Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 3: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (5+12)(5−12)=994\displaystyle \left(5+\frac{1}{2}\right)\left(5-\frac{1}{2}\right)=\frac{99}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima paranteză: aducem numărul 5\displaystyle 5 la numitorul 2\displaystyle 2, adică 5=102\displaystyle 5=\dfrac{10}{2}, apoi adunăm cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    5+12=102+12=112\displaystyle 5+\frac{1}{2}=\frac{10}{2}+\frac{1}{2}=\frac{11}{2}
  2. Calculăm a doua paranteză în același mod: 5=102\displaystyle 5=\dfrac{10}{2}, apoi scădem 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    5−12=102−12=92\displaystyle 5-\frac{1}{2}=\frac{10}{2}-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}
  3. Înmulțim cele două fracții: înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei. Obținem 994\displaystyle \dfrac{99}{4}, deci egalitatea este demonstrată.
    (5+12)(5−12)=112⋅92=11⋅92⋅2=994\displaystyle \left(5+\frac{1}{2}\right)\left(5-\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{2}\cdot\frac{9}{2}=\frac{11\cdot 9}{2\cdot 2}=\frac{99}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(2x+1)=2\displaystyle \log_5(2x+1)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci 2x+1>0\displaystyle 2x+1>0, adică x>−12\displaystyle x>-\dfrac{1}{2}.
    x>−12\displaystyle x>-\dfrac{1}{2}
  2. Folosim definiția logaritmului: log⁡5a=2\displaystyle \log_5 a=2 exact când a=52\displaystyle a=5^{2}. Deci 2x+1=52\displaystyle 2x+1=5^{2}.
    2x+1=52\displaystyle 2x+1=5^{2}
  3. Calculăm 52=25\displaystyle 5^{2}=25, apoi scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri: 2x=24\displaystyle 2x=24.
    2x=24\displaystyle 2x=24
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=12\displaystyle x=12. Verificăm condiția de existență: 12>−12\displaystyle 12>-\dfrac{1}{2}, deci soluția convine. Într-adevăr, 2⋅12+1=25\displaystyle 2\cdot 12+1=25 și log⁡525=2\displaystyle \log_5 25=2.
    x=12, care convine\displaystyle x=12\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 10%\displaystyle 10\%, prețul unei tablete este 630\displaystyle 630 de lei. Determinați prețul tabletei înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu p\displaystyle p prețul tabletei înainte de ieftinire. Ieftinirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că din prețul inițial se scade 10%\displaystyle 10\% din el.
    p−10%⋅p\displaystyle p-10\%\cdot p
  2. Prețul după ieftinire este 630\displaystyle 630 de lei, deci scriem ecuația procentuală.
    p−10%⋅p=630\displaystyle p-10\%\cdot p=630
  3. Scriem 10%=10100\displaystyle 10\%=\dfrac{10}{100} și dăm factor comun pe p\displaystyle p. Rămâne 90%\displaystyle 90\% din p\displaystyle p.
    910⋅p=630\displaystyle \dfrac{9}{10}\cdot p=630
  4. Împărțim 630\displaystyle 630 la 910\displaystyle \dfrac{9}{10}, adică îl înmulțim cu 109\displaystyle \dfrac{10}{9}. Obținem prețul inițial.
    p=630⋅109=70⋅10=700 de lei\displaystyle p=630\cdot\dfrac{10}{9}=70\cdot 10=700\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,1)\displaystyle A(3,1) și B(3,5)\displaystyle B(3,5). Calculați lungimea segmentului AM\displaystyle AM, unde M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Lungimea segmentului AB\displaystyle AB se calculează cu formula distanței: AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}
  2. Înlocuim A(3,1)\displaystyle A(3,1) și B(3,5)\displaystyle B(3,5): AB=(3−3)2+(5−1)2=0+16\displaystyle AB=\sqrt{(3-3)^{2}+(5-1)^{2}}=\sqrt{0+16}. Deci AB=4\displaystyle AB=4.
    AB=02+42=4\displaystyle AB=\sqrt{0^{2}+4^{2}}=4
  3. Deoarece M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB, avem AM=AB2=42\displaystyle AM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{4}{2}. Deci AM=2\displaystyle AM=2.
    AM=AB2=42=2\displaystyle AM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{4}{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că cos⁡245∘−sin⁡230∘=14\displaystyle \cos^2 45^\circ-\sin^2 30^\circ=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile pentru unghiurile remarcabile: cos⁡45∘=22\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.
    cos⁡45∘=22\displaystyle \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \ \sin 30^\circ=\frac{1}{2}
  2. Înlocuim valorile în expresia cos⁡245∘−sin⁡230∘\displaystyle \cos^2 45^\circ-\sin^2 30^\circ, păstrând pătratele.
    (22)2−(12)2\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2
  3. Calculăm pătratele: (2)2=2\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^2=2, 22=4\displaystyle 2^2=4 și 12=1\displaystyle 1^2=1.
    24−14\displaystyle \frac{2}{4}-\frac{1}{4}
  4. Scădem fracțiile cu același numitor: 24−14=14\displaystyle \dfrac{2}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}, deci egalitatea cerută este adevărată.
    cos⁡245∘−sin⁡230∘=24−14=14\displaystyle \cos^2 45^\circ-\sin^2 30^\circ=\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele M=(8665)\displaystyle M=\begin{pmatrix}8&6\\6&5\end{pmatrix} și A(a)=(2+a221+a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2+a&2\\2&1+a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡M=4\displaystyle \det M=4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei M\displaystyle M și aplicăm formula ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡M=∣8665∣=8⋅5−6⋅6\displaystyle \det M=\begin{vmatrix}8&6\\6&5\end{vmatrix}=8\cdot 5-6\cdot 6
  2. Calculăm cele două produse: 8⋅5=40\displaystyle 8\cdot 5=40 și 6⋅6=36\displaystyle 6\cdot 6=36.
    8⋅5=40\displaystyle 8\cdot 5=40,6⋅6=36\displaystyle \quad 6\cdot 6=36
  3. Scădem: 40−36=4\displaystyle 40-36=4. Deci det⁡M=4\displaystyle \det M=4, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡M=40−36=4\displaystyle \det M=40-36=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele M=(8665)\displaystyle M=\begin{pmatrix}8&6\\6&5\end{pmatrix} și A(a)=(2+a221+a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2+a&2\\2&1+a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(a)⋅A(−a)+a2⋅I2=M\displaystyle A(a)\cdot A(-a)+a^2\cdot I_2=M, pentru orice număr real a\displaystyle a, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(−a)\displaystyle A(-a), înlocuind a\displaystyle a cu −a\displaystyle -a în A(a)\displaystyle A(a). Obținem A(−a)=(2−a221−a)\displaystyle A(-a)=\begin{pmatrix}2-a&2\\2&1-a\end{pmatrix}.
    A(−a)=(2−a221−a)\displaystyle A(-a)=\begin{pmatrix}2-a&2\\2&1-a\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele produsului A(a)⋅A(−a)\displaystyle A(a)\cdot A(-a), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Pe prima linie: (2+a)(2−a)+2⋅2=4−a2+4=8−a2\displaystyle (2+a)(2-a)+2\cdot 2=4-a^2+4=8-a^2 și (2+a)⋅2+2(1−a)=4+2a+2−2a=6\displaystyle (2+a)\cdot 2+2(1-a)=4+2a+2-2a=6. Pe a doua linie: 2(2−a)+(1+a)⋅2=4−2a+2+2a=6\displaystyle 2(2-a)+(1+a)\cdot 2=4-2a+2+2a=6 și 2⋅2+(1+a)(1−a)=4+1−a2=5−a2\displaystyle 2\cdot 2+(1+a)(1-a)=4+1-a^2=5-a^2.
    A(a)⋅A(−a)=(2+a221+a)⋅(2−a221−a)=(8−a2665−a2), pentru orice numa˘r real a\displaystyle A(a)\cdot A(-a)=\begin{pmatrix}2+a&2\\2&1+a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2-a&2\\2&1-a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-a^2&6\\6&5-a^2\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }a
  3. Calculăm a2⋅I2\displaystyle a^2\cdot I_2, adică înmulțim fiecare element al matricei unitate cu a2\displaystyle a^2.
    a2⋅I2=(a200a2)\displaystyle a^2\cdot I_2=\begin{pmatrix}a^2&0\\0&a^2\end{pmatrix}
  4. Adunăm cele două matrice element cu element. Termenii cu a2\displaystyle a^2 se reduc pe diagonală: 8−a2+a2=8\displaystyle 8-a^2+a^2=8 și 5−a2+a2=5\displaystyle 5-a^2+a^2=5, iar celelalte elemente rămân 6\displaystyle 6. Obținem exact matricea M\displaystyle M, pentru orice număr real a\displaystyle a.
