Bac matematică M3 tehnologic 2021, model, test de evaluare 1: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați rația progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1} în care a3=7\displaystyle a_3=7 și a7=15\displaystyle a_7=15.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, fiecare termen se obține din precedentul adăugând rația r\displaystyle r. Între a3\displaystyle a_3 și a7\displaystyle a_7 sunt 7−3=4\displaystyle 7-3=4 pași, deci a7=a3+4r\displaystyle a_7=a_3+4r.
    a7=a3+4r\displaystyle a_7=a_3+4r
  2. Înlocuim valorile date, a3=7\displaystyle a_3=7 și a7=15\displaystyle a_7=15, în relația obținută: 15=7+4r\displaystyle 15=7+4r.
    15=7+4r\displaystyle 15=7+4r
  3. Scădem 7 din ambii membri: 4r=15−7=8\displaystyle 4r=15-7=8. Împărțim la 4 și obținem rația. Verificare: a7=7+4⋅2=15\displaystyle a_7=7+4\cdot 2=15.
    15=7+4r⇒4r=8⇒r=2\displaystyle 15=7+4r\Rightarrow 4r=8\Rightarrow r=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−5\displaystyle f(x)=3x-5. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x\displaystyle x pentru care f(x)≥2f(1)+4\displaystyle f(x)\ge 2f(1)+4.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1), înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției: f(1)=3⋅1−5\displaystyle f(1)=3\cdot 1-5.
    f(1)=3⋅1−5=−2\displaystyle f(1)=3\cdot 1-5=-2
  2. Calculăm membrul drept al inegalității: 2f(1)+4=2⋅(−2)+4\displaystyle 2f(1)+4=2\cdot(-2)+4.
    2f(1)+4=2⋅(−2)+4=0\displaystyle 2f(1)+4=2\cdot(-2)+4=0
  3. Scriem inegalitatea cu f(x)=3x−5\displaystyle f(x)=3x-5 și cu f(1)=−2\displaystyle f(1)=-2 introdus în membrul drept.
    3x−5≥2⋅(−2)+4\displaystyle 3x-5\ge 2\cdot(-2)+4
  4. Adunăm 5\displaystyle 5 la ambii membri ai inegalității 3x−5≥0\displaystyle 3x-5\ge 0 și obținem 3x≥5\displaystyle 3x\ge 5.
    3x≥5\displaystyle 3x\ge 5
  5. Împărțim la 3>0\displaystyle 3>0, deci sensul inegalității se păstrează: x≥53\displaystyle x\ge \dfrac{5}{3}. Mulțimea soluțiilor este un interval.
    x∈[53,+∞)\displaystyle x\in\left[\frac{5}{3},+\infty\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 81x=3\displaystyle 81^x=3.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 81=34\displaystyle 81=3^{4}. Înlocuim în ecuația 81x=3\displaystyle 81^x=3 și obținem (34)x=3\displaystyle (3^{4})^{x}=3.
    (34)x=3\displaystyle (3^{4})^{x}=3
  2. Folosim regula (am)n=amn\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}. Ecuația devine 34x=3\displaystyle 3^{4x}=3.
    34x=3\displaystyle 3^{4x}=3
  3. Scriem 3=31\displaystyle 3=3^{1}, deci 34x=31\displaystyle 3^{4x}=3^{1}. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci egalăm exponenții: 4x=1\displaystyle 4x=1.
    4x=1\displaystyle 4x=1
  4. Împărțim la 4\displaystyle 4 și obținem soluția ecuației: x=14\displaystyle x=\dfrac{1}{4}.
    4x=1⇒x=14\displaystyle 4x=1\Rightarrow x=\dfrac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați A62P3\displaystyle \frac{A_6^2}{P_3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula aranjamentelor: Ank=n!(n−k)!\displaystyle A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}. Pentru n=6\displaystyle n=6 și k=2\displaystyle k=2 obținem A62=6!(6−2)!=6!4!\displaystyle A_6^2=\dfrac{6!}{(6-2)!}=\dfrac{6!}{4!}.
    A62=6!4!\displaystyle A_6^2=\dfrac{6!}{4!}
  2. Simplificăm 4!\displaystyle 4!, deoarece 6!=6⋅5⋅4!\displaystyle 6!=6\cdot 5\cdot 4!. Rezultă A62=6⋅5⋅4!4!=6⋅5=30\displaystyle A_6^2=\dfrac{6\cdot 5\cdot 4!}{4!}=6\cdot 5=30.
