Bac matematică M3 tehnologic 2023, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați termenul a1\displaystyle a_1 al progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a2=7\displaystyle a_2 = 7 și a6=23\displaystyle a_6 = 23.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula generală a termenului unei progresii aritmetice: an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n = a_1 + (n-1)r, unde r\displaystyle r este rația.
    an=a1+(n−1)r\displaystyle a_n=a_1+(n-1)r
  2. Se scriu termenii a2\displaystyle a_2 și a6\displaystyle a_6 folosind formula generală, pentru a stabili relația dintre ei.
    a2=a1+r\displaystyle a_2=a_1+r, a6=a1+5r\displaystyle \ a_6=a_1+5r
  3. Se observă că a6\displaystyle a_6 se poate exprima în funcție de a2\displaystyle a_2 prin adăugarea a 4\displaystyle 4 rații, deoarece între termenii a2\displaystyle a_2 și a6\displaystyle a_6 sunt 4\displaystyle 4 pași.
    a6=a2+4r\displaystyle a_6=a_2+4r
  4. Se înlocuiesc valorile numerice date, a2=7\displaystyle a_2=7 și a6=23\displaystyle a_6=23, în relația de mai sus și se rezolvă ecuația pentru a afla rația r\displaystyle r.
    a6=a2+4r⇒4r=16⇒r=4\displaystyle a_6=a_2+4r\Rightarrow 4r=16\Rightarrow r=4
  5. Se calculează termenul a1\displaystyle a_1 folosind relația a2=a1+r\displaystyle a_2=a_1+r, de unde a1=a2−r\displaystyle a_1=a_2-r, și se înlocuiesc valorile cunoscute.
    a1=a2−r=7−4=3\displaystyle a_1=a_2-r=7-4=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=8x−5\displaystyle f(x)=8x-5. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care punctul A(a,3a)\displaystyle A(a,3a) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie condiția ca punctul A(a,3a)\displaystyle A(a,3a) să aparțină graficului funcției f\displaystyle f, adică ordonata punctului să fie egală cu valoarea funcției calculată în abscisa a\displaystyle a.
    A(a,3a)∈Gf⇔f(a)=3a\displaystyle A(a,3a)\in G_f\Leftrightarrow f(a)=3a
  2. Se înlocuiește expresia funcției f(a)=8a−5\displaystyle f(a)=8a-5 în condiția obținută, rezultând ecuația de gradul I.
    f(a)=3a⇔8a−5=3a\displaystyle f(a)=3a\Leftrightarrow 8a-5=3a
  3. Se trec termenii care conțin necunoscuta a\displaystyle a în stânga și termenii liberi în dreapta ecuației.
    8a−3a=5\displaystyle 8a-3a=5
  4. Se reduc termenii asemenea, obținându-se o ecuație simplificată.
    5a=5\displaystyle 5a=5
  5. Se împarte ecuația prin coeficientul lui a\displaystyle a pentru a determina valoarea lui a\displaystyle a.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4x+log⁡4(3x)=log⁡412\displaystyle \log_4 x + \log_4(3x) = \log_4 12.
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilesc condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive.
    x>0 și 3x>0⇒x>0\displaystyle x>0\text{ și }3x>0\Rightarrow x>0
  2. Se aplică proprietatea logaritmului sumei: log⁡ab+log⁡ac=log⁡a(bc)\displaystyle \log_a b + \log_a c = \log_a (bc), pentru a reuni membrul stâng într-un singur logaritm.
    log⁡4x+log⁡4(3x)=log⁡4(x⋅3x)=log⁡4(3x2)\displaystyle \log_4 x+\log_4(3x)=\log_4(x\cdot 3x)=\log_4(3x^2)
  3. Ecuația devine o egalitate între doi logaritmi în aceeași bază, care conduce la egalitatea argumentelor.
    log⁡4(3x2)=log⁡412\displaystyle \log_4(3x^2)=\log_4 12, de unde obținem 3x2=12\displaystyle \text{ de unde obținem } 3x^2=12
  4. Se rezolvă ecuația algebrică obținută prin împărțirea la 3\displaystyle 3 și extragerea rădăcinii pătrate.
    x2=4⇒x=2 sau x=−2\displaystyle x^2=4\Rightarrow x=2\text{ sau }x=-2
  5. Se verifică soluțiile obținute în raport cu condiția de existență x>0\displaystyle x>0, reținând doar soluția care satisface domeniul.
    x=−2, care nu convine; x=2, care convine\displaystyle x=-2\text{, care nu convine; } x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, n\displaystyle \sqrt{n} să fie număr natural par.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică mulțimea numerelor naturale de două cifre, adică numerele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99.
    {10,11,12,…,99}\displaystyle \{10,11,12,\ldots,99\}
  2. Se numără câte elemente are această mulțime, adică numărul total de cazuri posibile.
    99−10+1=90 de cazuri posibile\displaystyle 99-10+1=90\text{ de cazuri posibile}
  3. Se determină condiția pentru ca n\displaystyle \sqrt{n} să fie număr natural: n\displaystyle n trebuie să fie pătrat perfect, iar n\displaystyle \sqrt{n} trebuie să fie și par.
    n=k\displaystyle \sqrt{n}=k, k∈N\displaystyle \ k\in\mathbb{N}, k par\displaystyle \ k\text{ par}
  4. Se stabilesc limitele posibile pentru k\displaystyle k, folosind faptul că n\displaystyle n este de două cifre, deci 10≤n≤99\displaystyle 10\le n\le 99.
    10≤k2≤99⇒4≤k≤9 (k∈N)\displaystyle 10\le k^2\le 99\Rightarrow 4\le k\le 9\ (k\in\mathbb{N})
  5. Dintre valorile posibile ale lui k\displaystyle k (4,5,6,7,8,9\displaystyle 4,5,6,7,8,9), se rețin doar cele pare.
    k∈{4,6,8}\displaystyle k\in\{4,6,8\}
  6. Se calculează valorile lui n\displaystyle n corespunzătoare fiecărui k\displaystyle k par, obținând numerele favorabile, apoi se calculează probabilitatea ca raport dintre cazurile favorabile și cele posibile.
    16\displaystyle 16,36\displaystyle 36,64\displaystyle 64, deci sunt 3 cazuri favorabile, de \displaystyle \text{ deci sunt }3\text{ cazuri favorabile, de }unde obținem p=390=130\displaystyle \text{unde obținem }p=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−3,2)\displaystyle A(-3,2), B(1,4)\displaystyle B(1,4) și C(6,0)\displaystyle C(6,0). Determinați distanța dintre mijloacele segmentelor AB\displaystyle AB și OC\displaystyle OC.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula pentru coordonatele mijlocului unui segment determinat de două puncte date.
    MXY(xX+xY2,yX+yY2)\displaystyle M_{XY}\left(\dfrac{x_X+x_Y}{2},\dfrac{y_X+y_Y}{2}\right)
  2. Se calculează coordonatele mijlocului M\displaystyle M al segmentului AB\displaystyle AB, folosind coordonatele punctelor A(−3,2)\displaystyle A(-3,2) și B(1,4)\displaystyle B(1,4).
    M(−3+12,2+42)=M(−1,3)\displaystyle M\left(\dfrac{-3+1}{2},\dfrac{2+4}{2}\right)=M(-1,3)
  3. Se calculează coordonatele mijlocului N\displaystyle N al segmentului OC\displaystyle OC, folosind coordonatele punctelor O(0,0)\displaystyle O(0,0) și C(6,0)\displaystyle C(6,0).
    N(0+62,0+02)=N(3,0)\displaystyle N\left(\dfrac{0+6}{2},\dfrac{0+0}{2}\right)=N(3,0)
  4. Se centralizează rezultatele obținute pentru cele două mijloace.
    M(−1,3) și N(3,0)\displaystyle M(-1,3)\text{ și } N(3,0), unde punctele M și N sunt mijloacele \displaystyle \text{ unde punctele } M\text{ și } N\text{ sunt mijloacele }segmentelor AB\displaystyle \text{segmentelor } AB, respectiv OC\displaystyle \text{ respectiv } OC
  5. Se scrie formula distanței dintre două puncte date prin coordonatele lor.
    MN=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}
  6. Se înlocuiesc coordonatele punctelor M\displaystyle M și N\displaystyle N în formula distanței și se efectuează calculele pentru a obține rezultatul final.
    MN=(3+1)2+(0−3)2=25=5\displaystyle MN=\sqrt{(3+1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{25}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu BC=16\displaystyle BC=16 și măsura unghiului B\displaystyle B egală cu 30∘\displaystyle 30^\circ. Arătați că aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 323\displaystyle 32\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele triunghiului dreptunghic: unghiul drept este în A, deci BC este ipotenuza, iar AB și AC sunt catete. Unghiul B=30°\displaystyle B=30°, deci unghiul C=60°\displaystyle C=60°.
    ∠A=90∘\displaystyle \angle A=90^\circ, BC=16 (ipotenuza)\displaystyle \ BC=16\text{ (ipotenuza)}, ∠B=30∘\displaystyle \ \angle B=30^\circ
  2. Se scrie relația dintre sinusul unghiului B și catetele triunghiului dreptunghic AC (cateta opusă unghiului B) și ipotenuza BC.
    sin⁡B=ACBC\displaystyle \sin B=\frac{AC}{BC}
  3. Se înlocuiesc valorile cunoscute: sin⁡30°=12\displaystyle \sin 30° = \dfrac{1}{2} și BC=16\displaystyle BC = 16, apoi se determină cateta AC.
    12=AC16⇒AC=8\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{AC}{16}\Rightarrow AC=8
  4. Se aplică teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABC pentru a afla cealaltă catetă, AB, folosind ipotenuza BC și cateta AC determinată anterior.
    AB=BC2−AC2=162−82=256−64=192=83\displaystyle AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{16^2-8^2}=\sqrt{256-64}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}
  5. Se calculează aria triunghiului dreptunghic folosind formula ariei ca semiprodusul catetelor, obținând rezultatul cerut.
    AΔABC=AB⋅AC2=83⋅82=6432=323\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{8\sqrt{3}\cdot 8}{2}=\frac{64\sqrt{3}}{2}=32\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−33−2−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3 & 3\\ -2 & -1\end{pmatrix} și B(x)=(x+1−32x−1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+1 & -3\\ 2 & x-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=9\displaystyle \det A = 9.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele matricei A\displaystyle A: pe diagonala principală avem −3\displaystyle -3 și −1\displaystyle -1, iar pe diagonala secundară avem 3\displaystyle 3 și −2\displaystyle -2.
    A=(−33−2−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3 & 3\\ -2 & -1\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei A\displaystyle A ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡A=∣−33−2−1∣=−3⋅(−1)−3⋅(−2)=\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}-3 & 3\\ -2 & -1\end{vmatrix}=-3\cdot(-1)-3\cdot(-2)=
  3. Se efectuează înmulțirile: produsul elementelor de pe diagonala principală este (−3)⋅(−1)=3\displaystyle (-3)\cdot(-1)=3, iar produsul elementelor de pe diagonala secundară este 3⋅(−2)=−6\displaystyle 3\cdot(-2)=-6, deci determinantul devine 3−(−6)\displaystyle 3-(-6).
    det⁡A=3−(−6)\displaystyle \det A=3-(-6)
  4. Se efectuează scăderea, obținându-se valoarea finală a determinantului.
    det⁡A=3+6=9\displaystyle \det A=3+6=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−33−2−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3 & 3\\ -2 & -1\end{pmatrix} și B(x)=(x+1−32x−1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+1 & -3\\ 2 & x-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care B(3)⋅B(4)=xB(1)\displaystyle B(3)\cdot B(4)=xB(1).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie forma generală a matricei B(x)\displaystyle B(x) și se înlocuiește x=3\displaystyle x=3 pentru a obține B(3)\displaystyle B(3).
    B(3)=(3+1−323−1)=(4−322)\displaystyle B(3)=\begin{pmatrix}3+1 & -3\\ 2 & 3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & -3\\ 2 & 2\end{pmatrix}
  2. Se înlocuiește x=4\displaystyle x=4 în B(x)\displaystyle B(x) pentru a obține B(4)\displaystyle B(4).
    B(4)=(4+1−324−1)=(5−323)\displaystyle B(4)=\begin{pmatrix}4+1 & -3\\ 2 & 4-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & -3\\ 2 & 3\end{pmatrix}
  3. Se calculează produsul B(3)⋅B(4)\displaystyle B(3)\cdot B(4), înmulțind matricele obținute mai sus, element cu element (linie pe coloană).
    B(3)⋅B(4)=(4⋅5+(−3)⋅24⋅(−3)+(−3)⋅32⋅5+2⋅22⋅(−3)+2⋅3)\displaystyle B(3)\cdot B(4)=\begin{pmatrix}4\cdot5+(-3)\cdot2 & 4\cdot(-3)+(-3)\cdot3\\ 2\cdot5+2\cdot2 & 2\cdot(-3)+2\cdot3\end{pmatrix}
  4. Se efectuează calculele aritmetice din fiecare element al matricei produs.
    B(3)⋅B(4)=(20−6−12−910+4−6+6)=(14−21140)\displaystyle B(3)\cdot B(4)=\begin{pmatrix}20-6 & -12-9\\ 10+4 & -6+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14 & -21\\ 14 & 0\end{pmatrix}
  5. Se scrie B(1)\displaystyle B(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în forma generală a matricei B(x)\displaystyle B(x).
    B(1)=(1+1−321−1)=(2−320)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}1+1 & -3\\ 2 & 1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -3\\ 2 & 0\end{pmatrix}
  6. Se scoate factor comun 7\displaystyle 7 din matricea produs obținută anterior, pentru a o exprima ca un multiplu al lui B(1)\displaystyle B(1).
    (14−21140)=7(2−320)=7B(1)\displaystyle \begin{pmatrix}14 & -21\\ 14 & 0\end{pmatrix}=7\begin{pmatrix}2 & -3\\ 2 & 0\end{pmatrix}=7B(1)
  7. Comparând B(3)⋅B(4)=xB(1)\displaystyle B(3)\cdot B(4)=xB(1) cu 7B(1)\displaystyle 7B(1), rezultă valoarea căutată a lui x\displaystyle x.
    B(3)⋅B(4)=7B(1)⇒x=7\displaystyle B(3)\cdot B(4)=7B(1)\Rightarrow x=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−33−2−1)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3 & 3\\ -2 & -1\end{pmatrix} și B(x)=(x+1−32x−1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x+1 & -3\\ 2 & x-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care matricea B(a)\displaystyle B(a) este inversa matricei C=19A\displaystyle C=\frac{1}{9}A.
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintește matricea C\displaystyle C (determinată la un punct anterior al problemei), și anume C=19A\displaystyle C = \dfrac{1}{9}A, calculată din matricea A\displaystyle A dată.
    C=19A=(−1313−29−19)\displaystyle C=\dfrac{1}{9}A=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\\[2mm] -\dfrac{2}{9} & -\dfrac{1}{9}\end{pmatrix}
  2. Se scrie matricea B(a)\displaystyle B(a), obținută din B(x)\displaystyle B(x) prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu a\displaystyle a.
    B(a)=(a+1−32a−1)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a+1 & -3\\ 2 & a-1\end{pmatrix}
  3. Se calculează fiecare element al produsului C⋅B(a)\displaystyle C\cdot B(a), folosind regula de înmulțire a matricelor (linie pe coloană).
    (C⋅B(a))11=−13(a+1)+13⋅2=−a+13; (C⋅B(a))12=−13⋅(−3)+13(a−1)=a+23; (C⋅B(a))21=−29(a+1)−19⋅2=−2a−49; (C⋅B(a))22=−29⋅(−3)−19(a−1)=−a+79\displaystyle (C\cdot B(a))_{11}=-\dfrac{1}{3}(a+1)+\dfrac{1}{3}\cdot 2=\dfrac{-a+1}{3};\ (C\cdot B(a))_{12}=-\dfrac{1}{3}\cdot(-3)+\dfrac{1}{3}(a-1)=\dfrac{a+2}{3};\ (C\cdot B(a))_{21}=-\dfrac{2}{9}(a+1)-\dfrac{1}{9}\cdot 2=\dfrac{-2a-4}{9};\ (C\cdot B(a))_{22}=-\dfrac{2}{9}\cdot(-3)-\dfrac{1}{9}(a-1)=\dfrac{-a+7}{9}
  4. Se centralizează rezultatele obținute mai sus, scriind produsul C⋅B(a)\displaystyle C\cdot B(a) sub formă de matrice, valabilă pentru orice număr real a\displaystyle a.
    C⋅B(a)=(−a+13a+23−2a−49−a+79)\displaystyle C\cdot B(a)=\begin{pmatrix}\dfrac{-a+1}{3} & \dfrac{a+2}{3}\\ \dfrac{-2a-4}{9} & \dfrac{-a+7}{9}\end{pmatrix}, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \text{ pentru orice număr real } a
  5. Se pune condiția ca produsul C⋅B(a)\displaystyle C\cdot B(a) să fie egal cu matricea identitate I2\displaystyle I_{2}, obținându-se un sistem de ecuații pentru a\displaystyle a.
    C⋅B(a)=I2⇔{−a+13=1a+23=0−2a−49=0−a+79=1\displaystyle C\cdot B(a)=I_2\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{-a+1}{3}=1\\ \dfrac{a+2}{3}=0\\ \dfrac{-2a-4}{9}=0\\ \dfrac{-a+7}{9}=1\end{cases}
  6. Se rezolvă fiecare ecuație a sistemului: din prima ecuație −a+1=3\displaystyle -a+1=3, deci a=−2\displaystyle a=-2; se verifică faptul că această valoare satisface și celelalte trei ecuații (a+2=0\displaystyle a+2=0, −2a−4=0\displaystyle -2a-4=0, −a+7=9\displaystyle -a+7=9), deci sistemul este compatibil. Se verifică, prin calcul analog, că și B(a)⋅C=I2\displaystyle B(a)\cdot C=I_{2} pentru aceeași valoare a=−2\displaystyle a=-2, deci C\displaystyle C și B(a)\displaystyle B(a) sunt inverse una alteia exact atunci când a=−2\displaystyle a=-2.
    C⋅B(a)=B(a)⋅C=I2\displaystyle C\cdot B(a)=B(a)\cdot C=I_2, de unde obținem a=−2\displaystyle \text{ de unde obținem } a=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2+mX−4\displaystyle f=X^3+X^2+mX-4, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=1\displaystyle m=1, arătați că f(2)=10\displaystyle f(2)=10.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m\displaystyle m cu 1\displaystyle 1 în expresia polinomului și obținem forma lui f\displaystyle f pentru m=1\displaystyle m=1.
    f=X3+X2+X−4\displaystyle f=X^{3}+X^{2}+X-4
  2. Calculăm f(2)\displaystyle f(2), adică înlocuim pe X\displaystyle X cu 2\displaystyle 2 în fiecare termen al polinomului.
    f(2)=23+22+2−4\displaystyle f(2)=2^{3}+2^{2}+2-4
  3. Calculăm puterile: 23=8\displaystyle 2^{3}=8 și 22=4\displaystyle 2^{2}=4. Apoi efectuăm adunările și scăderea și obținem 10\displaystyle 10, deci f(2)=10\displaystyle f(2)=10.
    f(2)=8+4+2−4=10\displaystyle f(2)=8+4+2-4=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2+mX−4\displaystyle f=X^3+X^2+mX-4, unde m\displaystyle m este număr real.

Pentru m=−4\displaystyle m=-4, determinați rădăcinile polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică valoarea lui m\displaystyle m pentru care se cere rezolvarea (conform enunțului complet al problemei, m=−4\displaystyle m=-4) și se scrie polinomul obținut prin înlocuirea lui m\displaystyle m în expresia lui f\displaystyle f.
    f=X3+X2−4X−4\displaystyle f=X^3+X^2-4X-4
  2. Se caută o rădăcină evidentă printre divizorii termenului liber (−4\displaystyle -4): se încearcă valorile posibile ±1,±2,±4\displaystyle \pm 1, \pm 2, \pm 4. Se verifică x=−1\displaystyle x=-1.
    f(−1)=(−1)3+(−1)2−4⋅(−1)−4=−1+1+4−4=0\displaystyle f(-1)=(-1)^3+(-1)^2-4\cdot(-1)-4=-1+1+4-4=0
  3. Deoarece f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0, rezultă că (X+1)\displaystyle (X+1) este factor al polinomului f\displaystyle f. Se împarte f\displaystyle f la (X+1)\displaystyle (X+1) (de exemplu prin schema lui Horner sau prin împărțire directă).
    X3+X2−4X−4=(X+1)(X2−4)\displaystyle X^3+X^2-4X-4=(X+1)(X^2-4)
  4. Se descompune factorul rămas, X2−4\displaystyle X^{2}-4, care este o diferență de pătrate.
    X2−4=(X−2)(X+2)\displaystyle X^2-4=(X-2)(X+2)
  5. Se scrie descompunerea completă a polinomului f\displaystyle f în factori liniari.
    f=X3+X2−4X−4=(X+1)(X−2)(X+2)\displaystyle f=X^3+X^2-4X-4=(X+1)(X-2)(X+2)
  6. Din forma factorizată, se identifică toate rădăcinile polinomului f\displaystyle f, punând fiecare factor egal cu zero: X+1=0\displaystyle X+1=0, X−2=0\displaystyle X-2=0, X+2=0\displaystyle X+2=0.
    Ra˘da˘cinile polinomului f sunt −2\displaystyle \text{Rădăcinile polinomului } f\text{ sunt } -2,−1 și 2\displaystyle -1\text{ și } 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+X2+mX−4\displaystyle f=X^3+X^2+mX-4, unde m\displaystyle m este număr real.

Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul m\displaystyle m, polinomul f\displaystyle f nu are toate rădăcinile reale.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu relațiile lui Viète pentru polinomul f=X3+X2+mX−4\displaystyle f=X^3+X^2+mX-4, notând cu x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 rădăcinile sale (reale sau complexe).
    x1+x2+x3=−1\displaystyle x_1+x_2+x_3=-1, x1x2+x2x3+x3x1=m\displaystyle \ x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=m, x1x2x3=4\displaystyle \ x_1x_2x_3=4
  2. Se folosește identitatea care leagă suma pătratelor de sumă și de suma produselor câte două, pentru a exprima x12+x22+x32\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2 în funcție de m\displaystyle m.
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x2x3+x3x1)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)
  3. Se înlocuiesc valorile obținute din relațiile lui Viète în identitate, obținând expresia sumei pătratelor rădăcinilor în funcție de m\displaystyle m.
    x12+x22+x32=(−1)2−2m=1−2m\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-1)^2-2m=1-2m
  4. Se observă că, deoarece m\displaystyle m este număr natural nenul, avem m≥1\displaystyle m\geq 1, deci expresia 1−2m\displaystyle 1-2m este strict negativă.
    m∈N∗⇒m≥1⇒1−2m≤−1<0\displaystyle m\in\mathbb{N}^*\Rightarrow m\geq 1\Rightarrow 1-2m\leq -1<0
  5. Se folosește faptul că, dacă toate rădăcinile ar fi reale, suma pătratelor lor ar fi un număr nenegativ (sumă de pătrate de numere reale), ceea ce contrazice rezultatul obținut mai sus. Prin urmare, polinomul nu poate avea toate rădăcinile reale.
    Cum m este numa˘r natural nenul, \displaystyle \text{Cum } m\text{ este număr natural nenul, }obținem x12+x22+x32<0\displaystyle \text{obținem } x_1^2+x_2^2+x_3^2<0, deci polinomul f nu are toate ra˘da˘cinile reale\displaystyle \text{ deci polinomul } f\text{ \textbf{nu} are toate rădăcinile reale}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+1x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-2x+1}{x+2}.

Arătați că f′(x)=x2+4x−5(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{x^2+4x-5}{(x+2)^2}, x∈(−2,+∞)\displaystyle x\in(-2,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică funcțiile de la numărător și numitor: u(x)=x2−2x+1\displaystyle u(x)=x^{2}-2x+1 și v(x)=x+2\displaystyle v(x)=x+2, precum și derivatele lor u′(x)=2x−2\displaystyle u'(x)=2x-2 și v′(x)=1\displaystyle v'(x)=1.
    u(x)=x2−2x+1\displaystyle u(x)=x^2-2x+1, v(x)=x+2\displaystyle \ v(x)=x+2, u′(x)=2x−2\displaystyle \ u'(x)=2x-2, v′(x)=1\displaystyle \ v'(x)=1
  2. Se aplică formula de derivare a unui raport de funcții: f′=u′v−uv′v2\displaystyle f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}, înlocuind expresiile lui u\displaystyle u, v\displaystyle v, u′\displaystyle u' și v′\displaystyle v'.
    f′(x)=(2x−2)(x+2)−(x2−2x+1)⋅1(x+2)2=\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-2)(x+2)-(x^2-2x+1)\cdot 1}{(x+2)^2}=
  3. Se desface paranteza (2x−2)(x+2)\displaystyle (2x-2)(x+2) prin distributivitate, obținând termenii intermediari.
    (2x−2)(x+2)=2x2+4x−2x−4=2x2+2x−4\displaystyle (2x-2)(x+2)=2x^2+4x-2x-4=2x^2+2x-4
  4. Se scrie numărătorul complet, scăzând (x2−2x+1)\displaystyle (x^{2}-2x+1) din rezultatul anterior, termen cu termen.
    2x2+4x−2x−4−x2+2x−1\displaystyle 2x^2+4x-2x-4-x^2+2x-1
  5. Se reduc termenii asemenea la numărător: se grupează termenii cu x2\displaystyle x^{2}, cu x\displaystyle x și termenii liberi.
    2x2−x2+4x−2x+2x−4−1=x2+4x−5\displaystyle 2x^2-x^2+4x-2x+2x-4-1=x^2+4x-5
  6. Se scrie forma finală a derivatei, cu numărătorul simplificat, precizând și domeniul de definiție.
    2x2+4x−2x−4−x2+2x−1(x+2)2=x2+4x−5(x+2)2\displaystyle \dfrac{2x^2+4x-2x-4-x^2+2x-1}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2+4x-5}{(x+2)^2}, x∈(−2,+∞)\displaystyle \ x\in(-2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+1x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-2x+1}{x+2}.

Arătați că lim⁡x→+∞f(x)ex=0\displaystyle \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{e^x}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că, la calculul unei limite de tip raport în care apare exponențiala ex\displaystyle e^{x}, este util să analizăm limita raportului f(x)ex\displaystyle \dfrac{f(x)}{e^{x}}. Se scrie explicit acest raport folosind formula lui f\displaystyle f.
    lim⁡x→+∞f(x)ex=lim⁡x→+∞x2−2x+1ex(x+2)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-2x+1}{e^x(x+2)}
  2. Se verifică forma limitei: pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty, numărătorul x2−2x+1→+∞\displaystyle x^{2}-2x+1\to+\infty și numitorul ex(x+2)→+∞\displaystyle e^{x}(x+2)\to+\infty, deci avem un caz de nedeterminare de tip ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, ceea ce permite aplicarea regulii lui l'Hôpital.
    x2−2x+1ex(x+2)→x→+∞∞∞\displaystyle \dfrac{x^2-2x+1}{e^x(x+2)}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\dfrac{\infty}{\infty}
  3. Se derivează separat numărătorul și numitorul: (x2−2x+1)′=2x−2\displaystyle (x^2-2x+1)'=2x-2, iar pentru numitor se aplică regula produsului: (ex(x+2))′=ex(x+2)+ex⋅1=ex(x+3)\displaystyle (e^x(x+2))'=e^x(x+2)+e^x\cdot 1=e^x(x+3).
    (x2−2x+1)′=2x−2\displaystyle (x^2-2x+1)'=2x-2,(ex(x+2))′=ex(x+2)+ex=ex(x+3)\displaystyle \quad (e^x(x+2))'=e^x(x+2)+e^x=e^x(x+3)
  4. Se aplică regula lui l'Hôpital, înlocuind raportul inițial cu raportul derivatelor obținute mai sus, reconstituind astfel șirul de egalități din barem.
    lim⁡x→+∞f(x)ex=lim⁡x→+∞x2−2x+1ex(x+2)=lim⁡x→+∞2x−2ex(x+3)=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{e^x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-2x+1}{e^x(x+2)}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x-2}{e^x(x+3)}=
  5. Se observă că și noul raport este tot de tip ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}, deoarece 2x−2→+∞\displaystyle 2x-2\to+\infty și ex(x+3)→+∞\displaystyle e^{x}(x+3)\to+\infty, deci se poate aplica din nou regula lui l'Hôpital.
    2x−2ex(x+3)→x→+∞∞∞\displaystyle \dfrac{2x-2}{e^x(x+3)}\xrightarrow[x\to+\infty]{}\dfrac{\infty}{\infty}
  6. Se derivează din nou numărătorul și numitorul: (2x−2)′=2\displaystyle (2x-2)'=2, iar (ex(x+3))′=ex(x+3)+ex⋅1=ex(x+4)\displaystyle (e^{x}(x+3))'=e^{x}(x+3)+e^{x}\cdot 1=e^{x}(x+4), folosind din nou regula produsului.
    (2x−2)′=2\displaystyle (2x-2)'=2,(ex(x+3))′=ex(x+3)+ex=ex(x+4)\displaystyle \quad (e^x(x+3))'=e^x(x+3)+e^x=e^x(x+4)
  7. Se aplică din nou regula lui l'Hôpital, obținând raportul 2ex(x+4)\displaystyle \dfrac{2}{e^{x}(x+4)}. Deoarece numărătorul rămâne constant iar numitorul ex(x+4)→+∞\displaystyle e^{x}(x+4)\to+\infty pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty, limita este 0\displaystyle 0.
    =lim⁡x→+∞2ex(x+4)=0\displaystyle =\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2}{e^x(x+4)}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+1x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-2x+1}{x+2}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este convexă.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția f(x)\displaystyle f(x) ca raport de polinoame și se pregătește aplicarea regulii de derivare a câtului pentru a calcula f′(x)\displaystyle f'(x).
    f(x)=x2−2x+1x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x^2-2x+1}{x+2}, x∈(−2,+∞)\displaystyle \ x\in(-2,+\infty)
  2. Se calculează derivata întâi f′(x)\displaystyle f'(x) folosind regula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle (\dfrac{u}{v})' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}, unde u=x2−2x+1\displaystyle u = x^{2}-2x+1 și v=x+2\displaystyle v = x+2.
    f′(x)=(2x−2)(x+2)−(x2−2x+1)⋅1(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{(2x-2)(x+2)-(x^2-2x+1)\cdot 1}{(x+2)^2}
  3. Se dezvoltă și se reduc termenii asemenea la numărător pentru a obține forma simplificată a lui f′(x)\displaystyle f'(x).
    f′(x)=2x2+2x−4−x2+2x−1(x+2)2=x2+4x−5(x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^2+2x-4-x^2+2x-1}{(x+2)^2}=\dfrac{x^2+4x-5}{(x+2)^2}
  4. Se aplică din nou regula de derivare a câtului pentru f′(x)\displaystyle f'(x) pentru a obține derivata a doua f′′(x)\displaystyle f''(x), cu u=x2+4x−5\displaystyle u = x^{2}+4x-5 și v=(x+2)2\displaystyle v = (x+2)^{2}.
    f′′(x)=(2x+4)(x+2)2−(x2+4x−5)⋅2(x+2)(x+2)4\displaystyle f''(x)=\dfrac{(2x+4)(x+2)^2-(x^2+4x-5)\cdot 2(x+2)}{(x+2)^4}
  5. Se factorizează (x+2)\displaystyle (x+2) de la numărător și numitor, simplificând expresia la puterea a treia din numitor.
    f′′(x)=(2x+4)(x+2)−2(x2+4x−5)(x+2)3\displaystyle f''(x)=\dfrac{(2x+4)(x+2)-2(x^2+4x-5)}{(x+2)^3}
  6. Se dezvoltă parantezele de la numărător: (2x+4)(x+2)=2x2+8x+8\displaystyle (2x+4)(x+2)=2x^{2}+8x+8, iar 2(x2+4x−5)=2x2+8x−10\displaystyle 2(x^{2}+4x-5)=2x^{2}+8x-10.
    (2x+4)(x+2)−2(x2+4x−5)=(2x2+8x+8)−(2x2+8x−10)\displaystyle (2x+4)(x+2)-2(x^2+4x-5)=(2x^2+8x+8)-(2x^2+8x-10)
  7. Se reduc termenii asemenea, obținând valoarea constantă 18\displaystyle 18 la numărător, deci forma finală a derivatei a doua.
    f′′(x)=18(x+2)3\displaystyle f''(x)=\dfrac{18}{(x+2)^3}, x∈(−2,+∞)\displaystyle \ x\in(-2,+\infty)
  8. Se observă că pentru orice x\displaystyle x din domeniul de definiție (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty) avem x+2>0\displaystyle x+2>0, deci (x+2)3>0\displaystyle (x+2)^{3}>0, iar cum numărătorul 18\displaystyle 18 este pozitiv, rezultă că f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0 pe tot domeniul, adică funcția f\displaystyle f este convexă pe (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty).
    f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0, pentru orice x∈(−2,+∞)\displaystyle \text{ pentru orice } x\in(-2,+\infty), de unde obținem ca˘ \displaystyle \text{ de unde obținem că }funcția f este convexa˘\displaystyle \text{funcția } f\text{ este convexă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1+1x+1\displaystyle f(x)=x+1+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}.

Arătați că ∫13(f(x)−1x+1)dx=6\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{3}\left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)dx=6.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f\displaystyle f și se simplifică diferența f(x)−1x+1\displaystyle f(x) - \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}, eliminând termenul cu radical.
    f(x)−1x+1=x+1+1x+1−1x+1=x+1\displaystyle f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+1}}=x+1+\frac{1}{\sqrt{x+1}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}=x+1
  2. Se scrie integrala definită a expresiei simplificate pe intervalul [1,3]\displaystyle [1,3] și se determină o primitivă a funcției x+1\displaystyle x+1.
    ∫13(f(x)−1x+1)dx=∫13(x+1) dx=(x22+x)∣13=\displaystyle \int_{1}^{3}\left(f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)dx=\int_{1}^{3}(x+1)\,dx=\left.\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\right|_1^3=
  3. Se evaluează primitiva la capetele intervalului, calculând valorile pentru x=3\displaystyle x=3 și x=1\displaystyle x=1.
    (322+3)−(122+1)=(92+3)−(12+1)\displaystyle \left(\frac{3^2}{2}+3\right)-\left(\frac{1^2}{2}+1\right)=\left(\frac{9}{2}+3\right)-\left(\frac{1}{2}+1\right)
  4. Se aplică formula Leibniz-Newton, efectuând scăderea și simplificând rezultatul final.
    =92+3−12−1=6\displaystyle =\frac{9}{2}+3-\frac{1}{2}-1=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1+1x+1\displaystyle f(x)=x+1+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}.

Arătați că ∫08(f(x)−x−1)dx=4\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{8}\left(f(x)-x-1\right)dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+1+1x+1\displaystyle f(x)=x+1+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}} în integrand: f(x)−x−1=1x+1\displaystyle f(x)-x-1=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}, deoarece termenii x+1\displaystyle x+1 se reduc.
    ∫08(f(x)−x−1)dx=∫081x+1 dx\displaystyle \int_{0}^{8}\left(f(x)-x-1\right)dx=\int_{0}^{8}\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx
  2. Căutăm o primitivă. Din (x+1)′=12x+1\displaystyle \left(\sqrt{x+1}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} rezultă 1x+1=2⋅12x+1\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x+1}}=2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}. Deci o primitivă a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} este 2x+1\displaystyle 2\sqrt{x+1}.
    ∫081x+1 dx=2∫08(x+1)′⋅12x+1 dx=2x+1∣08\displaystyle \int_{0}^{8}\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx=2\int_{0}^{8}(x+1)'\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\,dx=\left.2\sqrt{x+1}\right|_0^8
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 28+1−20+1=2⋅3−2⋅1=6−2=4\displaystyle 2\sqrt{8+1}-2\sqrt{0+1}=2\cdot 3-2\cdot 1=6-2=4. Deci integrala este egală cu 4\displaystyle 4.
    2⋅3−2⋅1=4\displaystyle 2\cdot 3-2\cdot 1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+1+1x+1\displaystyle f(x)=x+1+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}. Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox\displaystyle Ox a graficului funcției g:[0,3]→R\displaystyle g:[0,3]\to\mathbb{R}, g(x)=f(x)\displaystyle g(x)=f(x), este egal cu π(913+ln⁡4)\displaystyle \pi\left(\dfrac{91}{3}+\ln 4\right).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula volumului corpului de rotație obținut prin rotirea graficului funcției g\displaystyle g (cu g(x)=f(x)\displaystyle g(x)=f(x)) în jurul axei Ox\displaystyle Ox, pe intervalul [0,3]\displaystyle [0,3], și se ridică la pătrat expresia funcției.
    V=π∫03g2(x) dx=π∫03(x+1+1x+1)2dx\displaystyle V=\pi\int_{0}^{3}g^2(x)\,dx=\pi\int_{0}^{3}\left(x+1+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)^2dx
  2. Se dezvoltă pătratul sumei folosind formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, cu a=x+1\displaystyle a=x+1 și b=1x+1\displaystyle b=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}.
    (x+1+1x+1)2=(x+1)2+2(x+1)⋅1x+1+1x+1=(x+1)2+2x+1+1x+1\displaystyle \left(x+1+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)^2=(x+1)^2+2(x+1)\cdot\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{1}{x+1}=(x+1)^2+2\sqrt{x+1}+\frac{1}{x+1}
  3. Se înlocuiește în integrală expresia dezvoltată, obținându-se forma cerută de barem pentru volum.
    V=π∫03g2(x)dx=π∫03((x+1)2+2x+1+1x+1)dx=\displaystyle V=\pi\int_{0}^{3}g^2(x)dx=\pi\int_{0}^{3}\left((x+1)^2+2\sqrt{x+1}+\frac{1}{x+1}\right)dx=
  4. Se observă că (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1, deci integrala se poate scrie sub forma unei compuneri de funcții ce admite primitive uzuale, calculate termen cu termen.
    π∫03(x+1)′((x+1)2+2x+1+1x+1)dx\displaystyle \pi\int_{0}^{3}(x+1)'\left((x+1)^2+2\sqrt{x+1}+\frac{1}{x+1}\right)dx
  5. Se determină o primitivă pentru fiecare termen: pentru (x+1)2\displaystyle (x+1)^{2} se obține (x+1)33\displaystyle \dfrac{(x+1)^{3}}{3}, pentru 2x+1\displaystyle 2\sqrt{x+1} se obține 43⋅(x+1)x+1\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot(x+1)\sqrt{x+1}, iar pentru 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} se obține ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1).
    F(x)=(x+1)33+43(x+1)x+1+ln⁡(x+1)\displaystyle F(x)=\frac{(x+1)^3}{3}+\frac{4}{3}(x+1)\sqrt{x+1}+\ln(x+1)
  6. Se evaluează primitiva în capetele intervalului [0,3]\displaystyle [0,3]: F(3)=643+323+ln⁡4\displaystyle F(3)=\dfrac{64}{3}+\dfrac{32}{3}+\ln 4, iar F(0)=13+43\displaystyle F(0)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}.
    F(3)−F(0)=643+323+ln⁡4−13−43\displaystyle F(3)-F(0)=\frac{64}{3}+\frac{32}{3}+\ln4-\frac{1}{3}-\frac{4}{3}
  7. Se aplică formula Leibniz-Newton, scăzând valoarea primitivei în 0\displaystyle 0 din valoarea primitivei în 3\displaystyle 3, și se înmulțește cu π\displaystyle \pi pentru a obține volumul final.
    =π((x+1)33+4⋅(x+1)x+13+ln⁡(x+1))∣03=π(643+323+ln⁡4−13−43)=π(913+ln⁡4)\displaystyle =\pi\left.\left(\frac{(x+1)^3}{3}+4\cdot\frac{(x+1)\sqrt{x+1}}{3}+\ln(x+1)\right)\right|_0^3=\pi\left(\frac{64}{3}+\frac{32}{3}+\ln 4-\frac{1}{3}-\frac{4}{3}\right)=\pi\left(\frac{91}{3}+\ln 4\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.