Bac matematică M3 tehnologic 2021, model, test de evaluare 12: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^2 : \frac{1}{3} - 3:9 = 1

.

Vezi rezolvarea

Calculăm puterea: $\displaystyle \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}$ .
$\displaystyle \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=\dfrac{4}{9}$
Transformăm împărțirile în înmulțiri cu inversul: împărțirea la $\displaystyle \dfrac{1}{3}$ devine înmulțire cu $\displaystyle \dfrac{3}{1}$ , iar împărțirea la $\displaystyle 9$ devine înmulțire cu $\displaystyle \dfrac{1}{9}$ .
$\displaystyle \dfrac{4}{9}\cdot\dfrac{3}{1}-3\cdot\dfrac{1}{9}$
Efectuăm înmulțirile și simplificăm: $\displaystyle \dfrac{4}{9}\cdot 3=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$ , iar $\displaystyle 3\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ .
$\displaystyle \dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}$
Scădem fracțiile care au același numitor: $\displaystyle \dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}=1$ . Deci egalitatea este adevărată.
$\displaystyle \dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x-9

. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficului funcției

\displaystyle f

cu axa

\displaystyle Ox

.

Vezi rezolvarea

Un punct al graficului se află pe axa $\displaystyle Ox$ când ordonata lui este zero, adică $\displaystyle f(x)=0$ . Deci abscisa căutată este soluția ecuației $\displaystyle f(x)=0$ .
$\displaystyle f(x)=0$
Înlocuim expresia funcției $\displaystyle f(x)=3x-9$ și obținem ecuația $\displaystyle 3x-9=0$ .
$\displaystyle 3x-9=0$
Adunăm $\displaystyle 9$ în ambii membri: $\displaystyle 3x=9$ . Apoi împărțim la $\displaystyle 3$ și obținem $\displaystyle x=3$ . Punctul de intersecție este $\displaystyle (3,0)$ , deci abscisa este $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle x=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \sqrt{x^2-4x+8}=x

.

Vezi rezolvarea

Ecuația conține un radical, iar $\displaystyle \sqrt{x^2-4x+8}\ge 0$ , deci trebuie ca $\displaystyle x\ge 0$ . Expresia $\displaystyle x^2-4x+8$ are discriminantul $\displaystyle \Delta=16-32=-16<0$ , deci este mereu pozitivă.
$\displaystyle x\ge 0$
Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat: $\displaystyle \left(\sqrt{x^2-4x+8}\right)^2=x^2$ .
$\displaystyle x^2-4x+8=x^2$
Reducem termenii $\displaystyle x^2$ din cei doi membri și obținem $\displaystyle -4x+8=0$ , deci $\displaystyle 4x=8$ .
$\displaystyle -4x+8=0\Rightarrow x=2$
Verificăm în ecuația inițială: pentru $\displaystyle x=2$ avem $\displaystyle \sqrt{2^2-4\cdot 2+8}=\sqrt{4}=2=x$ . De asemenea $\displaystyle 2\ge 0$ , deci soluția convine.
$\displaystyle x=2\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

După o ieftinire cu

\displaystyle 8\%

, un produs costă 184 de lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle x$ prețul produsului înainte de ieftinire, în lei.
$\displaystyle x\text{ = prețul inițial}$
Ieftinirea cu $\displaystyle 8\%$ înseamnă că scădem din prețul inițial $\displaystyle \dfrac{8}{100}$ din el. Prețul după ieftinire este 184 de lei, deci scriem ecuația procentuală.
$\displaystyle x-\frac{8}{100}\cdot x=184$
Dăm factor comun pe $\displaystyle x$ : $\displaystyle 1-\dfrac{8}{100}=\dfrac{92}{100}$ , deci prețul nou este $\displaystyle 92\%$ din prețul inițial.
$\displaystyle \frac{92}{100}\cdot x=184$
Împărțim 184 la $\displaystyle \dfrac{92}{100}$ , adică înmulțim cu $\displaystyle \dfrac{100}{92}$ . Cum $\displaystyle 184=2\cdot 92$ , obținem $\displaystyle x=2\cdot 100$ .
$\displaystyle x=184\cdot\frac{100}{92}=200\text{ de lei}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(-2,3)

,

\displaystyle B(4,1)

,

\displaystyle C

și

\displaystyle D

. Știind că punctele

\displaystyle C

și

\displaystyle B

sunt mijloacele segmentelor

\displaystyle AB

, respectiv

\displaystyle CD

, determinați coordonatele punctului

\displaystyle D

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle C$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$ , deci coordonatele lui $\displaystyle C$ sunt media coordonatelor lui $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ : $\displaystyle x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ și $\displaystyle y_C=\dfrac{y_A+y_B}{2}$ .
$\displaystyle x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ , $\displaystyle \ y_C=\dfrac{y_A+y_B}{2}$
Înlocuim $\displaystyle A(-2,3)$ și $\displaystyle B(4,1)$ : $\displaystyle x_C=\dfrac{-2+4}{2}=1$ și $\displaystyle y_C=\dfrac{3+1}{2}=2$ . Deci $\displaystyle C(1,2)$ .
$\displaystyle C(1,2)$
Punctul $\displaystyle B(4,1)$ este mijlocul segmentului $\displaystyle CD$ , deci $\displaystyle x_B=\dfrac{x_C+x_D}{2}$ și $\displaystyle y_B=\dfrac{y_C+y_D}{2}$ . Cu $\displaystyle C(1,2)$ obținem $\displaystyle 4=\dfrac{1+x_D}{2}$ și $\displaystyle 1=\dfrac{2+y_D}{2}$ .
$\displaystyle 4=\dfrac{1+x_D}{2}$ , $\displaystyle \ 1=\dfrac{2+y_D}{2}$
Înmulțim cu $\displaystyle 2$ : $\displaystyle 8=1+x_D$ , deci $\displaystyle x_D=7$ , și $\displaystyle 2=2+y_D$ , deci $\displaystyle y_D=0$ . Prin urmare $\displaystyle D(7,0)$ .
$\displaystyle x_D=7$ , $\displaystyle \ y_D=0$ , $\displaystyle \ D(7,0)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră

\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)

astfel încât

\displaystyle \cos x=\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}\cdot\sin x

. Arătați că

\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm valoarea tangentei: $\displaystyle \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$ . Înlocuim în relația dată și obținem $\displaystyle \cos x=\sqrt{3}\sin x$ .
$\displaystyle \cos x=\sqrt{3}\sin x$
Scriem relația fundamentală a trigonometriei: $\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ .
$\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1$
Înlocuim $\displaystyle \cos x$ cu $\displaystyle \sqrt{3}\sin x$ în relația fundamentală.
$\displaystyle \sin^{2}x+\left(\sqrt{3}\sin x\right)^{2}=1$
Calculăm pătratul: $\displaystyle \left(\sqrt{3}\right)^{2}=3$ , deci $\displaystyle \sin^{2}x+3\sin^{2}x=1$ , adică $\displaystyle 4\sin^{2}x=1$ . De aici $\displaystyle \sin^{2}x=\dfrac{1}{4}$ .
$\displaystyle \sin^{2}x=\frac{1}{4}$
Deoarece $\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ , $\displaystyle \sin x>0$ . Alegem rădăcina pozitivă și obținem $\displaystyle \sin x=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle \det A=0

.

Vezi rezolvarea

Reamintim formula determinantului de ordin 2: $\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$ .
$\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$
Aplicăm formula pentru matricea $\displaystyle A$ , cu $\displaystyle a=3$ , $\displaystyle b=6$ , $\displaystyle c=1$ și $\displaystyle d=2$ .
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}3&6\\1&2\end{vmatrix}=3\cdot2-6\cdot1$
Efectuăm înmulțirile: $\displaystyle 3\cdot2=6$ , iar $\displaystyle 6\cdot1=6$ . Scădem și obținem $\displaystyle 0$ , deci $\displaystyle \det A=0$ .
$\displaystyle \det A=6-6=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle A\cdot A=5A

.

Vezi rezolvarea

Scriem produsul $\displaystyle A\cdot A$ , adică matricea $\displaystyle A$ înmulțită cu ea însăși: $\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}$ . Fiecare element se obține înmulțind o linie din prima matrice cu o coloană din a doua.
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}$
Calculăm elementele: $\displaystyle 3\cdot3+6\cdot1=9+6$ , $\displaystyle 3\cdot6+6\cdot2=18+12$ , $\displaystyle 1\cdot3+2\cdot1=3+2$ , $\displaystyle 1\cdot6+2\cdot2=6+4$ .
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}9+6&18+12\\3+2&6+4\end{pmatrix}$
Efectuăm adunările din fiecare element și obținem matricea produs.
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}15&30\\5&10\end{pmatrix}$
Toate elementele matricei sunt multipli de $\displaystyle 5$ , deci scoatem factor comun $\displaystyle 5$ : $\displaystyle 15=5\cdot3$ , $\displaystyle 30=5\cdot6$ , $\displaystyle 5=5\cdot1$ , $\displaystyle 10=5\cdot2$ . Matricea rămasă este chiar $\displaystyle A$ , deci $\displaystyle A\cdot A=5A$ .
$\displaystyle A\cdot A=5\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}=5A$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle A=\begin{pmatrix}3&6\\1&2\end{pmatrix}

.

Determinați valorile reale ale lui

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle \det\left(xA+(1-x)I_2\right)\ge0

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle xA$ : înmulțim fiecare element al matricei $\displaystyle A$ cu $\displaystyle x$ .
$\displaystyle xA=\begin{pmatrix}3x&6x\\x&2x\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle (1-x)I_2$ : matricea identitate înmulțită cu $\displaystyle 1-x$ are pe diagonala principală $\displaystyle 1-x$ , iar în rest zero.
$\displaystyle (1-x)I_2=\begin{pmatrix}1-x&0\\0&1-x\end{pmatrix}$
Adunăm cele două matrice element cu element: $\displaystyle 3x+1-x=2x+1$ , iar $\displaystyle 2x+1-x=x+1$ .
$\displaystyle xA+(1-x)I_2=\begin{pmatrix}2x+1&6x\\x&x+1\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: $\displaystyle (2x+1)(x+1)-6x\cdot x$ .
$\displaystyle (2x+1)(x+1)-6x^{2}=2x^{2}+3x+1-6x^{2}=-4x^{2}+3x+1$
Inecuația devine $\displaystyle -4x^{2}+3x+1\ge0$ , adică, înmulțind cu $\displaystyle -1$ și schimbând sensul, $\displaystyle 4x^{2}-3x-1\le0$ .
$\displaystyle 4x^{2}-3x-1\le0$
Aflăm rădăcinile ecuației $\displaystyle 4x^{2}-3x-1=0$ : $\displaystyle \Delta=9+16=25$ , deci $\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{3\pm5}{8}$ .
$\displaystyle x_1=-\dfrac{1}{4}\text{, }x_2=1$
Coeficientul lui $\displaystyle x^{2}$ este pozitiv, deci $\displaystyle 4x^{2}-3x-1\le0$ între rădăcini, inclusiv rădăcinile. Obținem răspunsul final.
$\displaystyle x\in\left[-\dfrac{1}{4},1\right]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=3xy-x^2-y^2

.

Arătați că

\displaystyle 1*2=1

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția legii de compoziție: $\displaystyle x*y=3xy-x^{2}-y^{2}$ , pentru orice $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ reale.
$\displaystyle x*y=3xy-x^{2}-y^{2}$
Înlocuim $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle y=2$ în definiție.
$\displaystyle 1*2=3\cdot 1\cdot 2-1^{2}-2^{2}$
Calculăm separat termenii: $\displaystyle 3\cdot 1\cdot 2=6$ , $\displaystyle 1^{2}=1$ , $\displaystyle 2^{2}=4$ . Apoi efectuăm scăderile și obținem $\displaystyle 1$ , adică exact valoarea cerută.
$\displaystyle 1*2=6-1-4=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=3xy-x^2-y^2

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle 2*x=1

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm legea de compoziție pentru primul număr $\displaystyle 2$ și al doilea număr $\displaystyle x$ : $\displaystyle 2*x=3\cdot 2\cdot x-2^{2}-x^{2}$ . Calculăm și obținem $\displaystyle 2*x=6x-4-x^{2}$ .
$\displaystyle 2*x=6x-4-x^{2}$
Condiția $\displaystyle 2*x=1$ devine ecuația $\displaystyle 6x-4-x^{2}=1$ .
$\displaystyle 6x-4-x^{2}=1$
Trecem toți termenii în același membru: $\displaystyle 0=x^{2}-6x+4+1$ , adică ecuația de gradul al doilea $\displaystyle x^{2}-6x+5=0$ .
$\displaystyle x^{2}-6x+5=0$
Avem $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-6$ , $\displaystyle c=5$ , deci $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=36-20=16$ , iar $\displaystyle \sqrt{\Delta}=4$ .
$\displaystyle \Delta=16$
Rădăcinile sunt $\displaystyle x=\dfrac{6\pm 4}{2}$ , deci $\displaystyle x_{1}=\dfrac{6-4}{2}=1$ și $\displaystyle x_{2}=\dfrac{6+4}{2}=5$ . Ambele sunt numere reale, deci verifică cerința.
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=3xy-x^2-y^2

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle \left(\sqrt[3]{x}*\sqrt[3]{x}\right)*\sqrt[3]{x^2}=1

.

Vezi rezolvarea

Notăm $\displaystyle a=\sqrt[3]{x}$ . Pentru argumente egale, legea dă $\displaystyle a*a=3a^{2}-a^{2}-a^{2}=a^{2}$ .
$\displaystyle a*a=a^{2}$
Deoarece $\displaystyle a^{2}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^{2}=\sqrt[3]{x^{2}}$ , prima compunere dă acest rezultat.
$\displaystyle \sqrt[3]{x}*\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x^{2}}$
Expresia devine $\displaystyle \sqrt[3]{x^{2}}*\sqrt[3]{x^{2}}$ , adică $\displaystyle b*b=b^{2}$ cu $\displaystyle b=\sqrt[3]{x^{2}}$ . Obținem $\displaystyle b^{2}=\left(\sqrt[3]{x^{2}}\right)^{2}=\sqrt[3]{x^{4}}$ .
$\displaystyle \left(\sqrt[3]{x}*\sqrt[3]{x}\right)*\sqrt[3]{x^{2}}=\sqrt[3]{x^{4}}$
Ecuația devine $\displaystyle \sqrt[3]{x^{4}}=1$ . Ridicând la puterea a treia, obținem $\displaystyle x^{4}=1$ .
$\displaystyle x^{4}=1$
Ecuația $\displaystyle x^{4}=1$ se scrie $\displaystyle (x^{2}-1)(x^{2}+1)=0$ . Cum $\displaystyle x^{2}+1>0$ , rămâne $\displaystyle x^{2}=1$ , deci $\displaystyle x=-1$ sau $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x-\frac{x}{x+2}

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{2(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}

,

\displaystyle x\in(-2,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Derivăm funcția $\displaystyle f(x)=2x-\dfrac{x}{x+2}$ termen cu termen: $\displaystyle (2x)'=2$ , iar pentru fracție folosim formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=2-\left(\dfrac{x}{x+2}\right)'$
Pentru $\displaystyle u=x$ și $\displaystyle v=x+2$ avem $\displaystyle u'=1$ și $\displaystyle v'=1$ , deci numărătorul este $\displaystyle 1\cdot(x+2)-x\cdot 1=x+2-x=2$ . Rezultă derivata funcției.
$\displaystyle f'(x)=2-\dfrac{x+2-x}{(x+2)^2}=2-\dfrac{2}{(x+2)^2}$
Aducem la numitor comun $\displaystyle (x+2)^2$ : $\displaystyle 2(x+2)^2-2=2(x^2+4x+4)-2=2x^2+8x+8-2$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x+2)^2-2}{(x+2)^2}=\dfrac{2x^2+8x+6}{(x+2)^2}$
Dăm factor comun $\displaystyle 2$ la numărător. Pentru trinomul $\displaystyle x^2+4x+3$ căutăm două numere cu suma $\displaystyle 4$ și produsul $\displaystyle 3$ , adică $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 3$ , deci $\displaystyle x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2\left(x^2+4x+3\right)}{(x+2)^2}=\dfrac{2(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}\text{, }x\in(-2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x-\frac{x}{x+2}

.

Determinați intervalele de monotonie a funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Derivăm funcția. Derivata lui $\displaystyle 2x$ este $\displaystyle 2$ , iar pentru fracția $\displaystyle \dfrac{x}{x+2}$ folosim formula derivatei câtului: $\displaystyle \left(\dfrac{x}{x+2}\right)'=\dfrac{(x+2)-x}{(x+2)^{2}}=\dfrac{2}{(x+2)^{2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=2-\dfrac{2}{(x+2)^{2}}$
Aducem la același numitor: $\displaystyle f'(x)=\dfrac{2\left((x+2)^{2}-1\right)}{(x+2)^{2}}$ . Descompunem diferența de pătrate: $\displaystyle (x+2)^{2}-1=(x+1)(x+3)$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x+1)(x+3)}{(x+2)^{2}}$
Rezolvăm ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ . Numitorul este strict pozitiv pe domeniu, deci $\displaystyle (x+1)(x+3)=0$ , adică $\displaystyle x=-1$ sau $\displaystyle x=-3$ . Valoarea $\displaystyle -3$ nu aparține domeniului $\displaystyle (-2,+\infty)$ , deci singura soluție este $\displaystyle x=-1$ .
$\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1$
Studiem semnul derivatei. Pe domeniu $\displaystyle x+3>0$ și $\displaystyle (x+2)^{2}>0$ , deci semnul lui $\displaystyle f'(x)$ este semnul lui $\displaystyle x+1$ . Pentru $\displaystyle x\in(-2,-1)$ avem $\displaystyle f'(x)<0$ , iar pentru $\displaystyle x\in(-1,+\infty)$ avem $\displaystyle f'(x)>0$ .
$\displaystyle f'(x)<0\text{ pe }(-2,-1)\text{, }f'(x)>0\text{ pe }(-1,+\infty)$
Concluzie: funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle (-2,-1]$ și crescătoare pe $\displaystyle [-1,+\infty)$ . Punctul $\displaystyle x=-1$ este punct de minim.
$\displaystyle f\text{ este descrescătoare pe }(-2,-1]\text{, }f\text{ este crescătoare pe }[-1,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(-2,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x-\frac{x}{x+2}

.

Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Domeniul funcției este $\displaystyle (-2,+\infty)$ , deci are sens să căutăm asimptotă oblică doar spre $\displaystyle +\infty$ . Asimptota oblică are forma $\displaystyle y=mx+n$ , unde $\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ și $\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)$ .
$\displaystyle y=mx+n$ , $\displaystyle \quad m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$
Împărțim expresia lui $\displaystyle f(x)$ la $\displaystyle x$ : termenul $\displaystyle 2x$ dă $\displaystyle 2$ , iar fracția $\displaystyle \dfrac{x}{x+2}$ împărțită la $\displaystyle x$ devine $\displaystyle \dfrac{1}{x+2}$ .
$\displaystyle \frac{f(x)}{x}=2-\frac{1}{x+2}$
Când $\displaystyle x\to+\infty$ , fracția $\displaystyle \dfrac{1}{x+2}$ tinde la $\displaystyle 0$ , deci panta este $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\left(2-\frac{1}{x+2}\right)=2$
Calculăm $\displaystyle f(x)-2x$ . Termenii $\displaystyle 2x$ se reduc și rămâne doar $\displaystyle -\dfrac{x}{x+2}$ .
$\displaystyle f(x)-2x=-\frac{x}{x+2}$
Limita raportului $\displaystyle \dfrac{x}{x+2}$ la $\displaystyle +\infty$ se obține împărțind numărătorul și numitorul la $\displaystyle x$ : obținem $\displaystyle \dfrac{1}{1+\frac{2}{x}}$ , care tinde la $\displaystyle 1$ . Deci termenul liber este $\displaystyle -1$ .
$\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{x}{x+2}\right)=-1$
Înlocuim $\displaystyle m=2$ și $\displaystyle n=-1$ în $\displaystyle y=mx+n$ . Asimptota oblică spre $\displaystyle +\infty$ este $\displaystyle y=2x-1$ .
$\displaystyle y=2x-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+5}{x^2+1}

.

Arătați că

\displaystyle \int_0^3 \left(x^2+1\right)f(x)\,dx=24

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=\dfrac{x^{2}+5}{x^{2}+1}$ în integrand. Cum $\displaystyle x^{2}+1\neq 0$ pentru orice $\displaystyle x$ real, simplificăm: $\displaystyle \left(x^{2}+1\right)f(x)=x^{2}+5$ .
$\displaystyle \left(x^{2}+1\right)f(x)=\left(x^{2}+1\right)\cdot\dfrac{x^{2}+5}{x^{2}+1}=x^{2}+5$
Integrala din enunț se reduce la integrala unui polinom: $\displaystyle \displaystyle\int_0^3\left(x^{2}+1\right)f(x)\,dx=\int_0^3\left(x^{2}+5\right)dx$ .
$\displaystyle \int_0^3\left(x^{2}+1\right)f(x)\,dx=\int_0^3\left(x^{2}+5\right)dx$
Primitiva lui $\displaystyle x^{2}$ este $\displaystyle \dfrac{x^{3}}{3}$ , iar a constantei $\displaystyle 5$ este $\displaystyle 5x$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\displaystyle \int_0^3\left(x^{2}+5\right)dx=\left(\dfrac{x^{3}}{3}+5x\right)\Big|_0^3$
Pentru $\displaystyle x=3$ obținem $\displaystyle \dfrac{3^{3}}{3}+5\cdot 3=9+15$ , iar pentru $\displaystyle x=0$ obținem $\displaystyle 0$ . Diferența dă valoarea integralei, deci integrala este $\displaystyle 24$ .
$\displaystyle \left(\dfrac{3^{3}}{3}+5\cdot 3\right)-0=9+15=24$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+5}{x^2+1}

.

Calculați

\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-1\right)dx

.

Vezi rezolvarea

Scriem diferența $\displaystyle f(x)-1$ sub același numitor, $\displaystyle x^{2}+1$ : $\displaystyle f(x)-1=\dfrac{x^{2}+5}{x^{2}+1}-\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+1}$ .
$\displaystyle f(x)-1=\dfrac{x^{2}+5-(x^{2}+1)}{x^{2}+1}$
La numărător $\displaystyle x^{2}$ se reduce, iar $\displaystyle 5-1=4$ . Rezultă $\displaystyle f(x)-1=\dfrac{4}{x^{2}+1}$ .
$\displaystyle f(x)-1=\dfrac{4}{x^{2}+1}$
Înlocuim în integrală și scoatem constanta $\displaystyle 4$ în fața integralei. Folosim faptul că $\displaystyle (\operatorname{arctg}x)'=\dfrac{1}{x^{2}+1}$ , deci o primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}+1}$ este $\displaystyle \operatorname{arctg}x$ .
$\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-1\right)dx=\int_0^1\dfrac{4}{x^{2}+1}dx=4\operatorname{arctg}x\Big|_0^1$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în $\displaystyle 1$ minus valoarea în $\displaystyle 0$ . Cum $\displaystyle \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4}$ și $\displaystyle \operatorname{arctg}0=0$ , obținem $\displaystyle 4\cdot\dfrac{\pi}{4}-4\cdot 0=\pi$ .
$\displaystyle 4\operatorname{arctg}1-4\operatorname{arctg}0=4\cdot\dfrac{\pi}{4}-0=\pi$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x^2+5}{x^2+1}

.

Arătați că orice primitivă

\displaystyle F

a funcției

\displaystyle f

este concavă pe

\displaystyle [0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Dacă $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$ pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , atunci $\displaystyle F$ este derivabilă și derivata ei este chiar $\displaystyle f$ . Deci $\displaystyle F'(x)=f(x)$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle F'(x)=f(x)=\dfrac{x^{2}+5}{x^{2}+1}\text{, }x\in\mathbb{R}$
Pentru a studia concavitatea, derivăm încă o dată: $\displaystyle F''(x)=f'(x)$ . Funcția $\displaystyle f$ este derivabilă, fiind o fracție de polinoame cu numitorul nenul.
$\displaystyle F''(x)=f'(x)$
Calculăm $\displaystyle f'(x)$ cu formula de derivare a câtului. Numărătorul este $\displaystyle 2x\left(x^{2}+1\right)-\left(x^{2}+5\right)\cdot 2x$ , iar numitorul este $\displaystyle \left(x^{2}+1\right)^{2}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x\left(x^{2}+1\right)-2x\left(x^{2}+5\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$
Simplificăm numărătorul: $\displaystyle 2x^{3}+2x-2x^{3}-10x=-8x$ .
$\displaystyle F''(x)=f'(x)=\dfrac{-8x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$
Pentru $\displaystyle x\in[0,+\infty)$ avem $\displaystyle -8x\le 0$ , iar numitorul $\displaystyle \left(x^{2}+1\right)^{2}$ este strict pozitiv. Deci fracția este negativă sau nulă, adică $\displaystyle F''(x)\le 0$ pe $\displaystyle [0,+\infty)$ . Prin urmare, orice primitivă $\displaystyle F$ a lui $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle [0,+\infty)$ .
$\displaystyle F''(x)=\dfrac{-8x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\le0\text{, pentru orice }x\in[0,+\infty)\text{, deci }F\text{ este concavă pe }[0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M3 tehnologic 2021, model, test de evaluare 12: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani