(x-1)e^{x}. Evaluăm între 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1: (1−1)e1−(0−1)e0=0+1=1\displaystyle (1-1)e^{1}-(0-1)e^{0}=0+1=1.
    ∫01xex dx=(x−1)ex∣01=0−(−1)=1\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx=(x-1)e^x\Big|_0^1=0-(-1)=1
  5. Pentru a doua integrală folosim primitiva x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}.
    ∫01x dx=x22∣01=12\displaystyle \int_0^1 x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_0^1=\frac{1}{2}
  6. Adunăm cele două rezultate: 1+12=32\displaystyle 1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}, ceea ce trebuia arătat.
    (x−1)ex∣01+x22∣01=1+12=32\displaystyle (x-1)e^x\Big|_0^1+\frac{x^2}{2}\Big|_0^1=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=1ex+1\displaystyle f(x)=\frac{1}{e^x+1}.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[0,1]→R\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R}, g(x)=exf(x)\displaystyle g(x)=\sqrt{e^x f(x)}.
Vezi rezolvarea
  1. Volumul corpului de rotație în jurul axei Ox\displaystyle Ox este V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx.
    V=π∫01g2(x) dx\displaystyle V=\pi\int_0^1 g^2(x)\,dx
  2. Înlocuim f(x)=1ex+1\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{e^x+1} în g(x)=exf(x)\displaystyle g(x)=\sqrt{e^x f(x)} și obținem g(x)=exex+1\displaystyle g(x)=\sqrt{\dfrac{e^x}{e^x+1}}.
    g(x)=exex+1\displaystyle g(x)=\sqrt{\frac{e^x}{e^x+1}}
  3. Ridicăm la pătrat: g2(x)=exex+1\displaystyle g^2(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}, deoarece expresia de sub radical este pozitivă. Atunci volumul devine o integrală simplă.
    V=π∫01exex+1 dx\displaystyle V=\pi\int_0^1\frac{e^x}{e^x+1}\,dx
  4. Observăm că (ex+1)′=ex\displaystyle (e^x+1)'=e^x, deci integrandul este de forma u′u\displaystyle \dfrac{u'}{u} cu u=ex+1>0\displaystyle u=e^x+1>0. O primitivă este ln⁡(ex+1)\displaystyle \ln(e^x+1).
    ∫exex+1 dx=ln⁡(ex+1)+C\displaystyle \int\frac{e^x}{e^x+1}\,dx=\ln(e^x+1)+C
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: V=πln⁡(ex+1)∣01=π(ln⁡(e+1)−ln⁡2)\displaystyle V=\pi\ln(e^x+1)\Big|_0^1=\pi\left(\ln(e+1)-\ln 2\right), deoarece e0+1=2\displaystyle e^0+1=2. Folosind diferența de logaritmi, obținem V=πln⁡e+12\displaystyle V=\pi\ln\dfrac{e+1}{2}.
    V=πln⁡e+12\displaystyle V=\pi\ln\frac{e+1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.