Bac matematică M3 tehnologic 2021, model, test de evaluare 7: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că media aritmetică a numerelor

\displaystyle a=2,4

și

\displaystyle b=4-\frac{2}{5}

este egală cu

\displaystyle 3

.

Vezi rezolvarea

Scriem fracția $\displaystyle \dfrac{2}{5}$ ca număr zecimal: $\displaystyle \dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{10}=0,4$ .
$\displaystyle \dfrac{2}{5}=0$ , $\displaystyle 4$
Calculăm $\displaystyle b=4-\dfrac{2}{5}=4-0,4$ , deci $\displaystyle b=3,6$ .
$\displaystyle b=4-0$ , $\displaystyle 4=3$ , $\displaystyle 6$
Media aritmetică a două numere este suma lor împărțită la $\displaystyle 2$ . Înlocuim $\displaystyle a=2,4$ și $\displaystyle b=3,6$ : $\displaystyle m_a=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{2,4+3,6}{2}$ .
$\displaystyle m_a=\dfrac{2,4+3,6}{2}$
Adunăm $\displaystyle 2,4+3,6=6$ , apoi împărțim la $\displaystyle 2$ : $\displaystyle \dfrac{6}{2}=3$ . Deci media aritmetică este egală cu $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle m_a=\dfrac{2,4+3,6}{2}=\dfrac{6}{2}=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+3x

cu axa

\displaystyle Ox

.

Vezi rezolvarea

Punctele de intersecție cu axa $\displaystyle Ox$ au ordonata zero, deci abscisele lor sunt soluțiile ecuației $\displaystyle f(x)=0$ .
$\displaystyle f(x)=0$
Înlocuim expresia funcției și obținem ecuația $\displaystyle x^{2}+3x=0$ .
$\displaystyle f(x)=0\Leftrightarrow x^{2}+3x=0$
Dăm factor comun pe $\displaystyle x$ în membrul stâng: $\displaystyle x(x+3)=0$ .
$\displaystyle x(x+3)=0$
Un produs este zero când cel puțin un factor este zero, deci $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x+3=0$ .
$\displaystyle x=0\text{ sau }x+3=0$
Din $\displaystyle x+3=0$ obținem $\displaystyle x=-3$ . Abscisele punctelor de intersecție cu axa $\displaystyle Ox$ sunt $\displaystyle -3$ și $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle x=-3\text{ și }x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 2^{1-2x}=32

.

Vezi rezolvarea

Scriem membrul drept ca putere a lui $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 32=2^{5}$ , deoarece $\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$ .
$\displaystyle 2^{1-2x}=2^{5}$
Cele două puteri au aceeași bază $\displaystyle 2$ , pozitivă și diferită de $\displaystyle 1$ , deci funcția exponențială este injectivă. Egalăm exponenții: $\displaystyle 2^{1-2x}=2^{5}\Leftrightarrow 1-2x=5$ .
$\displaystyle 2^{1-2x}=2^{5}\Leftrightarrow 1-2x=5$
Scădem $\displaystyle 1$ din ambii membri: $\displaystyle -2x=5-1=4$ . Apoi împărțim la $\displaystyle -2$ : $\displaystyle x=\dfrac{4}{-2}$ .
$\displaystyle -2x=4\Rightarrow x=\dfrac{4}{-2}=-2$
Verificare: pentru $\displaystyle x=-2$ , exponentul este $\displaystyle 1-2\cdot(-2)=5$ , iar $\displaystyle 2^{5}=32$ . Soluția ecuației este $\displaystyle x=-2$ .
$\displaystyle x=-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

În urma unei ieftiniri cu

\displaystyle 20\%

, prețul unui produs a scăzut cu

\displaystyle 27

de lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle x$ prețul inițial al produsului, în lei. Ieftinirea cu $\displaystyle 20\%$ înseamnă o scădere egală cu $\displaystyle 20\%$ din $\displaystyle x$ , adică $\displaystyle \dfrac{20}{100}\cdot x$ .
$\displaystyle \text{scăderea}=\dfrac{20}{100}\cdot x$
Scăderea de preț este de $\displaystyle 27$ de lei, deci obținem ecuația $\displaystyle \dfrac{20}{100}\cdot x=27$ .
$\displaystyle \dfrac{20}{100}\cdot x=27$
Simplificăm fracția: $\displaystyle \dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}$ . Ecuația devine $\displaystyle \dfrac{x}{5}=27$ .
$\displaystyle \dfrac{x}{5}=27$
Înmulțim ambii membri cu $\displaystyle 5$ și obținem $\displaystyle x=27\cdot 5=135$ . Prețul produsului înainte de ieftinire a fost de $\displaystyle 135$ de lei.
$\displaystyle x=135\text{ de lei}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(0,4)

,

\displaystyle B(6,4)

și

\displaystyle C(0,-4)

. Știind că punctul

\displaystyle D

este mijlocul segmentului

\displaystyle AB

, arătați că

\displaystyle BC=2OD

.

Vezi rezolvarea

Mijlocul $\displaystyle D$ al segmentului $\displaystyle AB$ are coordonatele $\displaystyle x_D=\dfrac{0+6}{2}$ și $\displaystyle y_D=\dfrac{4+4}{2}$ .
$\displaystyle D(3,4)$
Mijlocul segmentului $\displaystyle AC$ are coordonatele $\displaystyle \left(\dfrac{0+0}{2},\dfrac{4+(-4)}{2}\right)=(0,0)$ , deci este originea $\displaystyle O$ .
$\displaystyle O(0,0)\text{ este mijlocul segmentului }AC$
În triunghiul $\displaystyle ABC$ , $\displaystyle O$ este mijlocul lui $\displaystyle AC$ și $\displaystyle D$ este mijlocul lui $\displaystyle AB$ , deci $\displaystyle OD$ este linie mijlocie și $\displaystyle OD=\dfrac{BC}{2}$ .
$\displaystyle OD=\frac{BC}{2}$
Verificare: $\displaystyle OD=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ , iar $\displaystyle BC=\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{100}=10$ .
$\displaystyle BC=10$
Din $\displaystyle OD=\dfrac{BC}{2}$ rezultă, prin înmulțire cu $\displaystyle 2$ , că $\displaystyle BC=2OD$ .
$\displaystyle OD=\frac{BC}{2}\Rightarrow BC=2OD$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră numărul real

\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

astfel încât

\displaystyle \cos x=\frac{1}{5}

. Arătați că

\displaystyle \text{tg}\, x=2\sqrt{6}

.

Vezi rezolvarea

Scriem identitatea fundamentală a trigonometriei $\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ și înlocuim $\displaystyle \cos x=\dfrac{1}{5}$ .
$\displaystyle \sin^{2}x+\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2}=1$
Izolăm $\displaystyle \sin^{2}x$ : $\displaystyle 1-\dfrac{1}{25}=\dfrac{24}{25}$ .
$\displaystyle \sin^{2}x=1-\dfrac{1}{25}=\dfrac{24}{25}$
Extragem radicalul. Deoarece $\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ , avem $\displaystyle \sin x>0$ , deci luăm doar valoarea pozitivă. Cum $\displaystyle \sqrt{24}=2\sqrt{6}$ , obținem sinusul.
$\displaystyle \sin x=\dfrac{\sqrt{24}}{5}=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$
Calculăm tangenta ca raport dintre sinus și cosinus: $\displaystyle \text{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ . Simplificăm cu $\displaystyle 5$ .
$\displaystyle \text{tg}\,x=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}:\dfrac{1}{5}=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}\cdot 5=2\sqrt{6}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x-1 & x\\ 1 & -1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(4))=-7

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 4$ în matricea $\displaystyle A(x)$ : elementul $\displaystyle x-1$ devine $\displaystyle 3$ , iar elementul $\displaystyle x$ devine $\displaystyle 4$ . Celelalte elemente rămân neschimbate.
$\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix}3 & 4\\ 1 & -1\end{pmatrix}$
Scriem determinantul de ordin 2 și aplicăm regula: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: $\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$ .
$\displaystyle \det(A(4))=\begin{vmatrix}3 & 4\\ 1 & -1\end{vmatrix}=3\cdot(-1)-4\cdot 1$
Efectuăm înmulțirile: $\displaystyle 3\cdot(-1)=-3$ , iar $\displaystyle 4\cdot 1=4$ . Apoi scădem și obținem $\displaystyle -7$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \det(A(4))=-3-4=-7$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x-1 & x\\ 1 & -1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle \det(A(1)\cdot A(1)+2A(x))=11

.

Vezi rezolvarea

Calculăm matricea $\displaystyle A(1)$ , înlocuind $\displaystyle x=1$ în $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x-1 & x\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle A(1)\cdot A(1)$ , înmulțind liniile cu coloanele: $\displaystyle \begin{pmatrix}0\cdot 0+1\cdot 1 & 0\cdot 1+1\cdot(-1)\\ 1\cdot 0+(-1)\cdot 1 & 1\cdot 1+(-1)\cdot(-1)\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(1)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle 2A(x)$ , înmulțind fiecare element al lui $\displaystyle A(x)$ cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 2A(x)=\begin{pmatrix}2x-2 & 2x\\ 2 & -2\end{pmatrix}$
Adunăm cele două matrice element cu element: $\displaystyle 1+2x-2=2x-1$ , $\displaystyle -1+2x=2x-1$ , $\displaystyle -1+2=1$ , $\displaystyle 2-2=0$ .
$\displaystyle A(1)\cdot A(1)+2A(x)=\begin{pmatrix}2x-1 & 2x-1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul matricei obținute: $\displaystyle (2x-1)\cdot 0-(2x-1)\cdot 1=-(2x-1)$ .
$\displaystyle \det(A(1)\cdot A(1)+2A(x))=1-2x$
Punem condiția din enunț: $\displaystyle 1-2x=11$ . Obținem $\displaystyle -2x=10$ , deci $\displaystyle x=-5$ .
$\displaystyle 1-2x=11\Rightarrow x=-5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x-1 & x\\ 1 & -1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle x

este număr real.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

pentru care

\displaystyle A(0)\cdot A(x)\cdot A(1)=3A(y)

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele $\displaystyle A(0)$ și $\displaystyle A(1)$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 0$ , respectiv cu $\displaystyle 1$ , în matricea $\displaystyle A(x)$ .
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \quad A(1)=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$
Calculăm mai întâi produsul $\displaystyle A(0)\cdot A(x)$ , înmulțind linie cu coloană.
$\displaystyle A(0)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-1 & x\\ 1 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-x & -x\\ x-2 & x+1\end{pmatrix}$
Înmulțim rezultatul cu $\displaystyle A(1)$ și obținem produsul celor trei matrice.
$\displaystyle A(0)\cdot A(x)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}1-x & -x\\ x-2 & x+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x & 1\\ x+1 & -3\end{pmatrix}$
Scriem matricea $\displaystyle 3A(y)$ , înmulțind fiecare element al lui $\displaystyle A(y)$ cu $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle 3A(y)=\begin{pmatrix}3y-3 & 3y\\ 3 & -3\end{pmatrix}$
Egalăm cele două matrice element cu element. Din $\displaystyle 1=3y$ obținem $\displaystyle y=\dfrac{1}{3}$ , iar din $\displaystyle x+1=3$ obținem $\displaystyle x=2$ . Verificăm elementul de pe linia 1, coloana 1: $\displaystyle -x=-2$ și $\displaystyle 3y-3=1-3=-2$ , deci egalitatea este adevărată. Elementul de pe linia 2, coloana 2 dă $\displaystyle -3=-3$ , adevărat.
$\displaystyle \begin{pmatrix}-x & 1\\ x+1 & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3y-3 & 3y\\ 3 & -3\end{pmatrix}\text{, de unde }x=2\text{ și }y=\frac{1}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=20x-21y+1

.

Arătați că

\displaystyle 1*2=-21

.

Vezi rezolvarea

Scriem legea de compoziție: $\displaystyle x*y=20x-21y+1$ . Pentru $\displaystyle 1*2$ luăm $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=2$ .
$\displaystyle x=1$ , $\displaystyle \ y=2$
Înlocuim $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=2$ în definiția legii: $\displaystyle 1*2=20\cdot 1-21\cdot 2+1$ .
$\displaystyle 1*2=20\cdot 1-21\cdot 2+1$
Efectuăm înmulțirile: $\displaystyle 20\cdot 1=20$ , iar $\displaystyle 21\cdot 2=42$ . Obținem $\displaystyle 20-42+1$ .
$\displaystyle 20-42+1$
Calculăm: $\displaystyle 20-42=-22$ , apoi $\displaystyle -22+1=-21$ . Deci $\displaystyle 1*2=-21$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle 1*2=20-42+1=-21$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=20x-21y+1

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle (x-1)*x=1

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm legea de compoziție $\displaystyle x*y=20x-21y+1$ pentru perechea $\displaystyle (x-1,\ x)$ : înlocuim primul număr cu $\displaystyle x-1$ și al doilea cu $\displaystyle x$ .
$\displaystyle (x-1)*x=20(x-1)-21x+1$
Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: $\displaystyle 20x-20-21x+1=-x-19$ .
$\displaystyle (x-1)*x=-x-19$
Egalăm expresia obținută cu $\displaystyle 1$ , conform enunțului: $\displaystyle -x-19=1$ .
$\displaystyle -x-19=1$
Adunăm $\displaystyle 19$ la ambii membri: $\displaystyle -x=20$ , deci $\displaystyle x=-20$ .
$\displaystyle -x-19=1\text{, de unde }x=-20$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=20x-21y+1

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x^2*x\leq 0

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm legea de compoziție $\displaystyle x*y=20x-21y+1$ pentru $\displaystyle x^{2}$ în locul lui $\displaystyle x$ și $\displaystyle x$ în locul lui $\displaystyle y$ .
$\displaystyle x^{2}*x=20x^{2}-21x+1$
Condiția $\displaystyle x^{2}*x\leq 0$ devine o inecuație de gradul al doilea.
$\displaystyle 20x^{2}-21x+1\leq 0$
Pentru ecuația $\displaystyle 20x^{2}-21x+1=0$ calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=21^{2}-4\cdot 20\cdot 1=441-80=361=19^{2}$ .
$\displaystyle \Delta=361=19^{2}$
Rădăcinile sunt $\displaystyle x=\dfrac{21\pm 19}{40}$ , adică $\displaystyle x_{1}=\dfrac{2}{40}=\dfrac{1}{20}$ și $\displaystyle x_{2}=\dfrac{40}{40}=1$ .
$\displaystyle x_{1}=\frac{1}{20}\text{, }x_{2}=1$
Deoarece coeficientul lui $\displaystyle x^{2}$ este $\displaystyle 20>0$ , parabola are ramurile în sus, deci trinomul este negativ sau nul între rădăcini, inclusiv în ele. Răspuns final: $\displaystyle x\in\left[\dfrac{1}{20},1\right]$ .
$\displaystyle x\in\left[\frac{1}{20},1\right]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x-2)e^x

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=(x-1)e^x

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția este produsul a două funcții derivabile: $\displaystyle u(x)=x-2$ și $\displaystyle v(x)=e^x$ . Aplicăm regula de derivare a produsului: $\displaystyle (uv)'=u'v+uv'$ .
$\displaystyle f'(x)=(x-2)'\cdot e^x+(x-2)\cdot (e^x)'$
Calculăm derivatele: $\displaystyle (x-2)'=1$ și $\displaystyle (e^x)'=e^x$ . Înlocuim în formulă.
$\displaystyle f'(x)=1\cdot e^x+(x-2)e^x=e^x+(x-2)e^x$
Dăm factor comun pe $\displaystyle e^x$ , apoi reducem termenii din paranteză: $\displaystyle 1+x-2=x-1$ . Obținem exact expresia cerută, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=(1+x-2)e^x=(x-1)e^x$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x-2)e^x

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f'(x)}{e^x-e}

.

Vezi rezolvarea

Derivăm funcția cu formula derivatei produsului: $\displaystyle (x-2)'=1$ și $\displaystyle (e^x)'=e^x$ . Obținem $\displaystyle f'(x)=e^x+(x-2)e^x$ , iar prin factor comun $\displaystyle e^x$ rezultă $\displaystyle f'(x)=(x-1)e^x$ .
$\displaystyle f'(x)=(x-1)e^x$
Înlocuim $\displaystyle f'(x)=(x-1)e^x$ în limita cerută.
$\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f'(x)}{e^x-e}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)e^x}{e^x-e}$
Pentru $\displaystyle x\to 1$ numărătorul $\displaystyle (x-1)e^x\to 0$ și numitorul $\displaystyle e^x-e\to 0$ . Avem nedeterminarea $\displaystyle \dfrac{0}{0}$ , deci putem aplica regula lui l'Hospital.
$\displaystyle \frac{0}{0}$
Derivăm numărătorul: $\displaystyle \left((x-1)e^x\right)'=e^x+(x-1)e^x=xe^x$ . Derivăm numitorul: $\displaystyle (e^x-e)'=e^x$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{xe^x}{e^x}$
Simplificăm fracția cu $\displaystyle e^x\neq 0$ și obținem $\displaystyle \lim_{x\to 1}x=1$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{xe^x}{e^x}=\lim_{x\to 1}x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=(x-2)e^x

.

Arătați că

\displaystyle (2-x)e^{x-1}\leq 1

, pentru orice

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că inegalitatea cerută se poate scrie cu ajutorul funcției $\displaystyle f$ . Înmulțim inegalitatea cu $\displaystyle e>0$ și folosim că $\displaystyle e^{x-1}\cdot e=e^{x}$ . Obținem $\displaystyle (2-x)e^{x}\leq e$ , adică $\displaystyle (x-2)e^{x}\geq -e$ , adică $\displaystyle f(x)\geq -e$ . Deci trebuie să arătăm că $\displaystyle f(x)\geq -e$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle (2-x)e^{x-1}\leq 1\Leftrightarrow (x-2)e^{x}\geq -e\Leftrightarrow f(x)\geq -e$
Calculăm derivata funcției $\displaystyle f$ cu formula de derivare a produsului: $\displaystyle f'(x)=(x-2)'e^{x}+(x-2)(e^{x})'$ .
$\displaystyle f'(x)=e^{x}+(x-2)e^{x}=(x-1)e^{x}$
Deoarece $\displaystyle e^{x}>0$ , semnul derivatei este dat de semnul lui $\displaystyle x-1$ . Derivata se anulează doar în $\displaystyle x=1$ , este negativă pe $\displaystyle (-\infty,1)$ și pozitivă pe $\displaystyle (1,+\infty)$ . Deci $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle (-\infty,1]$ și crescătoare pe $\displaystyle [1,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\text{; }f\text{ descrescătoare pe }(-\infty,1]\text{, crescătoare pe }[1,+\infty)$
Din monotonie rezultă că $\displaystyle x=1$ este punct de minim global al lui $\displaystyle f$ , deci $\displaystyle f(x)\geq f(1)$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ . Calculăm $\displaystyle f(1)$ .
$\displaystyle f(1)=(1-2)e^{1}=-e$
Din $\displaystyle f(x)\geq f(1)$ obținem $\displaystyle (x-2)e^{x}\geq -e$ . Înmulțim cu $\displaystyle -1$ , ceea ce schimbă sensul inegalității: $\displaystyle (2-x)e^{x}\leq e$ . Împărțim la $\displaystyle e>0$ și folosim $\displaystyle \dfrac{e^{x}}{e}=e^{x-1}$ . Obținem inegalitatea cerută, valabilă pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f(x)\geq f(1)\Leftrightarrow (x-2)e^x\geq -e\text{, deci }(2-x)e^{x-1}\leq 1$ , $\displaystyle \ x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x^5+x^2-1

.

Arătați că

\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-x^2\right)dx=-2

.

Vezi rezolvarea

Simplificăm integrandul: înlocuim $\displaystyle f(x)=2x^5+x^2-1$ , deci $\displaystyle f(x)-x^2=2x^5+x^2-1-x^2$ , iar termenii $\displaystyle x^2$ se reduc.
$\displaystyle f(x)-x^2=2x^5-1$
Integrala devine $\displaystyle \int_{-1}^{1}(2x^5-1)\,dx$ . Găsim o primitivă: pentru $\displaystyle 2x^5$ primitiva este $\displaystyle \dfrac{2x^6}{6}=\dfrac{x^6}{3}$ , iar pentru $\displaystyle -1$ primitiva este $\displaystyle -x$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_{-1}^{1}(2x^5-1)\,dx=\left(\dfrac{x^6}{3}-x\right)\Big|_{-1}^{1}$
Calculăm primitiva $\displaystyle F(x)=\dfrac{x^6}{3}-x$ în limita superioară $\displaystyle x=1$ și în limita inferioară $\displaystyle x=-1$ . Cum puterea 6 este pară, $\displaystyle (-1)^6=1$ .
$\displaystyle F(1)=\dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}$ , $\displaystyle \quad F(-1)=\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}$
Scădem valoarea din limita inferioară din valoarea din limita superioară: $\displaystyle F(1)-F(-1)$ . Obținem rezultatul cerut.
$\displaystyle -\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{6}{3}=-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x^5+x^2-1

.

