Bac matematică M3 tehnologic 2013, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (3x+2)2=4\displaystyle (3x+2)^2=4.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem pătratul sumei: (3x+2)2=(3x)2+2⋅3x⋅2+22=9x2+12x+4\displaystyle (3x+2)^2=(3x)^2+2\cdot 3x\cdot 2+2^2=9x^2+12x+4, deci ecuația devine 9x2+12x+4=4\displaystyle 9x^2+12x+4=4.
    9x2+12x+4=4\displaystyle 9x^{2}+12x+4=4
  2. Scădem 4\displaystyle 4 din ambii membri și aducem ecuația la forma generală: 9x2+12x+4−4=0\displaystyle 9x^2+12x+4-4=0.
    9x2+12x=0\displaystyle 9x^{2}+12x=0
  3. Scoatem factorul comun 3x\displaystyle 3x: 3x(3x+4)=0\displaystyle 3x(3x+4)=0.
    3x(3x+4)=0\displaystyle 3x(3x+4)=0
  4. Un produs este zero când unul dintre factori este zero: 3x=0\displaystyle 3x=0 sau 3x+4=0\displaystyle 3x+4=0. Din prima obținem x=0\displaystyle x=0, iar din a doua 3x=−4\displaystyle 3x=-4, deci x=−43\displaystyle x=-\dfrac{4}{3}.
    x=0 sau x=−43\displaystyle x=0\text{ sau }x=-\frac{4}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care vârful parabolei asociate funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−x2+3mx+1\displaystyle f(x)=-x^2+3mx+1 are abscisa egală cu 32\displaystyle \frac{3}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții funcției f(x)=−x2+3mx+1\displaystyle f(x)=-x^{2}+3mx+1 scrisă sub forma ax2+bx+c\displaystyle ax^{2}+bx+c: a=−1\displaystyle a=-1, b=3m\displaystyle b=3m, c=1\displaystyle c=1.
    a=−1\displaystyle a=-1, b=3m\displaystyle \ b=3m, c=1\displaystyle \ c=1
  2. Abscisa vârfului parabolei este xV=−b2a\displaystyle x_V=-\dfrac{b}{2a}. Înlocuind coeficienții obținem xV=−3m2⋅(−1)\displaystyle x_V=-\dfrac{3m}{2\cdot(-1)}.
    xV=−b2a=−3m−2=3m2\displaystyle x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{3m}{-2}=\frac{3m}{2}
  3. Din enunț, abscisa vârfului este 32\displaystyle \dfrac{3}{2}, deci scriem ecuația 3m2=32\displaystyle \dfrac{3m}{2}=\dfrac{3}{2}.
    3m2=32\displaystyle \frac{3m}{2}=\frac{3}{2}
  4. Înmulțim ambii membri cu 2\displaystyle 2 și obținem 3m=3\displaystyle 3m=3. Apoi împărțim la 3\displaystyle 3 și rezultă m=1\displaystyle m=1.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 32x=9\displaystyle 3^{2x}=9.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept ca putere a lui 3\displaystyle 3: 9=32\displaystyle 9=3^{2}.
    9=32\displaystyle 9=3^{2}
  2. Înlocuim în ecuație și obținem puteri cu aceeași bază în ambii membri: 32x=32\displaystyle 3^{2x}=3^{2}.
    32x=32\displaystyle 3^{2x}=3^{2}
  3. Funcția exponențială cu baza 3\displaystyle 3 este injectivă, deci egalitatea puterilor implică egalitatea exponenților: 2x=2\displaystyle 2x=2.
    2x=2\displaystyle 2x=2
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem soluția ecuației: x=1\displaystyle x=1.
    2x=2⇒x=1\displaystyle 2x=2\Rightarrow x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați 5C42−A52\displaystyle 5C_4^2-A_5^2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula combinărilor: Cnk=n!k! (n−k)!\displaystyle C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}. Pentru n=4\displaystyle n=4 și k=2\displaystyle k=2 obținem C42=4!2!⋅2!\displaystyle C_4^2=\dfrac{4!}{2!\cdot 2!}.
    C42=4!2!⋅2!\displaystyle C_4^2=\dfrac{4!}{2!\cdot 2!}
  2. Calculăm: 4!=24\displaystyle 4!=24 și 2!=2\displaystyle 2!=2, deci C42=242⋅2=244=6\displaystyle C_4^2=\dfrac{24}{2\cdot 2}=\dfrac{24}{4}=6.
    C42=6\displaystyle C_4^2=6
  3. Scriem formula aranjamentelor: Ank=n!(n−k)!\displaystyle A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}. Pentru n=5\displaystyle n=5 și k=2\displaystyle k=2 obținem A52=5!3!\displaystyle A_5^2=\dfrac{5!}{3!}.
    A52=5!3!\displaystyle A_5^2=\dfrac{5!}{3!}
  4. Simplificăm 3!\displaystyle 3!: 5!=5⋅4⋅3!\displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3!, deci A52=5⋅4=20\displaystyle A_5^2=5\cdot 4=20.
    A52=20\displaystyle A_5^2=20
  5. Înlocuim valorile în expresie: 5C42−A52=5⋅6−20=30−20=10\displaystyle 5C_4^2-A_5^2=5\cdot 6-20=30-20=10.
    5C42−A52=10\displaystyle 5C_4^2-A_5^2=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−6,3)\displaystyle A(-6,3) și B(2,5)\displaystyle B(2,5). Determinați coordonatele mijlocului segmentului (AB)\displaystyle (AB).
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu C\displaystyle C mijlocul segmentului (AB)\displaystyle (AB). Coordonatele mijlocului sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor: xC=xA+xB2\displaystyle x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yC=yA+yB2\displaystyle y_C=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xC=xA+xB2\displaystyle x_C=\frac{x_A+x_B}{2}, yC=yA+yB2\displaystyle \ y_C=\frac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim xA=−6\displaystyle x_A=-6 și xB=2\displaystyle x_B=2 în formula abscisei: xC=−6+22=−42\displaystyle x_C=\dfrac{-6+2}{2}=\dfrac{-4}{2}.
    xC=−6+22=−2\displaystyle x_C=\frac{-6+2}{2}=-2
  3. Înlocuim yA=3\displaystyle y_A=3 și yB=5\displaystyle y_B=5 în formula ordonatei: yC=3+52=82=4\displaystyle y_C=\dfrac{3+5}{2}=\dfrac{8}{2}=4. Mijlocul segmentului este C(−2,4)\displaystyle C(-2,4).
    yC=3+52=4\displaystyle y_C=\frac{3+5}{2}=4, C(−2,4)\displaystyle \ C(-2,4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea diagonalei BD\displaystyle BD a rombului ABCD\displaystyle ABCD în care AB=4\displaystyle AB=4 și m(∡ABC)=120∘\displaystyle m(\measuredangle ABC)=120^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Într-un romb, unghiurile alăturate sunt suplementare, deci m(∡BAD)=180∘−m(∡ABC)=180∘−120∘\displaystyle m(\measuredangle BAD)=180^\circ-m(\measuredangle ABC)=180^\circ-120^\circ.
    m(∡BAD)=60∘\displaystyle m(\measuredangle BAD)=60^\circ
  2. Laturile rombului sunt congruente, deci AB=AD=4\displaystyle AB=AD=4. Triunghiul ABD\displaystyle ABD este isoscel cu unghiul de la vârf m(∡BAD)=60∘\displaystyle m(\measuredangle BAD)=60^\circ.
    AB=AD=4\displaystyle AB=AD=4, m(∡BAD)=60∘\displaystyle \ m(\measuredangle BAD)=60^\circ
  3. Unghiurile de la baza BD\displaystyle BD au fiecare măsura 180∘−60∘2=60∘\displaystyle \dfrac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ. Toate unghiurile sunt de 60∘\displaystyle 60^\circ, deci triunghiul ABD\displaystyle ABD este echilateral.
    ΔABD este echilateral\displaystyle \Delta ABD\text{ este echilateral}
  4. Într-un triunghi echilateral toate laturile sunt egale, deci BD=AB=4\displaystyle BD=AB=4.
    BD=4\displaystyle BD=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(−12x2−1xxx2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}-1&2&x\\2&-1&x\\x&x&2\end{pmatrix} și se notează determinantul ei cu Δ(x)\displaystyle \Delta(x).

Calculați Δ(1)\displaystyle \Delta(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x) și scriem determinantul de ordin 3 obținut: Δ(1)=∣−1212−11112∣\displaystyle \Delta(1)=\begin{vmatrix}-1&2&1\\2&-1&1\\1&1&2\end{vmatrix}.
    Δ(1)=∣−1212−11112∣\displaystyle \Delta(1)=\begin{vmatrix}-1&2&1\\2&-1&1\\1&1&2\end{vmatrix}
  2. Prin regula lui Sarrus, calculăm mai întâi suma produselor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: (−1)⋅(−1)⋅2\displaystyle (-1)\cdot(-1)\cdot 2, 2⋅1⋅1\displaystyle 2\cdot 1\cdot 1 și 1⋅2⋅1\displaystyle 1\cdot 2\cdot 1.
    (−1)⋅(−1)⋅2+2⋅1⋅1+1⋅2⋅1=2+2+2=6\displaystyle (-1)\cdot(-1)\cdot 2+2\cdot 1\cdot 1+1\cdot 2\cdot 1=2+2+2=6
  3. Calculăm apoi suma produselor de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: 1⋅(−1)⋅1\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1, (−1)⋅1⋅1\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot 1 și 2⋅2⋅2\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2.
    1⋅(−1)⋅1+(−1)⋅1⋅1+2⋅2⋅2=−1−1+8=6\displaystyle 1\cdot(-1)\cdot 1+(-1)\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2=-1-1+8=6
  4. Determinantul este diferența dintre prima sumă și a doua sumă: 6−6=0\displaystyle 6-6=0. Deci Δ(1)=0\displaystyle \Delta(1)=0.
    Δ(1)=6−6=0\displaystyle \Delta(1)=6-6=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(−12x2−1xxx2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}-1&2&x\\2&-1&x\\x&x&2\end{pmatrix} și se notează determinantul ei cu Δ(x)\displaystyle \Delta(x). Arătați că Δ(x)=6(x2−1)\displaystyle \Delta(x)=6(x^2-1), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul Δ(x)\displaystyle \Delta(x) prin regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și cele două produse paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și cele două produse paralele cu ea.
    Δ(x)=∣−12x2−1xxx2∣\displaystyle \Delta(x)=\begin{vmatrix}-1&2&x\\2&-1&x\\x&x&2\end{vmatrix}
  2. Calculăm cei trei termeni cu semnul plus: produsul de pe diagonala principală (−1)⋅(−1)⋅2\displaystyle (-1)\cdot(-1)\cdot 2, apoi 2⋅x⋅x\displaystyle 2\cdot x\cdot x și x⋅2⋅x\displaystyle x\cdot 2\cdot x.
    2+2x2+2x2\displaystyle 2+2x^2+2x^2
  3. Calculăm cei trei termeni care se scad: produsul de pe diagonala secundară x⋅(−1)⋅x\displaystyle x\cdot(-1)\cdot x, apoi (−1)⋅x⋅x\displaystyle (-1)\cdot x\cdot x și 2⋅2⋅2\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2.
    −x2−x2+8\displaystyle -x^2-x^2+8
  4. Scriem determinantul ca diferența dintre suma primilor trei termeni și suma celorlalți trei. Deoarece scădem −x2\displaystyle -x^2 de două ori, obținem +x2\displaystyle +x^2 de două ori.
    Δ(x)=2+2⋅x2+2⋅x2+x2+x2−8\displaystyle \Delta(x)=2+2\cdot x^2+2\cdot x^2+x^2+x^2-8
  5. Reducem termenii asemenea: termenii cu x2\displaystyle x^2 dau 6x2\displaystyle 6x^2, iar termenii liberi dau 2−8=−6\displaystyle 2-8=-6. Apoi dăm factor comun pe 6\displaystyle 6.
    Δ(x)=6x2−6=6(x2−1)\displaystyle \Delta(x)=6x^2-6=6(x^2-1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(−12x2−1xxx2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}-1&2&x\\2&-1&x\\x&x&2\end{pmatrix} și se notează determinantul ei cu Δ(x)\displaystyle \Delta(x).

Determinați inversa matricei A(0)\displaystyle A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în matricea dată și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(−1202−10002)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}-1&2&0\\2&-1&0\\0&0&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul dezvoltând după ultima linie, unde singurul element nenul este 2\displaystyle 2. Obținem Δ(0)=2⋅∣−122−1∣=2⋅(1−4)\displaystyle \Delta(0)=2\cdot\begin{vmatrix}-1&2\\2&-1\end{vmatrix}=2\cdot(1-4). Cum Δ(0)≠0\displaystyle \Delta(0)\neq 0, matricea este inversabilă.
    Δ(0)=2⋅(1−4)=−6\displaystyle \Delta(0)=2\cdot(1-4)=-6
  3. Calculăm complemenții algebrici: C11=−2\displaystyle C_{11}=-2, C12=−4\displaystyle C_{12}=-4, C21=−4\displaystyle C_{21}=-4, C22=−2\displaystyle C_{22}=-2, C33=−3\displaystyle C_{33}=-3, iar C13=C23=C31=C32=0\displaystyle C_{13}=C_{23}=C_{31}=C_{32}=0.
    C=(−2−40−4−2000−3)\displaystyle C=\begin{pmatrix}-2&-4&0\\-4&-2&0\\0&0&-3\end{pmatrix}
  4. Matricea adjunctă este transpusa matricei complemenților algebrici. Matricea C\displaystyle C este simetrică, deci A∗=CT=C\displaystyle A^{*}=C^{T}=C.
    A∗(0)=(−2−40−4−2000−3)\displaystyle A^{*}(0)=\begin{pmatrix}-2&-4&0\\-4&-2&0\\0&0&-3\end{pmatrix}
  5. Aplicăm formula (A(0))−1=1Δ(0)⋅A∗(0)=−16⋅A∗(0)\displaystyle (A(0))^{-1}=\dfrac{1}{\Delta(0)}\cdot A^{*}(0)=-\dfrac{1}{6}\cdot A^{*}(0). Schimbând semnele elementelor, obținem inversa. Verificare: blocul (−122−1)\displaystyle \begin{pmatrix}-1&2\\2&-1\end{pmatrix} are inversa 13(1221)\displaystyle \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}, iar 12\displaystyle \dfrac{1}{2} este inversa lui 2\displaystyle 2, în concordanță cu rezultatul.
    (A(0))−1=16⋅(240420003)\displaystyle (A(0))^{-1}=\frac{1}{6}\cdot\begin{pmatrix}2&4&0\\4&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
În R[X]\displaystyle \mathbb{R}[X] se consideră polinomul f=X3−X2+aX+b\displaystyle f=X^3-X^2+aX+b.

Calculați a+b\displaystyle a+b, știind că f(1)=0\displaystyle f(1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului f=X3−X2+aX+b\displaystyle f=X^3-X^2+aX+b.
    f(1)=13−12+a⋅1+b\displaystyle f(1)=1^3-1^2+a\cdot 1+b
  2. Calculăm: 13=1\displaystyle 1^3=1, 12=1\displaystyle 1^2=1 și a⋅1=a\displaystyle a\cdot 1=a. Termenii 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1 se reduc.
    f(1)=1−1+a+b=a+b\displaystyle f(1)=1-1+a+b=a+b
  3. Folosim condiția f(1)=0\displaystyle f(1)=0, adică a+b=0\displaystyle a+b=0.
    a+b=0\displaystyle a+b=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
În R[X]\displaystyle \mathbb{R}[X] se consideră polinomul f=X3−X2+aX+b\displaystyle f=X^3-X^2+aX+b.

Pentru a=−1\displaystyle a=-1 și b=1\displaystyle b=1, determinați rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−1\displaystyle a=-1 și b=1\displaystyle b=1 în expresia polinomului f=X3−X2+aX+b\displaystyle f=X^3-X^2+aX+b.
    f=X3−X2−X+1\displaystyle f=X^3-X^2-X+1
  2. Grupăm termenii: f=(X3−X2)−(X−1)\displaystyle f=(X^3-X^2)-(X-1). În primul grup dăm factor comun pe X2\displaystyle X^2, iar al doilea grup rămâne −(X−1)\displaystyle -(X-1).
    f=X2(X−1)−(X−1)\displaystyle f=X^2(X-1)-(X-1)
  3. Dăm factor comun pe X−1\displaystyle X-1: obținem f=(X−1)(X2−1)\displaystyle f=(X-1)(X^2-1), iar X2−1=(X−1)(X+1)\displaystyle X^2-1=(X-1)(X+1).
    f=(X−1)2(X+1)\displaystyle f=(X-1)^2(X+1)
  4. Rezolvăm f=0\displaystyle f=0, adică (X−1)2(X+1)=0\displaystyle (X-1)^2(X+1)=0. Din (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^2=0 obținem x=1\displaystyle x=1, rădăcină dublă, iar din x+1=0\displaystyle x+1=0 obținem x=−1\displaystyle x=-1.
    x1=1\displaystyle x_1=1, x2=1\displaystyle \ x_2=1, x3=−1\displaystyle \ x_3=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
În R[X]\displaystyle \mathbb{R}[X] se consideră polinomul f=X3−X2+aX+b\displaystyle f=X^3-X^2+aX+b.

Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că x1=1\displaystyle x_1=1 și x2=2\displaystyle x_2=2 sunt rădăcini ale polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Dacă x1=1\displaystyle x_1=1 este rădăcină a lui f\displaystyle f, atunci f(1)=0\displaystyle f(1)=0. Înlocuim X\displaystyle X cu 1\displaystyle 1 în f\displaystyle f: 13−12+a⋅1+b=0\displaystyle 1^3-1^2+a\cdot 1+b=0.
    f(1)=a+b=0\displaystyle f(1)=a+b=0
  2. Simplificăm: 1−1=0\displaystyle 1-1=0, deci rămâne prima ecuație a sistemului, a+b=0\displaystyle a+b=0.
    a+b=0\displaystyle a+b=0
  3. Dacă x2=2\displaystyle x_2=2 este rădăcină a lui f\displaystyle f, atunci f(2)=0\displaystyle f(2)=0. Înlocuim X\displaystyle X cu 2\displaystyle 2: 23−22+2a+b=0\displaystyle 2^3-2^2+2a+b=0.
    8−4+2a+b=0\displaystyle 8-4+2a+b=0
  4. Calculăm 8−4=4\displaystyle 8-4=4 și mutăm numărul 4\displaystyle 4 în membrul drept: 2a+b=−4\displaystyle 2a+b=-4.
    2a+b=−4\displaystyle 2a+b=-4
  5. Scădem prima ecuație din a doua: (2a+b)−(a+b)=−4−0\displaystyle (2a+b)-(a+b)=-4-0, deci a=−4\displaystyle a=-4.
    a=−4\displaystyle a=-4
  6. Din a+b=0\displaystyle a+b=0 obținem b=−a=4\displaystyle b=-a=4. Deci a=−4\displaystyle a=-4 și b=4\displaystyle b=4.
    a=−4\displaystyle a=-4, b=4\displaystyle \ b=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x\displaystyle f(x)=x\ln x.

Verificați dacă f′(x)=1+ln⁡x\displaystyle f'(x)=1+\ln x, oricare ar fi x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția ca produs f(x)=u(x)⋅v(x)\displaystyle f(x)=u(x)\cdot v(x), cu u(x)=x\displaystyle u(x)=x și v(x)=ln⁡x\displaystyle v(x)=\ln x, definite pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Ambele sunt derivabile pe acest interval.
    u(x)=x\displaystyle u(x)=x, v(x)=ln⁡x\displaystyle \ v(x)=\ln x
  2. Calculăm derivatele: u′(x)=(x)′=1\displaystyle u'(x)=(x)'=1 și v′(x)=(ln⁡x)′=1x\displaystyle v'(x)=(\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    u′(x)=1\displaystyle u'(x)=1, v′(x)=1x\displaystyle \ v'(x)=\frac{1}{x}
  3. Aplicăm formula de derivare a produsului, (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v', și înlocuim: f′(x)=1⋅ln⁡x+x⋅1x\displaystyle f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=1⋅ln⁡x+x⋅1x\displaystyle f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}
  4. Simplificăm: x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1 pentru orice x>0\displaystyle x>0, deci f′(x)=ln⁡x+1\displaystyle f'(x)=\ln x+1. Așadar f′(x)=1+ln⁡x\displaystyle f'(x)=1+\ln x pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), deci egalitatea este adevărată.
    f′(x)=1+ln⁡x\displaystyle f'(x)=1+\ln x, ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x\displaystyle f(x)=x\ln x.

Arătați că funcția f\displaystyle f este crescătoare pe [1e,+∞)\displaystyle \left[\frac{1}{e},+\infty\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f folosind formula de derivare a produsului (uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)'=u'v+uv', cu u=x\displaystyle u=x și v=ln⁡x\displaystyle v=\ln x.
    f′(x)=1⋅ln⁡x+x⋅1x\displaystyle f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}
  2. Simplificăm: x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1, deci pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) avem derivata de mai jos.
    f′(x)=ln⁡x+1\displaystyle f'(x)=\ln x+1
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Din ln⁡x+1=0\displaystyle \ln x+1=0 obținem ln⁡x=−1\displaystyle \ln x=-1, deci x=e−1\displaystyle x=e^{-1}.
    f′(x)=0⇒x=1e\displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{e}
  4. Studiem semnul derivatei pe intervalul dat. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este strict crescătoare, deci pentru x≥1e\displaystyle x\ge\dfrac{1}{e} avem ln⁡x≥ln⁡1e=−1\displaystyle \ln x\ge\ln\dfrac{1}{e}=-1.
    ln⁡x≥−1 pentru x≥1e\displaystyle \ln x\ge -1\text{ pentru }x\ge\dfrac{1}{e}
  5. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri: f′(x)=ln⁡x+1≥0\displaystyle f'(x)=\ln x+1\ge 0 pentru orice x∈[1e,+∞)\displaystyle x\in\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right). Deci funcția f\displaystyle f este crescătoare pe acest interval.
    f′(x)≥0 pentru orice x∈[1e,+∞)⇒f cresca˘toare pe [1e,+∞)\displaystyle f'(x)\ge 0\text{ pentru orice }x\in\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right)\Rightarrow f\text{ crescătoare pe }\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=xln⁡x\displaystyle f(x)=x\ln x.

Demonstrați că f(x)≥−1e\displaystyle f(x)\ge-\frac{1}{e}, oricare ar fi x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f cu formula derivatei produsului: (x)′=1\displaystyle (x)'=1, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\displaystyle f'(x)=\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1, x>0\displaystyle \ x>0
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 pentru a găsi punctul critic.
    ln⁡x+1=0⇒ln⁡x=−1⇒x=1e\displaystyle \ln x+1=0\Rightarrow \ln x=-1\Rightarrow x=\dfrac{1}{e}
  3. Studiem semnul derivatei. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este strict crescătoare, deci pentru x∈(0,1e]\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{1}{e}\right] avem ln⁡x≤−1\displaystyle \ln x\le -1, adică f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0. Rezultă că f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,1e]\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{e}\right].
    f′(x)≤0 pentru orice x∈(0,1e]⇒f descresca˘toare pe (0,1e]\displaystyle f'(x)\le 0\text{ pentru orice }x\in\left(0,\dfrac{1}{e}\right]\Rightarrow f\text{ descrescătoare pe }\left(0,\dfrac{1}{e}\right]
  4. Pentru x∈[1e,+∞)\displaystyle x\in\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right) avem ln⁡x≥−1\displaystyle \ln x\ge -1, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0 și f\displaystyle f este crescătoare pe acest interval.
    f′(x)≥0 pentru x∈[1e,+∞)⇒f cresca˘toare pe [1e,+∞)\displaystyle f'(x)\ge 0\text{ pentru }x\in\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right)\Rightarrow f\text{ crescătoare pe }\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right)
  5. Calculăm valoarea funcției în punctul de minim x=1e\displaystyle x=\dfrac{1}{e}, folosind ln⁡1e=−1\displaystyle \ln\dfrac{1}{e}=-1.
    f(1e)=1e⋅ln⁡1e=−1e\displaystyle f\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{1}{e}\cdot\ln\dfrac{1}{e}=-\dfrac{1}{e}
  6. Funcția scade pe (0,1e]\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{e}\right] și crește pe [1e,+∞)\displaystyle \left[\dfrac{1}{e},+\infty\right), deci în x=1e\displaystyle x=\dfrac{1}{e} are minim global. Pentru orice x>0\displaystyle x>0 avem f(x)≥f(1e)=−1e\displaystyle f(x)\ge f\left(\dfrac{1}{e}\right)=-\dfrac{1}{e}, ceea ce trebuia demonstrat.
    f(x)≥f(1e)=−1e pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)\ge f\left(\dfrac{1}{e}\right)=-\dfrac{1}{e}\text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1+1x+1x2\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}.

Verificați dacă funcția F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=x−1x+ln⁡x\displaystyle F(x)=x-\frac{1}{x}+\ln x este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim definiția: F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) dacă F\displaystyle F este derivabilă pe acest interval și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x>0\displaystyle x>0. Deci vom calcula derivata lui F\displaystyle F.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
  2. Derivăm F\displaystyle F termen cu termen: (x)′=1\displaystyle (x)'=1, (−1x)′=1x2\displaystyle \left(-\dfrac{1}{x}\right)'=\dfrac{1}{x^{2}} (deoarece (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}) și (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    (x)′=1\displaystyle (x)'=1,(−1x)′=1x2\displaystyle \quad \left(-\dfrac{1}{x}\right)'=\dfrac{1}{x^{2}},(ln⁡x)′=1x\displaystyle \quad (\ln x)'=\dfrac{1}{x}
  3. Adunăm cele trei derivate și obținem expresia lui F′(x)\displaystyle F'(x).
    F′(x)=(x−1x+ln⁡x)′=1+1x2+1x\displaystyle F'(x)=\left(x-\dfrac{1}{x}+\ln x\right)'=1+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x}
  4. Comparăm cu f(x)=1+1x+1x2\displaystyle f(x)=1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}. Ordinea termenilor nu contează la adunare, deci cele două expresii sunt egale pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    F′(x)=1+1x+1x2=f(x)\displaystyle F'(x)=1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}=f(x), ∀x>0\displaystyle \ \forall x>0
  5. F\displaystyle F este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), fiind suma unor funcții derivabile pe acest interval, și F′=f\displaystyle F'=f. Deci F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F este derivabila˘ pe (0,+∞) și F′=f\displaystyle F\text{ este derivabilă pe }(0,+\infty)\text{ și }F'=f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1+1x+1x2\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}.

Calculați ∫1ex⋅f(x2) dx\displaystyle \int_1^e x\cdot f(x^2)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Integrala este ∫1ex⋅f(x2) dx\displaystyle \int_1^e x\cdot f(x^2)\,dx. Observăm că (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x, deci scriem x=12⋅2x\displaystyle x=\dfrac{1}{2}\cdot 2x și alegem schimbarea de variabilă t=x2\displaystyle t=x^2.
    ∫1ex⋅f(x2) dx=12∫1ef(x2)⋅2x dx\displaystyle \int_1^e x\cdot f(x^2)\,dx=\frac{1}{2}\int_1^e f(x^2)\cdot 2x\,dx
  2. Din t=x2\displaystyle t=x^2 rezultă dt=2x dx\displaystyle dt=2x\,dx. Limitele devin: pentru x=1\displaystyle x=1 avem t=1\displaystyle t=1, iar pentru x=e\displaystyle x=e avem t=e2\displaystyle t=e^2. Obținem integrala în variabila t\displaystyle t.
    12∫1e2f(t) dt\displaystyle \frac{1}{2}\int_1^{e^2} f(t)\,dt
  3. Înlocuim f(t)=1+1t+1t2\displaystyle f(t)=1+\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{t^2} în integrală.
    12∫1e2(1+1t+1t2)dt\displaystyle \frac{1}{2}\int_1^{e^2}\left(1+\frac{1}{t}+\frac{1}{t^2}\right)dt
  4. Calculăm primitivele termen cu termen: ∫1 dt=t\displaystyle \int 1\,dt=t, ∫1t dt=ln⁡t\displaystyle \int \dfrac{1}{t}\,dt=\ln t (pentru t>0\displaystyle t>0) și ∫1t2 dt=−1t\displaystyle \int \dfrac{1}{t^2}\,dt=-\dfrac{1}{t}.
    12(t+ln⁡t−1t)∣1e2\displaystyle \frac{1}{2}\left(t+\ln t-\frac{1}{t}\right)\Big|_1^{e^2}
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Pentru t=e2\displaystyle t=e^2 avem e2+ln⁡e2−1e2=e2+2−1e2\displaystyle e^2+\ln e^2-\dfrac{1}{e^2}=e^2+2-\dfrac{1}{e^2}, iar pentru t=1\displaystyle t=1 avem 1+ln⁡1−1=0\displaystyle 1+\ln 1-1=0.
    12(e2+2−1e2)−12⋅0\displaystyle \frac{1}{2}\left(e^2+2-\frac{1}{e^2}\right)-\frac{1}{2}\cdot 0
  6. Obținem valoarea integralei: ∫1ex⋅f(x2) dx=12(e2−1e2+2)\displaystyle \displaystyle\int_1^e x\cdot f(x^2)\,dx=\dfrac{1}{2}\left(e^2-\dfrac{1}{e^2}+2\right).
    12(e2−1e2+2)\displaystyle \frac{1}{2}\left(e^2-\frac{1}{e^2}+2\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1+1x+1x2\displaystyle f(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}.

Determinați numărul real a>1\displaystyle a>1, pentru care ∫1a(f(x)−1x)dx=32\displaystyle \int_1^a\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{3}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm expresia de sub integrală: f(x)−1x=1+1x+1x2−1x=1+1x2\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{x}=1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{x}=1+\dfrac{1}{x^{2}}.
    f(x)−1x=1+1x2\displaystyle f(x)-\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x^{2}}
  2. Găsim o primitivă: o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar o primitivă a lui 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}} este −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x}. Deci F(x)=x−1x\displaystyle F(x)=x-\dfrac{1}{x}.
    F(x)=x−1x\displaystyle F(x)=x-\frac{1}{x}
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫1a(f(x)−1x)dx=(x−1x)∣1a=(a−1a)−(1−1)\displaystyle \int_1^a\left(f(x)-\dfrac{1}{x}\right)dx=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\Big|_1^a=\left(a-\dfrac{1}{a}\right)-\left(1-1\right).
    ∫1a(f(x)−1x)dx=a−1a\displaystyle \int_1^a\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=a-\frac{1}{a}
  4. Egalăm rezultatul cu 32\displaystyle \dfrac{3}{2}: a−1a=32\displaystyle a-\dfrac{1}{a}=\dfrac{3}{2}. Înmulțim cu 2a\displaystyle 2a și obținem 2a2−2=3a\displaystyle 2a^{2}-2=3a, adică 2a2−3a−2=0\displaystyle 2a^{2}-3a-2=0.
    2a2−3a−2=0\displaystyle 2a^{2}-3a-2=0
  5. Calculăm discriminantul: Δ=9+16=25\displaystyle \Delta=9+16=25. Atunci a=3±54\displaystyle a=\dfrac{3\pm 5}{4}, deci rădăcinile sunt 2\displaystyle 2 și −12\displaystyle -\dfrac{1}{2}.
    a=2 sau a=−12\displaystyle a=2\text{ sau }a=-\frac{1}{2}
  6. Cum a>1\displaystyle a>1, soluția a=−12\displaystyle a=-\dfrac{1}{2} nu convine, iar a=2\displaystyle a=2 convine.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.