    A62=30\displaystyle A_6^2=30
  3. Calculăm P3=3!=1⋅2⋅3=6\displaystyle P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3=6.
    P3=3!=6\displaystyle P_3=3!=6
  4. Împărțim rezultatele obținute: A62P3=306=5\displaystyle \dfrac{A_6^2}{P_3}=\dfrac{30}{6}=5.
    A62P3=306=5\displaystyle \dfrac{A_6^2}{P_3}=\dfrac{30}{6}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,3)\displaystyle A(0,3), B(0,−5)\displaystyle B(0,-5) și C(4,−1)\displaystyle C(4,-1). Arătați că triunghiul ACB\displaystyle ACB este dreptunghic isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm lungimea laturii AB\displaystyle AB cu formula distanței dintre două puncte: AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}. Punctele A\displaystyle A și B\displaystyle B au aceeași abscisă, deci distanța este diferența ordonatelor, în modul.
    AB=(0−0)2+(−5−3)2=64=8\displaystyle AB=\sqrt{(0-0)^2+(-5-3)^2}=\sqrt{64}=8
  2. Calculăm lungimea laturii AC\displaystyle AC cu aceeași formulă, apoi scoatem factorul pătrat de sub radical: 32=16⋅2\displaystyle 32=16\cdot 2.
    AC=(4−0)2+(−1−3)2=16+16=32=42\displaystyle AC=\sqrt{(4-0)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}
  3. Calculăm lungimea laturii BC\displaystyle BC în același mod. Acum cunoaștem toate cele trei lungimi.
    BC=(4−0)2+(−1+5)2=16+16=42, deci AB=8\displaystyle BC=\sqrt{(4-0)^2+(-1+5)^2}=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}\text{, deci }AB=8, AC=BC=42\displaystyle \ AC=BC=4\sqrt{2}
  4. Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora. Cea mai lungă latură este AB\displaystyle AB, deci comparăm AB2\displaystyle AB^2 cu AC2+BC2\displaystyle AC^2+BC^2.
    AC2+BC2=32+32=64=82=AB2\displaystyle AC^2+BC^2=32+32=64=8^2=AB^2
  5. Din AB2=AC2+BC2\displaystyle AB^2=AC^2+BC^2 rezultă că triunghiul este dreptunghic în C\displaystyle C. Cum AC=BC\displaystyle AC=BC, triunghiul este și isoscel. Deci triunghiul ACB\displaystyle ACB este dreptunghic isoscel.
    AB2=AC2+BC2 și AC=BC⇒ΔACB este dreptunghic isoscel\displaystyle AB^2=AC^2+BC^2\text{ și }AC=BC\Rightarrow \Delta ACB\text{ este dreptunghic isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că tg 60∘ctg 30∘⋅cos⁡45∘=2\displaystyle \frac{\mathrm{tg}\,60^\circ}{\mathrm{ctg}\,30^\circ\cdot\cos 45^\circ}=\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile din tabelul trigonometric: tg 60∘=3\displaystyle \mathrm{tg}\,60^\circ=\sqrt{3}, ctg 30∘=3\displaystyle \mathrm{ctg}\,30^\circ=\sqrt{3} și cos⁡45∘=22\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    tg 60∘=3\displaystyle \mathrm{tg}\,60^\circ=\sqrt{3}, ctg 30∘=3\displaystyle \ \mathrm{ctg}\,30^\circ=\sqrt{3}, cos⁡45∘=22\displaystyle \ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în fracția din enunț: tg 60∘ctg 30∘⋅cos⁡45∘\displaystyle \dfrac{\mathrm{tg}\,60^\circ}{\mathrm{ctg}\,30^\circ\cdot\cos 45^\circ}.
    33⋅22\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}
  3. Simplificăm prin 3\displaystyle \sqrt{3} la numărător și la numitor. Rămâne 122\displaystyle \dfrac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}, adică 22\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{2}}.
    22\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}
  4. Scriem 2=2⋅2\displaystyle 2=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} și simplificăm prin 2\displaystyle \sqrt{2}. Obținem 22=2⋅22=2\displaystyle \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, deci egalitatea este demonstrată.
    22=2\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−3−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-3&-2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, pe baza elementelor ei: prima linie 2\displaystyle 2 și 1\displaystyle 1, a doua linie −3\displaystyle -3 și −2\displaystyle -2.
    det⁡A=∣21−3−2∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&1\\-3&-2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula diagonalelor: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡A=a11a22−a21a12\displaystyle \det A=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}.
    det⁡A=2⋅(−2)−(−3)⋅1\displaystyle \det A=2\cdot(-2)-(-3)\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 2⋅(−2)=−4\displaystyle 2\cdot(-2)=-4, iar (−3)⋅1=−3\displaystyle (-3)\cdot 1=-3. Scăderea lui −3\displaystyle -3 revine la adunarea lui 3\displaystyle 3, deci obținem −4+3\displaystyle -4+3, adică −1\displaystyle -1.
    det⁡A=−4+3=−1\displaystyle \det A=-4+3=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−3−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-3&-2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Demonstrați că A⋅A=I2\displaystyle A\cdot A=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, adică înmulțim matricea A\displaystyle A cu ea însăși.
    A⋅A=(21−3−2)(21−3−2)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}2&1\\-3&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\-3&-2\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementul de pe linia 1, coloana 1: înmulțim linia 1 din prima matrice cu coloana 1 din a doua matrice. Obținem 2⋅2+1⋅(−3)=4−3\displaystyle 2\cdot 2+1\cdot(-3)=4-3.
    2⋅2+1⋅(−3)=4−3=1\displaystyle 2\cdot 2+1\cdot(-3)=4-3=1
  3. Elementul de pe linia 1, coloana 2: linia 1 cu coloana 2. Obținem 2⋅1+1⋅(−2)=2−2\displaystyle 2\cdot 1+1\cdot(-2)=2-2.
    2⋅1+1⋅(−2)=2−2=0\displaystyle 2\cdot 1+1\cdot(-2)=2-2=0
  4. Elementul de pe linia 2, coloana 1: linia 2 cu coloana 1. Obținem (−3)⋅2+(−2)⋅(−3)=−6+6\displaystyle (-3)\cdot 2+(-2)\cdot(-3)=-6+6.
    (−3)⋅2+(−2)⋅(−3)=−6+6=0\displaystyle (-3)\cdot 2+(-2)\cdot(-3)=-6+6=0
  5. Elementul de pe linia 2, coloana 2: linia 2 cu coloana 2. Obținem (−3)⋅1+(−2)⋅(−2)=−3+4\displaystyle (-3)\cdot 1+(-2)\cdot(-2)=-3+4.
    (−3)⋅1+(−2)⋅(−2)=−3+4=1\displaystyle (-3)\cdot 1+(-2)\cdot(-2)=-3+4=1
  6. Adunăm calculele într-o singură matrice, scriind fiecare element sub forma obținută mai sus.
    A⋅A=(4−32−2−6+6−3+4)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}4-3&2-2\\-6+6&-3+4\end{pmatrix}
  7. Efectuăm calculele din fiecare element și observăm că obținem matricea unitate de ordin 2, deci A⋅A=I2\displaystyle A\cdot A=I_2.
    A⋅A=(1001)=I2\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−3−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-3&-2\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) astfel încât AX−I2=2021A\displaystyle AX-I_2=2021A.
Vezi rezolvarea
  1. Din AX−I2=2021A\displaystyle AX-I_2=2021A obținem AX=2021A+I2\displaystyle AX=2021A+I_2.
    AX=2021A+I2\displaystyle AX=2021A+I_2
  2. Calculăm det⁡A=2⋅(−2)−1⋅(−3)=−4+3=−1≠0\displaystyle \det A=2\cdot(-2)-1\cdot(-3)=-4+3=-1\neq 0, deci A\displaystyle A este inversabilă.
    det⁡A=−1≠0\displaystyle \det A=-1\neq 0
  3. Calculăm A2=(21−3−2)(21−3−2)=(4−32−2−6+6−3+4)=I2\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}2&1\\-3&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\-3&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-3&2-2\\-6+6&-3+4\end{pmatrix}=I_2, deci A−1=A\displaystyle A^{-1}=A.
