Bac matematică M3 tehnologic 2021, model, test de evaluare 4: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2⋅8,5+10,5:3,5=20\displaystyle 2\cdot 8,5+10,5:3,5=20.
Vezi rezolvarea
  1. Respectăm ordinea operațiilor: mai întâi efectuăm înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea. Calculăm produsul 2⋅8,5\displaystyle 2\cdot 8,5.
    2⋅8\displaystyle 2\cdot 8,5=17\displaystyle 5=17
  2. Pentru câtul 10,5:3,5\displaystyle 10,5:3,5, amplificăm ambii termeni cu 10\displaystyle 10, ca să scăpăm de zecimale: obținem 105:35\displaystyle 105:35. Expresia devine 17+105:35\displaystyle 17+105:35.
    2⋅8\displaystyle 2\cdot 8,5+10\displaystyle 5+10,5:3\displaystyle 5:3,5=17+105:35\displaystyle 5=17+105:35
  3. Calculăm câtul: 35⋅3=105\displaystyle 35\cdot 3=105, deci 105:35=3\displaystyle 105:35=3.
    105:35=3\displaystyle 105:35=3
  4. Efectuăm adunarea: 17+3=20\displaystyle 17+3=20, deci egalitatea cerută este adevărată.
    17+3=20\displaystyle 17+3=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A(2,−2)\displaystyle A(2,-2) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−3x+a+1\displaystyle f(x)=-3x+a+1.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(2,−2)\displaystyle A(2,-2) aparține graficului funcției dacă f(2)=−2\displaystyle f(2)=-2, adică atunci când x=2\displaystyle x=2 funcția ia valoarea −2\displaystyle -2.
    f(2)=−2\displaystyle f(2)=-2
  2. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în expresia f(x)=−3x+a+1\displaystyle f(x)=-3x+a+1 și egalăm cu −2\displaystyle -2.
    −3⋅2+a+1=−2⇒−6+a+1=−2\displaystyle -3\cdot 2+a+1=-2 \Rightarrow -6+a+1=-2
  3. Reducem termenii constanți: −6+1=−5\displaystyle -6+1=-5, deci ecuația devine a−5=−2\displaystyle a-5=-2.
    a−5=−2\displaystyle a-5=-2
  4. Adunăm 5\displaystyle 5 în ambii membri: a=−2+5\displaystyle a=-2+5.
    a=3\displaystyle a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 106−2x=1002\displaystyle 10^{6-2x}=100^2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem baza din membrul drept ca putere a lui 10: 100=102\displaystyle 100=10^{2}.
    100=102\displaystyle 100=10^{2}
  2. Ridicăm la puterea a doua, folosind regula (am)n=amn\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}: 1002=(102)2=104\displaystyle 100^{2}=\left(10^{2}\right)^{2}=10^{4}.
    1002=(102)2=104\displaystyle 100^{2}=\left(10^{2}\right)^{2}=10^{4}
  3. Ecuația devine 106−2x=104\displaystyle 10^{6-2x}=10^{4}. Bazele sunt egale și diferite de 1, deci funcția exponențială este injectivă și egalăm exponenții: 6−2x=4\displaystyle 6-2x=4.
    106−2x=104⇔6−2x=4\displaystyle 10^{6-2x}=10^{4}\Leftrightarrow 6-2x=4
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: −2x=4−6=−2\displaystyle -2x=4-6=-2, deci x=−2−2=1\displaystyle x=\dfrac{-2}{-2}=1. Soluția este x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea M={10,20,30,40,50,60,70,80,90}\displaystyle M=\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}, numărul 10n\displaystyle \sqrt{10n} să fie rațional.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm elementele mulțimii M\displaystyle M: sunt 9 numere, deci avem 9 cazuri posibile, fiecare număr putând fi ales.
    9 cazuri posibile\displaystyle 9\text{ cazuri posibile}
  2. Pentru n=10k\displaystyle n=10k, cu k∈{1,2,…,9}\displaystyle k\in\{1,2,\ldots,9\}, avem 10n=100k\displaystyle 10n=100k. Atunci 100k=10k\displaystyle \sqrt{100k}=10\sqrt{k}, deci numărul este rațional exact când k\displaystyle k este pătrat perfect.
    10n=10k∈Q  ⟺  k pa˘trat perfect\displaystyle \sqrt{10n}=10\sqrt{k}\in\mathbb{Q}\iff k\text{ pătrat perfect}
  3. Pătratele perfecte dintre numerele de la 1 la 9 sunt 1\displaystyle 1, 4\displaystyle 4 și 9\displaystyle 9. Ele corespund lui n=10, 40, 90\displaystyle n=10,\ 40,\ 90. Pentru acestea 10n\displaystyle \sqrt{10n} este 10, 20, 30\displaystyle 10,\ 20,\ 30. Deci avem 3 cazuri favorabile.
    10\displaystyle 10, 40\displaystyle \ 40, 90, deci 3 cazuri \displaystyle \ 90\text{, deci 3 cazuri }favorabile\displaystyle \text{favorabile}
  4. Aplicăm formula probabilității: p=cazuri favorabilecazuri posibile=39=13\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}.
    p=39=13\displaystyle p=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,2)\displaystyle A(-1,2) și B(3,a)\displaystyle B(3,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că dreptele OA\displaystyle OA și AB\displaystyle AB sunt perpendiculare.
Vezi rezolvarea
  1. Dreptele OA\displaystyle OA și AB\displaystyle AB sunt perpendiculare dacă produsul pantelor lor este −1\displaystyle -1. Calculăm mai întâi panta dreptei OA\displaystyle OA, cu O(0,0)\displaystyle O(0,0) și A(−1,2)\displaystyle A(-1,2): mOA=yA−yOxA−xO\displaystyle m_{OA}=\dfrac{y_A-y_O}{x_A-x_O}.
    mOA=2−0−1−0=−2\displaystyle m_{OA}=\dfrac{2-0}{-1-0}=-2
  2. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB, cu A(−1,2)\displaystyle A(-1,2) și B(3,a)\displaystyle B(3,a): diferența ordonatelor este a−2\displaystyle a-2, iar diferența absciselor este 3−(−1)=4\displaystyle 3-(-1)=4.
    mOA=−2\displaystyle m_{OA}=-2, mAB=a−23−(−1)=a−24\displaystyle \ m_{AB}=\dfrac{a-2}{3-(-1)}=\dfrac{a-2}{4}
  3. Impunem condiția de perpendicularitate: mOA⋅mAB=−1\displaystyle m_{OA}\cdot m_{AB}=-1, adică −2⋅a−24=−1\displaystyle -2\cdot\dfrac{a-2}{4}=-1.
    −2⋅a−24=−1\displaystyle -2\cdot\dfrac{a-2}{4}=-1
  4. Simplificăm: −2⋅a−24=−a−22\displaystyle -2\cdot\dfrac{a-2}{4}=-\dfrac{a-2}{2}, deci −a−22=−1\displaystyle -\dfrac{a-2}{2}=-1. Înmulțim cu −2\displaystyle -2 și obținem a−2=2\displaystyle a-2=2, de unde a=4\displaystyle a=4.
    a−2=2⇒a=4\displaystyle a-2=2\Rightarrow a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=12\displaystyle AB=12, BC=8\displaystyle BC=8 și unghiul C\displaystyle C de măsură egală cu 30∘\displaystyle 30^\circ. Calculați sin⁡A\displaystyle \sin A.
Vezi rezolvarea
  1. Latura AB\displaystyle AB este opusă unghiului C\displaystyle C, iar latura BC\displaystyle BC este opusă unghiului A\displaystyle A. Teorema sinusurilor dă relația dintre aceste perechi.
    ABsin⁡C=BCsin⁡A\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}
  2. Înlocuim AB=12\displaystyle AB=12, BC=8\displaystyle BC=8 și sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.
    1212=8sin⁡A\displaystyle \frac{12}{\frac{1}{2}}=\frac{8}{\sin A}
  3. Din proporție exprimăm sin⁡A\displaystyle \sin A, folosind sin⁡A=BC⋅sin⁡CAB\displaystyle \sin A=\dfrac{BC\cdot \sin C}{AB}.
    sin⁡A=8⋅1212\displaystyle \sin A=\frac{8\cdot\frac{1}{2}}{12}
  4. La numărător 8⋅12=4\displaystyle 8\cdot\dfrac{1}{2}=4, iar 412=13\displaystyle \dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}.
    sin⁡A=13\displaystyle \sin A=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−4−501)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-4&-5\\0&1\end{pmatrix} și B=(1612)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&6\\1&2\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡B=−4\displaystyle \det B=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei B=(1612)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&6\\1&2\end{pmatrix}, cu elementele din enunț.
    det⁡B=∣1612∣\displaystyle \det B=\begin{vmatrix}1&6\\1&2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula determinantului de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, 6\displaystyle 6 și 1\displaystyle 1.
    det⁡B=1⋅2−1⋅6\displaystyle \det B=1\cdot 2-1\cdot 6
  3. Calculăm cele două produse: 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2 și 1⋅6=6\displaystyle 1\cdot 6=6. Rămâne diferența 2−6\displaystyle 2-6, care este −4\displaystyle -4, deci determinantul are valoarea cerută.
    det⁡B=2−6=−4\displaystyle \det B=2-6=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−4−501)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-4&-5\\0&1\end{pmatrix} și B=(1612)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&6\\1&2\end{pmatrix}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care A⋅A−B⋅B=a(A+B)\displaystyle A\cdot A-B\cdot B=a(A+B).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui A\displaystyle A: (−4)(−4)+(−5)⋅0=16\displaystyle (-4)(-4)+(-5)\cdot 0=16, (−4)(−5)+(−5)⋅1=15\displaystyle (-4)(-5)+(-5)\cdot 1=15, iar a doua linie este 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    A⋅A=(161501)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}16&15\\0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm B⋅B\displaystyle B\cdot B în același mod: 1⋅1+6⋅1=7\displaystyle 1\cdot 1+6\cdot 1=7, 1⋅6+6⋅2=18\displaystyle 1\cdot 6+6\cdot 2=18, 1⋅1+2⋅1=3\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 1=3, 1⋅6+2⋅2=10\displaystyle 1\cdot 6+2\cdot 2=10.
    B⋅B=(718310)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}7&18\\3&10\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element: 16−7=9\displaystyle 16-7=9, 15−18=−3\displaystyle 15-18=-3, 0−3=−3\displaystyle 0-3=-3, 1−10=−9\displaystyle 1-10=-9.
    A⋅A−B⋅B=(9−3−3−9)\displaystyle A\cdot A-B\cdot B=\begin{pmatrix}9&-3\\-3&-9\end{pmatrix}
  4. Calculăm suma A+B\displaystyle A+B, adunând elementele de pe aceleași poziții: −4+1=−3\displaystyle -4+1=-3, −5+6=1\displaystyle -5+6=1, 0+1=1\displaystyle 0+1=1, 1+2=3\displaystyle 1+2=3.
    A+B=(−3113)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}-3&1\\1&3\end{pmatrix}
  5. Comparăm matricea diferență cu A+B\displaystyle A+B: toate elementele ei se obțin înmulțind elementele lui A+B\displaystyle A+B cu −3\displaystyle -3, adică 9=−3⋅(−3)\displaystyle 9=-3\cdot(-3), −3=−3⋅1\displaystyle -3=-3\cdot 1, −9=−3⋅3\displaystyle -9=-3\cdot 3. Deci A⋅A−B⋅B=−3(A+B)\displaystyle A\cdot A-B\cdot B=-3(A+B), de unde a=−3\displaystyle a=-3.
    A⋅A−B⋅B=−3(−3113)=−3(A+B), deci a=−3\displaystyle A\cdot A-B\cdot B=-3\begin{pmatrix}-3&1\\1&3\end{pmatrix}=-3(A+B)\text{, deci }a=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−4−501)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-4&-5\\0&1\end{pmatrix} și B=(1612)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&6\\1&2\end{pmatrix}.

Arătați că, pentru orice număr real x\displaystyle x, matricea C(x)=xA+2B\displaystyle C(x)=xA+2B este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm separat matricele xA\displaystyle xA și 2B\displaystyle 2B, înmulțind fiecare element cu scalarul.
    xA=(−4x−5x0x)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}-4x&-5x\\0&x\end{pmatrix},2B=(21224)\displaystyle \quad 2B=\begin{pmatrix}2&12\\2&4\end{pmatrix}
  2. Adunăm cele două matrice element cu element și obținem matricea C(x)\displaystyle C(x).
    C(x)=(−4x+2−5x+122x+4)\displaystyle C(x)=\begin{pmatrix}-4x+2&-5x+12\\2&x+4\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(C(x))=(−4x+2)(x+4)−2(−5x+12)\displaystyle \det(C(x))=(-4x+2)(x+4)-2(-5x+12).
    det⁡(C(x))=(−4x+2)(x+4)−2(−5x+12)\displaystyle \det(C(x))=(-4x+2)(x+4)-2(-5x+12)
  4. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: (−4x+2)(x+4)=−4x2−14x+8\displaystyle (-4x+2)(x+4)=-4x^{2}-14x+8, iar −2(−5x+12)=10x−24\displaystyle -2(-5x+12)=10x-24.
    det⁡(C(x))=−4x2−14x+8+10x−24=−4x2−4x−16\displaystyle \det(C(x))=-4x^{2}-14x+8+10x-24=-4x^{2}-4x-16
  5. Scriem expresia folosind un pătrat perfect: −4x2−4x−1=−(2x+1)2\displaystyle -4x^{2}-4x-1=-(2x+1)^{2}, deci −4x2−4x−16=−(2x+1)2−15\displaystyle -4x^{2}-4x-16=-(2x+1)^{2}-15.
    det⁡(C(x))=−(2x+1)2−15\displaystyle \det(C(x))=-(2x+1)^{2}-15
  6. Pătratul unui număr real este mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0, deci −(2x+1)2≤0\displaystyle -(2x+1)^{2}\le 0, iar determinantul este cel mult −15\displaystyle -15, adică strict negativ pentru orice x\displaystyle x real. Prin urmare determinantul este nenul și matricea C(x)\displaystyle C(x) este inversabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    det⁡(C(x))=−(2x+1)2−15<0, deci det⁡(C(x))≠0\displaystyle \det(C(x))=-(2x+1)^{2}-15<0\text{, deci }\det(C(x))\neq 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(2x−1)(2y−1)+12\displaystyle x*y=(2x-1)(2y-1)+\frac{1}{2}.

Arătați că 2∗12=12\displaystyle 2*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=(2x−1)(2y−1)+12\displaystyle x*y=(2x-1)(2y-1)+\dfrac{1}{2}. Pentru 2∗12\displaystyle 2*\dfrac{1}{2} luăm x=2\displaystyle x=2 și y=12\displaystyle y=\dfrac{1}{2}.
    x=2\displaystyle x=2, y=12\displaystyle \ y=\dfrac{1}{2}
  2. Înlocuim în formulă x=2\displaystyle x=2 și y=12\displaystyle y=\dfrac{1}{2}.
    2∗12=(2⋅2−1)(2⋅12−1)+12\displaystyle 2*\dfrac{1}{2}=(2\cdot 2-1)\left(2\cdot\dfrac{1}{2}-1\right)+\dfrac{1}{2}
  3. Calculăm parantezele: 2⋅2−1=3\displaystyle 2\cdot 2-1=3 și 2⋅12−1=1−1=0\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}-1=1-1=0.
    3⋅0+12\displaystyle 3\cdot 0+\dfrac{1}{2}
  4. Produsul 3⋅0\displaystyle 3\cdot 0 este 0\displaystyle 0, deci rămâne 0+12=12\displaystyle 0+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}, adică exact valoarea cerută.
    2∗12=0+12=12\displaystyle 2*\dfrac{1}{2}=0+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(2x−1)(2y−1)+12\displaystyle x*y=(2x-1)(2y-1)+\frac{1}{2}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (4x)∗14=25\displaystyle (4x)*\frac{1}{4}=25.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru x→4x\displaystyle x\to 4x și y→14\displaystyle y\to\dfrac{1}{4}: (4x)∗14=(2⋅4x−1)(2⋅14−1)+12\displaystyle (4x)*\dfrac{1}{4}=(2\cdot 4x-1)\left(2\cdot\dfrac{1}{4}-1\right)+\dfrac{1}{2}.
    (4x)∗14=(8x−1)(12−1)+12\displaystyle (4x)*\frac{1}{4}=(8x-1)\left(\frac{1}{2}-1\right)+\frac{1}{2}
  2. Calculăm a doua paranteză: 12−1=−12\displaystyle \dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}, deci expresia devine (8x−1)⋅(−12)+12\displaystyle (8x-1)\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}.
    (8x−1)⋅(−12)+12=1−8x2+12\displaystyle (8x-1)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1-8x}{2}+\frac{1}{2}
  3. Adunăm fracțiile cu același numitor: 1−8x2+12=2−8x2\displaystyle \dfrac{1-8x}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-8x}{2}.
    (4x)∗14=2−8x2\displaystyle (4x)*\frac{1}{4}=\frac{2-8x}{2}
  4. Din condiția dată avem 2−8x2=25\displaystyle \dfrac{2-8x}{2}=25. Înmulțim cu 2 și obținem 2−8x=50\displaystyle 2-8x=50.
    2−8x=50\displaystyle 2-8x=50
  5. Scădem 2 din ambii membri: −8x=48\displaystyle -8x=48. Împărțim la −8\displaystyle -8 și obținem x=−6\displaystyle x=-6.
    x=−6\displaystyle x=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=(2x−1)(2y−1)+12\displaystyle x*y=(2x-1)(2y-1)+\frac{1}{2}.

Calculați 1∗12∗13∗14∗15\displaystyle 1*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*\frac{1}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗12\displaystyle x*\dfrac{1}{2} pentru orice x\displaystyle x real. Pentru y=12\displaystyle y=\dfrac{1}{2} avem 2y−1=0\displaystyle 2y-1=0, deci produsul (2x−1)(2y−1)\displaystyle (2x-1)(2y-1) se anulează și rămâne doar termenul 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    x∗12=(2x−1)⋅0+12=12\displaystyle x*\frac{1}{2}=(2x-1)\cdot 0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
  2. Expresia (2x−1)(2y−1)+12\displaystyle (2x-1)(2y-1)+\dfrac{1}{2} este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci legea este comutativă. Rezultă că și 12∗y=12\displaystyle \dfrac{1}{2}*y=\dfrac{1}{2} pentru orice y\displaystyle y real. Așadar 12\displaystyle \dfrac{1}{2} este element absorbant.
    x∗12=12\displaystyle x*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, 12∗y=12\displaystyle \ \frac{1}{2}*y=\frac{1}{2}
  3. Legea este asociativă, deci putem grupa factorii cum dorim. Calculăm mai întâi 1∗12\displaystyle 1*\dfrac{1}{2}, care este 12\displaystyle \dfrac{1}{2} conform pasului anterior.
    1∗12=12\displaystyle 1*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
  4. Cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2} rămas în față, folosim din nou proprietatea de element absorbant: 12∗13=12\displaystyle \dfrac{1}{2}*\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}, apoi 12∗14=12\displaystyle \dfrac{1}{2}*\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2} și 12∗15=12\displaystyle \dfrac{1}{2}*\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{2}. Rezultatul este 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    (1∗12)∗13∗14∗15=12∗(13∗14∗15)=12\displaystyle \left(1*\frac{1}{2}\right)*\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*\frac{1}{5}=\frac{1}{2}*\left(\frac{1}{3}*\frac{1}{4}*\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+4x+3\displaystyle f(x)=x+\frac{4}{x+3}.

Arătați că f′(x)=(x+1)(x+5)(x+3)2\displaystyle f'(x)=\frac{(x+1)(x+5)}{(x+3)^2}, x∈(−3,+∞)\displaystyle x\in(-3,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția ca sumă: f(x)=x+4(x+3)−1\displaystyle f(x)=x+4(x+3)^{-1}, pentru a o deriva termen cu termen.
    f(x)=x+4(x+3)−1\displaystyle f(x)=x+4(x+3)^{-1}
  2. Derivăm termenii: (x)′=1\displaystyle (x)'=1, iar (4x+3)′=−4(x+3)2⋅(x+3)′=−4(x+3)2\displaystyle \left(\dfrac{4}{x+3}\right)'=-\dfrac{4}{(x+3)^{2}}\cdot (x+3)'=-\dfrac{4}{(x+3)^{2}}, deoarece (x+3)′=1\displaystyle (x+3)'=1.
    f′(x)=1+−4(x+3)2\displaystyle f'(x)=1+\dfrac{-4}{(x+3)^{2}}
  3. Aducem la numitor comun (x+3)2\displaystyle (x+3)^{2}, scriind 1=(x+3)2(x+3)2\displaystyle 1=\dfrac{(x+3)^{2}}{(x+3)^{2}}.
    f′(x)=(x+3)2−4(x+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+3)^{2}-4}{(x+3)^{2}}
  4. Numărătorul este o diferență de pătrate: (x+3)2−22=(x+3−2)(x+3+2)=(x+1)(x+5)\displaystyle (x+3)^{2}-2^{2}=(x+3-2)(x+3+2)=(x+1)(x+5). Astfel am obținut egalitatea cerută pe intervalul (−3,+∞)\displaystyle (-3,+\infty).
    f′(x)=(x+1)(x+5)(x+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+1)(x+5)}{(x+3)^{2}}, x∈(−3,+∞)\displaystyle \ x\in(-3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+4x+3\displaystyle f(x)=x+\frac{4}{x+3}.

Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Domeniul funcției este (−3,+∞)\displaystyle (-3,+\infty), deci are sens să studiem comportarea graficului la +∞\displaystyle +\infty. O asimptotă oblică la +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n, unde m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}, iar n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx).
    y=mx+n\displaystyle y=mx+n,m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle \quad m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x},n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle \quad n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx)
  2. Împărțim expresia lui f(x)\displaystyle f(x) la x\displaystyle x și simplificăm: xx=1\displaystyle \dfrac{x}{x}=1, iar fracția 4x+3\displaystyle \dfrac{4}{x+3} împărțită la x\displaystyle x devine 4x(x+3)\displaystyle \dfrac{4}{x(x+3)}.
    f(x)x=1+4x(x+3)\displaystyle \frac{f(x)}{x}=1+\frac{4}{x(x+3)}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, produsul x(x+3)\displaystyle x(x+3) tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci fracția 4x(x+3)\displaystyle \dfrac{4}{x(x+3)} tinde la 0\displaystyle 0. Rezultă că m=1\displaystyle m=1.
    m=lim⁡x→+∞(1+4x(x+3))=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{4}{x(x+3)}\right)=1
  4. Calculăm n\displaystyle n ca limită a lui f(x)−x\displaystyle f(x)-x. Termenul x\displaystyle x se reduce și rămâne doar fracția 4x+3\displaystyle \dfrac{4}{x+3}.
    f(x)−x=x+4x+3−x=4x+3\displaystyle f(x)-x=x+\frac{4}{x+3}-x=\frac{4}{x+3}
  5. Numitorul x+3\displaystyle x+3 tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci fracția 4x+3\displaystyle \dfrac{4}{x+3} tinde la 0\displaystyle 0 și n=0\displaystyle n=0. Asimptota oblică la +∞\displaystyle +\infty este y=x\displaystyle y=x.
    n=lim⁡x→+∞4x+3=0, deci y=x\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{x+3}=0\text{, deci } y=x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−3,+∞)→R\displaystyle f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+4x+3\displaystyle f(x)=x+\frac{4}{x+3}.

Demonstrați că x2+f(x)≥1\displaystyle x^2+f(x)\geq 1, pentru orice x∈(−3,+∞)\displaystyle x\in(-3,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe intervalul (−3,+∞)\displaystyle (-3,+\infty). Derivata lui x\displaystyle x este 1\displaystyle 1, iar derivata lui 4x+3\displaystyle \dfrac{4}{x+3} este −4(x+3)2\displaystyle -\dfrac{4}{(x+3)^{2}}.
    f′(x)=1−4(x+3)2\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{4}{(x+3)^{2}}
  2. Aducem derivata la același numitor și descompunem numărătorul ca diferență de pătrate: (x+3)2−4=(x+3−2)(x+3+2)=(x+1)(x+5)\displaystyle (x+3)^{2}-4=(x+3-2)(x+3+2)=(x+1)(x+5).
    f′(x)=(x+1)(x+5)(x+3)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+1)(x+5)}{(x+3)^{2}}
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Pe intervalul (−3,+∞)\displaystyle (-3,+\infty) avem x+5>0\displaystyle x+5>0 și (x+3)2>0\displaystyle (x+3)^{2}>0, deci singura soluție este x=−1\displaystyle x=-1. Semnul derivatei este dat de factorul x+1\displaystyle x+1: pe (−3,−1]\displaystyle (-3,-1] derivata este negativă sau zero, deci f\displaystyle f este descrescătoare, iar pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty) derivata este pozitivă sau zero, deci f\displaystyle f este crescătoare.
    f′(x)=0⇔x=−1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1, f′(x)≤0 pe (−3,−1]\displaystyle \ f'(x)\leq 0\text{ pe }(-3,-1], f′(x)≥0 pe [−1,+∞)\displaystyle \ f'(x)\geq 0\text{ pe }[-1,+\infty)
  4. Deoarece f\displaystyle f descrește până în x=−1\displaystyle x=-1 și crește după aceea, x=−1\displaystyle x=-1 este punct de minim. Calculăm valoarea minimă: f(−1)=−1+4−1+3=−1+2=1\displaystyle f(-1)=-1+\dfrac{4}{-1+3}=-1+2=1.
    f(x)≥f(−1)=1\displaystyle f(x)\geq f(-1)=1
  5. Adunăm inegalitatea x2≥0\displaystyle x^{2}\geq 0, valabilă pentru orice x\displaystyle x real, cu f(x)≥1\displaystyle f(x)\geq 1. Obținem x2+f(x)≥1\displaystyle x^{2}+f(x)\geq 1 pentru orice x∈(−3,+∞)\displaystyle x\in(-3,+\infty).
    f(x)≥1 și x2≥0⇒x2+f(x)≥1\displaystyle f(x)\geq 1\text{ și }x^{2}\geq 0\Rightarrow x^{2}+f(x)\geq 1, ∀x∈(−3,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(-3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(2x−1)(x+1)\displaystyle f(x)=(2x-1)(x+1).

Arătați că ∫15f(x)x+1dx=20\displaystyle \int_1^5\frac{f(x)}{x+1}dx=20.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=(2x−1)(x+1)\displaystyle f(x)=(2x-1)(x+1) în integrală. Pe intervalul [1,5]\displaystyle [1,5] avem x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0, deci putem simplifica fracția prin x+1\displaystyle x+1.
    ∫15(2x−1)(x+1)x+1dx=∫15(2x−1)dx\displaystyle \int_1^5\frac{(2x-1)(x+1)}{x+1}dx=\int_1^5(2x-1)dx
  2. Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, iar o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Scriem rezultatul cu bara de evaluare între 1\displaystyle 1 și 5\displaystyle 5.
    ∫15(2x−1)dx=(x2−x)∣15\displaystyle \int_1^5(2x-1)dx=\left(x^2-x\right)\Big|_1^5
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 5\displaystyle 5 este 52−5=20\displaystyle 5^2-5=20, iar în 1\displaystyle 1 este 12−1=0\displaystyle 1^2-1=0. Scădem și obținem rezultatul cerut.
    (25−5)−(1−1)=20−0=20\displaystyle (25-5)-(1-1)=20-0=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(2x−1)(x+1)\displaystyle f(x)=(2x-1)(x+1).

Calculați ∫12f(x)x2dx\displaystyle \int_1^2\frac{f(x)}{x^2}dx.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm produsul din numărătorul funcției f\displaystyle f: (2x−1)(x+1)=2x2+2x−x−1=2x2+x−1\displaystyle (2x-1)(x+1)=2x^2+2x-x-1=2x^2+x-1.
    f(x)=2x2+x−1\displaystyle f(x)=2x^{2}+x-1
  2. Împărțim fiecare termen al numărătorului la x2\displaystyle x^2 și scriem integrala ca integrală a unei sume de trei termeni: 2x2+x−1x2=2+1x−1x2\displaystyle \dfrac{2x^2+x-1}{x^2}=2+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}.
    ∫122x2+x−1x2dx=∫12(2+1x−1x2)dx\displaystyle \int_1^2\frac{2x^{2}+x-1}{x^{2}}dx=\int_1^2\left(2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)dx
  3. Găsim o primitivă termen cu termen: primitiva lui 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x, primitiva lui 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} este ln⁡x\displaystyle \ln x pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2], iar primitiva lui −1x2\displaystyle -\dfrac{1}{x^2} este 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, deoarece (1x)′=−1x2\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}.
    (2x+ln⁡x+1x)∣12\displaystyle \left(2x+\ln x+\frac{1}{x}\right)\Big|_1^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în 2\displaystyle 2 și în 1\displaystyle 1 și facem diferența: valoarea în 2\displaystyle 2 este 4+ln⁡2+12\displaystyle 4+\ln 2+\dfrac{1}{2}, iar valoarea în 1\displaystyle 1 este 2+ln⁡1+1=3\displaystyle 2+\ln 1+1=3.
    (4+ln⁡2+12)−(2+ln⁡1+1)\displaystyle \left(4+\ln 2+\frac{1}{2}\right)-\left(2+\ln 1+1\right)
  5. Folosim ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0 și reducem termenii: 4+12−3=32\displaystyle 4+\dfrac{1}{2}-3=\dfrac{3}{2}, deci rezultatul este 32+ln⁡2\displaystyle \dfrac{3}{2}+\ln 2.
    32+ln⁡2\displaystyle \frac{3}{2}+\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(2x−1)(x+1)\displaystyle f(x)=(2x-1)(x+1).

Determinați numărul real a\displaystyle a, a∈[12,2)\displaystyle a\in\left[\frac{1}{2},2\right), știind că ∫a2f′(x)f(x)dx=18\displaystyle \int_a^2 f'(x)\sqrt{f(x)}dx=18.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(2)\displaystyle f(2). Avem f(2)=(2⋅2−1)(2+1)=3⋅3=9\displaystyle f(2)=(2\cdot 2-1)(2+1)=3\cdot 3=9, deci f(2)=3\displaystyle \sqrt{f(2)}=3.
    f(2)=9\displaystyle f(2)=9, f(2)=3\displaystyle \ \sqrt{f(2)}=3
  2. Observăm că (f(x)f(x))′=(f3/2(x))′=32f′(x)f(x)\displaystyle \left(f(x)\sqrt{f(x)}\right)'=\left(f^{3/2}(x)\right)'=\dfrac{3}{2}f'(x)\sqrt{f(x)}. Deci o primitivă a funcției f′(x)f(x)\displaystyle f'(x)\sqrt{f(x)} este 23f(x)f(x)\displaystyle \dfrac{2}{3}f(x)\sqrt{f(x)}. Pe [12,2]\displaystyle \left[\dfrac{1}{2},2\right] avem 2x−1≥0\displaystyle 2x-1\ge 0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge 0 și expresia are sens.
    ∫f′(x)f(x) dx=2f(x)f(x)3+C\displaystyle \int f'(x)\sqrt{f(x)}\,dx=\frac{2f(x)\sqrt{f(x)}}{3}+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton și înlocuim f(2)=9\displaystyle f(2)=9: 2⋅9⋅33=18\displaystyle \dfrac{2\cdot 9\cdot 3}{3}=18, deci integrala este 18−2f(a)f(a)3\displaystyle 18-\dfrac{2f(a)\sqrt{f(a)}}{3}.
    ∫a2f′(x)f(x) dx=2f(x)f(x)3∣a2=18−2f(a)f(a)3\displaystyle \int_a^2 f'(x)\sqrt{f(x)}\,dx=\frac{2f(x)\sqrt{f(x)}}{3}\Big|_a^2=18-\frac{2f(a)\sqrt{f(a)}}{3}
  4. Egalăm cu 18\displaystyle 18 din enunț: 18−2f(a)f(a)3=18\displaystyle 18-\dfrac{2f(a)\sqrt{f(a)}}{3}=18. Rezultă 2f(a)f(a)3=0\displaystyle \dfrac{2f(a)\sqrt{f(a)}}{3}=0, deci f(a)=0\displaystyle f(a)=0.
    f(a)=0\displaystyle f(a)=0
  5. Rezolvăm (2a−1)(a+1)=0\displaystyle (2a-1)(a+1)=0, deci a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2} sau a=−1\displaystyle a=-1. Cum a∈[12,2)\displaystyle a\in\left[\dfrac{1}{2},2\right), convine doar a=12\displaystyle a=\dfrac{1}{2}.
    a=12\displaystyle a=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.