Bac matematică M3 tehnologic 2021, model, test de evaluare 11: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (0,6+0,8):0,7−0,25⋅4=1\displaystyle (0,6+0,8):0,7-0,25\cdot 4=1.
Vezi rezolvarea
  1. Efectuăm mai întâi operația din paranteză: adunăm 0,6\displaystyle 0,6 cu 0,8\displaystyle 0,8.
    0\displaystyle 0,6+0\displaystyle 6+0,8=1\displaystyle 8=1,4\displaystyle 4
  2. Calculăm produsul 0,25⋅4\displaystyle 0,25\cdot 4: un sfert înmulțit cu 4\displaystyle 4 dă 1\displaystyle 1.
    0\displaystyle 0,25⋅4=1\displaystyle 25\cdot 4=1
  3. Împărțim rezultatul parantezei la 0,7\displaystyle 0,7. Amplificăm cu 10\displaystyle 10 și obținem 14:7=2\displaystyle 14:7=2. Expresia devine 2−1\displaystyle 2-1.
    (0,6+0,8):0\displaystyle (0,6+0,8):0,7−0\displaystyle 7-0,25⋅4=1\displaystyle 25\cdot 4=1,4:0\displaystyle 4:0,7−1=2−1\displaystyle 7-1=2-1
  4. Scădem și obținem 1\displaystyle 1, deci egalitatea din enunț este adevărată.
    2−1=1\displaystyle 2-1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−5\displaystyle f(x)=2x-5. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)−f(2)=2f(4)\displaystyle f(a)-f(2)=2f(4).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(2)\displaystyle f(2) înlocuind x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în formula funcției: f(2)=2⋅2−5\displaystyle f(2)=2\cdot 2-5.
    f(2)=4−5=−1\displaystyle f(2)=4-5=-1
  2. Calculăm f(4)\displaystyle f(4) înlocuind x\displaystyle x cu 4\displaystyle 4: f(4)=2⋅4−5\displaystyle f(4)=2\cdot 4-5.
    f(4)=8−5=3\displaystyle f(4)=8-5=3
  3. Scriem f(a)\displaystyle f(a) înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în formula funcției. Astfel avem toate valorile necesare: f(2)=−1\displaystyle f(2)=-1, f(4)=3\displaystyle f(4)=3, iar f(a)=2a−5\displaystyle f(a)=2a-5.
    f(2)=−1\displaystyle f(2)=-1, f(4)=3\displaystyle \ f(4)=3, f(a)=2a−5\displaystyle \ f(a)=2a-5
  4. Înlocuim aceste valori în egalitatea f(a)−f(2)=2f(4)\displaystyle f(a)-f(2)=2f(4).
    2a−5−(−1)=2⋅3\displaystyle 2a-5-(-1)=2\cdot 3
  5. Reducem termenii din membrul stâng: −5+1=−4\displaystyle -5+1=-4. În membrul drept avem 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6.
    2a−4=6\displaystyle 2a-4=6
  6. Adunăm 4\displaystyle 4 în ambii membri: 2a=10\displaystyle 2a=10. Apoi împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem a=5\displaystyle a=5.
    a=5\displaystyle a=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x2−7)=2\displaystyle \log_3\left(x^2-7\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, adică x2−7>0\displaystyle x^{2}-7>0.
    x2−7>0\displaystyle x^{2}-7>0
  2. Folosim definiția logaritmului: log⁡3a=2\displaystyle \log_3 a=2 dacă și numai dacă a=32\displaystyle a=3^{2}. Deci x2−7=32\displaystyle x^{2}-7=3^{2}.
    x2−7=32=9\displaystyle x^{2}-7=3^{2}=9
  3. Mutăm toți termenii în partea stângă și obținem ecuația de gradul II x2−7−9=0\displaystyle x^{2}-7-9=0, adică x2−16=0\displaystyle x^{2}-16=0.
    x2−16=0\displaystyle x^{2}-16=0
  4. Descompunem diferența de pătrate: x2−16=(x−4)(x+4)=0\displaystyle x^{2}-16=(x-4)(x+4)=0. Egalăm fiecare factor cu zero.
    x=4 sau x=−4\displaystyle x=4\text{ sau }x=-4
  5. Verificăm condiția de existență: pentru x=±4\displaystyle x=\pm 4 avem x2−7=16−7=9>0\displaystyle x^{2}-7=16-7=9>0. Deci ambele soluții convin.
    x=−4 sau x=4, care convin\displaystyle x=-4\text{ sau }x=4\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un element n\displaystyle n din mulțimea A={1,2,3,…,20}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,20\}, numărul 2n\displaystyle 2n să fie multiplu de 10\displaystyle 10.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul cazurilor posibile este numărul elementelor mulțimii A={1,2,3,…,20}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,20\}, adică 20\displaystyle 20.
    20\displaystyle 20
  2. Condiția ca 2n\displaystyle 2n să fie multiplu de 10\displaystyle 10 înseamnă 2n=10k\displaystyle 2n=10k, cu k\displaystyle k număr natural. Împărțind la 2\displaystyle 2, obținem n=5k\displaystyle n=5k, deci n\displaystyle n trebuie să fie multiplu de 5\displaystyle 5.
    n=5k\displaystyle n=5k
  3. Multiplii lui 5\displaystyle 5 din mulțimea A\displaystyle A sunt 5,10,15,20\displaystyle 5, 10, 15, 20. Sunt 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    n∈{5,10,15,20}, deci 4 cazuri favorabile\displaystyle n\in\{5,10,15,20\}\text{, deci }4\text{ cazuri favorabile}
  4. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile: p=420\displaystyle p=\dfrac{4}{20}. Simplificăm fracția prin 4\displaystyle 4 și obținem 15\displaystyle \dfrac{1}{5}.
    p=420=15\displaystyle p=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−8,6)\displaystyle A(-8,6) și B(a,4)\displaystyle B(a,4), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care MA=OB\displaystyle MA=OB, unde M\displaystyle M este mijlocul segmentului OA\displaystyle OA.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm lungimea segmentului OA\displaystyle OA cu formula distanței, unde O(0,0)\displaystyle O(0,0): OA=(−8)2+62\displaystyle OA=\sqrt{(-8)^{2}+6^{2}}.
    OA=64+36=100=10\displaystyle OA=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10
  2. Punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului OA\displaystyle OA, deci MA=OA2\displaystyle MA=\dfrac{OA}{2}.
    MA=102=5\displaystyle MA=\dfrac{10}{2}=5
  3. Calculăm lungimea OB\displaystyle OB cu formula distanței, între O(0,0)\displaystyle O(0,0) și B(a,4)\displaystyle B(a,4).
    OB=a2+42=a2+16\displaystyle OB=\sqrt{a^{2}+4^{2}}=\sqrt{a^{2}+16}
  4. Punem condiția MA=OB\displaystyle MA=OB și obținem ecuația cu radical.
    a2+16=5\displaystyle \sqrt{a^{2}+16}=5
  5. Ridicăm ecuația la pătrat (ambii membri sunt pozitivi): a2+16=25\displaystyle a^{2}+16=25, deci a2−9=0\displaystyle a^{2}-9=0.
    a2−9=0\displaystyle a^{2}-9=0
  6. Rezolvăm ecuația: a2=9\displaystyle a^{2}=9, deci a=−3\displaystyle a=-3 sau a=3\displaystyle a=3. Ambele valori convin, deoarece pentru ele a2+16=25=5\displaystyle \sqrt{a^{2}+16}=\sqrt{25}=5.
    a=−3 sau a=3\displaystyle a=-3\text{ sau }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=12\displaystyle AB=12 și BC=13\displaystyle BC=13. Determinați sin⁡B\displaystyle \sin B.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC. Scriem teorema lui Pitagora: BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}.
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
  2. Înlocuim valorile cunoscute: 132=122+AC2\displaystyle 13^{2}=12^{2}+AC^{2}, adică 169=144+AC2\displaystyle 169=144+AC^{2}.
    169=144+AC2\displaystyle 169=144+AC^{2}
  3. Scădem 144 din 169 și obținem AC2=25\displaystyle AC^{2}=25. Cum AC\displaystyle AC este o lungime, deci pozitivă, rezultă AC=5\displaystyle AC=5.
    AC=5\displaystyle AC=5
  4. Sinusul unghiului B\displaystyle B în triunghiul dreptunghic este raportul dintre cateta opusă lui B\displaystyle B, adică AC\displaystyle AC, și ipotenuza BC\displaystyle BC: sin⁡B=ACBC\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{BC}.
    sin⁡B=ACBC\displaystyle \sin B=\frac{AC}{BC}
  5. Înlocuim AC=5\displaystyle AC=5 și BC=13\displaystyle BC=13 și obținem sin⁡B=513\displaystyle \sin B=\dfrac{5}{13}.
    sin⁡B=513\displaystyle \sin B=\frac{5}{13}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4313)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&3\\1&3\end{pmatrix} și B(x)=(2x+1x1x+1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2x+1&x\\1&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=9\displaystyle \det A=9.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=∣4313∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}4&3\\1&3\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣4313∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}4&3\\1&3\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc. Obținem det⁡A=4⋅3−3⋅1\displaystyle \det A=4\cdot 3-3\cdot 1.
    det⁡A=4⋅3−3⋅1\displaystyle \det A=4\cdot 3-3\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 4⋅3=12\displaystyle 4\cdot 3=12 și 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3. Deci det⁡A=12−3=9\displaystyle \det A=12-3=9, ceea ce trebuia demonstrat.
    det⁡A=12−3=9\displaystyle \det A=12-3=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4313)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&3\\1&3\end{pmatrix} și B(x)=(2x+1x1x+1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2x+1&x\\1&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A+B(1)⋅B(−1)=2B(0)\displaystyle A+B(1)\cdot B(-1)=2B(0).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea B(1)\displaystyle B(1), înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în B(x)\displaystyle B(x): 2x+1\displaystyle 2x+1 devine 3\displaystyle 3, x\displaystyle x devine 1\displaystyle 1, iar x+1\displaystyle x+1 devine 2\displaystyle 2.
    B(1)=(3112)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm matricea B(−1)\displaystyle B(-1), înlocuind x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1: 2x+1\displaystyle 2x+1 devine −1\displaystyle -1, x\displaystyle x devine −1\displaystyle -1, iar x+1\displaystyle x+1 devine 0\displaystyle 0.
    B(−1)=(−1−110)\displaystyle B(-1)=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul B(1)⋅B(−1)\displaystyle B(1)\cdot B(-1), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: 3⋅(−1)+1⋅1=−2\displaystyle 3\cdot(-1)+1\cdot 1=-2, 3⋅(−1)+1⋅0=−3\displaystyle 3\cdot(-1)+1\cdot 0=-3, 1⋅(−1)+2⋅1=1\displaystyle 1\cdot(-1)+2\cdot 1=1, 1⋅(−1)+2⋅0=−1\displaystyle 1\cdot(-1)+2\cdot 0=-1.
    B(1)⋅B(−1)=(−2−31−1)\displaystyle B(1)\cdot B(-1)=\begin{pmatrix}-2&-3\\1&-1\end{pmatrix}
  4. Adunăm matricea A\displaystyle A cu produsul obținut, element cu element: 4−2=2\displaystyle 4-2=2, 3−3=0\displaystyle 3-3=0, 1+1=2\displaystyle 1+1=2, 3−1=2\displaystyle 3-1=2.
    A+B(1)⋅B(−1)=(4313)+(−2−31−1)=(2022)\displaystyle A+B(1)\cdot B(-1)=\begin{pmatrix}4&3\\1&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2&-3\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\2&2\end{pmatrix}
  5. Calculăm B(0)\displaystyle B(0): 2x+1\displaystyle 2x+1 devine 1\displaystyle 1, x\displaystyle x devine 0\displaystyle 0, x+1\displaystyle x+1 devine 1\displaystyle 1. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 din matricea sumă și observăm că obținem exact 2B(0)\displaystyle 2B(0), deci egalitatea este demonstrată.