    A2=I2⇒A−1=A\displaystyle A^{2}=I_2\Rightarrow A^{-1}=A
  4. Înmulțim la stânga cu A−1\displaystyle A^{-1}: A−1AX=A−1I2+2021A−1A\displaystyle A^{-1}AX=A^{-1}I_2+2021A^{-1}A, adică X=A−1+2021I2\displaystyle X=A^{-1}+2021I_2. Cum A−1=A\displaystyle A^{-1}=A, rezultă X=A+2021I2\displaystyle X=A+2021I_2.
    X=A+2021⋅I2\displaystyle X=A+2021\cdot I_2
  5. Avem 2021⋅I2=(2021002021)\displaystyle 2021\cdot I_2=\begin{pmatrix}2021&0\\0&2021\end{pmatrix}, deci X=(2+20211+0−3+0−2+2021)\displaystyle X=\begin{pmatrix}2+2021&1+0\\-3+0&-2+2021\end{pmatrix}.
    X=(20231−32019)\displaystyle X=\begin{pmatrix}2023&1\\-3&2019\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−5x−5y+30\displaystyle x\circ y=xy-5x-5y+30.

Arătați că 5∘2021=5\displaystyle 5\circ 2021=5.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∘y=xy−5x−5y+30\displaystyle x\circ y=xy-5x-5y+30 și înlocuim x=5\displaystyle x=5, y=2021\displaystyle y=2021.
    5∘2021=5⋅2021−5⋅5−5⋅2021+30\displaystyle 5\circ 2021=5\cdot 2021-5\cdot 5-5\cdot 2021+30
  2. Termenii 5⋅2021\displaystyle 5\cdot 2021 și −5⋅2021\displaystyle -5\cdot 2021 se reduc, deci rămân doar ceilalți doi termeni.
    5⋅2021−5⋅2021−5⋅5+30=−25+30\displaystyle 5\cdot 2021-5\cdot 2021-5\cdot 5+30=-25+30
  3. Calculăm −25+30=5\displaystyle -25+30=5, deci 5∘2021=5\displaystyle 5\circ 2021=5.
    −25+30=5\displaystyle -25+30=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−5x−5y+30\displaystyle x\circ y=xy-5x-5y+30.

Demonstrați că x∘y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x\circ y=(x-5)(y-5)+5, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=xy−5x−5y+30\displaystyle x\circ y=xy-5x-5y+30.
    x∘y=xy−5x−5y+30\displaystyle x\circ y=xy-5x-5y+30
  2. Descompunem termenul liber 30\displaystyle 30 ca 25+5\displaystyle 25+5, pentru a obține un grup de termeni care se poate factoriza.
    x∘y=xy−5x−5y+25+5\displaystyle x\circ y=xy-5x-5y+25+5
  3. Grupăm xy−5x\displaystyle xy-5x și −5y+25\displaystyle -5y+25: xy−5x=x(y−5)\displaystyle xy-5x=x(y-5) și −5y+25=−5(y−5)\displaystyle -5y+25=-5(y-5), deci xy−5x−5y+25=x(y−5)−5(y−5)\displaystyle xy-5x-5y+25=x(y-5)-5(y-5). (La fel de bine, puteam grupa xy−5y\displaystyle xy-5y și −5x+25\displaystyle -5x+25, adică y(x−5)−5(x−5)\displaystyle y(x-5)-5(x-5).)
    x∘y=x(y−5)−5(y−5)+5\displaystyle x\circ y=x(y-5)-5(y-5)+5
  4. Dăm factor comun pe y−5\displaystyle y-5: x(y−5)−5(y−5)=(x−5)(y−5)\displaystyle x(y-5)-5(y-5)=(x-5)(y-5).
    x∘y=(x−5)(y−5)+5, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=(x-5)(y-5)+5\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−5x−5y+30\displaystyle x\circ y=xy-5x-5y+30. Determinați numerele întregi m\displaystyle m și n\displaystyle n pentru care m2∘n=16\displaystyle m^2\circ n=16.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată: grupăm termenii și completăm produsul. Avem xy−5x−5y+25=(x−5)(y−5)\displaystyle xy-5x-5y+25=(x-5)(y-5), deci x∘y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x\circ y=(x-5)(y-5)+5.
    x∘y=(x−5)(y−5)+5\displaystyle x\circ y=(x-5)(y-5)+5
  2. Înlocuim x=m2\displaystyle x=m^2 și y=n\displaystyle y=n în condiția dată. Din (m2−5)(n−5)+5=16\displaystyle (m^2-5)(n-5)+5=16 obținem (m2−5)(n−5)=11\displaystyle (m^2-5)(n-5)=11.
    (m2−5)(n−5)=11\displaystyle (m^2-5)(n-5)=11
  3. Deoarece m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt întregi, factorii m2−5\displaystyle m^2-5 și n−5\displaystyle n-5 sunt divizori întregi ai lui 11\displaystyle 11. Cum 11\displaystyle 11 este prim, divizorii sunt ±1\displaystyle \pm1 și ±11\displaystyle \pm11. Obținem patru sisteme posibile.
    {m2−5=11n−5=1 sau {m2−5=1n−5=11 sau {m2−5=−11n−5=−1 sau {m2−5=−1n−5=−11\displaystyle \begin{cases}m^2-5=11\\n-5=1\end{cases}\text{ sau }\begin{cases}m^2-5=1\\n-5=11\end{cases}\text{ sau }\begin{cases}m^2-5=-11\\n-5=-1\end{cases}\text{ sau }\begin{cases}m^2-5=-1\\n-5=-11\end{cases}
  4. Rezolvăm fiecare sistem. Primul: m2=16\displaystyle m^2=16, deci m=±4\displaystyle m=\pm4, iar n=6\displaystyle n=6. Al doilea: m2=6\displaystyle m^2=6, care nu are soluții întregi. Al treilea: m2=−6\displaystyle m^2=-6, imposibil. Al patrulea: m2=4\displaystyle m^2=4, deci m=±2\displaystyle m=\pm2, iar n=−6\displaystyle n=-6.
    m2=16, n=6m2=6 (imposibil)m2=−6 (imposibil)m2=4, n=−6\displaystyle \begin{aligned} m^2&=16,\ n=6 \\ m^2&=6\text{ (imposibil)} \\ m^2&=-6\text{ (imposibil)} \\ m^2&=4,\ n=-6 \end{aligned}
  5. Perechile de numere întregi cerute (m,n)\displaystyle (m,n) sunt (4,6)\displaystyle (4,6), (−4,6)\displaystyle (-4,6), (2,−6)\displaystyle (2,-6) și (−2,−6)\displaystyle (-2,-6).
    {m=4n=6\displaystyle \begin{cases}m=4\\n=6\end{cases}, {m=−4n=6\displaystyle \ \begin{cases}m=-4\\n=6\end{cases}, {m=2n=−6\displaystyle \ \begin{cases}m=2\\n=-6\end{cases}, {m=−2n=−6\displaystyle \ \begin{cases}m=-2\\n=-6\end{cases}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2−8)ex\displaystyle f(x)=(x^2-8)e^x.

Arătați că f′(x)=(x−2)(x+4)ex\displaystyle f'(x)=(x-2)(x+4)e^x, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f\displaystyle f este produsul dintre u(x)=x2−8\displaystyle u(x)=x^2-8 și v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^x, deci aplicăm formula de derivare a produsului: (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=(x2−8)′⋅ex+(x2−8)⋅(ex)′\displaystyle f'(x)=(x^2-8)'\cdot e^x+(x^2-8)\cdot(e^x)'
  2. Derivăm: (x2−8)′=2x\displaystyle (x^2-8)'=2x, iar (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x. Înlocuim în formulă.
    f′(x)=2xex+(x2−8)ex\displaystyle f'(x)=2xe^x+(x^2-8)e^x
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x și reducem termenii din paranteză.
    f′(x)=ex(x2+2x−8)\displaystyle f'(x)=e^x\left(x^2+2x-8\right)
  4. Descompunem trinomul x2+2x−8\displaystyle x^2+2x-8. Căutăm două numere cu suma 2\displaystyle 2 și produsul −8\displaystyle -8: acestea sunt −2\displaystyle -2 și 4\displaystyle 4. Deci x2+2x−8=(x−2)(x+4)\displaystyle x^2+2x-8=(x-2)(x+4). Verificare: (x−2)(x+4)=x2+4x−2x−8=x2+2x−8\displaystyle (x-2)(x+4)=x^2+4x-2x-8=x^2+2x-8.
    x2+2x−8=(x−2)(x+4)\displaystyle x^2+2x-8=(x-2)(x+4)
  5. Înlocuim descompunerea în expresia derivatei și obținem egalitatea cerută, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    f′(x)=ex(x−2)(x+4)=(x−2)(x+4)ex, pentru orice numa˘r real x\displaystyle f'(x)=e^x(x-2)(x+4)=(x-2)(x+4)e^x\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2−8)ex\displaystyle f(x)=(x^2-8)e^x.

Calculați lim⁡x→2f′(x)x−2\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f'(x)}{x-2}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției folosind formula derivatei produsului: f′(x)=(x2−8)′ex+(x2−8)(ex)′\displaystyle f'(x)=(x^2-8)'e^x+(x^2-8)(e^x)'.
    f′(x)=2xex+(x2−8)ex\displaystyle f'(x)=2xe^x+(x^2-8)e^x
  2. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x și reducem termenii din paranteză: f′(x)=ex(x2+2x−8)\displaystyle f'(x)=e^x(x^2+2x-8).
    f′(x)=ex(x2+2x−8)\displaystyle f'(x)=e^x(x^2+2x-8)
  3. Descompunem trinomul. Rădăcinile ecuației x2+2x−8=0\displaystyle x^2+2x-8=0 sunt x=2\displaystyle x=2 și x=−4\displaystyle x=-4 (discriminantul este 4+32=36\displaystyle 4+32=36), deci x2+2x−8=(x−2)(x+4)\displaystyle x^2+2x-8=(x-2)(x+4).
    f′(x)=ex(x−2)(x+4)\displaystyle f'(x)=e^x(x-2)(x+4)
  4. Înlocuim derivata în limită. Pentru x≠2\displaystyle x\neq 2 simplificăm factorul x−2\displaystyle x-2, ceea ce elimină nedeterminarea 00\displaystyle \dfrac{0}{0}.
    lim⁡x→2ex(x−2)(x+4)x−2=lim⁡x→2ex(x+4)\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{e^x(x-2)(x+4)}{x-2}=\lim_{x\to2}e^x(x+4)
  5. Funcția ex(x+4)\displaystyle e^x(x+4) este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci înlocuim x=2\displaystyle x=2: e2⋅(2+4)=6e2\displaystyle e^2\cdot(2+4)=6e^2.
    6e2\displaystyle 6e^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x2−8)ex\displaystyle f(x)=(x^2-8)e^x.

Demonstrați că x2≥8−4e2−x\displaystyle x^2\ge 8-4e^{2-x}, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f folosind formula derivatei produsului: (x2−8)′=2x\displaystyle (x^2-8)'=2x și (ex)′=ex\displaystyle (e^x)'=e^x.
    f′(x)=2xex+(x2−8)ex=ex(x2+2x−8)\displaystyle f'(x)=2xe^x+(x^2-8)e^x=e^x(x^2+2x-8)
  2. Descompunem trinomul x2+2x−8\displaystyle x^2+2x-8. Rădăcinile sunt −4\displaystyle -4 și 2\displaystyle 2, deoarece suma lor este −2\displaystyle -2 și produsul lor este −8\displaystyle -8.
    f′(x)=ex(x+4)(x−2)\displaystyle f'(x)=e^x(x+4)(x-2)
  3. Cum ex>0\displaystyle e^x>0 pentru orice x\displaystyle x, semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul produsului (x+4)(x−2)\displaystyle (x+4)(x-2). Acesta este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele.
    f′(x)≥0 pe (−∞,−4]\displaystyle f'(x)\ge0\text{ pe }(-\infty,-4], f′(x)≤0 pe [−4,2]\displaystyle \ f'(x)\le0\text{ pe }[-4,2], f′(x)≥0 pe [2,∞)\displaystyle \ f'(x)\ge0\text{ pe }[2,\infty)
  4. Deci f\displaystyle f crește pe (−∞,−4]\displaystyle (-\infty,-4], scade pe [−4,2]\displaystyle [-4,2] și crește pe [2,∞)\displaystyle [2,\infty). Calculăm valoarea în punctul 2\displaystyle 2: f(2)=(4−8)e2\displaystyle f(2)=(4-8)e^2, adică negativă.
    f(2)=−4e2<0\displaystyle f(2)=-4e^2<0
  5. Arătăm că f(x)≥f(2)\displaystyle f(x)\ge f(2) pentru orice x\displaystyle x real. Pe [−4,2]\displaystyle [-4,2], f\displaystyle f scade, deci f(x)≥f(2)\displaystyle f(x)\ge f(2). Pe [2,∞)\displaystyle [2,\infty), f\displaystyle f crește, deci f(x)≥f(2)\displaystyle f(x)\ge f(2). Pe (−∞,−4]\displaystyle (-\infty,-4], x2≥16>8\displaystyle x^2\ge16>8, deci f(x)>0>f(2)\displaystyle f(x)>0>f(2). Așadar f(2)\displaystyle f(2) este minimul lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f(x)≥f(2)=−4e2\displaystyle f(x)\ge f(2)=-4e^2, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  6. Scriem inegalitatea f(x)≥−4e2\displaystyle f(x)\ge-4e^2 explicit, apoi împărțim cu ex>0\displaystyle e^x>0 și folosim e2ex=e2−x\displaystyle \dfrac{e^2}{e^x}=e^{2-x}. Obținem x2−8≥−4e2−x\displaystyle x^2-8\ge-4e^{2-x}, adică inegalitatea cerută.
    (x2−8)ex≥−4e2⇔x2−8≥−4e2−x⇔x2≥8−4e2−x\displaystyle (x^2-8)e^x\ge-4e^2\Leftrightarrow x^2-8\ge-4e^{2-x}\Leftrightarrow x^2\ge8-4e^{2-x}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∖{−1}→R\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x+1\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x+1}.

Arătați că ∫12f(x)(x+1) dx=12\displaystyle \int_1^2 f(x)(x+1)\,dx=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia ei în integrală: ∫12f(x)(x+1) dx=∫12x−1x+1(x+1) dx\displaystyle \int_1^2 f(x)(x+1)\,dx=\int_1^2\dfrac{x-1}{x+1}(x+1)\,dx. Pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] avem x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0, deci putem simplifica.
    ∫12x−1x+1(x+1) dx\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x+1}(x+1)\,dx
  2. Simplificăm cu x+1\displaystyle x+1 și rămâne de integrat polinomul x−1\displaystyle x-1.
    ∫12f(x)(x+1) dx=∫12(x−1) dx\displaystyle \int_1^2 f(x)(x+1)\,dx=\int_1^2 (x-1)\,dx
  3. O primitivă a lui x−1\displaystyle x-1 este x22−x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}-x, deoarece o primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x.
    ∫12(x−1) dx=(x22−x)∣12\displaystyle \int_1^2 (x-1)\,dx=\left(\frac{x^{2}}{2}-x\right)\Big|_1^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton, adică valoarea în 2\displaystyle 2 minus valoarea în 1\displaystyle 1. În 2\displaystyle 2 obținem 42−2=0\displaystyle \dfrac{4}{2}-2=0, iar în 1\displaystyle 1 obținem 12−1=−12\displaystyle \dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}. Deci integrala este 0−(−12)=12\displaystyle 0-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}.
    (42−2)−(12−1)=0+12=12\displaystyle \left(\frac{4}{2}-2\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∖{−1}→R\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x+1\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x+1}.

Arătați că ∫23f(x) dx=1+ln⁡916\displaystyle \int_2^3 f(x)\,dx=1+\ln\frac{9}{16}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem numărătorul în funcție de numitor: x−1=x+1−2\displaystyle x-1=x+1-2. Astfel fracția are același numitor ca parte din numărător.
    x−1x+1=x+1−2x+1\displaystyle \frac{x-1}{x+1}=\frac{x+1-2}{x+1}
  2. Separăm fracția: x+1−2x+1=1−2x+1\displaystyle \dfrac{x+1-2}{x+1}=1-\dfrac{2}{x+1}. Apoi scriem integrala pe intervalul [2,3]\displaystyle [2,3].
    ∫23x−1x+1 dx=∫23(1−2x+1)dx\displaystyle \int_2^3\frac{x-1}{x+1}\,dx=\int_2^3\left(1-\frac{2}{x+1}\right)dx
  3. Aflăm o primitivă. Primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar primitiva lui 2x+1\displaystyle \dfrac{2}{x+1} este 2ln⁡∣x+1∣\displaystyle 2\ln|x+1|. Pe intervalul [2,3]\displaystyle [2,3] avem x+1>0\displaystyle x+1>0.
    ∫23(1−2x+1)dx=(x−2ln⁡∣x+1∣)∣23\displaystyle \int_2^3\left(1-\frac{2}{x+1}\right)dx=\left(x-2\ln|x+1|\right)\Big|_2^3
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în 3\displaystyle 3 este 3−2ln⁡4\displaystyle 3-2\ln 4, valoarea în 2\displaystyle 2 este 2−2ln⁡3\displaystyle 2-2\ln 3, iar rezultatul este diferența lor.
    (3−2ln⁡4)−(2−2ln⁡3)=1−2ln⁡4+2ln⁡3\displaystyle (3-2\ln 4)-(2-2\ln 3)=1-2\ln 4+2\ln 3
  5. Folosim proprietățile logaritmilor: 2ln⁡3−2ln⁡4=ln⁡9−ln⁡16=ln⁡916\displaystyle 2\ln 3-2\ln 4=\ln 9-\ln 16=\ln\dfrac{9}{16}. Obținem rezultatul cerut.
    ∫23f(x) dx=1+ln⁡916\displaystyle \int_2^3 f(x)\,dx=1+\ln\frac{9}{16}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R∖{−1}→R\displaystyle f:\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R}, f(x)=x−1x+1\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x+1}.

Determinați numărul real a>1\displaystyle a>1 astfel încât ∫1af(x)f′(x) dx=18\displaystyle \int_1^a f(x)f'(x)\,dx=\frac{1}{8}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că (12(f(x))2)′=f(x)f′(x)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}(f(x))^{2}\right)'=f(x)f'(x), deci 12(f(x))2\displaystyle \dfrac{1}{2}(f(x))^{2} este o primitivă a lui ff′\displaystyle f f'.
    (12(f(x))2)′=f(x)f′(x)\displaystyle \left(\frac{1}{2}(f(x))^{2}\right)'=f(x)f'(x)
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫1af(x)f′(x) dx=12(f(x))2∣1a=12(f(a))2−12(f(1))2\displaystyle \displaystyle\int_1^a f(x)f'(x)\,dx=\dfrac{1}{2}(f(x))^{2}\Big|_1^a=\dfrac{1}{2}(f(a))^{2}-\dfrac{1}{2}(f(1))^{2}.
    ∫1af(x)f′(x) dx=12(f(a))2−12(f(1))2\displaystyle \int_1^a f(x)f'(x)\,dx=\frac{1}{2}(f(a))^{2}-\frac{1}{2}(f(1))^{2}
  3. Avem f(1)=1−11+1=0\displaystyle f(1)=\dfrac{1-1}{1+1}=0 și f(a)=a−1a+1\displaystyle f(a)=\dfrac{a-1}{a+1}, unde a>1\displaystyle a>1. Rezultă integrala egală cu jumătate din pătratul lui f(a)\displaystyle f(a).
    ∫1af(x)f′(x) dx=12(a−1a+1)2, unde a>1\displaystyle \int_1^a f(x)f'(x)\,dx=\frac{1}{2}\left(\frac{a-1}{a+1}\right)^{2}\text{, unde }a>1
  4. Punem condiția 12(a−1a+1)2=18\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a-1}{a+1}\right)^{2}=\dfrac{1}{8} și înmulțim cu 2.
    (a−1a+1)2=14\displaystyle \left(\frac{a-1}{a+1}\right)^{2}=\frac{1}{4}
  5. Extragem radicalul din ambii membri și obținem două cazuri posibile.
    a−1a+1=12 sau a−1a+1=−12\displaystyle \frac{a-1}{a+1}=\frac{1}{2}\text{ sau }\frac{a-1}{a+1}=-\frac{1}{2}
  6. În primul caz, 2(a−1)=a+1\displaystyle 2(a-1)=a+1, deci a=3\displaystyle a=3. În al doilea caz, 2(a−1)=−(a+1)\displaystyle 2(a-1)=-(a+1), deci a=13\displaystyle a=\dfrac{1}{3}, care nu convine deoarece a>1\displaystyle a>1. Prin urmare a=3\displaystyle a=3.
    a=3, care convine\displaystyle a=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.