Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 15: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1−23+34−45):1760=1\displaystyle \left(1-\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{4}{5}\right):\frac{17}{60}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Numitorii sunt 1\displaystyle 1, 3\displaystyle 3, 4\displaystyle 4 și 5\displaystyle 5, iar cel mai mic multiplu comun al lor este 60\displaystyle 60. Vom aduce toți termenii din paranteză la numitorul 60\displaystyle 60.
    numitor comun 60\displaystyle \text{numitor comun } 60
  2. Amplificăm fiecare fracție: 1=6060\displaystyle 1=\dfrac{60}{60}, 23=4060\displaystyle \dfrac{2}{3}=\dfrac{40}{60}, 34=4560\displaystyle \dfrac{3}{4}=\dfrac{45}{60} și 45=4860\displaystyle \dfrac{4}{5}=\dfrac{48}{60}.
    (6060−4060+4560−4860):1760\displaystyle \left(\frac{60}{60}-\frac{40}{60}+\frac{45}{60}-\frac{48}{60}\right):\frac{17}{60}
  3. Calculăm numărătorul din paranteză: 60−40+45−48=17\displaystyle 60-40+45-48=17. Deci paranteza este egală cu 1760\displaystyle \dfrac{17}{60}.
    (6060−4060+4560−4860):1760=1760:1760\displaystyle \left(\frac{60}{60}-\frac{40}{60}+\frac{45}{60}-\frac{48}{60}\right):\frac{17}{60}=\frac{17}{60}:\frac{17}{60}
  4. Împărțim două fracții egale, iar câtul este 1\displaystyle 1. Așadar egalitatea din enunț este adevărată.
    1760:1760=1760⋅6017=1\displaystyle \frac{17}{60}:\frac{17}{60}=\frac{17}{60}\cdot\frac{60}{17}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−1\displaystyle f(x)=x^2-1. Calculați f(0)⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅f(4)⋅f(5)\displaystyle f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)\cdot f(5).
Vezi rezolvarea
  1. Produsul are șase factori, f(0),f(1),…,f(5)\displaystyle f(0), f(1), \ldots, f(5). Dacă un factor este zero, tot produsul este zero, așa că verificăm dacă vreun factor se anulează. Avem f(x)=0\displaystyle f(x)=0 când x2=1\displaystyle x^{2}=1, adică x=1\displaystyle x=1 sau x=−1\displaystyle x=-1. Valoarea x=1\displaystyle x=1 apare printre factori.
    f(x)=0⇔x2=1⇔x=±1\displaystyle f(x)=0 \Leftrightarrow x^{2}=1 \Leftrightarrow x=\pm 1
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției: f(1)=12−1=0\displaystyle f(1)=1^{2}-1=0.
    f(1)=12−1=0\displaystyle f(1)=1^{2}-1=0
  3. Deoarece factorul f(1)\displaystyle f(1) este zero, iar produsul oricărui număr cu zero este zero, produsul celor șase factori este zero, indiferent de valorile celorlalți factori. Răspuns final: 0\displaystyle 0.
    f(0)⋅f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅f(4)⋅f(5)=f(0)⋅0⋅f(2)⋅f(3)⋅f(4)⋅f(5)=0\displaystyle f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)\cdot f(5)=f(0)\cdot 0\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)\cdot f(5)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x−3=5\displaystyle \sqrt{4x-3}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie mai mare sau egală cu zero, deci 4x−3≥0\displaystyle 4x-3\ge 0, adică x≥34\displaystyle x\ge \dfrac{3}{4}.
    x≥34\displaystyle x\ge \dfrac{3}{4}
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației: (4x−3)2=52\displaystyle \left(\sqrt{4x-3}\right)^{2}=5^{2}. Obținem 4x−3=25\displaystyle 4x-3=25.
    4x−3=25\displaystyle 4x-3=25
  3. Adunăm 3\displaystyle 3 la ambii membri ai ecuației și obținem 4x=25+3\displaystyle 4x=25+3, adică 4x=28\displaystyle 4x=28.
    4x−3=25⇒4x=28\displaystyle 4x-3=25\Rightarrow 4x=28
  4. Împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem x=284=7\displaystyle x=\dfrac{28}{4}=7. Verificăm: 7≥34\displaystyle 7\ge \dfrac{3}{4}, iar 4⋅7−3=25=5\displaystyle \sqrt{4\cdot 7-3}=\sqrt{25}=5. Soluția convine.
    x=7, care convine\displaystyle x=7\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr x\displaystyle x din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}, acesta să verifice inegalitatea x2−2x≤0\displaystyle x^2-2x\le 0.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea A={1,2,…,10}\displaystyle A=\{1,2,\ldots,10\} are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile, fiindcă putem alege oricare dintre numerele de la 1 la 10.
    nr. cazuri posibile=10\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=10
  2. Descompunem în factori expresia din inegalitate, dând factor comun pe x\displaystyle x: x2−2x=x(x−2)\displaystyle x^{2}-2x=x(x-2).
    x2−2x≤0⇔x(x−2)≤0\displaystyle x^{2}-2x\le 0\Leftrightarrow x(x-2)\le 0
  3. Produsul x(x−2)\displaystyle x(x-2) este mai mic sau egal cu zero când x\displaystyle x se află între rădăcinile 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2, inclusiv capetele. Deci x∈[0,2]\displaystyle x\in[0,2]. Dintre numerele din A\displaystyle A, doar 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2 se află în acest interval.
    x∈[0,2]∩A={1,2}, deci 2 cazuri favorabile\displaystyle x\in[0,2]\cap A=\{1,2\}\text{, deci }2\text{ cazuri favorabile}
  4. Aplicăm formula probabilității ca raport între numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, apoi simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=210=15\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,6)\displaystyle A(0,6) și B(6,0)\displaystyle B(6,0). Arătați că triunghiul AOB\displaystyle AOB este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte. Originea este O(0,0)\displaystyle O(0,0), deci lungimea AO\displaystyle AO este distanța de la A(0,6)\displaystyle A(0,6) la O(0,0)\displaystyle O(0,0): AO=(0−0)2+(6−0)2\displaystyle AO=\sqrt{(0-0)^{2}+(6-0)^{2}}.
    AO=02+62\displaystyle AO=\sqrt{0^{2}+6^{2}}
  2. Calculăm radicalul: 36=6\displaystyle \sqrt{36}=6, deci punctul A\displaystyle A se află pe axa Oy\displaystyle Oy, la distanța 6 de origine.
    AO=36=6\displaystyle AO=\sqrt{36}=6
  3. Calculăm în același fel lungimea BO\displaystyle BO, distanța de la B(6,0)\displaystyle B(6,0) la O(0,0)\displaystyle O(0,0): BO=(6−0)2+(0−0)2=36\displaystyle BO=\sqrt{(6-0)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{36}.
    BO=62+02=36=6\displaystyle BO=\sqrt{6^{2}+0^{2}}=\sqrt{36}=6
  4. Cum AO=BO=6\displaystyle AO=BO=6, triunghiul AOB\displaystyle AOB are două laturi congruente, deci este isoscel, cu baza AB\displaystyle AB.
    AO=BO=6⇒ΔAOB este isoscel\displaystyle AO=BO=6\Rightarrow \Delta AOB\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A cu AB=6\displaystyle AB=6 și AC=8\displaystyle AC=8.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC. Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul lungimilor catetelor: AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}.
    AΔABC=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}
  2. Înlocuim lungimile catetelor date, AB=6\displaystyle AB=6 și AC=8\displaystyle AC=8, în formulă.
    AΔABC=6⋅82\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{6\cdot 8}{2}
  3. Calculăm produsul de la numărător, 6⋅8=48\displaystyle 6\cdot 8=48, apoi împărțim la 2\displaystyle 2: 482=24\displaystyle \dfrac{48}{2}=24. Deci aria triunghiului este 24\displaystyle 24.
    AΔABC=482=24\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{48}{2}=24
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1211)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(−1xx−1−1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}-1&x\\x-1&-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(B(1))=1\displaystyle \det(B(1))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în matricea B(x)\displaystyle B(x). Elementul din dreapta sus devine 1\displaystyle 1, iar elementul din stânga jos devine 1−1=0\displaystyle 1-1=0.
    B(1)=(−110−1)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordinul doi al matricei B(1)\displaystyle B(1) ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(B(1))=∣−110−1∣=(−1)⋅(−1)−0⋅1\displaystyle \det(B(1))=\begin{vmatrix}-1&1\\0&-1\end{vmatrix}=(-1)\cdot(-1)-0\cdot 1
  3. Calculăm produsele: (−1)⋅(−1)=1\displaystyle (-1)\cdot(-1)=1, iar 0⋅1=0\displaystyle 0\cdot 1=0. Diferența lor este 1−0=1\displaystyle 1-0=1, deci determinantul este egal cu 1\displaystyle 1, ceea ce trebuia arătat.
    1−0=1\displaystyle 1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1211)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(−1xx−1−1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}-1&x\\x-1&-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A⋅A−2A=I2\displaystyle A\cdot A-2A=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind liniile cu coloanele: 1⋅1+2⋅1=3\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 1=3, 1⋅2+2⋅1=4\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot 1=4, 1⋅1+1⋅1=2\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 1=2, 1⋅2+1⋅1=3\displaystyle 1\cdot 2+1\cdot 1=3.
    A⋅A=(3423)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&4\\2&3\end{pmatrix}
  2. Calculăm 2A\displaystyle 2A, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 2\displaystyle 2.
    2A=(2422)\displaystyle 2A=\begin{pmatrix}2&4\\2&2\end{pmatrix}
  3. Scriem diferența A⋅A−2A\displaystyle A\cdot A-2A folosind cele două matrice obținute.
    A⋅A−2A=(3423)−(2422)\displaystyle A\cdot A-2A=\begin{pmatrix}3&4\\2&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&4\\2&2\end{pmatrix}
  4. Scădem matricele element cu element: 3−2=1\displaystyle 3-2=1, 4−4=0\displaystyle 4-4=0, 2−2=0\displaystyle 2-2=0, 3−2=1\displaystyle 3-2=1. Obținem matricea unitate I2\displaystyle I_2, deci egalitatea este demonstrată.
    (1001)=I2\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1211)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=(−1xx−1−1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}-1&x\\x-1&-1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅B(x)=I2\displaystyle A\cdot B(x)=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B(x)\displaystyle A\cdot B(x) element cu element, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B(x)\displaystyle B(x). Prima linie a lui A\displaystyle A este (1, 2)\displaystyle (1,\ 2), iar a doua este (1, 1)\displaystyle (1,\ 1). Prima coloană a lui B(x)\displaystyle B(x) este (−1, x−1)\displaystyle (-1,\ x-1), iar a doua este (x, −1)\displaystyle (x,\ -1).
    (1⋅(−1)+2(x−1)1⋅x+2⋅(−1)1⋅(−1)+1⋅(x−1)1⋅x+1⋅(−1))\displaystyle \begin{pmatrix}1\cdot(-1)+2(x-1)&1\cdot x+2\cdot(-1)\\1\cdot(-1)+1\cdot(x-1)&1\cdot x+1\cdot(-1)\end{pmatrix}
  2. Reducem termenii asemenea în fiecare element și obținem matricea produs, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    A⋅B(x)=(2x−3x−2x−2x−1), pentru orice numa˘r real x\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}2x-3&x-2\\x-2&x-1\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }x
  3. Egalăm matricea produs cu matricea unitate I2\displaystyle I_2 și scriem egalitatea element cu element. Obținem patru ecuații.
    (2x−3x−2x−2x−1)=(1001)⇒2x−3=1\displaystyle \begin{pmatrix}2x-3&x-2\\x-2&x-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\Rightarrow 2x-3=1, x−2=0\displaystyle \ x-2=0, x−2=0\displaystyle \ x-2=0, x−1=1\displaystyle \ x-1=1
  4. Rezolvăm ecuațiile. Din 2x−3=1\displaystyle 2x-3=1 rezultă x=2\displaystyle x=2. Din x−2=0\displaystyle x-2=0 rezultă x=2\displaystyle x=2. Din x−1=1\displaystyle x-1=1 rezultă x=2\displaystyle x=2. Toate ecuațiile dau aceeași valoare, deci x=2\displaystyle x=2 convine.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y−2\displaystyle x*y=xy+x+y-2.

Arătați că (−1)∗2020=−3\displaystyle (-1)*2020=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii: x∗y=xy+x+y−2\displaystyle x*y=xy+x+y-2. Pentru x=−1\displaystyle x=-1 și y=2020\displaystyle y=2020 înlocuim în formulă.
    (−1)∗2020=(−1)⋅2020+(−1)+2020−2\displaystyle (-1)*2020=(-1)\cdot 2020+(-1)+2020-2
  2. Calculăm produsul: (−1)⋅2020=−2020\displaystyle (-1)\cdot 2020=-2020. Apoi scriem toți termenii în ordine.
    −2020−1+2020−2\displaystyle -2020-1+2020-2
  3. Termenii −2020\displaystyle -2020 și 2020\displaystyle 2020 se reduc, iar rămân −1−2=−3\displaystyle -1-2=-3. Deci (−1)∗2020=−3\displaystyle (-1)*2020=-3, ceea ce trebuia arătat.
    −2020−1+2020−2=−3\displaystyle -2020-1+2020-2=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y−2\displaystyle x*y=xy+x+y-2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗(2x)=3\displaystyle x*(2x)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm legea de compoziție x∗y=xy+x+y−2\displaystyle x*y=xy+x+y-2 pentru y=2x\displaystyle y=2x: x∗(2x)=x⋅(2x)+x+2x−2\displaystyle x*(2x)=x\cdot(2x)+x+2x-2.
    x∗(2x)=x⋅(2x)+x+2x−2\displaystyle x*(2x)=x\cdot(2x)+x+2x-2
  2. Egalăm expresia cu 3\displaystyle 3: x⋅(2x)+x+2x−2=3\displaystyle x\cdot(2x)+x+2x-2=3. Avem x⋅(2x)=2x2\displaystyle x\cdot(2x)=2x^{2} și x+2x=3x\displaystyle x+2x=3x, deci 2x2+3x−2=3\displaystyle 2x^{2}+3x-2=3.
    2x2+3x−2=3\displaystyle 2x^{2}+3x-2=3
  3. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri și obținem ecuația de gradul al doilea 2x2+3x−5=0\displaystyle 2x^{2}+3x-5=0.
    2x2+3x−5=0\displaystyle 2x^{2}+3x-5=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=32−4⋅2⋅(−5)=9+40=49\displaystyle \Delta=3^{2}-4\cdot 2\cdot(-5)=9+40=49, deci Δ=7\displaystyle \sqrt{\Delta}=7.
    Δ=49\displaystyle \Delta=49
  5. Aplicăm formula rădăcinilor: x=−3±74\displaystyle x=\dfrac{-3\pm 7}{4}. Obținem x=−104=−52\displaystyle x=\dfrac{-10}{4}=-\dfrac{5}{2} sau x=44=1\displaystyle x=\dfrac{4}{4}=1. Ambele sunt numere reale, deci convin.
    x=−52 sau x=1\displaystyle x=-\frac{5}{2}\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+y−2\displaystyle x*y=xy+x+y-2.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale pentru care m∗n=−1\displaystyle m*n=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție pentru m\displaystyle m și n\displaystyle n: m∗n=mn+m+n−2\displaystyle m*n=mn+m+n-2.
    m∗n=mn+m+n−2\displaystyle m*n=mn+m+n-2
  2. Dăm factor comun pe m\displaystyle m din mn+m\displaystyle mn+m, apoi scriem n−2=(n+1)−3\displaystyle n-2=(n+1)-3, ca să apară factorul n+1\displaystyle n+1 în ambii termeni: m(n+1)+(n+1)−3\displaystyle m(n+1)+(n+1)-3.
    m∗n=m(n+1)+(n+1)−3\displaystyle m*n=m(n+1)+(n+1)-3
  3. Dăm factor comun pe n+1\displaystyle n+1 și obținem forma factorizată, valabilă pentru orice numere naturale m\displaystyle m și n\displaystyle n.
    m∗n=(m+1)(n+1)−3\displaystyle m*n=(m+1)(n+1)-3
  4. Punem condiția m∗n=−1\displaystyle m*n=-1, adică (m+1)(n+1)−3=−1\displaystyle (m+1)(n+1)-3=-1. Mutăm −3\displaystyle -3 în partea dreaptă.
    (m+1)(n+1)=2\displaystyle (m+1)(n+1)=2
  5. Cum m,n∈N\displaystyle m,n\in\mathbb{N}, numerele m+1\displaystyle m+1 și n+1\displaystyle n+1 sunt naturale nenule, deci sunt divizori ai lui 2\displaystyle 2, adică 1\displaystyle 1 sau 2\displaystyle 2. Produsul lor este 2\displaystyle 2, deci unul dintre ele este 1\displaystyle 1 și celălalt este 2\displaystyle 2.
    (m+1,n+1)∈{(1,2),(2,1)}\displaystyle (m+1,n+1)\in\{(1,2),(2,1)\}
  6. Scădem 1\displaystyle 1 din fiecare factor și obținem perechile căutate.
    (m,n)=(0,1) sau (m,n)=(1,0)\displaystyle (m,n)=(0,1)\text{ sau }(m,n)=(1,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−5x+ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2-5x+\ln x.

Arătați că f′(x)=(x−1)(4x−1)x\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(4x-1)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen funcția f(x)=2x2−5x+ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2-5x+\ln x: (2x2)′=4x\displaystyle (2x^2)'=4x, (−5x)′=−5\displaystyle (-5x)'=-5, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=4x−5+1x\displaystyle f'(x)=4x-5+\frac{1}{x}
  2. Aducem la numitor comun x\displaystyle x, amplificând termenii 4x\displaystyle 4x și −5\displaystyle -5 cu x\displaystyle x: 4x=4x2x\displaystyle 4x=\dfrac{4x^2}{x} și −5=−5xx\displaystyle -5=\dfrac{-5x}{x}.
    f′(x)=4x2−5x+1x\displaystyle f'(x)=\frac{4x^2-5x+1}{x}
  3. Descompunem numărătorul: ecuația 4x2−5x+1=0\displaystyle 4x^2-5x+1=0 are Δ=25−16=9\displaystyle \Delta=25-16=9, deci rădăcinile x=1\displaystyle x=1 și x=14\displaystyle x=\dfrac{1}{4}. Atunci 4x2−5x+1=4(x−1)(x−14)=(x−1)(4x−1)\displaystyle 4x^2-5x+1=4(x-1)\left(x-\dfrac{1}{4}\right)=(x-1)(4x-1). Verificăm: (x−1)(4x−1)=4x2−x−4x+1=4x2−5x+1\displaystyle (x-1)(4x-1)=4x^2-x-4x+1=4x^2-5x+1.
    4x2−5x+1=(x−1)(4x−1)\displaystyle 4x^2-5x+1=(x-1)(4x-1)
  4. Înlocuind numărătorul factorizat în expresia derivatei, obținem egalitatea cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=4x2−5x+1x=(x−1)(4x−1)x, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\frac{4x^2-5x+1}{x}=\frac{(x-1)(4x-1)}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−5x+ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2-5x+\ln x.

Arătați că lim⁡x→+∞ln⁡xf(x)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{f(x)}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem limita cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia ei: lim⁡x→+∞ln⁡x2x2−5x+ln⁡x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{2x^{2}-5x+\ln x}. La numărător ln⁡x→+∞\displaystyle \ln x\to+\infty, iar la numitor 2x2−5x+ln⁡x→+∞\displaystyle 2x^{2}-5x+\ln x\to+\infty, deci avem cazul ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty} și putem aplica regula lui L'Hospital.
    lim⁡x→+∞ln⁡xf(x)=lim⁡x→+∞ln⁡x2x2−5x+ln⁡x\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{f(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{2x^{2}-5x+\ln x}
  2. Aplicăm regula lui L'Hospital: derivăm separat numărătorul și numitorul, adică (ln⁡x)′\displaystyle (\ln x)' și (2x2−5x+ln⁡x)′\displaystyle (2x^{2}-5x+\ln x)'.
    lim⁡x→+∞ln⁡x2x2−5x+ln⁡x=lim⁡x→+∞(ln⁡x)′(2x2−5x+ln⁡x)′\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{2x^{2}-5x+\ln x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)'}{(2x^{2}-5x+\ln x)'}
  3. Calculăm derivatele: (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, iar (2x2−5x+ln⁡x)′=4x−5+1x=4x2−5x+1x\displaystyle (2x^{2}-5x+\ln x)'=4x-5+\dfrac{1}{x}=\dfrac{4x^{2}-5x+1}{x}.
    (ln⁡x)′(2x2−5x+ln⁡x)′=1x4x2−5x+1x\displaystyle \frac{(\ln x)'}{(2x^{2}-5x+\ln x)'}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{4x^{2}-5x+1}{x}}
  4. Simplificăm fracția prin 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} și obținem lim⁡x→+∞14x2−5x+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{4x^{2}-5x+1}. Numitorul 4x2−5x+1→+∞\displaystyle 4x^{2}-5x+1\to+\infty, deci limita este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→+∞1x4x2−5x+1x=lim⁡x→+∞14x2−5x+1=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{4x^{2}-5x+1}{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{4x^{2}-5x+1}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−5x+ln⁡x\displaystyle f(x)=2x^2-5x+\ln x.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=1\displaystyle x=1: y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1).
    y−f(1)=f′(1)(x−1)\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia funcției: f(1)=2⋅12−5⋅1+ln⁡1=2−5+0\displaystyle f(1)=2\cdot 1^2-5\cdot 1+\ln 1=2-5+0.
    f(1)=−3\displaystyle f(1)=-3
  3. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând termen cu termen: f′(x)=(2x2)′−(5x)′+(ln⁡x)′\displaystyle f'(x)=\left(2x^2\right)'-(5x)'+(\ln x)'.
    f′(x)=4x−5+1x\displaystyle f'(x)=4x-5+\dfrac{1}{x}
  4. Calculăm f′(1)\displaystyle f'(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în derivată: f′(1)=4⋅1−5+11=4−5+1\displaystyle f'(1)=4\cdot 1-5+\dfrac{1}{1}=4-5+1. Astfel, f(1)=−3\displaystyle f(1)=-3 și f′(1)=0\displaystyle f'(1)=0.
    f(1)=−3, f′(1)=0\displaystyle f(1)=-3\text{, }f'(1)=0
  5. Înlocuim valorile găsite în formula tangentei: y−(−3)=0⋅(x−1)\displaystyle y-(-3)=0\cdot(x-1), deci y+3=0\displaystyle y+3=0. Rezultă că tangenta este dreapta orizontală de ecuație y=−3\displaystyle y=-3.
    y−f(1)=f′(1)(x−1), adica˘ y=−3\displaystyle y-f(1)=f'(1)(x-1)\text{, adică }y=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+x2+x+1\displaystyle f(x)=x^3+x^2+x+1.

Arătați că ∫−11(f(x)−x2−x−1)dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-x^2-x-1\right)dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu x3+x2+x+1\displaystyle x^3+x^2+x+1 în integrandul din enunț.
    ∫−11(x3+x2+x+1−x2−x−1)dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(x^3+x^2+x+1-x^2-x-1\right)dx
  2. Reducem termenii asemenea: x2−x2=0\displaystyle x^2-x^2=0, x−x=0\displaystyle x-x=0 și 1−1=0\displaystyle 1-1=0, deci în integrand rămâne doar x3\displaystyle x^3.
    ∫−11x3 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}x^3\,dx
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton. O primitivă a lui x3\displaystyle x^3 este x44\displaystyle \dfrac{x^4}{4}.
    ∫−11x3 dx=x44∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{-1}^{1}
  4. Calculăm diferența valorilor primitivei în capetele intervalului. Cum (−1)4=14=1\displaystyle (-1)^4=1^4=1, obținem aceeași valoare în ambele capete, iar diferența este 0\displaystyle 0.
    144−(−1)44=14−14=0\displaystyle \frac{1^4}{4}-\frac{(-1)^4}{4}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+x2+x+1\displaystyle f(x)=x^3+x^2+x+1.

Arătați că funcția F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=x44+x33+x22+x\displaystyle F(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x este o primitivă a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem definiția: F\displaystyle F este primitivă a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R} dacă F\displaystyle F este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R} și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. F\displaystyle F este o funcție polinomială, deci este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Rămâne să calculăm derivata lui F\displaystyle F.
    F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), ∀x∈R (de verificat)\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\text{ (de verificat)}
  2. Derivăm F\displaystyle F termen cu termen, folosind formula (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1} și faptul că (x)′=1\displaystyle (x)'=1.
    F′(x)=(x44+x33+x22+x)′=4x34+3x23+2x2+1\displaystyle F'(x)=\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x\right)'=\frac{4x^3}{4}+\frac{3x^2}{3}+\frac{2x}{2}+1
  3. Simplificăm fracțiile: în fiecare termen, coeficientul de la numărător se reduce cu numitorul. Obținem exact expresia lui f(x)\displaystyle f(x), pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′(x)=x3+x2+x+1=f(x), x∈R, deci F este o primitiva˘ a \displaystyle F'(x)=x^3+x^2+x+1=f(x)\text{, }x\in\mathbb{R}\text{, deci }F\text{ este o primitivă a }funcției f\displaystyle \text{funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+x2+x+1\displaystyle f(x)=x^3+x^2+x+1.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care ∫12f(x)x2+1⋅exdx=(ae)2−e\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{f(x)}{x^2+1}\cdot e^x dx=(ae)^2-e.
Vezi rezolvarea
  1. Factorizăm polinomul f(x)\displaystyle f(x) prin gruparea termenilor: x3+x2+x+1=x2(x+1)+(x+1)=(x2+1)(x+1)\displaystyle x^3+x^2+x+1=x^2(x+1)+(x+1)=(x^2+1)(x+1).
    f(x)=(x2+1)(x+1)\displaystyle f(x)=(x^2+1)(x+1)
  2. Simplificăm fracția cu x2+1\displaystyle x^2+1, care este diferit de zero, și obținem de integrat funcția (x+1)ex\displaystyle (x+1)e^x.
    ∫12(x2+1)(x+1)x2+1⋅ex dx=∫12(x+1)ex dx\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{(x^2+1)(x+1)}{x^2+1}\cdot e^x\,dx=\int_{1}^{2}(x+1)e^x\,dx
  3. Verificăm că xex\displaystyle xe^x este o primitivă a lui (x+1)ex\displaystyle (x+1)e^x: derivata lui xex\displaystyle xe^x este ex+xex=(x+1)ex\displaystyle e^x+xe^x=(x+1)e^x.
    (xex)′=(x+1)ex\displaystyle \left(xe^x\right)'=(x+1)e^x
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 2\displaystyle 2 minus valoarea ei în 1\displaystyle 1.
    ∫12(x+1)ex dx=xex∣12=2e2−1⋅e=2e2−e\displaystyle \int_{1}^{2}(x+1)e^x\,dx=xe^x\Big|_{1}^{2}=2e^2-1\cdot e=2e^2-e
  5. Egalăm valoarea integralei cu membrul drept din enunț: 2e2−e=(ae)2−e\displaystyle 2e^2-e=(ae)^2-e.
    2e2−e=(ae)2−e\displaystyle 2e^2-e=(ae)^2-e
  6. Reducem termenul −e\displaystyle -e din ambii membri și obținem 2e2=a2e2\displaystyle 2e^2=a^2e^2. Împărțim la e2\displaystyle e^2, care este nenul, și rezultă a2=2\displaystyle a^2=2, deci a=−2\displaystyle a=-\sqrt{2} sau a=2\displaystyle a=\sqrt{2}.
    a2=2, deci a=−2 sau a=2\displaystyle a^2=2\text{, deci }a=-\sqrt{2}\text{ sau }a=\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.