Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 13: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 16−32+18+2−22=0\displaystyle \sqrt{16}-\sqrt{32}+\sqrt{18}+\sqrt{2}-2^2=0.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 16=42\displaystyle 16=4^2, deci 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4.
    16=4\displaystyle \sqrt{16}=4
  2. Scriem 32=16⋅2\displaystyle 32=16\cdot 2, deci 32=16⋅2=42\displaystyle \sqrt{32}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}.
    32=42\displaystyle \sqrt{32}=4\sqrt{2}
  3. Scriem 18=9⋅2\displaystyle 18=9\cdot 2, deci 18=32\displaystyle \sqrt{18}=3\sqrt{2}. De asemenea, 22=4\displaystyle 2^2=4.
    18=32\displaystyle \sqrt{18}=3\sqrt{2}
  4. Înlocuim în expresie: 16−32+18+2−22\displaystyle \sqrt{16}-\sqrt{32}+\sqrt{18}+\sqrt{2}-2^2 devine o sumă în care apar doar numere și multipli de 2\displaystyle \sqrt{2}.
    4−42+32+2−4\displaystyle 4-4\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{2}-4
  5. Grupăm termenii: (4−4)+(−4+3+1)2\displaystyle (4-4)+(-4+3+1)\sqrt{2}. Cum 4−4=0\displaystyle 4-4=0 și −4+3+1=0\displaystyle -4+3+1=0, suma este 0.
    (4−4)+(−4+3+1)2=0\displaystyle (4-4)+(-4+3+1)\sqrt{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+a2\displaystyle f(x)=x^2+a^2, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numerele reale a\displaystyle a, pentru care f(1)=2\displaystyle f(1)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției: f(1)=12+a2=1+a2\displaystyle f(1)=1^{2}+a^{2}=1+a^{2}.
    f(1)=1+a2\displaystyle f(1)=1+a^{2}
  2. Impunem condiția f(1)=2\displaystyle f(1)=2 și obținem ecuația 1+a2=2\displaystyle 1+a^{2}=2.
    1+a2=2\displaystyle 1+a^{2}=2
  3. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri ai ecuației și obținem a2=1\displaystyle a^{2}=1.
    a2=1\displaystyle a^{2}=1
  4. Ecuația a2=1\displaystyle a^{2}=1 are două soluții: a=−1\displaystyle a=-1 sau a=1\displaystyle a=1. Ambele sunt numere reale, deci convin.
    a=−1 sau a=1\displaystyle a=-1\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 33x+1=34\displaystyle 3^{3x+1}=3^4.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că ambele părți ale ecuației 33x+1=34\displaystyle 3^{3x+1}=3^4 sunt puteri ale lui 3\displaystyle 3, deci bazele sunt egale. Funcția exponențială cu baza 3\displaystyle 3 este injectivă, așa că egalitatea puterilor implică egalitatea exponenților.
    33x+1=34⇒3x+1=4\displaystyle 3^{3x+1}=3^{4}\Rightarrow 3x+1=4
  2. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri ai ecuației 3x+1=4\displaystyle 3x+1=4.
    3x=4−1=3\displaystyle 3x=4-1=3
  3. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem soluția ecuației, care este număr real.
    x=33=1\displaystyle x=\dfrac{3}{3}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie impar.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Numerele naturale de o cifră sunt 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, deci avem 10\displaystyle 10 cazuri posibile.
    nr. cazuri posibile=10\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=10
  3. Dintre acestea, numerele impare sunt 1,3,5,7,9\displaystyle 1,3,5,7,9, deci avem 5\displaystyle 5 cazuri favorabile.
    nr. cazuri favorabile=5\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=5
  4. Înlocuim în formulă și simplificăm fracția cu 5\displaystyle 5: p=510=12\displaystyle p=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}.
    p=510=12\displaystyle p=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,1)\displaystyle A(3,1) și B(3,7)\displaystyle B(3,7). Determinați coordonatele simetricului punctului B\displaystyle B față de punctul A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu C(xC,yC)\displaystyle C(x_C,y_C) simetricul punctului B\displaystyle B față de punctul A\displaystyle A. Atunci A\displaystyle A este mijlocul segmentului BC\displaystyle BC, deci coordonatele lui A\displaystyle A sunt media aritmetică a coordonatelor lui B\displaystyle B și C\displaystyle C.
    A este mijlocul lui BC\displaystyle A\text{ este mijlocul lui }BC
  2. Scriem formulele mijlocului: xA=xB+xC2\displaystyle x_A=\dfrac{x_B+x_C}{2} și yA=yB+yC2\displaystyle y_A=\dfrac{y_B+y_C}{2}. Înlocuind A(3,1)\displaystyle A(3,1) și B(3,7)\displaystyle B(3,7) obținem relațiile de mai jos.
    3=3+xC2 și 1=7+yC2\displaystyle 3=\frac{3+x_C}{2}\text{ și }1=\frac{7+y_C}{2}
  3. Din prima ecuație, înmulțind cu 2\displaystyle 2, avem 6=3+xC\displaystyle 6=3+x_C, de unde xC=6−3\displaystyle x_C=6-3.
    xC=3\displaystyle x_C=3
  4. Din a doua ecuație, înmulțind cu 2\displaystyle 2, avem 2=7+yC\displaystyle 2=7+y_C, de unde yC=2−7\displaystyle y_C=2-7. Deci simetricul lui B\displaystyle B față de A\displaystyle A este punctul C(3,−5)\displaystyle C(3,-5).
    xC=3\displaystyle x_C=3, yC=−5\displaystyle \ y_C=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Dacă x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) și cos⁡x=22\displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}, arătați că sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=0\displaystyle \sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula fundamentală a trigonometriei: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1. Deci sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^2 x=1-\cos^2 x.
    sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^2 x=1-\cos^2 x
  2. Înlocuim cos⁡x=22\displaystyle \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Pătratul lui este (22)2=24=12\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Rezultă sin⁡2x=1−12=12\displaystyle \sin^2 x=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡2x=1−(22)2=1−12=12\displaystyle \sin^2 x=1-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
  3. Din sin⁡2x=12\displaystyle \sin^2 x=\dfrac{1}{2} obținem sin⁡x=±22\displaystyle \sin x=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Deoarece x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), avem sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0, deci sin⁡x=22\displaystyle \sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡x=22\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}
  4. Recunoaștem în expresie formula a2−2ab+b2=(a−b)2\displaystyle a^2-2ab+b^2=(a-b)^2, cu a=sin⁡x\displaystyle a=\sin x și b=cos⁡x\displaystyle b=\cos x. Deci sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=(sin⁡x−cos⁡x)2\displaystyle \sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=(\sin x-\cos x)^2.
    sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=(sin⁡x−cos⁡x)2\displaystyle \sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=(\sin x-\cos x)^2
  5. Înlocuim sin⁡x=22\displaystyle \sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și cos⁡x=22\displaystyle \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Diferența lor este 0\displaystyle 0, deci pătratul ei este 0\displaystyle 0, ceea ce trebuia arătat.
    (sin⁡x−cos⁡x)2=(22−22)2=0\displaystyle (\sin x-\cos x)^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2332)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3\\3&2\end{pmatrix}, B=(0110)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=B+xI2\displaystyle M(x)=B+xI_2, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=−5\displaystyle \det A=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, care are pe prima linie elementele 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3, iar pe a doua linie elementele 3\displaystyle 3 și 2\displaystyle 2: det⁡A=∣2332∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&3\\3&2\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣2332∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&3\\3&2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc. Obținem det⁡A=2⋅2−3⋅3\displaystyle \det A=2\cdot 2-3\cdot 3.
    det⁡A=2⋅2−3⋅3\displaystyle \det A=2\cdot 2-3\cdot 3
  3. Efectuăm înmulțirile și scăderea: 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9, iar 4−9=−5\displaystyle 4-9=-5. Deci det⁡A=−5\displaystyle \det A=-5, așa cum se cerea.
    4−9=−5\displaystyle 4-9=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2332)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3\\3&2\end{pmatrix}, B=(0110)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=B+xI2\displaystyle M(x)=B+xI_2, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A⋅M(x)=M(x)⋅A\displaystyle A\cdot M(x)=M(x)\cdot A, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea M(x)\displaystyle M(x) explicit: M(x)=B+xI2\displaystyle M(x)=B+xI_2, deci M(x)\displaystyle M(x) are x\displaystyle x pe diagonala principală și 1\displaystyle 1 pe cealaltă diagonală.
    M(x)=(x11x)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x&1\\1&x\end{pmatrix}
  2. Înlocuim M(x)\displaystyle M(x) cu B+xI2\displaystyle B+xI_2 în produsul A⋅M(x)\displaystyle A\cdot M(x) și folosim distributivitatea înmulțirii matricelor față de adunare. Ținem cont că A⋅I2=A\displaystyle A\cdot I_2=A.
    A⋅M(x)=A⋅(B+xI2)=A⋅B+xA\displaystyle A\cdot M(x)=A\cdot(B+xI_2)=A\cdot B+xA
  3. Procedăm la fel pentru M(x)⋅A\displaystyle M(x)\cdot A: distribuim și folosim I2⋅A=A\displaystyle I_2\cdot A=A. Astfel obținem ambele produse scrise cu A⋅B\displaystyle A\cdot B, respectiv B⋅A\displaystyle B\cdot A.
    A⋅M(x)=A⋅B+xA\displaystyle A\cdot M(x)=A\cdot B+xA, M(x)⋅A=(B+xI2)⋅A=B⋅A+xA\displaystyle \ M(x)\cdot A=(B+xI_2)\cdot A=B\cdot A+xA
  4. Calculăm A⋅B\displaystyle A\cdot B: înmulțirea la dreapta cu B\displaystyle B inversează coloanele lui A\displaystyle A.
    A⋅B=(2332)(0110)=(3223)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}2&3\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\2&3\end{pmatrix}
  5. Calculăm B⋅A\displaystyle B\cdot A: înmulțirea la stânga cu B\displaystyle B inversează liniile lui A\displaystyle A. Obținem același rezultat ca la A⋅B\displaystyle A\cdot B, deci A\displaystyle A și B\displaystyle B comută. Rezultă că cele două produse din pasul 3 sunt egale pentru orice x\displaystyle x real.
    B⋅A=(3223)=A⋅B, deci A⋅M(x)=A⋅B+xA=B⋅A+xA=M(x)⋅A\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}3&2\\2&3\end{pmatrix}=A\cdot B\text{, deci }A\cdot M(x)=A\cdot B+xA=B\cdot A+xA=M(x)\cdot A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2332)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3\\3&2\end{pmatrix}, B=(0110)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=B+xI2\displaystyle M(x)=B+xI_2, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅A−3(A+M(x))=I2\displaystyle A\cdot A-3(A+M(x))=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană: pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) avem 2⋅2+3⋅3=13\displaystyle 2\cdot 2+3\cdot 3=13, iar pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2) avem 2⋅3+3⋅2=12\displaystyle 2\cdot 3+3\cdot 2=12. Pozițiile (2,1)\displaystyle (2,1) și (2,2)\displaystyle (2,2) se obțin la fel, deci matricea este simetrică.
    A⋅A=(13121213)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}13&12\\12&13\end{pmatrix}
  2. Scriem M(x)=B+xI2=(x11x)\displaystyle M(x)=B+xI_2=\begin{pmatrix}x&1\\1&x\end{pmatrix} și o adunăm cu A\displaystyle A, element cu element: 2+x\displaystyle 2+x pe diagonală și 3+1=4\displaystyle 3+1=4 în rest.
    A+M(x)=(2+x442+x)\displaystyle A+M(x)=\begin{pmatrix}2+x&4\\4&2+x\end{pmatrix}
  3. Înmulțim suma cu 3\displaystyle 3 și o scădem din A⋅A\displaystyle A\cdot A, element cu element: pe diagonală 13−3(2+x)=7−3x\displaystyle 13-3(2+x)=7-3x, iar în rest 12−3⋅4=0\displaystyle 12-3\cdot 4=0.
    A⋅A−3(A+M(x))=(7−3x007−3x)\displaystyle A\cdot A-3(A+M(x))=\begin{pmatrix}7-3x&0\\0&7-3x\end{pmatrix}
  4. Egalăm matricea obținută cu I2\displaystyle I_2. Elementele din afara diagonalei sunt deja 0\displaystyle 0, iar cele de pe diagonală trebuie să fie egale cu 1\displaystyle 1, deci rezolvăm ecuația 7−3x=1\displaystyle 7-3x=1.
    7−3x=1\displaystyle 7-3x=1
  5. Rezolvăm ecuația: 3x=7−1=6\displaystyle 3x=7-1=6, deci x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=13xy+x+y\displaystyle x*y=\frac{1}{3}xy+x+y.

Arătați că 2020∗(−3)=−3\displaystyle 2020*(-3)=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție pentru x=2020\displaystyle x=2020 și y=−3\displaystyle y=-3, adică înlocuim în formula x∗y=13xy+x+y\displaystyle x*y=\dfrac{1}{3}xy+x+y.
    2020∗(−3)=13⋅2020⋅(−3)+2020+(−3)\displaystyle 2020*(-3)=\frac{1}{3}\cdot 2020\cdot(-3)+2020+(-3)
  2. Calculăm primul termen: simplificăm numitorul 3\displaystyle 3 cu factorul −3\displaystyle -3, deci 13⋅2020⋅(−3)=−2020\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot 2020\cdot(-3)=-2020.
    13⋅2020⋅(−3)=−2020\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 2020\cdot(-3)=-2020
  3. Înlocuim primul termen în expresie: −2020+2020−3\displaystyle -2020+2020-3. Numerele −2020\displaystyle -2020 și 2020\displaystyle 2020 se reduc, deci rămâne −3\displaystyle -3. Astfel 2020∗(−3)=−3\displaystyle 2020*(-3)=-3, ceea ce trebuia arătat.
    −2020+2020−3=−3\displaystyle -2020+2020-3=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=13xy+x+y\displaystyle x*y=\frac{1}{3}xy+x+y.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (6∗x)∗6=6\displaystyle (6*x)*6=6.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 6∗x\displaystyle 6*x folosind definiția legii: înlocuim primul element cu 6\displaystyle 6 și al doilea cu x\displaystyle x în formula 13xy+x+y\displaystyle \dfrac{1}{3}xy+x+y.
    6∗x=13⋅6⋅x+6+x\displaystyle 6*x=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot x+6+x
  2. Simplificăm: 13⋅6⋅x=2x\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot x=2x, iar 2x+x=3x\displaystyle 2x+x=3x. Rezultă că 6∗x=3x+6\displaystyle 6*x=3x+6.
    6∗x=3x+6\displaystyle 6*x=3x+6
  3. Calculăm (6∗x)∗6=(3x+6)∗6\displaystyle (6*x)*6=(3x+6)*6, aplicând definiția legii cu primul element 3x+6\displaystyle 3x+6 și al doilea element 6\displaystyle 6.
    (3x+6)∗6=13(3x+6)⋅6+(3x+6)+6\displaystyle (3x+6)*6=\frac{1}{3}(3x+6)\cdot 6+(3x+6)+6
  4. Simplificăm: 13⋅6⋅(3x+6)=2(3x+6)=6x+12\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot(3x+6)=2(3x+6)=6x+12. Adunând 3x+6\displaystyle 3x+6 și 6\displaystyle 6 obținem 6x+12+3x+6+6=9x+24\displaystyle 6x+12+3x+6+6=9x+24.
    (6∗x)∗6=9x+24\displaystyle (6*x)*6=9x+24
  5. Punem condiția (6∗x)∗6=6\displaystyle (6*x)*6=6, adică 9x+24=6\displaystyle 9x+24=6, și rezolvăm ecuația de gradul întâi: 9x=−18\displaystyle 9x=-18, deci x=−2\displaystyle x=-2.
    9x+24=6⇔9x=−18⇔x=−2\displaystyle 9x+24=6\Leftrightarrow 9x=-18\Leftrightarrow x=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=13xy+x+y\displaystyle x*y=\frac{1}{3}xy+x+y.

Determinați numerele reale nenule x\displaystyle x pentru care x∗1x=−3\displaystyle x*\frac{1}{x}=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru y=1x\displaystyle y=\dfrac{1}{x}, unde x≠0\displaystyle x\neq 0: x∗y=13xy+x+y\displaystyle x*y=\dfrac{1}{3}xy+x+y.
    x∗1x=13⋅x⋅1x+x+1x\displaystyle x*\frac{1}{x}=\frac{1}{3}\cdot x\cdot\frac{1}{x}+x+\frac{1}{x}
  2. Simplificăm: x⋅1x=1\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1, deci primul termen devine 13\displaystyle \dfrac{1}{3}.
    x∗1x=13+x+1x\displaystyle x*\frac{1}{x}=\frac{1}{3}+x+\frac{1}{x}
  3. Aducem la numitorul comun 3x\displaystyle 3x: 13=x3x\displaystyle \dfrac{1}{3}=\dfrac{x}{3x}, x=3x23x\displaystyle x=\dfrac{3x^{2}}{3x}, 1x=33x\displaystyle \dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{3x}.
    x∗1x=3x2+x+33x\displaystyle x*\frac{1}{x}=\frac{3x^{2}+x+3}{3x}
  4. Ecuația este 3x2+x+33x=−3\displaystyle \dfrac{3x^{2}+x+3}{3x}=-3. Cum x≠0\displaystyle x\neq 0, înmulțim cu 3x\displaystyle 3x.
    3x2+x+3=−9x\displaystyle 3x^{2}+x+3=-9x
  5. Mutăm −9x\displaystyle -9x în membrul stâng și reducem termenii asemenea.
    3x2+10x+3=0\displaystyle 3x^{2}+10x+3=0
  6. Pentru a=3\displaystyle a=3, b=10\displaystyle b=10, c=3\displaystyle c=3 avem Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac.
    Δ=100−36=64\displaystyle \Delta=100-36=64
  7. Rădăcinile sunt x=−10±86\displaystyle x=\dfrac{-10\pm 8}{6}. Ambele sunt nenule, deci convin.
    x=−3 sau x=−13, care convin\displaystyle x=-3\text{ sau }x=-\frac{1}{3}\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2−3)+3\displaystyle f(x)=x\left(x^2-3\right)+3.

Arătați că f′(x)=3(x−1)(x+1)\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm expresia funcției: distribuim x\displaystyle x în paranteză, ca să obținem o sumă de puteri ale lui x\displaystyle x, ușor de derivat.
    f(x)=x(x2−3)+3=x3−3x+3\displaystyle f(x)=x\left(x^{2}-3\right)+3=x^{3}-3x+3
  2. Derivăm termen cu termen, folosind (xn)′=nxn−1\displaystyle \left(x^{n}\right)'=n x^{n-1}, (ax)′=a\displaystyle (ax)'=a și faptul că derivata unei constante este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=(x3−3x+3)′=3x2−3\displaystyle f'(x)=\left(x^{3}-3x+3\right)'=3x^{2}-3
  3. Scoatem factor comun 3\displaystyle 3 din derivată.
    f′(x)=3x2−3=3(x2−1)\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3=3\left(x^{2}-1\right)
  4. Descompunem diferența de pătrate x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1). Obținem forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3(x−1)(x+1), x∈R\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)\text{, }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2−3)+3\displaystyle f(x)=x\left(x^2-3\right)+3.

Arătați că lim⁡x→+∞f(x)−x3x+1=−3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)-x^3}{x+1}=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm funcția: f(x)=x(x2−3)+3=x3−3x+3\displaystyle f(x)=x\left(x^2-3\right)+3=x^3-3x+3.
    f(x)=x3−3x+3\displaystyle f(x)=x^3-3x+3
  2. Calculăm numărătorul: f(x)−x3=x3−3x+3−x3=−3x+3\displaystyle f(x)-x^3=x^3-3x+3-x^3=-3x+3.
    f(x)−x3=−3x+3\displaystyle f(x)-x^3=-3x+3
  3. Înlocuim numărătorul în limită: lim⁡x→+∞f(x)−x3x+1=lim⁡x→+∞−3x+3x+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)-x^3}{x+1}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-3x+3}{x+1}. Este o nedeterminare de forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}.
    lim⁡x→+∞f(x)−x3x+1=lim⁡x→+∞−3x+3x+1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)-x^3}{x+1}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-3x+3}{x+1}
  4. Împărțim numărătorul și numitorul la x\displaystyle x (pentru x>0\displaystyle x>0): −3x+3x+1=−3+3x1+1x\displaystyle \dfrac{-3x+3}{x+1}=\dfrac{-3+\dfrac{3}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}.
