Bac matematică M3 tehnologic 2021, model, test de evaluare 5: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați termenul al cincilea al unei progresii geometrice (bn)n≥1\displaystyle (b_n)_{n\ge 1}, în care b1=3\displaystyle b_1=3 și b2=−6\displaystyle b_2=-6.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie geometrică, rația se obține împărțind un termen la termenul precedent: q=b2b1\displaystyle q=\dfrac{b_2}{b_1}.
    q=b2b1\displaystyle q=\dfrac{b_2}{b_1}
  2. Înlocuim valorile date, b1=3\displaystyle b_1=3 și b2=−6\displaystyle b_2=-6: q=−63=−2\displaystyle q=\dfrac{-6}{3}=-2.
    q=−63=−2\displaystyle q=\dfrac{-6}{3}=-2
  3. Formula termenului general este bn=b1⋅qn−1\displaystyle b_n=b_1\cdot q^{n-1}, deci pentru n=5\displaystyle n=5 avem b5=b1⋅q4\displaystyle b_5=b_1\cdot q^{4}.
    b5=b1⋅q4\displaystyle b_5=b_1\cdot q^{4}
  4. Înlocuim b1=3\displaystyle b_1=3 și q=−2\displaystyle q=-2. Cum exponentul este par, (−2)4=16\displaystyle (-2)^4=16, deci b5=3⋅(−2)4=3⋅16=48\displaystyle b_5=3\cdot(-2)^4=3\cdot 16=48.
    b5=3⋅(−2)4=3⋅16=48\displaystyle b_5=3\cdot(-2)^4=3\cdot 16=48
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră x1\displaystyle x_1 și x2\displaystyle x_2 soluțiile ecuației 2x2−6x+1=0\displaystyle 2x^2-6x+1=0. Arătați că x1+x2−6x1x2=0\displaystyle x_1+x_2-6x_1x_2=0.
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm coeficienții ecuației ax2+bx+c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0: a=2\displaystyle a=2, b=−6\displaystyle b=-6, c=1\displaystyle c=1.
    a=2\displaystyle a=2, b=−6\displaystyle \ b=-6, c=1\displaystyle \ c=1
  2. Scriem relațiile lui Viète: suma rădăcinilor este x1+x2=−ba\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}, iar produsul este x1x2=ca\displaystyle x_1x_2=\dfrac{c}{a}.
    x1+x2=−ba\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x1x2=ca\displaystyle \ x_1x_2=\frac{c}{a}
  3. Înlocuim coeficienții: x1+x2=−−62=3\displaystyle x_1+x_2=-\dfrac{-6}{2}=3, iar x1x2=12\displaystyle x_1x_2=\dfrac{1}{2}.
    x1+x2=3\displaystyle x_1+x_2=3, x1x2=12\displaystyle \ x_1x_2=\frac{1}{2}
  4. Înlocuim suma și produsul în expresia x1+x2−6x1x2\displaystyle x_1+x_2-6x_1x_2 și obținem 3−6⋅12=3−3=0\displaystyle 3-6\cdot\dfrac{1}{2}=3-3=0, deci egalitatea cerută este adevărată.
    x1+x2−6x1x2=3−6⋅12=3−3=0\displaystyle x_1+x_2-6x_1x_2=3-6\cdot\frac{1}{2}=3-3=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2+27x+83=1\displaystyle 2+\sqrt[3]{27x+8}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Izolăm radicalul de ordin 3: scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri ai ecuației 2+27x+83=1\displaystyle 2+\sqrt[3]{27x+8}=1. Radicalul de ordin 3 este definit pentru orice număr real, deci nu avem condiții de existență.
    27x+83=−1\displaystyle \sqrt[3]{27x+8}=-1
  2. Ridicăm ambii membri la puterea a treia. Funcția cub este injectivă, deci ecuația obținută este echivalentă cu cea inițială. Cubul lui −1\displaystyle -1 este −1\displaystyle -1.
    27x+83=−1⇔27x+8=−1\displaystyle \sqrt[3]{27x+8}=-1\Leftrightarrow 27x+8=-1
  3. Rezolvăm ecuația liniară: scădem 8\displaystyle 8 din ambii membri și obținem 27x=−9\displaystyle 27x=-9. Apoi împărțim la 27\displaystyle 27 și simplificăm fracția prin 9\displaystyle 9.
