Bac matematică M3 tehnologic 2021, model, test de evaluare 6: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 15−2−5=2\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}-\sqrt{5}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Raționalizăm numitorul fracției: amplificăm cu conjugata lui 5−2\displaystyle \sqrt{5}-2, adică cu 5+2\displaystyle \sqrt{5}+2.
    15−2=1⋅(5+2)(5−2)(5+2)\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{1\cdot\left(\sqrt{5}+2\right)}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}
  2. Aplicăm formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} la numitor și scriem expresia inițială cu fracția amplificată.
    5+2(5)2−4−5\displaystyle \frac{\sqrt{5}+2}{\left(\sqrt{5}\right)^2-4}-\sqrt{5}
  3. Calculăm numitorul: (5)2=5\displaystyle \left(\sqrt{5}\right)^2=5, iar 5−4=1\displaystyle 5-4=1, deci fracția devine egală cu numărătorul.
    5+25−4=5+2\displaystyle \frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\sqrt{5}+2
  4. Înlocuim în expresie și reducem termenii opuși 5\displaystyle \sqrt{5} și −5\displaystyle -\sqrt{5}, deci egalitatea este demonstrată.
    5+2−5=2\displaystyle \sqrt{5}+2-\sqrt{5}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2+5x+2\displaystyle f(x)=2x^2+5x+2. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=a\displaystyle f(a)=a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției și obținem f(a)=2a2+5a+2\displaystyle f(a)=2a^{2}+5a+2.
    f(a)=2a2+5a+2\displaystyle f(a)=2a^{2}+5a+2
  2. Punem condiția f(a)=a\displaystyle f(a)=a și obținem ecuația 2a2+5a+2=a\displaystyle 2a^{2}+5a+2=a.
    2a2+5a+2=a\displaystyle 2a^{2}+5a+2=a
  3. Mutăm pe a\displaystyle a în membrul stâng și reducem termenii asemenea: 5a−a=4a\displaystyle 5a-a=4a. Ecuația devine 2a2+4a+2=0\displaystyle 2a^{2}+4a+2=0.
    2a2+4a+2=0\displaystyle 2a^{2}+4a+2=0
  4. Împărțim ecuația la 2\displaystyle 2 și obținem a2+2a+1=0\displaystyle a^{2}+2a+1=0, adică (a+1)2=0\displaystyle (a+1)^{2}=0.
    (a+1)2=0\displaystyle (a+1)^{2}=0
  5. Un pătrat este zero doar când baza este zero, deci a+1=0\displaystyle a+1=0, de unde a=−1\displaystyle a=-1. Aceasta este singura valoare căutată.
    a=−1\displaystyle a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3log⁡4(3x+1)=6\displaystyle 3\log_4(3x+1)=6.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci 3x+1>0\displaystyle 3x+1>0, adică x>−13\displaystyle x>-\dfrac{1}{3}.
    x>−13\displaystyle x>-\dfrac{1}{3}
  2. Împărțim ecuația la 3\displaystyle 3 și obținem log⁡4(3x+1)=2\displaystyle \log_4(3x+1)=2.
    log⁡4(3x+1)=2\displaystyle \log_4(3x+1)=2
  3. Folosim definiția logaritmului: log⁡4a=2\displaystyle \log_4 a=2 exact când a=42\displaystyle a=4^2. Deci 3x+1=42\displaystyle 3x+1=4^2, adică 3x+1=16\displaystyle 3x+1=16.
    log⁡4(3x+1)=2⇒3x+1=42⇒3x+1=16\displaystyle \log_4(3x+1)=2\Rightarrow 3x+1=4^2\Rightarrow 3x+1=16
  4. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: 3x=15\displaystyle 3x=15, deci x=5\displaystyle x=5. Verificăm condiția: 5>−13\displaystyle 5>-\dfrac{1}{3}, deci soluția convine.
    x=5, care convine\displaystyle x=5\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr x\displaystyle x din mulțimea A={4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{4,5,6,7,8,9\}, numărul x2\displaystyle x^2 să fie număr impar.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: mulțimea A={4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{4,5,6,7,8,9\} are 6 elemente, deci numărul cazurilor posibile este 6\displaystyle 6.
    6\displaystyle 6
  2. Numărul x2\displaystyle x^{2} este impar exact când x\displaystyle x este impar, deci cazurile favorabile sunt elementele impare ale mulțimii A\displaystyle A.
    x∈{5,7,9}\displaystyle x\in\{5,7,9\}
  3. Numărăm cazurile favorabile: sunt 3 numere impare în mulțimea A\displaystyle A.
    3\displaystyle 3
  4. Aplicăm formula p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}} și simplificăm fracția cu 3.
    p=36=12\displaystyle p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,−1)\displaystyle A(2,-1), B(4,3)\displaystyle B(4,3) și C(a,b)\displaystyle C(a,b), unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale. Determinați numărul real b\displaystyle b, știind că punctul A\displaystyle A este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC.
Vezi rezolvarea
  1. Dacă A\displaystyle A este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC, atunci xA=xB+xC2\displaystyle x_A=\dfrac{x_B+x_C}{2} și yA=yB+yC2\displaystyle y_A=\dfrac{y_B+y_C}{2}.
    xA=xB+xC2\displaystyle x_A=\frac{x_B+x_C}{2},yA=yB+yC2\displaystyle \quad y_A=\frac{y_B+y_C}{2}
  2. Înlocuim xA=2\displaystyle x_A=2, xB=4\displaystyle x_B=4, xC=a\displaystyle x_C=a în prima formulă și obținem 2=4+a2\displaystyle 2=\dfrac{4+a}{2}.
    2=4+a2\displaystyle 2=\frac{4+a}{2}
  3. Din 4+a=4\displaystyle 4+a=4 rezultă a=0\displaystyle a=0.
    4+a=4⇒a=0\displaystyle 4+a=4\Rightarrow a=0
  4. Înlocuim yA=−1\displaystyle y_A=-1, yB=3\displaystyle y_B=3, yC=b\displaystyle y_C=b în a doua formulă și obținem −1=3+b2\displaystyle -1=\dfrac{3+b}{2}.
    −1=3+b2\displaystyle -1=\frac{3+b}{2}
  5. Înmulțim cu 2\displaystyle 2: 3+b=−2\displaystyle 3+b=-2, deci b=−5\displaystyle b=-5. Așadar a=0\displaystyle a=0 și b=−5\displaystyle b=-5, adică C(0,−5)\displaystyle C(0,-5).
    a=0\displaystyle a=0, b=−5\displaystyle \ b=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu AB=9\displaystyle AB=9 și AC=12\displaystyle AC=12. Determinați lungimea înălțimii din A\displaystyle A a triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC. Aplicăm teorema lui Pitagora: BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}.
    BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
  2. Înlocuim AB=9\displaystyle AB=9 și AC=12\displaystyle AC=12: BC2=81+144=225\displaystyle BC^{2}=81+144=225, deci BC=225=15\displaystyle BC=\sqrt{225}=15.
    BC=92+122=225=15\displaystyle BC=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{225}=15
  3. Aria triunghiului dreptunghic se poate calcula în două moduri: cu catetele, A=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}, sau cu ipotenuza și înălțimea din A\displaystyle A, A=BC⋅h2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{BC\cdot h}{2}. Egalăm cele două expresii.
    AB⋅AC2=BC⋅h2\displaystyle \dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{BC\cdot h}{2}
  4. Din egalitate scoatem h\displaystyle h: h=AB⋅ACBC\displaystyle h=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}.
    h=AB⋅ACBC\displaystyle h=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}
  5. Înlocuim valorile: 9⋅12=108\displaystyle 9\cdot 12=108, iar 10815=7,2\displaystyle \dfrac{108}{15}=7{,}2. Înălțimea din A\displaystyle A are lungimea 7,2\displaystyle 7{,}2.
    h=9⋅1215=7,2\displaystyle h=\dfrac{9\cdot 12}{15}=7{,}2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4232)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&2\\3&2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=2\displaystyle \det A=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, cu elementele date: prima linie 4\displaystyle 4 și 2\displaystyle 2, a doua linie 3\displaystyle 3 și 2\displaystyle 2.
    det⁡A=∣4232∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}4&2\\3&2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula pentru determinantul de ordinul 2\displaystyle 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡A=4⋅2−2⋅3\displaystyle \det A=4\cdot 2-2\cdot 3
  3. Calculăm cele două produse: 4⋅2=8\displaystyle 4\cdot 2=8, iar 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6. Apoi scădem și obținem rezultatul cerut.
    det⁡A=8−6=2\displaystyle \det A=8-6=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4232)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&2\\3&2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că (A−2I2)⋅(A−4I2)=6I2\displaystyle (A-2I_2)\cdot(A-4I_2)=6I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 2I2\displaystyle 2I_2: înmulțim fiecare element al matricei unitate cu 2\displaystyle 2.
    2I2=(2002)\displaystyle 2I_2=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm A−2I2\displaystyle A-2I_2, scăzând element cu element.
    A−2I2=(4−22−03−02−2)=(2230)\displaystyle A-2I_2=\begin{pmatrix}4-2&2-0\\3-0&2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\3&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm A−4I2\displaystyle A-4I_2 în același mod, folosind 4I2=(4004)\displaystyle 4I_2=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}.
    A−4I2=(4−42−03−02−4)=(023−2)\displaystyle A-4I_2=\begin{pmatrix}4-4&2-0\\3-0&2-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\3&-2\end{pmatrix}
  4. Scriem produsul cerut cu cele două matrice obținute.
    (A−2I2)⋅(A−4I2)=(2230)(023−2)\displaystyle (A-2I_2)\cdot(A-4I_2)=\begin{pmatrix}2&2\\3&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2\\3&-2\end{pmatrix}
  5. Efectuăm înmulțirea, linie cu coloană, element cu element.
    (2⋅0+2⋅32⋅2+2⋅(−2)3⋅0+0⋅33⋅2+0⋅(−2))=(6006)\displaystyle \begin{pmatrix}2\cdot0+2\cdot3&2\cdot2+2\cdot(-2)\\3\cdot0+0\cdot3&3\cdot2+0\cdot(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}
  6. Matricea obținută are 6\displaystyle 6 pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest, deci este 6I2\displaystyle 6I_2, ceea ce trebuia demonstrat.
    (6006)=6I2\displaystyle \begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}=6I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(4232)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&2\\3&2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care A⋅X=3A+4X\displaystyle A\cdot X=3A+4X.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea necunoscută X=(abcd)\displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, cu a,b,c,d∈R\displaystyle a,b,c,d\in\mathbb{R}.
    X=(abcd)\displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A⋅X\displaystyle A\cdot X, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui X\displaystyle X, și apoi 3A+4X\displaystyle 3A+4X, înmulțind fiecare matrice cu scalarul ei și adunând elementele de pe aceeași poziție.
    A⋅X=(4a+2c4b+2d3a+2c3b+2d) și 3A+4X=(12+4a6+4b9+4c6+4d)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}4a+2c&4b+2d\\3a+2c&3b+2d\end{pmatrix}\text{ și }3A+4X=\begin{pmatrix}12+4a&6+4b\\9+4c&6+4d\end{pmatrix}
  3. Din egalitatea A⋅X=3A+4X\displaystyle A\cdot X=3A+4X egalăm elementele de pe aceleași poziții și obținem un sistem de patru ecuații.
    {4a+2c=12+4a4b+2d=6+4b3a+2c=9+4c3b+2d=6+4d\displaystyle \begin{cases}4a+2c=12+4a\\4b+2d=6+4b\\3a+2c=9+4c\\3b+2d=6+4d\end{cases}
  4. În primele două ecuații se reduc termenii 4a\displaystyle 4a, respectiv 4b\displaystyle 4b. Rezultă 2c=12\displaystyle 2c=12 și 2d=6\displaystyle 2d=6.
    c=6\displaystyle c=6, d=3\displaystyle \ d=3
  5. Înlocuim c=6\displaystyle c=6 în a treia ecuație: 3a+12=9+24\displaystyle 3a+12=9+24, deci 3a=21\displaystyle 3a=21. Înlocuim d=3\displaystyle d=3 în a patra ecuație: 3b+6=6+12\displaystyle 3b+6=6+12, deci 3b=12\displaystyle 3b=12.
    a=7\displaystyle a=7, b=4\displaystyle \ b=4
  6. Scriem matricea X\displaystyle X cu valorile găsite: a=7\displaystyle a=7, b=4\displaystyle b=4, c=6\displaystyle c=6, d=3\displaystyle d=3.
    a=7\displaystyle a=7, b=4\displaystyle \ b=4, c=6\displaystyle \ c=6, d=3\displaystyle \ d=3, X=(7463)\displaystyle \ X=\begin{pmatrix}7&4\\6&3\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy−12x+y+3x+3y\displaystyle x*y=xy-\frac{12}{x+y}+\frac{3}{x}+\frac{3}{y}.

Arătați că 1∗3=4\displaystyle 1*3=4.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=xy−12x+y+3x+3y\displaystyle x*y=xy-\dfrac{12}{x+y}+\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y} și înlocuim x=1\displaystyle x=1, y=3\displaystyle y=3.
    1∗3=1⋅3−121+3+31+33\displaystyle 1*3=1\cdot 3-\dfrac{12}{1+3}+\dfrac{3}{1}+\dfrac{3}{3}
  2. Calculăm pe rând termenii: 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3, 121+3=124=3\displaystyle \dfrac{12}{1+3}=\dfrac{12}{4}=3, 31=3\displaystyle \dfrac{3}{1}=3 și 33=1\displaystyle \dfrac{3}{3}=1.
    1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3,124=3\displaystyle \quad \dfrac{12}{4}=3,31=3\displaystyle \quad \dfrac{3}{1}=3,33=1\displaystyle \quad \dfrac{3}{3}=1
  3. Înlocuim valorile obținute: 1∗3=3−3+3+1=4\displaystyle 1*3=3-3+3+1=4, deci egalitatea cerută este adevărată.
    1∗3=3−3+3+1=4\displaystyle 1*3=3-3+3+1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy−12x+y+3x+3y\displaystyle x*y=xy-\frac{12}{x+y}+\frac{3}{x}+\frac{3}{y}.

Arătați că x∗x=x2\displaystyle x*x=x^2, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția x∗y=xy−12x+y+3x+3y\displaystyle x*y=xy-\dfrac{12}{x+y}+\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}. Pentru x∈M\displaystyle x\in M avem x>0\displaystyle x>0, deci toate fracțiile au sens.
    x∗x=x⋅x−12x+x+3x+3x\displaystyle x*x=x\cdot x-\frac{12}{x+x}+\frac{3}{x}+\frac{3}{x}
  2. Avem x⋅x=x2\displaystyle x\cdot x=x^{2} și x+x=2x\displaystyle x+x=2x, deci fracția cu numitorul x+x\displaystyle x+x devine 122x\displaystyle \dfrac{12}{2x}.
    x∗x=x2−122x+3x+3x\displaystyle x*x=x^{2}-\frac{12}{2x}+\frac{3}{x}+\frac{3}{x}
  3. Simplificăm fracția cu 2\displaystyle 2: 122x=6x\displaystyle \dfrac{12}{2x}=\dfrac{6}{x}.
    x∗x=x2−6x+3x+3x\displaystyle x*x=x^{2}-\frac{6}{x}+\frac{3}{x}+\frac{3}{x}
  4. Adunăm fracțiile cu același numitor: 3x+3x=6x\displaystyle \dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{x}=\dfrac{6}{x}. Atunci −6x+6x=0\displaystyle -\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{x}=0, deci rămâne doar x2\displaystyle x^{2}.
    x∗x=x2−6x+6x=x2, pentru orice x∈M\displaystyle x*x=x^{2}-\frac{6}{x}+\frac{6}{x}=x^{2}\text{, pentru orice }x\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=(0,+∞)\displaystyle M=(0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=xy−12x+y+3x+3y\displaystyle x*y=xy-\frac{12}{x+y}+\frac{3}{x}+\frac{3}{y}.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n pentru care (n∗n)∗(n∗n)=1\displaystyle (n*n)*(n*n)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii.
    x∗x=x⋅x−12x+x+3x+3x\displaystyle x*x=x\cdot x-\dfrac{12}{x+x}+\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{x}
  2. Simplificăm: 122x=6x\displaystyle \dfrac{12}{2x}=\dfrac{6}{x}, iar 3x+3x=6x\displaystyle \dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{x}=\dfrac{6}{x}, deci cei doi termeni se reduc. Rămâne x∗x=x2\displaystyle x*x=x^{2}. Pentru x=n\displaystyle x=n obținem n∗n=n2\displaystyle n*n=n^{2}.
    x∗x=x2−6x+6x=x2  ⇒  n∗n=n2\displaystyle x*x=x^{2}-\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{x}=x^{2}\;\Rightarrow\; n*n=n^{2}
  3. Aplicăm din nou relația x∗x=x2\displaystyle x*x=x^{2}, acum pentru x=n2\displaystyle x=n^{2}, care este tot în M\displaystyle M. Obținem (n∗n)∗(n∗n)=n2∗n2=(n2)2\displaystyle (n*n)*(n*n)=n^{2}*n^{2}=\left(n^{2}\right)^{2}.
    (n∗n)∗(n∗n)=n2∗n2=(n2)2=n4\displaystyle (n*n)*(n*n)=n^{2}*n^{2}=\left(n^{2}\right)^{2}=n^{4}
  4. Ecuația din enunț devine n4=1\displaystyle n^{4}=1. Cum n\displaystyle n este număr natural nenul, singura soluție este n=1\displaystyle n=1.
    n4=1 și n∈N∗  ⇒  n=1\displaystyle n^{4}=1\text{ și }n\in\mathbb{N}^{*}\;\Rightarrow\; n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−2x+2\displaystyle f(x)=\frac{2}{x^2-2x+2}.

Arătați că f′(x)=4(1−x)(x2−2x+2)2\displaystyle f'(x)=\frac{4(1-x)}{\left(x^2-2x+2\right)^2}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția ca un cât: u(x)=2\displaystyle u(x)=2 și v(x)=x2−2x+2\displaystyle v(x)=x^{2}-2x+2. Aplicăm formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=u′(x) v(x)−u(x) v′(x)v(x)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}
  2. Calculăm derivatele: u′(x)=0\displaystyle u'(x)=0 deoarece u\displaystyle u este constantă, iar v′(x)=2x−2\displaystyle v'(x)=2x-2.
    u′(x)=0\displaystyle u'(x)=0,v′(x)=2x−2\displaystyle \quad v'(x)=2x-2
  3. Înlocuim în formulă. Primul termen din numărător dispare, fiindcă 0⋅v(x)=0\displaystyle 0\cdot v(x)=0, și rămâne −2(2x−2)\displaystyle -2(2x-2). Apoi desfacem parantezele: −2(2x−2)=−4x+4\displaystyle -2(2x-2)=-4x+4.
    f′(x)=0−2(2x−2)(x2−2x+2)2=4−4x(x2−2x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{0-2(2x-2)}{\left(x^{2}-2x+2\right)^{2}}=\dfrac{4-4x}{\left(x^{2}-2x+2\right)^{2}}
  4. Dăm factor comun 4\displaystyle 4 la numărător: 4−4x=4(1−x)\displaystyle 4-4x=4(1-x). Obținem forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece x2−2x+2=(x−1)2+1>0\displaystyle x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1>0, deci numitorul nu se anulează.
    f′(x)=4(1−x)(x2−2x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{4(1-x)}{\left(x^{2}-2x+2\right)^{2}}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−2x+2\displaystyle f(x)=\frac{2}{x^2-2x+2}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0=2\displaystyle x_0=2: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).
    y−f(2)=f′(2)(x−2)\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)
  2. Calculăm f(2)\displaystyle f(2): numitorul este 22−2⋅2+2=2\displaystyle 2^{2}-2\cdot 2+2=2, deci f(2)=22=1\displaystyle f(2)=\dfrac{2}{2}=1.
    f(2)=1\displaystyle f(2)=1
  3. Derivăm f\displaystyle f cu formula pentru derivata unui raport. Numărătorul este constant, iar derivata numitorului este (x2−2x+2)′=2x−2\displaystyle (x^{2}-2x+2)'=2x-2. Obținem f′(x)=0⋅(x2−2x+2)−2(2x−2)(x2−2x+2)2=−2(2x−2)(x2−2x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{0\cdot(x^{2}-2x+2)-2(2x-2)}{(x^{2}-2x+2)^{2}}=\dfrac{-2(2x-2)}{(x^{2}-2x+2)^{2}}.
    f′(x)=−2(2x−2)(x2−2x+2)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{-2(2x-2)}{(x^{2}-2x+2)^{2}}
  4. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în derivată: numărătorul este −2(2⋅2−2)=−4\displaystyle -2(2\cdot 2-2)=-4, iar numitorul este 22=4\displaystyle 2^{2}=4. Rezultă f′(2)=−44=−1\displaystyle f'(2)=\dfrac{-4}{4}=-1.
    f(2)=1\displaystyle f(2)=1, f′(2)=−1\displaystyle \ f'(2)=-1
  5. Înlocuim f(2)=1\displaystyle f(2)=1 și f′(2)=−1\displaystyle f'(2)=-1 în formula tangentei: y−1=−(x−2)\displaystyle y-1=-(x-2), adică y−1=−x+2\displaystyle y-1=-x+2. Deci ecuația tangentei este y=−x+3\displaystyle y=-x+3.
    y−f(2)=f′(2)(x−2), adica˘ y=−x+3\displaystyle y-f(2)=f'(2)(x-2)\text{, adică }y=-x+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x2−2x+2\displaystyle f(x)=\frac{2}{x^2-2x+2}.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=0\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Limita din enunț este definiția derivatei funcției f\displaystyle f în punctul a\displaystyle a. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece numitorul x2−2x+2\displaystyle x^{2}-2x+2 nu se anulează niciodată (discriminantul este Δ=−4<0\displaystyle \Delta=-4<0).
    lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=f′(a), pentru orice numa˘r real a\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\text{, pentru orice număr real }a
  2. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f cu formula (2u)′=−2u′u2\displaystyle \left(\dfrac{2}{u}\right)'=-\dfrac{2u'}{u^{2}}, unde u=x2−2x+2\displaystyle u=x^{2}-2x+2, deci u′=2x−2\displaystyle u'=2x-2.
    f′(x)=−2(2x−2)(x2−2x+2)2\displaystyle f'(x)=-\frac{2(2x-2)}{\left(x^{2}-2x+2\right)^{2}}
  3. Dăm factor comun pe 2\displaystyle 2 în 2x−2\displaystyle 2x-2 și obținem forma simplificată a derivatei.
    f′(x)=4(1−x)(x2−2x+2)2\displaystyle f'(x)=\frac{4(1-x)}{\left(x^{2}-2x+2\right)^{2}}
  4. Condiția din enunț devine f′(a)=0\displaystyle f'(a)=0. O fracție este nulă când numărătorul este nul, iar numitorul este nenul pentru orice a\displaystyle a real. Deci 1−a=0\displaystyle 1-a=0.
    f′(a)=0⇔4(1−a)(a2−2a+2)2=0, de unde obținem a=1\displaystyle f'(a)=0\Leftrightarrow\frac{4(1-a)}{\left(a^{2}-2a+2\right)^{2}}=0\text{, de unde obținem }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2xx2+1+1,x∈(−∞,0]ex,x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{2x}{x^2+1}+1,&x\in(-\infty,0]\\ e^x,&x\in(0,+\infty)\end{cases}.

Arătați că ∫14f(x) dx=e(e3−1)\displaystyle \int_1^4 f(x)\,dx=e\left(e^3-1\right).
Vezi rezolvarea
  1. Intervalul de integrare [1,4]\displaystyle [1,4] este inclus în (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Pe acest interval f(x)=ex\displaystyle f(x)=e^x, deci ramura 2xx2+1+1\displaystyle \dfrac{2x}{x^2+1}+1 nu intervine.
    f(x)=ex\displaystyle f(x)=e^{x}, ∀x∈[1,4]\displaystyle \ \forall x\in[1,4]
  2. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu ex\displaystyle e^x. O primitivă a lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x, deci aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫14f(x) dx=∫14ex dx=ex∣14\displaystyle \int_1^4 f(x)\,dx=\int_1^4 e^x\,dx=e^x\Big|_1^4
  3. Calculăm e4−e1\displaystyle e^4-e^1 și apoi dăm factor comun pe e\displaystyle e, folosind e4=e⋅e3\displaystyle e^4=e\cdot e^3.
    e4−e=e⋅e3−e\displaystyle e^4-e=e\cdot e^3-e
  4. Dăm factor comun pe e\displaystyle e și obținem rezultatul cerut.
    e4−e=e(e3−1)\displaystyle e^4-e=e\left(e^3-1\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2xx2+1+1,x∈(−∞,0]ex,x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{2x}{x^2+1}+1,&x\in(-\infty,0]\\ e^x,&x\in(0,+\infty)\end{cases}.

Calculați ∫12xf(x) dx\displaystyle \int_1^2 xf(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Pe [1,2]\displaystyle [1,2] avem x>0\displaystyle x>0, deci f(x)=ex\displaystyle f(x)=e^x. Integrala devine ∫12xex dx\displaystyle \int_1^2 xe^x\,dx.
    ∫12xf(x) dx=∫12xex dx\displaystyle \int_1^2 xf(x)\,dx=\int_1^2 xe^x\,dx
  2. Folosim (ex)′=ex\displaystyle \left(e^x\right)'=e^x și scriem integrala pregătită pentru integrarea prin părți, cu u=x\displaystyle u=x și dv=(ex)′dx\displaystyle dv=\left(e^x\right)'dx.
    ∫12xex dx=∫12x(ex)′dx\displaystyle \int_1^2 xe^x\,dx=\int_1^2 x\left(e^x\right)'dx
  3. Aplicăm formula ∫12uv′ dx=uv∣12−∫12u′v dx\displaystyle \int_1^2 uv'\,dx=uv\Big|_1^2-\int_1^2 u'v\,dx. Cum u′=1\displaystyle u'=1, rămâne ∫12ex dx=ex∣12\displaystyle \int_1^2 e^x\,dx=e^x\Big|_1^2, deci obținem (xex−ex)∣12\displaystyle \left(xe^x-e^x\right)\Big|_1^2.
    ∫12x(ex)′dx=xex∣12−∫12ex dx=(xex−ex)∣12\displaystyle \int_1^2 x\left(e^x\right)'dx=xe^x\Big|_1^2-\int_1^2 e^x\,dx=\left(xe^x-e^x\right)\Big|_1^2
  4. Pentru x=2\displaystyle x=2 avem 2e2−e2=e2\displaystyle 2e^2-e^2=e^2. Pentru x=1\displaystyle x=1 avem 1⋅e−e=0\displaystyle 1\cdot e-e=0.
    (2e2−e2)−(e−e)=e2−0\displaystyle \left(2e^2-e^2\right)-\left(e-e\right)=e^2-0
  5. Scăzând valorile, obținem e2−0=e2\displaystyle e^2-0=e^2.
    e2−0=e2\displaystyle e^2-0=e^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)={2xx2+1+1,x∈(−∞,0]ex,x∈(0,+∞)\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac{2x}{x^2+1}+1,&x\in(-\infty,0]\\ e^x,&x\in(0,+\infty)\end{cases}.

Determinați numărul real a\displaystyle a, a>0\displaystyle a>0, știind că ∫−a0f(x) dx=a−ln⁡(a+1)\displaystyle \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=a-\ln(a+1).
Vezi rezolvarea
  1. Pe intervalul [−a,0]\displaystyle [-a,0] avem x≤0\displaystyle x\le 0, deci folosim prima ramură a funcției: f(x)=2xx2+1+1\displaystyle f(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}+1. Integrala devine ∫−a0(2xx2+1+1)dx\displaystyle \int_{-a}^{0}\left(\dfrac{2x}{x^{2}+1}+1\right)dx.
    ∫−a0f(x) dx=∫−a0(2xx2+1+1)dx\displaystyle \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\int_{-a}^{0}\left(\frac{2x}{x^{2}+1}+1\right)dx
  2. Observăm că (x2+1)′=2x\displaystyle (x^{2}+1)'=2x, deci o primitivă a fracției este ln⁡(x2+1)\displaystyle \ln\left(x^{2}+1\right), iar o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x.
    ∫(2xx2+1+1)dx=ln⁡(x2+1)+x+C\displaystyle \int\left(\frac{2x}{x^{2}+1}+1\right)dx=\ln\left(x^{2}+1\right)+x+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton. În 0\displaystyle 0 primitiva are valoarea ln⁡1+0=0\displaystyle \ln 1+0=0, iar în −a\displaystyle -a are valoarea ln⁡(a2+1)−a\displaystyle \ln\left(a^{2}+1\right)-a. Scădem: 0−(ln⁡(a2+1)−a)\displaystyle 0-\left(\ln\left(a^{2}+1\right)-a\right).
    ∫−a0f(x) dx=ln⁡(x2+1)∣−a0+x∣−a0=−ln⁡(a2+1)+a\displaystyle \int_{-a}^{0} f(x)\,dx=\ln\left(x^{2}+1\right)\Big|_{-a}^{0}+x\Big|_{-a}^{0}=-\ln\left(a^{2}+1\right)+a
  4. Egalăm rezultatul cu valoarea dată în enunț: a−ln⁡(a2+1)=a−ln⁡(a+1)\displaystyle a-\ln\left(a^{2}+1\right)=a-\ln(a+1). Reducem a\displaystyle a și schimbăm semnul, deci ln⁡(a2+1)=ln⁡(a+1)\displaystyle \ln\left(a^{2}+1\right)=\ln(a+1).
    a−ln⁡(a2+1)=a−ln⁡(a+1)⇒ln⁡(a2+1)=ln⁡(a+1)\displaystyle a-\ln\left(a^{2}+1\right)=a-\ln(a+1)\Rightarrow \ln\left(a^{2}+1\right)=\ln(a+1)
  5. Funcția ln⁡\displaystyle \ln este injectivă, deci a2+1=a+1\displaystyle a^{2}+1=a+1, adică a2=a\displaystyle a^{2}=a. Cum a>0\displaystyle a>0, împărțim la a\displaystyle a și obținem a=1\displaystyle a=1.
    a2=a și, cum a>0, obținem a=1\displaystyle a^{2}=a\text{ și, cum }a>0\text{, obținem }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.