Bac matematică M3 tehnologic 2021, model, test de evaluare 3: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 12(3−32)+8(33−2)=2\displaystyle \sqrt{12}\left(\sqrt{3}-3\sqrt{2}\right)+\sqrt{8}\left(3\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Distribuim fiecare radical în paranteza lui. Folosim regula a⋅b=a⋅b\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}.
    12⋅3−312⋅2+38⋅3−8⋅2\displaystyle \sqrt{12}\cdot\sqrt{3}-3\sqrt{12}\cdot\sqrt{2}+3\sqrt{8}\cdot\sqrt{3}-\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}
  2. Efectuăm înmulțirile de sub radicali: 12⋅3=36\displaystyle 12\cdot 3=36, 12⋅2=24\displaystyle 12\cdot 2=24, 8⋅3=24\displaystyle 8\cdot 3=24, 8⋅2=16\displaystyle 8\cdot 2=16.
    36−324+324−16\displaystyle \sqrt{36}-3\sqrt{24}+3\sqrt{24}-\sqrt{16}
  3. Termenii −324\displaystyle -3\sqrt{24} și +324\displaystyle +3\sqrt{24} sunt opuși, deci se reduc.
    36−16\displaystyle \sqrt{36}-\sqrt{16}
  4. Calculăm radicalii perfecți: 36=6\displaystyle \sqrt{36}=6 și 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4. Rezultă 6−4=2\displaystyle 6-4=2, ceea ce trebuia demonstrat.
    6−4=2\displaystyle 6-4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+a\displaystyle f(x)=x^2-2x+a, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care f(a)=2\displaystyle f(a)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției: f(a)=a2−2a+a\displaystyle f(a)=a^{2}-2a+a.
    f(a)=a2−2a+a=a2−a\displaystyle f(a)=a^{2}-2a+a=a^{2}-a
  2. Punem condiția f(a)=2\displaystyle f(a)=2, adică a2−a=2\displaystyle a^{2}-a=2, și trecem pe 2\displaystyle 2 în membrul stâng.
    a2−a−2=0\displaystyle a^{2}-a-2=0
  3. Calculăm discriminantul pentru coeficienții 1\displaystyle 1, −1\displaystyle -1 și −2\displaystyle -2: Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−2)\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2).
    Δ=1+8=9\displaystyle \Delta=1+8=9
  4. Aplicăm formula rădăcinilor: a=1±32\displaystyle a=\dfrac{1\pm 3}{2}. Obținem a1=1−32=−1\displaystyle a_{1}=\dfrac{1-3}{2}=-1 și a2=1+32=2\displaystyle a_{2}=\dfrac{1+3}{2}=2.
    a=−1 sau a=2\displaystyle a=-1\text{ sau }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9−x=x−3\displaystyle \sqrt{9-x}=x-3.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul este mereu mai mare sau egal cu 0, deci trebuie x−3≥0\displaystyle x-3\ge 0. Din existența radicalului avem 9−x≥0\displaystyle 9-x\ge 0. Deci x∈[3,9]\displaystyle x\in[3,9].
    x∈[3,9]\displaystyle x\in[3,9]
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri: (9−x)2=(x−3)2\displaystyle \left(\sqrt{9-x}\right)^{2}=(x-3)^{2}. Dezvoltăm: (x−3)2=x2−6x+9\displaystyle (x-3)^{2}=x^{2}-6x+9. Obținem 9−x=x2−6x+9\displaystyle 9-x=x^{2}-6x+9.
    9−x=x2−6x+9\displaystyle 9-x=x^{2}-6x+9
  3. Mutăm toți termenii în dreapta: 0=x2−6x+9−9+x\displaystyle 0=x^{2}-6x+9-9+x. După reducere obținem x2−5x=0\displaystyle x^{2}-5x=0.
    x2−5x=0\displaystyle x^{2}-5x=0
  4. Dăm factor comun: x(x−5)=0\displaystyle x(x-5)=0. Rezultă x=0\displaystyle x=0 sau x=5\displaystyle x=5.
    x=0 sau x=5\displaystyle x=0\text{ sau }x=5
  5. Verificăm soluțiile. Pentru x=0\displaystyle x=0: 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3, iar 0−3=−3\displaystyle 0-3=-3, deci nu convine (și 0∉[3,9]\displaystyle 0\notin[3,9]). Pentru x=5\displaystyle x=5: 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, iar 5−3=2\displaystyle 5-3=2, deci convine. Soluția ecuației este x=5\displaystyle x=5.
    x=0, care nu convine; x=5, care convine\displaystyle x=0\text{, care nu convine; }x=5\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale pare de două cifre, acesta să fie multiplu de 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele pare de două cifre sunt 10,12,14,…,98\displaystyle 10, 12, 14, \ldots, 98. Ele formează o progresie aritmetică cu rația 2\displaystyle 2, deci numărul lor este 98−102+1\displaystyle \dfrac{98-10}{2}+1.