    (8−a2665−a2)+a2⋅(1001)=(8−a2+a2665−a2+a2)=(8665)=M, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \begin{pmatrix}8-a^2&6\\6&5-a^2\end{pmatrix}+a^2\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8-a^2+a^2&6\\6&5-a^2+a^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&6\\6&5\end{pmatrix}=M\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele M=(8665)\displaystyle M=\begin{pmatrix}8&6\\6&5\end{pmatrix} și A(a)=(2+a221+a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2+a&2\\2&1+a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), știind că M⋅X=A(0)\displaystyle M\cdot X=A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei M\displaystyle M: det⁡M=8⋅5−6⋅6=40−36=4\displaystyle \det M=8\cdot 5-6\cdot 6=40-36=4. Cum det⁡M≠0\displaystyle \det M\neq 0, matricea M\displaystyle M este inversabilă.
    det⁡M=4≠0\displaystyle \det M=4\neq 0
  2. Pentru o matrice de ordin 2 inversa este M−1=1det⁡M(5−6−68)\displaystyle M^{-1}=\dfrac{1}{\det M}\begin{pmatrix}5&-6\\-6&8\end{pmatrix}, adică schimbăm între ele elementele de pe diagonala principală și schimbăm semnul celor de pe diagonala secundară. Obținem M−1=14(5−6−68)=(54−32−322)\displaystyle M^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}5&-6\\-6&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{4}&-\dfrac{3}{2}\\-\dfrac{3}{2}&2\end{pmatrix}.
    M−1=(54−32−322)\displaystyle M^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{2}\\-\frac{3}{2}&2\end{pmatrix}
  3. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în A(a)\displaystyle A(a) și obținem A(0)=(2221)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}2&2\\2&1\end{pmatrix}.
    A(0)=(2221)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}2&2\\2&1\end{pmatrix}
  4. Înmulțim la stânga ambii membri ai ecuației M⋅X=A(0)\displaystyle M\cdot X=A(0) cu M−1\displaystyle M^{-1}. Deoarece M−1⋅M=I2\displaystyle M^{-1}\cdot M=I_2, obținem X=M−1⋅A(0)\displaystyle X=M^{-1}\cdot A(0).
    X=M−1⋅A(0)\displaystyle X=M^{-1}\cdot A(0)
  5. Efectuăm înmulțirea, linie cu coloană: X=(54⋅2−32⋅254⋅2−32⋅1−32⋅2+2⋅2−32⋅2+2⋅1)=(52−352−32−3+4−3+2)\displaystyle X=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{4}\cdot 2-\dfrac{3}{2}\cdot 2&\dfrac{5}{4}\cdot 2-\dfrac{3}{2}\cdot 1\\-\dfrac{3}{2}\cdot 2+2\cdot 2&-\dfrac{3}{2}\cdot 2+2\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{2}-3&\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}\\-3+4&-3+2\end{pmatrix}. Deci X=(−1211−1)\displaystyle X=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}&1\\1&-1\end{pmatrix}.
    X=(−1211−1)\displaystyle X=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&1\\1&-1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−10\displaystyle x*y=x+y-10.

Arătați că 5∗5=0\displaystyle 5*5=0.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este dată de x∗y=x+y−10\displaystyle x*y=x+y-10, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=x+y−10\displaystyle x*y=x+y-10
  2. Înlocuim x=5\displaystyle x=5 și y=5\displaystyle y=5 în definiție: 5∗5=5+5−10\displaystyle 5*5=5+5-10.
    5∗5=5+5−10\displaystyle 5*5=5+5-10
  3. Calculăm 5+5=10\displaystyle 5+5=10, apoi 10−10=0\displaystyle 10-10=0. Deci 5∗5=0\displaystyle 5*5=0.
    5∗5=10−10=0\displaystyle 5*5=10-10=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−10\displaystyle x*y=x+y-10.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care n2∗n<−4\displaystyle n^2*n<-4.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−10\displaystyle x*y=x+y-10 cu x=n2\displaystyle x=n^{2} și y=n\displaystyle y=n: n2∗n=n2+n−10\displaystyle n^{2}*n=n^{2}+n-10.
    n2∗n=n2+n−10\displaystyle n^{2}*n=n^{2}+n-10
  2. Inegalitatea n2∗n<−4\displaystyle n^{2}*n<-4 devine n2+n−10<−4\displaystyle n^{2}+n-10<-4, adică n2+n−6<0\displaystyle n^{2}+n-6<0.
    n2+n−6<0\displaystyle n^{2}+n-6<0
  3. Ecuația asociată n2+n−6=0\displaystyle n^{2}+n-6=0 are Δ=1+24=25\displaystyle \Delta=1+24=25, deci n=−1±52\displaystyle n=\dfrac{-1\pm 5}{2}, adică n1=−3\displaystyle n_1=-3 și n2=2\displaystyle n_2=2.
    n1=−3\displaystyle n_1=-3, n2=2\displaystyle \ n_2=2
  4. Coeficientul lui n2\displaystyle n^{2} este pozitiv, deci expresia este negativă între rădăcini, adică n2+n−6<0⇔n∈(−3,2)\displaystyle n^{2}+n-6<0\Leftrightarrow n\in(-3,2).
    n∈(−3,2)\displaystyle n\in(-3,2)
  5. Numerele naturale din intervalul (−3,2)\displaystyle (-3,2) sunt 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1; 2\displaystyle 2 nu convine, deoarece intervalul este deschis.
    n=0 sau n=1\displaystyle n=0\text{ sau }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x+y−10\displaystyle x*y=x+y-10.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x∗x=x2−18\displaystyle x*x*x=x^2-18.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x folosind definiția legii x∗y=x+y−10\displaystyle x*y=x+y-10, luând y=x\displaystyle y=x.
    x∗x=x+x−10=2x−10\displaystyle x*x=x+x-10=2x-10
  2. Folosim asociativitatea: x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x*x*x=(x*x)*x. Aplicăm legea între 2x−10\displaystyle 2x-10 și x\displaystyle x.
    x∗x∗x=(2x−10)∗x=(2x−10)+x−10=3x−20\displaystyle x*x*x=(2x-10)*x=(2x-10)+x-10=3x-20
  3. Egalăm cu membrul drept al ecuației date, 3x−20=x2−18\displaystyle 3x-20=x^{2}-18, și mutăm toți termenii într-o parte.
    3x−20=x2−18⇔x2−3x+2=0\displaystyle 3x-20=x^{2}-18\Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=9−8=1\displaystyle \Delta=9-8=1, deci rădăcinile sunt x=3±12\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{2}. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    x=1 sau x=2\displaystyle x=1\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−3x2+1\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2+1.

Arătați că f′(x)=6x(x−1)\displaystyle f'(x)=6x(x-1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=2x3−3x2+1\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2+1 termen cu termen: derivata unei sumei este suma derivatelor, iar constantele se scot în fața derivatei.
    f′(x)=2(x3)′−3(x2)′+(1)′\displaystyle f'(x)=2(x^{3})'-3(x^{2})'+(1)'
  2. Aplicăm formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1} și faptul că derivata unei constante este 0\displaystyle 0. Obținem (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (x2)′=2x\displaystyle (x^2)'=2x și (1)′=0\displaystyle (1)'=0.
    f′(x)=2⋅3x2−3⋅2x+0\displaystyle f'(x)=2\cdot 3x^{2}-3\cdot 2x+0
  3. Efectuăm înmulțirile: 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6 și 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6.
    f′(x)=6x2−6x\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6x
  4. Dăm factor comun pe 6x\displaystyle 6x: 6x2−6x=6x(x−1)\displaystyle 6x^2-6x=6x(x-1), pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=6x(x−1)\displaystyle f'(x)=6x(x-1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−3x2+1\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2+1.

Arătați că lim⁡x→1f(x)−x3+2x2+x−2x−1=2\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-x^3+2x^2+x-2}{x-1}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x3−3x2+1\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2+1 în numărătorul fracției: f(x)−x3+2x2+x−2=2x3−3x2+1−x3+2x2+x−2\displaystyle f(x)-x^3+2x^2+x-2=2x^3-3x^2+1-x^3+2x^2+x-2.
    2x3−3x2+1−x3+2x2+x−2\displaystyle 2x^3-3x^2+1-x^3+2x^2+x-2
  2. Reducem termenii asemenea: 2x3−x3=x3\displaystyle 2x^3-x^3=x^3, −3x2+2x2=−x2\displaystyle -3x^2+2x^2=-x^2 și 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1. Numărătorul devine x3−x2+x−1\displaystyle x^3-x^2+x-1, deci limita este lim⁡x→1x3−x2+x−1x−1\displaystyle \lim_{x\to1}\dfrac{x^3-x^2+x-1}{x-1}.
    lim⁡x→1f(x)−x3+2x2+x−2x−1=lim⁡x→1x3−x2+x−1x−1\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-x^3+2x^2+x-2}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{x^3-x^2+x-1}{x-1}
  3. Pentru x=1\displaystyle x=1 numărătorul și numitorul se anulează, deci avem forma nedeterminată 00\displaystyle \dfrac{0}{0}. Factorizăm numărătorul prin grupare: x3−x2+x−1=x2(x−1)+(x−1)\displaystyle x^3-x^2+x-1=x^2(x-1)+(x-1).
    x3−x2+x−1=x2(x−1)+(x−1)\displaystyle x^3-x^2+x-1=x^2(x-1)+(x-1)
  4. Scoatem factorul comun x−1\displaystyle x-1: x2(x−1)+(x−1)=(x−1)(x2+1)\displaystyle x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x^2+1).
    x3−x2+x−1=(x−1)(x2+1)\displaystyle x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1)
  5. Simplificăm prin x−1\displaystyle x-1 (avem x≠1\displaystyle x\neq1 când calculăm limita): lim⁡x→1(x−1)(x2+1)x−1=lim⁡x→1(x2+1)\displaystyle \lim_{x\to1}\dfrac{(x-1)(x^2+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x^2+1). Funcția x2+1\displaystyle x^2+1 este continuă, deci înlocuim x=1\displaystyle x=1: 12+1=2\displaystyle 1^2+1=2.
    lim⁡x→1(x−1)(x2+1)x−1=lim⁡x→1(x2+1)=2\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x^2+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x^2+1)=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x3−3x2+1\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2+1.

Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f\displaystyle f în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este paralelă cu dreapta de ecuație y=12x+2020\displaystyle y=12x+2020.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: f′(x)=(2x3−3x2+1)′=6x2−6x\displaystyle f'(x)=\left(2x^{3}-3x^{2}+1\right)'=6x^{2}-6x.
    f′(x)=6x2−6x\displaystyle f'(x)=6x^{2}-6x
  2. Dreapta y=12x+2020\displaystyle y=12x+2020 are panta 12\displaystyle 12. Tangenta în punctul de abscisă a\displaystyle a are panta f′(a)\displaystyle f'(a), deci este paralelă cu dreapta dacă f′(a)=12\displaystyle f'(a)=12.
    f′(a)=12\displaystyle f'(a)=12
  3. Înlocuim: 6a2−6a=12\displaystyle 6a^{2}-6a=12, adică 6a(a−1)=12\displaystyle 6a(a-1)=12. Împărțind la 6\displaystyle 6 și mutând totul în partea stângă obținem ecuația de gradul al doilea.
    6a(a−1)=12⇔a2−a−2=0\displaystyle 6a(a-1)=12\Leftrightarrow a^{2}-a-2=0
  4. Calculăm Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−2)=9\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=9, deci a=1±32\displaystyle a=\dfrac{1\pm 3}{2}. Abscisele căutate sunt −1\displaystyle -1 și 2\displaystyle 2.
    a=−1 sau a=2\displaystyle a=-1\text{ sau }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2+1)−2\displaystyle f(x)=x(x^2+1)-2.

Arătați că ∫−11(f(x)−x+2) dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}(f(x)-x+2)\,dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem parantezele în expresia lui f(x)\displaystyle f(x): x(x2+1)=x3+x\displaystyle x(x^2+1)=x^3+x, deci f(x)=x3+x−2\displaystyle f(x)=x^3+x-2.
    f(x)=x3+x−2\displaystyle f(x)=x^{3}+x-2
  2. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) în integrand și reducem termenii: x3+x−2−x+2=x3\displaystyle x^3+x-2-x+2=x^3. Integrala devine ∫−11x3 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}x^3\,dx.
    ∫−11(f(x)−x+2) dx=∫−11(x3+x−2−x+2) dx=∫−11x3 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}(f(x)-x+2)\,dx=\int_{-1}^{1}(x^{3}+x-2-x+2)\,dx=\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx
  3. O primitivă a lui x3\displaystyle x^3 este x44\displaystyle \dfrac{x^4}{4}. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în 1\displaystyle 1 minus valoarea în −1\displaystyle -1.
    ∫−11x3 dx=x44∣−11=144−(−1)44\displaystyle \int_{-1}^{1}x^{3}\,dx=\left.\dfrac{x^{4}}{4}\right|_{-1}^{1}=\dfrac{1^{4}}{4}-\dfrac{(-1)^{4}}{4}
  4. Calculăm: 14−14=0\displaystyle \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    14−14=0\displaystyle \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2+1)−2\displaystyle f(x)=x(x^2+1)-2.

Calculați ∫01(f(x)−x3+2)ex dx\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x)-x^3+2)e^x\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem parantezele în expresia funcției: f(x)=x(x2+1)−2=x3+x−2\displaystyle f(x)=x(x^{2}+1)-2=x^{3}+x-2.
    f(x)=x3+x−2\displaystyle f(x)=x^{3}+x-2
  2. Calculăm f(x)−x3+2=x3+x−2−x3+2=x\displaystyle f(x)-x^{3}+2=x^{3}+x-2-x^{3}+2=x. Deci integrala devine ∫01xex dx\displaystyle \int_{0}^{1}xe^{x}\,dx.
    ∫01(f(x)−x3+2)ex dx=∫01xex dx\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x)-x^{3}+2)e^{x}\,dx=\int_{0}^{1}xe^{x}\,dx
  3. Integrăm prin părți. Alegem u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^{x}\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^{x}.
    ∫01xex dx=xex∣01−∫01ex dx\displaystyle \int_{0}^{1}xe^{x}\,dx=xe^{x}\Big|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^{x}\,dx
  4. Cum ∫ex dx=ex\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}, obținem xex−ex=(x−1)ex\displaystyle xe^{x}-e^{x}=(x-1)e^{x}.
    ∫01xex dx=(x−1)ex∣01\displaystyle \int_{0}^{1}xe^{x}\,dx=(x-1)e^{x}\Big|_{0}^{1}
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: (1−1)e1−(0−1)e0=0−(−1)⋅1=1\displaystyle (1-1)e^{1}-(0-1)e^{0}=0-(-1)\cdot 1=1.
    (x−1)ex∣01=0−(−1)⋅e0=1\displaystyle (x-1)e^{x}\Big|_{0}^{1}=0-(-1)\cdot e^{0}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2+1)−2\displaystyle f(x)=x(x^2+1)-2.

Determinați numărul real pozitiv m\displaystyle m, știind că ∫12f(x) dx=m2+1\displaystyle \int_{1}^{2}f(x)\,dx=m^2+1.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem parantezele din f(x)=x(x2+1)−2\displaystyle f(x)=x(x^2+1)-2 și obținem o sumă de puteri ale lui x\displaystyle x, ușor de integrat.
    f(x)=x3+x−2\displaystyle f(x)=x^{3}+x-2
  2. Scriem integrala cu expresia obținută și o descompunem în integrale simple: ∫12f(x) dx=∫12x3 dx+∫12x dx−∫122 dx\displaystyle \int_{1}^{2}f(x)\,dx=\int_{1}^{2}x^{3}\,dx+\int_{1}^{2}x\,dx-\int_{1}^{2}2\,dx.
    ∫12(x3+x−2) dx=x44∣12+x22∣12−2x∣12\displaystyle \int_{1}^{2}(x^{3}+x-2)\,dx=\frac{x^{4}}{4}\Big|_{1}^{2}+\frac{x^{2}}{2}\Big|_{1}^{2}-2x\Big|_{1}^{2}
  3. Calculăm fiecare termen înlocuind limitele 2\displaystyle 2 și 1\displaystyle 1: primul termen este 16−14=154\displaystyle \dfrac{16-1}{4}=\dfrac{15}{4}, al doilea 4−12=32\displaystyle \dfrac{4-1}{2}=\dfrac{3}{2}, al treilea 2(2−1)=2\displaystyle 2(2-1)=2.
    154+32−2\displaystyle \frac{15}{4}+\frac{3}{2}-2
  4. Aducem la același numitor: 154+64−84=134\displaystyle \dfrac{15}{4}+\dfrac{6}{4}-\dfrac{8}{4}=\dfrac{13}{4}.
    ∫12f(x) dx=134\displaystyle \int_{1}^{2}f(x)\,dx=\frac{13}{4}
  5. Egalăm valoarea integralei cu m2+1\displaystyle m^2+1 și izolăm m2\displaystyle m^2: m2=134−1=94\displaystyle m^2=\dfrac{13}{4}-1=\dfrac{9}{4}.
    m2+1=134⇒m2=94\displaystyle m^{2}+1=\frac{13}{4}\Rightarrow m^{2}=\frac{9}{4}
  6. Ecuația m2=94\displaystyle m^2=\dfrac{9}{4} are soluțiile m=±32\displaystyle m=\pm\dfrac{3}{2}. Cum m\displaystyle m este număr real pozitiv, alegem soluția pozitivă.
    m=32\displaystyle m=\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.