Arătați că

\displaystyle \int_{2}^{4}\frac{f(x)-2x^5}{2x}dx=\frac{6-\ln 2}{2}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=2x^5+x^2-1$ și simplificăm numărătorul: $\displaystyle f(x)-2x^5=x^2-1$ .
$\displaystyle \frac{f(x)-2x^5}{2x}=\frac{x^2-1}{2x}$
Descompunem fracția în doi termeni, împărțind fiecare termen al numărătorului la $\displaystyle 2x$ : $\displaystyle \dfrac{x^2-1}{2x}=\dfrac{x^2}{2x}-\dfrac{1}{2x}$ .
$\displaystyle \frac{x^2-1}{2x}=\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}$
Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{x}{2}$ este $\displaystyle \dfrac{x^2}{4}$ , iar o primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{1}{2x}$ este $\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln x$ (pentru $\displaystyle x>0$ ).
$\displaystyle \int_{2}^{4}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}\right)dx=\left(\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\ln x\right)\Big|_{2}^{4}$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în $\displaystyle 4$ și scădem valoarea ei în $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle \left(\frac{16}{4}-\frac{1}{2}\ln 4\right)-\left(\frac{4}{4}-\frac{1}{2}\ln 2\right)=4-\frac{1}{2}\ln 4-1+\frac{1}{2}\ln 2$
Folosim $\displaystyle \ln 4=2\ln 2$ , deci $\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln 4=\ln 2$ . Reducem termenii: $\displaystyle 3-\ln 2+\dfrac{1}{2}\ln 2=3-\dfrac{1}{2}\ln 2$ , apoi aducem la numitor comun.
$\displaystyle 3-\ln 2+\frac{1}{2}\ln 2=3-\frac{1}{2}\ln 2=\frac{6-\ln 2}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x^5+x^2-1

.

Calculați

\displaystyle \int_{0}^{1}x^4\left(f(x)-x^2\right)^2dx

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)$ în integrand: $\displaystyle f(x)-x^2=2x^5+x^2-1-x^2=2x^5-1$ . Integrala devine $\displaystyle \int_{0}^{1}x^4\left(2x^5-1\right)^2dx$ .
$\displaystyle \int_{0}^{1}x^4\left(2x^5-1\right)^2dx$
Derivata este $\displaystyle \left(2x^5-1\right)'=10x^4$ , deci $\displaystyle x^4=\dfrac{1}{10}\left(2x^5-1\right)'$ .
$\displaystyle x^4=\frac{1}{10}\left(2x^5-1\right)'$
Scoatem factorul $\displaystyle \dfrac{1}{10}$ în fața integralei. Cu $\displaystyle u=2x^5-1$ integrandul are forma $\displaystyle u'u^2$ , iar o primitivă este $\displaystyle \dfrac{u^3}{3}$ .
$\displaystyle \frac{1}{10}\int_{0}^{1}\left(2x^5-1\right)'\left(2x^5-1\right)^2dx=\frac{1}{10}\cdot\frac{\left(2x^5-1\right)^3}{3}\Big|_{0}^{1}$
Pentru $\displaystyle x=1$ avem $\displaystyle 2\cdot1^5-1=1$ , iar pentru $\displaystyle x=0$ avem $\displaystyle -1$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \dfrac{1}{10}\left(\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{(-1)^3}{3}\right)=\dfrac{1}{10}\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)$ .
$\displaystyle \frac{1}{10}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)$
Avem $\displaystyle \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ , deci $\displaystyle \dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{15}$ .
$\displaystyle \frac{1}{15}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M3 tehnologic 2021, model, test de evaluare 7: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani