Bac matematică M3 tehnologic 2026, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 14+3⋅(32−14)=4\displaystyle \frac{1}{4} + 3 \cdot \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right) = 4.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem fracția 32\displaystyle \dfrac{3}{2} la numitorul comun 4\displaystyle 4, pentru a putea efectua scăderea din paranteză.
    32=64\displaystyle \frac{3}{2} = \frac{6}{4}
  2. Efectuăm scăderea din interiorul parantezei, folosind numitorul comun găsit anterior.
    64−14=54\displaystyle \frac{6}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}
  3. Înmulțim rezultatul parantezei cu 3\displaystyle 3, obținând expresia finală înainte de adunare.
    14+3⋅(32−14)=14+3⋅54\displaystyle \frac{1}{4} + 3 \cdot \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{5}{4}
  4. Efectuăm înmulțirea 3\displaystyle 3 cu 54\displaystyle \dfrac{5}{4}, obținând fracția 154\displaystyle \dfrac{15}{4}, care se adună cu 14\displaystyle \dfrac{1}{4}.
    3⋅54=154\displaystyle 3 \cdot \frac{5}{4} = \frac{15}{4}
  5. Adunăm cele două fracții cu același numitor și simplificăm rezultatul pentru a obține valoarea finală.
    14+154=4\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{15}{4} = 4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=4x−9\displaystyle f(x) = 4x - 9. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=a\displaystyle f(a) = a.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie condiția din enunț: valoarea funcției în punctul a\displaystyle a trebuie să fie egală cu a\displaystyle a.
    f(a)=a\displaystyle f(a) = a
  2. Se calculează f(a)\displaystyle f(a) înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției f(x)=4x−9\displaystyle f(x) = 4x - 9.
    f(a)=4a−9\displaystyle f(a) = 4a - 9
  3. Se înlocuiește f(a)\displaystyle f(a) cu expresia obținută în ecuația f(a)=a\displaystyle f(a) = a, obținând o ecuație liniară în a\displaystyle a.
    4a−9=a\displaystyle 4a - 9 = a
  4. Se trec toți termenii care conțin a\displaystyle a în membrul stâng, iar termenii liberi în membrul drept.
    4a−a=9\displaystyle 4a - a = 9
  5. Se reduc termenii asemenea din membrul stâng.
    3a=9\displaystyle 3a = 9
  6. Se împarte ecuația prin 3\displaystyle 3 pentru a afla valoarea lui a\displaystyle a, obținând soluția finală.
    3a=9⇒a=3\displaystyle 3a = 9 \Rightarrow a = 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−1=x\displaystyle \sqrt{2x - 1} = x.
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilesc condițiile de existență ale ecuației: expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă, iar, deoarece radicalul este întotdeauna nenegativ, membrul drept x\displaystyle x trebuie să fie de asemenea nenegativ.
    2x−1≥0 și x≥0\displaystyle 2x-1\geq 0\text{ și }x\geq 0, adica˘ x≥12\displaystyle \text{ adică }x\geq \frac{1}{2}
  2. Se ridică ambii membri ai ecuației la pătrat pentru a elimina radicalul, obținându-se o ecuație de gradul al doilea.
    2x−1=x2\displaystyle 2x-1=x^2, deci x2−2x+1=0\displaystyle \text{ deci }x^2-2x+1=0
  3. Se observă că trinomul obținut este un pătrat perfect, deci ecuația se rescrie ca (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^{2}=0.
    (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^2=0
  4. Se rezolvă ecuația obținută, găsindu-se soluția (dublă) x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
  5. Se verifică dacă soluția obținută respectă condițiile de existență stabilite inițial (x≥12\displaystyle x\geq \dfrac{1}{2}) și se validează în ecuația inițială: 2⋅1−1=1=1=x\displaystyle \sqrt{2\cdot 1-1}=\sqrt{1}=1=x.
    x=1\displaystyle x = 1, care convine\displaystyle \text{ care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8}\displaystyle A = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A\displaystyle A, numărul natural n(n+1)\displaystyle n(n+1) să fie multiplu de 10\displaystyle 10.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină numărul cazurilor posibile: mulțimea A are 8\displaystyle 8 elemente, deci există 8\displaystyle 8 moduri de a alege numărul n.
    Mulțimea A are 8 elemente, deci 8 cazuri posibile\displaystyle \text{Mulțimea } A \text{ are } 8 \text{ elemente, deci } 8 \text{ cazuri posibile}
  2. Se calculează produsul n(n+1)\displaystyle n(n+1) pentru fiecare valoare a lui n\displaystyle n din mulțimea A, pentru a putea verifica divizibilitatea cu 10\displaystyle 10.
    1⋅2=2\displaystyle 1\cdot2=2, 2⋅3=6\displaystyle \ 2\cdot3=6, 3⋅4=12\displaystyle \ 3\cdot4=12, 4⋅5=20\displaystyle \ 4\cdot5=20, 5⋅6=30\displaystyle \ 5\cdot6=30, 6⋅7=42\displaystyle \ 6\cdot7=42, 7⋅8=56\displaystyle \ 7\cdot8=56, 8⋅9=72\displaystyle \ 8\cdot9=72
  3. Se identifică valorile lui n\displaystyle n pentru care n(n+1)\displaystyle n(n+1) este multiplu de 10\displaystyle 10, adică se verifică care produse din lista de mai sus se divid exact la 10\displaystyle 10.
    n(n+1)∈{20,30} pentru n=4 și n=5\displaystyle n(n+1)\in\{20,30\}\text{ pentru } n=4\text{ și } n=5
  4. Se numără cazurile favorabile: există exact 2\displaystyle 2 valori ale lui n\displaystyle n (n=4\displaystyle n=4 și n=5\displaystyle n=5) pentru care n(n+1)\displaystyle n(n+1) este multiplu de 10\displaystyle 10.
    Numa˘rul cazurilor \displaystyle \text{Numărul cazurilor }favorabile este 2\displaystyle \text{favorabile este } 2
  5. Se aplică formula probabilității, raportând numărul cazurilor favorabile la numărul cazurilor posibile, și se simplifică fracția obținută.
    p=28=14\displaystyle p = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(6,8)\displaystyle A(6,8), B(8,4)\displaystyle B(8,4) și M\displaystyle M, mijlocul segmentului OA\displaystyle OA. Arătați că triunghiul OBM\displaystyle OBM este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Se determină coordonatele originii O și ale punctului A, apoi se calculează coordonatele mijlocului M al segmentului OA folosind formula punctului de mijloc.
    O(0,0)\displaystyle O(0,0), A(6,8) ⇒ M(0+62,0+82)=M(3,4)\displaystyle \ A(6,8)\ \Rightarrow\ M\left(\frac{0+6}{2},\frac{0+8}{2}\right)=M(3,4)
  2. Se calculează lungimea segmentului OM folosind formula distanței dintre două puncte, aplicată pentru O(0,0)\displaystyle O(0,0) și M(3,4)\displaystyle M(3,4).
    OM=(3−0)2+(4−0)2=9+16=25=5\displaystyle OM=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
  3. Se calculează lungimea segmentului BM folosind formula distanței dintre punctele B(8,4)\displaystyle B(8,4) și M(3,4)\displaystyle M(3,4).
    BM=(8−3)2+(4−4)2=25+0=25=5\displaystyle BM=\sqrt{(8-3)^2+(4-4)^2}=\sqrt{25+0}=\sqrt{25}=5
  4. Se compară cele două lungimi obținute și se observă că sunt egale, deci triunghiul OBM este isoscel.
    BM=5\displaystyle BM=5, OM=5 ⇒ OM=BM ⇒ △OBM este isoscel\displaystyle \ OM=5\ \Rightarrow\ OM=BM\ \Rightarrow\ \triangle OBM\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AC=6\displaystyle AC = 6 și AC=3AB\displaystyle AC = 3AB. Arătați că BC=210\displaystyle BC = 2\sqrt{10}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie relația dintre catete conform enunțului
    AC=3AB\displaystyle AC = 3AB
  2. Se înlocuiește valoarea lui AC\displaystyle AC și se obține ecuația pentru AB\displaystyle AB
    6=3AB\displaystyle 6 = 3AB
  3. Se rezolvă ecuația și se determină lungimea catetei AB\displaystyle AB
    AB=2\displaystyle AB = 2
  4. Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC, unde BC\displaystyle BC este ipotenuza
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^2 = AB^2 + AC^2
  5. Se înlocuiesc valorile catetelor AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC și se calculează BC\displaystyle BC
    BC2=22+62=40\displaystyle BC^2 = 2^2 + 6^2 = 40, de unde BC=210\displaystyle \text{ de unde } BC = 2\sqrt{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea M(a)=(a+14−1a−4)\displaystyle M(a) = \begin{pmatrix} a+1 & 4 \\ -1 & a-4 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(M(0))=0\displaystyle \det(M(0)) = 0.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește valoarea a=0\displaystyle a = 0 în matricea M(a)\displaystyle M(a) pentru a obține matricea M(0)\displaystyle M(0).
    M(0)=(0+14−10−4)=(14−1−4)\displaystyle M(0) = \begin{pmatrix} 0+1 & 4 \\ -1 & 0-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul de ordinul doi asociat matricei M(0)\displaystyle M(0) folosind formula det⁡=a11⋅a22−a12⋅a21\displaystyle \det = a_{11}\cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21}.
    det⁡(M(0))=∣14−1−4∣=1⋅(−4)−4⋅(−1)\displaystyle \det(M(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-4) - 4 \cdot (-1)
  3. Se efectuează înmulțirile și apoi adunarea pentru a obține valoarea finală a determinantului.
    =−4+4=0\displaystyle = -4 + 4 = 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea M(a)=(a+14−1a−4)\displaystyle M(a) = \begin{pmatrix} a+1 & 4 \\ -1 & a-4 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că M(3)+2M(0)=3M(1)\displaystyle M(3) + 2M(0) = 3M(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=3\displaystyle a=3 în M(a)\displaystyle M(a): a+1=4\displaystyle a+1=4 și a−4=−1\displaystyle a-4=-1.
    M(3)=(44−1−1)\displaystyle M(3)=\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}
  2. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în M(a)\displaystyle M(a): a+1=1\displaystyle a+1=1 și a−4=−4\displaystyle a-4=-4.
    M(0)=(14−1−4)\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}
  3. Înmulțim fiecare element al lui M(0)\displaystyle M(0) cu 2\displaystyle 2.
    2M(0)=(28−2−8)\displaystyle 2M(0)=\begin{pmatrix} 2 & 8 \\ -2 & -8 \end{pmatrix}
  4. Adunăm M(3)\displaystyle M(3) și 2M(0)\displaystyle 2M(0) element cu element: 4+2=6\displaystyle 4+2=6, 4+8=12\displaystyle 4+8=12, −1−2=−3\displaystyle -1-2=-3, −1−8=−9\displaystyle -1-8=-9.
    M(3)+2M(0)=(612−3−9)\displaystyle M(3)+2M(0)=\begin{pmatrix} 6 & 12 \\ -3 & -9 \end{pmatrix}
  5. Toate elementele sunt multipli de 3\displaystyle 3, deci scoatem factorul 3\displaystyle 3 în fața matricei.
    M(3)+2M(0)=3(24−1−3)\displaystyle M(3)+2M(0)=3\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}
  6. Calculăm M(1)\displaystyle M(1): a+1=2\displaystyle a+1=2 și a−4=−3\displaystyle a-4=-3, deci M(1)=(24−1−3)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}. Matricea din paranteză este chiar M(1)\displaystyle M(1), deci M(3)+2M(0)=3M(1)\displaystyle M(3)+2M(0)=3M(1).
    M(3)+2M(0)=3(24−1−3)=3M(1)\displaystyle M(3)+2M(0)=3\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}=3M(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea M(a)=(a+14−1a−4)\displaystyle M(a) = \begin{pmatrix} a+1 & 4 \\ -1 & a-4 \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care M(a)⋅M(0)=3M(0)\displaystyle M(a) \cdot M(0) = 3M(0).
Vezi rezolvarea
  1. Se determină matricea M(0)\displaystyle M(0) prin înlocuirea lui a cu 0 în M(a)\displaystyle M(a).
    M(0)=(14−1−4)\displaystyle M(0) = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}
  2. Se calculează produsul M(a)⋅M(0)\displaystyle M(a) \cdot M(0), element cu element, folosind regula de înmulțire a matricelor.
    M(a)⋅M(0)=((a+1)⋅1+4⋅(−1)(a+1)⋅4+4⋅(−4)(−1)⋅1+(a−4)⋅(−1)(−1)⋅4+(a−4)⋅(−4))\displaystyle M(a) \cdot M(0) = \begin{pmatrix} (a+1)\cdot 1 + 4\cdot(-1) & (a+1)\cdot 4 + 4\cdot(-4) \\ (-1)\cdot 1 + (a-4)\cdot(-1) & (-1)\cdot 4 + (a-4)\cdot(-4) \end{pmatrix}
  3. Se efectuează calculele din fiecare element al matricei produs, obținându-se forma finală a produsului M(a)⋅M(0)\displaystyle M(a) \cdot M(0).
    M(a)⋅M(0)=(a−34a−123−a12−4a)\displaystyle M(a) \cdot M(0) = \begin{pmatrix} a-3 & 4a-12 \\ 3-a & 12-4a \end{pmatrix}
  4. Se calculează 3M(0)\displaystyle 3M(0), înmulțind fiecare element al matricei M(0)\displaystyle M(0) cu 3\displaystyle 3.
    3M(0)=(312−3−12)\displaystyle 3M(0) = \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ -3 & -12 \end{pmatrix}
  5. Se egalează matricea produs M(a)⋅M(0)\displaystyle M(a) \cdot M(0) cu matricea 3M(0)\displaystyle 3M(0), element cu element, obținând un sistem de ecuații în a\displaystyle a.
    (a−34a−123−a12−4a)=(312−3−12)\displaystyle \begin{pmatrix} a-3 & 4a-12 \\ 3-a & 12-4a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ -3 & -12 \end{pmatrix}
  6. Se rezolvă ecuația obținută din primul element (a−3=3\displaystyle a-3=3), verificându-se că aceeași valoare a lui a\displaystyle a satisface și celelalte trei ecuații (4a−12=12\displaystyle 4a-12=12, 3−a=−3\displaystyle 3-a=-3, 12−4a=−12\displaystyle 12-4a=-12), obținând soluția finală.
    (a−34a−123−a12−4a)=(312−3−12)\displaystyle \begin{pmatrix} a-3 & 4a-12 \\ 3-a & 12-4a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ -3 & -12 \end{pmatrix}, de unde a=6\displaystyle \text{ de unde } a = 6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4(x+y)\displaystyle x \circ y = xy + 4(x+y).

Arătați că 1∘2=14\displaystyle 1 \circ 2 = 14.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la definiția legii de compoziție date în enunț.
    x∘y=xy+4(x+y)\displaystyle x \circ y = xy + 4(x+y)
  2. Se înlocuiesc valorile x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2 în definiția legii de compoziție.
    1∘2=1⋅2+4(1+2)\displaystyle 1 \circ 2 = 1 \cdot 2 + 4(1+2)
  3. Se calculează produsul dintre 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, precum și suma dintre 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    1⋅2=2 și 1+2=3\displaystyle 1 \cdot 2 = 2 \text{ și } 1+2=3
  4. Se înmulțește suma obținută cu 4\displaystyle 4.
    4(1+2)=4⋅3=12\displaystyle 4(1+2) = 4 \cdot 3 = 12
  5. Se adună cele două rezultate obținute pentru a finaliza calculul.
    1∘2=2+12=14\displaystyle 1 \circ 2 = 2 + 12 = 14
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4(x+y)\displaystyle x \circ y = xy + 4(x+y).

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∘3=x\displaystyle x \circ 3 = x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se înlocuiește y\displaystyle y cu 3\displaystyle 3 pentru a obține expresia x∘3\displaystyle x\circ 3.
    x∘3=x⋅3+4(x+3)\displaystyle x \circ 3 = x \cdot 3 + 4(x+3)
  2. Se efectuează calculele: se distribuie și se grupează termenii asemenea (cei care conțin x\displaystyle x, respectiv termenii liberi).
    x∘3=3x+4x+12\displaystyle x \circ 3 = 3x + 4x + 12
  3. Se adună termenii asemenea și se obține forma finală a expresiei x∘3\displaystyle x\circ 3, valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∘3=7x+12\displaystyle x \circ 3 = 7x + 12, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real } x
  4. Se pune condiția din enunț ca x∘3\displaystyle x\circ 3 să fie egal cu x\displaystyle x, obținându-se astfel ecuația liniară în necunoscuta x\displaystyle x.
    7x+12=x\displaystyle 7x + 12 = x
  5. Se trec toți termenii care conțin x\displaystyle x în membrul stâng, iar termenii liberi în membrul drept, apoi se simplifică.
    7x−x=−12⇒6x=−12\displaystyle 7x - x = -12 \Rightarrow 6x = -12
  6. Se împarte ecuația prin coeficientul lui x\displaystyle x, obținându-se soluția finală a ecuației.
    x=−126=−2\displaystyle x = \dfrac{-12}{6} = -2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+4(x+y)\displaystyle x \circ y = xy + 4(x+y).

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 2x∘4=2x+4\displaystyle 2^x \circ 4 = 2^{x+4}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată, aplicată pentru elementele 2x\displaystyle 2^x și 4\displaystyle 4: se înlocuiește x\displaystyle x cu 2x\displaystyle 2^x și y\displaystyle y cu 4\displaystyle 4 în formula x∘y=xy+4(x+y)\displaystyle x\circ y = xy + 4(x+y).
    2x∘4=2x⋅4+4(2x+4)\displaystyle 2^x \circ 4 = 2^x \cdot 4 + 4(2^x + 4)
  2. Se efectuează înmulțirea 2x⋅4=4⋅2x\displaystyle 2^{x} \cdot 4 = 4\cdot 2^{x} și se desface paranteza 4(2x+4)=4⋅2x+16\displaystyle 4(2^{x}+4) = 4\cdot 2^{x} + 16.
    2x∘4=4⋅2x+4⋅2x+16\displaystyle 2^x \circ 4 = 4\cdot 2^x + 4\cdot 2^x + 16
  3. Se adună termenii asemenea 4⋅2x+4⋅2x=8⋅2x\displaystyle 4\cdot 2^{x} + 4\cdot 2^{x} = 8\cdot 2^{x}, obținând forma finală a expresiei 2x∘4\displaystyle 2^{x}\circ 4, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    2x∘4=8⋅2x+16\displaystyle 2^x \circ 4 = 8 \cdot 2^x + 16, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real } x
  4. Se rezolvă ecuația cerută în problemă, punând condiția ca 2x∘4\displaystyle 2^x \circ 4 să fie egal cu 2x+4\displaystyle 2^{x+4}, folosind rezultatul obținut anterior.
    8⋅2x+16=2x+4\displaystyle 8 \cdot 2^x + 16 = 2^{x+4}
  5. Se scrie 8⋅2x\displaystyle 8\cdot 2^x ca 23⋅2x=2x+3\displaystyle 2^3\cdot 2^x = 2^{x+3} și 16\displaystyle 16 ca 24\displaystyle 2^4, iar ecuația devine 2x+3+24=2x+4\displaystyle 2^{x+3} + 2^4 = 2^{x+4}. Deoarece 2x+4−2x+3=2x+3\displaystyle 2^{x+4} - 2^{x+3} = 2^{x+3}, ecuația este echivalentă cu 2x+3=24\displaystyle 2^{x+3} = 2^4.
    8⋅2x+16=2x+4⇔2x+3=24\displaystyle 8 \cdot 2^x + 16 = 2^{x+4} \Leftrightarrow 2^{x+3} = 2^4
  6. Deoarece funcția exponențială 2t\displaystyle 2^t este injectivă (strict monotonă), din egalitatea puterilor rezultă egalitatea exponenților, de unde se obține soluția ecuației.
    2x+3=24⇔x+3=4⇔x=1\displaystyle 2^{x+3} = 2^4 \Leftrightarrow x+3 = 4 \Leftrightarrow x = 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=1x2+4x+5\displaystyle f(x) = \dfrac{1}{x^2+4x+5}.

Arătați că f′(x)=−2(x+2)(x2+4x+5)2\displaystyle f'(x) = \dfrac{-2(x+2)}{\left(x^2+4x+5\right)^2}, x∈R\displaystyle x \in \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că funcția f\displaystyle f este definită pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece numitorul x2+4x+5\displaystyle x^{2}+4x+5 se poate scrie ca (x+2)2+1\displaystyle (x+2)^{2}+1, care este întotdeauna strict pozitiv, deci f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    x2+4x+5=(x+2)2+1>0\displaystyle x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0,  ∀x∈R\displaystyle \;\forall x\in\mathbb{R}
  2. Se aplică formula de derivare a unui raport de funcții, (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}, pentru u(x)=1\displaystyle u(x)=1 și v(x)=x2+4x+5\displaystyle v(x)=x^{2}+4x+5.
    f′(x)=1′⋅(x2+4x+5)−1⋅(x2+4x+5)′(x2+4x+5)2\displaystyle f'(x) = \frac{1' \cdot \left(x^2+4x+5\right) - 1 \cdot \left(x^2+4x+5\right)'}{\left(x^2+4x+5\right)^2}
  3. Se calculează derivatele care apar în formulă: derivata funcției constante 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0, iar derivata polinomului x2+4x+5\displaystyle x^{2}+4x+5 este 2x+4\displaystyle 2x+4.
    1′=0\displaystyle 1' = 0,(x2+4x+5)′=2x+4\displaystyle \quad \left(x^2+4x+5\right)' = 2x+4
  4. Se înlocuiesc aceste derivate în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x), obținând forma inițială a rezultatului.
    f′(x)=0⋅(x2+4x+5)−1⋅(2x+4)(x2+4x+5)2=−(2x+4)(x2+4x+5)2\displaystyle f'(x) = \frac{0 \cdot \left(x^2+4x+5\right) - 1 \cdot (2x+4)}{\left(x^2+4x+5\right)^2} = \frac{-(2x+4)}{\left(x^2+4x+5\right)^2}
  5. Se factorizează numărătorul, scoțând factorul comun 2\displaystyle 2, pentru a obține forma finală simplificată a derivatei, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    =0−(2x+4)(x2+4x+5)2=−2(x+2)(x2+4x+5)2\displaystyle = \frac{0 - (2x+4)}{\left(x^2+4x+5\right)^2} = \frac{-2(x+2)}{\left(x^2+4x+5\right)^2},  x∈R\displaystyle \; x \in \mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=1x2+4x+5\displaystyle f(x) = \dfrac{1}{x^2+4x+5}.

Arătați că lim⁡x→+∞(x2−1)⋅f(x)=1\displaystyle \lim\limits_{x \to +\infty} \left(x^2-1\right) \cdot f(x) = 1.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că discriminantul trinomului x2+4x+5\displaystyle x^2+4x+5 este Δ=16−20=−4<0\displaystyle \Delta=16-20=-4<0, deci x2+4x+5>0\displaystyle x^2+4x+5>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, ceea ce înseamnă că f\displaystyle f este bine definită pe tot R\displaystyle \mathbb{R} și nu se anulează niciodată.
    x2+4x+5>0\displaystyle x^2+4x+5>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Se scrie limita cerută folosind expresia lui f(x)\displaystyle f(x), obținându-se o funcție rațională al cărei numărător și numitor sunt polinoame de gradul 2\displaystyle 2.
    lim⁡x→+∞(x2−1)f(x)=lim⁡x→+∞x2−1x2+4x+5\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(x^2-1\right) f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-1}{x^2+4x+5}
  3. Se dă factor comun x2\displaystyle x^2 atât la numărător, cât și la numitor, pentru a evidenția termenii care tind la zero atunci când x→+∞\displaystyle x\to+\infty.
    lim⁡x→+∞(x2−1)f(x)=lim⁡x→+∞x2−1x2+4x+5=lim⁡x→+∞x2(1−1x2)x2(1+4x+5x2)\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(x^2-1\right) f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-1}{x^2+4x+5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}
  4. Se simplifică factorul comun x2\displaystyle x^2 de la numărător și numitor, rămânând o expresie în care apar doar termeni de forma 1x\displaystyle \frac{1}{x} și 1x2\displaystyle \frac{1}{x^2}.
    =lim⁡x→+∞1−1x21+4x+5x2\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}
  5. Deoarece x→+∞\displaystyle x\to+\infty, avem 1x→0\displaystyle \frac{1}{x}\to 0 și 1x2→0\displaystyle \frac{1}{x^2}\to 0, astfel încât numărătorul tinde la 1−0=1\displaystyle 1-0=1, iar numitorul tinde la 1+0+0=1\displaystyle 1+0+0=1. Se obține valoarea limitei.
    =lim⁡x→+∞1−1x21+4x+5x2=1\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}} = 1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=1x2+4x+5\displaystyle f(x) = \dfrac{1}{x^2+4x+5}.

Demonstrați că 5f(x)+f(−x)≤2\displaystyle 5f(x) + f(-x) \le 2, pentru orice x∈[0,+∞)\displaystyle x \in [0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se verifică domeniul de definiție: numitorul este strict pozitiv pentru orice x real, deci f este bine definită pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    x2+4x+5=(x+2)2+1>0\displaystyle x^2+4x+5=(x+2)^2+1>0, deci f este definita˘ pe R\displaystyle \text{ deci }f\text{ este definită pe }\mathbb{R}
  2. Se calculează derivata funcției f folosind regula de derivare a raportului.
    f′(x)=−(2x+4)(x2+4x+5)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-(2x+4)}{(x^2+4x+5)^2}
  3. Se rezolvă ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 și se stabilește semnul derivatei pe fiecare interval, obținând monotonia funcției.
    f′(x)=0⇔x=−2; f cresca˘toare pe (−∞,−2]\displaystyle f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2; \text{ f crescătoare pe } (-\infty,-2], descresca˘toare pe [−2,+∞)\displaystyle \text{ descrescătoare pe } [-2,+\infty)
  4. Se calculează valorile funcției în punctele importante: punctul de maxim x=−2\displaystyle x=-2 și punctul x=0\displaystyle x=0.
    f(−2)=1(−2)2+4(−2)+5=11=1\displaystyle f(-2)=\dfrac{1}{(-2)^2+4(-2)+5}=\dfrac{1}{1}=1,f(0)=102+4⋅0+5=15\displaystyle \quad f(0)=\dfrac{1}{0^2+4\cdot 0+5}=\dfrac{1}{5}
  5. Pentru x\displaystyle x în [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), acest interval este inclus în [−2,+∞)\displaystyle [-2,+\infty), unde f\displaystyle f este descrescătoare, deci f(x)\displaystyle f(x) este cel mult valoarea din capătul din stânga al intervalului, adică f(0)\displaystyle f(0).
    x≥0⇒x∈[−2,+∞)⇒f(x)≤f(0)=15⇒5f(x)≤1\displaystyle x\ge 0 \Rightarrow x\in[-2,+\infty) \Rightarrow f(x)\le f(0)=\dfrac{1}{5} \Rightarrow 5f(x)\le 1
  6. Pentru x\displaystyle x în [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty), avem −x\displaystyle -x în (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0]; pe acest interval f\displaystyle f are maximul în x=−2\displaystyle x=-2 (fiind crescătoare pe (−∞,−2]\displaystyle (-\infty,-2] și descrescătoare pe [−2,0]\displaystyle [-2,0]), deci f(−x)\displaystyle f(-x) este cel mult f(−2)\displaystyle f(-2).
    x≥0⇒−x∈(−∞,0]⇒f(−x)≤f(−2)=1\displaystyle x\ge 0 \Rightarrow -x\in(-\infty,0] \Rightarrow f(-x)\le f(-2)=1
  7. Se combină cele două inegalități obținute pentru a stabili inegalitatea cerută.
    x∈[0,+∞)⇒−x∈(−∞,0]\displaystyle x \in [0,+\infty) \Rightarrow -x \in (-\infty,0],  f(x)≤f(0)=15\displaystyle \; f(x) \le f(0) = \frac{1}{5},  f(−x)≤f(−2)=1⇒5f(x)+f(−x)≤2\displaystyle \; f(-x) \le f(-2) = 1 \Rightarrow 5f(x) + f(-x) \le 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=5x2+2x+1\displaystyle f(x) = 5x^2 + 2x + 1.

Arătați că ∫01(f(x)−2x)dx=83\displaystyle \displaystyle\int_0^1 \left(f(x)-2x\right)dx = \dfrac{8}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează diferența f(x)−2x\displaystyle f(x) - 2x, înlocuind expresia funcției f\displaystyle f.
    f(x)−2x=5x2+2x+1−2x=5x2+1\displaystyle f(x)-2x = 5x^2+2x+1-2x = 5x^2+1
  2. Se scrie integrala definită a expresiei obținute și se determină primitivele termenilor, folosind formula ∫xndx=xn+1n+1\displaystyle \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.
    ∫01(f(x)−2x)dx=∫01(5x2+1)dx=5x33∣01+x∣01\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)-2x\right)dx = \int_0^1 \left(5x^2+1\right)dx = \frac{5x^3}{3}\Big|_0^1 + x\Big|_0^1
  3. Se aplică formula Leibniz-Newton, înlocuind limitele de integrare x=1\displaystyle x=1 și x=0\displaystyle x=0 în primitivele obținute.
    (5⋅133−5⋅033)+(1−0)=53+1\displaystyle \left(\frac{5\cdot 1^3}{3}-\frac{5\cdot 0^3}{3}\right)+\left(1-0\right) = \frac{5}{3}+1
  4. Se efectuează adunarea fracțiilor pentru a obține rezultatul final al integralei.
    =53+1=83\displaystyle = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=5x2+2x+1\displaystyle f(x) = 5x^2 + 2x + 1.

Arătați că ∫021f(x)−5x2dx=ln⁡52\displaystyle \displaystyle\int_0^2 \dfrac{1}{f(x)-5x^2}dx = \dfrac{\ln 5}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează expresia f(x)−5x2\displaystyle f(x) - 5x^{2}, pornind de la definiția funcției date.
    f(x)−5x2=5x2+2x+1−5x2=2x+1\displaystyle f(x)-5x^2=5x^2+2x+1-5x^2=2x+1
  2. Se scrie integrala cerută și se înlocuiește numitorul cu expresia simplificată obținută mai sus.
    ∫021f(x)−5x2dx=∫0212x+1dx\displaystyle \int_0^2 \frac{1}{f(x)-5x^2}dx = \int_0^2 \frac{1}{2x+1}dx
  3. Se observă că derivata numitorului este (2x+1)′=2\displaystyle (2x+1)'=2, deci se amplifică fracția pentru a obține forma de tip logaritmic u′u\displaystyle \frac{u'}{u}.
    ∫0212x+1dx=12∫0222x+1dx=12∫02(2x+1)′2x+1dx\displaystyle \int_0^2 \frac{1}{2x+1}dx = \frac{1}{2}\int_0^2 \frac{2}{2x+1}dx = \frac{1}{2}\int_0^2 \frac{(2x+1)'}{2x+1}dx
  4. Se aplică formula primitivei ∫u′udx=ln⁡∣u∣+C\displaystyle \int \frac{u'}{u}dx = \ln|u|+C, obținându-se primitiva funcției de integrat, apoi se scrie sub forma cu limitele de integrare (formula Leibniz-Newton).
    ∫021f(x)−5x2dx=∫0212x+1dx=12∫02(2x+1)′2x+1dx=12ln⁡(2x+1)∣02\displaystyle \int_0^2 \frac{1}{f(x)-5x^2}dx = \int_0^2 \frac{1}{2x+1}dx = \frac{1}{2}\int_0^2 \frac{(2x+1)'}{2x+1}dx = \frac{1}{2}\ln(2x+1)\Big|_0^2
  5. Se aplică formula Leibniz-Newton, calculând valoarea primitivei în capetele intervalului: la x=2\displaystyle x=2 se obține ln⁡5\displaystyle \ln 5, iar la x=0\displaystyle x=0 se obține ln⁡1\displaystyle \ln 1.
    12ln⁡(2⋅2+1)−12ln⁡(2⋅0+1)=ln⁡52−ln⁡12\displaystyle \frac{1}{2}\ln(2\cdot 2+1)-\frac{1}{2}\ln(2\cdot 0+1) = \frac{\ln 5}{2}-\frac{\ln 1}{2}
  6. Se folosește faptul că ln⁡1=0\displaystyle \ln 1 = 0 și se obține rezultatul final al integralei.
    =ln⁡52−ln⁡12=ln⁡52\displaystyle = \frac{\ln 5}{2} - \frac{\ln 1}{2} = \frac{\ln 5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=5x2+2x+1\displaystyle f(x) = 5x^2 + 2x + 1.

Determinați primitiva G:(0,+∞)→R\displaystyle G : (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} a funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g : (0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=f(x)−2xx\displaystyle g(x) = \dfrac{f(x)-2x}{\sqrt{x}}, pentru care G(1)=5\displaystyle G(1) = 5.
Vezi rezolvarea
  1. Pornind de la funcția f(x)=5x2+2x+1\displaystyle f(x) = 5x^{2} + 2x + 1, se definește funcția g\displaystyle g pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0, +\infty) prin g(x)=f(x)x−2x\displaystyle g(x) = \dfrac{f(x)}{\sqrt{x}} - 2\sqrt{x}, folosind valorile lui f\displaystyle f.
    g(x)=f(x)x−2x=5x2+2x+1x−2x\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}=\frac{5x^2+2x+1}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x},  x∈(0,+∞)\displaystyle \;x\in(0,+\infty)
  2. Se descompune fracția în trei termeni, împărțind fiecare monom la x\displaystyle \sqrt{x}, apoi se reduc termenii asemenea (2x\displaystyle 2\sqrt{x} se anulează cu −2x\displaystyle -2\sqrt{x}).
    5x2x+2xx+1x−2x=5xx+2x+1x−2x=5xx+1x\displaystyle \frac{5x^2}{\sqrt{x}}+\frac{2x}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}=5x\sqrt{x}+2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x}=5x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}
  3. Se obține astfel forma simplificată a lui g\displaystyle g, convenabilă pentru integrare (fiecare termen este o putere a lui x\displaystyle x), iar apoi se integrează termen cu termen folosind formula ∫xndx=xn+1n+1+C\displaystyle \int x^{n}dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C, cu n=32\displaystyle n = \dfrac{3}{2} și n=−12\displaystyle n = -\dfrac{1}{2}.
    g(x)=5xx+1x\displaystyle g(x)=5x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}},  x∈(0,+∞);  ∫g(x)dx=∫(5xx+1x)dx=2x2x+2x+C\displaystyle \;x\in(0,+\infty);\;\int g(x)dx=\int\left(5x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx=2x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+C, deci G(x)=2x2x+2x+c, unde c este numa˘r real\displaystyle \text{ deci }G(x)=2x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+c\text{, unde }c\text{ este număr real}
  4. Se calculează valoarea lui G\displaystyle G în x=1\displaystyle x = 1, înlocuind în expresia obținută pentru G(x)\displaystyle G(x).
    G(1)=2⋅12⋅1+21+c=2+2+c=4+c\displaystyle G(1)=2\cdot 1^2\cdot\sqrt{1}+2\sqrt{1}+c=2+2+c=4+c
  5. Se pune condiția G(1)=5\displaystyle G(1) = 5, se determină constanta c\displaystyle c, iar apoi se scrie forma finală a primitivei G\displaystyle G.
    G(1)=5⇒4+c=5⇒c=1\displaystyle G(1)=5\Rightarrow 4+c=5\Rightarrow c=1, deci G(x)=2x2x+2x+1\displaystyle \text{ deci }G(x)=2x^2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+1,  x∈(0,+∞)\displaystyle \;x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.