Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 11: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 12:0,5−14:0,25=0\displaystyle \frac{1}{2}:0,5-\frac{1}{4}:0,25=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem zecimalele ca fracții: 0,5=510=12\displaystyle 0,5=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}, iar 0,25=25100=14\displaystyle 0,25=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}.
    0\displaystyle 0,5=12 și 0\displaystyle 5=\frac{1}{2}\text{ și }0,25=14\displaystyle 25=\frac{1}{4}
  2. Înlocuim zecimalele în expresie cu fracțiile obținute: 12:0,5−14:0,25=12:12−14:14\displaystyle \dfrac{1}{2}:0,5-\dfrac{1}{4}:0,25=\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{4}.
    12:12−14:14\displaystyle \frac{1}{2}:\frac{1}{2}-\frac{1}{4}:\frac{1}{4}
  3. Efectuăm împărțirile: un număr nenul împărțit la el însuși dă 1, deci 12:12=12⋅2=1\displaystyle \dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot 2=1 și 14:14=14⋅4=1\displaystyle \dfrac{1}{4}:\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}\cdot 4=1.
    12:12=1 și 14:14=1\displaystyle \frac{1}{2}:\frac{1}{2}=1\text{ și }\frac{1}{4}:\frac{1}{4}=1
  4. Scădem rezultatele: 1−1=0\displaystyle 1-1=0, deci egalitatea din enunț este adevărată.
    1−1=0\displaystyle 1-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Calculați f(−1)⋅f(1)\displaystyle f(-1)\cdot f(1), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−3x+2\displaystyle f(x)=x^2-3x+2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției: f(1)=12−3⋅1+2\displaystyle f(1)=1^{2}-3\cdot 1+2.
    f(1)=1−3+2=0\displaystyle f(1)=1-3+2=0
  2. Calculăm și f(−1)\displaystyle f(-1) înlocuind x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1. Acest calcul nu este necesar pentru rezultat, dar arată că f(−1)\displaystyle f(-1) este un număr real bine determinat: f(−1)=(−1)2−3⋅(−1)+2\displaystyle f(-1)=(-1)^{2}-3\cdot(-1)+2.
    f(−1)=1+3+2=6\displaystyle f(-1)=1+3+2=6
  3. Înmulțim cele două valori. Deoarece f(1)=0\displaystyle f(1)=0, produsul este zero, indiferent de valoarea lui f(−1)\displaystyle f(-1).
    f(−1)⋅f(1)=6⋅0=0\displaystyle f(-1)\cdot f(1)=6\cdot 0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x−2=5\displaystyle \sqrt{3x-2}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau nulă, adică 3x−2≥0\displaystyle 3x-2\ge 0, deci x≥23\displaystyle x\ge \dfrac{2}{3}.
    x≥23\displaystyle x\ge \dfrac{2}{3}
  2. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat. Pătratul radicalului este expresia de sub radical, iar 52=25\displaystyle 5^{2}=25, deci obținem 3x−2=25\displaystyle 3x-2=25.
    3x−2=25\displaystyle 3x-2=25
  3. Rezolvăm ecuația liniară: adunăm 2 în ambii membri și obținem 3x=27\displaystyle 3x=27, apoi împărțim la 3 și obținem x=9\displaystyle x=9.
    3x=27⇒x=9\displaystyle 3x=27\Rightarrow x=9
  4. Verificăm soluția. Pentru x=9\displaystyle x=9, expresia de sub radical este 3⋅9−2=25≥0\displaystyle 3\cdot 9-2=25\ge 0, iar 25=5\displaystyle \sqrt{25}=5, deci egalitatea este adevărată. Soluția convine.
    x=9, care convine\displaystyle x=9\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Un obiect costă 1000\displaystyle 1000 de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu 20%\displaystyle 20\%.
Vezi rezolvarea
  1. Scumpirea cu 20%\displaystyle 20\% înseamnă că la prețul inițial se adaugă 20%\displaystyle 20\% din el. Mai întâi aflăm cât reprezintă 20%\displaystyle 20\% din 1000\displaystyle 1000 de lei, adică înmulțim 20100\displaystyle \dfrac{20}{100} cu 1000\displaystyle 1000.
    20100⋅1000\displaystyle \frac{20}{100}\cdot 1000
  2. Simplificăm: 1000:100=10\displaystyle 1000:100=10, iar 20⋅10=200\displaystyle 20\cdot 10=200. Deci scumpirea este de 200\displaystyle 200 de lei.
    20100⋅1000=200\displaystyle \frac{20}{100}\cdot 1000=200
  3. Adunăm scumpirea la prețul inițial: 1000+200=1200\displaystyle 1000+200=1200. Prețul obiectului după scumpire este 1200\displaystyle 1200 de lei.
    1000+200=1200 de lei\displaystyle 1000+200=1200\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,3)\displaystyle A(2,3) și B(6,3)\displaystyle B(6,3). Calculați distanța de la punctul O\displaystyle O la mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu M\displaystyle M mijlocul segmentului AB\displaystyle AB. Coordonatele lui M\displaystyle M sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor A\displaystyle A și B\displaystyle B: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}, yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}, yM=yA+yB2\displaystyle \ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim coordonatele lui A(2,3)\displaystyle A(2,3) și B(6,3)\displaystyle B(6,3): xM=2+62=4\displaystyle x_M=\dfrac{2+6}{2}=4, iar yM=3+32=3\displaystyle y_M=\dfrac{3+3}{2}=3. Deci mijlocul este M(4,3)\displaystyle M(4,3).
    M(4,3)\displaystyle M(4,3)
  3. Distanța de la O(0,0)\displaystyle O(0,0) la M(4,3)\displaystyle M(4,3) se calculează cu formula distanței dintre două puncte: OM=(xM−xO)2+(yM−yO)2\displaystyle OM=\sqrt{(x_M-x_O)^2+(y_M-y_O)^2}.
    OM=(4−0)2+(3−0)2\displaystyle OM=\sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2}
  4. Calculăm: OM=16+9=25=5\displaystyle OM=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5. Distanța cerută este 5.
    OM=16+9=25=5\displaystyle OM=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea laturii AB\displaystyle AB a triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că AC=4\displaystyle AC=4 și B=π4\displaystyle B=\frac{\pi}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci suma unghiurilor ascuțite B\displaystyle B și C\displaystyle C este 90∘\displaystyle 90^\circ, adică π2\displaystyle \frac{\pi}{2} radiani.
    B+C=π2\displaystyle B+C=\frac{\pi}{2}
  2. Din B=π4\displaystyle B=\frac{\pi}{4} obținem C=π2−π4\displaystyle C=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}.
    C=π4\displaystyle C=\frac{\pi}{4}
  3. Unghiurile B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt egale, deci triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel, cu catetele AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC egale (laturile opuse unghiurilor egale).
    ΔABC este isoscel, AB=AC\displaystyle \Delta ABC\text{ este isoscel, }AB=AC
  4. Cum AC=4\displaystyle AC=4, rezultă AB=AC=4\displaystyle AB=AC=4.
    AB=AC=4\displaystyle AB=AC=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(121−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & -2\end{pmatrix} și B(x,y)=(x1y−1)\displaystyle B(x,y)=\begin{pmatrix}x & 1\\ y & -1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că det⁡A=−4\displaystyle \det A=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A cu elementele de pe cele două linii: det⁡A=∣121−2∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1 & 2\\ 1 & -2\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣121−2∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1 & 2\\ 1 & -2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin doi: ∣abcd∣=a⋅d−c⋅b\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=a\cdot d-c\cdot b. Aici a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=1\displaystyle c=1, d=−2\displaystyle d=-2, deci obținem 1⋅(−2)−1⋅2\displaystyle 1\cdot(-2)-1\cdot 2.
    det⁡A=1⋅(−2)−1⋅2\displaystyle \det A=1\cdot(-2)-1\cdot 2
  3. Efectuăm înmulțirile: 1⋅(−2)=−2\displaystyle 1\cdot(-2)=-2 și 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2. Apoi scădem: −2−2=−4\displaystyle -2-2=-4, deci det⁡A=−4\displaystyle \det A=-4.
    det⁡A=−2−2=−4\displaystyle \det A=-2-2=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(121−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & -2\end{pmatrix} și B(x,y)=(x1y−1)\displaystyle B(x,y)=\begin{pmatrix}x & 1\\ y & -1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A−2B(x,y))=0\displaystyle \det(A-2B(x,y))=0, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea 2B(x,y)\displaystyle 2B(x,y), înmulțind fiecare element al lui B(x,y)\displaystyle B(x,y) cu 2\displaystyle 2.
    2B(x,y)=(2x22y−2)\displaystyle 2B(x,y)=\begin{pmatrix}2x & 2\\ 2y & -2\end{pmatrix}
  2. Scădem matricea 2B(x,y)\displaystyle 2B(x,y) din A\displaystyle A, element cu element. Pe prima coloană obținem 1−2x\displaystyle 1-2x și 1−2y\displaystyle 1-2y, iar pe a doua coloană obținem 2−2=0\displaystyle 2-2=0 și −2−(−2)=0\displaystyle -2-(-2)=0.
    A−2B(x,y)=(121−2)−(2x22y−2)=(1−2x01−2y0)\displaystyle A-2B(x,y)=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & -2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2x & 2\\ 2y & -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2x & 0\\ 1-2y & 0\end{pmatrix}
  3. Matricea obținută are a doua coloană formată doar din zerouri. Calculăm determinantul: (1−2x)⋅0−0⋅(1−2y)=0\displaystyle (1-2x)\cdot 0-0\cdot(1-2y)=0, oricare ar fi numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    det⁡(A−2B(x,y))=∣1−2x01−2y0∣=(1−2x)⋅0−0⋅(1−2y)=0\displaystyle \det(A-2B(x,y))=\begin{vmatrix}1-2x & 0\\ 1-2y & 0\end{vmatrix}=(1-2x)\cdot 0-0\cdot(1-2y)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(121−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & -2\end{pmatrix} și B(x,y)=(x1y−1)\displaystyle B(x,y)=\begin{pmatrix}x & 1\\ y & -1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care A⋅B(x,y)=B(x,y)⋅A\displaystyle A\cdot B(x,y)=B(x,y)\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B(x,y)\displaystyle A\cdot B(x,y), înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B(x,y)\displaystyle B(x,y). Prima linie dă 1⋅x+2⋅y=x+2y\displaystyle 1\cdot x+2\cdot y=x+2y și 1⋅1+2⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot(-1)=-1, a doua linie dă x−2y\displaystyle x-2y și 1+2=3\displaystyle 1+2=3.
    A⋅B(x,y)=(x+2y−1x−2y3)\displaystyle A\cdot B(x,y)=\begin{pmatrix}x+2y & -1\\ x-2y & 3\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B(x,y)⋅A\displaystyle B(x,y)\cdot A, înmulțind liniile lui B(x,y)\displaystyle B(x,y) cu coloanele lui A\displaystyle A. Prima linie dă x+1\displaystyle x+1 și 2x−2\displaystyle 2x-2, a doua linie dă y−1\displaystyle y-1 și 2y+2\displaystyle 2y+2.
    A⋅B(x,y)=(x+2y−1x−2y3)\displaystyle A\cdot B(x,y)=\begin{pmatrix}x+2y & -1\\ x-2y & 3\end{pmatrix}, B(x,y)⋅A=(x+12x−2y−12y+2)\displaystyle \ B(x,y)\cdot A=\begin{pmatrix}x+1 & 2x-2\\ y-1 & 2y+2\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice și obținem un sistem de patru ecuații.
    {x+2y=x+1−1=2x−2x−2y=y−13=2y+2\displaystyle \begin{cases}x+2y=x+1\\ -1=2x-2\\ x-2y=y-1\\ 3=2y+2\end{cases}
  4. Din prima ecuație, x\displaystyle x se reduce și rămâne 2y=1\displaystyle 2y=1, deci y=12\displaystyle y=\dfrac{1}{2}. Din a doua ecuație, 2x=1\displaystyle 2x=1, deci x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}.
    y=12\displaystyle y=\frac{1}{2}, x=12\displaystyle \ x=\frac{1}{2}
  5. Verificăm celelalte două ecuații. Pentru x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2} și y=12\displaystyle y=\dfrac{1}{2} avem x−2y=−12=y−1\displaystyle x-2y=-\dfrac{1}{2}=y-1 și 2y+2=3\displaystyle 2y+2=3. Ambele sunt verificate.
    x−2y=−12=y−1\displaystyle x-2y=-\frac{1}{2}=y-1, 2y+2=3\displaystyle \ 2y+2=3
  6. Sistemul are soluția unică x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2} și y=12\displaystyle y=\dfrac{1}{2}, deci acestea sunt numerele cerute.
    x=12\displaystyle x=\frac{1}{2}, y=12\displaystyle \ y=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+2(x+y)+2\displaystyle x\circ y=xy+2(x+y)+2.

Arătați că 2020∘(−2)=−2\displaystyle 2020\circ(-2)=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∘y=xy+2(x+y)+2\displaystyle x\circ y=xy+2(x+y)+2 și înlocuim x=2020\displaystyle x=2020, y=−2\displaystyle y=-2.
    2020∘(−2)=2020⋅(−2)+2(2020+(−2))+2\displaystyle 2020\circ(-2)=2020\cdot(-2)+2\bigl(2020+(-2)\bigr)+2
  2. Calculăm produsul 2020⋅(−2)=−4040\displaystyle 2020\cdot(-2)=-4040 și suma 2020+(−2)=2018\displaystyle 2020+(-2)=2018.
    −4040+2⋅2018+2\displaystyle -4040+2\cdot 2018+2
  3. Desfacem paranteza: 2⋅2020=4040\displaystyle 2\cdot 2020=4040 și 2⋅(−2)=−4\displaystyle 2\cdot(-2)=-4. Termenii −4040\displaystyle -4040 și 4040\displaystyle 4040 se reduc, deci rămâne −4+2\displaystyle -4+2.
    2020⋅(−2)+2⋅2020+2⋅(−2)+2=−4040+4040−4+2=−4+2\displaystyle 2020\cdot(-2)+2\cdot 2020+2\cdot(-2)+2=-4040+4040-4+2=-4+2
  4. Obținem −4+2=−2\displaystyle -4+2=-2, deci 2020∘(−2)=−2\displaystyle 2020\circ(-2)=-2.
    2020∘(−2)=−4+2=−2\displaystyle 2020\circ(-2)=-4+2=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+2(x+y)+2\displaystyle x\circ y=xy+2(x+y)+2.

Demonstrați că x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=xy+2(x+y)+2\displaystyle x\circ y=xy+2(x+y)+2 și desfacem paranteza: 2(x+y)=2x+2y\displaystyle 2(x+y)=2x+2y.
    x∘y=xy+2x+2y+2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+2
  2. Scriem termenul liber 2\displaystyle 2 ca 4−2\displaystyle 4-2, ca să apară numărul 4\displaystyle 4 necesar la factorizare.
    x∘y=xy+2x+2y+4−2\displaystyle x\circ y=xy+2x+2y+4-2
  3. Grupăm termenii: xy+2x\displaystyle xy+2x are factor comun x\displaystyle x, iar 2y+4\displaystyle 2y+4 are factor comun 2\displaystyle 2. Obținem x(y+2)+2(y+2)−2\displaystyle x(y+2)+2(y+2)-2.
    x(y+2)+2(y+2)−2\displaystyle x(y+2)+2(y+2)-2
  4. Dăm factor comun paranteza (y+2)\displaystyle (y+2) și obținem forma cerută, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+2(x+y)+2\displaystyle x\circ y=xy+2(x+y)+2.

Determinați numerele reale nenule x\displaystyle x pentru care 1x∘x=x\displaystyle \frac{1}{x}\circ x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Deoarece (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4\displaystyle (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4, avem x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2.
    x∘y=(x+2)(y+2)−2\displaystyle x\circ y=(x+2)(y+2)-2
  2. Înlocuim în ecuația 1x∘x=x\displaystyle \frac{1}{x}\circ x=x și obținem o ecuație cu factori 1x+2\displaystyle \frac{1}{x}+2 și x+2\displaystyle x+2.
    (1x+2)(x+2)−2=x\displaystyle \left(\frac{1}{x}+2\right)(x+2)-2=x
  3. Mutăm −2\displaystyle -2 în membrul drept și obținem x+2\displaystyle x+2 în dreapta.
    (1x+2)(x+2)=x+2\displaystyle \left(\frac{1}{x}+2\right)(x+2)=x+2
  4. Trecem totul în stânga și dăm factor comun x+2\displaystyle x+2: (1x+2−1)(x+2)=0\displaystyle \left(\frac{1}{x}+2-1\right)(x+2)=0.
    (x+2)(1x+1)=0\displaystyle (x+2)\left(\frac{1}{x}+1\right)=0
  5. Un produs este nul când un factor este nul. Din x+2=0\displaystyle x+2=0 rezultă x=−2\displaystyle x=-2. Din 1x+1=0\displaystyle \frac{1}{x}+1=0 rezultă 1x=−1\displaystyle \frac{1}{x}=-1, deci x=−1\displaystyle x=-1. Ambele valori sunt nenule, deci convin.
    x=−2 sau x=−1\displaystyle x=-2\text{ sau }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+(x−1)2\displaystyle f(x)=x^3+(x-1)^2.

Arătați că f′(x)=3x2+2x−2\displaystyle f'(x)=3x^2+2x-2, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=x3+(x−1)2\displaystyle f(x)=x^3+(x-1)^2 este suma a doi termeni, deci f′(x)=(x3)′+((x−1)2)′\displaystyle f'(x)=\left(x^3\right)'+\left((x-1)^2\right)'.
    f′(x)=(x3)′+((x−1)2)′\displaystyle f'(x)=\left(x^3\right)'+\left((x-1)^2\right)'
  2. Pentru primul termen folosim (xn)′=nxn−1\displaystyle \left(x^n\right)'=nx^{n-1}, deci (x3)′=3x2\displaystyle \left(x^3\right)'=3x^2. Pentru al doilea termen luăm u=x−1\displaystyle u=x-1 și folosim (u2)′=2u⋅u′\displaystyle \left(u^2\right)'=2u\cdot u', deci ((x−1)2)′=2(x−1)(x−1)′\displaystyle \left((x-1)^2\right)'=2(x-1)(x-1)'.
    f′(x)=3x2+2(x−1)(x−1)′\displaystyle f'(x)=3x^2+2(x-1)(x-1)'
  3. Calculăm (x−1)′=1−0=1\displaystyle (x-1)'=1-0=1, deci f′(x)=3x2+2(x−1)⋅1\displaystyle f'(x)=3x^2+2(x-1)\cdot 1.
    f′(x)=3x2+2(x−1)\displaystyle f'(x)=3x^2+2(x-1)
  4. Desfacem paranteza: 2(x−1)=2x−2\displaystyle 2(x-1)=2x-2. Obținem f′(x)=3x2+2x−2\displaystyle f'(x)=3x^2+2x-2, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, ceea ce trebuia demonstrat.
    f′(x)=3x2+2x−2\displaystyle f'(x)=3x^2+2x-2, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+(x−1)2\displaystyle f(x)=x^3+(x-1)^2.

Arătați că lim⁡x→+∞xf′(x)f(x)=3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x f'(x)}{f(x)}=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția dezvoltat: (x−1)2=x2−2x+1\displaystyle (x-1)^2=x^2-2x+1, deci f(x)=x3+x2−2x+1\displaystyle f(x)=x^3+x^2-2x+1.
    f(x)=x3+x2−2x+1\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}-2x+1
  2. Derivăm funcția termen cu termen, folosind (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^{n})'=n x^{n-1}: f′(x)=3x2+2x−2\displaystyle f'(x)=3x^2+2x-2.
    f′(x)=3x2+2x−2\displaystyle f'(x)=3x^{2}+2x-2
  3. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) și f′(x)\displaystyle f'(x) în expresia de sub limită.
    lim⁡x→+∞xf′(x)f(x)=lim⁡x→+∞x(3x2+2x−2)x3+(x−1)2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x f'(x)}{f(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(3x^{2}+2x-2\right)}{x^{3}+(x-1)^{2}}
  4. Efectuăm înmulțirea la numărător și dezvoltăm pătratul la numitor, obținând un raport de polinoame de gradul 3\displaystyle 3.
    lim⁡x→+∞3x3+2x2−2xx3+x2−2x+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^{3}+2x^{2}-2x}{x^{3}+x^{2}-2x+1}
  5. Împărțim numărătorul și numitorul la cea mai mare putere, x3\displaystyle x^{3}.
    lim⁡x→+∞3+2x−2x21+1x−2x2+1x3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{3+\frac{2}{x}-\frac{2}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}
  6. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, fracțiile 1x\displaystyle \dfrac{1}{x}, 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}} și 1x3\displaystyle \dfrac{1}{x^{3}} tind la 0\displaystyle 0. Rămâne raportul dintre 3\displaystyle 3 și 1\displaystyle 1, deci limita este 3\displaystyle 3.
    3+0−01+0−0+0=3\displaystyle \frac{3+0-0}{1+0-0+0}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3+(x−1)2\displaystyle f(x)=x^3+(x-1)^2.

Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f\displaystyle f în care tangenta la graficul funcției f\displaystyle f este paralelă cu dreapta y=3x+1\displaystyle y=3x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Tangenta la grafic într-un punct de abscisă a\displaystyle a are panta f′(a)\displaystyle f'(a). Dreapta y=3x+1\displaystyle y=3x+1 are panta 3\displaystyle 3, iar două drepte paralele au pante egale. Deci cerem ca f′(a)=3\displaystyle f'(a)=3.
    f′(a)=3\displaystyle f'(a)=3
  2. Calculăm derivata funcției: (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, iar ((x−1)2)′=2(x−1)\displaystyle \left((x-1)^2\right)'=2(x-1).
    f′(x)=3x2+2(x−1)=3x2+2x−2\displaystyle f'(x)=3x^{2}+2(x-1)=3x^{2}+2x-2
  3. Punem condiția f′(a)=3\displaystyle f'(a)=3 și aducem ecuația la forma generală: 3a2+2a−2=3\displaystyle 3a^2+2a-2=3.
    3a2+2a−5=0\displaystyle 3a^{2}+2a-5=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=22−4⋅3⋅(−5)=64\displaystyle \Delta=2^2-4\cdot 3\cdot(-5)=64, deci Δ=8\displaystyle \sqrt{\Delta}=8. Rădăcinile sunt a=−2±86\displaystyle a=\dfrac{-2\pm 8}{6}.
    a=−2−86=−53 sau a=−2+86=1\displaystyle a=\frac{-2-8}{6}=-\frac{5}{3}\text{ sau }a=\frac{-2+8}{6}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5+x3+2x+2\displaystyle f(x)=x^5+x^3+2x+2.

Arătați că ∫−11(f(x)−x3−2x−2)dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-x^3-2x-2\right)dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia sa în integrandul dat: f(x)−x3−2x−2=x5+x3+2x+2−x3−2x−2\displaystyle f(x)-x^3-2x-2=x^5+x^3+2x+2-x^3-2x-2.
    ∫−11(x5+x3+2x+2−x3−2x−2)dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(x^5+x^3+2x+2-x^3-2x-2\right)dx
  2. Reducem termenii asemenea: x3−x3=0\displaystyle x^3-x^3=0, 2x−2x=0\displaystyle 2x-2x=0 și 2−2=0\displaystyle 2-2=0. Rămâne doar x5\displaystyle x^5, deci integrala devine ∫−11x5 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}x^5\,dx.
    ∫−11x5 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}x^5\,dx
  3. O primitivă a lui x5\displaystyle x^5 este x66\displaystyle \dfrac{x^6}{6}, deci integrala este x66∣−11\displaystyle \dfrac{x^6}{6}\Big|_{-1}^{1}.
    ∫−11x5 dx=x66∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}x^5\,dx=\frac{x^6}{6}\Big|_{-1}^{1}
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 166−(−1)66=16−16=0\displaystyle \dfrac{1^6}{6}-\dfrac{(-1)^6}{6}=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{6}=0. Deci integrala este 0\displaystyle 0, ceea ce trebuia arătat.
    16−16=0\displaystyle \frac{1}{6}-\frac{1}{6}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5+x3+2x+2\displaystyle f(x)=x^5+x^3+2x+2.

Arătați că ∫02ex(f(x)−x5−x3−3x−1)dx=−2\displaystyle \int_{0}^{2}e^x\left(f(x)-x^5-x^3-3x-1\right)dx=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x5+x3+2x+2\displaystyle f(x)=x^5+x^3+2x+2 în expresia de sub integrală: f(x)−x5−x3−3x−1\displaystyle f(x)-x^5-x^3-3x-1.
    x5+x3+2x+2−x5−x3−3x−1\displaystyle x^5+x^3+2x+2-x^5-x^3-3x-1
  2. Reducem termenii asemenea: x5\displaystyle x^5 și x3\displaystyle x^3 se anulează, 2x−3x=−x\displaystyle 2x-3x=-x, iar 2−1=1\displaystyle 2-1=1.
    f(x)−x5−x3−3x−1=−x+1\displaystyle f(x)-x^5-x^3-3x-1=-x+1
  3. Integrala devine ∫02ex(−x+1)dx\displaystyle \int_{0}^{2}e^x(-x+1)dx. Aplicăm integrarea prin părți, cu u=−x+1\displaystyle u=-x+1 și dv=exdx\displaystyle dv=e^x dx, deci du=−dx\displaystyle du=-dx și v=ex\displaystyle v=e^x.
    ∫02ex(−x+1)dx=ex(−x+1)∣02−∫02(−1)exdx\displaystyle \int_{0}^{2}e^x(-x+1)dx=e^x(-x+1)\Big|_{0}^{2}-\int_{0}^{2}(-1)e^x dx
  4. Calculăm termenul integrat: la 2\displaystyle 2 avem e2⋅(−1)=−e2\displaystyle e^2\cdot(-1)=-e^2, iar la 0\displaystyle 0 avem e0⋅1=1\displaystyle e^0\cdot 1=1. Diferența este −e2−1\displaystyle -e^2-1.
    ex(−x+1)∣02=−e2−1\displaystyle e^x(-x+1)\Big|_{0}^{2}=-e^2-1
  5. Calculăm integrala rămasă: −∫02(−1)exdx=∫02exdx=ex∣02=e2−1\displaystyle -\int_{0}^{2}(-1)e^x dx=\int_{0}^{2}e^x dx=e^x\Big|_{0}^{2}=e^2-1.
    −∫02(−1)exdx=e2−1\displaystyle -\int_{0}^{2}(-1)e^x dx=e^2-1
  6. Adunăm cele două rezultate: −e2−1+e2−1=−2\displaystyle -e^2-1+e^2-1=-2.
    −e2−1+e2−1=−2\displaystyle -e^2-1+e^2-1=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5+x3+2x+2\displaystyle f(x)=x^5+x^3+2x+2.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este convexă.
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}. Din definiția primitivei, derivata lui F\displaystyle F este f\displaystyle f. Pentru a arăta că F\displaystyle F este convexă, ne ajută semnul celei de-a doua derivate.
    F′(x)=f(x)=x5+x3+2x+2\displaystyle F'(x)=f(x)=x^5+x^3+2x+2, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm încă o dată egalitatea. A doua derivată a lui F\displaystyle F este derivata lui f\displaystyle f. Derivăm termen cu termen: (x5)′=5x4\displaystyle (x^5)'=5x^4, (x3)′=3x2\displaystyle (x^3)'=3x^2, (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2, (2)′=0\displaystyle (2)'=0.
    F′′(x)=f′(x)=5x4+3x2+2\displaystyle F''(x)=f'(x)=5x^4+3x^2+2
  3. Studiem semnul lui F′′\displaystyle F''. Avem x4≥0\displaystyle x^4\ge 0 și x2≥0\displaystyle x^2\ge 0, deci 5x4≥0\displaystyle 5x^4\ge 0 și 3x2≥0\displaystyle 3x^2\ge 0. Adăugând 2\displaystyle 2, obținem F′′(x)≥2>0\displaystyle F''(x)\ge 2>0 pentru orice x\displaystyle x real. Cum F′′≥0\displaystyle F''\ge 0 pe R\displaystyle \mathbb{R}, funcția F\displaystyle F este convexă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Primitiva F\displaystyle F a fost aleasă arbitrar, deci orice primitivă a lui f\displaystyle f este convexă.
    F′′(x)=5x4+3x2+2≥0\displaystyle F''(x)=5x^4+3x^2+2\ge 0, ∀x∈R, deci F este convexa˘\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}\text{, deci }F\text{ este convexă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.