Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 12: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}:0,5\right)\cdot\frac{12}{13}=1

.

Vezi rezolvarea

Calculăm împărțirea din paranteză. Cum $\displaystyle 0,5=\dfrac{1}{2}$ , avem $\displaystyle \dfrac{1}{2}:0,5=\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{2}=1$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{2}:0$ , $\displaystyle 5=1$
Înlocuim în paranteză: $\displaystyle 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-1$ . Termenii $\displaystyle 1$ și $\displaystyle -1$ se reduc, deci rămâne $\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}$ .
$\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-1\right)\cdot\dfrac{12}{13}=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right)\cdot\dfrac{12}{13}$
Aducem fracțiile la numitorul comun $\displaystyle 12$ , care este cel mai mic multiplu comun al numerelor $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 3$ și $\displaystyle 4$ : $\displaystyle \dfrac{1}{2}=\dfrac{6}{12}$ , $\displaystyle \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12}$ , $\displaystyle \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{12}$ .
$\displaystyle \left(\dfrac{6}{12}+\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}\right)\cdot\dfrac{12}{13}$
Adunăm fracțiile din paranteză, care au același numitor: $\displaystyle \dfrac{6+4+3}{12}=\dfrac{13}{12}$ .
$\displaystyle \dfrac{6}{12}+\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{13}{12}$
Înmulțim cu fracția dată: $\displaystyle \dfrac{13}{12}\cdot\dfrac{12}{13}=1$ . Numerele $\displaystyle 12$ și $\displaystyle 13$ se simplifică, deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle \dfrac{13}{12}\cdot\dfrac{12}{13}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 2(x_1+x_2)-x_1x_2=4

, unde

\displaystyle x_1

și

\displaystyle x_2

sunt soluțiile ecuației

\displaystyle x^2-7x+10=0

.

Vezi rezolvarea

Ecuația $\displaystyle x^2-7x+10=0$ are forma $\displaystyle ax^2+bx+c=0$ , cu $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-7$ , $\displaystyle c=10$ . Identificăm coeficienții, ca să putem aplica relațiile lui Viète.
$\displaystyle a=1$ , $\displaystyle \ b=-7$ , $\displaystyle \ c=10$
Relațiile lui Viète: suma soluțiilor este $\displaystyle -\dfrac{b}{a}$ , iar produsul lor este $\displaystyle \dfrac{c}{a}$ . Înlocuim coeficienții: $\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{-7}{1}=7$ și $\displaystyle x_1x_2=\dfrac{10}{1}=10$ .
$\displaystyle x_1+x_2=7$ , $\displaystyle \ x_1x_2=10$
Înlocuim suma și produsul în expresia dată: $\displaystyle 2(x_1+x_2)-x_1x_2=2\cdot 7-10=14-10=4$ . Deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle 2(x_1+x_2)-x_1x_2=2\cdot 7-10=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{5x+1}=6

.

Vezi rezolvarea

Observăm că membrul drept este $\displaystyle 6>0$ , deci ecuația poate avea soluții. Radicalul are sens doar când expresia de sub el este pozitivă sau nulă, adică $\displaystyle 5x+1\ge 0$ , deci $\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{5}$ .
$\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{5}$
Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat. Pătratul radicalului este expresia de sub radical, iar $\displaystyle 6^{2}=36$ . Obținem $\displaystyle \left(\sqrt{5x+1}\right)^{2}=6^{2}$ , deci $\displaystyle 5x+1=36$ .
$\displaystyle 5x+1=36$
Rezolvăm ecuația liniară: scădem 1 din ambii membri și obținem $\displaystyle 5x=35$ , apoi împărțim la 5 și obținem $\displaystyle x=7$ .
$\displaystyle 5x=35\Rightarrow x=7$
Verificăm soluția: pentru $\displaystyle x=7$ avem $\displaystyle 5\cdot 7+1=36\ge 0$ și $\displaystyle \sqrt{36}=6$ , deci egalitatea este adevărată. Soluția convine, iar $\displaystyle 7\ge -\dfrac{1}{5}$ .
$\displaystyle x=7\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de

\displaystyle 11

.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de două cifre sunt de la $\displaystyle 10$ până la $\displaystyle 99$ . Numărul lor se obține ca $\displaystyle 99-10+1$ , adică $\displaystyle 90$ de cazuri posibile.
$\displaystyle 99-10+1=90$
Multiplii de $\displaystyle 11$ de două cifre sunt $\displaystyle 11k$ , unde $\displaystyle k$ ia valorile de la $\displaystyle 1$ la $\displaystyle 9$ , pentru că $\displaystyle 11\cdot 9=99$ , iar $\displaystyle 11\cdot 10=110$ are trei cifre. Îi scriem pe toți.
$\displaystyle 11$ , $\displaystyle 22$ , $\displaystyle 33$ , $\displaystyle 44$ , $\displaystyle 55$ , $\displaystyle 66$ , $\displaystyle 77$ , $\displaystyle 88$ , $\displaystyle 99$
Numărăm multiplii obținuți: sunt $\displaystyle 9$ cazuri favorabile.
$\displaystyle 9\text{ cazuri favorabile}$
Aplicăm formula probabilității, $\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$ , apoi simplificăm fracția prin $\displaystyle 9$ .
$\displaystyle p=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(6,0)

și

\displaystyle B(0,8)

. Determinați lungimea înălțimii din vârful

\displaystyle O

al triunghiului

\displaystyle AOB

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle A(6,0)$ se află pe axa $\displaystyle Ox$ , iar punctul $\displaystyle B(0,8)$ pe axa $\displaystyle Oy$ , deci unghiul din $\displaystyle O$ este drept: triunghiul $\displaystyle AOB$ este dreptunghic în $\displaystyle O$ , cu catetele $\displaystyle OA$ și $\displaystyle OB$ și ipotenuza $\displaystyle AB$ . Înălțimea din $\displaystyle O$ este înălțimea pe ipotenuză.
$\displaystyle \angle AOB=90^\circ$
Lungimile catetelor sunt distanțele de la origine la puncte, adică valorile absolute ale coordonatelor nenule: $\displaystyle AO=6$ și $\displaystyle BO=8$ .
$\displaystyle AO=6$ , $\displaystyle \ BO=8$
Calculăm ipotenuza cu teorema lui Pitagora: $\displaystyle AB=\sqrt{AO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}$ .
$\displaystyle AB=10$
Aria triunghiului dreptunghic se poate scrie în două moduri: $\displaystyle \dfrac{AO\cdot BO}{2}=\dfrac{AB\cdot h}{2}$ . Rezultă $\displaystyle h=\dfrac{AO\cdot BO}{AB}$ .
$\displaystyle h=\frac{AO\cdot BO}{AB}$
Înlocuim valorile: $\displaystyle h=\dfrac{6\cdot 8}{10}=\dfrac{48}{10}=\dfrac{24}{5}=4{,}8$ . Înălțimea din $\displaystyle O$ are lungimea $\displaystyle \dfrac{24}{5}$ .
$\displaystyle h=\frac{6\cdot 8}{10}=\frac{24}{5}=4{,}8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați lungimea laturii

\displaystyle AB

a triunghiului

\displaystyle ABC

dreptunghic în

\displaystyle A

, știind că

\displaystyle BC=5\sqrt{2}

și

\displaystyle m(\measuredangle B)=45^\circ

.

Vezi rezolvarea

Triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$ , deci $\displaystyle BC$ este ipotenuza, iar $\displaystyle AB$ este cateta alăturată unghiului $\displaystyle B$ . Cosinusul unghiului $\displaystyle B$ este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză.
$\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}$
Înlocuim $\displaystyle m(\measuredangle B)=45^\circ$ , pentru care $\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , și $\displaystyle BC=5\sqrt{2}$ .
$\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{AB}{5\sqrt{2}}$
Înmulțim ambii membri cu $\displaystyle 5\sqrt{2}$ și obținem $\displaystyle AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot 5\sqrt{2}$ . Cum $\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$ , avem $\displaystyle AB=\dfrac{5\cdot 2}{2}$ .
$\displaystyle AB=\dfrac{\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}}{2}=\dfrac{5\cdot 2}{2}=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle \det A=1

.

