Bac matematică M3 tehnologic 2016, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1−12)(1−13)(1−14)=14\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima paranteză: 1=22\displaystyle 1=\dfrac{2}{2}, deci 1−12=2−12=12\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}.
    1−12=12\displaystyle 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
  2. Analog, 1−13=3−13=23\displaystyle 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3-1}{3}=\dfrac{2}{3} și 1−14=4−14=34\displaystyle 1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4-1}{4}=\dfrac{3}{4}.
    1−12=12\displaystyle 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, 1−13=23\displaystyle \ 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}, 1−14=34\displaystyle \ 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}
  3. Înlocuim parantezele cu valorile lor: 12⋅23⋅34=1⋅2⋅32⋅3⋅4=624\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{1\cdot 2\cdot 3}{2\cdot 3\cdot 4}=\dfrac{6}{24}.
    12⋅23⋅34=624\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{24}
  4. Simplificăm fracția cu 6\displaystyle 6: 624=14\displaystyle \dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}, deci egalitatea din enunț este adevărată.
    12⋅23⋅34=14\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2\displaystyle f(x)=x^2-3x+2 cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox au ordonata zero, deci punem condiția f(x)=0\displaystyle f(x)=0. Obținem ecuația de gradul al doilea x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}-3x+2=0.
    f(x)=0⇔x2−3x+2=0\displaystyle f(x)=0\Leftrightarrow x^{2}-3x+2=0
  2. Calculăm discriminantul ecuației, cu a=1\displaystyle a=1, b=−3\displaystyle b=-3, c=2\displaystyle c=2: Δ=b2−4ac=9−8=1\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=9-8=1.
    Δ=(−3)2−4⋅1⋅2=1\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot 2=1
  3. Aplicăm formula soluțiilor: x=3±12\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{2}. Rezultă x1=1\displaystyle x_1=1 și x2=2\displaystyle x_2=2. Acestea sunt abscisele punctelor de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox.
    x1=1 și x2=2\displaystyle x_1=1\text{ și }x_2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(2x−1)=2\displaystyle \log_5(2x-1)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, adică 2x−1>0\displaystyle 2x-1>0, deci x>12\displaystyle x>\dfrac{1}{2}.
    x>12\displaystyle x>\dfrac{1}{2}
  2. Trecem de la forma logaritmică la cea exponențială: dacă log⁡5A=2\displaystyle \log_5 A=2, atunci A=52\displaystyle A=5^{2}. Aici A=2x−1\displaystyle A=2x-1.
    2x−1=52\displaystyle 2x-1=5^{2}
  3. Calculăm puterea: 52=25\displaystyle 5^{2}=25, deci ecuația devine 2x−1=25\displaystyle 2x-1=25.
    2x−1=25\displaystyle 2x-1=25
  4. Adunăm 1 în ambii membri și obținem 2x=26\displaystyle 2x=26, apoi împărțim la 2.
    x=13\displaystyle x=13
  5. Verificăm condiția de existență: 13>12\displaystyle 13>\dfrac{1}{2}, iar pentru x=13\displaystyle x=13 argumentul este 2⋅13−1=25>0\displaystyle 2\cdot 13-1=25>0. Avem log⁡525=2\displaystyle \log_5 25=2, deci soluția convine.
    x=13, care verifica˘ ecuația\displaystyle x=13\text{, care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={10,20,30,40,50,60,70,80,90}\displaystyle A=\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}, acesta să fie divizor al lui 1000\displaystyle 1000.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul cazurilor posibile este numărul elementelor mulțimii A\displaystyle A. Mulțimea are 9 elemente: 10,20,30,40,50,60,70,80,90\displaystyle 10,20,30,40,50,60,70,80,90.
    nr. cazuri posibile=9\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=9
  2. Descompunem 1000\displaystyle 1000 în factori primi, ca să știm ce divizori are: 1000=23⋅53\displaystyle 1000=2^{3}\cdot 5^{3}. Un număr din A\displaystyle A este divizor al lui 1000\displaystyle 1000 dacă îl împarte exact.
    1000=23⋅53\displaystyle 1000=2^{3}\cdot 5^{3}
  3. Verificăm fiecare element al mulțimii. Numerele 30\displaystyle 30, 60\displaystyle 60 și 90\displaystyle 90 se împart la 3\displaystyle 3, iar 1000\displaystyle 1000 nu se împarte la 3\displaystyle 3, deci nu sunt divizori. Numărul 70\displaystyle 70 se împarte la 7\displaystyle 7, iar 1000\displaystyle 1000 nu se împarte la 7\displaystyle 7, deci nu este divizor. Pentru 80\displaystyle 80 avem 1000:80=12,5\displaystyle 1000:80=12{,}5, deci nu este divizor. Rămân 10,20,40,50\displaystyle 10,20,40,50, pentru care 1000:10=100\displaystyle 1000:10=100, 1000:20=50\displaystyle 1000:20=50, 1000:40=25\displaystyle 1000:40=25, 1000:50=20\displaystyle 1000:50=20.
    {10,20,40,50}\displaystyle \{10,20,40,50\}
  4. Numărul cazurilor favorabile este numărul divizorilor lui 1000\displaystyle 1000 din mulțimea A\displaystyle A, adică 4\displaystyle 4.
    nr. cazuri favorabile=4\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=4
  5. Aplicăm formula probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. Probabilitatea este p=49\displaystyle p=\dfrac{4}{9}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=49\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{4}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(0,3)\displaystyle A(0,3) și B(4,0)\displaystyle B(4,0). Calculați perimetrul triunghiului AOB\displaystyle AOB.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm lungimea laturii AO\displaystyle AO cu formula distanței dintre două puncte, folosind coordonatele O(0,0)\displaystyle O(0,0) și A(0,3)\displaystyle A(0,3): AO=(0−0)2+(3−0)2\displaystyle AO=\sqrt{(0-0)^{2}+(3-0)^{2}}.
    AO=0+9=3\displaystyle AO=\sqrt{0+9}=3
  2. Calculăm lungimea laturii BO\displaystyle BO cu aceeași formulă, folosind coordonatele O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(4,0)\displaystyle B(4,0): BO=(4−0)2+(0−0)2\displaystyle BO=\sqrt{(4-0)^{2}+(0-0)^{2}}.
    BO=16+0=4\displaystyle BO=\sqrt{16+0}=4
  3. Calculăm lungimea laturii AB\displaystyle AB, folosind coordonatele A(0,3)\displaystyle A(0,3) și B(4,0)\displaystyle B(4,0): AB=(4−0)2+(0−3)2\displaystyle AB=\sqrt{(4-0)^{2}+(0-3)^{2}}. Obținem astfel toate cele trei laturi: 3\displaystyle 3, 4\displaystyle 4 și 5\displaystyle 5.
    AB=16+9=25=5\displaystyle AB=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5
  4. Perimetrul triunghiului este suma lungimilor laturilor: P=AO+BO+AB=3+4+5\displaystyle P=AO+BO+AB=3+4+5.
    PΔAOB=3+4+5=12\displaystyle P_{\Delta AOB}=3+4+5=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡x=35\displaystyle \sin x=\frac{3}{5}, știind că x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=45\displaystyle \cos x=\frac{4}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim identitatea fundamentală a trigonometriei: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Din ea exprimăm sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x.
    sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x
  2. Înlocuim cos⁡x=45\displaystyle \cos x=\dfrac{4}{5} și calculăm: 1−1625=25−1625=925\displaystyle 1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{25-16}{25}=\dfrac{9}{25}.
    sin⁡2x=1−(45)2=1−1625=925\displaystyle \sin^{2}x=1-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}
  3. Din sin⁡2x=925\displaystyle \sin^{2}x=\dfrac{9}{25} rezultă sin⁡x=±925=±35\displaystyle \sin x=\pm\sqrt{\dfrac{9}{25}}=\pm\dfrac{3}{5}.
    sin⁡x=±35\displaystyle \sin x=\pm\frac{3}{5}
  4. Deoarece x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), adică x este în primul cadran, avem sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0. Alegem valoarea pozitivă, deci sin⁡x=35\displaystyle \sin x=\dfrac{3}{5}.
    sin⁡x=35\displaystyle \sin x=\frac{3}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1100)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, folosind elementele ei: prima linie are elementele −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1, a doua linie are elementele 0\displaystyle 0 și 0\displaystyle 0.
    det⁡A=∣−1100∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}-1&1\\0&0\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Diagonala principală are elementele −1\displaystyle -1 și 0\displaystyle 0, iar cea secundară are elementele 1\displaystyle 1 și 0\displaystyle 0.
    det⁡A=(−1)⋅0−1⋅0\displaystyle \det A=(-1)\cdot 0-1\cdot 0
  3. Calculăm produsele: fiecare conține factorul 0\displaystyle 0, deci este egal cu 0\displaystyle 0. Diferența lor este 0−0=0\displaystyle 0-0=0, deci determinantul este nul, așa cum trebuia arătat.
    det⁡A=−1⋅0−1⋅0=0−0=0\displaystyle \det A=-1\cdot 0-1\cdot 0=0-0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1100)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Verificați dacă A⋅(A+I2)=O2\displaystyle A\cdot(A+I_2)=O_2, unde O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele A\displaystyle A și I2\displaystyle I_2 element cu element, adică adunăm elementele aflate pe aceeași poziție: A+I2=(−1+11+00+00+1)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}-1+1&1+0\\0+0&0+1\end{pmatrix}.
    A+I2=(−1+11+00+00+1)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}-1+1&1+0\\0+0&0+1\end{pmatrix}
  2. Efectuăm calculele din fiecare element și obținem matricea sumă: A+I2=(0101)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}.
    A+I2=(0101)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}
  3. Scriem produsul A⋅(A+I2)\displaystyle A\cdot(A+I_2). Elementul de pe linia i\displaystyle i și coloana j\displaystyle j al produsului se obține înmulțind linia i\displaystyle i din prima matrice cu coloana j\displaystyle j din a doua matrice: A⋅(A+I2)=(−1100)(0101)\displaystyle A\cdot(A+I_2)=\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}.
    A⋅(A+I2)=(−1100)(0101)\displaystyle A\cdot(A+I_2)=\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}
  4. Calculăm fiecare element al produsului. Pe prima linie avem (−1)⋅0+1⋅0=0\displaystyle (-1)\cdot0+1\cdot0=0 și (−1)⋅1+1⋅1=0\displaystyle (-1)\cdot1+1\cdot1=0. Pe a doua linie avem 0⋅0+0⋅0=0\displaystyle 0\cdot0+0\cdot0=0 și 0⋅1+0⋅1=0\displaystyle 0\cdot1+0\cdot1=0.
    ((−1)⋅0+1⋅0(−1)⋅1+1⋅10⋅0+0⋅00⋅1+0⋅1)=(0000)\displaystyle \begin{pmatrix}(-1)\cdot0+1\cdot0&(-1)\cdot1+1\cdot1\\0\cdot0+0\cdot0&0\cdot1+0\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
  5. Produsul obținut este matricea nulă, deci egalitatea A⋅(A+I2)=O2\displaystyle A\cdot(A+I_2)=O_2 este adevărată.
    A⋅(A+I2)=(0000)=O2\displaystyle A\cdot(A+I_2)=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1100)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care det⁡B=0\displaystyle \det B=0, unde B=A⋅A+mI2\displaystyle B=A\cdot A+mI_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană. Prima linie: (−1)(−1)+1⋅0=1\displaystyle (-1)(-1)+1\cdot 0=1 și (−1)⋅1+1⋅0=−1\displaystyle (-1)\cdot 1+1\cdot 0=-1. A doua linie are doar zerouri, deoarece a doua linie a lui A\displaystyle A este nulă.
    A⋅A=(1−100)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&-1\\0&0\end{pmatrix}
  2. Scriem mI2=(m00m)\displaystyle mI_2=\begin{pmatrix}m&0\\0&m\end{pmatrix} și o adunăm cu A⋅A\displaystyle A\cdot A, element cu element. Se modifică doar elementele de pe diagonala principală: 1+m\displaystyle 1+m și 0+m\displaystyle 0+m.
