Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 14: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2+13−15)⋅1516+−83=0\displaystyle \left(2+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)\cdot\frac{15}{16}+\sqrt[3]{-8}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem numerele din paranteză la numitorul comun 15\displaystyle 15: 2=3015\displaystyle 2=\dfrac{30}{15}, 13=515\displaystyle \dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{15}, 15=315\displaystyle \dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{15}.
    2+13−15=30+5−315\displaystyle 2+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{30+5-3}{15}
  2. Calculăm radicalul: deoarece (−2)3=−8\displaystyle (-2)^{3}=-8, avem −83=−2\displaystyle \sqrt[3]{-8}=-2. Înlocuim în expresie.
    30+5−315⋅1516+(−2)\displaystyle \frac{30+5-3}{15}\cdot\frac{15}{16}+(-2)
  3. Efectuăm operațiile de la numărător: 30+5−3=32\displaystyle 30+5-3=32.
    3215⋅1516−2\displaystyle \frac{32}{15}\cdot\frac{15}{16}-2
  4. Simplificăm cu 15\displaystyle 15: 3215⋅1516=3216=2\displaystyle \dfrac{32}{15}\cdot\dfrac{15}{16}=\dfrac{32}{16}=2. Atunci 2−2=0\displaystyle 2-2=0, deci egalitatea este demonstrată.
    3215⋅1516−2=2−2=0\displaystyle \frac{32}{15}\cdot\frac{15}{16}-2=2-2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A(4,0)\displaystyle A(4,0) aparține graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−x+a\displaystyle f(x)=-x+a.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(4,0)\displaystyle A(4,0) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(4)=0\displaystyle f(4)=0, adică imaginea lui 4\displaystyle 4 prin f\displaystyle f este 0\displaystyle 0.
    f(4)=0\displaystyle f(4)=0
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 4\displaystyle 4 în f(x)=−x+a\displaystyle f(x)=-x+a și obținem ecuația −4+a=0\displaystyle -4+a=0.
    −4+a=0\displaystyle -4+a=0
  3. Adunăm 4\displaystyle 4 în ambii membri ai ecuației și aflăm valoarea lui a\displaystyle a. Verificare: f(4)=−4+4=0\displaystyle f(4)=-4+4=0, deci punctul A(4,0)\displaystyle A(4,0) este pe grafic.
    a=4\displaystyle a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x+1=5\displaystyle \sqrt{2x+1}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie mai mare sau egală cu 0, adică 2x+1≥0\displaystyle 2x+1\ge 0, deci x≥−12\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{2}. Cum membrul drept, 5\displaystyle 5, este pozitiv, ridicarea la pătrat nu schimbă mulțimea soluțiilor, dar verificăm la final soluția.
    x≥−12\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{2}
  2. Ridicăm ecuația la pătrat: pătratul radicalului este chiar expresia de sub radical, iar 52=25\displaystyle 5^{2}=25. Obținem 2x+1=25\displaystyle 2x+1=25.
    2x+1=25\displaystyle 2x+1=25
  3. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri ai ecuației: 2x=25−1\displaystyle 2x=25-1, adică 2x=24\displaystyle 2x=24.
    2x+1=25⇒2x=24\displaystyle 2x+1=25\Rightarrow 2x=24
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=12\displaystyle x=12. Verificăm: 2⋅12+1=25≥0\displaystyle 2\cdot 12+1=25\ge 0, iar 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5, deci soluția convine.
    x=12, care convine\displaystyle x=12\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={10,20,30,40,50,60,70,80,90}\displaystyle M=\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}, acesta să fie multiplu de 6\displaystyle 6.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Cazurile posibile sunt toate elementele mulțimii M\displaystyle M. Mulțimea are 9\displaystyle 9 elemente.
    nr. cazuri posibile=9\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=9
  3. Un număr este multiplu de 6\displaystyle 6 dacă este par și divizibil cu 3\displaystyle 3. Toate elementele lui M\displaystyle M sunt pare, deci verificăm divizibilitatea cu 3\displaystyle 3, adică suma cifrelor să fie multiplu de 3\displaystyle 3. Pentru 10,20,…,90\displaystyle 10,20,\ldots,90 suma cifrelor este 1,2,…,9\displaystyle 1,2,\ldots,9. Doar pentru 30\displaystyle 30, 60\displaystyle 60 și 90\displaystyle 90 suma cifrelor este multiplu de 3\displaystyle 3.
    {30,60,90}\displaystyle \{30,60,90\}
  4. Numărăm multiplii de 6\displaystyle 6 din M\displaystyle M: sunt 3\displaystyle 3 cazuri favorabile.
    nr. cazuri favorabile=3\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=3
  5. Înlocuim în formulă: p=39\displaystyle p=\dfrac{3}{9}, iar după simplificarea cu 3\displaystyle 3 obținem 13\displaystyle \dfrac{1}{3}.
    p=39=13\displaystyle p=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,5)\displaystyle A(3,5) și B(7,5)\displaystyle B(7,5). Determinați lungimea segmentului OM\displaystyle OM, unde punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula coordonatelor mijlocului unui segment: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}, yM=yA+yB2\displaystyle \ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(3,5)\displaystyle A(3,5) și B(7,5)\displaystyle B(7,5): xM=3+72=5\displaystyle x_M=\dfrac{3+7}{2}=5, yM=5+52=5\displaystyle y_M=\dfrac{5+5}{2}=5. Deci M(5,5)\displaystyle M(5,5).
    M(5,5)\displaystyle M(5,5)
  3. Lungimea OM\displaystyle OM este distanța de la O(0,0)\displaystyle O(0,0) la M(5,5)\displaystyle M(5,5): OM=(xM−0)2+(yM−0)2\displaystyle OM=\sqrt{(x_M-0)^2+(y_M-0)^2}.
    OM=52+52\displaystyle OM=\sqrt{5^2+5^2}
  4. Calculăm sub radical: 52+52=25+25=50\displaystyle 5^2+5^2=25+25=50, iar 50=25⋅2=52\displaystyle \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}.
    OM=50=52\displaystyle OM=\sqrt{50}=5\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Pentru x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) astfel încât cos⁡x=513\displaystyle \cos x=\frac{5}{13}, arătați că tg⁡x=125\displaystyle \operatorname{tg}x=\frac{12}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, de unde sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x.
    sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x
  2. Înlocuim cos⁡x=513\displaystyle \cos x=\dfrac{5}{13}: sin⁡2x=1−(513)2=1−25169=144169\displaystyle \sin^{2}x=1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^{2}=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}.
    sin⁡2x=1−25169=144169\displaystyle \sin^{2}x=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}
  3. Deoarece x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), avem sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0, deci sin⁡x=144169=1213\displaystyle \sin x=\sqrt{\dfrac{144}{169}}=\dfrac{12}{13}.
    sin⁡x=1213\displaystyle \sin x=\frac{12}{13}
  4. Folosim tg⁡x=sin⁡xcos⁡x=1213⋅135=125\displaystyle \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{12}{13}\cdot\dfrac{13}{5}=\dfrac{12}{5}, deci tg⁡x=125\displaystyle \operatorname{tg}x=\dfrac{12}{5}, ceea ce trebuia arătat.
    tg⁡x=1213⋅135=125\displaystyle \operatorname{tg}x=\frac{12}{13}\cdot\frac{13}{5}=\frac{12}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(11−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}, B=(0−111)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim formula determinantului de ordin doi: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} avem det⁡=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det=a\cdot d-b\cdot c.
    ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Aplicăm formula pentru matricea A\displaystyle A, cu a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle b=1, c=−1\displaystyle c=-1 și d=0\displaystyle d=0.
    det⁡A=∣11−10∣=1⋅0−1⋅(−1)\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&1\\-1&0\end{vmatrix}=1\cdot 0-1\cdot(-1)
  3. Calculăm: 1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0=0, iar 1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot(-1)=-1, deci 0−(−1)=0+1\displaystyle 0-(-1)=0+1. Obținem det⁡A=1\displaystyle \det A=1, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡A=0+1=1\displaystyle \det A=0+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(11−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}, B=(0−111)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Arătați că B⋅B+A=O2\displaystyle B\cdot B+A=O_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul B⋅B\displaystyle B\cdot B, înmulțind matricea B\displaystyle B cu ea însăși, linie cu coloană.
    B⋅B=(0−111)⋅(0−111)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele de pe prima linie: 0⋅0+(−1)⋅1=−1\displaystyle 0\cdot 0+(-1)\cdot 1=-1 și 0⋅(−1)+(−1)⋅1=−1\displaystyle 0\cdot(-1)+(-1)\cdot 1=-1.
    linia 1: (−1−1)\displaystyle \text{linia 1: }\begin{pmatrix}-1&-1\end{pmatrix}
  3. Calculăm elementele de pe a doua linie: 1⋅0+1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 0+1\cdot 1=1 și 1⋅(−1)+1⋅1=0\displaystyle 1\cdot(-1)+1\cdot 1=0. Obținem produsul B⋅B\displaystyle B\cdot B.
    B⋅B=(−1−110)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}
  4. Adunăm matricea A\displaystyle A la B⋅B\displaystyle B\cdot B, element cu element.
    B⋅B+A=(−1−110)+(11−10)=(−1+1−1+11+(−1)0+0)\displaystyle B\cdot B+A=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+1&-1+1\\1+(-1)&0+0\end{pmatrix}
  5. Toate elementele sunt zero, deci suma este matricea nulă O2\displaystyle O_2, adică egalitatea cerută este adevărată.
    B⋅B+A=(0000)=O2\displaystyle B\cdot B+A=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(11−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}, B=(0−111)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix} și O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.

Determinați x,y∈(0,+∞)\displaystyle x,y\in(0,+\infty), pentru care A⋅B+B⋅A−(A+B)=(log⁡2x00log⁡3y)\displaystyle A\cdot B+B\cdot A-(A+B)=\begin{pmatrix}\log_2 x&0\\0&\log_3 y\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B, linie cu coloană: A⋅B=(1⋅0+1⋅11⋅(−1)+1⋅1−1⋅0+0⋅1−1⋅(−1)+0⋅1)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1\cdot 0+1\cdot 1&1\cdot(-1)+1\cdot 1\\-1\cdot 0+0\cdot 1&-1\cdot(-1)+0\cdot 1\end{pmatrix}.
    A⋅B=(1001)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm B⋅A\displaystyle B\cdot A în același mod: B⋅A=(0⋅1+(−1)⋅(−1)0⋅1+(−1)⋅01⋅1+1⋅(−1)1⋅1+1⋅0)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}0\cdot 1+(-1)\cdot(-1)&0\cdot 1+(-1)\cdot 0\\1\cdot 1+1\cdot(-1)&1\cdot 1+1\cdot 0\end{pmatrix}.
    B⋅A=(1001)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element: A+B=(1+01+(−1)−1+10+1)=(1001)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}1+0&1+(-1)\\-1+1&0+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. Atunci A⋅B+B⋅A−(A+B)=2(1001)−(1001)\displaystyle A\cdot B+B\cdot A-(A+B)=2\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
    A⋅B+B⋅A−(A+B)=(1001)\displaystyle A\cdot B+B\cdot A-(A+B)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  4. Egalăm matricea obținută cu cea din enunț: (1001)=(log⁡2x00log⁡3y)\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\log_2 x&0\\0&\log_3 y\end{pmatrix}. Egalând elementele de pe aceleași poziții, rezultă log⁡2x=1\displaystyle \log_2 x=1 și log⁡3y=1\displaystyle \log_3 y=1.
    {log⁡2x=1log⁡3y=1\displaystyle \begin{cases}\log_2 x=1\\\log_3 y=1\end{cases}
  5. Din definiția logaritmului, log⁡2x=1\displaystyle \log_2 x=1 dă x=21=2\displaystyle x=2^{1}=2, iar log⁡3y=1\displaystyle \log_3 y=1 dă y=31=3\displaystyle y=3^{1}=3. Ambele valori sunt strict pozitive, deci aparțin lui (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și convin.
    x=2 și y=3, care convin\displaystyle x=2\text{ și }y=3\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y5+1\displaystyle x*y=x+\frac{y}{5}+1.

Arătați că 2020∗5=2022\displaystyle 2020*5=2022.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii de compoziție, x∗y=x+y5+1\displaystyle x*y=x+\dfrac{y}{5}+1, cu x=2020\displaystyle x=2020 și y=5\displaystyle y=5.
    2020∗5=2020+55+1\displaystyle 2020*5=2020+\dfrac{5}{5}+1
  2. Simplificăm fracția: 55=1\displaystyle \dfrac{5}{5}=1.
    2020+55+1=2020+1+1\displaystyle 2020+\dfrac{5}{5}+1=2020+1+1
  3. Adunăm termenii: 2020+1+1=2022\displaystyle 2020+1+1=2022, deci egalitatea cerută este adevărată.
    2020∗5=2022\displaystyle 2020*5=2022
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y5+1\displaystyle x*y=x+\frac{y}{5}+1.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (x∗x)∗x=245\displaystyle (x*x)*x=\frac{24}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x folosind definiția legii x∗y=x+y5+1\displaystyle x*y=x+\dfrac{y}{5}+1, în care înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    x∗x=x+x5+1\displaystyle x*x=x+\frac{x}{5}+1
  2. Reducem termenii asemenea: x+x5=6x5\displaystyle x+\dfrac{x}{5}=\dfrac{6x}{5}.
    x∗x=6x5+1\displaystyle x*x=\frac{6x}{5}+1
  3. Calculăm (x∗x)∗x=(6x5+1)∗x\displaystyle (x*x)*x=\left(\dfrac{6x}{5}+1\right)*x. Primul termen este 6x5+1\displaystyle \dfrac{6x}{5}+1, iar al doilea este x\displaystyle x, deci rezultatul este primul termen plus al doilea împărțit la 5, plus 1.
    (x∗x)∗x=6x5+1+x5+1\displaystyle (x*x)*x=\frac{6x}{5}+1+\frac{x}{5}+1
  4. Reducem termenii asemenea: 6x5+x5=7x5\displaystyle \dfrac{6x}{5}+\dfrac{x}{5}=\dfrac{7x}{5} și 1+1=2\displaystyle 1+1=2.
    (x∗x)∗x=7x5+2\displaystyle (x*x)*x=\frac{7x}{5}+2
  5. Egalăm cu 245\displaystyle \dfrac{24}{5} și înmulțim ecuația cu 5\displaystyle 5: 7x5+2=245\displaystyle \dfrac{7x}{5}+2=\dfrac{24}{5} devine 7x+10=24\displaystyle 7x+10=24.
    7x+10=24\displaystyle 7x+10=24
  6. Rezolvăm ecuația liniară: 7x=24−10=14\displaystyle 7x=24-10=14, deci x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y5+1\displaystyle x*y=x+\frac{y}{5}+1.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 5x∗5x+1=11\displaystyle 5^x*5^{x+1}=11.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția x∗y=x+y5+1\displaystyle x*y=x+\dfrac{y}{5}+1 pentru primul termen 5x\displaystyle 5^{x} și al doilea termen 5x+1\displaystyle 5^{x+1} și egalăm cu 11\displaystyle 11.
    5x+5x+15+1=11\displaystyle 5^{x}+\frac{5^{x+1}}{5}+1=11
  2. Scriem 5x+1=5x⋅5\displaystyle 5^{x+1}=5^{x}\cdot 5, deci 5x+15=5x\displaystyle \dfrac{5^{x+1}}{5}=5^{x}.
    5x+15=5x\displaystyle \frac{5^{x+1}}{5}=5^{x}
  3. Ecuația devine 5x+5x+1=11\displaystyle 5^{x}+5^{x}+1=11, deci 5x+5x=10\displaystyle 5^{x}+5^{x}=10, adică 2⋅5x=10\displaystyle 2\cdot 5^{x}=10.
    5x+5x=10⇔2⋅5x=10\displaystyle 5^x+5^x=10\Leftrightarrow 2\cdot 5^x=10
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2: 5x=5=51\displaystyle 5^{x}=5=5^{1}.
    5x=51\displaystyle 5^{x}=5^{1}
  5. Funcția exponențială de bază 5\displaystyle 5 este injectivă, deci exponenții sunt egali.
    5x=5, de unde x=1\displaystyle 5^x=5\text{, de unde } x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−x3+3x+9\displaystyle f(x)=-x^3+3x+9.

Arătați că f′(x)=3(1−x)(1+x)\displaystyle f'(x)=3(1-x)(1+x), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=−x3+3x+9\displaystyle f(x)=-x^{3}+3x+9 termen cu termen, folosind formula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}.
    f′(x)=(−x3)′+(3x)′+(9)′\displaystyle f'(x)=(-x^{3})'+(3x)'+(9)'
  2. Calculăm: (−x3)′=−3x2\displaystyle (-x^{3})'=-3x^{2}, (3x)′=3\displaystyle (3x)'=3 și (9)′=0\displaystyle (9)'=0.
    f′(x)=−3x2+3\displaystyle f'(x)=-3x^{2}+3
  3. Dăm factor comun pe 3\displaystyle 3 în expresia −3x2+3\displaystyle -3x^{2}+3.
    f′(x)=3(1−x2)\displaystyle f'(x)=3\left(1-x^{2}\right)
  4. Descompunem diferența de pătrate, 1−x2=(1−x)(1+x)\displaystyle 1-x^{2}=(1-x)(1+x). Astfel obținem forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3(1−x2)=3(1−x)(1+x)\displaystyle f'(x)=3\left(1-x^{2}\right)=3(1-x)(1+x), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−x3+3x+9\displaystyle f(x)=-x^3+3x+9.

Arătați că lim⁡x→2f(x)−7x−2=−9\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-7}{x-2}=-9.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(2)=−23+3⋅2+9=−8+6+9\displaystyle f(2)=-2^{3}+3\cdot 2+9=-8+6+9, deci f(2)=7\displaystyle f(2)=7.
    f(2)=7\displaystyle f(2)=7
  2. Cum 7=f(2)\displaystyle 7=f(2), limita devine limita raportului de forma f(x)−f(2)x−2\displaystyle \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}, adică definiția derivatei lui f\displaystyle f în x0=2\displaystyle x_0=2.
    lim⁡x→2f(x)−7x−2=lim⁡x→2f(x)−f(2)x−2=f′(2)\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)-7}{x-2}=\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f'(2)
  3. Derivăm funcția: f′(x)=−3x2+3\displaystyle f'(x)=-3x^{2}+3.
    f′(x)=−3x2+3\displaystyle f'(x)=-3x^{2}+3
  4. Pentru x=2\displaystyle x=2 obținem f′(2)=−3⋅22+3=−12+3=−9\displaystyle f'(2)=-3\cdot 2^{2}+3=-12+3=-9. Deci limita cerută este −9\displaystyle -9.
    f′(2)=−9\displaystyle f'(2)=-9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−x3+3x+9\displaystyle f(x)=-x^3+3x+9.

Demonstrați că f(x)≤11\displaystyle f(x)\le 11, pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle x\in[-1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând fiecare termen: (−x3)′=−3x2\displaystyle (-x^{3})'=-3x^{2}, (3x)′=3\displaystyle (3x)'=3, iar derivata constantei 9\displaystyle 9 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=−3x2+3\displaystyle f'(x)=-3x^{2}+3
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Dăm factor comun pe −3\displaystyle -3 și obținem −3(x2−1)=0\displaystyle -3(x^{2}-1)=0, adică x2=1\displaystyle x^{2}=1.
    f′(x)=0⇔x=−1 sau x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\text{ sau }x=1
  3. Studiem semnul derivatei. Scriem f′(x)=−3(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=-3(x-1)(x+1). Pe [−1,1]\displaystyle [-1,1] avem x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0 și x−1≤0\displaystyle x-1\le 0, deci (x−1)(x+1)≤0\displaystyle (x-1)(x+1)\le 0 și f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0. Pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) avem x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0 și x+1>0\displaystyle x+1>0, deci (x−1)(x+1)≥0\displaystyle (x-1)(x+1)\ge 0 și f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0.
    f′(x)≥0 pe [−1,1]; f′(x)≤0 pe [1,+∞)\displaystyle f'(x)\ge 0\text{ pe }[-1,1];\ f'(x)\le 0\text{ pe }[1,+\infty)
  4. Deducem monotonia: f\displaystyle f este crescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1] și descrescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), deci în x=1\displaystyle x=1 funcția atinge maximul pe [−1,+∞)\displaystyle [-1,+\infty). Calculăm f(1)=−1+3+9=11\displaystyle f(1)=-1+3+9=11. Prin urmare f(x)≤f(1)=11\displaystyle f(x)\le f(1)=11 pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle x\in[-1,+\infty).
    f(x)≤f(1)=11, pentru orice x∈[−1,+∞)\displaystyle f(x)\le f(1)=11\text{, pentru orice }x\in[-1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}.

Arătați că ∫−11f(x)⋅(x2+1)dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)\cdot\left(x^2+1\right)dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1} în integrala dată.
    ∫−11xx2+1⋅(x2+1)dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\cdot\left(x^{2}+1\right)dx
  2. Deoarece x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, simplificăm fracția cu x2+1\displaystyle x^{2}+1 și rămâne de integrat funcția x\displaystyle x.
    ∫−11xx2+1⋅(x2+1)dx=∫−11x dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\cdot\left(x^{2}+1\right)dx=\int_{-1}^{1}x\,dx
  3. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, deci aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [−1,1]\displaystyle [-1,1].
    ∫−11x dx=x22∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_{-1}^{1}
  4. Calculăm valorile primitivei în 1\displaystyle 1 și în −1\displaystyle -1 și le scădem: 122=12\displaystyle \dfrac{1^{2}}{2}=\dfrac{1}{2} și (−1)22=12\displaystyle \dfrac{(-1)^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}, deci diferența este zero.
    12−12=0\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}.

Calculați ∫01(x2+1)exf(x) dx\displaystyle \int_{0}^{1}\left(x^2+1\right)e^x f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x^2+1} în integrală și simplificăm factorul x2+1\displaystyle x^2+1 cu numitorul: (x2+1)ex⋅xx2+1=xex\displaystyle \left(x^2+1\right)e^x\cdot\dfrac{x}{x^2+1}=xe^x.
    ∫01(x2+1)ex⋅xx2+1 dx=∫01xex dx\displaystyle \int_{0}^{1}\left(x^2+1\right)e^x\cdot\frac{x}{x^2+1}\,dx=\int_{0}^{1}xe^x\,dx
  2. Aplicăm integrarea prin părți: alegem u=x\displaystyle u=x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci du=dx\displaystyle du=dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    ∫01xex dx=xex∣01−∫01ex dx\displaystyle \int_{0}^{1}xe^x\,dx=xe^x\Big|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^x\,dx
  3. Calculăm integrala rămasă: ∫ex dx=ex\displaystyle \int e^x\,dx=e^x. Grupăm termenii: xex−ex=(x−1)ex\displaystyle xe^x-e^x=(x-1)e^x.
    ∫01xex dx=(x−1)ex∣01\displaystyle \int_{0}^{1}xe^x\,dx=(x-1)e^x\Big|_{0}^{1}
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: în x=1\displaystyle x=1 obținem (1−1)e1=0\displaystyle (1-1)e^1=0, iar în x=0\displaystyle x=0 obținem (0−1)e0=−1\displaystyle (0-1)e^0=-1. Atunci rezultatul este 0−(−1)=1\displaystyle 0-(-1)=1.
    (1−1)e1−(0−1)e0=0−(−1)⋅1=1\displaystyle (1-1)e^{1}-(0-1)e^{0}=0-(-1)\cdot 1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}.

Determinați a∈(0,+∞)\displaystyle a\in(0,+\infty) pentru care ∫0a(f(x)−f(−x))dx=ln⁡(2a)\displaystyle \int_{0}^{a}\left(f(x)-f(-x)\right)dx=\ln(2a).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(−x)\displaystyle f(-x) înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în f(x)=xx2+1\displaystyle f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}. Numitorul rămâne același, deoarece (−x)2=x2\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}.
    f(−x)=−xx2+1\displaystyle f(-x)=\dfrac{-x}{x^{2}+1}
  2. Calculăm f(x)−f(−x)\displaystyle f(x)-f(-x). Fracțiile au același numitor, iar scăderea lui −x\displaystyle -x revine la adunarea lui x\displaystyle x.
    f(x)−f(−x)=xx2+1+xx2+1=2xx2+1\displaystyle f(x)-f(-x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}+\dfrac{x}{x^{2}+1}=\dfrac{2x}{x^{2}+1}
  3. Observăm că (x2+1)′=2x\displaystyle (x^{2}+1)'=2x, adică numărătorul este derivata numitorului. O primitivă este ln⁡(x2+1)\displaystyle \ln(x^{2}+1), iar x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0, deci nu este nevoie de modul.
    ∫2xx2+1 dx=ln⁡(x2+1)+C\displaystyle \int\dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx=\ln\left(x^{2}+1\right)+C
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton cu limitele 0\displaystyle 0 și a\displaystyle a. Cum ln⁡(02+1)=ln⁡1=0\displaystyle \ln(0^{2}+1)=\ln 1=0, rămâne doar ln⁡(a2+1)\displaystyle \ln(a^{2}+1).
    ∫0a(f(x)−f(−x))dx=ln⁡(x2+1)∣0a=ln⁡(a2+1)\displaystyle \int_{0}^{a}\left(f(x)-f(-x)\right)dx=\ln\left(x^{2}+1\right)\Big|_{0}^{a}=\ln\left(a^{2}+1\right)
  5. Egalăm cu ln⁡(2a)\displaystyle \ln(2a). Deoarece funcția logaritm este injectivă, argumentele sunt egale.
    ln⁡(a2+1)=ln⁡(2a)⇒a2+1=2a\displaystyle \ln\left(a^{2}+1\right)=\ln(2a)\Rightarrow a^{2}+1=2a
  6. Aducem ecuația la forma a2−2a+1=0\displaystyle a^{2}-2a+1=0, adică (a−1)2=0\displaystyle (a-1)^{2}=0, deci a=1\displaystyle a=1. Valoarea aparține lui (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) și 2a=2>0\displaystyle 2a=2>0, deci a=1\displaystyle a=1 convine.
    a2−2a+1=0⇒(a−1)2=0⇒a=1, care convine\displaystyle a^{2}-2a+1=0\Rightarrow (a-1)^{2}=0\Rightarrow a=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.