    98−102+1=44+1=45\displaystyle \dfrac{98-10}{2}+1=44+1=45
  2. Deci numărul cazurilor posibile este 45\displaystyle 45.
    45 cazuri posibile\displaystyle 45\text{ cazuri posibile}
  3. Un număr par este multiplu de 5\displaystyle 5 dacă se termină cu cifra 0\displaystyle 0, deoarece multiplii lui 5\displaystyle 5 se termină cu 0\displaystyle 0 sau 5\displaystyle 5, iar numărul trebuie să fie par. Deci numerele favorabile sunt multiplii de 10\displaystyle 10 de două cifre.
    10\displaystyle 10,20\displaystyle 20,30\displaystyle 30,40\displaystyle 40,50\displaystyle 50,60\displaystyle 60,70\displaystyle 70,80\displaystyle 80,90, deci 9 cazuri favorabile\displaystyle 90\text{, deci }9\text{ cazuri favorabile}
  4. Aplicăm formula probabilității: p=cazuri favorabilecazuri posibile=945\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}=\dfrac{9}{45}, apoi simplificăm fracția cu 9\displaystyle 9.
    p=945=15\displaystyle p=\frac{9}{45}=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−6,1)\displaystyle A(-6,1) și B(−2,3)\displaystyle B(-2,3). Determinați distanța de la punctul O\displaystyle O la punctul M\displaystyle M, unde M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formulele pentru coordonatele mijlocului unui segment: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2},yM=yA+yB2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Calculăm abscisa lui M\displaystyle M: xM=−6+(−2)2=−82=−4\displaystyle x_M=\dfrac{-6+(-2)}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4.
    xM=−6+(−2)2=−4\displaystyle x_M=\dfrac{-6+(-2)}{2}=-4
  3. Calculăm ordonata lui M\displaystyle M: yM=1+32=2\displaystyle y_M=\dfrac{1+3}{2}=2. Deci M(−4,2)\displaystyle M(-4,2).
    M(−4,2)\displaystyle M(-4,2)
  4. Pentru O(0,0)\displaystyle O(0,0) și M(−4,2)\displaystyle M(-4,2) folosim formula distanței: OM=(xM−0)2+(yM−0)2\displaystyle OM=\sqrt{(x_M-0)^{2}+(y_M-0)^{2}}.
    OM=(−4−0)2+(2−0)2\displaystyle OM=\sqrt{(-4-0)^{2}+(2-0)^{2}}
  5. Calculăm: OM=16+4=20\displaystyle OM=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}. Cum 20=4⋅5\displaystyle 20=4\cdot 5, obținem OM=25\displaystyle OM=2\sqrt{5}.
    OM=20=25\displaystyle OM=\sqrt{20}=2\sqrt{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC cu AB=12\displaystyle AB=12 și ipotenuza BC=20\displaystyle BC=20. Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic, cu ipotenuza BC\displaystyle BC, deci unghiul drept este în A\displaystyle A. Catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC. Scriem teorema lui Pitagora: BC2=AB2+AC2\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}.
    AC2=BC2−AB2\displaystyle AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}
  2. Înlocuim valorile date: BC=20\displaystyle BC=20 și AB=12\displaystyle AB=12, apoi calculăm pătratele.
    AC2=202−122=400−144=256\displaystyle AC^{2}=20^{2}-12^{2}=400-144=256
  3. Luăm rădăcina pătrată, deoarece lungimea unei laturi este pozitivă. Obținem AC=16\displaystyle AC=16.
    AC=256=16\displaystyle AC=\sqrt{256}=16
  4. Într-un triunghi dreptunghic, aria este semiprodusul catetelor: A=AB⋅AC2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}. Înlocuim AB=12\displaystyle AB=12 și AC=16\displaystyle AC=16 și calculăm.
    AΔABC=AB⋅AC2=12⋅162=1922=96\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{12\cdot 16}{2}=\frac{192}{2}=96
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−31−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & -3\\ 1 & -4\end{pmatrix} și B(x)=(x3x4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & 3\\ x & 4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Determinantul matricei A=(1−31−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & -3\\ 1 & -4\end{pmatrix} se scrie ca determinant de ordinul doi.
    det⁡A=∣1−31−4∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1 & -3\\ 1 & -4\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula: produsul elementelor de pe diagonala principală, 1⋅(−4)\displaystyle 1\cdot(-4), minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, 1⋅(−3)\displaystyle 1\cdot(-3).
    det⁡A=1⋅(−4)−1⋅(−3)\displaystyle \det A=1\cdot(-4)-1\cdot(-3)
  3. Efectuăm înmulțirile: 1⋅(−4)=−4\displaystyle 1\cdot(-4)=-4 și 1⋅(−3)=−3\displaystyle 1\cdot(-3)=-3. Apoi −4−(−3)=−4+3\displaystyle -4-(-3)=-4+3, deci obținem valoarea determinantului.
    −4+3=−1\displaystyle -4+3=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−31−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & -3\\ 1 & -4\end{pmatrix} și B(x)=(x3x4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & 3\\ x & 4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real. Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅B(x)=B(x)⋅A\displaystyle A\cdot B(x)=B(x)\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B(x)\displaystyle A\cdot B(x) înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B(x)\displaystyle B(x). Prima linie: 1⋅x+(−3)⋅x=−2x\displaystyle 1\cdot x+(-3)\cdot x=-2x și 1⋅3+(−3)⋅4=−9\displaystyle 1\cdot 3+(-3)\cdot 4=-9. A doua linie: 1⋅x+(−4)⋅x=−3x\displaystyle 1\cdot x+(-4)\cdot x=-3x și 1⋅3+(−4)⋅4=−13\displaystyle 1\cdot 3+(-4)\cdot 4=-13. Rezultatul este: A⋅B(x)=(−2x−9−3x−13)\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}-2x & -9\\ -3x & -13\end{pmatrix}.
    A⋅B(x)=(−2x−9−3x−13)\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}-2x & -9\\ -3x & -13\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B(x)⋅A\displaystyle B(x)\cdot A. Prima linie: x⋅1+3⋅1=x+3\displaystyle x\cdot 1+3\cdot 1=x+3 și x⋅(−3)+3⋅(−4)=−3x−12\displaystyle x\cdot(-3)+3\cdot(-4)=-3x-12. A doua linie: x⋅1+4⋅1=x+4\displaystyle x\cdot 1+4\cdot 1=x+4 și x⋅(−3)+4⋅(−4)=−3x−16\displaystyle x\cdot(-3)+4\cdot(-4)=-3x-16. Rezultatele sunt: A⋅B(x)=(−2x−9−3x−13)\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}-2x & -9\\ -3x & -13\end{pmatrix} și B(x)⋅A=(x+3−3x−12x+4−3x−16)\displaystyle B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}x+3 & -3x-12\\ x+4 & -3x-16\end{pmatrix}.
    A⋅B(x)=(−2x−9−3x−13), B(x)⋅A=(x+3−3x−12x+4−3x−16)\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}-2x & -9\\ -3x & -13\end{pmatrix}\text{, }B(x)\cdot A=\begin{pmatrix}x+3 & -3x-12\\ x+4 & -3x-16\end{pmatrix}
  3. Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale. Scriem cele patru egalități: −2x=x+3\displaystyle -2x=x+3, −9=−3x−12\displaystyle -9=-3x-12, −3x=x+4\displaystyle -3x=x+4 și −13=−3x−16\displaystyle -13=-3x-16.
    {−2x=x+3−9=−3x−12−3x=x+4−13=−3x−16\displaystyle \begin{cases}-2x=x+3\\ -9=-3x-12\\ -3x=x+4\\ -13=-3x-16\end{cases}
  4. Rezolvăm fiecare ecuație. Din −2x=x+3\displaystyle -2x=x+3 obținem 3x=−3\displaystyle 3x=-3, deci x=−1\displaystyle x=-1. Din −9=−3x−12\displaystyle -9=-3x-12 obținem 3x=−3\displaystyle 3x=-3, deci x=−1\displaystyle x=-1. Din −3x=x+4\displaystyle -3x=x+4 obținem 4x=−4\displaystyle 4x=-4, deci x=−1\displaystyle x=-1. Din −13=−3x−16\displaystyle -13=-3x-16 obținem 3x=−3\displaystyle 3x=-3, deci x=−1\displaystyle x=-1. Toate ecuațiile dau aceeași valoare, deci x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−31−4)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & -3\\ 1 & -4\end{pmatrix} și B(x)=(x3x4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & 3\\ x & 4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(aA+B(a))=0\displaystyle \det(aA+B(a))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim fiecare element al matricei A\displaystyle A cu a\displaystyle a: aA=(a−3aa−4a)\displaystyle aA=\begin{pmatrix}a & -3a\\ a & -4a\end{pmatrix}.
    aA=(a−3aa−4a)\displaystyle aA=\begin{pmatrix}a & -3a\\ a & -4a\end{pmatrix}
  2. Pentru x=a\displaystyle x=a avem B(a)=(a3a4)\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix}a & 3\\ a & 4\end{pmatrix}. Adunăm element cu element: aA+B(a)=(a+a−3a+3a+a−4a+4)\displaystyle aA+B(a)=\begin{pmatrix}a+a & -3a+3\\ a+a & -4a+4\end{pmatrix}.
    aA+B(a)=(2a−3a+32a−4a+4)\displaystyle aA+B(a)=\begin{pmatrix}2a & -3a+3\\ 2a & -4a+4\end{pmatrix}
  3. Determinantul este det⁡(aA+B(a))=2a(−4a+4)−2a(−3a+3)\displaystyle \det(aA+B(a))=2a(-4a+4)-2a(-3a+3). Dezvoltăm: −8a2+8a+6a2−6a\displaystyle -8a^{2}+8a+6a^{2}-6a, deci determinantul este −2a2+2a\displaystyle -2a^{2}+2a.
    det⁡(aA+B(a))=−8a2+8a+6a2−6a=−2a2+2a\displaystyle \det(aA+B(a))=-8a^{2}+8a+6a^{2}-6a=-2a^{2}+2a
  4. Din −2a2+2a=0\displaystyle -2a^{2}+2a=0 obținem, prin factor comun, −2a(a−1)=0\displaystyle -2a(a-1)=0. Un produs este nul când un factor este nul: a=0\displaystyle a=0 sau a=1\displaystyle a=1.
    −2a(a−1)=0⇒a=0 sau a=1\displaystyle -2a(a-1)=0\Rightarrow a=0\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+xy+y2\displaystyle x*y=x^2+xy+y^2.

Arătați că 2∗(−1)=3\displaystyle 2*(-1)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∗y=x2+xy+y2\displaystyle x*y=x^{2}+xy+y^{2}, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=x2+xy+y2\displaystyle x*y=x^{2}+xy+y^{2}
  2. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=−1\displaystyle y=-1 în definiție, având grijă să punem paranteze în jurul lui −1\displaystyle -1.
    2∗(−1)=22+2⋅(−1)+(−1)2\displaystyle 2*(-1)=2^{2}+2\cdot(-1)+(-1)^{2}
  3. Calculăm fiecare termen: 22=4\displaystyle 2^{2}=4, 2⋅(−1)=−2\displaystyle 2\cdot(-1)=-2, (−1)2=1\displaystyle (-1)^{2}=1. Adunăm: 4−2+1=3\displaystyle 4-2+1=3, deci egalitatea este demonstrată.
    4−2+1=3\displaystyle 4-2+1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+xy+y2\displaystyle x*y=x^2+xy+y^2.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Comutativitatea înseamnă că x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y. Pornim de la definiția legii: x∗y=x2+xy+y2\displaystyle x*y=x^{2}+xy+y^{2}.
    x∗y=x2+xy+y2\displaystyle x*y=x^{2}+xy+y^{2}
  2. Adunarea și înmulțirea numerelor reale sunt comutative, deci putem schimba ordinea termenilor din sumă și ordinea factorilor în produs: xy=yx\displaystyle xy=yx. Astfel obținem y2+yx+x2\displaystyle y^{2}+yx+x^{2}.
    x∗y=x2+xy+y2=y2+yx+x2\displaystyle x*y=x^{2}+xy+y^{2}=y^{2}+yx+x^{2}
  3. Expresia y2+yx+x2\displaystyle y^{2}+yx+x^{2} este exact definiția lui y∗x\displaystyle y*x (în definiție se înlocuiește x\displaystyle x cu y\displaystyle y și y\displaystyle y cu x\displaystyle x). Deci x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, adică legea „∗\displaystyle *” este comutativă.
    y2+yx+x2=y∗x, deci x∗y=y∗x, pentru orice numere \displaystyle y^{2}+yx+x^{2}=y*x\text{, deci }x*y=y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x2+xy+y2\displaystyle x*y=x^2+xy+y^2.

Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care n∗n=48\displaystyle n*n=48.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru x=n\displaystyle x=n și y=n\displaystyle y=n: n∗n=n2+n⋅n+n2\displaystyle n*n=n^{2}+n\cdot n+n^{2}.
    n∗n=n2+n⋅n+n2\displaystyle n*n=n^{2}+n\cdot n+n^{2}
  2. Adunăm termenii: n2+n2+n2=3n2\displaystyle n^{2}+n^{2}+n^{2}=3n^{2}. Din condiția n∗n=48\displaystyle n*n=48 obținem ecuația 3n2=48\displaystyle 3n^{2}=48.
    n2+n2+n2=48⇔3n2=48\displaystyle n^{2}+n^{2}+n^{2}=48\Leftrightarrow 3n^{2}=48
  3. Împărțim ecuația la 3\displaystyle 3 și obținem n2=16\displaystyle n^{2}=16.
    n2=16\displaystyle n^{2}=16
  4. Ecuația n2=16\displaystyle n^{2}=16 are soluțiile n=−4\displaystyle n=-4 și n=4\displaystyle n=4. Cum n\displaystyle n trebuie să fie număr natural, −4\displaystyle -4 nu convine, iar 4\displaystyle 4 convine.
    n=−4, care nu convine; n=4, care convine\displaystyle n=-4\text{, care nu convine; }n=4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x2−x−5ln⁡x+1\displaystyle f(x)=3x^2-x-5\ln x+1.

Arătați că f′(x)=(x−1)(6x+5)x\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)(6x+5)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: (3x2)′=6x\displaystyle (3x^{2})'=6x, (x)′=1\displaystyle (x)'=1, (5ln⁡x)′=5x\displaystyle (5\ln x)'=\dfrac{5}{x}, iar derivata constantei 1\displaystyle 1 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=6x−1−5x\displaystyle f'(x)=6x-1-\frac{5}{x}
  2. Aducem toți termenii la numitorul comun x\displaystyle x: 6x=6x2x\displaystyle 6x=\dfrac{6x^{2}}{x} și 1=xx\displaystyle 1=\dfrac{x}{x}.
    f′(x)=6x2−x−5x\displaystyle f'(x)=\frac{6x^{2}-x-5}{x}
  3. Descompunem numărătorul în factori. Observăm că x=1\displaystyle x=1 este rădăcină, deoarece 6−1−5=0\displaystyle 6-1-5=0, deci numărătorul se împarte la x−1\displaystyle x-1. Verificăm prin înmulțire: (x−1)(6x+5)=6x2+5x−6x−5=6x2−x−5\displaystyle (x-1)(6x+5)=6x^{2}+5x-6x-5=6x^{2}-x-5.
    6x2−x−5=(x−1)(6x+5)\displaystyle 6x^{2}-x-5=(x-1)(6x+5)
  4. Înlocuim numărătorul factorizat în fracție și obținem egalitatea cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=6x2−x−5x=(x−1)(6x+5)x, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\frac{6x^{2}-x-5}{x}=\frac{(x-1)(6x+5)}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x2−x−5ln⁡x+1\displaystyle f(x)=3x^2-x-5\ln x+1.

Arătați că lim⁡x→+∞f(x)+5ln⁡xxf′(x)=12\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)+5\ln x}{xf'(x)}=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivăm termen cu termen: (3x2)′=6x\displaystyle (3x^{2})'=6x, (x)′=1\displaystyle (x)'=1, (5ln⁡x)′=5x\displaystyle (5\ln x)'=\dfrac{5}{x}, iar derivata constantei este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=6x−1−5x\displaystyle f'(x)=6x-1-\dfrac{5}{x}
  2. Aducem derivata la același numitor: f′(x)=6x2−x−5x\displaystyle f'(x)=\dfrac{6x^{2}-x-5}{x}. Descompunem numărătorul: 6x2−x−5=(x−1)(6x+5)\displaystyle 6x^{2}-x-5=(x-1)(6x+5), deoarece (x−1)(6x+5)=6x2+5x−6x−5\displaystyle (x-1)(6x+5)=6x^{2}+5x-6x-5.
    f′(x)=(x−1)(6x+5)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)(6x+5)}{x}
  3. Înmulțim cu x\displaystyle x și simplificăm: x⋅f′(x)=x⋅(x−1)(6x+5)x\displaystyle x\cdot f'(x)=x\cdot\dfrac{(x-1)(6x+5)}{x}.
    xf′(x)=(x−1)(6x+5)\displaystyle xf'(x)=(x-1)(6x+5)
  4. Calculăm numărătorul: f(x)+5ln⁡x=3x2−x−5ln⁡x+1+5ln⁡x\displaystyle f(x)+5\ln x=3x^{2}-x-5\ln x+1+5\ln x. Termenii cu ln⁡x\displaystyle \ln x se reduc.
    f(x)+5ln⁡x=3x2−x+1\displaystyle f(x)+5\ln x=3x^{2}-x+1
  5. Înlocuim în limită: lim⁡x→+∞3x2−x+1(x−1)(6x+5)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^{2}-x+1}{(x-1)(6x+5)}. Dăm factor comun cea mai mare putere a lui x\displaystyle x: la numărător 3x2−x+1=x2(3−1x+1x2)\displaystyle 3x^{2}-x+1=x^{2}\left(3-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right), iar la numitor x−1=x(1−1x)\displaystyle x-1=x\left(1-\dfrac{1}{x}\right) și 6x+5=x(6+5x)\displaystyle 6x+5=x\left(6+\dfrac{5}{x}\right).
    lim⁡x→+∞3x2−x+1(x−1)(6x+5)=lim⁡x→+∞x2(3−1x+1x2)x2(1−1x)(6+5x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{2}-x+1}{(x-1)(6x+5)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}\left(3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(6+\frac{5}{x}\right)}
  6. Simplificăm cu x2\displaystyle x^{2} și trecem la limită. Deoarece 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0, 1x2→0\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 și 5x→0\displaystyle \dfrac{5}{x}\to 0 când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, obținem 3−0+0(1−0)(6+0)\displaystyle \dfrac{3-0+0}{(1-0)(6+0)}, deci limita este 12\displaystyle \dfrac{1}{2}, ceea ce trebuia arătat.
    31⋅6=12\displaystyle \frac{3}{1\cdot 6}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x2−x−5ln⁡x+1\displaystyle f(x)=3x^2-x-5\ln x+1.

Demonstrați că 3x2−x−2≥ln⁡(x5)\displaystyle 3x^2-x-2\ge \ln\left(x^5\right), pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Folosim ln⁡(x5)=5ln⁡x\displaystyle \ln\left(x^5\right)=5\ln x. Inegalitatea 3x2−x−2≥5ln⁡x\displaystyle 3x^2-x-2\ge 5\ln x este echivalentă cu 3x2−x−5ln⁡x+1≥3\displaystyle 3x^2-x-5\ln x+1\ge 3, adică f(x)≥3\displaystyle f(x)\ge 3. Vom arăta că 3\displaystyle 3 este valoarea minimă a lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    3x2−x−2≥ln⁡(x5)⇔f(x)≥3\displaystyle 3x^2-x-2\ge\ln\left(x^5\right)\Leftrightarrow f(x)\ge 3
  2. Derivăm f(x)=3x2−x−5ln⁡x+1\displaystyle f(x)=3x^2-x-5\ln x+1 și aducem la același numitor: f′(x)=6x−1−5x=6x2−x−5x\displaystyle f'(x)=6x-1-\dfrac{5}{x}=\dfrac{6x^2-x-5}{x}.
    f′(x)=6x2−x−5x\displaystyle f'(x)=\dfrac{6x^2-x-5}{x}
  3. Descompunem numărătorul: 6x2−x−5=(x−1)(6x+5)\displaystyle 6x^2-x-5=(x-1)(6x+5). Pentru x>0\displaystyle x>0 avem 6x+5>0\displaystyle 6x+5>0 și x>0\displaystyle x>0, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de factorul x−1\displaystyle x-1.
    f′(x)=(x−1)(6x+5)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x-1)(6x+5)}{x}
  4. Din f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 obținem x=1\displaystyle x=1. Pentru x∈(0,1]\displaystyle x\in(0,1] avem x−1≤0\displaystyle x-1\le 0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare pe (0,1]\displaystyle (0,1]. Pentru x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty) avem x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0 și f\displaystyle f este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    f′(x)=0⇔x=1, f descresca˘toare pe (0,1], f cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\text{, }f\text{ descrescătoare pe }(0,1]\text{, }f\text{ crescătoare pe }[1,+\infty)
  5. Deoarece f\displaystyle f scade pe (0,1]\displaystyle (0,1] și crește pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty), punctul x=1\displaystyle x=1 este punct de minim global. Valoarea minimă este f(1)=3⋅12−1−5ln⁡1+1=3−1−0+1=3\displaystyle f(1)=3\cdot 1^2-1-5\ln 1+1=3-1-0+1=3.
