Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 6: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați primul termen al unei progresii geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\ge 1} în care b3=12\displaystyle b_3=12 și rația q=2\displaystyle q=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula termenului general al unei progresii geometrice: bn=b1⋅qn−1\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}. Pentru n=3\displaystyle n=3 obținem b3=b1⋅q2\displaystyle b_3=b_1\cdot q^{2}.
    b3=b1⋅q2\displaystyle b_3=b_1\cdot q^{2}
  2. Exprimăm primul termen din relația de mai sus, împărțind la q2\displaystyle q^{2} (avem q=2≠0\displaystyle q=2\neq 0).
    b1=b3q2\displaystyle b_1=\dfrac{b_3}{q^{2}}
  3. Înlocuim valorile date, b3=12\displaystyle b_3=12 și q=2\displaystyle q=2, apoi calculăm: 22=4\displaystyle 2^{2}=4, iar 12:4=3\displaystyle 12:4=3.
    b1=1222=124=3\displaystyle b_1=\dfrac{12}{2^{2}}=\dfrac{12}{4}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x\displaystyle x pentru care f(x)≥f(1)\displaystyle f(x)\ge f(1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției: f(1)=2⋅1+1=3\displaystyle f(1)=2\cdot 1+1=3.
    f(1)=3\displaystyle f(1)=3
  2. Scriem inegalitatea f(x)≥f(1)\displaystyle f(x)\ge f(1), adică 2x+1≥3\displaystyle 2x+1\ge 3.
    2x+1≥3\displaystyle 2x+1\ge 3
  3. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri: 2x≥2\displaystyle 2x\ge 2. Apoi împărțim la 2\displaystyle 2, care este pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează.
    2x+1≥3⇔2x≥2⇔x≥1\displaystyle 2x+1\ge 3\Leftrightarrow 2x\ge 2\Leftrightarrow x\ge 1
  4. Mulțimea valorilor lui x\displaystyle x care verifică inegalitatea este intervalul închis la stânga [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(x+1)=log⁡5(11−x)\displaystyle \log_5(x+1)=\log_5(11-x).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Din x+1>0\displaystyle x+1>0 obținem x>−1\displaystyle x>-1, iar din 11−x>0\displaystyle 11-x>0 obținem x<11\displaystyle x<11. Deci x∈(−1,11)\displaystyle x\in(-1,11).
    x∈(−1,11)\displaystyle x\in(-1,11)
  2. Logaritmul în baza 5\displaystyle 5 este injectiv, deci egalitatea logaritmilor implică egalitatea argumentelor: x+1=11−x\displaystyle x+1=11-x.
    x+1=11−x\displaystyle x+1=11-x
  3. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: x+x=11−1\displaystyle x+x=11-1, adică 2x=10\displaystyle 2x=10.
    x+1=11−x⇒2x=10\displaystyle x+1=11-x\Rightarrow 2x=10
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=5\displaystyle x=5. Verificăm: 5∈(−1,11)\displaystyle 5\in(-1,11), deci îndeplinește condițiile de existență. Într-adevăr, log⁡56=log⁡56\displaystyle \log_5 6=\log_5 6.
    x=5, care convine\displaystyle x=5\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați C119−C112\displaystyle C_{11}^{9}-C_{11}^{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem proprietatea de simetrie a combinărilor: Cnk=Cnn−k\displaystyle C_n^k=C_n^{n-k}, pentru 0≤k≤n\displaystyle 0\le k\le n.
    Cnk=Cnn−k\displaystyle C_n^k=C_n^{n-k}
  2. Aplicăm proprietatea pentru n=11\displaystyle n=11 și k=9\displaystyle k=9: n−k=11−9=2\displaystyle n-k=11-9=2.
    C119=C1111−9=C112\displaystyle C_{11}^{9}=C_{11}^{11-9}=C_{11}^{2}
  3. Înlocuim în expresie: primul termen devine C112\displaystyle C_{11}^{2}, la fel ca al doilea, deci diferența este 0\displaystyle 0.
    C119−C112=C112−C112=0\displaystyle C_{11}^{9}-C_{11}^{2}=C_{11}^{2}-C_{11}^{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−3,4)\displaystyle A(-3,4), B(1,0)\displaystyle B(1,0) și C(5,4)\displaystyle C(5,4). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula distanței dintre două puncte: pentru M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2) avem MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}
  2. Calculăm AB\displaystyle AB pentru A(−3,4)\displaystyle A(-3,4) și B(1,0)\displaystyle B(1,0): AB=(1+3)2+(0−4)2=16+16=32=42\displaystyle AB=\sqrt{(1+3)^{2}+(0-4)^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.
    AB=16+16=42\displaystyle AB=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}
  3. Calculăm BC\displaystyle BC pentru B(1,0)\displaystyle B(1,0) și C(5,4)\displaystyle C(5,4): BC=(5−1)2+(4−0)2=16+16=42\displaystyle BC=\sqrt{(5-1)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}.
    BC=16+16=42\displaystyle BC=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}
  4. Calculăm AC\displaystyle AC pentru A(−3,4)\displaystyle A(-3,4) și C(5,4)\displaystyle C(5,4): AC=(5+3)2+(4−4)2=64=8\displaystyle AC=\sqrt{(5+3)^{2}+(4-4)^{2}}=\sqrt{64}=8. Am obținut AB=42\displaystyle AB=4\sqrt{2}, BC=42\displaystyle BC=4\sqrt{2}, AC=8\displaystyle AC=8.
    AB=42\displaystyle AB=4\sqrt{2}, BC=42\displaystyle \ BC=4\sqrt{2}, AC=8\displaystyle \ AC=8
  5. Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora: AB2=32\displaystyle AB^{2}=32, BC2=32\displaystyle BC^{2}=32, deci AB2+BC2=64\displaystyle AB^{2}+BC^{2}=64, iar AC2=64\displaystyle AC^{2}=64.
    AB2+BC2=32+32=64=AC2\displaystyle AB^{2}+BC^{2}=32+32=64=AC^{2}
  6. Din AC2=AB2+BC2\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2} rezultă, conform reciprocei teoremei lui Pitagora, că triunghiul este dreptunghic în B\displaystyle B. Cum AB=BC\displaystyle AB=BC, triunghiul este și isoscel. Deci triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic isoscel.
    AC2=AB2+BC2 și, cum AB=BC, obținem ca˘ △ABC este dreptunghic isoscel\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2\text{ și, cum }AB=BC\text{, obținem că }\triangle ABC\text{ este dreptunghic isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡135∘cos⁡45∘=1\displaystyle \frac{\sin 135^\circ}{\cos 45^\circ}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(180^\circ-x)=\sin x. Cum 135∘=180∘−45∘\displaystyle 135^\circ=180^\circ-45^\circ, obținem sin⁡135∘=sin⁡45∘\displaystyle \sin 135^\circ=\sin 45^\circ.
    sin⁡135∘=sin⁡(180∘−135∘)=sin⁡45∘\displaystyle \sin 135^\circ=\sin(180^\circ-135^\circ)=\sin 45^\circ
  2. Înlocuim în fracție sin⁡135∘\displaystyle \sin 135^\circ cu sin⁡45∘\displaystyle \sin 45^\circ. Valorile sunt sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, deci numărătorul și numitorul sunt egale.
    sin⁡135∘cos⁡45∘=sin⁡45∘cos⁡45∘=2222\displaystyle \frac{\sin 135^\circ}{\cos 45^\circ}=\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
  3. Raportul a două numere egale și nenule este 1\displaystyle 1, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    sin⁡135∘cos⁡45∘=1\displaystyle \frac{\sin 135^\circ}{\cos 45^\circ}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A=(32−4−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&2\\-4&-3\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, adică determinantul de ordin 2 cu elementele ei: det⁡A=∣32−4−3∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&2\\-4&-3\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣32−4−3∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&2\\-4&-3\end{vmatrix}
  2. Aplicăm definiția determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, deci det⁡A=3⋅(−3)−2⋅(−4)\displaystyle \det A=3\cdot(-3)-2\cdot(-4).
    det⁡A=3⋅(−3)−2⋅(−4)\displaystyle \det A=3\cdot(-3)-2\cdot(-4)
  3. Calculăm produsele: 3⋅(−3)=−9\displaystyle 3\cdot(-3)=-9, iar 2⋅(−4)=−8\displaystyle 2\cdot(-4)=-8. Scăderea lui −8\displaystyle -8 înseamnă adunarea lui 8\displaystyle 8, deci det⁡A=−9+8\displaystyle \det A=-9+8.
    det⁡A=−9+8=−1\displaystyle \det A=-9+8=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A=(32−4−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&2\\-4&-3\end{pmatrix}.

Demonstrați că A⋅A⋅A=A\displaystyle A\cdot A\cdot A=A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A și aplicăm regula de înmulțire linie pe coloană.
    A⋅A=(32−4−3)(32−4−3)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&2\\-4&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2\\-4&-3\end{pmatrix}
  2. Calculăm prima linie: 3⋅3+2⋅(−4)=9−8=1\displaystyle 3\cdot 3+2\cdot(-4)=9-8=1 și 3⋅2+2⋅(−3)=6−6=0\displaystyle 3\cdot 2+2\cdot(-3)=6-6=0.
    (10)\displaystyle \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm a doua linie: (−4)⋅3+(−3)⋅(−4)=−12+12=0\displaystyle (-4)\cdot 3+(-3)\cdot(-4)=-12+12=0 și (−4)⋅2+(−3)⋅(−3)=−8+9=1\displaystyle (-4)\cdot 2+(-3)\cdot(-3)=-8+9=1. Rezultă că A⋅A=I2\displaystyle A\cdot A=I_2.
    A⋅A=(1001)=I2\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  4. Folosim asociativitatea înmulțirii matricelor: A⋅A⋅A=A⋅(A⋅A)\displaystyle A\cdot A\cdot A=A\cdot(A\cdot A). Înlocuim A⋅A=I2\displaystyle A\cdot A=I_2 și folosim faptul că I2\displaystyle I_2 este element neutru la înmulțire, deci A⋅I2=A\displaystyle A\cdot I_2=A.
    A⋅A⋅A=A⋅(A⋅A)=A⋅I2=A\displaystyle A\cdot A\cdot A=A\cdot(A\cdot A)=A\cdot I_2=A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A=(32−4−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&2\\-4&-3\end{pmatrix}.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), astfel încât A⋅X=I2+3A\displaystyle A\cdot X=I_2+3A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^{2}=A\cdot A, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua.
    A2=(3⋅3+2⋅(−4)3⋅2+2⋅(−3)−4⋅3+(−3)⋅(−4)−4⋅2+(−3)⋅(−3))=(1001)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}3\cdot3+2\cdot(-4)&3\cdot2+2\cdot(-3)\\-4\cdot3+(-3)\cdot(-4)&-4\cdot2+(-3)\cdot(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Deoarece A⋅A=I2\displaystyle A\cdot A=I_2, matricea A\displaystyle A este inversabilă și A\displaystyle A este propria ei inversă.
    A−1=A\displaystyle A^{-1}=A
  3. Înmulțim egalitatea A⋅X=I2+3A\displaystyle A\cdot X=I_2+3A la stânga cu A−1=A\displaystyle A^{-1}=A. Obținem A⋅A⋅X=A⋅(I2+3A)\displaystyle A\cdot A\cdot X=A\cdot(I_2+3A), iar cum A⋅A=I2\displaystyle A\cdot A=I_2, avem X=A⋅(I2+3A)\displaystyle X=A\cdot(I_2+3A).
    X=A⋅(I2+3A)\displaystyle X=A\cdot(I_2+3A)
  4. Desfacem parantezele: A⋅I2=A\displaystyle A\cdot I_2=A și A⋅3A=3A2=3I2\displaystyle A\cdot 3A=3A^{2}=3I_2.
    X=A+3A⋅A=A+3I2\displaystyle X=A+3A\cdot A=A+3I_2
  5. Adunăm matricea A\displaystyle A cu 3I2=(3003)\displaystyle 3I_2=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}, element cu element.
    X=(3+32−4−3+3)=(62−40)\displaystyle X=\begin{pmatrix}3+3&2\\-4&-3+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&2\\-4&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6.

Arătați că 2∗2020=2\displaystyle 2*2020=2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6 și înlocuim x=2\displaystyle x=2, y=2020\displaystyle y=2020.
    2∗2020=2⋅2020−2⋅2−2⋅2020+6\displaystyle 2*2020=2\cdot 2020-2\cdot 2-2\cdot 2020+6
  2. Termenii 2⋅2020\displaystyle 2\cdot 2020 și −2⋅2020\displaystyle -2\cdot 2020 sunt opuși, deci se reduc între ei.
    2⋅2020−2⋅2020=0\displaystyle 2\cdot 2020-2\cdot 2020=0
  3. Rămân termenii −2⋅2\displaystyle -2\cdot 2 și +6\displaystyle +6, adică −4+6\displaystyle -4+6. Obținem egalitatea cerută.
    2∗2020=−4+6=2\displaystyle 2*2020=-4+6=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6.

Demonstrați că x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6.
    x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6
  2. Descompunem termenul liber 6\displaystyle 6 ca 4+2\displaystyle 4+2, pentru a obține grupări convenabile pentru factor comun.
    x∗y=xy−2x−2y+4+2\displaystyle x*y=xy-2x-2y+4+2
  3. Grupăm primii doi termeni și dăm factor comun pe x\displaystyle x: xy−2x=x(y−2)\displaystyle xy-2x=x(y-2). Apoi grupăm −2y+4\displaystyle -2y+4 și dăm factor comun pe −2\displaystyle -2: −2y+4=−2(y−2)\displaystyle -2y+4=-2(y-2).
    x∗y=x(y−2)−2(y−2)+2\displaystyle x*y=x(y-2)-2(y-2)+2
  4. Dăm factor comun pe y−2\displaystyle y-2 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2, pentru orice numere \displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6.

Determinați numerele naturale m\displaystyle m și n\displaystyle n pentru care m∗n=13\displaystyle m*n=13.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea de compoziție sub o formă factorizată: xy−2x−2y+6=(xy−2x−2y+4)+2\displaystyle xy-2x-2y+6=(xy-2x-2y+4)+2. Cum (x−2)(y−2)=xy−2x−2y+4\displaystyle (x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4, obținem x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2
  2. Punem condiția m∗n=13\displaystyle m*n=13 și folosim forma de mai sus: (m−2)(n−2)+2=13\displaystyle (m-2)(n-2)+2=13. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri.
    (m−2)(n−2)=11\displaystyle (m-2)(n-2)=11
  3. Deoarece m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere naturale, m−2\displaystyle m-2 și n−2\displaystyle n-2 sunt numere întregi al căror produs este 11\displaystyle 11. Numărul 11\displaystyle 11 este prim, deci factorii sunt divizori ai lui 11\displaystyle 11, adică din mulțimea {−11,−1,1,11}\displaystyle \{-11,-1,1,11\}.
    (m−2, n−2)∈{(1,11),(11,1),(−1,−11),(−11,−1)}\displaystyle \left(m-2,\,n-2\right)\in\{(1,11),(11,1),(-1,-11),(-11,-1)\}
  4. Cazurile cu factori negativi: m−2=−1\displaystyle m-2=-1 dă m=1\displaystyle m=1, dar atunci n−2=−11\displaystyle n-2=-11 și n=−9\displaystyle n=-9, care nu este natural. Analog, m−2=−11\displaystyle m-2=-11 dă m=−9\displaystyle m=-9, care nu este natural. Aceste cazuri se elimină.
    (m−2, n−2)∈{(1,11),(11,1)}\displaystyle (m-2,\,n-2)\in\{(1,11),(11,1)\}
  5. Cazurile cu factori pozitivi: m−2=1\displaystyle m-2=1 și n−2=11\displaystyle n-2=11 dau m=3\displaystyle m=3 și n=13\displaystyle n=13; m−2=11\displaystyle m-2=11 și n−2=1\displaystyle n-2=1 dau m=13\displaystyle m=13 și n=3\displaystyle n=3. Ambele perechi sunt formate din numere naturale.
    m=3\displaystyle m=3, n=13 sau m=13\displaystyle \ n=13\text{ sau }m=13, n=3\displaystyle \ n=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2(x−1)ex\displaystyle f(x)=2(x-1)e^x.

Arătați că f′(x)=2xex\displaystyle f'(x)=2xe^x, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția ca produs de două funcții: u(x)=2(x−1)\displaystyle u(x)=2(x-1) și v(x)=ex\displaystyle v(x)=e^x. Derivăm fiecare factor: u′(x)=2\displaystyle u'(x)=2 și v′(x)=ex\displaystyle v'(x)=e^x.
    u′(x)=2\displaystyle u'(x)=2,v′(x)=ex\displaystyle \quad v'(x)=e^x
  2. Aplicăm formula de derivare a produsului, (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v', și înlocuim cele patru expresii.
    f′(x)=2ex+2(x−1)ex\displaystyle f'(x)=2e^x+2(x-1)e^x
  3. Dăm factor comun ex\displaystyle e^x și reducem termenii din paranteză: 2+2x−2=2x\displaystyle 2+2x-2=2x. Obținem rezultatul cerut, valabil pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=ex(2+2x−2)=2xex\displaystyle f'(x)=e^x(2+2x-2)=2xe^x, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2(x−1)ex\displaystyle f(x)=2(x-1)e^x.

Calculați lim⁡x→0f′(x)x\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{x}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=2(x−1)ex\displaystyle f(x)=2(x-1)e^{x} cu regula produsului: f′(x)=2[(x−1)′ex+(x−1)(ex)′]\displaystyle f'(x)=2\left[(x-1)'e^{x}+(x-1)(e^{x})'\right].
    f′(x)=2[ex+(x−1)ex]\displaystyle f'(x)=2\left[e^{x}+(x-1)e^{x}\right]
  2. Dăm factor comun ex\displaystyle e^{x}: ex+(x−1)ex=ex(1+x−1)=xex\displaystyle e^{x}+(x-1)e^{x}=e^{x}(1+x-1)=xe^{x}, deci f′(x)=2xex\displaystyle f'(x)=2xe^{x}.
    f′(x)=2xex\displaystyle f'(x)=2xe^{x}
  3. Înlocuim în limită: lim⁡x→0f′(x)x=lim⁡x→02xexx\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{2xe^{x}}{x}. Pentru x≠0\displaystyle x\neq0 simplificăm cu x\displaystyle x și obținem lim⁡x→0(2ex)\displaystyle \lim_{x\to0}\left(2e^{x}\right).
    lim⁡x→0f′(x)x=lim⁡x→02xexx=lim⁡x→0(2ex)\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2xe^{x}}{x}=\lim_{x\to0}\left(2e^{x}\right)
  4. Funcția 2ex\displaystyle 2e^{x} este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci limita în 0\displaystyle 0 este valoarea ei în 0\displaystyle 0: 2e0=2⋅1=2\displaystyle 2e^{0}=2\cdot1=2.
    2e0=2\displaystyle 2e^{0}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2(x−1)ex\displaystyle f(x)=2(x-1)e^x.

Demonstrați că xex≥ex−1\displaystyle xe^x\ge e^x-1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f cu regula de derivare a produsului: f′(x)=2ex+2(x−1)ex\displaystyle f'(x)=2e^x+2(x-1)e^x.
    f′(x)=2ex+2(x−1)ex\displaystyle f'(x)=2e^x+2(x-1)e^x
  2. Dăm factor comun 2ex\displaystyle 2e^x și simplificăm: f′(x)=2ex (1+x−1)=2xex\displaystyle f'(x)=2e^x\,(1+x-1)=2xe^x.
    f′(x)=2xex\displaystyle f'(x)=2xe^x
  3. Deoarece ex>0\displaystyle e^x>0, semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui x\displaystyle x. Pentru x≤0\displaystyle x\le 0 avem f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0, deci f\displaystyle f este descrescătoare pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0]. Pentru x≥0\displaystyle x\ge 0 avem f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0, deci f\displaystyle f este crescătoare pe [0,+∞)\displaystyle [0,+\infty).
    f′(x)≤0 pe (−∞,0]⇒f↘; f′(x)≥0 pe [0,+∞)⇒f↗\displaystyle f'(x)\le0\text{ pe }(-\infty,0]\Rightarrow f\searrow\text{; }f'(x)\ge0\text{ pe }[0,+\infty)\Rightarrow f\nearrow
  4. Din monotonie, f\displaystyle f are un minim global în 0\displaystyle 0, deci f(x)≥f(0)\displaystyle f(x)\ge f(0) pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Calculăm f(0)=2⋅(0−1)⋅e0=−2\displaystyle f(0)=2\cdot(0-1)\cdot e^0=-2.
    f(x)≥f(0)=−2\displaystyle f(x)\ge f(0)=-2
  5. Înlocuim f(x)=2(x−1)ex≥−2\displaystyle f(x)=2(x-1)e^x\ge -2 și împărțim cu 2\displaystyle 2: (x−1)ex≥−1\displaystyle (x-1)e^x\ge -1, adică xex−ex≥−1\displaystyle xe^x-e^x\ge -1. Mutând −ex\displaystyle -e^x în dreapta, obținem xex≥ex−1\displaystyle xe^x\ge e^x-1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    xex≥ex−1\displaystyle xe^x\ge e^x-1, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−4,+∞)→R\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x+4\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+4}.

Arătați că ∫02(x+4)f(x) dx=6\displaystyle \int_0^2(x+4)f(x)\,dx=6.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia sa în produsul (x+4)f(x)\displaystyle (x+4)f(x). Pe intervalul [0,2]\displaystyle [0,2] avem x+4>0\displaystyle x+4>0, deci putem simplifica.
    (x+4)f(x)=(x+4)⋅x+2x+4\displaystyle (x+4)f(x)=(x+4)\cdot\dfrac{x+2}{x+4}
  2. După simplificarea cu x+4\displaystyle x+4 rămâne funcția x+2\displaystyle x+2, deci integrala devine ∫02(x+2) dx\displaystyle \int_0^2(x+2)\,dx.
    ∫02(x+4)f(x) dx=∫02(x+2) dx\displaystyle \int_0^2(x+4)f(x)\,dx=\int_0^2(x+2)\,dx
  3. Aflăm o primitivă a lui x+2\displaystyle x+2: primitiva lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar primitiva lui 2\displaystyle 2 este 2x\displaystyle 2x. Aplicăm formula Leibniz-Newton, cu limitele 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2.
    ∫02(x+2) dx=(x22+2x)∣02\displaystyle \int_0^2(x+2)\,dx=\left(\dfrac{x^{2}}{2}+2x\right)\Big|_0^2
  4. Calculăm valoarea primitivei în 2\displaystyle 2 și o scădem pe cea din 0\displaystyle 0, care este 0\displaystyle 0. Obținem 42+4=2+4\displaystyle \dfrac{4}{2}+4=2+4, deci 6\displaystyle 6.
    42+4−0=6\displaystyle \dfrac{4}{2}+4-0=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−4,+∞)→R\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x+4\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+4}.

Calculați ∫−20f(x) dx\displaystyle \int_{-2}^0f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia ei: ∫−20f(x) dx=∫−20x+2x+4 dx\displaystyle \int_{-2}^{0}f(x)\,dx=\int_{-2}^{0}\dfrac{x+2}{x+4}\,dx. Pe intervalul [−2,0]\displaystyle [-2,0] avem x+4>0\displaystyle x+4>0, deci funcția este definită.
    ∫−20x+2x+4 dx\displaystyle \int_{-2}^{0}\frac{x+2}{x+4}\,dx
  2. Separăm fracția: scriem numărătorul ca x+2=x+4−2\displaystyle x+2=x+4-2, apoi împărțim fiecare termen la x+4\displaystyle x+4. Obținem x+2x+4=x+4x+4−2x+4=1−2x+4\displaystyle \dfrac{x+2}{x+4}=\dfrac{x+4}{x+4}-\dfrac{2}{x+4}=1-\dfrac{2}{x+4}.
    x+2x+4=1−2x+4\displaystyle \frac{x+2}{x+4}=1-\frac{2}{x+4}
  3. Aflăm o primitivă: o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar o primitivă a lui 1x+4\displaystyle \dfrac{1}{x+4} este ln⁡(x+4)\displaystyle \ln(x+4), deoarece x+4>0\displaystyle x+4>0. Deci ∫−20(1−2x+4)dx=(x−2ln⁡(x+4))∣−20\displaystyle \int_{-2}^{0}\left(1-\dfrac{2}{x+4}\right)dx=\left(x-2\ln(x+4)\right)\Big|_{-2}^{0}.
    (x−2ln⁡(x+4))∣−20\displaystyle \left(x-2\ln(x+4)\right)\Big|_{-2}^{0}
  4. Calculăm primitiva în limita superioară: 0−2ln⁡4\displaystyle 0-2\ln 4. În limita inferioară: −2−2ln⁡2\displaystyle -2-2\ln 2. Scădem: (0−2ln⁡4)−(−2−2ln⁡2)=−2ln⁡4+2+2ln⁡2\displaystyle \left(0-2\ln 4\right)-\left(-2-2\ln 2\right)=-2\ln 4+2+2\ln 2.
    0−2ln⁡4−(−2)+2ln⁡2\displaystyle 0-2\ln 4-(-2)+2\ln 2
  5. Folosim ln⁡4=2ln⁡2\displaystyle \ln 4=2\ln 2, deci −2ln⁡4=−4ln⁡2\displaystyle -2\ln 4=-4\ln 2. Atunci 2−4ln⁡2+2ln⁡2=2−2ln⁡2\displaystyle 2-4\ln 2+2\ln 2=2-2\ln 2.
    ∫−20f(x) dx=2−2ln⁡2\displaystyle \int_{-2}^{0}f(x)\,dx=2-2\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−4,+∞)→R\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+2x+4\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+4}.

Demonstrați că ∫−3af′(x)f′′(x) dx=2(1(a+4)4−1)\displaystyle \int_{-3}^af'(x)f''(x)\,dx=2\left(\frac{1}{(a+4)^4}-1\right), pentru orice a∈(−3,+∞)\displaystyle a\in(-3,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f. Scriem f(x)=x+2x+4=1−2x+4\displaystyle f(x)=\dfrac{x+2}{x+4}=1-\dfrac{2}{x+4}, apoi derivăm și obținem f′(x)=2(x+4)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{(x+4)^{2}}.
    f′(x)=2(x+4)2\displaystyle f'(x)=\dfrac{2}{(x+4)^{2}}
  2. Observăm că (12(f′(x))2)′=12⋅2f′(x)f′′(x)=f′(x)f′′(x)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\left(f'(x)\right)^{2}\right)'=\dfrac{1}{2}\cdot 2f'(x)f''(x)=f'(x)f''(x). Deci f′f′′\displaystyle f'f'' are primitiva 12(f′(x))2\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(f'(x)\right)^{2}.
    (12(f′(x))2)′=f′(x)f′′(x)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\left(f'(x)\right)^{2}\right)'=f'(x)f''(x)
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton și înlocuim limitele de integrare −3\displaystyle -3 și a\displaystyle a, pentru orice a∈(−3,+∞)\displaystyle a\in(-3,+\infty).
    ∫−3af′(x)f′′(x) dx=12(f′(x))2∣−3a=12(f′(a))2−12(f′(−3))2\displaystyle \int_{-3}^af'(x)f''(x)\,dx=\frac{1}{2}\left(f'(x)\right)^2\Big|_{-3}^a=\frac{1}{2}\left(f'(a)\right)^2-\frac{1}{2}\left(f'(-3)\right)^2
  4. Calculăm valorile derivatei în a\displaystyle a și în −3\displaystyle -3: f′(a)=2(a+4)2\displaystyle f'(a)=\dfrac{2}{(a+4)^{2}}, iar f′(−3)=212=2\displaystyle f'(-3)=\dfrac{2}{1^{2}}=2.
    f′(a)=2(a+4)2\displaystyle f'(a)=\dfrac{2}{(a+4)^{2}},f′(−3)=2\displaystyle \quad f'(-3)=2
  5. Înlocuim în rezultatul integralei: 12⋅4(a+4)4−12⋅4=2(a+4)4−2\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{(a+4)^{4}}-\dfrac{1}{2}\cdot 4=\dfrac{2}{(a+4)^{4}}-2. Scoatem factor comun pe 2\displaystyle 2 și obținem egalitatea cerută.
    ∫−3af′(x)f′′(x) dx=2(a+4)4−2=2(1(a+4)4−1), pentru orice a∈(−3,+∞)\displaystyle \int_{-3}^af'(x)f''(x)\,dx=\frac{2}{(a+4)^4}-2=2\left(\frac{1}{(a+4)^4}-1\right)\text{, pentru orice }a\in(-3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.