Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 17: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că media geometrică a numerelor x=25\displaystyle x=25 și y=144\displaystyle y=144 este egală cu 60\displaystyle 60.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula mediei geometrice a două numere pozitive x\displaystyle x și y\displaystyle y: mg=xy\displaystyle m_g=\sqrt{xy}.
    mg=xy\displaystyle m_g=\sqrt{xy}
  2. Înlocuim x=25\displaystyle x=25 și y=144\displaystyle y=144 în formulă.
    mg=25⋅144\displaystyle m_g=\sqrt{25\cdot 144}
  3. Radicalul unui produs de numere pozitive este produsul radicalilor, iar 25\displaystyle 25 și 144\displaystyle 144 sunt pătrate perfecte: 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5, 144=12\displaystyle \sqrt{144}=12.
    25⋅144=25⋅144=5⋅12\displaystyle \sqrt{25\cdot 144}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{144}=5\cdot 12
  4. Calculăm produsul 5⋅12=60\displaystyle 5\cdot 12=60, deci media geometrică este egală cu 60\displaystyle 60.
    mg=5⋅12=60\displaystyle m_g=5\cdot 12=60
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(1)=0\displaystyle f(1)=0, unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+m\displaystyle f(x)=x^2+m.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției f(x)=x2+m\displaystyle f(x)=x^{2}+m.
    f(1)=12+m\displaystyle f(1)=1^{2}+m
  2. Calculăm 12=1\displaystyle 1^{2}=1, deci f(1)\displaystyle f(1) este 1+m\displaystyle 1+m.
    f(1)=1+m\displaystyle f(1)=1+m
  3. Punem condiția f(1)=0\displaystyle f(1)=0, adică 1+m=0\displaystyle 1+m=0.
    1+m=0\displaystyle 1+m=0
  4. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri ai ecuației și obținem m=−1\displaystyle m=-1.
    1+m=0⇔m=−1\displaystyle 1+m=0\Leftrightarrow m=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+4=5\displaystyle \sqrt{x+4}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie mai mare sau egală cu zero, deci x+4≥0\displaystyle x+4\geq 0, adică x≥−4\displaystyle x\geq -4.
    x∈[−4,+∞)\displaystyle x\in[-4,+\infty)
  2. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat: (x+4)2=52\displaystyle \left(\sqrt{x+4}\right)^{2}=5^{2}. Cum ambii membri sunt nenegativi, obținem x+4=25\displaystyle x+4=25.
    x+4=25\displaystyle x+4=25
  3. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: x=25−4=21\displaystyle x=25-4=21.
    x=21\displaystyle x=21
  4. Verificăm soluția: 21≥−4\displaystyle 21\geq -4, deci respectă condiția de existență. Înlocuind în ecuație, 21+4=25=5\displaystyle \sqrt{21+4}=\sqrt{25}=5, deci egalitatea este adevărată. Soluția convine.
    x=21, care convine\displaystyle x=21\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, acesta să nu fie multiplu de 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea A\displaystyle A are 9\displaystyle 9 elemente, deci putem alege oricare dintre cele 9\displaystyle 9 numere.
    nr. cazuri posibile=9\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=9
  2. Identificăm multiplii lui 3\displaystyle 3 din mulțime: sunt 3\displaystyle 3, 6\displaystyle 6 și 9\displaystyle 9, deci sunt 3\displaystyle 3 numere care sunt multiplu de 3\displaystyle 3.
    {3,6,9}\displaystyle \{3,6,9\}
  3. Cazurile favorabile sunt numerele care nu sunt multiplu de 3\displaystyle 3: din 9\displaystyle 9 numere scădem cele 3\displaystyle 3 multipli de 3\displaystyle 3. Rămân numerele 1,2,4,5,7,8\displaystyle 1,2,4,5,7,8.
    nr. cazuri favorabile=9−3=6\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=9-3=6
  4. Aplicăm definiția clasică a probabilității: raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi simplificăm fracția prin 3\displaystyle 3.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=69=23\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−2,4)\displaystyle A(-2,4) și B(8,4)\displaystyle B(8,4). Determinați lungimea medianei din vârful O\displaystyle O al triunghiului AOB\displaystyle AOB.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din O\displaystyle O unește vârful O\displaystyle O cu mijlocul M\displaystyle M al laturii opuse AB\displaystyle AB. Coordonatele mijlocului sunt xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2},yM=yA+yB2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(−2,4)\displaystyle A(-2,4) și B(8,4)\displaystyle B(8,4): xM=−2+82=3\displaystyle x_M=\dfrac{-2+8}{2}=3 și yM=4+42=4\displaystyle y_M=\dfrac{4+4}{2}=4.
    M(3,4)\displaystyle M(3,4)
  3. Lungimea medianei este distanța OM\displaystyle OM, cu O(0,0)\displaystyle O(0,0) și M(3,4)\displaystyle M(3,4): OM=(3−0)2+(4−0)2=9+16=25\displaystyle OM=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}.
    OM=32+42=25=5\displaystyle OM=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați sin⁡x\displaystyle \sin x, știind că x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=32\displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim identitatea fundamentală a trigonometriei sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 și exprimăm sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x.
    sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x
  2. Înlocuim cos⁡x=32\displaystyle \cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și obținem (32)2=34\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\dfrac{3}{4}.
    sin⁡2x=1−(32)2=1−34\displaystyle \sin^{2}x=1-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=1-\frac{3}{4}
  3. Calculăm 1−34=44−34=14\displaystyle 1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{4}{4}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}.
    sin⁡2x=14\displaystyle \sin^{2}x=\frac{1}{4}
  4. Din sin⁡2x=14\displaystyle \sin^{2}x=\dfrac{1}{4} rezultă sin⁡x=±12\displaystyle \sin x=\pm\dfrac{1}{2}.
    sin⁡x=±12\displaystyle \sin x=\pm\frac{1}{2}
  5. Cum x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), avem sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0, deci alegem valoarea pozitivă.
    sin⁡x=12\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\2&1\end{pmatrix}, B=(−4004)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-4&0\\0&4\end{pmatrix} și M(x)=(x123)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x&1\\2&3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=−5\displaystyle \det A=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea este A=(1321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\2&1\end{pmatrix}. Pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} avem det⁡=ad−bc\displaystyle \det=ad-bc, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡A=∣1321∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&3\\2&1\end{vmatrix}
  2. Diagonala principală are elementele 1\displaystyle 1 și 1\displaystyle 1, iar diagonala secundară are elementele 3\displaystyle 3 și 2\displaystyle 2. Obținem det⁡A=1⋅1−2⋅3\displaystyle \det A=1\cdot 1-2\cdot 3.
    det⁡A=1⋅1−2⋅3\displaystyle \det A=1\cdot 1-2\cdot 3
  3. Efectuăm înmulțirile: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1 și 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6. Atunci det⁡A=1−6=−5\displaystyle \det A=1-6=-5, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡A=1−6=−5\displaystyle \det A=1-6=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\2&1\end{pmatrix}, B=(−4004)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-4&0\\0&4\end{pmatrix} și M(x)=(x123)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x&1\\2&3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A+M(−1))=det⁡B\displaystyle \det(A+M(-1))=\det B.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 în matricea M(x)\displaystyle M(x) și obținem matricea M(−1)\displaystyle M(-1).
    M(−1)=(−1123)\displaystyle M(-1)=\begin{pmatrix}-1&1\\2&3\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea A\displaystyle A cu M(−1)\displaystyle M(-1), element cu element.
    A+M(−1)=(1+(−1)3+12+21+3)=(0444)\displaystyle A+M(-1)=\begin{pmatrix}1+(-1)&3+1\\2+2&1+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&4\\4&4\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul matricei A+M(−1)\displaystyle A+M(-1) ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A+M(−1))=0⋅4−4⋅4=−16\displaystyle \det(A+M(-1))=0\cdot4-4\cdot4=-16
  4. Calculăm determinantul matricei B\displaystyle B în același mod și îl comparăm cu rezultatul anterior.
    det⁡B=(−4)⋅4−0⋅0=−16, deci det⁡(A+M(−1))=det⁡B\displaystyle \det B=(-4)\cdot4-0\cdot0=-16\text{, deci }\det(A+M(-1))=\det B
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\2&1\end{pmatrix}, B=(−4004)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-4&0\\0&4\end{pmatrix} și M(x)=(x123)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x&1\\2&3\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care M(x)⋅A−A⋅M(x)=B\displaystyle M(x)\cdot A-A\cdot M(x)=B.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul M(x)⋅A\displaystyle M(x)\cdot A, înmulțind liniile lui M(x)\displaystyle M(x) cu coloanele lui A\displaystyle A. Primul rând: x⋅1+1⋅2=x+2\displaystyle x\cdot 1+1\cdot 2=x+2 și x⋅3+1⋅1=3x+1\displaystyle x\cdot 3+1\cdot 1=3x+1. Al doilea rând: 2⋅1+3⋅2=8\displaystyle 2\cdot 1+3\cdot 2=8 și 2⋅3+3⋅1=9\displaystyle 2\cdot 3+3\cdot 1=9.
    M(x)⋅A=(x+23x+189)\displaystyle M(x)\cdot A=\begin{pmatrix}x+2&3x+1\\8&9\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A⋅M(x)\displaystyle A\cdot M(x). Primul rând: 1⋅x+3⋅2=x+6\displaystyle 1\cdot x+3\cdot 2=x+6 și 1⋅1+3⋅3=10\displaystyle 1\cdot 1+3\cdot 3=10. Al doilea rând: 2⋅x+1⋅2=2x+2\displaystyle 2\cdot x+1\cdot 2=2x+2 și 2⋅1+1⋅3=5\displaystyle 2\cdot 1+1\cdot 3=5.
    A⋅M(x)=(x+6102x+25)\displaystyle A\cdot M(x)=\begin{pmatrix}x+6&10\\2x+2&5\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element: x+2−(x+6)=−4\displaystyle x+2-(x+6)=-4, 3x+1−10=3x−9\displaystyle 3x+1-10=3x-9, 8−(2x+2)=6−2x\displaystyle 8-(2x+2)=6-2x, 9−5=4\displaystyle 9-5=4.
    M(x)⋅A−A⋅M(x)=(−43x−96−2x4)\displaystyle M(x)\cdot A-A\cdot M(x)=\begin{pmatrix}-4&3x-9\\6-2x&4\end{pmatrix}
  4. Egalăm matricea obținută cu B\displaystyle B. Elementele de pe diagonală coincid deja (−4\displaystyle -4 și 4\displaystyle 4). Din elementele din afara diagonalei obținem ecuațiile 3x−9=0\displaystyle 3x-9=0 și 6−2x=0\displaystyle 6-2x=0.
    (−43x−96−2x4)=(−4004)⇔3x−9=0 și 6−2x=0\displaystyle \begin{pmatrix}-4&3x-9\\6-2x&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&0\\0&4\end{pmatrix}\Leftrightarrow 3x-9=0\text{ și }6-2x=0
  5. Rezolvăm ecuațiile: 3x=9\displaystyle 3x=9, deci x=3\displaystyle x=3, iar 2x=6\displaystyle 2x=6, deci tot x=3\displaystyle x=3. Ambele ecuații dau aceeași valoare, deci x=3\displaystyle x=3 convine.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−90\displaystyle x*y=x+y-90.

Arătați că 90∗1=1\displaystyle 90*1=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∗y=x+y−90\displaystyle x*y=x+y-90, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=x+y−90\displaystyle x*y=x+y-90
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 90\displaystyle 90 și y\displaystyle y cu 1\displaystyle 1 în definiția legii.
    90∗1=90+1−90\displaystyle 90*1=90+1-90
  3. Reducem termenii 90\displaystyle 90 și −90\displaystyle -90, care dau 0\displaystyle 0, iar rămâne 0+1\displaystyle 0+1, adică 1\displaystyle 1. Am obținut exact egalitatea cerută.
    90+1−90=0+1=1\displaystyle 90+1-90=0+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−90\displaystyle x*y=x+y-90.

Demonstrați că (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z), pentru orice numere reale x\displaystyle x, y\displaystyle y și z\displaystyle z.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a demonstra asociativitatea, calculăm separat cei doi membri ai egalității, folosind definiția legii x∗y=x+y−90\displaystyle x*y=x+y-90. Începem cu membrul stâng: mai întâi calculăm x∗y\displaystyle x*y.
    x∗y=x+y−90\displaystyle x*y=x+y-90
  2. Acum aplicăm legea între x+y−90\displaystyle x+y-90 și z\displaystyle z: adunăm cele două numere și scădem 90\displaystyle 90.
    (x∗y)∗z=(x+y−90)∗z=x+y−90+z−90\displaystyle (x*y)*z=(x+y-90)*z=x+y-90+z-90
  3. Reducem termenii asemenea: cele două scăderi de 90\displaystyle 90 dau scăderea lui 180\displaystyle 180. Membrul stâng devine x+y+z−180\displaystyle x+y+z-180.
    (x∗y)∗z=x+y+z−180\displaystyle (x*y)*z=x+y+z-180
  4. Trecem la membrul drept. Mai întâi calculăm y∗z\displaystyle y*z.
    y∗z=y+z−90\displaystyle y*z=y+z-90
  5. Aplicăm legea între x\displaystyle x și y+z−90\displaystyle y+z-90: adunăm cele două numere și scădem 90\displaystyle 90.
    x∗(y∗z)=x∗(y+z−90)=x+y+z−90−90\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z-90)=x+y+z-90-90
  6. Reducem termenii asemenea și obținem x+y+z−180\displaystyle x+y+z-180, adică exact expresia membrului stâng. Deci egalitatea are loc pentru orice numere reale x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z.
    x∗(y∗z)=x+y+z−180=(x∗y)∗z\displaystyle x*(y*z)=x+y+z-180=(x*y)*z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−90\displaystyle x*y=x+y-90.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (x2)∗(2x+1)=−74\displaystyle (x^2)*(2x+1)=-74.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm legea x∗y=x+y−90\displaystyle x*y=x+y-90 pentru x2\displaystyle x^{2} și 2x+1\displaystyle 2x+1: (x2)∗(2x+1)=x2+(2x+1)−90\displaystyle (x^{2})*(2x+1)=x^{2}+(2x+1)-90.
    (x2)∗(2x+1)=x2+2x+1−90\displaystyle (x^{2})*(2x+1)=x^{2}+2x+1-90
  2. Reducem termenii constanți: 1−90=−89\displaystyle 1-90=-89, deci expresia devine x2+2x−89\displaystyle x^{2}+2x-89.
    (x2)∗(2x+1)=x2+2x−89\displaystyle (x^{2})*(2x+1)=x^{2}+2x-89
  3. Punem condiția din enunț: x2+2x−89=−74\displaystyle x^{2}+2x-89=-74.
    x2+2x−89=−74\displaystyle x^{2}+2x-89=-74
  4. Adunăm 74\displaystyle 74 în ambii membri: x2+2x−89+74=0\displaystyle x^{2}+2x-89+74=0, adică x2+2x−15=0\displaystyle x^{2}+2x-15=0.
    x2+2x−15=0\displaystyle x^{2}+2x-15=0
  5. Pentru a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=−15\displaystyle c=-15 avem Δ=b2−4ac=4+60=64\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=4+60=64, deci Δ=8\displaystyle \sqrt{\Delta}=8.
    Δ=64\displaystyle \Delta=64
  6. Aplicăm formula x=−b±Δ2a=−2±82\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2\pm 8}{2}, de unde x=−5\displaystyle x=-5 sau x=3\displaystyle x=3. Verificare: pentru x=3\displaystyle x=3 avem 9+6−89=−74\displaystyle 9+6-89=-74, iar pentru x=−5\displaystyle x=-5 avem 25−10−89=−74\displaystyle 25-10-89=-74.
    x=−5 sau x=3\displaystyle x=-5\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3−12x+11\displaystyle f(x)=4x^3-12x+11.

Arătați că f′(x)=12(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=12(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen, folosind regula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}, iar derivata unei constante este 0\displaystyle 0. Avem f′(x)=(4x3)′−(12x)′+(11)′\displaystyle f'(x)=(4x^{3})'-(12x)'+(11)'.
    f′(x)=(4x3)′−(12x)′+(11)′\displaystyle f'(x)=(4x^{3})'-(12x)'+(11)'
  2. Calculăm fiecare derivată: (4x3)′=12x2\displaystyle (4x^{3})'=12x^{2}, (12x)′=12\displaystyle (12x)'=12 și (11)′=0\displaystyle (11)'=0. Obținem f′(x)=12x2−12\displaystyle f'(x)=12x^{2}-12.
    f′(x)=12x2−12\displaystyle f'(x)=12x^{2}-12
  3. Dăm factor comun pe 12\displaystyle 12: 12x2−12=12(x2−1)\displaystyle 12x^{2}-12=12(x^{2}-1).
    12x2−12=12(x2−1)\displaystyle 12x^{2}-12=12(x^{2}-1)
  4. Descompunem diferența de pătrate: x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1). Astfel derivata are forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=12(x2−1)=12(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=12(x^{2}-1)=12(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3−12x+11\displaystyle f(x)=4x^3-12x+11.

Calculați lim⁡x→+∞f(x)−4x3x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-4x^3}{x}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=4x3−12x+11\displaystyle f(x)=4x^{3}-12x+11 în numărător: f(x)−4x3=4x3−12x+11−4x3\displaystyle f(x)-4x^{3}=4x^{3}-12x+11-4x^{3}.
    f(x)−4x3=4x3−12x+11−4x3\displaystyle f(x)-4x^{3}=4x^{3}-12x+11-4x^{3}
  2. Reducem termenii 4x3\displaystyle 4x^{3} și −4x3\displaystyle -4x^{3}, deci numărătorul devine −12x+11\displaystyle -12x+11. Limita devine lim⁡x→+∞−12x+11x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{-12x+11}{x}.
    lim⁡x→+∞f(x)−4x3x=lim⁡x→+∞−12x+11x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-4x^{3}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{-12x+11}{x}
  3. Împărțim fiecare termen al numărătorului la x\displaystyle x: −12x+11x=−12xx+11x=−12+11x\displaystyle \dfrac{-12x+11}{x}=\dfrac{-12x}{x}+\dfrac{11}{x}=-12+\dfrac{11}{x}.
    lim⁡x→+∞(−12+11x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(-12+\frac{11}{x}\right)
  4. Calculăm limita termen cu termen: −12\displaystyle -12 rămâne constant, iar 11x→0\displaystyle \dfrac{11}{x}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty. Deci limita este −12\displaystyle -12.
    lim⁡x→+∞(−12+11x)=−12+0=−12\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(-12+\frac{11}{x}\right)=-12+0=-12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x3−12x+11\displaystyle f(x)=4x^3-12x+11.

Demonstrați că 3≤f(x)≤19\displaystyle 3\le f(x)\le 19, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1].
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=4x3−12x+11\displaystyle f(x)=4x^{3}-12x+11 și obținem derivata de mai jos.
    f′(x)=12x2−12\displaystyle f'(x)=12x^{2}-12
  2. Dăm factor comun pe 12\displaystyle 12 și folosim diferența de pătrate: f′(x)=12(x2−1)\displaystyle f'(x)=12(x^{2}-1).
    f′(x)=12(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=12(x-1)(x+1)
  3. Pentru x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1] avem x2≤1\displaystyle x^{2}\le 1, deci x2−1≤0\displaystyle x^{2}-1\le 0 și f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0. Rezultă că f\displaystyle f este descrescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1].
    f′(x)≤0, pentru orice x∈[−1,1], deci f este descresca˘toare pe [−1,1]\displaystyle f'(x)\le 0\text{, pentru orice }x\in[-1,1]\text{, deci }f\text{ este descrescătoare pe }[-1,1]
  4. Calculăm f(−1)=4⋅(−1)3−12⋅(−1)+11=−4+12+11\displaystyle f(-1)=4\cdot(-1)^{3}-12\cdot(-1)+11=-4+12+11.
    f(−1)=19\displaystyle f(-1)=19
  5. Calculăm f(1)=4⋅13−12⋅1+11=4−12+11\displaystyle f(1)=4\cdot 1^{3}-12\cdot 1+11=4-12+11.
    f(1)=3\displaystyle f(1)=3
  6. Deoarece f\displaystyle f este descrescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1], pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1] avem −1≤x≤1\displaystyle -1\le x\le 1, deci f(1)≤f(x)≤f(−1)\displaystyle f(1)\le f(x)\le f(-1). Înlocuind valorile, obținem inegalitatea cerută.
    f(−1)=19\displaystyle f(-1)=19, f(1)=3 și f(1)≤f(x)≤f(−1)⇒3≤f(x)≤19\displaystyle \ f(1)=3\text{ și }f(1)\le f(x)\le f(-1)\Rightarrow 3\le f(x)\le 19
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5x+1x\displaystyle f(x)=5x+\frac{1}{x}.

Arătați că ∫24(f(x)−1x)dx=30\displaystyle \int_2^4\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=30.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=5x+1x\displaystyle f(x)=5x+\dfrac{1}{x} în integrand: f(x)−1x=5x+1x−1x=5x\displaystyle f(x)-\dfrac{1}{x}=5x+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}=5x.
    f(x)−1x=5x\displaystyle f(x)-\frac{1}{x}=5x
  2. Integrala devine ∫245x dx\displaystyle \int_2^4 5x\,dx. O primitivă a lui 5x\displaystyle 5x este 5x22\displaystyle \dfrac{5x^{2}}{2}, deci, cu formula Leibniz-Newton, avem ∫245x dx=5x22∣24\displaystyle \int_2^4 5x\,dx=\dfrac{5x^{2}}{2}\Big|_2^4.
    ∫24(f(x)−1x)dx=∫245x dx=5x22∣24\displaystyle \int_2^4\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)dx=\int_2^4 5x\,dx=\frac{5x^{2}}{2}\Big|_2^4
  3. Calculăm diferența valorilor primitivei în 4\displaystyle 4 și în 2\displaystyle 2: 5⋅422−5⋅222=52⋅(16−4)=52⋅12=30\displaystyle \dfrac{5\cdot 4^{2}}{2}-\dfrac{5\cdot 2^{2}}{2}=\dfrac{5}{2}\cdot(16-4)=\dfrac{5}{2}\cdot 12=30.
    52⋅(16−4)=52⋅12=30\displaystyle \frac{5}{2}\cdot(16-4)=\frac{5}{2}\cdot 12=30
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5x+1x\displaystyle f(x)=5x+\frac{1}{x}.

Demonstrați că funcția F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=5x2+20202+ln⁡x\displaystyle F(x)=\frac{5x^2+2020}{2}+\ln x este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f, trebuie să arătăm că F\displaystyle F este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și că F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x). Scriem derivata lui F\displaystyle F, folosind faptul că derivata unei sume este suma derivatelor.
    F′(x)=(5x2+20202+ln⁡x)′=(5x2+20202)′+(ln⁡x)′\displaystyle F'(x)=\left(\frac{5x^2+2020}{2}+\ln x\right)'=\left(\frac{5x^2+2020}{2}\right)'+(\ln x)'
  2. Derivăm primul termen: numitorul 2\displaystyle 2 este constant, derivata lui 5x2\displaystyle 5x^2 este 10x\displaystyle 10x, iar derivata constantei 2020\displaystyle 2020 este 0\displaystyle 0.
    (5x2+20202)′=10x+02=10x2=5x\displaystyle \left(\frac{5x^2+2020}{2}\right)'=\frac{10x+0}{2}=\frac{10x}{2}=5x
  3. Derivata lui ln⁡x\displaystyle \ln x pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}. Adunăm cele două derivate și obținem f(x)\displaystyle f(x).
    F′(x)=10x2+1x=5x+1x=f(x)\displaystyle F'(x)=\frac{10x}{2}+\frac{1}{x}=5x+\frac{1}{x}=f(x)
  4. Egalitatea F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) are loc pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), deci F\displaystyle F este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
    F′(x)=f(x), pentru orice x∈(0,+∞), deci F este o primitiva˘ a \displaystyle F'(x)=f(x)\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\text{, deci }F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=5x+1x\displaystyle f(x)=5x+\frac{1}{x}.

Calculați ∫1e(f(x)−5x)ln⁡x dx\displaystyle \int_1^e\left(f(x)-5x\right)\ln x\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Din f(x)=5x+1x\displaystyle f(x)=5x+\dfrac{1}{x} obținem f(x)−5x=1x\displaystyle f(x)-5x=\dfrac{1}{x}, deoarece termenul 5x\displaystyle 5x se reduce.
    f(x)−5x=1x\displaystyle f(x)-5x=\dfrac{1}{x}
  2. Integrala devine ∫1e(f(x)−5x)ln⁡x dx=∫1e1xln⁡x dx=∫1eln⁡xx dx\displaystyle \displaystyle\int_1^e\left(f(x)-5x\right)\ln x\,dx=\int_1^e\dfrac{1}{x}\ln x\,dx=\int_1^e\dfrac{\ln x}{x}\,dx.
    ∫1eln⁡xx dx\displaystyle \int_1^e\dfrac{\ln x}{x}\,dx
  3. Deoarece (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, integrala se scrie ∫1e(ln⁡x)′ln⁡x dx\displaystyle \displaystyle\int_1^e(\ln x)'\ln x\,dx. Aceasta are forma ∫u′u dx=u22\displaystyle \displaystyle\int u'u\,dx=\dfrac{u^{2}}{2}, cu u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x, deci o primitivă este ln⁡2x2\displaystyle \dfrac{\ln^{2}x}{2}.
    ∫1e(ln⁡x)′ln⁡x dx=ln⁡2x2∣1e\displaystyle \int_1^e(\ln x)'\ln x\,dx=\dfrac{\ln^{2}x}{2}\Big|_1^e
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton și folosim ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0: ln⁡2e2−ln⁡212=12−0=12\displaystyle \dfrac{\ln^{2}e}{2}-\dfrac{\ln^{2}1}{2}=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}.
    ln⁡2e2−ln⁡212=12\displaystyle \dfrac{\ln^{2}e}{2}-\dfrac{\ln^{2}1}{2}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.