Bac matematică M3 tehnologic 2015, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați media aritmetică a numerelor a=2(5−5)\displaystyle a=2\left(5-\sqrt{5}\right) și b=25\displaystyle b=2\sqrt{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Media aritmetică a numerelor a\displaystyle a și b\displaystyle b este ma=a+b2\displaystyle m_a=\dfrac{a+b}{2}.
    ma=a+b2\displaystyle m_a=\dfrac{a+b}{2}
  2. Înlocuim a=2(5−5)\displaystyle a=2\left(5-\sqrt{5}\right) și b=25\displaystyle b=2\sqrt{5} în formulă.
    ma=2(5−5)+252\displaystyle m_a=\dfrac{2\left(5-\sqrt{5}\right)+2\sqrt{5}}{2}
  3. Desfacem paranteza: 2(5−5)=10−25\displaystyle 2\left(5-\sqrt{5}\right)=10-2\sqrt{5}.
    ma=10−25+252\displaystyle m_a=\dfrac{10-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}}{2}
  4. Reducem termenii opuși: −25+25=0\displaystyle -2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=0, deci numărătorul devine 10\displaystyle 10.
    ma=102\displaystyle m_a=\dfrac{10}{2}
  5. Împărțim: 102=5\displaystyle \dfrac{10}{2}=5, deci media aritmetică este 5\displaystyle 5.
    ma=5\displaystyle m_a=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x+3\displaystyle f(x)=x^2-4x+3 cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox sunt punctele în care ordonata este zero, deci rezolvăm ecuația f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    x2−4x+3=0\displaystyle x^2-4x+3=0
  2. Identificăm coeficienții ecuației de gradul al doilea: a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle b=-4, c=3\displaystyle c=3, și calculăm discriminantul Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^2-4ac.
    Δ=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12=4\displaystyle \Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4
  3. Aplicăm formula rădăcinilor x1,2=−b±Δ2a\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, cu Δ=2\displaystyle \sqrt{\Delta}=2.
    x1,2=4±22\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{4\pm 2}{2}
  4. Obținem x1=4−22=1\displaystyle x_1=\dfrac{4-2}{2}=1 și x2=4+22=3\displaystyle x_2=\dfrac{4+2}{2}=3, care sunt abscisele punctelor de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox.
    x1=1 și x2=3\displaystyle x_1=1\text{ și }x_2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(2x−1)−log⁡53=0\displaystyle \log_5(2x-1)-\log_5 3=0.
Vezi rezolvarea
  1. Condiția de existență a logaritmului este ca argumentul să fie strict pozitiv: 2x−1>0\displaystyle 2x-1>0, adică x>12\displaystyle x>\dfrac{1}{2}.
    x>12\displaystyle x>\frac{1}{2}
  2. Folosim formula log⁡5a−log⁡5b=log⁡5ab\displaystyle \log_5 a-\log_5 b=\log_5\dfrac{a}{b} și obținem ecuația log⁡52x−13=0\displaystyle \log_5\dfrac{2x-1}{3}=0.
    log⁡52x−13=0\displaystyle \log_5\frac{2x-1}{3}=0
  3. Deoarece log⁡51=0\displaystyle \log_5 1=0, ecuația este echivalentă cu 2x−13=1\displaystyle \dfrac{2x-1}{3}=1.
    log⁡52x−13=0⇔2x−13=1\displaystyle \log_5\frac{2x-1}{3}=0\Leftrightarrow\frac{2x-1}{3}=1
  4. Înmulțim cu 3\displaystyle 3: 2x−1=3\displaystyle 2x-1=3, deci 2x=4\displaystyle 2x=4, de unde x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  5. Verificăm: 2>12\displaystyle 2>\dfrac{1}{2}, deci condiția de existență este îndeplinită. Pentru x=2\displaystyle x=2 avem log⁡53−log⁡53=0\displaystyle \log_5 3-\log_5 3=0, adevărat. Soluția ecuației este x=2\displaystyle x=2.
    x=2 care verifica˘ ecuația\displaystyle x=2\text{ care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie multiplu de 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de o cifră formează mulțimea {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.
    {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}
  2. Din această mulțime, multiplii lui 3\displaystyle 3 sunt 0\displaystyle 0, 3\displaystyle 3, 6\displaystyle 6 și 9\displaystyle 9 (0\displaystyle 0 este număr natural și este multiplu de 3\displaystyle 3), deci sunt 4\displaystyle 4 cazuri favorabile.
    4\displaystyle 4
  3. Numărul cazurilor posibile este numărul elementelor mulțimii, adică 10\displaystyle 10.
    10\displaystyle 10
  4. Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cazurile posibile, deci p=410=25\displaystyle p=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}.
    p=410=25\displaystyle p=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡(a+b)=6365\displaystyle \sin(a+b)=\frac{63}{65}, știind că a,b∈(0,π2)\displaystyle a,b\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right), sin⁡a=35\displaystyle \sin a=\frac{3}{5} și sin⁡b=1213\displaystyle \sin b=\frac{12}{13}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a folosi formula sinusului sumei, avem nevoie și de cosinusuri. Formula este sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+sin⁡bcos⁡a\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a.
    sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+sin⁡bcos⁡a\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a
  2. Din identitatea fundamentală sin⁡2a+cos⁡2a=1\displaystyle \sin^{2}a+\cos^{2}a=1 obținem cos⁡2a=1−(35)2=1−925=1625\displaystyle \cos^{2}a=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}.
    cos⁡2a=1625\displaystyle \cos^{2}a=\frac{16}{25}
  3. Cum a∈(0,π2)\displaystyle a\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), avem cos⁡a>0\displaystyle \cos a>0, deci cos⁡a=45\displaystyle \cos a=\dfrac{4}{5}.
    cos⁡a=45\displaystyle \cos a=\frac{4}{5}
  4. La fel pentru b\displaystyle b: cos⁡2b=1−(1213)2=1−144169=25169\displaystyle \cos^{2}b=1-\left(\dfrac{12}{13}\right)^{2}=1-\dfrac{144}{169}=\dfrac{25}{169}. Cum b∈(0,π2)\displaystyle b\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), avem cos⁡b>0\displaystyle \cos b>0, deci cos⁡b=513\displaystyle \cos b=\dfrac{5}{13}.
    cos⁡a=45\displaystyle \cos a=\frac{4}{5}, cos⁡b=513\displaystyle \ \cos b=\frac{5}{13}
  5. Înlocuim în formulă: sin⁡(a+b)=35⋅513+1213⋅45\displaystyle \sin(a+b)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5}{13}+\dfrac{12}{13}\cdot\dfrac{4}{5}.
    sin⁡(a+b)=35⋅513+1213⋅45\displaystyle \sin(a+b)=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{13}+\frac{12}{13}\cdot\frac{4}{5}
  6. Efectuăm produsele: 1565+4865=6365\displaystyle \dfrac{15}{65}+\dfrac{48}{65}=\dfrac{63}{65}, ceea ce trebuia arătat.
    sin⁡(a+b)=1565+4865=6365\displaystyle \sin(a+b)=\frac{15}{65}+\frac{48}{65}=\frac{63}{65}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A=(2−21−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-2\\1&-1\end{pmatrix}.

Calculați det⁡A\displaystyle \det A.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordinul doi: pentru matricea (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Înlocuim elementele matricei A\displaystyle A: a=2\displaystyle a=2, b=−2\displaystyle b=-2, c=1\displaystyle c=1, d=−1\displaystyle d=-1. Obținem 2⋅(−1)−(−2)⋅1=−2+2\displaystyle 2\cdot(-1)-(-2)\cdot 1=-2+2.
    det⁡A=∣2−21−1∣=2⋅(−1)−(−2)⋅1=−2+2\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&-2\\1&-1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)-(-2)\cdot 1=-2+2
  3. Efectuăm adunarea: −2+2=0\displaystyle -2+2=0. Deci determinantul matricei A\displaystyle A este 0\displaystyle 0.
    det⁡A=0\displaystyle \det A=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A=(2−21−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-2\\1&-1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale p\displaystyle p pentru care A⋅A=pA\displaystyle A\cdot A=pA.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, linie cu coloană. Prima linie: 2⋅2+(−2)⋅1=2\displaystyle 2\cdot 2+(-2)\cdot 1=2 și 2⋅(−2)+(−2)⋅(−1)=−2\displaystyle 2\cdot(-2)+(-2)\cdot(-1)=-2. A doua linie: 1⋅2+(−1)⋅1=1\displaystyle 1\cdot 2+(-1)\cdot 1=1 și 1⋅(−2)+(−1)⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot(-2)+(-1)\cdot(-1)=-1.
    A⋅A=(2−21−1)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}2&-2\\1&-1\end{pmatrix}
  2. Observăm că A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A. Scriem matricea pA\displaystyle pA, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu p\displaystyle p.
    pA=(2p−2pp−p)\displaystyle pA=\begin{pmatrix}2p&-2p\\p&-p\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele corespunzătoare ale matricelor A⋅A\displaystyle A\cdot A și pA\displaystyle pA. Din elementul de pe linia a doua, coloana întâi, obținem p=1\displaystyle p=1, iar celelalte egalități (2=2p\displaystyle 2=2p, −2=−2p\displaystyle -2=-2p, −1=−p\displaystyle -1=-p) dau același rezultat.
    p=1\displaystyle p=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A=(2−21−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-2\\1&-1\end{pmatrix}.

Determinați matricele B=(0bb0)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&b\\b&0\end{pmatrix}, știind că det⁡(A+B)=0\displaystyle \det(A+B)=0, unde b\displaystyle b este un număr real.
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm matricele A\displaystyle A și B\displaystyle B element cu element: A+B=(2+0−2+b1+b−1+0)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}2+0&-2+b\\1+b&-1+0\end{pmatrix}.
    A+B=(2b−2b+1−1)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}2&b-2\\b+1&-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(A+B)=2⋅(−1)−(b−2)(b+1)\displaystyle \det(A+B)=2\cdot(-1)-(b-2)(b+1).
    det⁡(A+B)=−2−(b−2)(b+1)\displaystyle \det(A+B)=-2-(b-2)(b+1)
  3. Desfacem parantezele: (b−2)(b+1)=b2−b−2\displaystyle (b-2)(b+1)=b^{2}-b-2. Atunci det⁡(A+B)=−2−b2+b+2\displaystyle \det(A+B)=-2-b^{2}+b+2.
    det⁡(A+B)=−b2+b\displaystyle \det(A+B)=-b^{2}+b
  4. Din det⁡(A+B)=0\displaystyle \det(A+B)=0 obținem −b2+b=0\displaystyle -b^{2}+b=0, adică b(1−b)=0\displaystyle b(1-b)=0.
    b(1−b)=0\displaystyle b(1-b)=0
  5. Un produs este zero când unul dintre factori este zero, deci b=0\displaystyle b=0 sau b=1\displaystyle b=1.
    b=0 sau b=1\displaystyle b=0\text{ sau }b=1
  6. Înlocuim cele două valori ale lui b\displaystyle b în matricea B\displaystyle B. Pentru b=0\displaystyle b=0 obținem matricea nulă, iar pentru b=1\displaystyle b=1 obținem matricea cu 1 pe diagonala secundară.
    B=(0000) sau B=(0110)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\text{ sau }B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=−xy+x+y\displaystyle x\circ y=-xy+x+y.

Calculați 1∘2015\displaystyle 1\circ 2015.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∘y=−xy+x+y\displaystyle x\circ y=-xy+x+y. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=2015\displaystyle y=2015.
    1∘2015=−1⋅2015+1+2015\displaystyle 1\circ 2015=-1\cdot 2015+1+2015
  2. Calculăm produsul: −1⋅2015=−2015\displaystyle -1\cdot 2015=-2015, deci expresia devine −2015+1+2015\displaystyle -2015+1+2015.
    −2015+1+2015\displaystyle -2015+1+2015
  3. Termenii −2015\displaystyle -2015 și 2015\displaystyle 2015 se reduc, deci rămâne doar 1\displaystyle 1.
    1∘2015=1\displaystyle 1\circ 2015=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=−xy+x+y\displaystyle x\circ y=-xy+x+y.

Arătați că x∘y=−(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=-(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=−xy+x+y\displaystyle x\circ y=-xy+x+y, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=−xy+x+y\displaystyle x\circ y=-xy+x+y
  2. Grupăm termenul −xy\displaystyle -xy cu termenul x\displaystyle x, dând factor comun −x\displaystyle -x: −xy+x=−x(y−1)\displaystyle -xy+x=-x(y-1). Pentru ultimul termen scriem y=(y−1)+1\displaystyle y=(y-1)+1, ca să apară factorul y−1\displaystyle y-1.
    −xy+x=−x(y−1)\displaystyle -xy+x=-x(y-1),y=(y−1)+1\displaystyle \quad y=(y-1)+1
  3. Înlocuim în expresia lui x∘y\displaystyle x\circ y și obținem: −x(y−1)+(y−1)+1\displaystyle -x(y-1)+(y-1)+1.
    x∘y=−x(y−1)+(y−1)+1\displaystyle x\circ y=-x(y-1)+(y-1)+1
  4. Dăm factor comun y−1\displaystyle y-1 între primii doi termeni: −x(y−1)+(y−1)=(−x+1)(y−1)=−(x−1)(y−1)\displaystyle -x(y-1)+(y-1)=(-x+1)(y-1)=-(x-1)(y-1).
    −x(y−1)+(y−1)=−(x−1)(y−1)\displaystyle -x(y-1)+(y-1)=-(x-1)(y-1)
  5. Adăugăm termenul rămas, +1\displaystyle +1, și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∘y=−(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=-(x-1)(y-1)+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=−xy+x+y\displaystyle x\circ y=-xy+x+y. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x∘5x=1\displaystyle 3^x\circ 5^x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∘y=−xy+x+y\displaystyle x\circ y=-xy+x+y cu x=3x\displaystyle x=3^x și y=5x\displaystyle y=5^x. Ecuația devine −3x⋅5x+3x+5x=1\displaystyle -3^x\cdot 5^x+3^x+5^x=1.
    −3x⋅5x+3x+5x=1\displaystyle -3^x\cdot 5^x+3^x+5^x=1
  2. Mutăm 1\displaystyle 1 în partea stângă: 3x⋅5x−3x−5x+1=0\displaystyle 3^x\cdot 5^x-3^x-5^x+1=0. Grupăm: 3x(5x−1)−(5x−1)=0\displaystyle 3^x\left(5^x-1\right)-\left(5^x-1\right)=0, deci ecuația este echivalentă cu o egalitate între un produs și zero.
    (3x−1)(5x−1)=0\displaystyle \left(3^x-1\right)\left(5^x-1\right)=0
  3. Un produs este nul dacă cel puțin un factor este nul: 3x−1=0 sau 5x−1=0\displaystyle 3^x-1=0\text{ sau }5^x-1=0, adică 3x=1 sau 5x=1\displaystyle 3^x=1\text{ sau }5^x=1.
    3x=1 sau 5x=1\displaystyle 3^x=1\text{ sau }5^x=1
  4. Deoarece 30=1\displaystyle 3^0=1 și 50=1\displaystyle 5^0=1, iar funcțiile exponențiale sunt injective, din 3x=1\displaystyle 3^x=1 rezultă x=0\displaystyle x=0 și din 5x=1\displaystyle 5^x=1 rezultă tot x=0\displaystyle x=0. Singura soluție reală este x=0\displaystyle x=0.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{3x}{x^2+1}.

Calculați lim⁡x→1f(x)\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem limita cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia dată: lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→13xx2+1\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1}\dfrac{3x}{x^{2}+1}.
    lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→13xx2+1\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{3x}{x^{2}+1}
  2. Observăm că f\displaystyle f este o funcție rațională definită pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece numitorul x2+1≥1>0\displaystyle x^{2}+1\geq 1>0 pentru orice x\displaystyle x. Deci f\displaystyle f este continuă în 1\displaystyle 1 și limita se află prin înlocuirea directă a lui x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1.
    x2+1≥1>0⇒f este continua˘ ıˆn 1\displaystyle x^{2}+1\geq 1>0\Rightarrow f\text{ este continuă în }1
  3. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1: numărătorul devine 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3, iar numitorul devine 12+1=2\displaystyle 1^{2}+1=2. Deci limita este 3⋅112+1=32\displaystyle \dfrac{3\cdot 1}{1^{2}+1}=\dfrac{3}{2}.
    lim⁡x→1f(x)=f(1)=3⋅112+1=32\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=f(1)=\frac{3\cdot1}{1^{2}+1}=\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{3x}{x^2+1}.

Arătați că f′(x)=−3(x−1)(x+1)(x2+1)2\displaystyle f'(x)=-\frac{3(x-1)(x+1)}{\left(x^2+1\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un raport f(x)=u(x)v(x)\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, cu u(x)=3x\displaystyle u(x)=3x și v(x)=x2+1\displaystyle v(x)=x^{2}+1. Folosim formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: u′(x)=3\displaystyle u'(x)=3 și v′(x)=2x\displaystyle v'(x)=2x.
    u′(x)=3\displaystyle u'(x)=3, v′(x)=2x\displaystyle \ v'(x)=2x
  3. Înlocuim în formulă și obținem expresia derivatei.
    f′(x)=3(x2+1)−3x⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3\left(x^2+1\right)-3x\cdot 2x}{\left(x^2+1\right)^2}
  4. Efectuăm calculele la numărător: 3x2+3−6x2=3−3x2\displaystyle 3x^{2}+3-6x^{2}=3-3x^{2}.
    f′(x)=3−3x2(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3-3x^{2}}{\left(x^2+1\right)^2}
  5. Dăm factor comun 3 la numărător și obținem 3(1−x2)\displaystyle 3\left(1-x^{2}\right). Apoi scriem 1−x2=−(x2−1)=−(x−1)(x+1)\displaystyle 1-x^{2}=-\left(x^{2}-1\right)=-(x-1)(x+1), folosind diferența de pătrate. Rezultă formula cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0.
    f′(x)=3−3x2(x2+1)2=−3(x−1)(x+1)(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3-3x^2}{\left(x^2+1\right)^2}=-\dfrac{3(x-1)(x+1)}{\left(x^2+1\right)^2}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{3x}{x^2+1}.

Determinați intervalele de monotonie ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este definită pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece numitorul x2+1\displaystyle x^2+1 este pozitiv. Calculăm derivata cu formula (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, cu u=3x\displaystyle u=3x și v=x2+1\displaystyle v=x^2+1.
    f′(x)=3(x2+1)−3x⋅2x(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3(x^2+1)-3x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}
  2. Simplificăm numărătorul: 3x2+3−6x2=3−3x2=3(1−x2)\displaystyle 3x^2+3-6x^2=3-3x^2=3(1-x^2).
    f′(x)=3(1−x2)(x2+1)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3(1-x^2)}{(x^2+1)^2}
  3. Aflăm rădăcinile derivatei. Numitorul este strict pozitiv, deci derivata se anulează când 1−x2=0\displaystyle 1-x^2=0, adică x=−1\displaystyle x=-1 sau x=1\displaystyle x=1.
    f′(x)=0⇔x1=−1 și x2=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x_1=-1\text{ și }x_2=1
  4. Studiem semnul derivatei. Cum numitorul (x2+1)2\displaystyle (x^2+1)^2 este pozitiv, semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este cel al lui 1−x2\displaystyle 1-x^2. Acesta este negativ pentru x<−1\displaystyle x<-1, pozitiv pentru x∈(−1,1)\displaystyle x\in(-1,1) și negativ pentru x>1\displaystyle x>1.
    x−∞−11+∞f′(x)−0+0−\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \end{array}
  5. Pe intervalul (−∞,−1]\displaystyle (-\infty,-1] derivata este negativă sau nulă, deci f\displaystyle f este descrescătoare.
    f′(x)≤0 pentru orice x∈(−∞,−1]⇒f este descresca˘toare pe (−∞,−1]\displaystyle f'(x)\le0\text{ pentru orice }x\in(-\infty,-1]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }(-\infty,-1]
  6. Pe intervalul [−1,1]\displaystyle [-1,1] derivata este pozitivă sau nulă, deci f\displaystyle f este crescătoare.
    f′(x)≥0 pentru orice x∈[−1,1]⇒f este cresca˘toare pe [−1,1]\displaystyle f'(x)\ge0\text{ pentru orice }x\in[-1,1]\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }[-1,1]
  7. Pe intervalul [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) derivata este negativă sau nulă, deci f\displaystyle f este descrescătoare. Acesta este răspunsul final.
    f′(x)≤0 pentru orice x∈[1,+∞)⇒f este descresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle f'(x)\le0\text{ pentru orice }x\in[1,+\infty)\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5+x\displaystyle f(x)=x^5+x.

Calculați ∫−11x5 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}x^5\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Cerința este să calculăm ∫−11x5 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}x^{5}\,dx. Funcția x5\displaystyle x^{5} este continuă pe [−1,1]\displaystyle [-1,1], deci putem aplica formula Leibniz-Newton, după ce găsim o primitivă.
    ∫−11x5 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}x^{5}\,dx
  2. Folosim formula primitivei unei puteri: ∫xn dx=xn+1n+1\displaystyle \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Pentru n=5\displaystyle n=5 obținem primitiva x66\displaystyle \dfrac{x^{6}}{6}. Scriem integrala definită cu limitele −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1.
    ∫−11x5 dx=x66∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}x^{5}\,dx=\frac{x^{6}}{6}\Big|_{-1}^{1}
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 minus valoarea ei în −1\displaystyle -1. Avem 166=16\displaystyle \dfrac{1^{6}}{6}=\dfrac{1}{6}, iar (−1)66=16\displaystyle \dfrac{(-1)^{6}}{6}=\dfrac{1}{6}, deoarece puterea 6\displaystyle 6 este pară.
    166−(−1)66=16−16\displaystyle \frac{1^{6}}{6}-\frac{(-1)^{6}}{6}=\frac{1}{6}-\frac{1}{6}
  4. Scădem cele două fracții egale și obținem 0\displaystyle 0. Rezultatul era de așteptat: funcția x5\displaystyle x^{5} este impară, iar intervalul [−1,1]\displaystyle [-1,1] este simetric față de origine.
    16−16=0\displaystyle \frac{1}{6}-\frac{1}{6}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5+x\displaystyle f(x)=x^5+x.

Arătați că ∫01(f(x)−x5)ex dx=1\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-x^5\right)e^x\,dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Din f(x)=x5+x\displaystyle f(x)=x^{5}+x obținem f(x)−x5=x\displaystyle f(x)-x^{5}=x. Integrala devine ∫01xex dx\displaystyle \int_0^1 x e^x\,dx.
    ∫01(f(x)−x5)ex dx=∫01xex dx\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-x^{5}\right)e^x\,dx=\int_0^1 xe^x\,dx
  2. Folosim formula ∫abu dv=uv∣ab−∫abv du\displaystyle \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du. Alegem u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=x\displaystyle u=x, dv=ex dx\displaystyle \ dv=e^x\,dx, du=dx\displaystyle \ du=dx, v=ex\displaystyle \ v=e^x
  3. Înlocuind în formulă, obținem ∫01xex dx=xex∣01−∫01ex dx\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx=xe^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^x\,dx.
    ∫01xex dx=xex∣01−∫01ex dx\displaystyle \int_0^1xe^x\,dx=xe^x\Big|_0^1-\int_0^1e^x\,dx
  4. Calculăm xex∣01=1⋅e1−0⋅e0=e\displaystyle xe^x\Big|_0^1=1\cdot e^1-0\cdot e^0=e.
    xex∣01=e−0=e\displaystyle xe^x\Big|_0^1=e-0=e
  5. Calculăm ∫01ex dx=ex∣01=e−1\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1=e-1.
    ∫01ex dx=e−1\displaystyle \int_0^1e^x\,dx=e-1
  6. Atunci ∫01xex dx=e−(e−1)=e−e+1=1\displaystyle \int_0^1 xe^x\,dx=e-(e-1)=e-e+1=1, deci integrala dată este egală cu 1\displaystyle 1.
    e−0−e+1=1\displaystyle e-0-e+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5+x\displaystyle f(x)=x^5+x.

Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[1,2]→R\displaystyle g:[1,2]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)−xx3\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-x}{x^3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x5+x\displaystyle f(x)=x^5+x în expresia lui g\displaystyle g: g(x)=(x5+x)−xx3\displaystyle g(x)=\dfrac{(x^5+x)-x}{x^3}.
    g(x)=(x5+x)−xx3\displaystyle g(x)=\dfrac{(x^5+x)-x}{x^3}
  2. Reducem termenii x\displaystyle x și −x\displaystyle -x, apoi simplificăm cu x3\displaystyle x^3, deoarece x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2] este nenul: g(x)=x5x3=x2\displaystyle g(x)=\dfrac{x^5}{x^3}=x^2.
    g(x)=x2\displaystyle g(x)=x^2
  3. Volumul corpului de rotație este V=π∫12g2(x) dx\displaystyle V=\pi\displaystyle\int_1^2 g^2(x)\,dx. Cum g(x)=x2\displaystyle g(x)=x^2, avem g2(x)=x4\displaystyle g^2(x)=x^4.
    V=π∫12x4 dx\displaystyle V=\pi\int_1^2 x^4\,dx
  4. O primitivă a lui x4\displaystyle x^4 este x55\displaystyle \dfrac{x^5}{5}, deci V=πx55∣12\displaystyle V=\pi\dfrac{x^5}{5}\Big|_1^2.
    V=π x55∣12\displaystyle V=\pi\,\dfrac{x^5}{5}\Big|_1^2
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: V=π(255−155)=π⋅32−15\displaystyle V=\pi\left(\dfrac{2^5}{5}-\dfrac{1^5}{5}\right)=\pi\cdot\dfrac{32-1}{5}.
    V=π(325−15)=315π\displaystyle V=\pi\left(\dfrac{32}{5}-\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{31}{5}\pi
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.