Bac matematică M3 tehnologic 2024, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 18+3⋅(1−38)=2\frac{1}{8}+3\cdot\left(1-\frac{3}{8}\right)=2
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează paranteza, aducând la același numitor: 1\displaystyle 1 se scrie ca 88\displaystyle \dfrac{8}{8}, apoi se scade 38\displaystyle \dfrac{3}{8}.
    1−38=88−38=58\displaystyle 1-\frac{3}{8}=\frac{8}{8}-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}
  2. Se efectuează înmulțirea dintre 3\displaystyle 3 și rezultatul parantezei, apoi se scrie expresia inițială cu acest rezultat.
    18+3⋅(1−38)=18+3⋅58=\displaystyle \frac{1}{8}+3\cdot\left(1-\frac{3}{8}\right)=\frac{1}{8}+3\cdot\frac{5}{8}=
  3. Se calculează produsul 3\displaystyle 3 cu 58\displaystyle \dfrac{5}{8}, obținând fracția 158\displaystyle \dfrac{15}{8}.
    3⋅58=158\displaystyle 3\cdot\frac{5}{8}=\frac{15}{8}
  4. Se adună cele două fracții cu același numitor, apoi se simplifică rezultatul obținut, ajungând la 2\displaystyle 2.
    18+158=168=2\displaystyle \frac{1}{8}+\frac{15}{8}=\frac{16}{8}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−2\displaystyle f(x)=2x-2. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=0\displaystyle f(a)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției date pentru argumentul general x\displaystyle x.
    f(x)=2x−2\displaystyle f(x)=2x-2
  2. Se înlocuiește x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției, deoarece se caută valoarea lui a\displaystyle a pentru care f(a)=0\displaystyle f(a)=0.
    f(a)=2a−2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle f(a)=2a-2\text{, pentru orice număr real }a
  3. Se pune condiția ca f(a)\displaystyle f(a) să fie egal cu 0\displaystyle 0, conform cerinței problemei.
    2a−2=0\displaystyle 2a-2=0
  4. Se rezolvă ecuația liniară obținută: se adună 2\displaystyle 2 în ambii membri, apoi se împarte la 2\displaystyle 2 pentru a afla valoarea lui a\displaystyle a.
    2a=2⇒a=22=1\displaystyle 2a=2\Rightarrow a=\dfrac{2}{2}=1
  5. Se scrie concluzia finală: soluția ecuației 2a−2=0\displaystyle 2a-2=0 este a=1\displaystyle a=1.
    2a−2=0, de unde obținem a=1\displaystyle 2a-2=0\text{, de unde obținem }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 52x=52+x5^{2x}=5^{2+x}
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că ambele puteri au aceeași bază, 5\displaystyle 5, deci ecuația 52x=52+x\displaystyle 5^{2x}=5^{2+x} este echivalentă cu egalitatea exponenților.
    2x=2+x\displaystyle 2x=2+x
  2. Se trec termenii care conțin necunoscuta x\displaystyle x în membrul stâng, iar termenii liberi în membrul drept.
    2x−x=2\displaystyle 2x-x=2
  3. Se reduc termenii asemenea din membrul stâng.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, acesta să verifice inegalitatea n+9≤15n+9\le 15
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică mulțimea de cazuri posibile: se numără elementele mulțimii A\displaystyle A.
    A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\text{ are }9\text{ elemente, deci sunt }9\text{ cazuri posibile}
  2. Se rezolvă inegalitatea dată pentru a determina ce valori ale lui n\displaystyle n o satisfac.
    n+9≤15⇔n≤15−9⇔n≤6\displaystyle n+9\le 15\Leftrightarrow n\le 15-9\Leftrightarrow n\le 6
  3. Se identifică elementele din mulțimea A\displaystyle A care verifică inegalitatea n≤6\displaystyle n\leq 6, adică se determină cazurile favorabile.
    n∈{1,2,3,4,5,6}, deci sunt 6 cazuri favorabile\displaystyle n\in\{1,2,3,4,5,6\}\text{, deci sunt }6\text{ cazuri favorabile}
  4. Se calculează probabilitatea ca raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
    Iˆn mulțimea A sunt 6 numere n pentru care n+9≤15, deci sunt 6 cazuri \displaystyle \text{În mulțimea }A\text{ sunt 6 numere }n\text{ pentru care }n+9\le 15\text{, deci sunt 6 cazuri }favorabile, de unde \displaystyle \text{favorabile, de unde }obținem p=69=23\displaystyle \text{obținem }p=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,5)\displaystyle A(0,5), B(4,−5)\displaystyle B(4,-5) și C(a,b)\displaystyle C(a,b), unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale. Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că punctul C\displaystyle C este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula generală a coordonatelor mijlocului unui segment: dacă M\displaystyle M este mijlocul segmentului determinat de punctele A(xA,yA)\displaystyle A(x_A, y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B, y_B), atunci coordonatele lui M\displaystyle M sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\frac{x_A+x_B}{2}, yM=yA+yB2\displaystyle \ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}
  2. Se identifică faptul că punctul C(a,b)\displaystyle C(a,b) este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB, deci a\displaystyle a și b\displaystyle b se calculează folosind formula de mai sus, cu coordonatele punctelor A(0,5)\displaystyle A(0,5) și B(4,−5)\displaystyle B(4,-5).
    a=xA+xB2\displaystyle a=\frac{x_A+x_B}{2}, b=yA+yB2\displaystyle \ b=\frac{y_A+y_B}{2}
  3. Se înlocuiesc coordonatele punctelor A\displaystyle A și B\displaystyle B în formula abscisei mijlocului pentru a calcula valoarea lui a\displaystyle a.
    a=0+42=2\displaystyle a=\frac{0+4}{2}=2
  4. Se înlocuiesc coordonatele punctelor A\displaystyle A și B\displaystyle B în formula ordonatei mijlocului pentru a calcula valoarea lui b\displaystyle b.
    b=5+(−5)2=0\displaystyle b=\frac{5+(-5)}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 2⋅(sin⁡45∘+cos⁡45∘)⋅sin⁡30∘=1\sqrt{2}\cdot(\sin 45^\circ+\cos 45^\circ)\cdot\sin 30^\circ=1
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 45°\displaystyle 45° și 30°\displaystyle 30°.
    sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \ \sin 30^\circ=\frac{1}{2}
  2. Se înlocuiesc aceste valori în expresia dată.
    2⋅(sin⁡45∘+cos⁡45∘)⋅sin⁡30∘=2⋅(22+22)⋅12\displaystyle \sqrt{2}\cdot(\sin 45^\circ+\cos 45^\circ)\cdot\sin 30^\circ=\sqrt{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}
  3. Se adună cei doi termeni din paranteză, care sunt fracții cu același numărător și numitor.
    22+22=222=2\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}
  4. Se înlocuiește rezultatul din paranteză și se înmulțește cu radicalul din fața ei, folosind faptul că 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2.
    2⋅2⋅12=2⋅12\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}=2\cdot\frac{1}{2}
  5. Se efectuează înmulțirea finală, obținându-se rezultatul cerut, ceea ce confirmă egalitatea din enunț.
    2⋅(sin⁡45∘+cos⁡45∘)⋅sin⁡30∘=2⋅(22+22)⋅12=2⋅12=1\displaystyle \sqrt{2}\cdot(\sin 45^\circ+\cos 45^\circ)\cdot\sin 30^\circ=\sqrt{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}=2\cdot\frac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(32−10), B=(34−2−3) și I2=(1001)A=\begin{pmatrix}3 & 2\\ -1 & 0\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}3 & 4\\ -2 & -3\end{pmatrix}\text{ și }I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}

Arătați că det⁡A=2\displaystyle \det A=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele matricei A\displaystyle A, așezate pe cele două linii și coloane: a=3\displaystyle a=3, b=2\displaystyle b=2 pe prima linie, c=−1\displaystyle c=-1, d=0\displaystyle d=0 pe a doua linie.
    A=(32−10)\displaystyle A=\begin{pmatrix}3 & 2\\ -1 & 0\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei A\displaystyle A ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡A=∣32−10∣=3⋅0−2⋅(−1)=\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3 & 2\\ -1 & 0\end{vmatrix}=3\cdot 0-2\cdot(-1)=
  3. Se efectuează înmulțirile: produsul de pe diagonala principală este 3 ori 0\displaystyle 3 \text{ ori } 0, iar produsul de pe diagonala secundară este 2 ori (−1)\displaystyle 2 \text{ ori } (-1).
    3⋅0=0 si 2⋅(−1)=−2\displaystyle 3\cdot 0=0\text{ si }2\cdot(-1)=-2
  4. Se calculează diferența dintre cele două produse, obținând valoarea finală a determinantului.
    =0+2=2\displaystyle =0+2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(32−10), B=(34−2−3) și I2=(1001)A=\begin{pmatrix}3 & 2\\ -1 & 0\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}3 & 4\\ -2 & -3\end{pmatrix}\text{ și }I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}

Arătați că B+3I2=2A\displaystyle B+3I_2=2A.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricea 3I2\displaystyle 3I_2, înmulțind fiecare element al matricei identitate cu 3\displaystyle 3.
    3I2=3(1001)=(3003)\displaystyle 3I_2=3\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  2. Se adună matricea B\displaystyle B cu matricea 3I2\displaystyle 3I_2, element cu element.
    B+3I2=(34−2−3)+(3003)=(64−20)\displaystyle B+3I_2=\begin{pmatrix}3 & 4\\ -2 & -3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 4\\ -2 & 0\end{pmatrix}
  3. Se calculează matricea 2A\displaystyle 2A, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 2\displaystyle 2.
    2A=2(32−10)=(64−20)\displaystyle 2A=2\begin{pmatrix}3 & 2\\ -1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 4\\ -2 & 0\end{pmatrix}
  4. Se compară rezultatul obținut pentru B+3I2\displaystyle B+3I_2 cu 2A\displaystyle 2A și se observă că sunt egale, deci B+3I2=2A\displaystyle B+3I_2=2A.
    B+3I2=2A\displaystyle B+3I_2=2A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(32−10), B=(34−2−3) și I2=(1001)A=\begin{pmatrix}3 & 2\\ -1 & 0\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}3 & 4\\ -2 & -3\end{pmatrix}\text{ și }I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅(xA+B)=2xI2\displaystyle A\cdot(xA+B)=2xI_2.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează produsul scalarului x\displaystyle x cu matricea A\displaystyle A.
    xA=(3x2x−x0)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}3x & 2x\\ -x & 0\end{pmatrix}
  2. Se adună matricea B la xA\displaystyle xA, adunând elementele corespunzătoare.
    xA+B=(3x+32x+4−x−2−3)\displaystyle xA+B=\begin{pmatrix}3x+3 & 2x+4\\ -x-2 & -3\end{pmatrix}
  3. Se înmulțește matricea A la stânga cu (xA+B)\displaystyle (xA+B), folosind regula de înmulțire a matricelor 2×2\displaystyle 2\times 2 (linie pe coloană) pentru fiecare element.
    A⋅(xA+B)=(3(3x+3)+2(−x−2)3(2x+4)+2(−3)−1(3x+3)+0(−x−2)−1(2x+4)+0(−3))\displaystyle A\cdot(xA+B)=\begin{pmatrix}3(3x+3)+2(-x-2) & 3(2x+4)+2(-3)\\ -1(3x+3)+0(-x-2) & -1(2x+4)+0(-3)\end{pmatrix}
  4. Se efectuează calculele din fiecare element al matricei rezultate, obținând forma finală a produsului A(xA+B)\displaystyle A(xA+B), valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    A⋅(xA+B)=(7x+56x+6−3x−3−2x−4), pentru orice numa˘r real x\displaystyle A\cdot(xA+B)=\begin{pmatrix}7x+5 & 6x+6\\ -3x-3 & -2x-4\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }x
  5. Se calculează matricea 2xI2\displaystyle 2xI_{2}, înmulțind fiecare element al matricei identitate cu scalarul 2x\displaystyle 2x.
    2xI2=(2x002x)\displaystyle 2xI_2=\begin{pmatrix}2x & 0\\ 0 & 2x\end{pmatrix}
  6. Se pune condiția ca A(xA+B)\displaystyle A(xA+B) să fie egală cu 2xI2\displaystyle 2xI_{2}, obținându-se egalitatea matricelor și, prin identificarea elementelor corespunzătoare, sistemul de ecuații. Rezolvând oricare dintre ecuații (de exemplu 7x+5=2x\displaystyle 7x+5=2x), se obține valoarea lui x\displaystyle x, care verifică și celelalte ecuații ale sistemului.
    (7x+56x+6−3x−3−2x−4)=(2x002x), de unde obținem x=−1\displaystyle \begin{pmatrix}7x+5 & 6x+6\\ -3x-3 & -2x-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x & 0\\ 0 & 2x\end{pmatrix}\text{, de unde obținem }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−3(x+y)+1x\circ y=2xy-3(x+y)+1

Arătați că 1∘0=−2\displaystyle 1\circ 0=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile x=1\displaystyle x=1 și y=0\displaystyle y=0 care trebuie substituite.
    x∘y=2xy−3(x+y)+1\displaystyle x\circ y=2xy-3(x+y)+1,x=1\displaystyle \quad x=1, y=0\displaystyle \ y=0
  2. Se înlocuiesc x=1\displaystyle x=1 și y=0\displaystyle y=0 în formula legii de compoziție.
    1∘0=2⋅1⋅0−3(1+0)+1=\displaystyle 1\circ 0=2\cdot 1\cdot 0-3(1+0)+1=
  3. Se calculează produsul 2⋅1⋅0\displaystyle 2\cdot 1\cdot 0 și suma din paranteză (1+0)\displaystyle (1+0).
    2⋅1⋅0=0\displaystyle 2\cdot 1\cdot 0=0,3(1+0)=3\displaystyle \quad 3(1+0)=3
  4. Se înlocuiesc valorile obținute în expresie și se efectuează scăderea și adunarea.
    =0−3+1=−2\displaystyle =0-3+1=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−3(x+y)+1x\circ y=2xy-3(x+y)+1

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție date, pentru a putea calcula ulterior y∘x\displaystyle y\circ x prin înlocuirea corespunzătoare a variabilelor.
    x∘y=2xy−3(x+y)+1\displaystyle x\circ y=2xy-3(x+y)+1
  2. Pentru a verifica comutativitatea, se calculează y∘x\displaystyle y\circ x aplicând definiția legii, adică se înlocuiește x\displaystyle x cu y\displaystyle y și y\displaystyle y cu x\displaystyle x în formula dată.
    y∘x=2yx−3(y+x)+1=\displaystyle y\circ x=2yx-3(y+x)+1=
  3. Se folosește comutativitatea înmulțirii și adunării numerelor reale (2yx=2xy\displaystyle 2yx=2xy și y+x=x+y\displaystyle y+x=x+y) pentru a rescrie expresia obținută în forma inițială.
    2yx−3(y+x)+1=2xy−3(x+y)+1\displaystyle 2yx-3(y+x)+1=2xy-3(x+y)+1
  4. Se compară rezultatul obținut pentru y∘x\displaystyle y\circ x cu expresia lui x∘y\displaystyle x\circ y, constatând că sunt identice pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, ceea ce demonstrează comutativitatea legii de compoziție.
    =2xy−3(x+y)+1=x∘y, pentru orice numere \displaystyle =2xy-3(x+y)+1=x\circ y\text{, pentru orice numere }reale x și y, deci legea de \displaystyle \text{reale }x\text{ și }y\text{, deci legea de }compoziție „∘” este comutativa˘\displaystyle \text{compoziție „}\circ\text{” este comutativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−3(x+y)+1x\circ y=2xy-3(x+y)+1

Determinați mulțimea numerelor reale x\displaystyle x pentru care x∘(−2x)≥0\displaystyle x\circ(-2x)\ge 0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție x∘y=2xy−3(x+y)+1\displaystyle x\circ y=2xy-3(x+y)+1 și se înlocuiește y\displaystyle y cu −2x\displaystyle -2x, pentru a obține expresia x∘(−2x)\displaystyle x\circ(-2x).
    x∘(−2x)=2x⋅(−2x)−3(x+(−2x))+1\displaystyle x\circ(-2x)=2x\cdot(-2x)-3\big(x+(-2x)\big)+1
  2. Se efectuează calculele: 2x⋅(−2x)=−4x2\displaystyle 2x\cdot(-2x)=-4x^2, iar x+(−2x)=−x\displaystyle x+(-2x)=-x, deci −3(x+(−2x))=−3(−x)=3x\displaystyle -3(x+(-2x))=-3(-x)=3x.
    x∘(−2x)=−4x2+3x+1\displaystyle x\circ(-2x)=-4x^2+3x+1
  3. Se scrie forma finală a expresiei x∘(−2x)\displaystyle x\circ(-2x), valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    x∘(−2x)=−4x2+3x+1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\circ(-2x)=-4x^2+3x+1\text{, pentru orice număr real }x
  4. Se pune condiția ca expresia obținută să fie mai mare sau egală cu zero, conform cerinței problemei.
    −4x2+3x+1≥0\displaystyle -4x^2+3x+1\ge 0
  5. Se înmulțește inecuația cu −1\displaystyle -1, schimbând sensul inegalității, pentru a obține un coeficient dominant pozitiv.
    4x2−3x−1≤0\displaystyle 4x^2-3x-1\le 0
  6. Se calculează discriminantul ecuației asociate 4x2−3x−1=0\displaystyle 4x^2-3x-1=0.
    Δ=(−3)2−4⋅4⋅(−1)=9+16=25\displaystyle \Delta=(-3)^2-4\cdot 4\cdot(-1)=9+16=25
  7. Se determină rădăcinile ecuației folosind formula x=−b±Δ2a\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
    x1,2=3±58⇒x1=−14, x2=1\displaystyle x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{8}\Rightarrow x_1=-\frac{1}{4}\text{, }x_2=1
  8. Deoarece coeficientul dominant al expresiei 4x2−3x−1\displaystyle 4x^2-3x-1 este pozitiv, expresia este negativă sau nulă între rădăcini, deci se obține mulțimea soluțiilor inecuației inițiale.
    −4x2+3x+1≥0, de unde obținem x∈[−14,1]\displaystyle -4x^2+3x+1\ge 0\text{, de unde obținem }x\in\left[-\frac{1}{4},1\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(4,+∞)→R\displaystyle f:(4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x−4x−4f(x)=\frac{3x-4}{x-4}

Arătați că f′(x)=−8(x−4)2, x∈(4,+∞)f'(x)=-\frac{8}{(x-4)^2},\ x\in(4,+\infty)
Vezi rezolvarea
  1. Identificăm funcțiile de la numărător și numitor: u(x)=3x−4\displaystyle u(x)=3x-4 și v(x)=x−4\displaystyle v(x)=x-4, cu derivatele u′(x)=3\displaystyle u'(x)=3 și v′(x)=1\displaystyle v'(x)=1. Scriem formula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2=3⋅(x−4)−(3x−4)⋅1(x−4)2\displaystyle f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}=\frac{3\cdot(x-4)-(3x-4)\cdot 1}{(x-4)^2}
  2. Scriem explicit expresia derivatei folosind regula câtului, punând în evidență numărătorul înainte de a-l dezvolta.
    f′(x)=3(x−4)−(3x−4)(x−4)2=\displaystyle f'(x)=\frac{3(x-4)-(3x-4)}{(x-4)^2}=
  3. Desfacem parantezele de la numărător: 3(x−4)=3x−12\displaystyle 3(x-4)=3x-12, iar semnul minus se distribuie la (3x−4)\displaystyle (3x-4) devenind −3x+4\displaystyle -3x+4.
    f′(x)=3x−12−3x+4(x−4)2\displaystyle f'(x)=\frac{3x-12-3x+4}{(x-4)^2}
  4. Reducem termenii asemenea la numărător: 3x−3x=0\displaystyle 3x-3x=0, iar −12+4=−8\displaystyle -12+4=-8, obținând forma finală a derivatei pe domeniul de definiție.
    =3x−12−3x+4(x−4)2=−8(x−4)2\displaystyle =\frac{3x-12-3x+4}{(x-4)^2}=-\frac{8}{(x-4)^2}, x∈(4,+∞)\displaystyle \ x\in(4,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(4,+∞)→R\displaystyle f:(4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x−4x−4f(x)=\frac{3x-4}{x-4}

Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Asimptota orizontală spre +∞\displaystyle +\infty este dreapta y=L\displaystyle y=L, unde L=lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}f(x), dacă această limită există și este finită. Calculăm lim⁡x→+∞3x−4x−4\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-4}{x-4}.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞3x−4x−4\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x-4}{x-4}
  2. Limita are forma ∞∞\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}. Împărțim numărătorul și numitorul la x\displaystyle x, adică dăm factor comun pe x\displaystyle x la numărător și la numitor.
    3x−4x−4=x(3−4x)x(1−4x)=3−4x1−4x\displaystyle \frac{3x-4}{x-4}=\frac{x\left(3-\dfrac{4}{x}\right)}{x\left(1-\dfrac{4}{x}\right)}=\frac{3-\dfrac{4}{x}}{1-\dfrac{4}{x}}
  3. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, avem 4x→0\displaystyle \dfrac{4}{x}\to 0. Înlocuim și obținem 3−01−0=3\displaystyle \dfrac{3-0}{1-0}=3.
    lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞3−4x1−4x=3\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{3-\dfrac{4}{x}}{1-\dfrac{4}{x}}=3
  4. Limita este finită și egală cu 3\displaystyle 3, deci graficul funcției f\displaystyle f are asimptotă orizontală spre +∞\displaystyle +\infty dreapta y=3\displaystyle y=3.
    Dreapta de ecuație y=3 este asimptota orizontala˘ \displaystyle \text{Dreapta de ecuație }y=3\text{ este asimptota orizontală }spre +∞ la graficul funcției f\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcției }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(4,+∞)→R\displaystyle f:(4,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3x−4x−4f(x)=\frac{3x-4}{x-4}

Demonstrați că funcția g:(4,+∞)→R\displaystyle g:(4,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=f′(x)\displaystyle g(x)=f'(x) este crescătoare.
Vezi rezolvarea
  1. Se notează g(x)=f′(x)\displaystyle g(x) = f'(x) și se calculează prima derivată a funcției f\displaystyle f, folosind regula de derivare a câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle (\dfrac{u}{v})' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}, unde u=3x−4\displaystyle u = 3x-4, v=x−4\displaystyle v = x-4.
    f′(x)=3(x−4)−(3x−4)⋅1(x−4)2=3x−12−3x+4(x−4)2=−8(x−4)2\displaystyle f'(x)=\frac{3(x-4)-(3x-4)\cdot1}{(x-4)^2}=\frac{3x-12-3x+4}{(x-4)^2}=\frac{-8}{(x-4)^2}
  2. Se derivează din nou, adică se calculează g′(x)=f′′(x)\displaystyle g'(x) = f''(x), aplicând regula de derivare a puterii pentru (x−4)−2\displaystyle (x-4)^{-2}.
    f′(x)=−8(x−4)−2⇒f′′(x)=−8⋅(−2)(x−4)−3=16(x−4)−3\displaystyle f'(x)=-8(x-4)^{-2}\Rightarrow f''(x)=-8\cdot(-2)(x-4)^{-3}=16(x-4)^{-3}
  3. Se scrie forma finală a derivatei a doua, g′(x)=f′′(x)\displaystyle g'(x)=f''(x), valabilă pe domeniul de definiție (4,+∞)\displaystyle (4,+\infty).
    g′(x)=f′′(x)=16(x−4)3\displaystyle g'(x)=f''(x)=\frac{16}{(x-4)^3}, x∈(4,+∞)\displaystyle \ x\in(4,+\infty)
  4. Se studiază semnul lui g′(x)\displaystyle g'(x) pe intervalul (4,+∞)\displaystyle (4,+\infty): deoarece x>4\displaystyle x>4, avem x−4>0\displaystyle x-4>0, deci (x−4)3>0\displaystyle (x-4)^3>0, iar 16>0\displaystyle 16>0, astfel încât fracția este strict pozitivă.
    x>4⇒x−4>0⇒(x−4)3>0⇒16(x−4)3>0\displaystyle x>4\Rightarrow x-4>0\Rightarrow (x-4)^3>0\Rightarrow \frac{16}{(x-4)^3}>0
  5. Se concluzionează semnul derivatei a doua pe tot domeniul și se stabilește monotonia funcției g pe baza acestui semn.
    g′(x)>0, pentru orice x∈(4,+∞), deci funcția g este cresca˘toare\displaystyle g'(x)>0\text{, pentru orice }x\in(4,+\infty)\text{, deci funcția }g\text{ este crescătoare}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+(x+3)2f(x)=x+(x+3)^2

Arătați că ∫02(f(x)−(x+3)2)dx=2\int_{0}^{2}\left(f(x)-(x+3)^2\right)dx=2
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției date și se identifică termenul care trebuie eliminat prin scădere.
    f(x)=x+(x+3)2\displaystyle f(x)=x+(x+3)^2
  2. Se calculează diferența f(x)−(x+3)2\displaystyle f(x)-(x+3)^2, simplificând termenul comun (x+3)2\displaystyle (x+3)^2.
    f(x)−(x+3)2=x+(x+3)2−(x+3)2=x\displaystyle f(x)-(x+3)^2=x+(x+3)^2-(x+3)^2=x
  3. Se scrie integrala cerută, folosind simplificarea obținută mai sus.
    ∫02(f(x)−(x+3)2)dx=∫02x dx\displaystyle \int_{0}^{2}\left(f(x)-(x+3)^2\right)dx=\int_{0}^{2}x\,dx
  4. Se determină o primitivă a funcției x\displaystyle x, folosind formula de primitivare a puterilor.
    ∫x dx=x22+C\displaystyle \int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C
  5. Se aplică formula Leibniz-Newton, evaluând primitiva la capetele intervalului [0,2]\displaystyle [0,2].
    ∫02x dx=x22∣02=\displaystyle \int_{0}^{2}x\,dx=\frac{x^2}{2}\Big|_0^2=
  6. Se calculează valorile primitivei în capetele intervalului și se face diferența, obținând rezultatul final al integralei.
    =42−0=2\displaystyle =\frac{4}{2}-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+(x+3)2f(x)=x+(x+3)^2

Arătați că ∫−201f(x)−x dx=23\int_{-2}^{0}\frac{1}{f(x)-x}\,dx=\frac{2}{3}
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează expresia de sub integrală, scăzând x\displaystyle x din f(x)\displaystyle f(x) pentru a obține f(x)−x\displaystyle f(x)-x.
    f(x)−x=x+(x+3)2−x=(x+3)2\displaystyle f(x)-x=x+(x+3)^2-x=(x+3)^2
  2. Se rescrie integrala folosind expresia simplificată obținută anterior.
    ∫−201f(x)−xdx=∫−201(x+3)2dx\displaystyle \int_{-2}^{0}\frac{1}{f(x)-x}dx=\int_{-2}^{0}\frac{1}{(x+3)^2}dx
  3. Se observă că (x+3)′=1\displaystyle (x+3)'=1, deci funcția de sub integrală se poate scrie ca derivata numărătorului împărțită la (x+3)2\displaystyle (x+3)^2, formă care corespunde derivatei funcției −1x+3\displaystyle -\dfrac{1}{x+3}.
    ∫−201(x+3)2dx=∫−20(x+3)′(x+3)2dx\displaystyle \int_{-2}^{0}\frac{1}{(x+3)^2}dx=\int_{-2}^{0}\frac{(x+3)'}{(x+3)^2}dx
  4. Se aplică formula Leibniz-Newton, folosind o primitivă a funcției de integrat, anume −1x+3\displaystyle -\dfrac{1}{x+3}.
    ∫−20(x+3)′(x+3)2dx=−1x+3∣−20=\displaystyle \int_{-2}^{0}\frac{(x+3)'}{(x+3)^2}dx=-\frac{1}{x+3}\Big|_{-2}^{0}=
  5. Se evaluează primitiva la capetele intervalului: se înlocuiește x=0\displaystyle x=0, apoi x=−2\displaystyle x=-2, și se face diferența.
    −10+3−(−1−2+3)=−13−(−1)\displaystyle -\frac{1}{0+3}-\left(-\frac{1}{-2+3}\right)=-\frac{1}{3}-(-1)
  6. Se simplifică expresia obținută pentru a ajunge la valoarea finală a integralei.
    =−13+1=23\displaystyle =-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+(x+3)2f(x)=x+(x+3)^2

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care ∫06f(x)x+3dx=3(a−ln⁡3)\int_{0}^{6}\frac{f(x)}{x+3}dx=3(a-\ln 3)
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia de sub integrală, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu formula dată, și se împarte fiecare termen la (x+3)\displaystyle (x+3).
    f(x)x+3=x+(x+3)2x+3=xx+3+(x+3)\displaystyle \frac{f(x)}{x+3}=\frac{x+(x+3)^2}{x+3}=\frac{x}{x+3}+(x+3)
  2. Se descompune fracția xx+3\displaystyle \frac{x}{x+3} astfel încât să apară un termen constant și o fracție simplă, pentru a obține o formă ușor de integrat.
    xx+3=(x+3)−3x+3=1−3x+3\displaystyle \frac{x}{x+3}=\frac{(x+3)-3}{x+3}=1-\frac{3}{x+3}
  3. Se înlocuiește descompunerea în expresia inițială și se obține forma finală a integrandului: sumă de termeni simpli, integrabili direct.
    f(x)x+3=1−3x+3+(x+3)=x+4−3x+3\displaystyle \frac{f(x)}{x+3}=1-\frac{3}{x+3}+(x+3)=x+4-\frac{3}{x+3}
  4. Se scrie integrala inițială cu integrandul descompus, pregătind aplicarea formulei Leibniz-Newton.
    ∫06f(x)x+3dx=∫06(x+4−3x+3)dx\displaystyle \int_{0}^{6}\frac{f(x)}{x+3}dx=\int_{0}^{6}\left(x+4-\frac{3}{x+3}\right)dx
  5. Se determină o primitivă pentru fiecare termen: x22\displaystyle \frac{x^{2}}{2} pentru x\displaystyle x, 4x\displaystyle 4x pentru constanta 4\displaystyle 4, și −3ln⁡(x+3)\displaystyle -3\ln(x+3) pentru −3x+3\displaystyle -\frac{3}{x+3}.
    ∫(x+4−3x+3)dx=x22+4x−3ln⁡(x+3)+C\displaystyle \int\left(x+4-\frac{3}{x+3}\right)dx=\frac{x^2}{2}+4x-3\ln(x+3)+C
  6. Se aplică formula Leibniz-Newton, evaluând primitiva la capetele intervalului [0,6]\displaystyle [0,6], separat pentru fiecare termen.
    x22∣06+4x∣06−3ln⁡(x+3)∣06=(18−0)+(24−0)−3(ln⁡9−ln⁡3)\displaystyle \frac{x^2}{2}\Big|_0^6+4x\Big|_0^6-3\ln(x+3)\Big|_0^6=(18-0)+(24-0)-3\big(\ln 9-\ln 3\big)
  7. Se calculează valoarea numerică a fiecărui termen și se simplifică logaritmii, folosind ln⁡9=2ln⁡3\displaystyle \ln 9=2\ln 3, obținând rezultatul final al integralei.
    ∫06f(x)x+3dx=18+24−3(2ln⁡3−ln⁡3)=42−3ln⁡3\displaystyle \int_{0}^{6}\frac{f(x)}{x+3}dx=18+24-3(2\ln 3-\ln 3)=42-3\ln 3
  8. Se scrie ecuația dintre valoarea integralei calculate și expresia dată 3(a−ln⁡3)\displaystyle 3(a-\ln 3), apoi se rezolvă pentru a\displaystyle a.
    42−3ln⁡3=3(a−ln⁡3)⇒42−3ln⁡3=3a−3ln⁡3⇒3a=42⇒a=14\displaystyle 42-3\ln 3=3(a-\ln 3)\Rightarrow 42-3\ln 3=3a-3\ln 3\Rightarrow 3a=42\Rightarrow a=14
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.