Vezi rezolvarea

Amintim formula determinantului de ordin 2: $\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$ .
$\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$
Identificăm elementele matricei $\displaystyle A$ : $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=0$ , $\displaystyle c=-2$ , $\displaystyle d=1$ , și le înlocuim în formulă.
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&0\\-2&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-0\cdot(-2)$
Calculăm produsele: $\displaystyle 1\cdot 1=1$ , iar $\displaystyle 0\cdot(-2)=0$ . Rămâne $\displaystyle 1-0$ , deci $\displaystyle \det A=1$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle \det A=1-0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle 2A-A\cdot A=I_2

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle 2A$ , înmulțind fiecare element al matricei $\displaystyle A$ cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 2A=\begin{pmatrix}2&0\\-4&2\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle A\cdot A$ , linie cu coloană. Primul rând: $\displaystyle 1\cdot 1+0\cdot(-2)=1$ și $\displaystyle 1\cdot 0+0\cdot 1=0$ . Al doilea rând: $\displaystyle (-2)\cdot 1+1\cdot(-2)=-4$ și $\displaystyle (-2)\cdot 0+1\cdot 1=1$ .
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\-4&1\end{pmatrix}$
Scriem diferența $\displaystyle 2A-A\cdot A$ folosind cele două matrice obținute.
$\displaystyle 2A-A\cdot A=\begin{pmatrix}2&0\\-4&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\-4&1\end{pmatrix}$
Scădem element cu element: $\displaystyle 2-1=1$ , $\displaystyle 0-0=0$ , $\displaystyle -4-(-4)=0$ , $\displaystyle 2-1=1$ . Obținem matricea unitate, deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

,

\displaystyle y

și

\displaystyle z

pentru care

\displaystyle A\cdot\begin{pmatrix}x-2&y\\z+1&1\end{pmatrix}-I_2=O_2

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul dintre $\displaystyle A$ și matricea dată, linie cu coloană. Prima linie a lui $\displaystyle A$ este $\displaystyle (1,\ 0)$ , deci prima linie a produsului este $\displaystyle (x-2,\ y)$ . A doua linie a lui $\displaystyle A$ este $\displaystyle (-2,\ 1)$ , deci elementele ei sunt $\displaystyle -2(x-2)+(z+1)$ și $\displaystyle -2y+1$ .
$\displaystyle A\cdot\begin{pmatrix}x-2&y\\z+1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-2&y\\-2x+z+5&-2y+1\end{pmatrix}$
Scădem matricea unitate $\displaystyle I_2$ element cu element: din $\displaystyle x-2$ scădem $\displaystyle 1$ , din $\displaystyle -2y+1$ scădem $\displaystyle 1$ , iar celelalte elemente rămân neschimbate. Egalăm rezultatul cu matricea nulă $\displaystyle O_2$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}x-3&y\\-2x+z+5&-2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Obținem un sistem de patru ecuații.
$\displaystyle x-3=0$ , $\displaystyle \quad y=0$ , $\displaystyle \quad -2x+z+5=0$ , $\displaystyle \quad -2y=0$
Din prima ecuație rezultă $\displaystyle x=3$ , iar din a doua $\displaystyle y=0$ , ceea ce verifică și a patra ecuație. Înlocuim $\displaystyle x=3$ în a treia ecuație: $\displaystyle -6+z+5=0$ , deci $\displaystyle z=1$ .
$\displaystyle x=3$ , $\displaystyle \ y=0$ , $\displaystyle \ z=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=xy+x^2+y^2-1

.

Arătați că

\displaystyle 1\circ(0\circ 2)=12

.

Vezi rezolvarea

Legea este $\displaystyle x\circ y=xy+x^2+y^2-1$ . Calculăm mai întâi paranteza $\displaystyle 0\circ 2$ , înlocuind $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle y=2$ .
$\displaystyle 0\circ 2=0\cdot 2+0^2+2^2-1$
Efectuăm calculele: $\displaystyle 0\cdot 2=0$ , $\displaystyle 0^2=0$ , $\displaystyle 2^2=4$ , deci obținem $\displaystyle 0+0+4-1=3$ .
$\displaystyle 0\circ 2=3$
Înlocuim rezultatul în expresia dată: $\displaystyle 1\circ(0\circ 2)=1\circ 3$ . Aplicăm din nou definiția, cu $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=3$ .
$\displaystyle 1\circ 3=1\cdot 3+1^2+3^2-1$
Calculăm: $\displaystyle 1\cdot 3=3$ , $\displaystyle 1^2=1$ , $\displaystyle 3^2=9$ , deci $\displaystyle 3+1+9-1=12$ . Am arătat că $\displaystyle 1\circ(0\circ 2)=12$ .
$\displaystyle 1\circ(0\circ 2)=1\circ 3=3+1+9-1=12$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=xy+x^2+y^2-1

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x\circ(-x)=3

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția legii $\displaystyle x\circ y=xy+x^2+y^2-1$ și înlocuim $\displaystyle y$ cu $\displaystyle -x$ : $\displaystyle x\circ(-x)=x\cdot(-x)+x^2+(-x)^2-1$ .
$\displaystyle x\circ(-x)=x\cdot(-x)+x^2+(-x)^2-1$
Calculăm: $\displaystyle x\cdot(-x)=-x^2$ și $\displaystyle (-x)^2=x^2$ , deci $\displaystyle x\circ(-x)=-x^2+x^2+x^2-1=x^2-1$ .
$\displaystyle x\circ(-x)=-x^2+x^2+x^2-1=x^2-1$
Punem condiția $\displaystyle x\circ(-x)=3$ , adică $\displaystyle x^2-1=3$ . Mutăm termenii într-o parte și obținem $\displaystyle x^2-4=0$ .
$\displaystyle x^2-1=3\Leftrightarrow x^2-4=0$
Descompunem $\displaystyle x^2-4=(x-2)(x+2)=0$ , deci $\displaystyle x=-2$ sau $\displaystyle x=2$ . Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
$\displaystyle x=-2\text{ sau }x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x\circ y=xy+x^2+y^2-1

.

Determinați perechile

\displaystyle (m,n)

de numere naturale pentru care

\displaystyle m\circ n=-mn

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii: $\displaystyle m\circ n=mn+m^{2}+n^{2}-1$ , deci condiția $\displaystyle m\circ n=-mn$ devine o ecuație în $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ .
$\displaystyle mn+m^{2}+n^{2}-1=-mn$
Adunăm $\displaystyle mn$ în ambii membri și $\displaystyle 1$ în ambii membri, apoi reducem termenii asemenea: $\displaystyle mn+mn=2mn$ .
$\displaystyle m^{2}+n^{2}+2mn=1$
Membrul stâng este dezvoltarea pătratului sumei: $\displaystyle m^{2}+2mn+n^{2}=(m+n)^{2}$ .
$\displaystyle (m+n)^{2}=1$
Din $\displaystyle (m+n)^{2}=1$ rezultă $\displaystyle m+n=1$ sau $\displaystyle m+n=-1$ . Cum $\displaystyle m,n\in\mathbb{N}$ , suma $\displaystyle m+n\ge 0$ , deci $\displaystyle m+n=-1$ nu convine. Rămâne $\displaystyle m+n=1$ .
$\displaystyle m+n=1$
Numerele naturale cu suma $\displaystyle 1$ sunt $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ , în oricare ordine. Perechile cerute sunt $\displaystyle (0,1)$ și $\displaystyle (1,0)$ .
$\displaystyle (0,1)\text{ și }(1,0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{4x}{(x^2+1)^2}

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un cât de două funcții, deci folosim formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}$ . Aici $\displaystyle u(x)=x^{2}-1$ și $\displaystyle v(x)=x^{2}+1$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x^{2}-1)'\cdot(x^{2}+1)-(x^{2}-1)\cdot(x^{2}+1)'}{(x^{2}+1)^{2}}$
Calculăm derivatele: $\displaystyle (x^{2}-1)'=2x$ și $\displaystyle (x^{2}+1)'=2x$ , deoarece derivata unei constante este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle (x^{2}-1)'=2x$ , $\displaystyle \ (x^{2}+1)'=2x$
Înlocuim derivatele în formula câtului și obținem expresia din barem.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x\cdot(x^{2}+1)-(x^{2}-1)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}$
Dăm factor comun pe $\displaystyle 2x$ la numărător.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x\cdot\left((x^{2}+1)-(x^{2}-1)\right)}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{2x\cdot(x^{2}+1-x^{2}+1)}{(x^{2}+1)^{2}}$
Reducem termenii $\displaystyle x^{2}$ din paranteză: $\displaystyle x^{2}-x^{2}=0$ și $\displaystyle 1+1=2$ , deci paranteza este egală cu $\displaystyle 2$ . Numărătorul devine $\displaystyle 2x\cdot 2=4x$ . Așadar relația cerută este adevărată pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x\cdot 2}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$ în limita cerută: $\displaystyle \dfrac{f(x)}{x-1}=\dfrac{x^2-1}{(x^2+1)(x-1)}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{(x-1)(x^2+1)}$
Pentru $\displaystyle x\to 1$ numărătorul și numitorul tind la $\displaystyle 0$ , deci avem nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ . Descompunem $\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1)$ .
$\displaystyle \frac{x^2-1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+1)}$
Simplificăm factorul $\displaystyle x-1$ , care este nenul pentru $\displaystyle x\neq 1$ (în limită, $\displaystyle x$ se apropie de $\displaystyle 1$ , dar nu este egal cu $\displaystyle 1$ ).
$\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{(x-1)(x^2+1)}=\lim_{x\to 1}\frac{x+1}{x^2+1}$
Funcția rămasă este continuă în $\displaystyle 1$ , deci înlocuim direct $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle \dfrac{1+1}{1^2+1}=\dfrac{2}{2}=1$ .
$\displaystyle \frac{2}{2}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f

este convexă pe

\displaystyle \left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]

.

Vezi rezolvarea

Scriem funcția sub forma $\displaystyle f(x)=1-\dfrac{2}{x^{2}+1}$ , pentru a deriva mai ușor, deoarece $\displaystyle \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}=\dfrac{(x^{2}+1)-2}{x^{2}+1}$ .
$\displaystyle f(x)=1-\dfrac{2}{x^{2}+1}$
Calculăm derivata întâi. Cum $\displaystyle \left(\dfrac{2}{x^{2}+1}\right)'=-\dfrac{2\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}$ , obținem $\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}$
Derivăm încă o dată, cu formula derivatei unui cât: $\displaystyle f''(x)=\dfrac{4(x^{2}+1)^{2}-4x\cdot 2(x^{2}+1)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{4}}$ . Simplificăm prin $\displaystyle x^{2}+1$ și obținem $\displaystyle f''(x)=\dfrac{4(x^{2}+1)-16x^{2}}{(x^{2}+1)^{3}}=\dfrac{4(1-3x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}$ .
$\displaystyle f''(x)=\dfrac{4(1-3x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$
Numitorul $\displaystyle (x^{2}+1)^{3}$ este strict pozitiv pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ , deci semnul lui $\displaystyle f''(x)$ este dat de semnul lui $\displaystyle 1-3x^{2}$ .
$\displaystyle f''(x)\ge 0\iff 1-3x^{2}\ge 0$
Rezolvăm inegalitatea: $\displaystyle 1-3x^{2}\ge 0$ înseamnă $\displaystyle x^{2}\le \dfrac{1}{3}$ , adică $\displaystyle |x|\le \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .
$\displaystyle x\in\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right]$
Deci $\displaystyle f''(x)\ge 0$ pentru orice $\displaystyle x\in\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right]$ , prin urmare funcția $\displaystyle f$ este convexă pe acest interval.
$\displaystyle f''(x)\ge 0\text{, pentru orice }x\in\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right]\text{, deci }f\text{ este convexă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3+x^2+3x

.

Arătați că

\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-x^2-3x\right)dx=0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=x^3+x^2+3x$ în integrand: $\displaystyle f(x)-x^2-3x=x^3+x^2+3x-x^2-3x$ .
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(x^3+x^2+3x-x^2-3x\right)dx$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle x^2-x^2=0$ și $\displaystyle 3x-3x=0$ . Rămâne doar $\displaystyle x^3$ , deci integrala devine integrala lui $\displaystyle x^3$ .
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(x^3+x^2+3x-x^2-3x\right)dx=\int_{-1}^{1}x^3\,dx$
Aplicăm formula $\displaystyle \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ pentru $\displaystyle n=3$ : o primitivă a lui $\displaystyle x^3$ este $\displaystyle \dfrac{x^4}{4}$ .
$\displaystyle \int_{-1}^{1}x^3\,dx=\dfrac{x^4}{4}\Big|_{-1}^{1}$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în $\displaystyle 1$ minus valoarea în $\displaystyle -1$ . Cum $\displaystyle (-1)^4=1$ , cei doi termeni sunt egali și diferența lor este $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \frac{x^4}{4}\Big|_{-1}^{1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3+x^2+3x

.

Arătați că

\displaystyle \int_{0}^{1}\left(f(x)-x^3-x^2\right)e^xdx=3

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=x^3+x^2+3x$ în integrand și reducem termenii asemenea: $\displaystyle f(x)-x^3-x^2=3x$ .
$\displaystyle f(x)-x^3-x^2=3x$
Integrala devine $\displaystyle \int_{0}^{1}3xe^x\,dx$ , iar constanta $\displaystyle 3$ se scoate în fața integralei.
$\displaystyle 3\int_{0}^{1}xe^x\,dx$
Integrăm prin părți: alegem $\displaystyle u=x$ și $\displaystyle dv=e^x\,dx$ , deci $\displaystyle du=dx$ și $\displaystyle v=e^x$ .
$\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$
Aplicăm formula Leibniz-Newton pentru primitiva găsită, înmulțită cu $\displaystyle 3$ , între limitele $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle 3\int_{0}^{1}xe^x\,dx=3(x-1)e^x\Big|_{0}^{1}$
Calculăm valorile la limite: pentru $\displaystyle x=1$ obținem $\displaystyle (1-1)e^1=0$ , iar pentru $\displaystyle x=0$ obținem $\displaystyle (0-1)e^0=-1$ . Diferența este $\displaystyle 0-(-1)=1$ , deci rezultatul este $\displaystyle 3\cdot 1=3$ .
$\displaystyle 3\left[(1-1)e-(0-1)\cdot 1\right]=3\cdot 1=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3+x^2+3x

.

Se consideră funcția

\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

, primitiva funcției

\displaystyle f

pentru care

\displaystyle F(0)=1

. Demonstrați că

\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{f(x)}{F^2(x)}dx=\frac{25}{37}

.

Vezi rezolvarea

Aflăm primitivele funcției $\displaystyle f$ , integrând termen cu termen: primitiva lui $\displaystyle x^{3}$ este $\displaystyle \dfrac{x^{4}}{4}$ , a lui $\displaystyle x^{2}$ este $\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}$ , iar a lui $\displaystyle 3x$ este $\displaystyle \dfrac{3x^{2}}{2}$ , plus o constantă $\displaystyle c$ .
$\displaystyle F(x)=\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+c$ , $\displaystyle \ c\in\mathbb{R}$
Impunem condiția $\displaystyle F(0)=1$ . Prin înlocuirea lui $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 0$ toți termenii cu $\displaystyle x$ se anulează și rămâne $\displaystyle c=1$ .
$\displaystyle c=1\text{, deci }F(x)=\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+1$
Observăm că $\displaystyle F$ este primitiva lui $\displaystyle f$ , deci $\displaystyle F'(x)=f(x)$ . Atunci $\displaystyle \dfrac{f(x)}{F^{2}(x)}=\dfrac{F'(x)}{F^{2}(x)}$ , adică derivata funcției $\displaystyle -\dfrac{1}{F(x)}$ . Funcția $\displaystyle F$ este strict pozitivă pe $\displaystyle [0,1]$ , deci integrala are sens.
$\displaystyle \frac{f(x)}{F^{2}(x)}=\frac{F'(x)}{F^{2}(x)}=\left(-\frac{1}{F(x)}\right)'$
Calculăm $\displaystyle F(1)$ prin aducerea la același numitor: $\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{3+4+18+12}{12}$ .
$\displaystyle F(1)=\frac{37}{12}$
Integrăm folosind formula Leibniz-Newton și valorile $\displaystyle F(1)=\dfrac{37}{12}$ și $\displaystyle F(0)=1$ . Obținem $\displaystyle -\dfrac{12}{37}+1=\dfrac{25}{37}$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{f(x)}{F^{2}(x)}dx=-\frac{1}{F(x)}\Big|_{0}^{1}=-\frac{1}{F(1)}+\frac{1}{F(0)}=-\frac{12}{37}+1=\frac{25}{37}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 12: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani