Bac matematică M3 tehnologic 2021, model, test de evaluare 2: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (7−7⋅16⋅17)⋅641=1\displaystyle \left(7-7\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{7}\right)\cdot\frac{6}{41}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm produsul din paranteză: 7⋅16⋅17\displaystyle 7\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{7}. Factorul 7\displaystyle 7 se simplifică cu 17\displaystyle \dfrac{1}{7}, deci rămâne 16\displaystyle \dfrac{1}{6}.
    7⋅16⋅17=16\displaystyle 7\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{6}
  2. Înlocuim în expresia inițială: 7\displaystyle 7 minus 16\displaystyle \dfrac{1}{6}, iar rezultatul se înmulțește cu 641\displaystyle \dfrac{6}{41}.
    (7−16)⋅641\displaystyle \left(7-\frac{1}{6}\right)\cdot\frac{6}{41}
  3. Scădem în paranteză, aducând 7\displaystyle 7 la numitorul 6\displaystyle 6: 7=426\displaystyle 7=\dfrac{42}{6}, deci 426−16=416\displaystyle \dfrac{42}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{41}{6}.
    7−16=426−16=416\displaystyle 7-\frac{1}{6}=\frac{42}{6}-\frac{1}{6}=\frac{41}{6}
  4. Înmulțim fracțiile: 41\displaystyle 41 și 6\displaystyle 6 se simplifică între numărător și numitor, deci rezultatul este 1\displaystyle 1, ceea ce trebuia arătat.
    416⋅641=1\displaystyle \frac{41}{6}\cdot\frac{6}{41}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−6\displaystyle f(x)=2x-6 cu graficul funcției g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=6−x\displaystyle g(x)=6-x.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție are coordonatele care verifică ambele ecuații ale graficelor, deci abscisa se află din egalitatea f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Egalăm expresiile celor două funcții.
    2x−6=6−x\displaystyle 2x-6=6-x
  2. Aducem termenii cu x\displaystyle x în membrul stâng și numerele în membrul drept: adunăm x\displaystyle x și adunăm 6\displaystyle 6 la ambii membri.
    2x+x=6+6⇒3x=12\displaystyle 2x+x=6+6\Rightarrow 3x=12
  3. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem abscisa punctului de intersecție.
    x=4\displaystyle x=4
  4. Aflăm ordonata înlocuind x=4\displaystyle x=4 în expresia lui f\displaystyle f: f(4)=2⋅4−6=2\displaystyle f(4)=2\cdot 4-6=2. Verificăm și cu g\displaystyle g: g(4)=6−4=2\displaystyle g(4)=6-4=2, deci obținem același rezultat. Punctul de intersecție are coordonatele (4,2)\displaystyle (4,2).
    x=4\displaystyle x=4, y=2\displaystyle \ y=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡7(3x−2)=1\displaystyle \log_7(3x-2)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci 3x−2>0\displaystyle 3x-2>0, adică x>23\displaystyle x>\dfrac{2}{3}.
    x∈(23,+∞)\displaystyle x\in\left(\dfrac{2}{3},+\infty\right)
  2. Folosim definiția logaritmului: log⁡7A=1\displaystyle \log_7 A=1 exact când A=71=7\displaystyle A=7^{1}=7. Obținem ecuația 3x−2=7\displaystyle 3x-2=7.
    3x−2=7\displaystyle 3x-2=7
  3. Rezolvăm ecuația: adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri, obținem 3x=9\displaystyle 3x=9, apoi împărțim la 3\displaystyle 3.
    3x=9⇒x=3\displaystyle 3x=9\Rightarrow x=3
  4. Verificăm condiția de existență: 3>23\displaystyle 3>\dfrac{2}{3}, deci soluția convine. Într-adevăr, log⁡7(3⋅3−2)=log⁡77=1\displaystyle \log_7(3\cdot 3-2)=\log_7 7=1.
    x=3, care convine\displaystyle x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 12%\displaystyle 12\%, o tabletă grafică costă 264\displaystyle 264 de lei. Determinați prețul inițial al tabletei.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu p\displaystyle p prețul inițial al tabletei, în lei. Ieftinirea cu 12%\displaystyle 12\% înseamnă că se scade din p\displaystyle p valoarea 12100⋅p\displaystyle \dfrac{12}{100}\cdot p. Prețul după ieftinire este 264\displaystyle 264 de lei, deci obținem ecuația: p−12100⋅p=264\displaystyle p-\dfrac{12}{100}\cdot p=264.
    p−12100⋅p=264\displaystyle p-\frac{12}{100}\cdot p=264
  2. Scoatem p\displaystyle p factor comun: p(1−12100)=264\displaystyle p\left(1-\dfrac{12}{100}\right)=264. Cum 1−12100=88100\displaystyle 1-\dfrac{12}{100}=\dfrac{88}{100}, obținem: 88100⋅p=264\displaystyle \dfrac{88}{100}\cdot p=264.
    88100⋅p=264\displaystyle \frac{88}{100}\cdot p=264
  3. Înmulțim ambii membri cu 10088\displaystyle \dfrac{100}{88}. Rezultă p=264⋅10088\displaystyle p=\dfrac{264\cdot 100}{88}. Cum 264:88=3\displaystyle 264:88=3, obținem p=3⋅100\displaystyle p=3\cdot 100. Prețul inițial al tabletei este: p=300 de lei\displaystyle p=300\text{ de lei}.
    p=300 de lei\displaystyle p=300\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(2,3)\displaystyle M(2,3) și T(6,5)\displaystyle T(6,5). Determinați coordonatele punctului A\displaystyle A, știind că A\displaystyle A este mijlocul segmentului MT\displaystyle MT.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem formulele pentru coordonatele mijlocului unui segment: dacă A\displaystyle A este mijlocul segmentului MT\displaystyle MT, atunci xA=xM+xT2\displaystyle x_A=\dfrac{x_M+x_T}{2} și yA=yM+yT2\displaystyle y_A=\dfrac{y_M+y_T}{2}.
    xA=xM+xT2\displaystyle x_A=\dfrac{x_M+x_T}{2},yA=yM+yT2\displaystyle \quad y_A=\dfrac{y_M+y_T}{2}
  2. Înlocuim abscisele xM=2\displaystyle x_M=2 și xT=6\displaystyle x_T=6 în formulă și calculăm abscisa lui A\displaystyle A: xA=2+62=82\displaystyle x_A=\dfrac{2+6}{2}=\dfrac{8}{2}.
    xA=2+62=4\displaystyle x_A=\dfrac{2+6}{2}=4
  3. Înlocuim ordonatele yM=3\displaystyle y_M=3 și yT=5\displaystyle y_T=5 în formulă: yA=3+52=82=4\displaystyle y_A=\dfrac{3+5}{2}=\dfrac{8}{2}=4. Deci punctul A\displaystyle A are coordonatele (4,4)\displaystyle (4,4).
    yA=3+52=4\displaystyle y_A=\dfrac{3+5}{2}=4,A(4,4)\displaystyle \quad A(4,4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că cos⁡60∘⋅sin⁡60∘+sin⁡90∘−sin⁡30∘⋅cos⁡30∘=1\displaystyle \cos 60^\circ\cdot\sin 60^\circ+\sin 90^\circ-\sin 30^\circ\cdot\cos 30^\circ=1.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 30∘\displaystyle 30^\circ, 60∘\displaystyle 60^\circ și 90∘\displaystyle 90^\circ: sin⁡30∘=cos⁡60∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}, sin⁡60∘=cos⁡30∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, iar sin⁡90∘=1\displaystyle \sin 90^\circ=1.
    sin⁡30∘=cos⁡60∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}, sin⁡60∘=cos⁡30∘=32\displaystyle \ \sin 60^\circ=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡90∘=1\displaystyle \ \sin 90^\circ=1
  2. Înlocuim aceste valori în expresia dată: cos⁡60∘⋅sin⁡60∘=12⋅32\displaystyle \cos 60^\circ\cdot\sin 60^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} și sin⁡30∘⋅cos⁡30∘=12⋅32\displaystyle \sin 30^\circ\cdot\cos 30^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    12⋅32+1−12⋅32\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+1-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. Efectuăm înmulțirile: fiecare produs este 34\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{4}. Cei doi termeni cu radical se reduc, deoarece au același modul și semne opuse, și rămâne 1\displaystyle 1. Deci egalitatea este adevărată.