    −3x+3x+1=−3+3x1+1x\displaystyle \dfrac{-3x+3}{x+1}=\dfrac{-3+\dfrac{3}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}
  5. Pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty avem 3x→0\displaystyle \dfrac{3}{x}\to 0 și 1x→0\displaystyle \dfrac{1}{x}\to 0, deci limita este −3+01+0=−3\displaystyle \dfrac{-3+0}{1+0}=-3.
    lim⁡x→+∞−3+3x1+1x=−3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{-3+\frac{3}{x}}{1+\frac{1}{x}}=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2−3)+3\displaystyle f(x)=x\left(x^2-3\right)+3.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula ecuației tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x0\displaystyle x_0: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)\displaystyle y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0). Aici x0=0\displaystyle x_0=0.
    y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)
  2. Desfacem parantezele ca să scriem funcția sub formă de polinom: f(x)=x(x2−3)+3=x3−3x+3\displaystyle f(x)=x\left(x^2-3\right)+3=x^3-3x+3.
    f(x)=x3−3x+3\displaystyle f(x)=x^{3}-3x+3
  3. Calculăm f(0)\displaystyle f(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în expresia funcției: f(0)=03−3⋅0+3\displaystyle f(0)=0^3-3\cdot 0+3.
    f(0)=3\displaystyle f(0)=3
  4. Derivăm funcția: f′(x)=(x3−3x+3)′=3x2−3\displaystyle f'(x)=\left(x^3-3x+3\right)'=3x^2-3.
    f′(x)=3x2−3\displaystyle f'(x)=3x^{2}-3
  5. Calculăm f′(0)=3⋅02−3\displaystyle f'(0)=3\cdot 0^2-3. Așadar f(0)=3\displaystyle f(0)=3 și f′(0)=−3\displaystyle f'(0)=-3.
    f(0)=3\displaystyle f(0)=3, f′(0)=−3\displaystyle \ f'(0)=-3
  6. Înlocuim valorile în formula tangentei: y−3=−3(x−0)\displaystyle y-3=-3(x-0).
    y−3=−3(x−0)\displaystyle y-3=-3(x-0)
  7. Simplificăm: y−3=−3x\displaystyle y-3=-3x, deci ecuația tangentei este y=−3x+3\displaystyle y=-3x+3.
    y−f(0)=f′(0)(x−0), adica˘ y=−3x+3\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0)\text{, adică }y=-3x+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4+x+ex\displaystyle f(x)=x^4+x+e^x.

Arătați că ∫−11(f(x)−x−ex)dx=25\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(f(x)-x-e^x\right)dx=\frac{2}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x4+x+ex\displaystyle f(x)=x^4+x+e^x în integrand: f(x)−x−ex=x4+x+ex−x−ex\displaystyle f(x)-x-e^x=x^4+x+e^x-x-e^x.
    ∫−11(x4+x+ex−x−ex)dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(x^4+x+e^x-x-e^x\right)dx
  2. Reducem termenii asemenea: x−x=0\displaystyle x-x=0 și ex−ex=0\displaystyle e^x-e^x=0, deci în integrand rămâne doar x4\displaystyle x^4.
    ∫−11(x4+x+ex−x−ex)dx=∫−11x4 dx\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(x^4+x+e^x-x-e^x\right)dx=\int_{-1}^{1}x^4\,dx
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: o primitivă a lui x4\displaystyle x^4 este x55\displaystyle \dfrac{x^5}{5}, pe care o evaluăm între −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1.
    ∫−11x4 dx=x55∣−11\displaystyle \int_{-1}^{1}x^4\,dx=\frac{x^5}{5}\Big|_{-1}^{1}
  4. Calculăm valorile la limite: pentru x=1\displaystyle x=1 obținem 155=15\displaystyle \dfrac{1^5}{5}=\dfrac{1}{5}, iar pentru x=−1\displaystyle x=-1 obținem (−1)55=−15\displaystyle \dfrac{(-1)^5}{5}=-\dfrac{1}{5}. Scădem: limita superioară minus limita inferioară.
    15−(−15)=25\displaystyle \frac{1}{5}-\left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{2}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4+x+ex\displaystyle f(x)=x^4+x+e^x.

Arătați că ∫1e(f(x)−x4−ex)ln⁡x dx=e2+14\displaystyle \int_{1}^{e}\left(f(x)-x^4-e^x\right)\ln x\,dx=\frac{e^2+1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x4+x+ex\displaystyle f(x)=x^4+x+e^x și obținem f(x)−x4−ex=x\displaystyle f(x)-x^4-e^x=x. Deci integrala devine ∫1exln⁡x dx\displaystyle \int_{1}^{e}x\ln x\,dx.
    ∫1e(f(x)−x4−ex)ln⁡x dx=∫1exln⁡x dx\displaystyle \int_{1}^{e}\left(f(x)-x^4-e^x\right)\ln x\,dx=\int_{1}^{e}x\ln x\,dx
  2. Integrăm prin părți: alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=x dx\displaystyle dv=x\,dx, deci du=1xdx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}dx și v=x22\displaystyle v=\dfrac{x^2}{2}. Aplicăm formula ∫u dv=uv−∫v du\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.
    ∫1exln⁡x dx=x22⋅ln⁡x∣1e−∫1ex22⋅1x dx\displaystyle \int_{1}^{e}x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\cdot\ln x\Big|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx
  3. Calculăm primul termen: pentru x=e\displaystyle x=e avem ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1, iar pentru x=1\displaystyle x=1 avem ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    x22ln⁡x∣1e=e22⋅1−12⋅0=e22\displaystyle \frac{x^2}{2}\ln x\Big|_{1}^{e}=\frac{e^2}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 0=\frac{e^2}{2}
  4. Simplificăm x22⋅1x=x2\displaystyle \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{2}, a cărui primitivă este x24\displaystyle \dfrac{x^2}{4}. Calculăm între 1\displaystyle 1 și e\displaystyle e.
    ∫1ex2 dx=x24∣1e=e24−14\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{x}{2}\,dx=\frac{x^2}{4}\Big|_{1}^{e}=\frac{e^2}{4}-\frac{1}{4}
  5. Scădem: e22−(e24−14)\displaystyle \dfrac{e^2}{2}-\left(\dfrac{e^2}{4}-\dfrac{1}{4}\right). Am obținut valoarea cerută.
    e22−e24+14=e2+14\displaystyle \frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{e^2+1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x4+x+ex\displaystyle f(x)=x^4+x+e^x.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫0af(x)dx=5a2+5410+ea\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)dx=\frac{5a^2+54}{10}+e^a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala ∫0af(x)dx=∫0a(x4+x+ex)dx\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}\left(x^4+x+e^x\right)dx și integrăm termen cu termen: o primitivă a lui x4\displaystyle x^4 este x55\displaystyle \dfrac{x^5}{5}, a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}, iar a lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x.
    ∫0a(x4+x+ex)dx=(x55+x22+ex)∣0a\displaystyle \int_{0}^{a}\left(x^4+x+e^x\right)dx=\left(\frac{x^5}{5}+\frac{x^2}{2}+e^x\right)\Big|_{0}^{a}
  2. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în a\displaystyle a este a55+a22+ea\displaystyle \dfrac{a^5}{5}+\dfrac{a^2}{2}+e^a, iar în 0\displaystyle 0 este e0=1\displaystyle e^0=1. Facem diferența.
    a55+a22+ea−1\displaystyle \frac{a^5}{5}+\frac{a^2}{2}+e^a-1
  3. Aducem la numitorul comun 10\displaystyle 10: a55=2a510\displaystyle \dfrac{a^5}{5}=\dfrac{2a^5}{10}, a22=5a210\displaystyle \dfrac{a^2}{2}=\dfrac{5a^2}{10}, 1=1010\displaystyle 1=\dfrac{10}{10}.
    ∫0af(x)dx=2a5+5a2−1010+ea\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)dx=\frac{2a^5+5a^2-10}{10}+e^a
  4. Egalăm cu expresia din enunț: 2a5+5a2−1010+ea=5a2+5410+ea\displaystyle \dfrac{2a^5+5a^2-10}{10}+e^a=\dfrac{5a^2+54}{10}+e^a. Reducem ea\displaystyle e^a din ambele părți și înmulțim cu 10\displaystyle 10.
    2a5+5a2−10=5a2+54\displaystyle 2a^5+5a^2-10=5a^2+54
  5. Reducem 5a2\displaystyle 5a^2 din ambele părți: 2a5=64\displaystyle 2a^5=64, deci a5=32=25\displaystyle a^5=32=2^5. Cum funcția t↦t5\displaystyle t\mapsto t^5 este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, obținem a=2\displaystyle a=2.
    2a5=64, deci a=2\displaystyle 2a^5=64\text{, deci }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.