Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 5: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (3−3⋅15⋅13)⋅514=1\displaystyle \left(3-3\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{5}{14}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Începem cu produsul din paranteză: 3⋅15⋅13\displaystyle 3\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{3}. Factorul 3\displaystyle 3 se simplifică cu 13\displaystyle \dfrac{1}{3}, deci produsul este egal cu 15\displaystyle \dfrac{1}{5}.
    3⋅15⋅13=15\displaystyle 3\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{5}
  2. Înlocuim produsul în paranteză și obținem expresia (3−15)⋅514\displaystyle \left(3-\dfrac{1}{5}\right)\cdot\dfrac{5}{14}.
    (3−15)⋅514\displaystyle \left(3-\frac{1}{5}\right)\cdot\frac{5}{14}
  3. Calculăm paranteza aducând la numitor comun 5\displaystyle 5: 3=155\displaystyle 3=\dfrac{15}{5}, deci 155−15=145\displaystyle \dfrac{15}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{14}{5}.
    3−15=155−15=145\displaystyle 3-\frac{1}{5}=\frac{15}{5}-\frac{1}{5}=\frac{14}{5}
  4. Înmulțim 145\displaystyle \dfrac{14}{5} cu 514\displaystyle \dfrac{5}{14}. Fracțiile sunt inverse una alteia, deci produsul lor este 1\displaystyle 1, adică egalitatea cerută.
    145⋅514=1\displaystyle \frac{14}{5}\cdot\frac{5}{14}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numerele reale m\displaystyle m, știind că punctul A(m,6)\displaystyle A(m,6) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2\displaystyle f(x)=x^2+2.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(m,6)\displaystyle A(m,6) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(m)=6\displaystyle f(m)=6, adică ordonata punctului este valoarea funcției în abscisa m\displaystyle m.
    f(m)=6\displaystyle f(m)=6
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu m\displaystyle m în formula funcției și obținem ecuația m2+2=6\displaystyle m^{2}+2=6.
    m2+2=6\displaystyle m^{2}+2=6
  3. Mutăm 6\displaystyle 6 în membrul stâng și reducem termenii: obținem m2−4=0\displaystyle m^{2}-4=0.
    m2+2=6⇔m2−4=0\displaystyle m^{2}+2=6\Leftrightarrow m^{2}-4=0
  4. Descompunem diferența de pătrate: m2−4=(m−2)(m+2)\displaystyle m^{2}-4=(m-2)(m+2). Produsul este zero dacă unul dintre factori este zero, deci m−2=0\displaystyle m-2=0 sau m+2=0\displaystyle m+2=0.
    (m−2)(m+2)=0\displaystyle (m-2)(m+2)=0
  5. Rezolvăm cele două ecuații de gradul întâi. Obținem m=−2\displaystyle m=-2 sau m=2\displaystyle m=2, ambele numere reale, deci convin.
    m=−2 sau m=2\displaystyle m=-2\text{ sau }m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 14−x=3x+6\displaystyle \sqrt{14-x}=\sqrt{3x+6}.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația conține radicali, deci trebuie ca 14−x≥0\displaystyle 14-x\ge 0 și 3x+6≥0\displaystyle 3x+6\ge 0. Vom verifica această condiție la final pentru soluția găsită. Ridicăm ambii membri la pătrat ca să scăpăm de radicali.
    (14−x)2=(3x+6)2\displaystyle \left(\sqrt{14-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{3x+6}\right)^{2}
  2. După ridicarea la pătrat, radicalii dispar și obținem o ecuație liniară.
    14−x=3x+6\displaystyle 14-x=3x+6
  3. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în membrul drept și numerele în membrul stâng: 14−6=3x+x\displaystyle 14-6=3x+x, adică 8=4x\displaystyle 8=4x.
    4x=8\displaystyle 4x=8
  4. Împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  5. Verificăm soluția. Pentru x=2\displaystyle x=2, sub primul radical avem 14−2=12\displaystyle 14-2=12, iar sub al doilea 3⋅2+6=12\displaystyle 3\cdot 2+6=12. Ambele expresii sunt pozitive și egale, deci x=2\displaystyle x=2 convine, iar 12=12\displaystyle \sqrt{12}=\sqrt{12}.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să verifice inegalitatea n(n−10)(n−11)≤0\displaystyle n(n-10)(n-11)\le 0.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99, deci numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    90\displaystyle 90
  2. Pentru n\displaystyle n de două cifre avem n>0\displaystyle n>0, deci semnul produsului este dat de (n−10)(n−11)\displaystyle (n-10)(n-11). Inegalitatea n(n−10)(n−11)≤0\displaystyle n(n-10)(n-11)\le 0 este echivalentă cu (n−10)(n−11)≤0\displaystyle (n-10)(n-11)\le 0.
    (n−10)(n−11)≤0\displaystyle (n-10)(n-11)\le 0
  3. Rădăcinile expresiei de gradul al doilea sunt 10\displaystyle 10 și 11\displaystyle 11, iar ea este negativă sau zero între rădăcini, deci n∈[10,11]\displaystyle n\in[10,11]. Cum n\displaystyle n este natural, n\displaystyle n poate fi 10\displaystyle 10 sau 11\displaystyle 11.
    n∈{10,11}\displaystyle n\in\{10,11\}
  4. Ambele valori sunt numere de două cifre, deci numărul cazurilor favorabile este 2\displaystyle 2.
    2\displaystyle 2
  5. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=290=145\displaystyle p=\dfrac{2}{90}=\dfrac{1}{45}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=290=145\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,1)\displaystyle A(3,1), B(−1,4)\displaystyle B(-1,4) și C(3,7)\displaystyle C(3,7). Calculați perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2): MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}. Perimetrul este suma celor trei laturi: P=AB+AC+BC\displaystyle P=AB+AC+BC.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}
  2. Calculăm lungimea laturii AB\displaystyle AB, cu A(3,1)\displaystyle A(3,1) și B(−1,4)\displaystyle B(-1,4): AB=(−1−3)2+(4−1)2=16+9=25\displaystyle AB=\sqrt{(-1-3)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}.
    AB=(−4)2+32=25=5\displaystyle AB=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5
  3. Calculăm lungimea laturii AC\displaystyle AC, cu A(3,1)\displaystyle A(3,1) și C(3,7)\displaystyle C(3,7): AC=(3−3)2+(7−1)2=36\displaystyle AC=\sqrt{(3-3)^{2}+(7-1)^{2}}=\sqrt{36}.
    AC=02+62=6\displaystyle AC=\sqrt{0^{2}+6^{2}}=6
  4. Calculăm lungimea laturii BC\displaystyle BC, cu B(−1,4)\displaystyle B(-1,4) și C(3,7)\displaystyle C(3,7): BC=(3−(−1))2+(7−4)2=16+9=25\displaystyle BC=\sqrt{(3-(-1))^{2}+(7-4)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}. Deci AB=5\displaystyle AB=5, AC=6\displaystyle AC=6, BC=5\displaystyle BC=5.
    BC=42+32=5, deci AB=5, AC=6, BC=5\displaystyle BC=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5\text{, deci }AB=5\text{, }AC=6\text{, }BC=5
  5. Adunăm lungimile laturilor: PΔABC=AB+AC+BC=5+6+5=16\displaystyle P_{\Delta ABC}=AB+AC+BC=5+6+5=16.
    PΔABC=5+6+5=16\displaystyle P_{\Delta ABC}=5+6+5=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡30∘cos⁡30∘+2sin⁡45∘cos⁡45∘−sin⁡60∘cos⁡60∘=1\displaystyle \sin 30^\circ\cos 30^\circ+2\sin 45^\circ\cos 45^\circ-\sin 60^\circ\cos 60^\circ=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem valorile cunoscute pentru unghiurile de 30∘\displaystyle 30^\circ, 45∘\displaystyle 45^\circ și 60∘\displaystyle 60^\circ: sin⁡30∘=cos⁡60∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}, sin⁡60∘=cos⁡30∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡30∘=cos⁡60∘=12, sin⁡60∘=cos⁡30∘=32, sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\displaystyle \sin 30^\circ=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\text{, }\sin 60^\circ=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{, }\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
  2. Înlocuim valorile în expresie: sin⁡30∘cos⁡30∘+2sin⁡45∘cos⁡45∘−sin⁡60∘cos⁡60∘=12⋅32+2⋅22⋅22−32⋅12\displaystyle \sin 30^\circ\cos 30^\circ+2\sin 45^\circ\cos 45^\circ-\sin 60^\circ\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}.
    12⋅32+2⋅22⋅22−32⋅12\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}
  3. Efectuăm înmulțirile: 22⋅22=24\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{4}, deci expresia devine 34+2⋅24−34\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{4}+2\cdot\dfrac{2}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}. Termenii cu 3\displaystyle \sqrt{3} se reduc, iar 2⋅24=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{2}{4}=1.
    34+2⋅24−34=1\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}+2\cdot\frac{2}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x−3113−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x-3&1\\1&3-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=−5\displaystyle \det(A(1))=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x): elementul x−3\displaystyle x-3 devine 1−3=−2\displaystyle 1-3=-2, iar elementul 3−x\displaystyle 3-x devine 3−1=2\displaystyle 3-1=2; ceilalți doi elemente rămân 1\displaystyle 1.
    A(1)=(−2112)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}-2&1\\1&2\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordin 2 al matricei A(1)\displaystyle A(1): produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(1))=∣−2112∣=(−2)⋅2−1⋅1\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}-2&1\\1&2\end{vmatrix}=(-2)\cdot 2-1\cdot 1
  3. Efectuăm calculele: (−2)⋅2=−4\displaystyle (-2)\cdot 2=-4 și 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, deci determinantul este −4−1=−5\displaystyle -4-1=-5, ceea ce trebuia arătat.
    −4−1=−5\displaystyle -4-1=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x−3113−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x-3&1\\1&3-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că A(x)+A(−x)=2A(0)\displaystyle A(x)+A(-x)=2A(0), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm matricea A(−x)\displaystyle A(-x), înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în definiția lui A(x)\displaystyle A(x): elementul x−3\displaystyle x-3 devine −x−3\displaystyle -x-3, iar elementul 3−x\displaystyle 3-x devine 3+x\displaystyle 3+x.
    A(−x)=(−x−3113+x)\displaystyle A(-x)=\begin{pmatrix}-x-3&1\\1&3+x\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele A(x)\displaystyle A(x) și A(−x)\displaystyle A(-x) element cu element.
    A(x)+A(−x)=(x−3113−x)+(−x−3113+x)=(x−3−x−31+11+13−x+3+x)\displaystyle A(x)+A(-x)=\begin{pmatrix}x-3&1\\1&3-x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-x-3&1\\1&3+x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-3-x-3&1+1\\1+1&3-x+3+x\end{pmatrix}
  3. Reducem termenii asemenea: x\displaystyle x se anulează cu −x\displaystyle -x pe prima poziție a diagonalei și −x\displaystyle -x se anulează cu x\displaystyle x pe a doua. Obținem o matrice care nu depinde de x\displaystyle x.
    A(x)+A(−x)=(−6226)\displaystyle A(x)+A(-x)=\begin{pmatrix}-6&2\\2&6\end{pmatrix}
  4. Calculăm A(0)\displaystyle A(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0, apoi înmulțim cu 2\displaystyle 2.
    A(0)=(−3113)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}-3&1\\1&3\end{pmatrix},2A(0)=(−6226)\displaystyle \quad 2A(0)=\begin{pmatrix}-6&2\\2&6\end{pmatrix}
  5. Matricea obținută la adunare coincide cu 2A(0)\displaystyle 2A(0), deci egalitatea are loc pentru orice număr real x\displaystyle x.
    A(x)+A(−x)=2⋅(−3113)=2A(0), pentru orice numa˘r real x\displaystyle A(x)+A(-x)=2\cdot\begin{pmatrix}-3&1\\1&3\end{pmatrix}=2A(0)\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(x−3113−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x-3&1\\1&3-x\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care A(x)⋅A(x)=10⋅I2\displaystyle A(x)\cdot A(x)=10\cdot I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(x)⋅A(x)\displaystyle A(x)\cdot A(x), înmulțind linie cu coloană. Pe poziția (1,1): (x−3)(x−3)+1⋅1\displaystyle (x-3)(x-3)+1\cdot 1. Pe poziția (1,2): (x−3)⋅1+1⋅(3−x)=0\displaystyle (x-3)\cdot 1+1\cdot(3-x)=0. Pe poziția (2,1): 1⋅(x−3)+(3−x)⋅1=0\displaystyle 1\cdot(x-3)+(3-x)\cdot 1=0. Pe poziția (2,2): 1⋅1+(3−x)(3−x)\displaystyle 1\cdot 1+(3-x)(3-x).
    A(x)⋅A(x)=((x−3)2+1001+(3−x)2)\displaystyle A(x)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}(x-3)^2+1&0\\0&1+(3-x)^2\end{pmatrix}
  2. Scriem egalitatea cu 10⋅I2=(100010)\displaystyle 10\cdot I_2=\begin{pmatrix}10&0\\0&10\end{pmatrix}. Elementele din afara diagonalei sunt deja egale (0=0\displaystyle 0=0), iar pe diagonală obținem aceeași condiție, pentru că (3−x)2=(x−3)2\displaystyle (3-x)^2=(x-3)^2.
    ((x−3)2+1001+(3−x)2)=(100010)\displaystyle \begin{pmatrix}(x-3)^2+1&0\\0&1+(3-x)^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&0\\0&10\end{pmatrix}
  3. Din egalitatea elementelor de pe diagonală rămâne ecuația (x−3)2+1=10\displaystyle (x-3)^2+1=10. Scădem 10\displaystyle 10 din ambii membri și obținem (x−3)2−9=0\displaystyle (x-3)^2-9=0.
    (x−3)2−9=0\displaystyle (x-3)^2-9=0
  4. Rezolvăm ecuația: (x−3)2=9\displaystyle (x-3)^2=9, deci x−3=3\displaystyle x-3=3 sau x−3=−3\displaystyle x-3=-3. De aici x=6\displaystyle x=6 sau x=0\displaystyle x=0. Ambele valori convin, deoarece ecuația este echivalentă cu egalitatea de matrice.
    x=0 sau x=6\displaystyle x=0\text{ sau }x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2x+y−3xy\displaystyle x*y=2x+y-3xy.

Arătați că 1∗2=−2\displaystyle 1*2=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∗y=2x+y−3xy\displaystyle x*y=2x+y-3xy, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=2x+y−3xy\displaystyle x*y=2x+y-3xy
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 și y\displaystyle y cu 2\displaystyle 2 în definiție: 1∗2=2⋅1+2−3⋅1⋅2\displaystyle 1*2=2\cdot 1+2-3\cdot 1\cdot 2.
    1∗2=2⋅1+2−3⋅1⋅2\displaystyle 1*2=2\cdot 1+2-3\cdot 1\cdot 2
  3. Calculăm fiecare termen: 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, apoi adunăm 2\displaystyle 2, iar 3⋅1⋅2=6\displaystyle 3\cdot 1\cdot 2=6. Obținem 2+2−6=−2\displaystyle 2+2-6=-2, deci 1∗2=−2\displaystyle 1*2=-2.
    2+2−6=−2\displaystyle 2+2-6=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2x+y−3xy\displaystyle x*y=2x+y-3xy.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x∗(x−1)=−1\displaystyle x*(x-1)=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii de compoziție x∗y=2x+y−3xy\displaystyle x*y=2x+y-3xy, înlocuind y\displaystyle y cu x−1\displaystyle x-1: x∗(x−1)=2x+(x−1)−3x(x−1)\displaystyle x*(x-1)=2x+(x-1)-3x(x-1).
    x∗(x−1)=2x+(x−1)−3x(x−1)\displaystyle x*(x-1)=2x+(x-1)-3x(x-1)
  2. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: 2x+x−1−3x2+3x=−3x2+6x−1\displaystyle 2x+x-1-3x^{2}+3x=-3x^{2}+6x-1.
    x∗(x−1)=−3x2+6x−1\displaystyle x*(x-1)=-3x^{2}+6x-1
  3. Scriem ecuația x∗(x−1)=−1\displaystyle x*(x-1)=-1 folosind expresia obținută: −3x2+6x−1=−1\displaystyle -3x^{2}+6x-1=-1.
    −3x2+6x−1=−1\displaystyle -3x^{2}+6x-1=-1
  4. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și obținem −3x2+6x=0\displaystyle -3x^{2}+6x=0, apoi dăm factor comun pe −3x\displaystyle -3x: −3x(x−2)=0\displaystyle -3x(x-2)=0.
    −3x(x−2)=0\displaystyle -3x(x-2)=0
  5. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero: −3x=0\displaystyle -3x=0 sau x−2=0\displaystyle x-2=0. Ambele valori sunt numere reale, deci sunt soluții ale ecuației.
    x=0 sau x=2\displaystyle x=0\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5−5x4+5x3\displaystyle f(x)=x^5-5x^4+5x^3.

Arătați că f′(x)=5x2(x−3)(x−1)\displaystyle f'(x)=5x^2(x-3)(x-1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen, folosind formula (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^{n})'=n x^{n-1}. Obținem (x5)′=5x4\displaystyle (x^5)'=5x^4, (5x4)′=20x3\displaystyle (5x^4)'=20x^3 și (5x3)′=15x2\displaystyle (5x^3)'=15x^2.
    f′(x)=5x4−20x3+15x2\displaystyle f'(x)=5x^4-20x^3+15x^2
  2. Dăm factor comun 5x2\displaystyle 5x^2, deoarece fiecare termen îl conține: 5x4=5x2⋅x2\displaystyle 5x^4=5x^2\cdot x^2, 20x3=5x2⋅4x\displaystyle 20x^3=5x^2\cdot 4x, 15x2=5x2⋅3\displaystyle 15x^2=5x^2\cdot 3.
    f′(x)=5x2(x2−4x+3)\displaystyle f'(x)=5x^2\left(x^2-4x+3\right)
  3. Descompunem trinomul x2−4x+3\displaystyle x^2-4x+3: căutăm două numere cu suma 4\displaystyle 4 și produsul 3\displaystyle 3, adică 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3. Deci x2−4x+3=(x−3)(x−1)\displaystyle x^2-4x+3=(x-3)(x-1). Rezultatul este valabil pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=5x2(x−3)(x−1), x∈R\displaystyle f'(x)=5x^2(x-3)(x-1)\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5−5x4+5x3\displaystyle f(x)=x^5-5x^4+5x^3.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=1\displaystyle x_0=1: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia funcției: f(1)=15−5⋅14+5⋅13=1−5+5\displaystyle f(1)=1^5-5\cdot 1^4+5\cdot 1^3=1-5+5.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1
  3. Derivăm funcția: f′(x)=(x5)′−5(x4)′+5(x3)′\displaystyle f'(x)=\left(x^5\right)'-5\left(x^4\right)'+5\left(x^3\right)'.
    f′(x)=5x4−20x3+15x2\displaystyle f'(x)=5x^{4}-20x^{3}+15x^{2}
  4. Calculăm f′(1)=5−20+15=0\displaystyle f'(1)=5-20+15=0. Astfel, f(1)=1\displaystyle f(1)=1 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0.
    f(1)=1, f′(1)=0\displaystyle f(1)=1\text{, }f'(1)=0
  5. Înlocuim în formulă: y−1=0⋅(x−1)\displaystyle y-1=0\cdot(x-1), deci y−1=0\displaystyle y-1=0. Tangenta are ecuația y=1\displaystyle y=1.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=1\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5−5x4+5x3\displaystyle f(x)=x^5-5x^4+5x^3.

Demonstrați că −27≤f(x)≤1\displaystyle -27\le f(x)\le 1, pentru orice x∈[0,3]\displaystyle x\in[0,3].
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen funcția f(x)=x5−5x4+5x3\displaystyle f(x)=x^5-5x^4+5x^3 și obținem derivata f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=5x4−20x3+15x2\displaystyle f'(x)=5x^{4}-20x^{3}+15x^{2}
  2. Scoatem factor comun 5x2\displaystyle 5x^{2}: f′(x)=5x2(x2−4x+3)\displaystyle f'(x)=5x^{2}(x^{2}-4x+3). Trinomul x2−4x+3\displaystyle x^{2}-4x+3 are rădăcinile 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3, deci se descompune ca (x−1)(x−3)\displaystyle (x-1)(x-3).
    f′(x)=5x2(x−1)(x−3)\displaystyle f'(x)=5x^{2}(x-1)(x-3)
  3. Factorul 5x2\displaystyle 5x^{2} este mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x−1≤0\displaystyle x-1\le 0 și x−3<0\displaystyle x-3<0, deci (x−1)(x−3)≥0\displaystyle (x-1)(x-3)\ge 0 și f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0. Pentru x∈[1,3]\displaystyle x\in[1,3] avem x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0 și x−3≤0\displaystyle x-3\le 0, deci (x−1)(x−3)≤0\displaystyle (x-1)(x-3)\le 0 și f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0. Rezultă că f\displaystyle f este crescătoare pe [0,1]\displaystyle [0,1] și descrescătoare pe [1,3]\displaystyle [1,3].
    f′(x)≥0 pe [0,1]⇒f cresca˘toare pe [0,1]; f′(x)≤0 pe [1,3]⇒f descresca˘toare pe [1,3]\displaystyle f'(x)\ge 0\text{ pe }[0,1]\Rightarrow f\text{ crescătoare pe }[0,1]\text{; }f'(x)\le 0\text{ pe }[1,3]\Rightarrow f\text{ descrescătoare pe }[1,3]
  4. Calculăm f(0)=0\displaystyle f(0)=0, f(1)=1−5+5=1\displaystyle f(1)=1-5+5=1 și f(3)=243−405+135=−27\displaystyle f(3)=243-405+135=-27.
    f(0)=0\displaystyle f(0)=0, f(1)=1\displaystyle \ f(1)=1, f(3)=−27\displaystyle \ f(3)=-27
  5. Pe [0,1]\displaystyle [0,1] funcția crește de la f(0)=0\displaystyle f(0)=0 la f(1)=1\displaystyle f(1)=1, deci 0≤f(x)≤1\displaystyle 0\le f(x)\le 1. Pe [1,3]\displaystyle [1,3] funcția scade de la f(1)=1\displaystyle f(1)=1 la f(3)=−27\displaystyle f(3)=-27, deci −27≤f(x)≤1\displaystyle -27\le f(x)\le 1. Reunind cele două intervale, obținem concluzia pentru orice x∈[0,3]\displaystyle x\in[0,3].
    −27≤f(x)≤1, pentru orice x∈[0,3]\displaystyle -27\le f(x)\le 1\text{, pentru orice }x\in[0,3]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2+x+2,x∈(−∞,0)ex+1,x∈[0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2+x+2,&x\in(-\infty,0)\\e^x+1,&x\in[0,+\infty)\end{cases}.

Arătați că ∫01f(x) dx=e\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=e.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈[0,1]⊂[0,+∞)\displaystyle x\in[0,1]\subset[0,+\infty) avem f(x)=ex+1\displaystyle f(x)=e^{x}+1. Deci integrala devine ∫01f(x) dx=∫01(ex+1)dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\left(e^{x}+1\right)dx.
    ∫01f(x) dx=∫01(ex+1)dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\left(e^{x}+1\right)dx
  2. O primitivă a lui ex+1\displaystyle e^{x}+1 este ex+x\displaystyle e^{x}+x, deoarece (ex+x)′=ex+1\displaystyle \left(e^{x}+x\right)'=e^{x}+1. Cu formula Leibniz-Newton obținem ∫01(ex+1)dx=(ex+x)∣01\displaystyle \int_0^1\left(e^{x}+1\right)dx=\left(e^{x}+x\right)\Big|_0^1.
    ∫01f(x) dx=∫01(ex+1)dx=(ex+x)∣01\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1\left(e^{x}+1\right)dx=\left(e^{x}+x\right)\Big|_0^1
  3. Valoarea în 1\displaystyle 1 este e1+1=e+1\displaystyle e^{1}+1=e+1, iar valoarea în 0\displaystyle 0 este e0+0=1\displaystyle e^{0}+0=1. Scădem: (e+1)−(1+0)\displaystyle (e+1)-(1+0).
    (e+1)−(1+0)\displaystyle (e+1)-(1+0)
  4. Prin reducerea termenilor, (e+1)−1=e\displaystyle (e+1)-1=e, deci ∫01f(x) dx=e\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=e, ceea ce trebuia arătat.
    (e+1)−(1+0)=e\displaystyle (e+1)-(1+0)=e
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2+x+2,x∈(−∞,0)ex+1,x∈[0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2+x+2,&x\in(-\infty,0)\\e^x+1,&x\in[0,+\infty)\end{cases}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f admite primitive pe R\displaystyle \mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0) funcția f(x)=x2+x+2\displaystyle f(x)=x^2+x+2 este polinomială, deci continuă. Pe intervalul (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) funcția f(x)=ex+1\displaystyle f(x)=e^x+1 este continuă, fiind suma dintre o exponențială și o constantă. Rămâne de verificat continuitatea în punctul x=0\displaystyle x=0, unde se schimbă formula.
    De verificat: \displaystyle \text{De verificat: }continuitatea ıˆn x=0\displaystyle \text{continuitatea în }x=0
  2. Calculăm limita la stânga în 0\displaystyle 0, folosind formula x2+x+2\displaystyle x^2+x+2, valabilă pentru x<0\displaystyle x<0.
    lim⁡x→0, x<0f(x)=lim⁡x→0, x<0(x2+x+2)=02+0+2=2\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x<0}f(x)=\lim_{x\to 0,\,x<0}\left(x^2+x+2\right)=0^2+0+2=2
  3. Calculăm limita la dreapta în 0\displaystyle 0, folosind formula ex+1\displaystyle e^x+1, valabilă pentru x>0\displaystyle x>0, apoi valoarea funcției în 0\displaystyle 0. Cele trei valori coincid, deci f\displaystyle f are limită în 0\displaystyle 0 egală cu f(0)\displaystyle f(0).
    lim⁡x→0, x>0f(x)=e0+1=2, f(0)=e0+1=2, deci lim⁡x→0f(x)=f(0)\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x>0}f(x)=e^0+1=2\text{, }f(0)=e^0+1=2\text{, deci }\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)
  4. Funcția f\displaystyle f este continuă pe (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0), pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și în 0\displaystyle 0, deci este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval, deci f\displaystyle f admite primitive pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f este continua˘ pe R, deci f admite primitive pe R\displaystyle f\text{ este continuă pe }\mathbb{R}\text{, deci }f\text{ admite primitive pe }\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={x2+x+2,x∈(−∞,0)ex+1,x∈[0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}x^2+x+2,&x\in(-\infty,0)\\e^x+1,&x\in[0,+\infty)\end{cases}.

Calculați ∫−11xf(x) dx\displaystyle \int_{-1}^{1}x f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f are două expresii, deci împărțim integrala în punctul 0\displaystyle 0. Pe [−1,0]\displaystyle [-1,0] folosim x2+x+2\displaystyle x^2+x+2, iar pe [0,1]\displaystyle [0,1] folosim ex+1\displaystyle e^x+1. Apoi înmulțim cu x\displaystyle x în fiecare integrală.
    ∫−11xf(x) dx=∫−10(x3+x2+2x)dx+∫01(xex+x)dx\displaystyle \int_{-1}^{1}xf(x)\,dx=\int_{-1}^{0}\left(x^3+x^2+2x\right)dx+\int_0^1\left(xe^x+x\right)dx
  2. Pentru prima integrală găsim o primitivă, integrând fiecare termen: ∫x3dx=x44\displaystyle \int x^3dx=\dfrac{x^4}{4}, ∫x2dx=x33\displaystyle \int x^2dx=\dfrac{x^3}{3}, ∫2x dx=x2\displaystyle \int 2x\,dx=x^2.
    F1(x)=x44+x33+x2\displaystyle F_1(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+x^2
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton pentru prima integrală. Valoarea primitivei în 0\displaystyle 0 este 0\displaystyle 0, iar în −1\displaystyle -1 este 14−13+1=1112\displaystyle \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{11}{12}.
    ∫−10(x3+x2+2x)dx=0−1112=−1112\displaystyle \int_{-1}^{0}\left(x^3+x^2+2x\right)dx=0-\frac{11}{12}=-\frac{11}{12}
  4. Pentru a doua integrală, integrăm prin părți termenul xex\displaystyle xe^x, alegând u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x. Primitiva lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}.
    F2(x)=xex−ex+x22\displaystyle F_2(x)=xe^x-e^x+\frac{x^2}{2}
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton pentru a doua integrală. În 1\displaystyle 1 primitiva are valoarea e−e+12=12\displaystyle e-e+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}, iar în 0\displaystyle 0 are valoarea 0−1+0=−1\displaystyle 0-1+0=-1.
    ∫01(xex+x)dx=12−(−1)=32\displaystyle \int_0^1\left(xe^x+x\right)dx=\frac{1}{2}-(-1)=\frac{3}{2}
  6. Adunăm cele două rezultate: −1112+32=−1112+1812\displaystyle -\dfrac{11}{12}+\dfrac{3}{2}=-\dfrac{11}{12}+\dfrac{18}{12}.
    ∫−11xf(x) dx=712\displaystyle \int_{-1}^{1}xf(x)\,dx=\frac{7}{12}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.