    34+1−34=1\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}+1-\frac{\sqrt{3}}{4}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a+23a+2a3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 3a+2\\ a & 3a\end{pmatrix}, B=(1313)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 3\end{pmatrix}, C=(1100)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=4\displaystyle \det(A(1))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în fiecare element al matricei A(a)\displaystyle A(a): a+2=1+2=3\displaystyle a+2=1+2=3, 3a+2=3⋅1+2=5\displaystyle 3a+2=3\cdot 1+2=5, a=1\displaystyle a=1, 3a=3⋅1=3\displaystyle 3a=3\cdot 1=3.
    A(1)=(3513)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}3 & 5\\ 1 & 3\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1), adică determinantul de ordin 2 cu aceste elemente.
    det⁡(A(1))=∣3513∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}3 & 5\\ 1 & 3\end{vmatrix}
  3. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem 3⋅3−1⋅5=9−5=4\displaystyle 3\cdot 3-1\cdot 5=9-5=4, exact ce trebuia arătat.
    det⁡(A(1))=3⋅3−1⋅5=9−5=4\displaystyle \det(A(1))=3\cdot 3-1\cdot 5=9-5=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a+23a+2a3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 3a+2\\ a & 3a\end{pmatrix}, B=(1313)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 3\end{pmatrix}, C=(1100)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(4)=B⋅B+2⋅C\displaystyle A(4)=B\cdot B+2\cdot C.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=4\displaystyle a=4 în A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(4)\displaystyle A(4).
    A(4)=(4+23⋅4+243⋅4)=(614412)\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix}4+2 & 3\cdot 4+2\\ 4 & 3\cdot 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 14\\ 4 & 12\end{pmatrix}
  2. Calculăm B⋅B\displaystyle B\cdot B, înmulțind linie cu coloană: de exemplu primul element este 1⋅1+3⋅1=4\displaystyle 1\cdot 1+3\cdot 1=4, iar al doilea de pe prima linie este 1⋅3+3⋅3=12\displaystyle 1\cdot 3+3\cdot 3=12. Liniile lui B\displaystyle B sunt egale, deci și liniile produsului sunt egale.
    B⋅B=(1⋅1+3⋅11⋅3+3⋅31⋅1+3⋅11⋅3+3⋅3)=(412412)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}1\cdot 1+3\cdot 1 & 1\cdot 3+3\cdot 3\\ 1\cdot 1+3\cdot 1 & 1\cdot 3+3\cdot 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 12\\ 4 & 12\end{pmatrix}
  3. Calculăm 2⋅C\displaystyle 2\cdot C, înmulțind fiecare element al lui C\displaystyle C cu 2\displaystyle 2.
    2⋅C=(2200)\displaystyle 2\cdot C=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 0 & 0\end{pmatrix}
  4. Adunăm B⋅B\displaystyle B\cdot B și 2⋅C\displaystyle 2\cdot C element cu element, pentru a obține membrul drept al egalității.
    B⋅B+2C=(412412)+(2200)=(614412)\displaystyle B\cdot B+2C=\begin{pmatrix}4 & 12\\ 4 & 12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & 2\\ 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 14\\ 4 & 12\end{pmatrix}
  5. Comparăm cu A(4)\displaystyle A(4): elementele sunt 4+2=6\displaystyle 4+2=6, 3⋅4+2=14\displaystyle 3\cdot 4+2=14, 4\displaystyle 4 și 3⋅4=12\displaystyle 3\cdot 4=12, exact cele obținute pentru B⋅B+2C\displaystyle B\cdot B+2C. Deci egalitatea este demonstrată.
    (4+23⋅4+243⋅4)=A(4)=B⋅B+2⋅C\displaystyle \begin{pmatrix}4+2 & 3\cdot 4+2\\ 4 & 3\cdot 4\end{pmatrix}=A(4)=B\cdot B+2\cdot C
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A(a)=(a+23a+2a3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+2 & 3a+2\\ a & 3a\end{pmatrix}, B=(1313)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 1 & 3\end{pmatrix}, C=(1100)\displaystyle C=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care det⁡(A(n)+B)=4\displaystyle \det(A(n)+B)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele A(n)\displaystyle A(n) și B\displaystyle B element cu element, înlocuind a\displaystyle a cu n\displaystyle n în A(a)\displaystyle A(a): A(n)+B=(n+2+13n+2+3n+13n+3)\displaystyle A(n)+B=\begin{pmatrix}n+2+1 & 3n+2+3\\ n+1 & 3n+3\end{pmatrix}.
    A(n)+B=(n+33n+5n+13n+3)\displaystyle A(n)+B=\begin{pmatrix}n+3 & 3n+5\\ n+1 & 3n+3\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei de ordin 2 ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(n)+B)=(n+3)(3n+3)−(3n+5)(n+1)\displaystyle \det(A(n)+B)=(n+3)(3n+3)-(3n+5)(n+1).
    det⁡(A(n)+B)=(n+3)(3n+3)−(3n+5)(n+1)\displaystyle \det(A(n)+B)=(n+3)(3n+3)-(3n+5)(n+1)
  3. Efectuăm cele două produse: (n+3)(3n+3)=3n2+12n+9\displaystyle (n+3)(3n+3)=3n^{2}+12n+9 și (3n+5)(n+1)=3n2+8n+5\displaystyle (3n+5)(n+1)=3n^{2}+8n+5.
    (n+3)(3n+3)=3n2+12n+9\displaystyle (n+3)(3n+3)=3n^{2}+12n+9,(3n+5)(n+1)=3n2+8n+5\displaystyle \quad (3n+5)(n+1)=3n^{2}+8n+5
  4. Scădem cele două expresii; termenii cu n2\displaystyle n^{2} se reduc: 3n2+12n+9−3n2−8n−5=4n+4\displaystyle 3n^{2}+12n+9-3n^{2}-8n-5=4n+4.
    det⁡(A(n)+B)=4n+4\displaystyle \det(A(n)+B)=4n+4
  5. Punem condiția din enunț, det⁡(A(n)+B)=4\displaystyle \det(A(n)+B)=4, deci 4n+4=4\displaystyle 4n+4=4. Scăzând 4 din ambii membri obținem 4n=0\displaystyle 4n=0.
    4n+4=4⇔4n=0⇔n=0\displaystyle 4n+4=4\Leftrightarrow 4n=0\Leftrightarrow n=0
  6. Verificăm că n=0\displaystyle n=0 este număr natural, deci convine.
    n=0, care convine\displaystyle n=0\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=3xy+1x+y\displaystyle x*y=\frac{3xy+1}{x+y}.

Arătați că 1∗1=2\displaystyle 1*1=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție: x∗y=3xy+1x+y\displaystyle x*y=\dfrac{3xy+1}{x+y}. Observăm că 1∈(0,+∞)=M\displaystyle 1\in(0,+\infty)=M, deci putem calcula 1∗1\displaystyle 1*1.
    x∗y=3xy+1x+y\displaystyle x*y=\dfrac{3xy+1}{x+y}
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1 în formulă.
    1∗1=3⋅1⋅1+11+1\displaystyle 1*1=\dfrac{3\cdot 1\cdot 1+1}{1+1}
  3. Calculăm numărătorul: 3⋅1⋅1+1=4\displaystyle 3\cdot 1\cdot 1+1=4, iar numitorul: 1+1=2\displaystyle 1+1=2. Atunci 42=2\displaystyle \dfrac{4}{2}=2, deci 1∗1=2\displaystyle 1*1=2, adică egalitatea cerută este adevărată.
    42=2\displaystyle \dfrac{4}{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=3xy+1x+y\displaystyle x*y=\frac{3xy+1}{x+y}.

Calculați ((1∗2)∗3)−(1∗(2∗3))\displaystyle ((1*2)*3)-(1*(2*3)).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 1∗2\displaystyle 1*2 folosind definiția x∗y=3xy+1x+y\displaystyle x*y=\dfrac{3xy+1}{x+y}, cu x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2: 1∗2=3⋅1⋅2+11+2\displaystyle 1*2=\dfrac{3\cdot 1\cdot 2+1}{1+2}.
    1∗2=73\displaystyle 1*2=\frac{7}{3}
  2. Calculăm (1∗2)∗3=73∗3=3⋅73⋅3+173+3=22163\displaystyle (1*2)*3=\dfrac{7}{3}*3=\dfrac{3\cdot\frac{7}{3}\cdot 3+1}{\frac{7}{3}+3}=\dfrac{22}{\frac{16}{3}}, adică 22⋅316\displaystyle 22\cdot\dfrac{3}{16}.
    (1∗2)∗3=73∗3=338\displaystyle (1*2)*3=\frac{7}{3}*3=\frac{33}{8}
  3. Calculăm 2∗3=3⋅2⋅3+12+3=195\displaystyle 2*3=\dfrac{3\cdot 2\cdot 3+1}{2+3}=\dfrac{19}{5}.
    2∗3=195\displaystyle 2*3=\frac{19}{5}
  4. Calculăm 1∗(2∗3)=1∗195=3⋅195+11+195=625245=6224\displaystyle 1*(2*3)=1*\dfrac{19}{5}=\dfrac{3\cdot\frac{19}{5}+1}{1+\frac{19}{5}}=\dfrac{\frac{62}{5}}{\frac{24}{5}}=\dfrac{62}{24}, care se simplifică prin 2\displaystyle 2.
    1∗(2∗3)=3112\displaystyle 1*(2*3)=\frac{31}{12}
  5. Scădem rezultatele, cu numitorul comun 24\displaystyle 24: 338−3112=9924−6224\displaystyle \dfrac{33}{8}-\dfrac{31}{12}=\dfrac{99}{24}-\dfrac{62}{24}.
    ((1∗2)∗3)−(1∗(2∗3))=338−3112=3724\displaystyle ((1*2)*3)-(1*(2*3))=\frac{33}{8}-\frac{31}{12}=\frac{37}{24}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=3xy+1x+y\displaystyle x*y=\frac{3xy+1}{x+y}.

Determinați numerele reale x∈M\displaystyle x\in M pentru care x∗x=2\displaystyle x*x=2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii: numărătorul devine 3x⋅x+1\displaystyle 3x\cdot x+1, iar numitorul x+x\displaystyle x+x.
    x∗x=3x2+12x\displaystyle x*x=\frac{3x^{2}+1}{2x}
  2. Punem condiția x∗x=2\displaystyle x*x=2. Cum x∈M\displaystyle x\in M, deci x>0\displaystyle x>0, numitorul 2x\displaystyle 2x este nenul și putem înmulți ecuația cu 2x\displaystyle 2x.
    3x2+12x=2⇔3x2+1=4x\displaystyle \frac{3x^{2}+1}{2x}=2\Leftrightarrow 3x^{2}+1=4x
  3. Mutăm toți termenii în partea stângă și obținem o ecuație de gradul al doilea.
    3x2−4x+1=0\displaystyle 3x^{2}-4x+1=0
  4. Calculăm discriminantul ecuației, cu a=3\displaystyle a=3, b=−4\displaystyle b=-4, c=1\displaystyle c=1.
    Δ=(−4)2−4⋅3⋅1=16−12=4\displaystyle \Delta=(-4)^{2}-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4
  5. Aflăm rădăcinile cu formula x=−b±Δ2a\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
    x=4±26⇒x=1 sau x=13\displaystyle x=\frac{4\pm 2}{6}\Rightarrow x=1\text{ sau }x=\frac{1}{3}
  6. Verificăm: ambele soluții sunt strict pozitive, deci aparțin mulțimii M\displaystyle M, iar numitorul 2x\displaystyle 2x este nenul. Prin urmare, ambele convin.
    x=1 sau x=13, care convin\displaystyle x=1\text{ sau }x=\frac{1}{3}\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=35x5+34x4−2x3−1\displaystyle f(x)=\frac{3}{5}x^5+\frac{3}{4}x^4-2x^3-1.

Arătați că f′(x)=3x2(x−1)(x+2)\displaystyle f'(x)=3x^2(x-1)(x+2), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen, folosind formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}. Constantele se păstrează ca factori, iar derivata constantei −1\displaystyle -1 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=35⋅5x4+34⋅4x3−2⋅3x2−0\displaystyle f'(x)=\frac{3}{5}\cdot 5x^{4}+\frac{3}{4}\cdot 4x^{3}-2\cdot 3x^{2}-0
  2. Efectuăm înmulțirile: 35⋅5=3\displaystyle \frac{3}{5}\cdot 5=3, 34⋅4=3\displaystyle \frac{3}{4}\cdot 4=3, iar 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6.
    f′(x)=3x4+3x3−6x2\displaystyle f'(x)=3x^{4}+3x^{3}-6x^{2}
  3. Dăm factor comun pe 3x2\displaystyle 3x^{2}, deoarece fiecare termen îl conține.
    f′(x)=3x2(x2+x−2)\displaystyle f'(x)=3x^{2}\left(x^{2}+x-2\right)
  4. Descompunem trinomul x2+x−2\displaystyle x^{2}+x-2. Discriminantul este Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9, deci x=−1±32\displaystyle x=\dfrac{-1\pm 3}{2}, adică x1=1\displaystyle x_1=1 și x2=−2\displaystyle x_2=-2. Atunci x2+x−2=(x−1)(x+2)\displaystyle x^{2}+x-2=(x-1)(x+2).
    x2+x−2=(x−1)(x+2)\displaystyle x^{2}+x-2=(x-1)(x+2)
  5. Înlocuim descompunerea în expresia derivatei și obținem forma cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3x2(x−1)(x+2)\displaystyle f'(x)=3x^{2}(x-1)(x+2), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=35x5+34x4−2x3−1\displaystyle f(x)=\frac{3}{5}x^5+\frac{3}{4}x^4-2x^3-1.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0: y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0).
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în expresia funcției: toți termenii cu x\displaystyle x se anulează și rămâne doar termenul liber.
    f(0)=35⋅05+34⋅04−2⋅03−1=−1\displaystyle f(0)=\frac{3}{5}\cdot 0^5+\frac{3}{4}\cdot 0^4-2\cdot 0^3-1=-1
  3. Derivăm funcția f\displaystyle f, folosind formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^n)'=n\cdot x^{n-1}.
    f′(x)=35⋅5x4+34⋅4x3−2⋅3x2=3x4+3x3−6x2\displaystyle f'(x)=\frac{3}{5}\cdot 5x^4+\frac{3}{4}\cdot 4x^3-2\cdot 3x^2=3x^4+3x^3-6x^2
  4. Calculăm f′(0)\displaystyle f'(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în derivată. Astfel obținem valorile cerute de primul pas de control: f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1 și f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0.
    f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1, f′(0)=3⋅04+3⋅03−6⋅02=0\displaystyle \ f'(0)=3\cdot 0^4+3\cdot 0^3-6\cdot 0^2=0
  5. Înlocuim valorile f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1 și f′(0)=0\displaystyle f'(0)=0 în formula tangentei. Obținem y+1=0⋅x\displaystyle y+1=0\cdot x, deci y=−1\displaystyle y=-1. Tangenta este o dreaptă orizontală.
    y−(−1)=0⋅(x−0), adica˘ y=−1\displaystyle y-(-1)=0\cdot(x-0)\text{, adică }y=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=35x5+34x4−2x3−1\displaystyle f(x)=\frac{3}{5}x^5+\frac{3}{4}x^4-2x^3-1.

Arătați că funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe intervalul [−2,1]\displaystyle [-2,1].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând fiecare termen: (35x5)′=3x4\displaystyle \left(\dfrac{3}{5}x^{5}\right)'=3x^{4}, (34x4)′=3x3\displaystyle \left(\dfrac{3}{4}x^{4}\right)'=3x^{3}, (−2x3)′=−6x2\displaystyle (-2x^{3})'=-6x^{2}, iar derivata constantei −1\displaystyle -1 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=3x4+3x3−6x2\displaystyle f'(x)=3x^{4}+3x^{3}-6x^{2}
  2. Factorizăm derivata. Dăm factor comun 3x2\displaystyle 3x^{2} și obținem f′(x)=3x2(x2+x−2)\displaystyle f'(x)=3x^{2}(x^{2}+x-2). Trinomul x2+x−2\displaystyle x^{2}+x-2 are rădăcinile 1\displaystyle 1 și −2\displaystyle -2, deci se scrie (x−1)(x+2)\displaystyle (x-1)(x+2).
    f′(x)=3x2(x−1)(x+2)\displaystyle f'(x)=3x^{2}(x-1)(x+2)
  3. Studiem semnul factorilor pe intervalul [−2,1]\displaystyle [-2,1]. Dacă x∈[−2,1]\displaystyle x\in[-2,1], atunci x≤1\displaystyle x\leq 1, deci x−1≤0\displaystyle x-1\leq 0, și x≥−2\displaystyle x\geq -2, deci x+2≥0\displaystyle x+2\geq 0.
    x∈[−2,1]⇒x−1≤0 și x+2≥0\displaystyle x\in[-2,1]\Rightarrow x-1\leq 0\text{ și }x+2\geq 0
  4. Factorul 3x2\displaystyle 3x^{2} este mereu mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0, deoarece x2≥0\displaystyle x^{2}\geq 0. Produsul dintre 3x2≥0\displaystyle 3x^{2}\geq 0, x−1≤0\displaystyle x-1\leq 0 și x+2≥0\displaystyle x+2\geq 0 este mai mic sau egal cu 0\displaystyle 0. Deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0 pe [−2,1]\displaystyle [-2,1], iar funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe acest interval.
    x2≥0⇒f′(x)≤0, deci f este descresca˘toare pe [−2,1]\displaystyle x^{2}\geq 0\Rightarrow f'(x)\leq 0\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }[-2,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2−1)+3\displaystyle f(x)=x(x^2-1)+3.

Arătați că ∫−11(f(x)+x−3) dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}(f(x)+x-3)\,dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem parantezele în expresia lui f(x)\displaystyle f(x): f(x)=x(x2−1)+3=x3−x+3\displaystyle f(x)=x(x^{2}-1)+3=x^{3}-x+3.
    f(x)=x3−x+3\displaystyle f(x)=x^{3}-x+3
  2. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) în integrand: f(x)+x−3=x3−x+3+x−3\displaystyle f(x)+x-3=x^{3}-x+3+x-3. Termenii −x\displaystyle -x și +x\displaystyle +x se anulează, la fel +3\displaystyle +3 și −3\displaystyle -3, deci rămâne x3\displaystyle x^{3}.
    ∫−11(f(x)+x−3) dx=∫−11x3 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}(f(x)+x-3)\,dx=\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx
  3. O primitivă a lui x3\displaystyle x^{3} este x44\displaystyle \dfrac{x^{4}}{4}, deci integrala se scrie cu formula Leibniz-Newton.
    ∫−11x3 dx=x44∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}x^{3}\,dx=\dfrac{x^{4}}{4}\Big|_{-1}^{1}
  4. Înlocuim limitele: 144−(−1)44\displaystyle \dfrac{1^{4}}{4}-\dfrac{(-1)^{4}}{4}. Cum (−1)4=1\displaystyle (-1)^{4}=1, obținem 14−14=0\displaystyle \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0, deci egalitatea cerută este adevărată.
    14−14=0\displaystyle \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2−1)+3\displaystyle f(x)=x(x^2-1)+3.

Calculați ∫01(f(x)−x3−3)ex dx\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x)-x^3-3)e^x\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm funcția: f(x)=x(x2−1)+3=x3−x+3\displaystyle f(x)=x(x^2-1)+3=x^3-x+3.
    f(x)=x3−x+3\displaystyle f(x)=x^{3}-x+3
  2. Calculăm f(x)−x3−3=x3−x+3−x3−3=−x\displaystyle f(x)-x^3-3=x^3-x+3-x^3-3=-x.
    f(x)−x3−3=−x\displaystyle f(x)-x^{3}-3=-x
  3. Integrala devine ∫01(f(x)−x3−3)ex dx=−∫01xex dx\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x)-x^3-3)e^x\,dx=-\int_{0}^{1}xe^x\,dx.
    −∫01xex dx\displaystyle -\int_{0}^{1}xe^{x}\,dx
  4. Integrăm prin părți, cu u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Atunci ∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex=(x−1)ex\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x=(x-1)e^x.
    ∫xex dx=(x−1)ex+C\displaystyle \int xe^{x}\,dx=(x-1)e^{x}+C
  5. Prin urmare −∫01xex dx=−(x−1)ex∣01\displaystyle -\int_{0}^{1}xe^x\,dx=-(x-1)e^x\Big|_{0}^{1}.
    −(x−1)ex∣01\displaystyle -(x-1)e^{x}\Big|_{0}^{1}
  6. Valoarea la x=1\displaystyle x=1 este (1−1)e1=0\displaystyle (1-1)e^1=0, iar la x=0\displaystyle x=0 este (0−1)e0=−1\displaystyle (0-1)e^0=-1. Deci −(0−(−1))=−1\displaystyle -\left(0-(-1)\right)=-1.
    −(0−(−1))=−1\displaystyle -\left(0-(-1)\right)=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2−1)+3\displaystyle f(x)=x(x^2-1)+3.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>0\displaystyle a>0, știind că ∫01f(x) dx=−a2+5\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx=-a^2+5.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem parantezele: f(x)=x(x2−1)+3=x3−x+3\displaystyle f(x)=x(x^2-1)+3=x^3-x+3.
    f(x)=x3−x+3\displaystyle f(x)=x^{3}-x+3
  2. Avem ∫01f(x) dx=∫01(x3−x+3) dx\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx=\int_{0}^{1}(x^3-x+3)\,dx, iar o primitivă este x44−x22+3x\displaystyle \dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}+3x.
    ∫01(x3−x+3) dx=(x44−x22+3x)∣01\displaystyle \int_{0}^{1}(x^{3}-x+3)\,dx=\left(\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}+3x\right)\Big|_{0}^{1}
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton. În x=1\displaystyle x=1 obținem 14−12+3=114\displaystyle \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{11}{4}, iar în x=0\displaystyle x=0 obținem 0\displaystyle 0. Deci integrala este 114\displaystyle \dfrac{11}{4}.
    ∫01f(x) dx=14−12+3=114\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+3=\frac{11}{4}
  4. Din condiția din enunț, −a2+5=114\displaystyle -a^2+5=\dfrac{11}{4}, deci a2=5−114=94\displaystyle a^2=5-\dfrac{11}{4}=\dfrac{9}{4}.
    −a2+5=114⇔a2=94\displaystyle -a^{2}+5=\frac{11}{4}\Leftrightarrow a^{2}=\frac{9}{4}
  5. Din a2=94\displaystyle a^2=\dfrac{9}{4} rezultă a=±32\displaystyle a=\pm\dfrac{3}{2}. Cum a>0\displaystyle a>0, obținem a=32\displaystyle a=\dfrac{3}{2}.
    a=32\displaystyle a=\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.