    B=(1+m−10m)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1+m&-1\\0&m\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: det⁡B=(1+m)⋅m−(−1)⋅0\displaystyle \det B=(1+m)\cdot m-(-1)\cdot 0. Produsul de pe cealaltă diagonală este zero, deci rămâne doar produsul elementelor de pe diagonala principală.
    det⁡B=m(m+1)\displaystyle \det B=m(m+1)
  4. Punem condiția det⁡B=0\displaystyle \det B=0, adică m(m+1)=0\displaystyle m(m+1)=0. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci m=0\displaystyle m=0 sau m+1=0\displaystyle m+1=0.
    m=−1 sau m=0\displaystyle m=-1\text{ sau }m=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2+4X+4\displaystyle f=X^3+X^2+4X+4.

Arătați că f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1 în expresia polinomului f=X3+X2+4X+4\displaystyle f=X^3+X^2+4X+4.
    f(−1)=(−1)3+(−1)2+4⋅(−1)+4\displaystyle f(-1)=(-1)^3+(-1)^2+4\cdot(-1)+4
  2. Calculăm puterile: (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1 și (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1. Calculăm și produsul 4⋅(−1)=−4\displaystyle 4\cdot(-1)=-4.
    f(−1)=−1+1−4+4\displaystyle f(-1)=-1+1-4+4
  3. Adunăm termenii: −1+1=0\displaystyle -1+1=0 și −4+4=0\displaystyle -4+4=0. Deci f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0, ceea ce trebuia arătat.
    f(−1)=−1+1−4+4=0\displaystyle f(-1)=-1+1-4+4=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2+4X+4\displaystyle f=X^3+X^2+4X+4. Determinați restul împărțirii polinomului f\displaystyle f la polinomul X2+3X+2\displaystyle X^2+3X+2.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim termenul de grad maxim al lui f\displaystyle f la termenul de grad maxim al împărțitorului: X3:X2=X\displaystyle X^3:X^2=X. Primul termen al câtului este X\displaystyle X. Îl înmulțim cu X2+3X+2\displaystyle X^2+3X+2 și scădem rezultatul din f\displaystyle f: X⋅(X2+3X+2)=X3+3X2+2X\displaystyle X\cdot(X^2+3X+2)=X^3+3X^2+2X, deci f−(X3+3X2+2X)\displaystyle f-(X^3+3X^2+2X) este noul deîmpărțit.
    −2X2+2X+4\displaystyle -2X^{2}+2X+4
  2. Împărțim din nou termenii de grad maxim: −2X2:X2=−2\displaystyle -2X^2:X^2=-2. Al doilea termen al câtului este −2\displaystyle -2. Înmulțim: −2⋅(X2+3X+2)=−2X2−6X−4\displaystyle -2\cdot(X^2+3X+2)=-2X^2-6X-4. Scădem din −2X2+2X+4\displaystyle -2X^2+2X+4 și obținem un polinom de grad 1. Câtul este q=X−2\displaystyle q=X-2.
    q=X−2\displaystyle q=X-2
  3. Restul rezultă din scădere: (−2X2+2X+4)−(−2X2−6X−4)=8X+8\displaystyle (-2X^2+2X+4)-(-2X^2-6X-4)=8X+8. Gradul restului, 1\displaystyle 1, este mai mic decât gradul împărțitorului, 2\displaystyle 2, deci împărțirea se oprește. Verificare: (X−2)(X2+3X+2)+8X+8=X3+X2−4X−4+8X+8=X3+X2+4X+4=f\displaystyle (X-2)(X^2+3X+2)+8X+8=X^3+X^2-4X-4+8X+8=X^3+X^2+4X+4=f. Răspuns: câtul este X−2\displaystyle X-2, iar restul este 8X+8\displaystyle 8X+8.
    8X+8\displaystyle 8X+8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2+4X+4\displaystyle f=X^3+X^2+4X+4.

Demonstrați că 1x1+1x2+1x3+1x1x2+1x2x3+1x3x1=−34\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2x_3}+\frac{1}{x_3x_1}=-\frac{3}{4}, unde x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2 și x3\displaystyle x_3 sunt rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem relațiile lui Viète pentru f=X3+X2+4X+4\displaystyle f=X^3+X^2+4X+4. Suma rădăcinilor este −11\displaystyle -\dfrac{1}{1}, suma produselor luate câte două este 41\displaystyle \dfrac{4}{1}, iar produsul rădăcinilor este −41\displaystyle -\dfrac{4}{1}.
    x1+x2+x3=−1\displaystyle x_1+x_2+x_3=-1, x1x2+x1x3+x2x3=4\displaystyle \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=4, x1x2x3=−4\displaystyle \ x_1x_2x_3=-4
  2. Aducem la numitorul comun x1x2x3\displaystyle x_1x_2x_3 primele trei fracții, amplificând fiecare fracție cu produsul celorlalte două rădăcini.
    1x1+1x2+1x3=x2x3+x1x3+x1x2x1x2x3\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2}{x_1x_2x_3}
  3. Ultimele trei fracții le aducem la același numitor x1x2x3\displaystyle x_1x_2x_3, amplificând fiecare cu rădăcina care lipsește din numitor.
    1x1x2+1x2x3+1x3x1=x3+x1+x2x1x2x3\displaystyle \frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2x_3}+\frac{1}{x_3x_1}=\frac{x_3+x_1+x_2}{x_1x_2x_3}
  4. Adunăm cele două rezultate și înlocuim valorile din relațiile lui Viète: x1x2+x1x3+x2x3=4\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=4, x1+x2+x3=−1\displaystyle x_1+x_2+x_3=-1, x1x2x3=−4\displaystyle x_1x_2x_3=-4. Obținem valoarea cerută.
    (x2x3+x1x3+x1x2)+(x3+x1+x2)x1x2x3=4+(−1)−4=−34\displaystyle \frac{(x_2x_3+x_1x_3+x_1x_2)+(x_3+x_1+x_2)}{x_1x_2x_3}=\frac{4+(-1)}{-4}=-\frac{3}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−12x\displaystyle f(x)=x^3-12x.

Arătați că f′(x)=3(x−2)(x+2)\displaystyle f'(x)=3(x-2)(x+2), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Avem funcția f(x)=x3−12x\displaystyle f(x)=x^{3}-12x. O derivăm termen cu termen, folosind (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1} și (cx)′=c\displaystyle (cx)'=c.
    f′(x)=(x3)′−(12x)′\displaystyle f'(x)=(x^{3})'-(12x)'
  2. Calculăm: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2} și (12x)′=12\displaystyle (12x)'=12. Rezultă derivata funcției.
    f′(x)=3x2−12\displaystyle f'(x)=3x^{2}-12
  3. Observăm că 12=3⋅4\displaystyle 12=3\cdot 4, deci dăm factor comun pe 3\displaystyle 3.
    f′(x)=3(x2−4)\displaystyle f'(x)=3\left(x^{2}-4\right)
  4. Scriem 4=22\displaystyle 4=2^{2} și aplicăm formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) cu a=x\displaystyle a=x și b=2\displaystyle b=2. Egalitatea are loc pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3(x2−4)=3(x−2)(x+2)\displaystyle f'(x)=3\left(x^{2}-4\right)=3(x-2)(x+2), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−12x\displaystyle f(x)=x^3-12x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă a\displaystyle a: y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a). Aici a=2\displaystyle a=2.
    y−f(2)=f′(2)(x−2)\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)
  2. Calculăm f(2)\displaystyle f(2), înlocuind x=2\displaystyle x=2 în expresia funcției: f(2)=23−12⋅2=8−24\displaystyle f(2)=2^{3}-12\cdot 2=8-24.
    f(2)=−16\displaystyle f(2)=-16
  3. Calculăm derivata funcției: f′(x)=(x3−12x)′=3x2−12\displaystyle f'(x)=\left(x^{3}-12x\right)'=3x^{2}-12.
    f′(x)=3x2−12\displaystyle f'(x)=3x^{2}-12
  4. Calculăm f′(2)\displaystyle f'(2), înlocuind x=2\displaystyle x=2 în derivată: f′(2)=3⋅22−12=12−12\displaystyle f'(2)=3\cdot 2^{2}-12=12-12. Deci panta tangentei este 0\displaystyle 0.
    f(2)=−16\displaystyle f(2)=-16, f′(2)=0\displaystyle \ f'(2)=0
  5. Înlocuim f(2)=−16\displaystyle f(2)=-16 și f′(2)=0\displaystyle f'(2)=0 în formula tangentei: y−(−16)=0⋅(x−2)\displaystyle y-(-16)=0\cdot(x-2), adică y+16=0\displaystyle y+16=0. Tangenta este o dreaptă orizontală.
    y−f(2)=f′(2)(x−2)⇒y=−16\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)\Rightarrow y=-16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−12x\displaystyle f(x)=x^3-12x.

Arătați că −16≤f(x)≤16\displaystyle -16\le f(x)\le 16, pentru orice x∈[−2,2]\displaystyle x\in[-2,2].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f(x)=x3−12x\displaystyle f(x)=x^3-12x: f′(x)=3x2−12\displaystyle f'(x)=3x^{2}-12.
    f′(x)=3x2−12\displaystyle f'(x)=3x^{2}-12
  2. Dăm factor comun 3 și folosim diferența de pătrate: f′(x)=3(x2−4)=3(x−2)(x+2)\displaystyle f'(x)=3(x^{2}-4)=3(x-2)(x+2).
    f′(x)=3(x−2)(x+2)\displaystyle f'(x)=3(x-2)(x+2)
  3. În capetele intervalului unul dintre factori se anulează: f′(−2)=3⋅(−4)⋅0=0\displaystyle f'(-2)=3\cdot(-4)\cdot 0=0 și f′(2)=3⋅0⋅4=0\displaystyle f'(2)=3\cdot 0\cdot 4=0.
    f′(−2)=0\displaystyle f'(-2)=0, f′(2)=0\displaystyle \ f'(2)=0
  4. Pentru x∈[−2,2]\displaystyle x\in[-2,2] avem x−2≤0\displaystyle x-2\le 0 și x+2≥0\displaystyle x+2\ge 0, deci (x−2)(x+2)≤0\displaystyle (x-2)(x+2)\le 0. Rezultă f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 pentru orice x∈[−2,2]\displaystyle x\in[-2,2], deci f\displaystyle f este descrescătoare pe [−2,2]\displaystyle [-2,2].
    f′(−2)=0\displaystyle f'(-2)=0, f′(2)=0 și f′(x)≤0, pentru orice x∈[−2,2]\displaystyle \ f'(2)=0\text{ și }f'(x)\le 0\text{, pentru orice }x\in[-2,2]
  5. Calculăm valorile în capete: f(−2)=(−2)3−12⋅(−2)=−8+24=16\displaystyle f(-2)=(-2)^3-12\cdot(-2)=-8+24=16 și f(2)=23−12⋅2=8−24=−16\displaystyle f(2)=2^3-12\cdot 2=8-24=-16.
    f(−2)=16\displaystyle f(-2)=16, f(2)=−16\displaystyle \ f(2)=-16
  6. Cum f\displaystyle f este descrescătoare pe [−2,2]\displaystyle [-2,2], pentru orice x\displaystyle x din interval avem f(2)≤f(x)≤f(−2)\displaystyle f(2)\le f(x)\le f(-2), adică −16≤f(x)≤16\displaystyle -16\le f(x)\le 16.
    f(2)≤f(x)≤f(−2)⇒−16≤f(x)≤16, pentru orice x∈[−2,2]\displaystyle f(2)\le f(x)\le f(-2)\Rightarrow -16\le f(x)\le 16\text{, pentru orice }x\in[-2,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x4+3x2+1\displaystyle f(x)=5x^4+3x^2+1.

Arătați că ∫01(f(x)−3x2−1)dx=1\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-3x^2-1\right)dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=5x4+3x2+1\displaystyle f(x)=5x^4+3x^2+1 în integrand: f(x)−3x2−1=5x4+3x2+1−3x2−1\displaystyle f(x)-3x^2-1=5x^4+3x^2+1-3x^2-1.
    f(x)−3x2−1=5x4+3x2+1−3x2−1\displaystyle f(x)-3x^2-1=5x^4+3x^2+1-3x^2-1
  2. Reducem termenii asemenea: 3x2−3x2=0\displaystyle 3x^2-3x^2=0 și 1−1=0\displaystyle 1-1=0, deci integrandul devine 5x4\displaystyle 5x^4.
    f(x)−3x2−1=5x4\displaystyle f(x)-3x^2-1=5x^4
  3. Integrala devine ∫015x4 dx\displaystyle \int_0^1 5x^4\,dx. O primitivă a lui 5x4\displaystyle 5x^4 este x5\displaystyle x^5, pentru că (x5)′=5x4\displaystyle (x^5)'=5x^4. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫01(f(x)−3x2−1)dx=∫015x4 dx=x5∣01\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-3x^2-1\right)dx=\int_0^1 5x^4\,dx=x^5\Big|_0^1
  4. Calculăm valorile primitivei în capetele intervalului: 15−05=1−0=1\displaystyle 1^5-0^5=1-0=1. Deci integrala este egală cu 1.
    x5∣01=1−0=1\displaystyle x^5\Big|_0^1=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x4+3x2+1\displaystyle f(x)=5x^4+3x^2+1.

Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f\displaystyle f, axa Ox\displaystyle Ox și dreptele de ecuații x=1\displaystyle x=1 și x=2\displaystyle x=2.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că funcția f\displaystyle f este strict pozitivă pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2], deoarece 5x4≥0\displaystyle 5x^4\ge 0, 3x2≥0\displaystyle 3x^2\ge 0 și 1>0\displaystyle 1>0. Deci ∣f(x)∣=f(x)\displaystyle |f(x)|=f(x).
    ∣f(x)∣=f(x)=5x4+3x2+1>0\displaystyle |f(x)|=f(x)=5x^4+3x^2+1>0
  2. Aria este integrala lui ∣f(x)∣\displaystyle |f(x)| pe [1,2]\displaystyle [1,2]. Cum f\displaystyle f este pozitivă, avem A=∫12(5x4+3x2+1)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^2 \left(5x^4+3x^2+1\right)dx.
    A=∫12∣f(x)∣ dx=∫12(5x4+3x2+1)dx\displaystyle \mathcal{A}=\int_1^2|f(x)|\,dx=\int_1^2\left(5x^4+3x^2+1\right)dx
  3. Primitiva lui 5x4\displaystyle 5x^4 este x5\displaystyle x^5, primitiva lui 3x2\displaystyle 3x^2 este x3\displaystyle x^3, iar primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Deci o primitivă a lui f\displaystyle f este x5+x3+x\displaystyle x^5+x^3+x, iar aria se scrie cu formula Leibniz-Newton.
    A=(x5+x3+x)∣12\displaystyle \mathcal{A}=\left(x^5+x^3+x\right)\Big|_1^2
  4. Calculăm valoarea primitivei în x=2\displaystyle x=2: 25+23+2=32+8+2=42\displaystyle 2^5+2^3+2=32+8+2=42, apoi în x=1\displaystyle x=1: 15+13+1=3\displaystyle 1^5+1^3+1=3.
    (25+23+2)−(15+13+1)=42−3\displaystyle \left(2^5+2^3+2\right)-\left(1^5+1^3+1\right)=42-3
  5. Scădem: 42−3=39\displaystyle 42-3=39. Aria suprafeței este 39\displaystyle 39 unități de arie.
    A=39\displaystyle \mathcal{A}=39
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x4+3x2+1\displaystyle f(x)=5x^4+3x^2+1.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Fie F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f. Din definiția primitivei, F\displaystyle F este derivabilă și derivata ei este chiar f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Înlocuim expresia lui f\displaystyle f în egalitatea pentru derivata lui F\displaystyle F.
    F′(x)=5x4+3x2+1\displaystyle F'(x)=5x^4+3x^2+1
  3. Studiem semnul derivatei. Pentru orice x\displaystyle x real avem x4≥0\displaystyle x^4\ge 0 și x2≥0\displaystyle x^2\ge 0, deci 5x4≥0\displaystyle 5x^4\ge 0 și 3x2≥0\displaystyle 3x^2\ge 0. Adunând 1\displaystyle 1, suma este cel puțin 1\displaystyle 1, deci strict pozitivă.
    F′(x)=5x4+3x2+1≥1>0\displaystyle F'(x)=5x^4+3x^2+1\ge 1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  4. Deoarece F′(x)>0\displaystyle F'(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, funcția F\displaystyle F este strict crescătoare, deci crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}. Cum F\displaystyle F a fost aleasă arbitrar, concluzia este valabilă pentru orice primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=5x4+3x2+1>0 pentru orice numa˘r real x, deci F este cresca˘toare pe R\displaystyle F'(x)=5x^4+3x^2+1>0\text{ pentru orice număr real }x\text{, deci }F\text{ este crescătoare pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.