Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 2: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 11(11+1)−(11+3)=8\displaystyle \sqrt{11}\left(\sqrt{11}+1\right)-\left(\sqrt{11}+3\right)=8.
Vezi rezolvarea
  1. Distribuim 11\displaystyle \sqrt{11} în prima paranteză și eliminăm a doua paranteză, schimbând semnele termenilor din ea, pentru că în fața ei este minus.
    11⋅11+11⋅1−11−3\displaystyle \sqrt{11}\cdot\sqrt{11}+\sqrt{11}\cdot 1-\sqrt{11}-3
  2. Calculăm produsul 11⋅11=11\displaystyle \sqrt{11}\cdot\sqrt{11}=11, iar termenii +11\displaystyle +\sqrt{11} și −11\displaystyle -\sqrt{11} se reduc între ei.
    11⋅11+11−11−3=11−3\displaystyle \sqrt{11}\cdot\sqrt{11}+\sqrt{11}-\sqrt{11}-3=11-3
  3. Efectuăm scăderea 11−3=8\displaystyle 11-3=8 și obținem 8\displaystyle 8, deci egalitatea din enunț este adevărată.
    11−3=8\displaystyle 11-3=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−5x+6\displaystyle f(x)=x^2-5x+6. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f\displaystyle f cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele de intersecție ale graficului cu axa Ox\displaystyle Ox au ordonata zero, deci abscisele lor sunt soluțiile ecuației f(x)=0\displaystyle f(x)=0.
    f(x)=0⇔x2−5x+6=0\displaystyle f(x)=0\Leftrightarrow x^2-5x+6=0
  2. Calculăm discriminantul ecuației de gradul al doilea cu a=1\displaystyle a=1, b=−5\displaystyle b=-5, c=6\displaystyle c=6.
    Δ=(−5)2−4⋅1⋅6=25−24=1\displaystyle \Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1
  3. Aplicăm formula soluțiilor: x1,2=5±12\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2}.
    x1=5−12=2\displaystyle x_1=\dfrac{5-1}{2}=2,x2=5+12=3\displaystyle \quad x_2=\dfrac{5+1}{2}=3
  4. Abscisele punctelor de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox sunt 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3. Verificare: 22−5⋅2+6=0\displaystyle 2^2-5\cdot 2+6=0 și 32−5⋅3+6=0\displaystyle 3^2-5\cdot 3+6=0.
    x=2 și x=3\displaystyle x=2\text{ și }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+2=33\displaystyle \sqrt{x^2+2}=3\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Membrul drept 33\displaystyle 3\sqrt{3} este pozitiv, iar radicalul din stânga este definit pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece x2+2>0\displaystyle x^2+2>0. Ridicăm ecuația la pătrat: (x2+2)2=(33)2\displaystyle \left(\sqrt{x^2+2}\right)^2=\left(3\sqrt{3}\right)^2.
    x2+2=(33)2\displaystyle x^2+2=\left(3\sqrt{3}\right)^2
  2. Calculăm (33)2=32⋅3=9⋅3=27\displaystyle \left(3\sqrt{3}\right)^2=3^2\cdot 3=9\cdot 3=27. Obținem x2+2=27\displaystyle x^2+2=27, deci, trecând totul în membrul stâng, x2−25=0\displaystyle x^2-25=0.
    x2+2=27⇒x2−25=0\displaystyle x^2+2=27\Rightarrow x^2-25=0
  3. Descompunem x2−25=(x−5)(x+5)=0\displaystyle x^2-25=(x-5)(x+5)=0, deci x=5\displaystyle x=5 sau x=−5\displaystyle x=-5.
    x=−5 sau x=5\displaystyle x=-5\text{ sau }x=5
  4. Verificăm: pentru x=±5\displaystyle x=\pm 5 avem x2+2=27\displaystyle x^2+2=27, iar 27=33\displaystyle \sqrt{27}=3\sqrt{3}, deci egalitatea este adevărată. Ambele soluții convin.
    x=−5 sau x=5, care convin\displaystyle x=-5\text{ sau }x=5\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Se consideră patru puncte distincte, oricare trei dintre ele necoliniare. Calculați numărul dreptelor determinate de câte două dintre aceste puncte.
Vezi rezolvarea
  1. Două puncte distincte determină o singură dreaptă. Deoarece oricare trei puncte sunt necoliniare, două perechi diferite de puncte determină drepte diferite. Deci numărul dreptelor este egal cu numărul de submulțimi cu 2\displaystyle 2 elemente ale unei mulțimi cu 4\displaystyle 4 elemente, adică C42\displaystyle C_{4}^{2}.
    C42\displaystyle C_{4}^{2}
  2. Aplicăm formula combinărilor: Cnk=n!k! (n−k)!\displaystyle C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}, cu n=4\displaystyle n=4 și k=2\displaystyle k=2.
    C42=4!2! (4−2)!\displaystyle C_{4}^{2}=\dfrac{4!}{2!\,(4-2)!}
  3. Calculăm: 4!=24\displaystyle 4!=24, iar 2!⋅2!=4\displaystyle 2!\cdot 2!=4. Rezultă 244=6\displaystyle \dfrac{24}{4}=6. Deci se determină 6\displaystyle 6 drepte.
    4!2! (4−2)!=244=6\displaystyle \dfrac{4!}{2!\,(4-2)!}=\dfrac{24}{4}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(−1,2)\displaystyle M(-1,2) și N(2,1)\displaystyle N(2,1). Determinați coordonatele simetricului punctului M\displaystyle M față de punctul N\displaystyle N.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu P(a,b)\displaystyle P(a,b) simetricul punctului M\displaystyle M față de punctul N\displaystyle N. Atunci N\displaystyle N este mijlocul segmentului MP\displaystyle MP.
    N este mijlocul segmentului MP\displaystyle N\text{ este mijlocul segmentului }MP
  2. Scriem formulele mijlocului: xN=xM+xP2\displaystyle x_N=\dfrac{x_M+x_P}{2} și yN=yM+yP2\displaystyle y_N=\dfrac{y_M+y_P}{2}. Înlocuim M(−1,2)\displaystyle M(-1,2) și N(2,1)\displaystyle N(2,1).
    2=−1+a2 și 1=2+b2\displaystyle 2=\frac{-1+a}{2}\text{ și }1=\frac{2+b}{2}
  3. Din prima ecuație, înmulțind cu 2\displaystyle 2, obținem −1+a=4\displaystyle -1+a=4, deci a=5\displaystyle a=5.
    −1+a=4⇒a=5\displaystyle -1+a=4\Rightarrow a=5
  4. Din a doua ecuație, înmulțind cu 2\displaystyle 2, obținem 2+b=2\displaystyle 2+b=2, deci b=0\displaystyle b=0. Simetricul este punctul P(5,0)\displaystyle P(5,0).
    a=5 și b=0\displaystyle a=5\text{ și }b=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, cu AB=32\displaystyle AB=3\sqrt{2}, BC=9\displaystyle BC=9 și AC=35\displaystyle AC=3\sqrt{5}. Calculați măsura unghiului B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul ABC\displaystyle ABC pentru unghiul B\displaystyle B, care se află între laturile AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC, iar latura opusă este AC\displaystyle AC: AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡B\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B.
    AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡B\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B
  2. Exprimăm cos⁡B\displaystyle \cos B din relația de mai sus.
    cos⁡B=BC2+AB2−AC22⋅BC⋅AB\displaystyle \cos B=\frac{BC^{2}+AB^{2}-AC^{2}}{2\cdot BC\cdot AB}
  3. Calculăm pătratele laturilor: AB2=(32)2=18\displaystyle AB^{2}=(3\sqrt{2})^{2}=18, BC2=81\displaystyle BC^{2}=81, AC2=(35)2=45\displaystyle AC^{2}=(3\sqrt{5})^{2}=45.
    AB2=18\displaystyle AB^{2}=18, BC2=81\displaystyle \ BC^{2}=81, AC2=45\displaystyle \ AC^{2}=45
  4. Înlocuim în formulă: numărătorul este 81+18−45=54\displaystyle 81+18-45=54, iar numitorul este 2⋅9⋅32=542\displaystyle 2\cdot 9\cdot 3\sqrt{2}=54\sqrt{2}. Simplificăm fracția și raționalizăm.
    cos⁡B=81+18−452⋅9⋅32=54542=12=22\displaystyle \cos B=\frac{81+18-45}{2\cdot 9\cdot 3\sqrt{2}}=\frac{54}{54\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
  5. Unghiul B\displaystyle B are măsura între 0∘\displaystyle 0^\circ și 180∘\displaystyle 180^\circ, iar singurul unghi din acest interval cu cos⁡B=22\displaystyle \cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2} este cel de 45∘\displaystyle 45^\circ.
    cos⁡B=22, deci m(∠B)=45∘\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{, deci }m(\angle B)=45^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−10a8a−5a1+4a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-10a & 8a\\ -5a & 1+4a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=−5\displaystyle \det(A(1))=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a): 1−10⋅1=−9\displaystyle 1-10\cdot 1=-9, 8⋅1=8\displaystyle 8\cdot 1=8, −5⋅1=−5\displaystyle -5\cdot 1=-5, 1+4⋅1=5\displaystyle 1+4\cdot 1=5.
    A(1)=(−98−55)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}-9 & 8\\ -5 & 5\end{pmatrix}
  2. Determinantul de ordinul doi este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡A(1)=∣−98−55∣=(−9)⋅5−(−5)⋅8\displaystyle \det A(1)=\begin{vmatrix}-9 & 8\\ -5 & 5\end{vmatrix}=(-9)\cdot 5-(-5)\cdot 8.
    det⁡A(1)=(−9)⋅5−(−5)⋅8\displaystyle \det A(1)=(-9)\cdot 5-(-5)\cdot 8
  3. Calculăm produsele: (−9)⋅5=−45\displaystyle (-9)\cdot 5=-45, iar (−5)⋅8=−40\displaystyle (-5)\cdot 8=-40. Scăzând −40\displaystyle -40, adunăm 40\displaystyle 40, deci det⁡A(1)=−45+40=−5\displaystyle \det A(1)=-45+40=-5.
    −45+40=−5\displaystyle -45+40=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−10a8a−5a1+4a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-10a & 8a\\ -5a & 1+4a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(a)⋅A(b)=A(a+b−6ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(a+b-6ab), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(a)=(1−10a8a−5a1+4a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-10a & 8a\\ -5a & 1+4a\end{pmatrix} și A(b)=(1−10b8b−5b1+4b)\displaystyle A(b)=\begin{pmatrix}1-10b & 8b\\ -5b & 1+4b\end{pmatrix}. Elementul de pe linia i\displaystyle i, coloana j\displaystyle j a produsului se obține înmulțind linia i\displaystyle i din A(a)\displaystyle A(a) cu coloana j\displaystyle j din A(b)\displaystyle A(b).
    A(a)⋅A(b)=(1−10a8a−5a1+4a)⋅(1−10b8b−5b1+4b)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1-10a & 8a\\ -5a & 1+4a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1-10b & 8b\\ -5b & 1+4b\end{pmatrix}
  2. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este (1−10a)(1−10b)+8a⋅(−5b)\displaystyle (1-10a)(1-10b)+8a\cdot(-5b). Desfacem parantezele: 1−10b−10a+100ab−40ab\displaystyle 1-10b-10a+100ab-40ab.
    1−10b−10a+100ab−40ab=1−10a−10b+60ab\displaystyle 1-10b-10a+100ab-40ab=1-10a-10b+60ab
  3. Elementul de pe linia 1, coloana 2 este (1−10a)⋅8b+8a(1+4b)\displaystyle (1-10a)\cdot 8b+8a(1+4b). Desfacem parantezele: 8b−80ab+8a+32ab\displaystyle 8b-80ab+8a+32ab.
    8b−80ab+8a+32ab=8a+8b−48ab\displaystyle 8b-80ab+8a+32ab=8a+8b-48ab
  4. Elementul de pe linia 2, coloana 1 este −5a(1−10b)+(1+4a)(−5b)\displaystyle -5a(1-10b)+(1+4a)(-5b). Desfacem parantezele: −5a+50ab−5b−20ab\displaystyle -5a+50ab-5b-20ab.
    −5a+50ab−5b−20ab=−5a−5b+30ab\displaystyle -5a+50ab-5b-20ab=-5a-5b+30ab
  5. Elementul de pe linia 2, coloana 2 este −5a⋅8b+(1+4a)(1+4b)\displaystyle -5a\cdot 8b+(1+4a)(1+4b). Desfacem parantezele: −40ab+1+4a+4b+16ab\displaystyle -40ab+1+4a+4b+16ab. Adunăm cele patru elemente în matricea produs.
    A(a)⋅A(b)=(1−10b−10a+100ab−40ab8b−80ab+8a+32ab−5a+50ab−5b−20ab−40ab+1+4a+4b+16ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1-10b-10a+100ab-40ab & 8b-80ab+8a+32ab\\ -5a+50ab-5b-20ab & -40ab+1+4a+4b+16ab\end{pmatrix}
  6. Reducem termenii asemenea: 100ab−40ab=60ab\displaystyle 100ab-40ab=60ab, −80ab+32ab=−48ab\displaystyle -80ab+32ab=-48ab, 50ab−20ab=30ab\displaystyle 50ab-20ab=30ab, −40ab+16ab=−24ab\displaystyle -40ab+16ab=-24ab.
    A(a)⋅A(b)=(1−10a−10b+60ab8a+8b−48ab−5a−5b+30ab1+4a+4b−24ab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1-10a-10b+60ab & 8a+8b-48ab\\ -5a-5b+30ab & 1+4a+4b-24ab\end{pmatrix}
  7. Dăm factor comun în fiecare element, astfel încât să apară a+b−6ab\displaystyle a+b-6ab: 1−10a−10b+60ab=1−10(a+b−6ab)\displaystyle 1-10a-10b+60ab=1-10(a+b-6ab), 8a+8b−48ab=8(a+b−6ab)\displaystyle 8a+8b-48ab=8(a+b-6ab), −5a−5b+30ab=−5(a+b−6ab)\displaystyle -5a-5b+30ab=-5(a+b-6ab), 1+4a+4b−24ab=1+4(a+b−6ab)\displaystyle 1+4a+4b-24ab=1+4(a+b-6ab). Matricea obținută este A(a+b−6ab)\displaystyle A(a+b-6ab), deci egalitatea este adevărată pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    (1−10(a+b−6ab)8(a+b−6ab)−5(a+b−6ab)1+4(a+b−6ab))=A(a+b−6ab), pentru orice numere \displaystyle \begin{pmatrix}1-10(a+b-6ab) & 8(a+b-6ab)\\ -5(a+b-6ab) & 1+4(a+b-6ab)\end{pmatrix}=A(a+b-6ab)\text{, pentru orice numere }reale a și b\displaystyle \text{reale }a\text{ și }b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1−10a8a−5a1+4a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1-10a & 8a\\ -5a & 1+4a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele naturale m\displaystyle m și n\displaystyle n, pentru care A(m)⋅A(n)=A(6−5mn)\displaystyle A(m)\cdot A(n)=A(6-5mn).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem A(a)=I2+aB\displaystyle A(a)=I_2+aB, unde B=(−108−54)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-10 & 8\\ -5 & 4\end{pmatrix}. Calculăm B2=(60−4830−24)=−6B\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}60 & -48\\ 30 & -24\end{pmatrix}=-6B. Atunci A(m)⋅A(n)=I2+(m+n)B+mn B2=I2+(m+n−6mn)B\displaystyle A(m)\cdot A(n)=I_2+(m+n)B+mn\,B^2=I_2+(m+n-6mn)B.
    A(m)⋅A(n)=A(m+n−6mn)\displaystyle A(m)\cdot A(n)=A(m+n-6mn)
  2. Din A(m+n−6mn)=A(6−5mn)\displaystyle A(m+n-6mn)=A(6-5mn) rezultă, pentru că B≠O2\displaystyle B\neq O_2, egalitatea argumentelor: m+n−6mn=6−5mn\displaystyle m+n-6mn=6-5mn. Mutăm termenii într-o parte și obținem mn−m−n+6=0\displaystyle mn-m-n+6=0.
    mn−m−n+6=0\displaystyle mn-m-n+6=0
  3. Scriem ecuația ca mn−m−n+1=−5\displaystyle mn-m-n+1=-5. Cum mn−m−n+1=(m−1)(n−1)\displaystyle mn-m-n+1=(m-1)(n-1), obținem (m−1)(n−1)=−5\displaystyle (m-1)(n-1)=-5.
    (m−1)(n−1)=−5\displaystyle (m-1)(n-1)=-5
  4. Cum m,n∈N\displaystyle m,n\in\mathbb{N}, avem m−1≥−1\displaystyle m-1\ge -1 și n−1≥−1\displaystyle n-1\ge -1 întregi, cu produsul −5\displaystyle -5. Perechile (m−1,n−1)\displaystyle (m-1,n-1) posibile sunt (1,−5)\displaystyle (1,-5), (−5,1)\displaystyle (-5,1), (5,−1)\displaystyle (5,-1), (−1,5)\displaystyle (-1,5). Perechile cu factorul −5\displaystyle -5 dau m=−4\displaystyle m=-4 sau n=−4\displaystyle n=-4, care nu sunt naturale, deci se exclud. Rămân (5,−1)\displaystyle (5,-1) și (−1,5)\displaystyle (-1,5).
    (m−1,n−1)∈{(5,−1),(−1,5)}\displaystyle (m-1,n-1)\in\{(5,-1),(-1,5)\}
  5. Din (m−1,n−1)=(5,−1)\displaystyle (m-1,n-1)=(5,-1) obținem m=6\displaystyle m=6, n=0\displaystyle n=0. Din (m−1,n−1)=(−1,5)\displaystyle (m-1,n-1)=(-1,5) obținem m=0\displaystyle m=0, n=6\displaystyle n=6. Ambele perechi sunt formate din numere naturale.
    m=0\displaystyle m=0, n=6 sau m=6\displaystyle \ n=6\text{ sau }m=6, n=0\displaystyle \ n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12.

Arătați că 1∗3=3\displaystyle 1*3=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12 și înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3.
    1∗3=1⋅3−3⋅1−3⋅3+12\displaystyle 1*3=1\cdot 3-3\cdot 1-3\cdot 3+12
  2. Efectuăm înmulțirile: 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3, 3⋅1=3\displaystyle 3\cdot 1=3 și 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9.
    1∗3=3−3−9+12\displaystyle 1*3=3-3-9+12
  3. Calculăm suma: 3−3=0\displaystyle 3-3=0, apoi 0−9=−9\displaystyle 0-9=-9, iar −9+12=3\displaystyle -9+12=3. Am obținut astfel egalitatea cerută.
    3−3−9+12=3, deci 1∗3=3\displaystyle 3-3-9+12=3\text{, deci }1*3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12.

Demonstrați că x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, pentru x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R} oarecare: x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12.
    x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12
  2. Scriem 12=9+3\displaystyle 12=9+3, pentru a pregăti gruparea termenilor care formează produsul (x−3)(y−3)\displaystyle (x-3)(y-3).
    x∗y=xy−3x−3y+9+3\displaystyle x*y=xy-3x-3y+9+3
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x din xy−3x\displaystyle xy-3x și pe −3\displaystyle -3 din −3y+9\displaystyle -3y+9. Obținem în ambele cazuri factorul y−3\displaystyle y-3.
    x∗y=x(y−3)−3(y−3)+3\displaystyle x*y=x(y-3)-3(y-3)+3
  4. Dăm factor comun pe y−3\displaystyle y-3 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3, pentru orice numere \displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−3x−3y+12\displaystyle x*y=xy-3x-3y+12.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub formă factorizată. Observăm că xy−3x−3y+9=(x−3)(y−3)\displaystyle xy-3x-3y+9=(x-3)(y-3), deci x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3.
    x∗y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=(x-3)(y-3)+3
  2. Calculăm x∗x\displaystyle x*x, înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x în forma factorizată.
    x∗x=(x−3)2+3\displaystyle x*x=(x-3)^2+3
  3. Calculăm x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x*x*x=(x*x)*x. Avem (x∗x)−3=(x−3)2\displaystyle (x*x)-3=(x-3)^2, deci produsul cu (x−3)\displaystyle (x-3) dă (x−3)3\displaystyle (x-3)^3, apoi adunăm 3\displaystyle 3.
    x∗x∗x=(x−3)3+3\displaystyle x*x*x=(x-3)^3+3
  4. Punem condiția x∗x∗x=x\displaystyle x*x*x=x și obținem ecuația (x−3)3+3=x\displaystyle (x-3)^3+3=x.
    (x−3)3+3=x\displaystyle (x-3)^3+3=x
  5. Scriem x−3\displaystyle x-3 în dreapta, scăzând 3\displaystyle 3 din ambii membri: (x−3)3=x−3\displaystyle (x-3)^3=x-3.
    (x−3)3=x−3\displaystyle (x-3)^3=x-3
  6. Notăm t=x−3\displaystyle t=x-3. Ecuația devine t3−t=0\displaystyle t^3-t=0, adică t(t−1)(t+1)=0\displaystyle t(t-1)(t+1)=0.
    t(t−1)(t+1)=0\displaystyle t(t-1)(t+1)=0
  7. Soluțiile sunt t∈{−1,0,1}\displaystyle t\in\{-1,0,1\}. Revenind la x=t+3\displaystyle x=t+3, obținem x=2\displaystyle x=2, x=3\displaystyle x=3 sau x=4\displaystyle x=4.
    x=2\displaystyle x=2, x=3 sau x=4\displaystyle \ x=3\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5−5x+2020\displaystyle f(x)=x^5-5x+2020.

Arătați că f′(x)=5(x−1)(x+1)(x2+1)\displaystyle f'(x)=5(x-1)(x+1)(x^2+1), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=x5−5x+2020\displaystyle f(x)=x^5-5x+2020 termen cu termen: (x5)′=5x4\displaystyle (x^5)'=5x^4, (−5x)′=−5\displaystyle (-5x)'=-5, (2020)′=0\displaystyle (2020)'=0.
    f′(x)=5x4−5\displaystyle f'(x)=5x^{4}-5
  2. Dăm factor comun pe 5\displaystyle 5 în expresia derivatei: 5x4−5=5(x4−1)\displaystyle 5x^4-5=5\left(x^4-1\right).
    f′(x)=5(x4−1)\displaystyle f'(x)=5\left(x^{4}-1\right)
  3. Scriem x4=(x2)2\displaystyle x^4=\left(x^2\right)^2 și 1=12\displaystyle 1=1^2, apoi aplicăm formula a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b), cu a=x2\displaystyle a=x^2 și b=1\displaystyle b=1.
    x4−1=(x2−1)(x2+1)\displaystyle x^{4}-1=\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}+1\right)
  4. Factorul x2−1\displaystyle x^2-1 este tot o diferență de pătrate, deci x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1). Înlocuim în expresia derivatei și obținem forma cerută, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=5(x2−1)(x2+1)=5(x−1)(x+1)(x2+1)\displaystyle f'(x)=5\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}+1\right)=5(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5−5x+2020\displaystyle f(x)=x^5-5x+2020.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este concavă pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata întâi a funcției f\displaystyle f, derivând termen cu termen: (x5)′=5x4\displaystyle (x^{5})'=5x^{4}, (−5x)′=−5\displaystyle (-5x)'=-5, iar (2020)′=0\displaystyle (2020)'=0.
    f′(x)=5x4−5\displaystyle f'(x)=5x^{4}-5, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm încă o dată: (5x4)′=20x3\displaystyle (5x^{4})'=20x^{3}, iar (−5)′=0\displaystyle (-5)'=0.
    f′′(x)=20x3\displaystyle f''(x)=20x^{3}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Studiem semnul lui f′′(x)\displaystyle f''(x) pe intervalul (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0]. Dacă x≤0\displaystyle x\leq 0, atunci x3≤0\displaystyle x^{3}\leq 0, deoarece puterea impară păstrează semnul. Înmulțind cu 20>0\displaystyle 20>0, semnul rămâne același.
    x≤0⇒f′′(x)=20x3≤0\displaystyle x\leq 0\Rightarrow f''(x)=20x^{3}\leq 0
  4. Deoarece derivata a doua este negativă sau zero pe tot intervalul, funcția f\displaystyle f este concavă pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0].
    f′′(x)≤0 pentru orice x∈(−∞,0], deci funcția f este concava˘ pe (−∞,0]\displaystyle f''(x)\leq 0\text{ pentru orice }x\in(-\infty,0]\text{, deci funcția }f\text{ este concavă pe }(-\infty,0]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x5−5x+2020\displaystyle f(x)=x^5-5x+2020.

Demonstrați că ecuația f(x)=2025\displaystyle f(x)=2025 nu admite nicio soluție în intervalul [−1,1]\displaystyle [-1,1].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f: (x5)′=5x4\displaystyle (x^{5})'=5x^{4}, (−5x)′=−5\displaystyle (-5x)'=-5, iar constanta 2020\displaystyle 2020 are derivata 0\displaystyle 0.
    f′(x)=5x4−5=5(x4−1)\displaystyle f'(x)=5x^{4}-5=5\left(x^{4}-1\right)
  2. Pentru x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1] avem 0≤x4≤1\displaystyle 0\leq x^{4}\leq 1, deci x4−1≤0\displaystyle x^{4}-1\leq 0. Rezultă că f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0 pe tot intervalul.
    f′(x)=5(x4−1)≤0, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle f'(x)=5\left(x^{4}-1\right)\leq 0\text{, pentru orice }x\in[-1,1]
  3. Deoarece f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\leq 0 pe interval, funcția f\displaystyle f este descrescătoare pe [−1,1]\displaystyle [-1,1]. Atunci, pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1] avem x≥−1\displaystyle x\geq -1, deci f(x)≤f(−1)\displaystyle f(x)\leq f(-1).
    f descresca˘toare pe [−1,1]⇒f(x)≤f(−1), pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }[-1,1]\Rightarrow f(x)\leq f(-1)\text{, pentru orice }x\in[-1,1]
  4. Calculăm f(−1)\displaystyle f(-1): (−1)5=−1\displaystyle (-1)^{5}=-1, iar −5⋅(−1)=5\displaystyle -5\cdot(-1)=5, apoi adunăm 2020\displaystyle 2020.
    f(−1)=(−1)5−5⋅(−1)+2020=−1+5+2020=2024\displaystyle f(-1)=(-1)^{5}-5\cdot(-1)+2020=-1+5+2020=2024
  5. Așadar f(x)≤2024<2025\displaystyle f(x)\leq 2024<2025 pentru orice x∈[−1,1]\displaystyle x\in[-1,1]. Prin urmare ecuația f(x)=2025\displaystyle f(x)=2025 nu are nicio soluție în intervalul [−1,1]\displaystyle [-1,1].
    f(x)≤2024<2025, deci ecuația f(x)=2025 nu admite nicio soluție \displaystyle f(x)\leq 2024<2025\text{, deci ecuația }f(x)=2025\text{ nu admite nicio soluție }ıˆn [−1,1]\displaystyle \text{în }[-1,1]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x.

Arătați că orice primitivă F\displaystyle F a funcției f\displaystyle f este crescătoare pe [0,π]\displaystyle [0,\pi].
Vezi rezolvarea
  1. Reținem definiția primitivei: dacă F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R}, atunci F\displaystyle F este derivabilă și F′=f\displaystyle F'=f. Deci F′(x)=f(x)=sin⁡x\displaystyle F'(x)=f(x)=\sin x, pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    F′(x)=f(x)=sin⁡x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle F'(x)=f(x)=\sin x\text{, pentru orice număr real }x
  2. Studiem semnul lui sin⁡x\displaystyle \sin x pe intervalul [0,π]\displaystyle [0,\pi]. Pe acest interval, care corespunde primelor două cadrane ale cercului trigonometric, sinusul este mai mare sau egal cu zero (se anulează doar în 0\displaystyle 0 și în π\displaystyle \pi).
    sin⁡x≥0, pentru orice x∈[0,π]\displaystyle \sin x\geq 0\text{, pentru orice }x\in[0,\pi]
  3. Din F′(x)=sin⁡x\displaystyle F'(x)=\sin x și sin⁡x≥0\displaystyle \sin x\geq 0 pe [0,π]\displaystyle [0,\pi] rezultă F′(x)≥0\displaystyle F'(x)\geq 0 pe acest interval. O funcție cu derivata pozitivă sau nulă pe un interval este crescătoare pe acel interval. Deci orice primitivă F\displaystyle F a lui f\displaystyle f este crescătoare pe [0,π]\displaystyle [0,\pi].
    sin⁡x≥0, pentru orice x∈[0,π], obținem F′(x)≥0, deci orice primitiva˘ F a funcției f este cresca˘toare pe [0,π]\displaystyle \sin x\geq 0\text{, pentru orice }x\in[0,\pi]\text{, obținem }F'(x)\geq 0\text{, deci orice primitivă }F\text{ a funcției }f\text{ este crescătoare pe }[0,\pi]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x.

Calculați ∫π4π32f(x)f′(x) dx\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}2f(x)f'(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x, derivata este f′(x)=cos⁡x\displaystyle f'(x)=\cos x.
    f′(x)=cos⁡x\displaystyle f'(x)=\cos x
  2. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) și f′(x)\displaystyle f'(x) în integrală: ∫π4π32f(x)f′(x) dx=∫π4π32sin⁡xcos⁡x dx\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}2f(x)f'(x)\,dx=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}2\sin x\cos x\,dx.
    ∫π4π32sin⁡xcos⁡x dx\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}2\sin x\cos x\,dx
  3. Observăm că (sin⁡2x)′=2sin⁡xcos⁡x\displaystyle (\sin^2 x)'=2\sin x\cos x, deci sin⁡2x\displaystyle \sin^2 x este o primitivă a funcției de sub integrală. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫π4π32sin⁡xcos⁡x dx=sin⁡2x∣π4π3\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}2\sin x\cos x\,dx=\sin^2 x\Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}
  4. Calculăm valorile în capete: sin⁡π3=32\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, deci sin⁡2π3=34\displaystyle \sin^2\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3}{4}, iar sin⁡π4=22\displaystyle \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, deci sin⁡2π4=24\displaystyle \sin^2\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{2}{4}.
    sin⁡2π3=34\displaystyle \sin^2\frac{\pi}{3}=\frac{3}{4},sin⁡2π4=24\displaystyle \quad \sin^2\frac{\pi}{4}=\frac{2}{4}
  5. Scădem: sin⁡2π3−sin⁡2π4=34−24=14\displaystyle \sin^2\dfrac{\pi}{3}-\sin^2\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{4}.
    sin⁡2π3−sin⁡2π4=34−24=14\displaystyle \sin^2\frac{\pi}{3}-\sin^2\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x.

Arătați că ∫0π2xf(x) dx=1\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x f(x)\,dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Cum f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x, integrala devine I=∫0π2xsin⁡x dx\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\,dx.
    I=∫0π2xsin⁡x dx\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin x\,dx
  2. Observăm că (−cos⁡x)′=sin⁡x\displaystyle (-\cos x)'=\sin x, deci sin⁡x\displaystyle \sin x se scrie ca derivata lui −cos⁡x\displaystyle -\cos x.
    I=∫0π2x(−cos⁡x)′ dx\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x(-\cos x)'\,dx
  3. Aplicăm formula ∫abuv′ dx=uv∣ab−∫abu′v dx\displaystyle \int_a^b u v'\,dx=uv\Big|_a^b-\int_a^b u'v\,dx cu u=x\displaystyle u=x și v=−cos⁡x\displaystyle v=-\cos x. Avem u′=1\displaystyle u'=1, deci −∫u′v dx=+∫cos⁡x dx\displaystyle -\int u'v\,dx=+\int \cos x\,dx.
    I=−xcos⁡x∣0π2+∫0π2cos⁡x dx\displaystyle I=-x\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx
  4. Calculăm primul termen: −xcos⁡x∣0π2=−π2cos⁡π2−(−0⋅cos⁡0)\displaystyle -x\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=-\dfrac{\pi}{2}\cos\dfrac{\pi}{2}-\left(-0\cdot\cos 0\right). Cum cos⁡π2=0\displaystyle \cos\dfrac{\pi}{2}=0, termenul este 0\displaystyle 0.
    −xcos⁡x∣0π2=−π2⋅0−0=0\displaystyle -x\cos x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=-\frac{\pi}{2}\cdot 0-0=0
  5. O primitivă a lui cos⁡x\displaystyle \cos x este sin⁡x\displaystyle \sin x, deci ∫0π2cos⁡x dx=sin⁡x∣0π2=sin⁡π2−sin⁡0=1−0=1\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\sin\dfrac{\pi}{2}-\sin 0=1-0=1. Adunând cu primul termen, I=0+1=1\displaystyle I=0+1=1.
    I=0+sin⁡π2−sin⁡0=1\displaystyle I=0+\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.