Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 18: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 23−1−(3+1)=0\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}-\left(\sqrt{3}+1\right)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Fracția 23−1\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{3}-1} are la numitor o diferență cu radical, deci raționalizăm numitorul: amplificăm cu conjugatul 3+1\displaystyle \sqrt{3}+1.
    23−1=2(3+1)(3−1)(3+1)\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}
  2. Aplicăm formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} la numitor: (3−1)(3+1)=3−1\displaystyle \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)=3-1. Înlocuim în expresia dată.
    23−1−(3+1)=2(3+1)3−1−(3+1)\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}-\left(\sqrt{3}+1\right)=\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}-\left(\sqrt{3}+1\right)
  3. Calculăm numitorul: 3−1=2\displaystyle 3-1=2, apoi simplificăm fracția cu 2\displaystyle 2.
    2(3+1)2=3+1\displaystyle \frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}=\sqrt{3}+1
  4. Scădem: 3+1−(3+1)=3+1−3−1=0\displaystyle \sqrt{3}+1-\left(\sqrt{3}+1\right)=\sqrt{3}+1-\sqrt{3}-1=0, deci egalitatea este demonstrată.
    3+1−3−1=0\displaystyle \sqrt{3}+1-\sqrt{3}-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f\displaystyle f cu axa Oy\displaystyle Oy, unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+x+3\displaystyle f(x)=2x^2+x+3.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție cu axa Oy\displaystyle Oy are abscisa egală cu 0\displaystyle 0, deci ordonata lui este valoarea funcției în 0\displaystyle 0, adică f(0)\displaystyle f(0).
    x=0\displaystyle x=0,y=f(0)\displaystyle \quad y=f(0)
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în expresia funcției: f(0)=2⋅02+0+3\displaystyle f(0)=2\cdot 0^{2}+0+3.
    f(0)=2⋅02+0+3=3\displaystyle f(0)=2\cdot 0^{2}+0+3=3
  3. Punctul de intersecție are abscisa 0\displaystyle 0 și ordonata 3\displaystyle 3, deci este punctul A(0,3)\displaystyle A(0,3).
    x=0 și y=3\displaystyle x=0\text{ și }y=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 72x+1=74−x\displaystyle 7^{2x+1}=7^{4-x}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că ambele părți ale ecuației 72x+1=74−x\displaystyle 7^{2x+1}=7^{4-x} au aceeași bază, 7\displaystyle 7, care este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1. Funcția exponențială cu această bază este injectivă, deci putem egala exponenții.
    2x+1=4−x\displaystyle 2x+1=4-x
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: adunăm x\displaystyle x în ambele părți și scădem 1\displaystyle 1 din ambele părți. Obținem 2x+x=4−1\displaystyle 2x+x=4-1, adică 3x=3\displaystyle 3x=3.
    2x+1=4−x⇔3x=3\displaystyle 2x+1=4-x\Leftrightarrow 3x=3
  3. Împărțim ambele părți ale ecuației la 3\displaystyle 3 și obținem x=33=1\displaystyle x=\dfrac{3}{3}=1. Este singura soluție reală a ecuației.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie impar.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10, 11, \ldots, 99, deci numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  3. Numerele impare de două cifre sunt 11,13,…,99\displaystyle 11, 13, \ldots, 99. Ele cresc din 2 în 2, deci numărul lor este 99−112+1=44+1=45\displaystyle \dfrac{99-11}{2}+1=44+1=45.
    99−112+1=45\displaystyle \dfrac{99-11}{2}+1=45
  4. Probabilitatea este p=4590\displaystyle p=\dfrac{45}{90}, iar prin simplificare cu 45\displaystyle 45 obținem p=12\displaystyle p=\dfrac{1}{2}.
    p=4590=12\displaystyle p=\dfrac{45}{90}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,3)\displaystyle A(2,3) și B(2,5)\displaystyle B(2,5). Determinați lungimea segmentului BC\displaystyle BC, unde punctul C\displaystyle C este simetricul punctului B\displaystyle B față de punctul A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte pentru A(2,3)\displaystyle A(2,3) și B(2,5)\displaystyle B(2,5): AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}.
    AB=(2−2)2+(5−3)2\displaystyle AB=\sqrt{(2-2)^{2}+(5-3)^{2}}
  2. Calculăm: AB=0+4=4\displaystyle AB=\sqrt{0+4}=\sqrt{4}, deci AB=2\displaystyle AB=2.
    AB=2\displaystyle AB=2
  3. Punctul C\displaystyle C este simetricul lui B\displaystyle B față de A\displaystyle A, deci A\displaystyle A este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC. Atunci BC=2⋅AB\displaystyle BC=2\cdot AB.
    BC=2⋅AB\displaystyle BC=2\cdot AB
  4. Înlocuim AB=2\displaystyle AB=2 și obținem BC=2⋅2=4\displaystyle BC=2\cdot 2=4.
    BC=4\displaystyle BC=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați sin⁡x\displaystyle \sin x, știind că x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=35\displaystyle \cos x=\frac{3}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim identitatea fundamentală a trigonometriei: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2} x+\cos^{2} x=1. Din ea scoatem sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2} x=1-\cos^{2} x.
    sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2} x=1-\cos^{2} x
  2. Înlocuim cos⁡x=35\displaystyle \cos x=\dfrac{3}{5} și calculăm: (35)2=925\displaystyle \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}=\dfrac{9}{25}, deci 1−925=25−925=1625\displaystyle 1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{25-9}{25}=\dfrac{16}{25}.
    sin⁡2x=1−(35)2=1625\displaystyle \sin^{2} x=1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}
  3. Extragem rădăcina pătrată: sin⁡x=±1625=±45\displaystyle \sin x=\pm\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\pm\dfrac{4}{5}. Deoarece x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), adică x este în primul cadran, sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0, deci alegem valoarea pozitivă.
    sin⁡x=45\displaystyle \sin x=\frac{4}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2121)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, adică determinantul de ordin 2 format cu elementele ei: prima linie 2\displaystyle 2 și 1\displaystyle 1, a doua linie 2\displaystyle 2 și 1\displaystyle 1.
    det⁡A=∣2121∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&1\\2&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm definiția determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    ∣2121∣=2⋅1−1⋅2\displaystyle \begin{vmatrix}2&1\\2&1\end{vmatrix}=2\cdot 1-1\cdot 2
  3. Calculăm produsele: 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2 și 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2. Diferența lor este 2−2=0\displaystyle 2-2=0, deci det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
    det⁡A=2⋅1−2⋅1=2−2=0\displaystyle \det A=2\cdot 1-2\cdot 1=2-2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2121)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅A=xA\displaystyle A\cdot A=xA.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este 2⋅2+1⋅2=6\displaystyle 2\cdot 2+1\cdot 2=6.
    2⋅2+1⋅2=6\displaystyle 2\cdot 2+1\cdot 2=6
  2. Celelalte elemente: linia 1, coloana 2 este 2⋅1+1⋅1=3\displaystyle 2\cdot 1+1\cdot 1=3. Liniile 1 și 2 ale lui A\displaystyle A sunt identice, deci și linia 2 a produsului este la fel, adică 6\displaystyle 6 și 3\displaystyle 3.
    A⋅A=(6363)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}6&3\\6&3\end{pmatrix}
  3. Calculăm xA\displaystyle xA, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu x\displaystyle x.
    A⋅A=(6363)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}6&3\\6&3\end{pmatrix}, xA=(2xx2xx)\displaystyle \ xA=\begin{pmatrix}2x&x\\2x&x\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice: 2x=6\displaystyle 2x=6 și x=3\displaystyle x=3. Ambele ecuații dau aceeași valoare, deci egalitatea are loc pentru x=3\displaystyle x=3.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2121)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(A+I2)+det⁡(A−I2)=det⁡(aI2)\displaystyle \det(A+I_2)+\det(A-I_2)=\det(aI_2).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea A+I2\displaystyle A+I_2, adunând element cu element: pe diagonala principală adăugăm 1\displaystyle 1.
    A+I2=(3122)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm det⁡(A+I2)\displaystyle \det(A+I_2) ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A+I2)=3⋅2−1⋅2=4\displaystyle \det(A+I_2)=3\cdot 2-1\cdot 2=4
  3. Calculăm matricea A−I2\displaystyle A-I_2, scăzând 1\displaystyle 1 de pe diagonala principală.
    A−I2=(1120)\displaystyle A-I_2=\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}
  4. Calculăm det⁡(A−I2)\displaystyle \det(A-I_2).
    det⁡(A−I2)=1⋅0−1⋅2=−2\displaystyle \det(A-I_2)=1\cdot 0-1\cdot 2=-2
  5. Matricea aI2=(a00a)\displaystyle aI_2=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix} are determinantul egal cu a⋅a−0⋅0\displaystyle a\cdot a-0\cdot 0.
    det⁡(aI2)=a2\displaystyle \det(aI_2)=a^{2}
  6. Înlocuim cei trei determinanți în ecuația det⁡(A+I2)+det⁡(A−I2)=det⁡(aI2)\displaystyle \det(A+I_2)+\det(A-I_2)=\det(aI_2).
    4+(−2)=a2⇔a2=2\displaystyle 4+(-2)=a^{2}\Leftrightarrow a^{2}=2
  7. Rezolvăm ecuația a2=2\displaystyle a^{2}=2: obținem două soluții reale, opuse.
    a=−2 sau a=2\displaystyle a=-\sqrt{2}\text{ sau }a=\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y−5\displaystyle x\circ y=xy+x+y-5.

Arătați că (−1)∘2020=−6\displaystyle (-1)\circ 2020=-6.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∘y=xy+x+y−5\displaystyle x\circ y=xy+x+y-5, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∘y=xy+x+y−5\displaystyle x\circ y=xy+x+y-5
  2. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 și y=2020\displaystyle y=2020 în definiția legii.
    (−1)∘2020=(−1)⋅2020+(−1)+2020−5\displaystyle (-1)\circ 2020=(-1)\cdot 2020+(-1)+2020-5
  3. Calculăm produsul: (−1)⋅2020=−2020\displaystyle (-1)\cdot 2020=-2020. Apoi scriem suma cu acest rezultat.
    −2020−1+2020−5\displaystyle -2020-1+2020-5
  4. Termenii −2020\displaystyle -2020 și 2020\displaystyle 2020 se reduc, deci rămân doar −1\displaystyle -1 și −5\displaystyle -5. Suma lor este −6\displaystyle -6, adică exact valoarea cerută.
    −1−5=−6, deci (−1)∘2020=−6\displaystyle -1-5=-6\text{, deci }(-1)\circ 2020=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y−5\displaystyle x\circ y=xy+x+y-5.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘x=−2\displaystyle x\circ x=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru y=x\displaystyle y=x: înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în expresia xy+x+y−5\displaystyle xy+x+y-5.
    x∘x=x⋅x+x+x−5\displaystyle x\circ x=x\cdot x+x+x-5
  2. Reducem termenii asemenea: x⋅x=x2\displaystyle x\cdot x=x^{2}, iar x+x=2x\displaystyle x+x=2x.
    x∘x=x2+2x−5\displaystyle x\circ x=x^{2}+2x-5
  3. Scriem ecuația x∘x=−2\displaystyle x\circ x=-2 folosind expresia obținută.
    x2+2x−5=−2\displaystyle x^{2}+2x-5=-2
  4. Mutăm −2\displaystyle -2 în membrul stâng, adică adunăm 2\displaystyle 2 la ambii membri, și obținem o ecuație de gradul al doilea.
    x2+2x−3=0\displaystyle x^{2}+2x-3=0
  5. Calculăm discriminantul ecuației cu a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=−3\displaystyle c=-3.
    Δ=22−4⋅1⋅(−3)=16\displaystyle \Delta=2^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=16
  6. Aplicăm formula soluțiilor: x=−b±Δ2a=−2±42\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2\pm4}{2}. Obținem soluțiile −3\displaystyle -3 și 1\displaystyle 1, ambele numere reale.
    x=−3 sau x=1\displaystyle x=-3\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y−5\displaystyle x\circ y=xy+x+y-5.

Știind că m\displaystyle m este număr real astfel încât m∘(−2)=1∘(−m)\displaystyle m\circ(-2)=1\circ(-m), calculați m∘(−m)\displaystyle m\circ(-m).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm membrul stâng folosind definiția legii: m∘(−2)=m⋅(−2)+m+(−2)−5\displaystyle m\circ(-2)=m\cdot(-2)+m+(-2)-5.
    m∘(−2)=−2m+m−2−5=−m−7\displaystyle m\circ(-2)=-2m+m-2-5=-m-7
  2. Calculăm membrul drept: 1∘(−m)=1⋅(−m)+1+(−m)−5\displaystyle 1\circ(-m)=1\cdot(-m)+1+(-m)-5.
    1∘(−m)=−m+1−m−5=−2m−4\displaystyle 1\circ(-m)=-m+1-m-5=-2m-4
  3. Egalăm cele două expresii: −m−7=−2m−4\displaystyle -m-7=-2m-4. Aducem termenii cu m\displaystyle m într-o parte: −m+2m=−4+7\displaystyle -m+2m=-4+7, deci m=3\displaystyle m=3.
    m=3\displaystyle m=3
  4. Înlocuim m=3\displaystyle m=3 în expresia cerută: m∘(−m)=3∘(−3)\displaystyle m\circ(-m)=3\circ(-3).
    3∘(−3)\displaystyle 3\circ(-3)
  5. Aplicăm definiția legii: 3∘(−3)=3⋅(−3)+3+(−3)−5=−9+3−3−5=−14\displaystyle 3\circ(-3)=3\cdot(-3)+3+(-3)-5=-9+3-3-5=-14.
    m∘(−m)=3∘(−3)=−14\displaystyle m\circ(-m)=3\circ(-3)=-14
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−1x\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x}.

Arătați că f′(x)=1+1x2\displaystyle f'(x)=1+\frac{1}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un cât: f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, cu u(x)=x2−1\displaystyle u(x)=x^{2}-1 și v(x)=x\displaystyle v(x)=x. Folosim formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=(x2−1)′⋅x−(x2−1)⋅x′x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{\left(x^{2}-1\right)'\cdot x-\left(x^{2}-1\right)\cdot x'}{x^{2}}
  2. Calculăm derivatele: (x2−1)′=2x\displaystyle \left(x^{2}-1\right)'=2x și x′=1\displaystyle x'=1.
    (x2−1)′=2x\displaystyle \left(x^{2}-1\right)'=2x, x′=1\displaystyle \ x'=1
  3. Înlocuim derivatele în formulă și desfacem parantezele de la numărător: −(x2−1)=−x2+1\displaystyle -\left(x^{2}-1\right)=-x^{2}+1.
    f′(x)=2x⋅x−(x2−1)x2=2x2−x2+1x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x\cdot x-\left(x^{2}-1\right)}{x^{2}}=\dfrac{2x^{2}-x^{2}+1}{x^{2}}
  4. Reducem termenii asemenea de la numărător: 2x2−x2=x2\displaystyle 2x^{2}-x^{2}=x^{2}, deci numărătorul este x2+1\displaystyle x^{2}+1. Apoi separăm fracția: x2+1x2=x2x2+1x2=1+1x2\displaystyle \dfrac{x^{2}+1}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}=1+\dfrac{1}{x^{2}}, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=x2+1x2=1+1x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}}=1+\dfrac{1}{x^{2}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−1x\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x} și n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right). Funcția este definită pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci are sens să studiem comportarea spre +∞\displaystyle +\infty.
    y=mx+n\displaystyle y=mx+n,m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle \quad m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}
  2. Scriem raportul f(x)x\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}, înlocuind f(x)=x2−1x\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-1}{x}, și îl aducem la o singură fracție.
    f(x)x=x2−1xx=x2−1x2\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{\frac{x^2-1}{x}}{x}=\frac{x^2-1}{x^2}
  3. Calculăm limita: împărțim numărătorul și numitorul la x2\displaystyle x^2. Fracția 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^2} tinde la 0\displaystyle 0, deci panta este m=1\displaystyle m=1.
    m=lim⁡x→+∞x2−1x2=lim⁡x→+∞(1−1x2)=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-1}{x^2}=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)=1
  4. Calculăm f(x)−mx\displaystyle f(x)-mx pentru m=1\displaystyle m=1. Aducem la același numitor x\displaystyle x și simplificăm.
    f(x)−x=x2−1x−x=x2−1−x2x=−1x\displaystyle f(x)-x=\frac{x^2-1}{x}-x=\frac{x^2-1-x^2}{x}=-\frac{1}{x}
  5. Trecem la limită: −1x\displaystyle -\dfrac{1}{x} tinde la 0\displaystyle 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, deci termenul liber este n=0\displaystyle n=0. Asimptota oblică are ecuația y=1⋅x+0\displaystyle y=1\cdot x+0, adică y=x\displaystyle y=x.
    n=lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞(−1x)=0, deci y=x\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)=0\text{, deci }y=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−1x\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este concavă.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim fiecare termen de la numărător la x\displaystyle x: f(x)=x2−1x=x−1x\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x}=x-\dfrac{1}{x}, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f(x)=x−1x=x−x−1\displaystyle f(x)=x-\dfrac{1}{x}=x-x^{-1}
  2. Derivăm termen cu termen: (x)′=1\displaystyle (x)'=1 și (−1x)′=1x2\displaystyle \left(-\dfrac{1}{x}\right)'=\dfrac{1}{x^{2}}. Obținem f′(x)=1+1x2\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{1}{x^{2}}.
    f′(x)=1+1x2=1+x−2\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{1}{x^{2}}=1+x^{-2}
  3. Derivăm f′(x)=1+x−2\displaystyle f'(x)=1+x^{-2}: derivata lui 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0, iar (x−2)′=−2x−3\displaystyle \left(x^{-2}\right)'=-2x^{-3}. Deci f′′(x)=−2x3\displaystyle f''(x)=-\dfrac{2}{x^{3}}, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′′(x)=−2x3\displaystyle f''(x)=-\dfrac{2}{x^{3}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  4. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x3>0\displaystyle x^{3}>0, deci 2x3>0\displaystyle \dfrac{2}{x^{3}}>0 și f′′(x)=−2x3<0\displaystyle f''(x)=-\dfrac{2}{x^{3}}<0 pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Cum f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0 pe tot intervalul, funcția f\displaystyle f este concavă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′′(x)<0 pentru orice x∈(0,+∞)⇒f este concava˘\displaystyle f''(x)<0\text{ pentru orice }x\in(0,+\infty)\Rightarrow f\text{ este concavă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+2\displaystyle f(x)=x^3+2.

Arătați că ∫01(f(x)−2)dx=14\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-2\right)dx=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3+2\displaystyle f(x)=x^3+2 în expresia de sub integrală: f(x)−2=x3+2−2\displaystyle f(x)-2=x^3+2-2.
    f(x)−2=x3+2−2\displaystyle f(x)-2=x^{3}+2-2
  2. Reducem termenii: f(x)−2=x3\displaystyle f(x)-2=x^3. Integrala devine ∫01x3 dx\displaystyle \int_0^1 x^3\,dx.
    ∫01(f(x)−2)dx=∫01x3 dx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-2\right)dx=\int_0^1 x^{3}\,dx
  3. O primitivă a funcției x3\displaystyle x^3 este x44\displaystyle \dfrac{x^4}{4}. Aplicăm formula Leibniz-Newton, cu limitele 0 și 1.
    ∫01x3 dx=x44∣01\displaystyle \int_0^1 x^{3}\,dx=\left.\frac{x^{4}}{4}\right|_0^1
  4. Calculăm diferența valorilor primitivei: 144−044=14−0=14\displaystyle \dfrac{1^4}{4}-\dfrac{0^4}{4}=\dfrac{1}{4}-0=\dfrac{1}{4}.
    14−0=14\displaystyle \frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+2\displaystyle f(x)=x^3+2.

Determinați primitiva F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f pentru care F(2)=7\displaystyle F(2)=7.
Vezi rezolvarea
  1. Primitivele funcției f(x)=x3+2\displaystyle f(x)=x^3+2 se află integrând termen cu termen: o primitivă a lui x3\displaystyle x^3 este x44\displaystyle \dfrac{x^4}{4}, iar o primitivă a constantei 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x. Adăugăm o constantă reală c\displaystyle c.
    F(x)=x44+2x+c\displaystyle F(x)=\frac{x^4}{4}+2x+c, c∈R\displaystyle \ c\in\mathbb{R}
  2. Folosim condiția F(2)=7\displaystyle F(2)=7: înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia lui F\displaystyle F.
    F(2)=244+2⋅2+c=164+4+c=8+c\displaystyle F(2)=\frac{2^4}{4}+2\cdot 2+c=\frac{16}{4}+4+c=8+c
  3. Egalăm 8+c\displaystyle 8+c cu 7\displaystyle 7 și aflăm constanta c\displaystyle c. Apoi scriem primitiva căutată.
    8+c=7⇒c=−1, deci F(x)=x44+2x−1\displaystyle 8+c=7\Rightarrow c=-1\text{, deci }F(x)=\frac{x^4}{4}+2x-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+2\displaystyle f(x)=x^3+2.

Arătați că ∫01ex(f(x)−x3+x2)dx=3e−4\displaystyle \int_0^1 e^x\left(f(x)-x^3+x^2\right)dx=3e-4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3+2\displaystyle f(x)=x^3+2 în integrand: f(x)−x3+x2=x3+2−x3+x2\displaystyle f(x)-x^3+x^2=x^3+2-x^3+x^2. Termenii x3\displaystyle x^3 și −x3\displaystyle -x^3 se reduc, deci rămâne x2+2\displaystyle x^2+2.
    ∫01ex(x2+2)dx\displaystyle \int_0^1 e^x\left(x^2+2\right)dx
  2. Aplicăm integrarea prin părți: ∫01u dv=uv∣01−∫01v du\displaystyle \int_0^1 u\,dv=\left.uv\right|_0^1-\int_0^1 v\,du, cu u=x2+2\displaystyle u=x^2+2 și dv=exdx\displaystyle dv=e^x dx. Atunci du=2x dx\displaystyle du=2x\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    ∫01ex(x2+2)dx=ex(x2+2)∣01−∫012xexdx\displaystyle \int_0^1 e^x\left(x^2+2\right)dx=\left.e^x\left(x^2+2\right)\right|_0^1-\int_0^1 2xe^xdx
  3. Calculăm termenul din afara integralei: e1⋅(1+2)−e0⋅(0+2)=3e−2\displaystyle e^1\cdot(1+2)-e^0\cdot(0+2)=3e-2.
    ex(x2+2)∣01=3e−2\displaystyle \left.e^x\left(x^2+2\right)\right|_0^1=3e-2
  4. Scoatem constanta 2\displaystyle 2 în fața integralei și integrăm din nou prin părți, cu u=x\displaystyle u=x și dv=exdx\displaystyle dv=e^x dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    ∫012xexdx=2(xex∣01−∫01exdx)\displaystyle \int_0^1 2xe^xdx=2\left(\left.xe^x\right|_0^1-\int_0^1 e^xdx\right)
  5. Avem xex∣01=e−0=e\displaystyle \left.xe^x\right|_0^1=e-0=e și ∫01exdx=e−1\displaystyle \int_0^1 e^xdx=e-1. Deci 2(e−(e−1))=2\displaystyle 2\left(e-(e-1)\right)=2.
    ∫012xexdx=2(e−(e−1))=2\displaystyle \int_0^1 2xe^xdx=2\left(e-(e-1)\right)=2
  6. Înlocuim în relația de la prima integrare prin părți: 3e−2−2=3e−4\displaystyle 3e-2-2=3e-4, deci egalitatea cerută este adevărată.
    3e−2−2=3e−4\displaystyle 3e-2-2=3e-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.