    f(1)=3\displaystyle f(1)=3
  6. Din minimul global, f(x)≥f(1)\displaystyle f(x)\ge f(1), adică f(x)≥3\displaystyle f(x)\ge 3 pentru orice x>0\displaystyle x>0. Deci 3x2−x−5ln⁡x+1≥3\displaystyle 3x^2-x-5\ln x+1\ge 3, de unde 3x2−x−2≥5ln⁡x\displaystyle 3x^2-x-2\ge 5\ln x. Cum 5ln⁡x=ln⁡(x5)\displaystyle 5\ln x=\ln\left(x^5\right), obținem inegalitatea cerută.
    f(x)≥f(1)⇔f(x)≥3, de unde 3x2−x−2≥5ln⁡x, deci 3x2−x−2≥ln⁡(x5)\displaystyle f(x)\ge f(1)\Leftrightarrow f(x)\ge 3\text{, de unde }3x^2-x-2\ge 5\ln x\text{, deci }3x^2-x-2\ge\ln\left(x^5\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1x+2\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x+2}.

Arătați că ∫−12(x+2)f(x) dx=6\displaystyle \int_{-1}^{2}(x+2)f(x)\,dx=6.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+1x+2\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x+2} în produs. Pe intervalul (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty) avem x+2≠0\displaystyle x+2\neq 0, deci (x+2)\displaystyle (x+2) se simplifică cu numitorul: (x+2)f(x)=(x+2)⋅x2+1x+2=x2+1\displaystyle (x+2)f(x)=(x+2)\cdot\dfrac{x^{2}+1}{x+2}=x^{2}+1.
    (x+2)f(x)=x2+1\displaystyle (x+2)f(x)=x^{2}+1
  2. Integrala devine ∫−12(x2+1) dx\displaystyle \int_{-1}^{2}(x^{2}+1)\,dx. O primitivă a lui x2\displaystyle x^{2} este x33\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}, iar o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x.
    ∫−12(x+2)f(x) dx=∫−12(x2+1)dx=(x33+x)∣−12\displaystyle \int_{-1}^{2}(x+2)f(x)\,dx=\int_{-1}^{2}\left(x^{2}+1\right)dx=\left(\frac{x^{3}}{3}+x\right)\Big|_{-1}^{2}
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Pentru x=2\displaystyle x=2 obținem 233+2=83+2=143\displaystyle \dfrac{2^{3}}{3}+2=\dfrac{8}{3}+2=\dfrac{14}{3}. Pentru x=−1\displaystyle x=-1 obținem (−1)33+(−1)=−13−1=−43\displaystyle \dfrac{(-1)^{3}}{3}+(-1)=-\dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{4}{3}.
    F(2)=143\displaystyle F(2)=\frac{14}{3},F(−1)=−43\displaystyle \quad F(-1)=-\frac{4}{3}
  4. Scădem: F(2)−F(−1)=143−(−43)=143+43=183=6\displaystyle F(2)-F(-1)=\dfrac{14}{3}-\left(-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{14}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{18}{3}=6.
    143+43=6\displaystyle \frac{14}{3}+\frac{4}{3}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1x+2\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x+2}.

Calculați ∫04(f(x)−x2x+2)dx\displaystyle \int_{0}^{4}\left(f(x)-\frac{x^2}{x+2}\right)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrandul folosind expresia lui f(x)\displaystyle f(x): f(x)−x2x+2=x2+1x+2−x2x+2\displaystyle f(x)-\dfrac{x^{2}}{x+2}=\dfrac{x^{2}+1}{x+2}-\dfrac{x^{2}}{x+2}.
    f(x)−x2x+2=x2+1x+2−x2x+2\displaystyle f(x)-\frac{x^{2}}{x+2}=\frac{x^{2}+1}{x+2}-\frac{x^{2}}{x+2}
  2. Fracțiile au același numitor, deci scădem numărătorii: x2+1−x2=1\displaystyle x^{2}+1-x^{2}=1. Integrandul devine 1x+2\displaystyle \dfrac{1}{x+2}.
    f(x)−x2x+2=1x+2\displaystyle f(x)-\frac{x^{2}}{x+2}=\frac{1}{x+2}
  3. O primitivă a funcției 1x+2\displaystyle \dfrac{1}{x+2} pe intervalul (−2,+∞)\displaystyle (-2,+\infty) este ln⁡(x+2)\displaystyle \ln(x+2), deoarece x+2>0\displaystyle x+2>0. Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul [0,4]\displaystyle [0,4].
    ∫041x+2 dx=ln⁡(x+2)∣04\displaystyle \int_{0}^{4}\frac{1}{x+2}\,dx=\ln(x+2)\Big|_{0}^{4}
  4. Înlocuim limitele: ln⁡6−ln⁡2\displaystyle \ln 6-\ln 2. Folosim proprietatea diferenței de logaritmi: ln⁡6−ln⁡2=ln⁡62=ln⁡3\displaystyle \ln 6-\ln 2=\ln\dfrac{6}{2}=\ln 3.
    ln⁡6−ln⁡2=ln⁡3\displaystyle \ln 6-\ln 2=\ln 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1x+2\displaystyle f(x)=\frac{x^2+1}{x+2}.

Determinați numărul natural n\displaystyle n, știind că ∫06(x2−9)f(x+1) dx=n2\displaystyle \int_{0}^{6}\left(x^2-9\right)f(x+1)\,dx=n^2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(x+1)\displaystyle f(x+1) înlocuind x\displaystyle x cu x+1\displaystyle x+1 în expresia lui f\displaystyle f: f(x+1)=(x+1)2+1(x+1)+2\displaystyle f(x+1)=\dfrac{(x+1)^2+1}{(x+1)+2}. Pentru x∈[0,6]\displaystyle x\in[0,6] avem x+1>−2\displaystyle x+1>-2, deci f(x+1)\displaystyle f(x+1) este definită.
    f(x+1)=x2+2x+2x+3\displaystyle f(x+1)=\dfrac{x^{2}+2x+2}{x+3}
  2. Descompunem x2−9=(x−3)(x+3)\displaystyle x^2-9=(x-3)(x+3), apoi simplificăm factorul x+3\displaystyle x+3 din integrand (x+3≠0\displaystyle x+3\neq 0 pe [0,6]\displaystyle [0,6]).
    (x2−9)f(x+1)=(x−3)(x+3)⋅x2+2x+2x+3=(x−3)(x2+2x+2)\displaystyle (x^{2}-9)f(x+1)=(x-3)(x+3)\cdot\dfrac{x^{2}+2x+2}{x+3}=(x-3)(x^{2}+2x+2)
  3. Efectuăm înmulțirea: (x−3)(x2+2x+2)=x3+2x2+2x−3x2−6x−6\displaystyle (x-3)(x^2+2x+2)=x^3+2x^2+2x-3x^2-6x-6, apoi reducem termenii asemenea.
    (x−3)(x2+2x+2)=x3−x2−4x−6\displaystyle (x-3)(x^{2}+2x+2)=x^{3}-x^{2}-4x-6
  4. Integrăm fiecare termen al polinomului, folosind ∫xk dx=xk+1k+1\displaystyle \int x^{k}\,dx=\dfrac{x^{k+1}}{k+1}.
    ∫06(x3−x2−4x−6)dx=(x44−x33−2x2−6x)∣06\displaystyle \int_{0}^{6}\left(x^{3}-x^{2}-4x-6\right)dx=\left(\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{x^{3}}{3}-2x^{2}-6x\right)\Big|_{0}^{6}
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton. În x=0\displaystyle x=0 primitiva este 0\displaystyle 0. În x=6\displaystyle x=6 calculăm 644=324\displaystyle \dfrac{6^4}{4}=324, 633=72\displaystyle \dfrac{6^3}{3}=72, 2⋅62=72\displaystyle 2\cdot 6^2=72 și 6⋅6=36\displaystyle 6\cdot 6=36. Obținem 324−72−72−36\displaystyle 324-72-72-36.
    324−72−72−36=144\displaystyle 324-72-72-36=144
  6. Egalăm valoarea integralei cu n2\displaystyle n^2: n2=144\displaystyle n^2=144. Cum n\displaystyle n este număr natural, alegem rădăcina pozitivă.
    n2=144, deci n=12\displaystyle n^{2}=144\text{, deci }n=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.