    (2022)=2(1011)=2B(0)\displaystyle \begin{pmatrix}2&0\\2&2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=2B(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4313)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&3\\1&3\end{pmatrix} și B(x)=(2x+1x1x+1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}2x+1&x\\1&x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care B(1)+B(2)+B(3)+…+B(9)=9B(x)\displaystyle B(1)+B(2)+B(3)+\ldots+B(9)=9B(x).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea B(k)\displaystyle B(k) pentru k=1,2,…,9\displaystyle k=1,2,\ldots,9 și adunăm matricele element cu element. Avem nouă termeni, deci elementul din stânga jos, egal cu 1\displaystyle 1 în fiecare matrice, dă suma 9\displaystyle 9.
    ∑k=19B(k)=(3+5+7+…+191+2+3+…+992+3+4+…+10)\displaystyle \sum_{k=1}^{9}B(k)=\begin{pmatrix}3+5+7+\ldots+19&1+2+3+\ldots+9\\9&2+3+4+\ldots+10\end{pmatrix}
  2. Calculăm sumele de pe fiecare poziție. Primul element este 3+5+…+19\displaystyle 3+5+\ldots+19, adică 9\displaystyle 9 termeni cu media 11\displaystyle 11. Al doilea element este 1+2+…+9=9⋅102\displaystyle 1+2+\ldots+9=\dfrac{9\cdot 10}{2}. Ultimul element este 2+3+…+10\displaystyle 2+3+\ldots+10, adică 9\displaystyle 9 termeni cu media 6\displaystyle 6.
    3+5+…+19=9⋅11=99\displaystyle 3+5+\ldots+19=9\cdot 11=99,1+2+…+9=45=9⋅5\displaystyle \quad 1+2+\ldots+9=45=9\cdot 5,2+3+…+10=54=9⋅6\displaystyle \quad 2+3+\ldots+10=54=9\cdot 6
  3. Scoatem factorul 9\displaystyle 9 în fața matricei, deoarece toate elementele sunt multipli de 9\displaystyle 9.
    B(1)+B(2)+…+B(9)=(9945954)=9(11516)\displaystyle B(1)+B(2)+\ldots+B(9)=\begin{pmatrix}99&45\\9&54\end{pmatrix}=9\begin{pmatrix}11&5\\1&6\end{pmatrix}
  4. Egalăm cu 9B(x)\displaystyle 9B(x), apoi împărțim egalitatea matriceală la 9\displaystyle 9 și comparăm elementele corespunzătoare.
    (11516)=(2x+1x1x+1)\displaystyle \begin{pmatrix}11&5\\1&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x+1&x\\1&x+1\end{pmatrix}
  5. Din egalitatea elementelor rezultă 2x+1=11\displaystyle 2x+1=11, x=5\displaystyle x=5 și x+1=6\displaystyle x+1=6, toate verificate de aceeași valoare x=5\displaystyle x=5.
    x=5\displaystyle x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y2−xy3\displaystyle x\circ y=\frac{x+y}{2}-\frac{xy}{3}.

Arătați că 2∘6=0\displaystyle 2\circ 6=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=6\displaystyle y=6 în formula x∘y=x+y2−xy3\displaystyle x\circ y=\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{xy}{3}.
    2∘6=2+62−2⋅63\displaystyle 2\circ 6=\frac{2+6}{2}-\frac{2\cdot 6}{3}
  2. Calculăm separat cele două fracții: 2+62=82=4\displaystyle \dfrac{2+6}{2}=\dfrac{8}{2}=4 și 2⋅63=123=4\displaystyle \dfrac{2\cdot 6}{3}=\dfrac{12}{3}=4.
    82=4 și 123=4\displaystyle \frac{8}{2}=4\text{ și }\frac{12}{3}=4
  3. Scădem cele două rezultate: 4−4=0\displaystyle 4-4=0, deci 2∘6=0\displaystyle 2\circ 6=0.
    2∘6=4−4=0\displaystyle 2\circ 6=4-4=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y2−xy3\displaystyle x\circ y=\frac{x+y}{2}-\frac{xy}{3}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∘6=6\displaystyle x\circ 6=6.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y\displaystyle y cu 6\displaystyle 6 în definiția legii de compoziție: x∘6=x+62−6x3\displaystyle x\circ 6=\dfrac{x+6}{2}-\dfrac{6x}{3}.
    x∘6=x+62−6x3\displaystyle x\circ 6=\dfrac{x+6}{2}-\dfrac{6x}{3}
  2. Simplificăm a doua fracție: 6x3=2x\displaystyle \dfrac{6x}{3}=2x. Aducem la același numitor: 2x=4x2\displaystyle 2x=\dfrac{4x}{2}. Obținem x+6−4x2=6−3x2\displaystyle \dfrac{x+6-4x}{2}=\dfrac{6-3x}{2}.
    x∘6=6−3x2\displaystyle x\circ 6=\dfrac{6-3x}{2}
  3. Condiția x∘6=6\displaystyle x\circ 6=6 devine ecuația 6−3x2=6\displaystyle \dfrac{6-3x}{2}=6.
    6−3x2=6\displaystyle \dfrac{6-3x}{2}=6
  4. Înmulțim ambii membri cu 2\displaystyle 2: 6−3x=12\displaystyle 6-3x=12. Apoi scădem 6\displaystyle 6: −3x=6\displaystyle -3x=6.
    −3x=6\displaystyle -3x=6
  5. Împărțim la −3\displaystyle -3 și obținem x=−2\displaystyle x=-2.
    x=−2\displaystyle x=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y2−xy3\displaystyle x\circ y=\frac{x+y}{2}-\frac{xy}{3}.

Determinați numerele întregi m\displaystyle m pentru care m∘(3m)≥2m−3\displaystyle m\circ(3m)\ge 2m-3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii x=m\displaystyle x=m și y=3m\displaystyle y=3m: m∘(3m)=m+3m2−m⋅3m3\displaystyle m\circ(3m)=\dfrac{m+3m}{2}-\dfrac{m\cdot 3m}{3}.
    m∘(3m)=m+3m2−m⋅3m3\displaystyle m\circ(3m)=\dfrac{m+3m}{2}-\dfrac{m\cdot 3m}{3}
  2. Simplificăm: 4m2=2m\displaystyle \dfrac{4m}{2}=2m, iar 3m23=m2\displaystyle \dfrac{3m^{2}}{3}=m^{2}. Obținem m∘(3m)=2m−m2\displaystyle m\circ(3m)=2m-m^{2}.
    m∘(3m)=−m2+2m\displaystyle m\circ(3m)=-m^{2}+2m
  3. Scriem inegalitatea din enunț folosind expresia obținută: −m2+2m≥2m−3\displaystyle -m^{2}+2m\ge 2m-3.
    −m2+2m≥2m−3\displaystyle -m^{2}+2m\ge 2m-3
  4. Scădem 2m\displaystyle 2m din ambii membri, deci termenii 2m\displaystyle 2m se reduc. Rămâne −m2+3≥0\displaystyle -m^{2}+3\ge 0, adică m2≤3\displaystyle m^{2}\le 3.
    −m2+3≥0⇔m2≤3\displaystyle -m^{2}+3\ge 0\Leftrightarrow m^{2}\le 3
  5. Inegalitatea m2≤3\displaystyle m^{2}\le 3 înseamnă că m∈[−3,3]\displaystyle m\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}], unde 3≈1,73\displaystyle \sqrt{3}\approx 1{,}73.
    m∈[−3,3]\displaystyle m\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]
  6. Numerele întregi din acest interval sunt −1\displaystyle -1, 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    m=−1 sau m=0 sau m=1\displaystyle m=-1\text{ sau }m=0\text{ sau }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x42−2x3+3\displaystyle f(x)=\frac{x^4}{2}-2x^3+3.

Arătați că f′(x)=2x2(x−3)\displaystyle f'(x)=2x^2(x-3), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen funcția f(x)=x42−2x3+3\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{4}}{2}-2x^{3}+3. Pentru primul termen folosim formula (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}, deci (x42)′=4x32\displaystyle \left(\dfrac{x^{4}}{2}\right)'=\dfrac{4x^{3}}{2}.
    (x42)′=4x32\displaystyle \left(\dfrac{x^{4}}{2}\right)'=\dfrac{4x^{3}}{2}
  2. Derivăm și ceilalți termeni: (−2x3)′=−6x2\displaystyle (-2x^{3})'=-6x^{2}, iar (3)′=0\displaystyle (3)'=0. Adunăm rezultatele și obținem f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=4x32−6x2+0\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^{3}}{2}-6x^{2}+0
  3. Simplificăm fracția: 4x32=2x3\displaystyle \dfrac{4x^{3}}{2}=2x^{3}. Astfel f′(x)=2x3−6x2\displaystyle f'(x)=2x^{3}-6x^{2}.
    f′(x)=2x3−6x2\displaystyle f'(x)=2x^{3}-6x^{2}
  4. Dăm factor comun pe 2x2\displaystyle 2x^{2}, care apare în ambii termeni: 2x3=2x2⋅x\displaystyle 2x^{3}=2x^{2}\cdot x și 6x2=2x2⋅3\displaystyle 6x^{2}=2x^{2}\cdot 3. Obținem forma cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    2x3−6x2=2x2(x−3)\displaystyle 2x^{3}-6x^{2}=2x^{2}(x-3), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x42−2x3+3\displaystyle f(x)=\frac{x^4}{2}-2x^3+3.

Calculați lim⁡x→+∞f′(x)x2ex\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{x^2e^x}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând termen cu termen: (x42)′=2x3\displaystyle \left(\dfrac{x^{4}}{2}\right)'=2x^{3}, (−2x3)′=−6x2\displaystyle (-2x^{3})'=-6x^{2}, iar (3)′=0\displaystyle (3)'=0.
    f′(x)=2x3−6x2\displaystyle f'(x)=2x^{3}-6x^{2}
  2. Scoatem factor comun pe 2x2\displaystyle 2x^{2} în derivată, ca să putem simplifica cu numitorul.
    f′(x)=2x2(x−3)\displaystyle f'(x)=2x^{2}(x-3)
  3. Înlocuim în limită și simplificăm fracția prin x2\displaystyle x^{2}. Obținem o limită de forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deci aplicăm regula lui l'Hospital, derivând separat numărătorul și numitorul.
    lim⁡x→+∞f′(x)x2ex=lim⁡x→+∞2(x−3)ex=lim⁡x→+∞(2(x−3))′(ex)′\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{x^{2}e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2(x-3)}{e^{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(2(x-3))'}{(e^{x})'}
  4. Calculăm derivatele: (2(x−3))′=2\displaystyle (2(x-3))'=2, iar (ex)′=ex\displaystyle (e^{x})'=e^{x}. Numărătorul rămâne constant, iar ex→+∞\displaystyle e^{x}\to+\infty, deci limita este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞2ex=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^{x}}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x42−2x3+3\displaystyle f(x)=\frac{x^4}{2}-2x^3+3.

Arătați că f(x)≥−212\displaystyle f(x)\ge -\frac{21}{2}, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: f′(x)=4x32−6x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^{3}}{2}-6x^{2}, deci f′(x)=2x3−6x2\displaystyle f'(x)=2x^{3}-6x^{2}.
    f′(x)=2x3−6x2\displaystyle f'(x)=2x^{3}-6x^{2}
  2. Scoatem factor comun: f′(x)=2x2(x−3)\displaystyle f'(x)=2x^{2}(x-3). Din f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 obținem x=0\displaystyle x=0 sau x=3\displaystyle x=3.
    f′(x)=2x2(x−3)=0⇔x=0 sau x=3\displaystyle f'(x)=2x^{2}(x-3)=0\Leftrightarrow x=0\text{ sau }x=3
  3. Studiem semnul derivatei: 2x2≥0\displaystyle 2x^{2}\ge 0, deci semnul lui f′\displaystyle f' este dat de x−3\displaystyle x-3. Pentru x≤3\displaystyle x\le 3 avem f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0, deci f\displaystyle f este descrescătoare pe (−∞,3]\displaystyle (-\infty,3]. Pentru x≥3\displaystyle x\ge 3 avem f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0, deci f\displaystyle f este crescătoare pe [3,+∞)\displaystyle [3,+\infty).
    f descresca˘toare pe (−∞,3]\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,3], f cresca˘toare pe [3,+∞)\displaystyle \ f\text{ crescătoare pe }[3,+\infty)
  4. Deoarece f\displaystyle f scade până în 3\displaystyle 3 și crește după 3\displaystyle 3, punctul x=3\displaystyle x=3 este punct de minim, deci f(x)≥f(3)\displaystyle f(x)\ge f(3) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f(x)≥f(3)\displaystyle f(x)\ge f(3), ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  5. Calculăm f(3)=812−2⋅27+3=812−51=81−1022=−212\displaystyle f(3)=\dfrac{81}{2}-2\cdot 27+3=\dfrac{81}{2}-51=\dfrac{81-102}{2}=-\dfrac{21}{2}. Deci f(x)≥−212\displaystyle f(x)\ge -\dfrac{21}{2} pentru orice x\displaystyle x real.
    f(3)=−212⇒f(x)≥−212\displaystyle f(3)=-\frac{21}{2}\Rightarrow f(x)\ge -\frac{21}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1.

Arătați că ∫02f(x) dx=6\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx=6.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia ei, 2x+1\displaystyle 2x+1, în integrala de calculat: ∫02f(x) dx=∫02(2x+1) dx\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx=\int_0^2(2x+1)\,dx.
    ∫02f(x) dx=∫02(2x+1) dx\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx=\int_0^2(2x+1)\,dx
  2. Aflăm o primitivă a funcției. Primitiva lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, iar primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Apoi scriem formula Leibniz-Newton cu limitele 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2.
    ∫02(2x+1) dx=(x2+x)∣02\displaystyle \int_0^2(2x+1)\,dx=\left(x^2+x\right)\Big|_0^2
  3. Calculăm primitiva în limita de sus, x=2\displaystyle x=2, apoi în limita de jos, x=0\displaystyle x=0, și scădem valorile obținute: (22+2)−(02+0)\displaystyle (2^2+2)-(0^2+0).
    (22+2)−(02+0)=(4+2)−(0−0)\displaystyle (2^2+2)-(0^2+0)=(4+2)-(0-0)
  4. Efectuăm calculele și obținem 6−0=6\displaystyle 6-0=6, deci ∫02f(x) dx=6\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx=6, ceea ce trebuia arătat.
    (4+2)−(0−0)=6\displaystyle (4+2)-(0-0)=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1.

Calculați ∫011f(x) dx\displaystyle \int_0^1\frac{1}{f(x)}\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Cum f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1, integrala cerută devine ∫0112x+1 dx\displaystyle \int_0^1\frac{1}{2x+1}\,dx.
    ∫0112x+1 dx\displaystyle \int_0^1\frac{1}{2x+1}\,dx
  2. Observăm că (2x+1)′=2\displaystyle (2x+1)'=2. Scriem 12x+1=12⋅22x+1\displaystyle \dfrac{1}{2x+1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{2x+1}, deci numărătorul devine derivata numitorului.
    12∫01(2x+1)′2x+1 dx\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^1\frac{(2x+1)'}{2x+1}\,dx
  3. Folosim ∫u′u dx=ln⁡u\displaystyle \int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln u pentru u=2x+1\displaystyle u=2x+1, care este pozitivă pe [0,1]\displaystyle [0,1], deci scriem direct ln⁡(2x+1)\displaystyle \ln(2x+1) fără modul.
    12ln⁡(2x+1)∣01\displaystyle \frac{1}{2}\ln(2x+1)\Big|_0^1
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm în x=1\displaystyle x=1 și în x=0\displaystyle x=0, apoi scădem. Obținem 12ln⁡3−12ln⁡1\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln 3-\dfrac{1}{2}\ln 1.
    12ln⁡3−12ln⁡1\displaystyle \frac{1}{2}\ln 3-\frac{1}{2}\ln 1
  5. Deoarece ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, rezultatul final este 12ln⁡3\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln 3.
    12ln⁡3\displaystyle \frac{1}{2}\ln 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1.

Determinați a∈(0,2)\displaystyle a\in(0,2) pentru care ∫−aa1x2+2f(x)+2 dx=23\displaystyle \int_{-a}^{a}\frac{1}{x^2+2f(x)+2}\,dx=\frac{2}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1 în numitor: x2+2f(x)+2=x2+2(2x+1)+2\displaystyle x^{2}+2f(x)+2=x^{2}+2(2x+1)+2.
    x2+2(2x+1)+2=x2+4x+4\displaystyle x^{2}+2(2x+1)+2=x^{2}+4x+4
  2. Recunoaștem pătratul perfect: x2+4x+4=(x+2)2\displaystyle x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}. Integrala devine ∫−aa1(x+2)2 dx\displaystyle \int_{-a}^{a}\dfrac{1}{(x+2)^{2}}\,dx.
    ∫−aa1x2+2f(x)+2 dx=∫−aa1(x+2)2 dx\displaystyle \int_{-a}^{a}\frac{1}{x^{2}+2f(x)+2}\,dx=\int_{-a}^{a}\frac{1}{(x+2)^{2}}\,dx
  3. O primitivă a funcției 1(x+2)2\displaystyle \dfrac{1}{(x+2)^{2}} este −1x+2\displaystyle -\dfrac{1}{x+2}. Pentru a∈(0,2)\displaystyle a\in(0,2) avem x+2>0\displaystyle x+2>0 pe [−a,a]\displaystyle [-a,a], deci funcția este continuă pe interval și aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫−aa1(x+2)2 dx=−1x+2∣−aa=−1a+2+1−a+2\displaystyle \int_{-a}^{a}\frac{1}{(x+2)^{2}}\,dx=-\frac{1}{x+2}\Big|_{-a}^{a}=-\frac{1}{a+2}+\frac{1}{-a+2}
  4. Aducem la același numitor: 12−a−12+a=(2+a)−(2−a)(2−a)(2+a)=2a4−a2\displaystyle \dfrac{1}{2-a}-\dfrac{1}{2+a}=\dfrac{(2+a)-(2-a)}{(2-a)(2+a)}=\dfrac{2a}{4-a^{2}}.
    ∫−aa1x2+2f(x)+2 dx=2a4−a2\displaystyle \int_{-a}^{a}\frac{1}{x^{2}+2f(x)+2}\,dx=\frac{2a}{4-a^{2}}
  5. Egalăm cu 23\displaystyle \dfrac{2}{3}: 2a4−a2=23\displaystyle \dfrac{2a}{4-a^{2}}=\dfrac{2}{3}. Simplificăm cu 2 și înmulțim în cruce: 3a=4−a2\displaystyle 3a=4-a^{2}, adică a2+3a−4=0\displaystyle a^{2}+3a-4=0.
    2a4−a2=23⇒a2+3a−4=0\displaystyle \frac{2a}{4-a^{2}}=\frac{2}{3}\Rightarrow a^{2}+3a-4=0
  6. Rezolvăm ecuația: Δ=9+16=25\displaystyle \Delta=9+16=25, deci a=−3±52\displaystyle a=\dfrac{-3\pm5}{2}, adică a=1\displaystyle a=1 sau a=−4\displaystyle a=-4. Doar a=1\displaystyle a=1 aparține intervalului (0,2)\displaystyle (0,2).
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.