    27x=−9⇒x=−927=−13\displaystyle 27x=-9\Rightarrow x=-\frac{9}{27}=-\frac{1}{3}
  4. Soluția ecuației în mulțimea numerelor reale este x=−13\displaystyle x=-\dfrac{1}{3}.
    x=−13\displaystyle x=-\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 15%\displaystyle 15\%, un produs costă 92 de lei. Determinați prețul produsului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul produsului înainte de scumpire, în lei. Scumpirea cu 15%\displaystyle 15\% înseamnă că prețul crește cu 15%\displaystyle 15\% din x\displaystyle x, adică cu 15100⋅x\displaystyle \dfrac{15}{100}\cdot x.
    pret nou=x+15100⋅x\displaystyle \text{pret nou}=x+\dfrac{15}{100}\cdot x
  2. Prețul după scumpire este 92 de lei, deci obținem ecuația x+15100⋅x=92\displaystyle x+\dfrac{15}{100}\cdot x=92.
    x+15100⋅x=92\displaystyle x+\dfrac{15}{100}\cdot x=92
  3. Dăm x\displaystyle x factor comun și calculăm suma din paranteză: x(1+15100)=92\displaystyle x\left(1+\dfrac{15}{100}\right)=92, adică 115100⋅x=92\displaystyle \dfrac{115}{100}\cdot x=92.
    115100⋅x=92\displaystyle \dfrac{115}{100}\cdot x=92
  4. Înmulțim ambii membri cu 100115\displaystyle \dfrac{100}{115}: x=92⋅100115=9200115\displaystyle x=92\cdot\dfrac{100}{115}=\dfrac{9200}{115}. Cum 92=4⋅23\displaystyle 92=4\cdot 23 și 115=5⋅23\displaystyle 115=5\cdot 23, avem x=80\displaystyle x=80. Verificare: 80+0,15⋅80=80+12=92\displaystyle 80+0{,}15\cdot 80=80+12=92.
    x=80 de lei\displaystyle x=80\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−3,0)\displaystyle A(-3,0) și B(9,a)\displaystyle B(9,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care distanța dintre punctele A\displaystyle A și B\displaystyle B este egală cu 13\displaystyle 13.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formula distanței dintre punctele A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B): AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}
  2. Înlocuim coordonatele A(−3,0)\displaystyle A(-3,0) și B(9,a)\displaystyle B(9,a). Avem 9−(−3)=12\displaystyle 9-(-3)=12 și a−0=a\displaystyle a-0=a, deci AB=122+a2=144+a2\displaystyle AB=\sqrt{12^{2}+a^{2}}=\sqrt{144+a^{2}}.
    AB=144+a2\displaystyle AB=\sqrt{144+a^{2}}
  3. Punem condiția AB=13\displaystyle AB=13, adică 144+a2=13\displaystyle \sqrt{144+a^{2}}=13. Ridicăm la pătrat ambii membri, care sunt pozitivi: 144+a2=169\displaystyle 144+a^{2}=169.
    144+a2=169\displaystyle 144+a^{2}=169
  4. Din a2=169−144=25\displaystyle a^{2}=169-144=25 obținem a=−5\displaystyle a=-5 sau a=5\displaystyle a=5. Ambele valori convin, deoarece pentru a=±5\displaystyle a=\pm 5 avem 144+25=169=13\displaystyle \sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.
    a=−5 sau a=5, care convin\displaystyle a=-5\text{ sau }a=5\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=AC=14\displaystyle AB=AC=14 și unghiul B\displaystyle B de măsură egală cu 75∘\displaystyle 75^\circ. Determinați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel cu AB=AC\displaystyle AB=AC, deci unghiurile de la baza BC\displaystyle BC sunt egale: ∠C=∠B=75∘\displaystyle \angle C=\angle B=75^\circ.
    ∠C=75∘\displaystyle \angle C=75^\circ
  2. Suma unghiurilor unui triunghi este 180∘\displaystyle 180^\circ, deci ∠A=180∘−75∘−75∘=30∘\displaystyle \angle A=180^\circ-75^\circ-75^\circ=30^\circ.
    ∠A=30∘\displaystyle \angle A=30^\circ
  3. Folosim valoarea cunoscută a sinusului: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, deci sin⁡A=12\displaystyle \sin A=\dfrac{1}{2}.
    A=30∘, deci sin⁡A=12\displaystyle A=30^\circ\text{, deci }\sin A=\frac{1}{2}
  4. Aria triunghiului este A=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}, unde AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC sunt laturile care formează unghiul A\displaystyle A.
    A=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}=\frac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}
  5. Înlocuim AB=AC=14\displaystyle AB=AC=14 și sin⁡A=12\displaystyle \sin A=\dfrac{1}{2}: A=14⋅14⋅122=982=49\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{14\cdot 14\cdot\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{98}{2}=49.
    A=14⋅14⋅122=49\displaystyle \mathcal{A}=\frac{14\cdot 14\cdot\frac{1}{2}}{2}=49
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(xx−212)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&x-2\\1&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=3\displaystyle \det(A(1))=3.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în matricea A(x)\displaystyle A(x). Pe prima linie obținem 1\displaystyle 1 și 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, iar a doua linie rămâne 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    A(1)=(1−112)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordin 2 al matricei A(1)\displaystyle A(1) și aplicăm formula: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(1))=∣1−112∣=1⋅2−(−1)⋅1\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&-1\\1&2\end{vmatrix}=1\cdot 2-(-1)\cdot 1
  3. Calculăm: 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2, iar −(−1)⋅1=+1\displaystyle -(-1)\cdot 1=+1. Deci determinantul este 2+1=3\displaystyle 2+1=3, exact ce trebuia arătat.
    2+1=3\displaystyle 2+1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(xx−212)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&x-2\\1&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A(x)⋅A(1)=3(A(x)−I2)\displaystyle A(x)\cdot A(1)=3(A(x)-I_2).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(1)\displaystyle A(1), înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în A(x)\displaystyle A(x).
    A(1)=(1−112)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(x)⋅A(1)\displaystyle A(x)\cdot A(1) prin înmulțirea liniilor lui A(x)\displaystyle A(x) cu coloanele lui A(1)\displaystyle A(1): x⋅1+(x−2)⋅1=2x−2\displaystyle x\cdot 1+(x-2)\cdot 1=2x-2, apoi x⋅(−1)+(x−2)⋅2=x−4\displaystyle x\cdot(-1)+(x-2)\cdot 2=x-4, apoi 1⋅1+2⋅1=3\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 1=3 și 1⋅(−1)+2⋅2=3\displaystyle 1\cdot(-1)+2\cdot 2=3.
    A(x)⋅A(1)=(2x−2x−433)\displaystyle A(x)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}2x-2&x-4\\3&3\end{pmatrix}
  3. Calculăm membrul drept: scădem I2\displaystyle I_2 din A(x)\displaystyle A(x), adică A(x)−I2=(x−1x−211)\displaystyle A(x)-I_2=\begin{pmatrix}x-1&x-2\\1&1\end{pmatrix}, apoi înmulțim cu 3\displaystyle 3 fiecare element. Obținem astfel ambii membri ai egalității.
    A(x)⋅A(1)=(2x−2x−433) și 3(A(x)−I2)=(3x−33x−633)\displaystyle A(x)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}2x-2&x-4\\3&3\end{pmatrix}\text{ și }3(A(x)-I_2)=\begin{pmatrix}3x-3&3x-6\\3&3\end{pmatrix}
  4. Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale. Elementele din a doua linie coincid deja (3=3\displaystyle 3=3). Din prima linie obținem două ecuații: 2x−2=3x−3\displaystyle 2x-2=3x-3 și x−4=3x−6\displaystyle x-4=3x-6.
    2x−2=3x−3 și x−4=3x−6\displaystyle 2x-2=3x-3\text{ și }x-4=3x-6
  5. Rezolvăm ecuațiile: din prima, 2x−3x=−3+2\displaystyle 2x-3x=-3+2, deci x=1\displaystyle x=1; din a doua, −2x=−2\displaystyle -2x=-2, deci tot x=1\displaystyle x=1. Cele două ecuații dau aceeași valoare, deci x=1\displaystyle x=1 convine.
    (2x−2x−433)=(3x−33x−633)\displaystyle \begin{pmatrix}2x-2&x-4\\3&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x-3&3x-6\\3&3\end{pmatrix}, x=1\displaystyle \ x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(x)=(xx−212)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&x-2\\1&2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(xA(x)−A(x2))≥0\displaystyle \det(xA(x)-A(x^2))\ge 0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm xA(x)\displaystyle xA(x), înmulțind fiecare element al matricei A(x)=(xx−212)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}x&x-2\\1&2\end{pmatrix} cu x\displaystyle x.
    xA(x)=(x2x2−2xx2x)\displaystyle xA(x)=\begin{pmatrix}x^{2}&x^{2}-2x\\x&2x\end{pmatrix}
  2. Scriem A(x2)\displaystyle A(x^{2}), înlocuind x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^{2} în matricea A(x)\displaystyle A(x).
    A(x2)=(x2x2−212)\displaystyle A(x^{2})=\begin{pmatrix}x^{2}&x^{2}-2\\1&2\end{pmatrix}
  3. Facem diferența celor două matrice, element cu element. Pe prima linie: x2−x2=0\displaystyle x^{2}-x^{2}=0, iar x2−2x−(x2−2)=−2x+2\displaystyle x^{2}-2x-(x^{2}-2)=-2x+2. Pe a doua linie: x−1\displaystyle x-1 și 2x−2\displaystyle 2x-2.
    xA(x)−A(x2)=(0−2x+2x−12x−2)\displaystyle xA(x)-A(x^{2})=\begin{pmatrix}0&-2x+2\\x-1&2x-2\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul matricei de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Primul produs este 0⋅(2x−2)=0\displaystyle 0\cdot(2x-2)=0.
    det⁡(xA(x)−A(x2))=0⋅(2x−2)−(−2x+2)(x−1)=(2x−2)(x−1)\displaystyle \det(xA(x)-A(x^{2}))=0\cdot(2x-2)-(-2x+2)(x-1)=(2x-2)(x-1)
  5. Dăm factor comun 2\displaystyle 2 în primul factor: 2x−2=2(x−1)\displaystyle 2x-2=2(x-1). Obținem 2(x−1)2\displaystyle 2(x-1)^{2}. Un pătrat este mereu pozitiv sau zero, deci determinantul este mai mare sau egal cu 0\displaystyle 0 pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(xA(x)−A(x2))=2(x−1)2≥0\displaystyle \det(xA(x)-A(x^{2}))=2(x-1)^{2}\ge 0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3xy−x+y3+1\displaystyle x*y=3xy-\frac{x+y}{3}+1.

Arătați că 1∗5=14\displaystyle 1*5=14.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii x∗y=3xy−x+y3+1\displaystyle x*y=3xy-\dfrac{x+y}{3}+1 pentru x=1\displaystyle x=1 și y=5\displaystyle y=5, adică înlocuim în expresie.
    1∗5=3⋅1⋅5−1+53+1\displaystyle 1*5=3\cdot 1\cdot 5-\frac{1+5}{3}+1
  2. Calculăm termenii: 3⋅1⋅5=15\displaystyle 3\cdot 1\cdot 5=15, iar 1+53=63=2\displaystyle \dfrac{1+5}{3}=\dfrac{6}{3}=2.
    3⋅1⋅5=15\displaystyle 3\cdot 1\cdot 5=15,1+53=2\displaystyle \quad \frac{1+5}{3}=2
  3. Înlocuim valorile: 15−2+1=14\displaystyle 15-2+1=14, deci 1∗5=14\displaystyle 1*5=14.
    15−2+1=14\displaystyle 15-2+1=14
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3xy−x+y3+1\displaystyle x*y=3xy-\frac{x+y}{3}+1.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 3∗x=−52\displaystyle 3*x=-52.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=3xy−x+y3+1\displaystyle x*y=3xy-\dfrac{x+y}{3}+1 și înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3, iar y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    3∗x=3⋅3⋅x−3+x3+1\displaystyle 3*x=3\cdot 3\cdot x-\dfrac{3+x}{3}+1
  2. Calculăm 3⋅3⋅x=9x\displaystyle 3\cdot 3\cdot x=9x, deci expresia devine o sumă de termeni cu x\displaystyle x și termeni liberi.
    3∗x=9x−3+x3+1\displaystyle 3*x=9x-\dfrac{3+x}{3}+1
  3. Desfacem fracția: 3+x3=1+x3\displaystyle \dfrac{3+x}{3}=1+\dfrac{x}{3}. Atunci 3∗x=9x−1−x3+1=9x−x3\displaystyle 3*x=9x-1-\dfrac{x}{3}+1=9x-\dfrac{x}{3}, adică 27x−x3\displaystyle \dfrac{27x-x}{3}.
    3∗x=26x3\displaystyle 3*x=\dfrac{26x}{3}
  4. Condiția din enunț este 3∗x=−52\displaystyle 3*x=-52, deci obținem ecuația liniară 26x3=−52\displaystyle \dfrac{26x}{3}=-52.
    26x3=−52\displaystyle \dfrac{26x}{3}=-52
  5. Înmulțim ecuația cu 3\displaystyle 3 și obținem 26x=−156\displaystyle 26x=-156. Împărțim la 26\displaystyle 26: x=−15626=−6\displaystyle x=-\dfrac{156}{26}=-6.
    x=−6\displaystyle x=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=3xy−x+y3+1\displaystyle x*y=3xy-\frac{x+y}{3}+1.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care n∗(0∗(3n))≥2n3\displaystyle n*(0*(3n))\ge\frac{2n}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm mai întâi paranteza dinăuntru. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 și y=3n\displaystyle y=3n în x∗y=3xy−x+y3+1\displaystyle x*y=3xy-\dfrac{x+y}{3}+1: termenul 3xy\displaystyle 3xy devine 0\displaystyle 0, iar x+y3=3n3=n\displaystyle \dfrac{x+y}{3}=\dfrac{3n}{3}=n.
    0∗(3n)=0−n+1=−n+1\displaystyle 0*(3n)=0-n+1=-n+1
  2. Expresia devine n∗(1−n)\displaystyle n*(1-n). Înlocuim x=n\displaystyle x=n și y=1−n\displaystyle y=1-n: produsul este n(1−n)\displaystyle n(1-n), iar suma n+(1−n)=1\displaystyle n+(1-n)=1. Obținem 3n(1−n)−13+1\displaystyle 3n(1-n)-\dfrac{1}{3}+1, pe care o aducem la numitor comun 3\displaystyle 3.
    n∗(0∗(3n))=3n−3n2−13+1=−9n2+9n+23\displaystyle n*(0*(3n))=3n-3n^{2}-\frac{1}{3}+1=\frac{-9n^{2}+9n+2}{3}
  3. Scriem inegalitatea −9n2+9n+23≥2n3\displaystyle \dfrac{-9n^{2}+9n+2}{3}\ge\dfrac{2n}{3}. Înmulțim cu 3>0\displaystyle 3>0, deci sensul se păstrează, și mutăm 2n\displaystyle 2n în membrul stâng.
    −9n2+9n+2≥2n⇔−9n2+7n+2≥0\displaystyle -9n^{2}+9n+2\ge 2n\Leftrightarrow -9n^{2}+7n+2\ge 0
  4. Înmulțim cu −1\displaystyle -1, deci sensul se schimbă: 9n2−7n−2≤0\displaystyle 9n^{2}-7n-2\le 0. Discriminantul este Δ=49+72=121\displaystyle \Delta=49+72=121, iar rădăcinile sunt n=7±1118\displaystyle n=\dfrac{7\pm 11}{18}, adică n=1\displaystyle n=1 și n=−29\displaystyle n=-\dfrac{2}{9}.
    9n2−7n−2≤0⇔n∈[−29, 1]\displaystyle 9n^{2}-7n-2\le 0\Leftrightarrow n\in\left[-\frac{2}{9},\,1\right]
  5. Cum n\displaystyle n este număr natural, iar în intervalul [−29, 1]\displaystyle \left[-\dfrac{2}{9},\,1\right] se află doar numerele 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1, obținem răspunsul.
    n=0 sau n=1\displaystyle n=0\text{ sau }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−2x3−6x2+18x−49\displaystyle f(x)=-2x^3-6x^2+18x-49.

Arătați că f′(x)=−6(x−1)(x+3)\displaystyle f'(x)=-6(x-1)(x+3), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen funcția f(x)=−2x3−6x2+18x−49\displaystyle f(x)=-2x^3-6x^2+18x-49, folosind (xn)′=nxn−1\displaystyle (x^n)'=nx^{n-1} și faptul că derivata unei constante este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=−2⋅3x2−6⋅2x+18−0\displaystyle f'(x)=-2\cdot 3x^{2}-6\cdot 2x+18-0
  2. Efectuăm înmulțirile: −2⋅3=−6\displaystyle -2\cdot 3=-6 și −6⋅2=−12\displaystyle -6\cdot 2=-12.
    f′(x)=−6x2−12x+18\displaystyle f'(x)=-6x^{2}-12x+18
  3. Observăm că −6\displaystyle -6, −12\displaystyle -12 și 18\displaystyle 18 sunt multipli de −6\displaystyle -6, deci dăm factor comun −6\displaystyle -6.
    f′(x)=−6(x2+2x−3)\displaystyle f'(x)=-6\left(x^{2}+2x-3\right)
  4. Descompunem trinomul x2+2x−3\displaystyle x^2+2x-3. Căutăm două numere cu suma 2\displaystyle 2 și produsul −3\displaystyle -3: acestea sunt 3\displaystyle 3 și −1\displaystyle -1. Deci x2+2x−3=(x−1)(x+3)\displaystyle x^2+2x-3=(x-1)(x+3), ceea ce se verifică prin (x−1)(x+3)=x2+3x−x−3\displaystyle (x-1)(x+3)=x^2+3x-x-3.
    x2+2x−3=(x−1)(x+3)\displaystyle x^{2}+2x-3=(x-1)(x+3)
  5. Înlocuim descompunerea în f′(x)=−6(x2+2x−3)\displaystyle f'(x)=-6(x^2+2x-3) și obținem forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=−6(x−1)(x+3)\displaystyle f'(x)=-6(x-1)(x+3), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−2x3−6x2+18x−49\displaystyle f(x)=-2x^3-6x^2+18x-49. Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este polinomială, deci derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}. Derivăm termen cu termen: (−2x3)′=−6x2\displaystyle (-2x^{3})'=-6x^{2}, (−6x2)′=−12x\displaystyle (-6x^{2})'=-12x, (18x)′=18\displaystyle (18x)'=18, iar constanta are derivata 0\displaystyle 0.
    f′(x)=−6x2−12x+18\displaystyle f'(x)=-6x^{2}-12x+18
  2. Egalăm derivata cu zero: −6x2−12x+18=0\displaystyle -6x^{2}-12x+18=0. Împărțim la −6\displaystyle -6 și obținem ecuația de gradul doi mai simplă.
    x2+2x−3=0\displaystyle x^{2}+2x-3=0
  3. Calculăm discriminantul: Δ=22−4⋅(−3)=16\displaystyle \Delta=2^{2}-4\cdot(-3)=16, deci x=−2±42\displaystyle x=\dfrac{-2\pm 4}{2}. Se poate verifica și prin factorizare: x2+2x−3=(x+3)(x−1)\displaystyle x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1).
    f′(x)=0⇔x=−3 sau x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-3\text{ sau }x=1
  4. Studiem semnul derivei: f′(x)=−6(x+3)(x−1)\displaystyle f'(x)=-6(x+3)(x-1), cu coeficientul dominant negativ. Pe (−∞,−3)\displaystyle (-\infty,-3) avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, pe (−3,1)\displaystyle (-3,1) avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, iar pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0. De exemplu f′(−4)=−30<0\displaystyle f'(-4)=-30<0, f′(0)=18>0\displaystyle f'(0)=18>0, f′(2)=−30<0\displaystyle f'(2)=-30<0.
    f′<0 pe (−∞,−3)\displaystyle f'<0\text{ pe }(-\infty,-3), f′>0 pe (−3,1)\displaystyle \ f'>0\text{ pe }(-3,1), f′<0 pe (1,+∞)\displaystyle \ f'<0\text{ pe }(1,+\infty)
  5. Unde f′<0\displaystyle f'<0 funcția descrește, iar unde f′>0\displaystyle f'>0 funcția crește. Funcția fiind continuă, includem capetele intervalelor.
    f este descresca˘toare pe (−∞,−3]\displaystyle f\text{ este descrescătoare pe }(-\infty,-3], cresca˘toare pe [−3,1]\displaystyle \text{ crescătoare pe }[-3,1], descresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle \text{ descrescătoare pe }[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−2x3−6x2+18x−49\displaystyle f(x)=-2x^3-6x^2+18x-49.

Se consideră punctele A(−2,f(−2))\displaystyle A(-2,f(-2)) și B(0,f(0))\displaystyle B(0,f(0)). Arătați că tangentele la graficul funcției f\displaystyle f în punctele A\displaystyle A și B\displaystyle B au pantele egale.
Vezi rezolvarea
  1. Panta tangentei la grafic într-un punct este valoarea derivatei în abscisa punctului. Calculăm derivata funcției: f′(x)=−6x2−12x+18\displaystyle f'(x)=-6x^{2}-12x+18.
    f′(x)=−6x2−12x+18\displaystyle f'(x)=-6x^{2}-12x+18
  2. Descompunem derivata în factori: scoatem −6\displaystyle -6 în față, apoi x2+2x−3=(x+3)(x−1)\displaystyle x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1). Obținem f′(x)=−6(x+3)(x−1)\displaystyle f'(x)=-6(x+3)(x-1).
    f′(x)=−6(x+3)(x−1)\displaystyle f'(x)=-6(x+3)(x-1)
  3. Panta tangentei în A\displaystyle A, care are abscisa −2\displaystyle -2: înlocuim x=−2\displaystyle x=-2, deci x+3=1\displaystyle x+3=1 și x−1=−3\displaystyle x-1=-3. Rezultă f′(−2)=18\displaystyle f'(-2)=18.
    f′(−2)=−6⋅(−3)⋅1=18\displaystyle f'(-2)=-6\cdot(-3)\cdot 1=18
  4. Panta tangentei în B\displaystyle B, care are abscisa 0\displaystyle 0: înlocuim x=0\displaystyle x=0, deci x+3=3\displaystyle x+3=3 și x−1=−1\displaystyle x-1=-1. Rezultă f′(0)=18\displaystyle f'(0)=18, adică aceeași valoare ca f′(−2)\displaystyle f'(-2), deci tangentele în A\displaystyle A și B\displaystyle B au pantele egale.
    f′(0)=−6⋅(−1)⋅3=18=f′(−2)\displaystyle f'(0)=-6\cdot(-1)\cdot 3=18=f'(-2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡x−2\displaystyle f(x)=x+\ln x-2.

Arătați că ∫13(f(x)−ln⁡x) dx=0\displaystyle \int_1^3 (f(x)-\ln x)\,dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+ln⁡x−2\displaystyle f(x)=x+\ln x-2 în integrand: f(x)−ln⁡x=x+ln⁡x−2−ln⁡x\displaystyle f(x)-\ln x=x+\ln x-2-\ln x. Termenii ln⁡x\displaystyle \ln x se reduc, deci rămâne x−2\displaystyle x-2.
    f(x)−ln⁡x=x−2\displaystyle f(x)-\ln x=x-2
  2. Integrala devine ∫13(x−2) dx\displaystyle \int_1^3 (x-2)\,dx. O primitivă a lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}, iar o primitivă a lui −2\displaystyle -2 este −2x\displaystyle -2x, deci o primitivă a funcției x−2\displaystyle x-2 este x22−2x\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}-2x.
    ∫13(f(x)−ln⁡x) dx=∫13(x−2) dx=(x22−2x)∣13\displaystyle \int_1^3 (f(x)-\ln x)\,dx=\int_1^3 (x-2)\,dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)\Big|_1^3
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea primitivei în 3\displaystyle 3 minus valoarea ei în 1\displaystyle 1. În 3\displaystyle 3 obținem 92−6\displaystyle \dfrac{9}{2}-6, iar în 1\displaystyle 1 obținem 12−2\displaystyle \dfrac{1}{2}-2.
    92−6−(12−2)\displaystyle \frac{9}{2}-6-\left(\frac{1}{2}-2\right)
  4. Calculăm: 92−6=−32\displaystyle \dfrac{9}{2}-6=-\dfrac{3}{2} și 12−2=−32\displaystyle \dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}, deci diferența este −32+32=0\displaystyle -\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=0. Astfel ∫13(f(x)−ln⁡x) dx=0\displaystyle \int_1^3 (f(x)-\ln x)\,dx=0.
    92−6−(12−2)=−32+32=0\displaystyle \frac{9}{2}-6-\left(\frac{1}{2}-2\right)=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡x−2\displaystyle f(x)=x+\ln x-2.

Calculați ∫1e(f(x)−x+2) dx\displaystyle \int_1^e (f(x)-x+2)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x+ln⁡x−2\displaystyle f(x)=x+\ln x-2 în integrand: f(x)−x+2=x+ln⁡x−2−x+2\displaystyle f(x)-x+2=x+\ln x-2-x+2. Termenii x\displaystyle x și −x\displaystyle -x se anulează, la fel −2\displaystyle -2 și +2\displaystyle +2, deci rămâne ln⁡x\displaystyle \ln x.
    ∫1e(f(x)−x+2) dx=∫1eln⁡x dx\displaystyle \int_1^e (f(x)-x+2)\,dx=\int_1^e \ln x\,dx
  2. Integrăm prin părți: alegem u=ln⁡x\displaystyle u=\ln x și dv=dx\displaystyle dv=dx, deci du=1x dx\displaystyle du=\dfrac{1}{x}\,dx și v=x\displaystyle v=x. Obținem ∫ln⁡x dx=xln⁡x−∫x⋅1x dx=xln⁡x−∫1 dx=xln⁡x−x\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=x\ln x-\int 1\,dx=x\ln x-x.
    ∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫1eln⁡x dx=(xln⁡x−x)∣1e\displaystyle \int_1^e \ln x\,dx=(x\ln x-x)\Big|_1^e.
    ∫1e(f(x)−x+2) dx=∫1eln⁡x dx=(xln⁡x−x)∣1e\displaystyle \int_1^e (f(x)-x+2)\,dx=\int_1^e \ln x\,dx=(x\ln x-x)\Big|_1^e
  4. Pentru x=e\displaystyle x=e: eln⁡e−e=e−e=0\displaystyle e\ln e-e=e-e=0. Pentru x=1\displaystyle x=1: 1⋅ln⁡1−1=0−1=−1\displaystyle 1\cdot\ln 1-1=0-1=-1. Scădem: 0−(−1)=1\displaystyle 0-(-1)=1.
    0−(−1)=1\displaystyle 0-(-1)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x+ln⁡x−2\displaystyle f(x)=x+\ln x-2.

Demonstrați că orice primitivă F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R} a funcției f\displaystyle f este convexă.
Vezi rezolvarea
  1. Fie F:(0,+∞)→R\displaystyle F:(0,+\infty)\to\mathbb{R} o primitivă oarecare a lui f\displaystyle f. Din definiția primitivei, F\displaystyle F este derivabilă și derivata ei este chiar f\displaystyle f, adică F′(x)=f(x)=x+ln⁡x−2\displaystyle F'(x)=f(x)=x+\ln x-2 pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    F′(x)=f(x)=x+ln⁡x−2\displaystyle F'(x)=f(x)=x+\ln x-2, ∀x∈(0,+∞)\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)
  2. Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci F\displaystyle F este de două ori derivabilă și F′′(x)=f′(x)\displaystyle F''(x)=f'(x). Derivăm termen cu termen: (x)′=1\displaystyle (x)'=1, (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, (−2)′=0\displaystyle (-2)'=0.
    F′′(x)=f′(x)=1+1x\displaystyle F''(x)=f'(x)=1+\frac{1}{x}
  3. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem 1x>0\displaystyle \dfrac{1}{x}>0, deci 1+1x>0\displaystyle 1+\dfrac{1}{x}>0, în particular F′′(x)≥0\displaystyle F''(x)\ge 0 pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty). Cum F′′≥0\displaystyle F''\ge 0 pe tot intervalul, F\displaystyle F este convexă. Deoarece F\displaystyle F a fost aleasă arbitrar, orice primitivă a lui f\displaystyle f este convexă.
    F′′(x)=1+1x≥0\displaystyle F''(x)=1+\frac{1}{x}\ge 0, ∀x∈(0,+∞), deci F este convexa˘\displaystyle \ \forall x\in(0,+\infty)\text{, deci }F\text{ este convexă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.