Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 9: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Calculați suma primilor patru termeni ai unei progresii aritmetice

\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}

, în care

\displaystyle a_1=2

și

\displaystyle a_4=11

.

Vezi rezolvarea

Notăm suma primilor patru termeni cu $\displaystyle S_4=a_1+a_2+a_3+a_4$ . Într-o progresie aritmetică, suma primilor $\displaystyle n$ termeni este $\displaystyle S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$ .
$\displaystyle S_4=\frac{(a_1+a_4)\cdot 4}{2}$
Înlocuim $\displaystyle a_1=2$ și $\displaystyle a_4=11$ în formulă.
$\displaystyle S_4=\frac{(2+11)\cdot 4}{2}$
Calculăm $\displaystyle 2+11=13$ , apoi $\displaystyle \dfrac{13\cdot 4}{2}=13\cdot 2=26$ .
$\displaystyle S_4=26$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2-2x

și

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=2x-4

.

Vezi rezolvarea

Un punct de intersecție al graficelor verifică $\displaystyle f(x)=g(x)$ , deci egalăm expresiile celor două funcții.
$\displaystyle x^{2}-2x=2x-4$
Mutăm toți termenii în membrul stâng: $\displaystyle x^{2}-2x-2x+4=0$ , adică $\displaystyle x^{2}-4x+4=0$ .
$\displaystyle x^{2}-4x+4=0$
Observăm că $\displaystyle x^{2}-4x+4$ este pătratul perfect $\displaystyle (x-2)^{2}$ .
$\displaystyle (x-2)^{2}=0$
Cum $\displaystyle (x-2)^{2}=0$ se întâmplă doar când $\displaystyle x-2=0$ , ecuația are o singură soluție.
$\displaystyle x=2$
Calculăm ordonata: $\displaystyle g(2)=2\cdot 2-4=0$ . Verificare: $\displaystyle f(2)=2^{2}-2\cdot 2=0$ .
$\displaystyle y=g(2)=f(2)=0$
Graficele se intersectează într-un singur punct, de coordonate $\displaystyle (2,0)$ .
$\displaystyle x=2$ , $\displaystyle \ y=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt[3]{x+2}-2=0

.

Vezi rezolvarea

Radicalul de ordin $\displaystyle 3$ este definit pentru orice număr real, deci nu avem condiții de existență. Izolăm radicalul, adunând $\displaystyle 2$ la ambii membri ai ecuației: $\displaystyle \sqrt[3]{x+2}-2=0$ .
$\displaystyle \sqrt[3]{x+2}=2$
Ridicăm ambii membri la puterea a treia. Cum ridicarea la puterea a treia este o operație reversibilă pe mulțimea numerelor reale, obținem o ecuație echivalentă, iar $\displaystyle 2^{3}=8$ .
$\displaystyle \sqrt[3]{x+2}=2\Leftrightarrow x+2=8$
Scădem $\displaystyle 2$ din ambii membri și aflăm soluția. Verificare: $\displaystyle \sqrt[3]{6+2}-2=\sqrt[3]{8}-2=2-2=0$ , deci soluția convine.
$\displaystyle x=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie format doar din cifre pare.

Vezi rezolvarea

Numerele naturale de două cifre sunt de la $\displaystyle 10$ la $\displaystyle 99$ . Numărul lor este $\displaystyle 99-10+1=90$ . Acesta este numărul cazurilor posibile.
$\displaystyle 90$
Cifra zecilor trebuie să fie pară și nenulă (altfel numărul nu ar avea două cifre), deci poate fi $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 6$ sau $\displaystyle 8$ : $\displaystyle 4$ posibilități.
$\displaystyle 4$
Cifra unităților trebuie să fie pară, deci poate fi $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 6$ sau $\displaystyle 8$ : $\displaystyle 5$ posibilități.
$\displaystyle 5$
Cele două alegeri sunt independente, deci numărul cazurilor favorabile este $\displaystyle 4\cdot 5=20$ .
$\displaystyle 4\cdot 5=20$
Aplicăm definiția clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{20}{90}$ , iar prin simplificare cu $\displaystyle 10$ obținem $\displaystyle \dfrac{2}{9}$ .
$\displaystyle p=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(-1,5)

și

\displaystyle B(3,1)

. Determinați coordonatele simetricului punctului

\displaystyle A

față de punctul

\displaystyle B

.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle C(a,b)$ simetricul punctului $\displaystyle A$ față de $\displaystyle B$ . Atunci $\displaystyle B$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AC$ , deci coordonatele lui $\displaystyle B$ sunt media aritmetică a coordonatelor lui $\displaystyle A$ și $\displaystyle C$ : $\displaystyle x_B=\dfrac{x_A+x_C}{2}$ și $\displaystyle y_B=\dfrac{y_A+y_C}{2}$ .
$\displaystyle x_B=\frac{x_A+x_C}{2}$ , $\displaystyle \quad y_B=\frac{y_A+y_C}{2}$
Scriem formula pentru abscisă: $\displaystyle x_B=3$ , $\displaystyle x_A=-1$ , deci $\displaystyle 3=\dfrac{-1+a}{2}$ . Înmulțim cu $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle -1+a=6$ , deci $\displaystyle a=7$ .
$\displaystyle 3=\frac{-1+a}{2}\Rightarrow a=7$
Scriem formula pentru ordonată: $\displaystyle y_B=1$ , $\displaystyle y_A=5$ , deci $\displaystyle 1=\dfrac{5+b}{2}$ . Înmulțim cu $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle 5+b=2$ , deci $\displaystyle b=-3$ . Simetricul este $\displaystyle C(7,-3)$ .
$\displaystyle 1=\frac{5+b}{2}\Rightarrow b=-3$ , $\displaystyle \quad C(7,-3)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

cu

\displaystyle AB=8

,

\displaystyle AC=6

și

\displaystyle BC=10

. Calculați

\displaystyle \cos B

.

Vezi rezolvarea

Calculăm pătratele laturilor triunghiului: $\displaystyle AB^{2}=8^{2}=64$ , $\displaystyle AC^{2}=6^{2}=36$ , iar $\displaystyle BC^{2}=10^{2}=100$ .
$\displaystyle AB^{2}=64$ , $\displaystyle \ AC^{2}=36$ , $\displaystyle \ BC^{2}=100$
Observăm că $\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=64+36=100=BC^{2}$ . Din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$ , cu ipotenuza $\displaystyle BC$ .
$\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}\ \Rightarrow\ \angle A=90^\circ$
În triunghiul dreptunghic $\displaystyle ABC$ , cosinusul unghiului $\displaystyle B$ este raportul dintre cateta alăturată $\displaystyle AB$ și ipotenuza $\displaystyle BC$ : $\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}$ .
$\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}$
Înlocuim $\displaystyle AB=8$ și $\displaystyle BC=10$ și simplificăm fracția prin $\displaystyle 2$ : $\displaystyle \cos B=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$ .
$\displaystyle \cos B=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle \det(A+I_3)=4

.

Vezi rezolvarea

Adunăm matricea $\displaystyle A$ cu $\displaystyle I_3$ , element cu element. Pe diagonala principală fiecare element crește cu $\displaystyle 1$ , iar celelalte elemente rămân neschimbate.
$\displaystyle A+I_3=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&0\\1&1&2\end{pmatrix}$
Scriem determinantul matricei $\displaystyle A+I_3$ , pe care îl calculăm prin regula lui Sarrus.
$\displaystyle \det(A+I_3)=\begin{vmatrix}1&1&0\\0&2&0\\1&1&2\end{vmatrix}$
Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Diagonala principală dă $\displaystyle 1\cdot 2\cdot 2=4$ , celelalte două produse pozitive sunt $\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1=0$ și $\displaystyle 0\cdot 0\cdot 1=0$ . Produsele scăzute sunt $\displaystyle 0\cdot 2\cdot 1=0$ , $\displaystyle 1\cdot 0\cdot 1=0$ și $\displaystyle 1\cdot 0\cdot 2=0$ .
$\displaystyle \det(A+I_3)=1\cdot2\cdot2+1\cdot0\cdot1+0\cdot0\cdot1-0\cdot2\cdot1-1\cdot0\cdot1-1\cdot0\cdot2$
Efectuăm calculele: singurul produs nenul este cel de pe diagonala principală, egal cu $\displaystyle 4$ , iar toate celelalte sunt $\displaystyle 0$ . Obținem $\displaystyle \det(A+I_3)=4$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle 4+0+0-0-0-0=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

.

Demonstrați că

\displaystyle A\cdot A\cdot A+A=2A\cdot A

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A\cdot A$ . Linia $\displaystyle i$ a produsului este combinația liniară a liniilor lui $\displaystyle A$ cu coeficienții din linia $\displaystyle i$ a primei matrice. Primele două linii ale lui $\displaystyle A$ au un singur element nenul, $\displaystyle 1$ , pe poziția a doua, deci fiecare dintre ele dă linia a doua a lui $\displaystyle A$ , adică $\displaystyle (0,1,0)$ . Linia a treia este suma celor trei linii ale lui $\displaystyle A$ : $\displaystyle (0,1,0)+(0,1,0)+(1,1,1)=(1,3,1)$ .
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&0\\1&3&1\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle A\cdot A\cdot A=(A\cdot A)\cdot A$ în același mod. Primele două linii rămân $\displaystyle (0,1,0)$ . Linia a treia este $\displaystyle (1,3,1)\cdot A=1\cdot(0,1,0)+3\cdot(0,1,0)+1\cdot(1,1,1)=(1,5,1)$ .
$\displaystyle A\cdot A\cdot A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&0\\1&5&1\end{pmatrix}$
Calculăm membrul stâng, $\displaystyle A\cdot A\cdot A+A$ , adunând element cu element matricele.
$\displaystyle A\cdot A\cdot A+A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&0\\1&5&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2&0\\0&2&0\\2&6&2\end{pmatrix}$
Scoatem factorul $\displaystyle 2$ din matricea obținută și recunoaștem în ea matricea $\displaystyle A\cdot A$ calculată la primul pas. Deci $\displaystyle A\cdot A\cdot A+A=2A\cdot A$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle \begin{pmatrix}0&2&0\\0&2&0\\2&6&2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&0\\1&3&1\end{pmatrix}=2A\cdot A$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&1&0\\1&1&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui

\displaystyle x

pentru care matricea

\displaystyle B(x)=A+xI_3

este inversabilă.

Vezi rezolvarea

Scriem matricea $\displaystyle B(x)=A+xI_3$ , adunând $\displaystyle x$ pe diagonala principală a lui $\displaystyle A$ .
$\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x&1&0\\0&1+x&0\\1&1&1+x\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul dezvoltând după ultima coloană, care are un singur element nenul, $\displaystyle 1+x$ , pe poziția $\displaystyle (3,3)$ . Rămâne determinantul minorului de ordin 2, care este triunghiular, deci egal cu produsul elementelor de pe diagonală: $\displaystyle x(1+x)$ .
$\displaystyle \det(B(x))=(1+x)\cdot\begin{vmatrix}x&1\\0&1+x\end{vmatrix}=x(1+x)^2$
O matrice este inversabilă exact când determinantul ei este nenul, deci impunem condiția $\displaystyle x(1+x)^2\neq 0$ .
$\displaystyle x(1+x)^2\neq 0$
Un produs este nul doar dacă un factor este nul: $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle 1+x=0$ , adică $\displaystyle x=-1$ . Aceste valori trebuie excluse.
$\displaystyle x(1+x)^2=0\Leftrightarrow x=0\text{ sau }x=-1$
Matricea $\displaystyle B(x)$ este inversabilă pentru toate valorile reale ale lui $\displaystyle x$ , cu excepția lui $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+ay+1

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle 2020*0=2021

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Scriem legea de compoziție: $\displaystyle x*y=x+ay+1$ . Pentru $\displaystyle x=2020$ și $\displaystyle y=0$ înlocuim direct în această definiție.
$\displaystyle 2020*0=2020+a\cdot 0+1$
Orice număr înmulțit cu $\displaystyle 0$ dă $\displaystyle 0$ , deci termenul cu $\displaystyle a$ dispare, oricare ar fi numărul real $\displaystyle a$ : $\displaystyle a\cdot 0=0$ .
$\displaystyle a\cdot 0=0\text{, deci }2020*0=2020+0+1$
Adunăm $\displaystyle 2020$ cu $\displaystyle 1$ și obținem $\displaystyle 2021$ , valoare care nu depinde de $\displaystyle a$ . Așadar egalitatea este adevărată pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle 2020*0=2020+1=2021$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+ay+1

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

, știind că legea de compoziție „

\displaystyle *

” este asociativă.

Vezi rezolvarea

Legea „ $\displaystyle *$ ” este asociativă dacă $\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)$ pentru orice $\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}$ . Calculăm separat cele două grupări.
$\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)$ , $\displaystyle \ \forall x$ , $\displaystyle y$ , $\displaystyle z\in\mathbb{R}$
Pentru $\displaystyle (x*y)*z$ înlocuim mai întâi $\displaystyle x*y=x+ay+1$ , apoi aplicăm legea cu primul element $\displaystyle x+ay+1$ și al doilea element $\displaystyle z$ : $\displaystyle (x+ay+1)*z=(x+ay+1)+az+1$ .
$\displaystyle (x*y)*z=x+ay+az+2$
Pentru cealaltă grupare calculăm mai întâi $\displaystyle y*z$ , folosind definiția legii: $\displaystyle y*z=y+az+1$ .
$\displaystyle y*z=y+az+1$
Acum calculăm $\displaystyle x*(y*z)$ : primul element este $\displaystyle x$ , iar al doilea este $\displaystyle y+az+1$ , deci $\displaystyle x*(y*z)=x+a(y+az+1)+1$ . Desfacem parantezele.
$\displaystyle x*(y*z)=x+ay+a^{2}z+a+1$
Egalăm cele două rezultate: $\displaystyle x+ay+az+2=x+ay+a^{2}z+a+1$ . După reducerea termenilor $\displaystyle x$ și $\displaystyle ay$ rămâne $\displaystyle az+2=a^{2}z+a+1$ pentru orice $\displaystyle z$ real, deci coeficienții lui $\displaystyle z$ și termenii liberi trebuie să fie egali.
$\displaystyle (a-a^{2})z+1-a=0$ , $\displaystyle \ \forall z\in\mathbb{R}$
Identificăm coeficienții: $\displaystyle a-a^{2}=0$ și $\displaystyle 1-a=0$ . A doua condiție dă $\displaystyle a=1$ , iar această valoare verifică și prima condiție, $\displaystyle 1-1=0$ . Deci $\displaystyle a=1$ .
$\displaystyle a=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+ay+1

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Pentru

\displaystyle a=-1

, determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle 4^x*2^x=1

.

Vezi rezolvarea

Particularizăm legea de compoziție pentru $\displaystyle a=-1$ : $\displaystyle x*y=x+(-1)\cdot y+1=x-y+1$ .
$\displaystyle x*y=x-y+1$
Aplicăm legea pentru $\displaystyle 4^x$ și $\displaystyle 2^x$ : $\displaystyle 4^x*2^x=4^x-2^x+1$ . Condiția din enunț devine $\displaystyle 4^x-2^x+1=1$ .
$\displaystyle 4^{x}-2^{x}+1=1$
Reducem termenii $\displaystyle 1$ din cele două părți și obținem $\displaystyle 4^x-2^x=0$ .
$\displaystyle 4^{x}-2^{x}=0$
Scriem $\displaystyle 4^x=\left(2^x\right)^2$ , deci ecuația este $\displaystyle \left(2^x\right)^2-2^x=0$ . Dăm factor comun $\displaystyle 2^x$ .
$\displaystyle 2^{x}\left(2^{x}-1\right)=0$
Deoarece $\displaystyle 2^x>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real, primul factor nu poate fi zero. Rămâne $\displaystyle 2^x-1=0$ , adică $\displaystyle 2^x=2^0$ , deci $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2}{x-2}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}

,

\displaystyle x\in(2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un cât $\displaystyle f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ , cu $\displaystyle u(x)=(x-1)^{2}$ și $\displaystyle v(x)=x-2$ . Folosim formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\left((x-1)^{2}\right)'(x-2)-(x-1)^{2}(x-2)'}{(x-2)^{2}}$
Calculăm derivatele: $\displaystyle \left((x-1)^{2}\right)'=2(x-1)$ și $\displaystyle (x-2)'=1$ . Înlocuim în formulă.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x-1)(x-2)-(x-1)^{2}}{(x-2)^{2}}$
La numărător apare factorul comun $\displaystyle x-1$ în ambii termeni. Îl scoatem în față.
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)\left(2(x-2)-(x-1)\right)}{(x-2)^{2}}$
Efectuăm calculele din paranteză: $\displaystyle 2x-4-x+1=x-3$ . Obținem forma cerută, pentru $\displaystyle x\in(2,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)(2x-4-x+1)}{(x-2)^{2}}=\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^{2}}$ , $\displaystyle \ x\in(2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2}{x-2}

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul

\displaystyle x=3

, situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle 3$ este $\displaystyle y-f(3)=f'(3)(x-3)$ . Avem nevoie de $\displaystyle f(3)$ și de $\displaystyle f'(3)$ .
$\displaystyle y-f(3)=f'(3)(x-3)$
Derivăm $\displaystyle f$ cu formula de derivare a câtului: numărătorul $\displaystyle (x-1)^{2}$ are derivata $\displaystyle 2(x-1)$ , iar numitorul $\displaystyle x-2$ are derivata $\displaystyle 1$ . Obținem $\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x-1)(x-2)-(x-1)^{2}\cdot 1}{(x-2)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x-1)(x-2)-(x-1)^{2}}{(x-2)^{2}}$
Dăm factor comun $\displaystyle x-1$ la numărător și simplificăm paranteza: $\displaystyle 2(x-2)-(x-1)=2x-4-x+1=x-3$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^{2}}$
Calculăm valorile în $\displaystyle x=3$ . Pentru derivată, numărătorul are factorul $\displaystyle 3-3=0$ , iar numitorul este $\displaystyle (3-2)^{2}=1$ , deci $\displaystyle f'(3)=\dfrac{2\cdot 0}{1}=0$ . Pentru funcție, $\displaystyle f(3)=\dfrac{(3-1)^{2}}{3-2}=\dfrac{4}{1}=4$ .
$\displaystyle f'(3)=0$ , $\displaystyle \ f(3)=4$
Înlocuim în formula tangentei: $\displaystyle y-4=0\cdot(x-3)$ , deci $\displaystyle y=4$ . Tangenta este dreapta orizontală $\displaystyle y=4$ .
$\displaystyle y-f(3)=f'(3)(x-3)\text{, deci }y=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2}{x-2}

.

Demonstrați că funcția

\displaystyle f'

este crescătoare pe

\displaystyle (2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Pentru a simplifica derivarea, scriem numărătorul ca $\displaystyle (x-1)^{2}=(x-2)^{2}+2(x-2)+1$ și împărțim la $\displaystyle x-2$ . Obținem $\displaystyle f(x)=x+\dfrac{1}{x-2}$ .
$\displaystyle f(x)=x+\dfrac{1}{x-2}$
Derivăm $\displaystyle f$ : derivata lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle 1$ , iar derivata lui $\displaystyle \dfrac{1}{x-2}$ este $\displaystyle -\dfrac{1}{(x-2)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-2)^{2}}$ , $\displaystyle \ x\in(2,+\infty)$
Derivăm încă o dată: derivata lui $\displaystyle 1$ este $\displaystyle 0$ , iar derivata lui $\displaystyle -(x-2)^{-2}$ este $\displaystyle 2(x-2)^{-3}$ .
$\displaystyle f''(x)=\dfrac{2}{(x-2)^{3}}$ , $\displaystyle \ x\in(2,+\infty)$
Pentru $\displaystyle x>2$ avem $\displaystyle x-2>0$ , deci $\displaystyle (x-2)^{3}>0$ , iar fracția cu numărătorul $\displaystyle 2$ este pozitivă. Cum $\displaystyle f''$ este pozitivă pe tot intervalul, $\displaystyle f'$ este crescătoare pe $\displaystyle (2,+\infty)$ .
$\displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice }x\in(2,+\infty)\text{, deci funcția }f'\text{ este crescătoare pe }(2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+1}

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{x^2+1}}{f(x)}dx=1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^{2}+1}$ în integrand și obținem fracția de mai jos.
$\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x\sqrt{x^{2}+1}}\,dx$
Deoarece $\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}>0$ pentru orice $\displaystyle x$ , simplificăm radicalul din fracție și rămâne $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ .
$\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{f(x)}\,dx=\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$
O primitivă a funcției $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ pe $\displaystyle [1,e]$ este $\displaystyle \ln x$ , deoarece $\displaystyle x>0$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x}\,dx=\ln x\Big|_1^e$
Calculăm valorile la capete: $\displaystyle \ln e=1$ și $\displaystyle \ln 1=0$ . Diferența este $\displaystyle 1$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \ln e-\ln 1=1-0=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+1}

.

Calculați

\displaystyle \int_1^2 f^2(x)dx

.

Vezi rezolvarea

Ridicăm funcția la pătrat: $\displaystyle f^2(x)=x^2\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=x^2(x^2+1)$ , deoarece $\displaystyle \left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=x^2+1$ .
$\displaystyle f^2(x)=x^2(x^2+1)$
Dezvoltăm integrandul: $\displaystyle x^2(x^2+1)=x^4+x^2$ . Deci integrala devine $\displaystyle \int_1^2 (x^4+x^2)dx$ .
$\displaystyle \int_1^2 f^2(x)dx=\int_1^2 (x^4+x^2)dx$
O primitivă a lui $\displaystyle x^4$ este $\displaystyle \dfrac{x^5}{5}$ , iar o primitivă a lui $\displaystyle x^2$ este $\displaystyle \dfrac{x^3}{3}$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul $\displaystyle [1,2]$ .
$\displaystyle \int_1^2 f^2(x)dx=\left(\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{3}\right)\Big|_1^2$
Înlocuim limitele: pentru $\displaystyle x=2$ obținem $\displaystyle \dfrac{2^5}{5}+\dfrac{2^3}{3}=\dfrac{32}{5}+\dfrac{8}{3}$ , iar pentru $\displaystyle x=1$ obținem $\displaystyle \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{3}$ . Scădem cele două valori.
$\displaystyle \frac{32}{5}+\frac{8}{3}-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{3}\right)$
Grupăm fracțiile cu același numitor: $\displaystyle \dfrac{32}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{31}{5}$ și $\displaystyle \dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}$ . Aducem la numitorul 15: $\displaystyle \dfrac{93}{15}+\dfrac{35}{15}=\dfrac{128}{15}$ .
$\displaystyle \frac{31}{5}+\frac{7}{3}=\frac{93}{15}+\frac{35}{15}=\frac{128}{15}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+1}

.

Demonstrați că

\displaystyle \int_0^{2020} f(x)dx\leq \int_0^a f(x)dx

, pentru orice

\displaystyle a\in[2020,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Fixăm $\displaystyle a\in[2020,+\infty)$ și studiem diferența dintre cele două integrale. Dacă arătăm că această diferență este $\displaystyle \geq 0$ , inegalitatea cerută este demonstrată.
$\displaystyle \int_0^a f(x)dx-\int_0^{2020}f(x)dx\geq 0\text{ (de demonstrat)}$
Funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , deci integrabilă. Deoarece $\displaystyle a\geq 2020$ , descompunem integrala de la $\displaystyle 0$ la $\displaystyle a$ folosind punctul intermediar $\displaystyle 2020$ .
$\displaystyle \int_0^a f(x)dx=\int_0^{2020}f(x)dx+\int_{2020}^a f(x)dx$
Înlocuim descompunerea în diferență. Integrala $\displaystyle \int_0^{2020}f(x)dx$ apare o dată cu plus și o dată cu minus, deci se reduce.
$\displaystyle \int_0^a f(x)dx-\int_0^{2020}f(x)dx=\int_0^{2020}f(x)dx+\int_{2020}^a f(x)dx-\int_0^{2020}f(x)dx=\int_{2020}^a f(x)dx$
Studiem semnul funcției pe $\displaystyle [2020,a]\subset[0,+\infty)$ . Pentru $\displaystyle x\geq 0$ avem $\displaystyle x\geq 0$ și $\displaystyle \sqrt{x^2+1}>0$ , deci produsul lor este pozitiv sau nul.
$\displaystyle f(x)=x\sqrt{x^2+1}\geq 0\text{, pentru orice }x\in[2020,a]$
Integrala unei funcții $\displaystyle f\geq 0$ pe un interval $\displaystyle [2020,a]$ este $\displaystyle \geq 0$ . Deci diferența studiată este $\displaystyle \geq 0$ , adică inegalitatea cerută este adevărată pentru orice $\displaystyle a\geq 2020$ .
$\displaystyle \int_{2020}^a f(x)dx\geq 0\Rightarrow \int_0^{2020}f(x)dx\leq\int_0^a f(x)dx$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 9: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani