Bac matematică M3 tehnologic 2021, model, test de evaluare 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (3+5)2−5(6+25)=4\displaystyle \left(3+\sqrt{5}\right)^2-\sqrt{5}\left(6+2\sqrt{5}\right)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm pătratul sumei cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, unde a=3\displaystyle a=3 și b=5\displaystyle b=\sqrt{5}.
    (3+5)2=32+2⋅3⋅5+(5)2=9+65+5\displaystyle \left(3+\sqrt{5}\right)^2=3^2+2\cdot 3\cdot\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2=9+6\sqrt{5}+5
  2. Efectuăm produsul dintre 5\displaystyle \sqrt{5} și paranteză, înmulțind 5\displaystyle \sqrt{5} cu fiecare termen: 5⋅6=65\displaystyle \sqrt{5}\cdot 6=6\sqrt{5}, iar 5⋅25=2⋅5=10\displaystyle \sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}=2\cdot 5=10.
    5(6+25)=65+10\displaystyle \sqrt{5}\left(6+2\sqrt{5}\right)=6\sqrt{5}+10
  3. Scriem expresia dată cu cele două rezultate, având grijă la semnul minus dinaintea produsului, care schimbă semnul ambilor termeni.
    9+65+5−65−10\displaystyle 9+6\sqrt{5}+5-6\sqrt{5}-10
  4. Reducem termenii asemenea: 65−65=0\displaystyle 6\sqrt{5}-6\sqrt{5}=0, apoi calculăm numerele întregi: 9+5=14\displaystyle 9+5=14, iar 14−10=4\displaystyle 14-10=4. Deci egalitatea este adevărată.
    14−10=4\displaystyle 14-10=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x+1\displaystyle f(x)=5x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=3x−1\displaystyle g(x)=3x-1. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.
Vezi rezolvarea
  1. Într-un punct de intersecție, ordonata este aceeași pe ambele grafice, deci abscisa x\displaystyle x verifică egalitatea f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x).
    f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x)
  2. Înlocuim expresiile funcțiilor: 5x+1=3x−1\displaystyle 5x+1=3x-1.
    5x+1=3x−1\displaystyle 5x+1=3x-1
  3. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: 5x−3x=−1−1\displaystyle 5x-3x=-1-1, adică 2x=−2\displaystyle 2x=-2.
    2x=−2\displaystyle 2x=-2
  4. Împărțim ambii membri la 2\displaystyle 2: x=−22=−1\displaystyle x=\dfrac{-2}{2}=-1. Aceasta este abscisa punctului de intersecție.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x+4=4x+3\displaystyle 2^{x+4}=4^{x+3}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 4=22\displaystyle 4=2^{2}, deci putem scrie ambii membri ai ecuației 2x+4=4x+3\displaystyle 2^{x+4}=4^{x+3} ca puteri ale lui 2\displaystyle 2.
    4=22\displaystyle 4=2^{2}
  2. Înlocuim 4\displaystyle 4 cu 22\displaystyle 2^{2} în membrul drept și folosim regula (am)n=amn\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}: 4x+3=(22)x+3=22(x+3)\displaystyle 4^{x+3}=\left(2^{2}\right)^{x+3}=2^{2(x+3)}. Ecuația devine 2x+4=22(x+3)\displaystyle 2^{x+4}=2^{2(x+3)}.
    2x+4=22(x+3)\displaystyle 2^{x+4}=2^{2(x+3)}
  3. Funcția t↦2t\displaystyle t\mapsto 2^{t} este injectivă, deci două puteri ale lui 2\displaystyle 2 sunt egale doar dacă exponenții sunt egali. Obținem x+4=2(x+3)\displaystyle x+4=2(x+3), adică x+4=2x+6\displaystyle x+4=2x+6.
    x+4=2x+6\displaystyle x+4=2x+6
  4. Mutăm termenii cu x\displaystyle x într-o parte și numerele în cealaltă: x−2x=6−4\displaystyle x-2x=6-4, deci −x=2\displaystyle -x=2.
    −x=2\displaystyle -x=2
  5. Înmulțim cu −1\displaystyle -1 și obținem soluția x=−2\displaystyle x=-2, care este număr real, deci convine. Verificare: 22=4\displaystyle 2^{2}=4 și 41=4\displaystyle 4^{1}=4.
    x=−2\displaystyle x=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Un produs costă 360\displaystyle 360 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu 15%\displaystyle 15\%.
Vezi rezolvarea
  1. Scumpirea cu 15%\displaystyle 15\% înseamnă că prețul crește cu 15%\displaystyle 15\% din prețul inițial de 360\displaystyle 360 de lei. Prețul nou este prețul inițial plus 15100\displaystyle \dfrac{15}{100} din 360\displaystyle 360: 360+15100⋅360\displaystyle 360+\dfrac{15}{100}\cdot 360.
    360+15100⋅360\displaystyle 360+\frac{15}{100}\cdot 360
  2. Calculăm 15%\displaystyle 15\% din 360\displaystyle 360: 15100⋅360=15⋅3,6=54\displaystyle \dfrac{15}{100}\cdot 360=15\cdot 3{,}6=54 lei.
    15100⋅360=54\displaystyle \frac{15}{100}\cdot 360=54
  3. Adunăm scumpirea la prețul inițial: 360+54=414\displaystyle 360+54=414. Prețul produsului după scumpire este 414\displaystyle 414 lei.
    360+54=414 lei\displaystyle 360+54=414\text{ lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−2,3)\displaystyle A(-2,3), B(−1,−4)\displaystyle B(-1,-4) și C(5,4)\displaystyle C(5,4). Arătați că triunghiul AMC\displaystyle AMC este dreptunghic, unde M\displaystyle M este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm coordonatele mijlocului M\displaystyle M al segmentului BC\displaystyle BC, folosind formulele mijlocului: xM=xB+xC2\displaystyle x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2} și yM=yB+yC2\displaystyle y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}.
    xM=−1+52=2\displaystyle x_M=\dfrac{-1+5}{2}=2,yM=−4+42=0\displaystyle \quad y_M=\dfrac{-4+4}{2}=0
  2. Deducem coordonatele punctului M\displaystyle M.
    M(2,0)\displaystyle M(2,0)
  3. Calculăm panta dreptei AM\displaystyle AM, cu formula m=yM−yAxM−xA\displaystyle m=\dfrac{y_M-y_A}{x_M-x_A}.
    mAM=0−32−(−2)=−34=−34\displaystyle m_{AM}=\dfrac{0-3}{2-(-2)}=\dfrac{-3}{4}=-\dfrac{3}{4}
  4. Calculăm panta dreptei MC\displaystyle MC, cu aceeași formulă: m=yC−yMxC−xM\displaystyle m=\dfrac{y_C-y_M}{x_C-x_M}.
    mMC=4−05−2=43\displaystyle m_{MC}=\dfrac{4-0}{5-2}=\dfrac{4}{3}
  5. Înmulțim cele două pante. Produsul fiind egal cu −1\displaystyle -1, dreptele AM\displaystyle AM și MC\displaystyle MC sunt perpendiculare, deci ∠AMC=90∘\displaystyle \angle AMC=90^\circ și triunghiul AMC\displaystyle AMC este dreptunghic în M\displaystyle M.
    mAM⋅mMC=−34⋅43=−1  ⇒  AM⊥MC\displaystyle m_{AM}\cdot m_{MC}=-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{3}=-1\;\Rightarrow\; AM\perp MC
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, în care unghiurile A\displaystyle A și B\displaystyle B au măsurile egale cu 30∘\displaystyle 30^\circ, respectiv 45∘\displaystyle 45^\circ și BC=4\displaystyle BC=4. Determinați lungimea laturii AC\displaystyle AC a triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Latura BC\displaystyle BC este opusă unghiului A=30∘\displaystyle A=30^\circ, iar latura AC\displaystyle AC este opusă unghiului B=45∘\displaystyle B=45^\circ. Putem aplica teorema sinusurilor: BCsin⁡A=ACsin⁡B\displaystyle \dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}.
    BCsin⁡A=ACsin⁡B\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}
  2. Folosim valorile cunoscute: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. Înlocuim în relație: 412=AC22\displaystyle \dfrac{4}{\frac{1}{2}}=\dfrac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}.
    412=AC22\displaystyle \frac{4}{\frac{1}{2}}=\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
  4. Membrul stâng este 412=4⋅2=8\displaystyle \dfrac{4}{\frac{1}{2}}=4\cdot 2=8, deci 8=AC22\displaystyle 8=\dfrac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}.
    8=AC22\displaystyle 8=\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
  5. Înmulțim cu 22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}: AC=8⋅22=42\displaystyle AC=8\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}.
    AC=8⋅22=42\displaystyle AC=8\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−4−23)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix} și B=(−1x1−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&x\\1&-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordinul doi: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Pentru matricea A\displaystyle A avem a=3\displaystyle a=3, b=−4\displaystyle b=-4, c=−2\displaystyle c=-2, d=3\displaystyle d=3. Înlocuim aceste valori în formulă: produsul de pe diagonala principală este 3⋅3\displaystyle 3\cdot 3, iar produsul de pe diagonala secundară este (−4)⋅(−2)\displaystyle (-4)\cdot(-2).
    det⁡A=∣3−4−23∣=3⋅3−(−4)⋅(−2)\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&-4\\-2&3\end{vmatrix}=3\cdot 3-(-4)\cdot(-2)
  3. Calculăm produsele: 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9, iar (−4)⋅(−2)=8\displaystyle (-4)\cdot(-2)=8, deoarece produsul a două numere negative este pozitiv. Scădem și obținem 9−8=1\displaystyle 9-8=1, deci det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
    9−8=1\displaystyle 9-8=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−4−23)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix} și B=(−1x1−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&x\\1&-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care B⋅B=A\displaystyle B\cdot B=A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul B⋅B\displaystyle B\cdot B folosind regula de înmulțire a matricelor: fiecare element se obține înmulțind linia din prima matrice cu coloana din a doua.
    B⋅B=(−1x1−1)⋅(−1x1−1)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}-1&x\\1&-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&x\\1&-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele de pe prima linie: (−1)(−1)+x⋅1=1+x\displaystyle (-1)(-1)+x\cdot 1=1+x și (−1)⋅x+x⋅(−1)=−2x\displaystyle (-1)\cdot x+x\cdot(-1)=-2x.
    (1+x−2x)\displaystyle \begin{pmatrix}1+x&-2x\end{pmatrix}
  3. Calculăm elementele de pe a doua linie: 1⋅(−1)+(−1)⋅1=−2\displaystyle 1\cdot(-1)+(-1)\cdot 1=-2 și 1⋅x+(−1)(−1)=x+1\displaystyle 1\cdot x+(-1)(-1)=x+1. Obținem matricea produs.
    B⋅B=(1+x−2x−2x+1)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}1+x&-2x\\-2&x+1\end{pmatrix}
  4. Egalăm matricea B⋅B\displaystyle B\cdot B cu A\displaystyle A, element cu element. Din 1+x=3\displaystyle 1+x=3 obținem x=2\displaystyle x=2, iar din −2x=−4\displaystyle -2x=-4 obținem același rezultat.
    (1+x−2x−2x+1)=(3−4−23)\displaystyle \begin{pmatrix}1+x&-2x\\-2&x+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix}
  5. Verificăm: pentru x=2\displaystyle x=2 avem 1+x=3\displaystyle 1+x=3, −2x=−4\displaystyle -2x=-4, x+1=3\displaystyle x+1=3, iar elementul −2\displaystyle -2 coincide cu cel din A\displaystyle A. Toate egalitățile sunt satisfăcute, deci x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(3−4−23)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix} și B=(−1x1−1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&x\\1&-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(B+(det⁡B)A)=0\displaystyle \det\left(B+(\det B)A\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei B\displaystyle B: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡B=(−1)⋅(−1)−x⋅1\displaystyle \det B=(-1)\cdot(-1)-x\cdot 1.
    det⁡B=1−x\displaystyle \det B=1-x
  2. Scriem matricea B+(1−x)A\displaystyle B+(1-x)A, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu 1−x\displaystyle 1-x și adunând cu elementul corespunzător din B\displaystyle B: −1+3(1−x)=2−3x\displaystyle -1+3(1-x)=2-3x, x−4(1−x)=5x−4\displaystyle x-4(1-x)=5x-4, 1−2(1−x)=2x−1\displaystyle 1-2(1-x)=2x-1, −1+3(1−x)=2−3x\displaystyle -1+3(1-x)=2-3x.
    B+(det⁡B)A=(−3x+25x−42x−1−3x+2)\displaystyle B+(\det B)A=\begin{pmatrix}-3x+2&5x-4\\2x-1&-3x+2\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: (2−3x)2−(5x−4)(2x−1)=9x2−12x+4−(10x2−13x+4)\displaystyle (2-3x)^2-(5x-4)(2x-1)=9x^2-12x+4-(10x^2-13x+4). Reducem termenii asemenea și obținem −x2+x\displaystyle -x^2+x.
    det⁡(B+(det⁡B)A)=−x2+x\displaystyle \det\left(B+(\det B)A\right)=-x^2+x
  4. Egalăm determinantul cu zero: −x2+x=0\displaystyle -x^2+x=0. Dăm factor comun: x(1−x)=0\displaystyle x(1-x)=0, deci x=0\displaystyle x=0 sau x=1\displaystyle x=1.
    x=0 sau x=1\displaystyle x=0\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x+y+16\displaystyle x\circ y=x+y+16.

Arătați că (−8)∘2=10\displaystyle (-8)\circ 2=10.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, x∘y=x+y+16\displaystyle x\circ y=x+y+16.
    x∘y=x+y+16\displaystyle x\circ y=x+y+16
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu −8\displaystyle -8 și y\displaystyle y cu 2\displaystyle 2 în definiția legii.
    (−8)∘2=−8+2+16\displaystyle (-8)\circ 2=-8+2+16
  3. Calculăm mai întâi −8+2=−6\displaystyle -8+2=-6, apoi adunăm 16\displaystyle 16 și obținem 10\displaystyle 10, adică exact egalitatea cerută.
    −6+16=10\displaystyle -6+16=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x+y+16\displaystyle x\circ y=x+y+16.

Determinați elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul neutru e\displaystyle e trebuie să verifice x∘e=x\displaystyle x\circ e=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Folosind definiția legii, obținem x+e+16=x\displaystyle x+e+16=x.
    x+e+16=x\displaystyle x+e+16=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Scădem x\displaystyle x din ambii membri: e+16=0\displaystyle e+16=0, deci e=−16\displaystyle e=-16.
    e+16=0 ⇒ e=−16\displaystyle e+16=0\ \Rightarrow\ e=-16
  3. Legea este comutativă, deoarece adunarea numerelor reale este comutativă, deci e∘x=x∘e=x\displaystyle e\circ x=x\circ e=x. Verificăm direct valoarea găsită: (−16)∘x=−16+x+16=x\displaystyle (-16)\circ x=-16+x+16=x. Prin urmare, elementul neutru este e=−16\displaystyle e=-16.
    −16∘x=−16+x+16=x\displaystyle -16\circ x=-16+x+16=x, e=−16\displaystyle \ e=-16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=x+y+16\displaystyle x\circ y=x+y+16.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∘(x2+3)∘x=2x\displaystyle x\circ\left(\frac{x}{2}+3\right)\circ x=2x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima compunere, x∘(x2+3)\displaystyle x\circ\left(\frac{x}{2}+3\right), aplicând definiția x∘y=x+y+16\displaystyle x\circ y=x+y+16 cu y=x2+3\displaystyle y=\frac{x}{2}+3.
    x∘(x2+3)=x+x2+3+16\displaystyle x\circ\left(\frac{x}{2}+3\right)=x+\frac{x}{2}+3+16
  2. Reducem termenii asemenea: x+x2=3x2\displaystyle x+\frac{x}{2}=\frac{3x}{2} și 3+16=19\displaystyle 3+16=19.
    x∘(x2+3)=3x2+19\displaystyle x\circ\left(\frac{x}{2}+3\right)=\frac{3x}{2}+19
  3. Legea este asociativă, deci putem compune rezultatul de mai sus cu x\displaystyle x, adică (3x2+19)∘x=3x2+19+x+16\displaystyle \left(\frac{3x}{2}+19\right)\circ x=\frac{3x}{2}+19+x+16. Adunăm: 3x2+x=5x2\displaystyle \frac{3x}{2}+x=\frac{5x}{2} și 19+16=35\displaystyle 19+16=35.
    x∘(x2+3)∘x=5x2+35\displaystyle x\circ\left(\frac{x}{2}+3\right)\circ x=\frac{5x}{2}+35
  4. Egalăm cu 2x\displaystyle 2x, conform enunțului, și obținem o ecuație de gradul întâi.
    5x2+35=2x\displaystyle \frac{5x}{2}+35=2x
  5. Înmulțim ecuația cu 2\displaystyle 2 ca să scăpăm de numitor: 5x+70=4x\displaystyle 5x+70=4x. Apoi trecem 4x\displaystyle 4x în stânga și 70\displaystyle 70 în dreapta: x=−70\displaystyle x=-70.
    x=−70\displaystyle x=-70
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+ln⁡x−2\displaystyle f(x)=\frac{2}{x^2}+\ln x-2.

Arătați că f′(x)=(x−2)(x+2)x3\displaystyle f'(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x^3}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem primul termen ca putere: 2x2=2x−2\displaystyle \dfrac{2}{x^{2}}=2x^{-2}, deci f(x)=2x−2+ln⁡x−2\displaystyle f(x)=2x^{-2}+\ln x-2.
    f(x)=2x−2+ln⁡x−2\displaystyle f(x)=2x^{-2}+\ln x-2
  2. Derivăm termen cu termen: (2x−2)′=−4x−3=−4x3\displaystyle \left(2x^{-2}\right)'=-4x^{-3}=-\dfrac{4}{x^{3}}, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x} și (−2)′=0\displaystyle (-2)'=0.
    f′(x)=−4x3+1x−0\displaystyle f'(x)=-\frac{4}{x^{3}}+\frac{1}{x}-0
  3. Aducem fracțiile la numitorul comun x3\displaystyle x^{3}: amplificăm fracția 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} cu x2\displaystyle x^{2}, deci 1x=x2x3\displaystyle \dfrac{1}{x}=\dfrac{x^{2}}{x^{3}}.
    f′(x)=−4+x2x3=x2−4x3\displaystyle f'(x)=\frac{-4+x^{2}}{x^{3}}=\frac{x^{2}-4}{x^{3}}
  4. Descompunem numărătorul cu formula diferenței de pătrate: x2−4=x2−22=(x−2)(x+2)\displaystyle x^{2}-4=x^{2}-2^{2}=(x-2)(x+2). Obținem egalitatea cerută pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=x2−4x3=(x−2)(x+2)x3\displaystyle f'(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{3}}=\frac{(x-2)(x+2)}{x^{3}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+ln⁡x−2\displaystyle f(x)=\frac{2}{x^2}+\ln x-2.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1). Trebuie deci să calculăm f(1)\displaystyle f(1) și f′(1)\displaystyle f'(1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x=1\displaystyle x=1: f(1)=212+ln⁡1−2=2+0−2\displaystyle f(1)=\dfrac{2}{1^{2}}+\ln 1-2=2+0-2.
    f(1)=0\displaystyle f(1)=0
  3. Derivăm funcția. Scriem 2x2=2x−2\displaystyle \dfrac{2}{x^{2}}=2x^{-2}, deci derivata sa este −4x3\displaystyle -\dfrac{4}{x^{3}}. Derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, iar derivata constantei este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=−4x3+1x\displaystyle f'(x)=-\dfrac{4}{x^{3}}+\dfrac{1}{x}
  4. Calculăm f′(1)=−413+11=−4+1\displaystyle f'(1)=-\dfrac{4}{1^{3}}+\dfrac{1}{1}=-4+1.
    f′(1)=−3\displaystyle f'(1)=-3
  5. Înlocuim f(1)=0\displaystyle f(1)=0 și f′(1)=−3\displaystyle f'(1)=-3 în formula tangentei: y−0=−3(x−1)\displaystyle y-0=-3(x-1). Desfacem parantezele și obținem ecuația tangentei: y=−3x+3\displaystyle y=-3x+3.
    y=−3x+3\displaystyle y=-3x+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+ln⁡x−2\displaystyle f(x)=\frac{2}{x^2}+\ln x-2.

Arătați că lim⁡x→1x2f(x)x3−1=−1\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^2f(x)}{x^3-1}=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x2f(x)=x2(2x2+ln⁡x−2)\displaystyle x^{2}f(x)=x^{2}\left(\dfrac{2}{x^{2}}+\ln x-2\right) și obținem 2+x2ln⁡x−2x2\displaystyle 2+x^{2}\ln x-2x^{2}.
    x2f(x)=2+x2ln⁡x−2x2\displaystyle x^{2}f(x)=2+x^{2}\ln x-2x^{2}
  2. Pentru x→1\displaystyle x\to1: numărătorul tinde la 2+1⋅ln⁡1−2=0\displaystyle 2+1\cdot\ln 1-2=0, iar numitorul x3−1\displaystyle x^{3}-1 tinde la 0\displaystyle 0. Avem cazul 00\displaystyle \dfrac{0}{0}, deci aplicăm regula lui L'Hospital.
    lim⁡x→1x2f(x)x3−1=lim⁡x→12+x2ln⁡x−2x2x3−1=lim⁡x→1(2+x2ln⁡x−2x2)′(x3−1)′\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^{2}f(x)}{x^{3}-1}=\lim_{x\to1}\frac{2+x^{2}\ln x-2x^{2}}{x^{3}-1}=\lim_{x\to1}\frac{\left(2+x^{2}\ln x-2x^{2}\right)'}{\left(x^{3}-1\right)'}
  3. Derivăm numărătorul: (2)′=0\displaystyle (2)'=0, (x2ln⁡x)′=2xln⁡x+x2⋅1x\displaystyle \left(x^{2}\ln x\right)'=2x\ln x+x^{2}\cdot\dfrac{1}{x} și (−2x2)′=−4x\displaystyle \left(-2x^{2}\right)'=-4x. Numitorul are derivata (x3−1)′=3x2\displaystyle \left(x^{3}-1\right)'=3x^{2}.
    lim⁡x→10+2xln⁡x+x2⋅1x−4x3x2−0\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{0+2x\ln x+x^{2}\cdot\frac{1}{x}-4x}{3x^{2}-0}
  4. Reducem termenii asemenea la numărător: x−4x=−3x\displaystyle x-4x=-3x, deci obținem 2xln⁡x−3x3x2\displaystyle \dfrac{2x\ln x-3x}{3x^{2}}. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și folosim ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0: 0−33=−1\displaystyle \dfrac{0-3}{3}=-1.
    lim⁡x→12xln⁡x−3x3x2=2⋅1⋅0−33=−1\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{2x\ln x-3x}{3x^{2}}=\frac{2\cdot1\cdot0-3}{3}=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−1\displaystyle f(x)=x^2-1.

Arătați că ∫01f(x) dx=−23\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=-\frac{2}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu x2−1\displaystyle x^2-1 în integrala dată.
    ∫01f(x) dx=∫01(x2−1)dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\left(x^2-1\right)dx
  2. Integrala unei diferențe este diferența integralelor. O primitivă a lui x2\displaystyle x^2 este x33\displaystyle \dfrac{x^3}{3}, iar o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x.
    ∫01(x2−1)dx=(x33−x)∣01\displaystyle \int_0^1\left(x^2-1\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în 1\displaystyle 1 și scădem valoarea ei în 0\displaystyle 0. În 0\displaystyle 0 primitiva este 0\displaystyle 0.
    (133−1)−(033−0)=13−1\displaystyle \left(\frac{1^3}{3}-1\right)-\left(\frac{0^3}{3}-0\right)=\frac{1}{3}-1
  4. Aducem la același numitor: 13−33\displaystyle \dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{3}. Obținem rezultatul cerut.
    13−1=−23\displaystyle \frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−1\displaystyle f(x)=x^2-1.

Arătați că ∫1e(f(x)+1)ln⁡x dx=2e3+19\displaystyle \int_1^e\left(f(x)+1\right)\ln x\,dx=\frac{2e^3+1}{9}.
Vezi rezolvarea
  1. Avem f(x)+1=x2−1+1=x2\displaystyle f(x)+1=x^{2}-1+1=x^{2}, deci integrala devine ∫1ex2ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e x^{2}\ln x\,dx.
    ∫1e(f(x)+1)ln⁡x dx=∫1ex2ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e\left(f(x)+1\right)\ln x\,dx=\int_1^e x^{2}\ln x\,dx
  2. Pregătim integrarea prin părți: x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3} este o primitivă a lui x2\displaystyle x^{2}, deci x2=(x33)′\displaystyle x^{2}=\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)'. Alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și v=x33\displaystyle v=\dfrac{x^{3}}{3}.
    ∫1ex2ln⁡x dx=∫1e(x33)′ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e x^{2}\ln x\,dx=\int_1^e\left(\frac{x^{3}}{3}\right)'\ln x\,dx
  3. Aplicăm formula ∫1ev′u dx=vu∣1e−∫1evu′ dx\displaystyle \int_1^e v'u\,dx=vu\Big|_1^e-\int_1^e vu'\,dx. Cum u′=1x\displaystyle u'=\dfrac{1}{x}, avem vu′=x33⋅1x=x23\displaystyle vu'=\dfrac{x^{3}}{3}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^{2}}{3}.
    ∫1ex2ln⁡x dx=x33ln⁡x∣1e−∫1ex23 dx\displaystyle \int_1^e x^{2}\ln x\,dx=\frac{x^{3}}{3}\ln x\Big|_1^e-\int_1^e\frac{x^{2}}{3}\,dx
  4. O primitivă a lui x23\displaystyle \dfrac{x^{2}}{3} este x39\displaystyle \dfrac{x^{3}}{9}. Obținem ∫1ex2ln⁡x dx=(x33ln⁡x−x39)∣1e\displaystyle \int_1^e x^{2}\ln x\,dx=\left(\dfrac{x^{3}}{3}\ln x-\dfrac{x^{3}}{9}\right)\Big|_1^e.
    (x33ln⁡x−x39)∣1e\displaystyle \left(\frac{x^{3}}{3}\ln x-\frac{x^{3}}{9}\right)\Big|_1^e
  5. La x=e\displaystyle x=e avem ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, deci valoarea este e33−e39\displaystyle \dfrac{e^{3}}{3}-\dfrac{e^{3}}{9}. La x=1\displaystyle x=1 avem ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, deci valoarea este −19\displaystyle -\dfrac{1}{9}. Scăzând, rezultă +19\displaystyle +\dfrac{1}{9}.
    (e33−e39)−(0−19)=e33−e39+19\displaystyle \left(\frac{e^{3}}{3}-\frac{e^{3}}{9}\right)-\left(0-\frac{1}{9}\right)=\frac{e^{3}}{3}-\frac{e^{3}}{9}+\frac{1}{9}
  6. Aducem la același numitor: e33=3e39\displaystyle \dfrac{e^{3}}{3}=\dfrac{3e^{3}}{9}, deci 3e39−e39+19=2e3+19\displaystyle \dfrac{3e^{3}}{9}-\dfrac{e^{3}}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{2e^{3}+1}{9}, ceea ce trebuia arătat.
    e33−e39+19=2e3+19\displaystyle \frac{e^{3}}{3}-\frac{e^{3}}{9}+\frac{1}{9}=\frac{2e^{3}+1}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−1\displaystyle f(x)=x^2-1.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty), pentru care ∫0π3(f(sin⁡x)+f(cos⁡x))tg⁡x dx=ln⁡a\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}}\left(f(\sin x)+f(\cos x)\right)\operatorname{tg}x\,dx=\ln a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(sin⁡x)\displaystyle f(\sin x) și f(cos⁡x)\displaystyle f(\cos x) folosind f(x)=x2−1\displaystyle f(x)=x^{2}-1, adică înlocuim x\displaystyle x cu sin⁡x\displaystyle \sin x, respectiv cu cos⁡x\displaystyle \cos x.
    f(sin⁡x)=sin⁡2x−1\displaystyle f(\sin x)=\sin^{2}x-1,f(cos⁡x)=cos⁡2x−1\displaystyle \quad f(\cos x)=\cos^{2}x-1
  2. Adunăm cele două expresii și folosim identitatea fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
    f(sin⁡x)+f(cos⁡x)=sin⁡2x+cos⁡2x−2=1−2=−1\displaystyle f(\sin x)+f(\cos x)=\sin^{2}x+\cos^{2}x-2=1-2=-1
  3. Înlocuim în integrală: integrandul devine −tg⁡x\displaystyle -\operatorname{tg}x.
    ∫0π3(f(sin⁡x)+f(cos⁡x))tg⁡x dx=∫0π3−tg⁡x dx\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}}\left(f(\sin x)+f(\cos x)\right)\operatorname{tg}x\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{3}}-\operatorname{tg}x\,dx
  4. Găsim o primitivă: tg⁡x=sin⁡xcos⁡x\displaystyle \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, iar (cos⁡x)′=−sin⁡x\displaystyle (\cos x)'=-\sin x, deci (ln⁡(cos⁡x))′=−sin⁡xcos⁡x=−tg⁡x\displaystyle (\ln(\cos x))'=\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\operatorname{tg}x. Pe [0,π3]\displaystyle \left[0,\dfrac{\pi}{3}\right] avem cos⁡x>0\displaystyle \cos x>0, deci ln⁡(cos⁡x)\displaystyle \ln(\cos x) are sens.
    ∫−tg⁡x dx=ln⁡(cos⁡x)+C\displaystyle \int-\operatorname{tg}x\,dx=\ln(\cos x)+C
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton și calculăm valorile la capete: cos⁡π3=12\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} și cos⁡0=1\displaystyle \cos 0=1, iar ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    ln⁡(cos⁡x)∣0π3=ln⁡(cos⁡π3)−ln⁡(cos⁡0)=ln⁡12−ln⁡1=ln⁡12\displaystyle \ln(\cos x)\Big|_0^{\frac{\pi}{3}}=\ln\left(\cos\frac{\pi}{3}\right)-\ln(\cos 0)=\ln\frac{1}{2}-\ln 1=\ln\frac{1}{2}
  6. Egalăm valoarea integralei cu ln⁡a\displaystyle \ln a: ln⁡12=ln⁡a\displaystyle \ln\dfrac{1}{2}=\ln a. Funcția logaritm este injectivă, deci a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2}, iar valoarea aparține intervalului (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci convine.
    ln⁡12=ln⁡a⇒a=12, care convine\displaystyle \ln\frac{1}{2}=\ln a\Rightarrow a=\frac{1}{2}\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.