Bac matematică M3 tehnologic 2021, model, test de evaluare 8: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 23⋅0,3+3,2:4=1\displaystyle \frac{2}{3}\cdot 0{,}3+3{,}2:4=1.
Vezi rezolvarea
  1. Transformăm numerele zecimale în fracții ordinare: 0,3=310\displaystyle 0{,}3=\dfrac{3}{10} și 3,2=3210\displaystyle 3{,}2=\dfrac{32}{10}. Împărțirea la 4\displaystyle 4 devine înmulțire cu inversul lui 4\displaystyle 4, adică cu 14\displaystyle \dfrac{1}{4}.
    23⋅310+3210⋅14\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{10}+\frac{32}{10}\cdot\frac{1}{4}
  2. Calculăm primul produs: simplificăm factorul 3\displaystyle 3 de la numărător și numitor, apoi simplificăm 2\displaystyle 2 cu 10\displaystyle 10.
    23⋅310=210=15\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}
  3. Calculăm al doilea produs: simplificăm 32\displaystyle 32 cu 4\displaystyle 4, obținând 8\displaystyle 8, apoi simplificăm 810\displaystyle \dfrac{8}{10}.
    3210⋅14=810=45\displaystyle \frac{32}{10}\cdot\frac{1}{4}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}
  4. Adunăm cele două fracții, care au același numitor: 15+45=55=1\displaystyle \dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{5}{5}=1, adică egalitatea cerută.
    15+45=1\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=6−4x\displaystyle f(x)=6-4x. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că punctul A(a,2a)\displaystyle A(a,2a) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(a,2a)\displaystyle A(a,2a) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(a)=2a\displaystyle f(a)=2a, adică ordonata punctului este valoarea funcției în abscisă.
    f(a)=2a\displaystyle f(a)=2a
  2. Din f(x)=6−4x\displaystyle f(x)=6-4x avem f(a)=6−4a\displaystyle f(a)=6-4a, deci condiția devine o ecuație în a\displaystyle a.
    6−4a=2a\displaystyle 6-4a=2a
  3. Adunăm 4a\displaystyle 4a la ambii membri ai ecuației și obținem 6=2a+4a\displaystyle 6=2a+4a, adică 6=6a\displaystyle 6=6a.
    6a=6\displaystyle 6a=6
  4. Împărțim ambii membri la 6\displaystyle 6 și obținem a=1\displaystyle a=1. Verificare: punctul este A(1,2)\displaystyle A(1,2) și f(1)=6−4=2\displaystyle f(1)=6-4=2, deci punctul aparține graficului.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−2x+16=4\displaystyle \sqrt{x^2-2x+16}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Membrul drept, 4\displaystyle 4, este pozitiv, deci putem ridica ecuația la pătrat. Obținem x2−2x+16=42=16\displaystyle x^2-2x+16=4^2=16.
    x2−2x+16=16\displaystyle x^2-2x+16=16
  2. Scădem 16\displaystyle 16 din ambii membri și obținem ecuația de gradul II x2−2x=0\displaystyle x^2-2x=0.
    x2−2x=0\displaystyle x^2-2x=0
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(x−2)=0\displaystyle x(x-2)=0. Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x−2=0\displaystyle x-2=0.
    x(x−2)=0⇒x=0 sau x=2\displaystyle x(x-2)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=2
  4. Verificăm soluțiile în ecuația inițială, deoarece ridicarea la pătrat poate introduce soluții false. Pentru x=0\displaystyle x=0 avem 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4, iar pentru x=2\displaystyle x=2 avem 4−4+16=16=4\displaystyle \sqrt{4-4+16}=\sqrt{16}=4. Ambele soluții convin.
    x=0 sau x=2, care convin\displaystyle x=0\text{ sau }x=2\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea A={1,2,3,…,9}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,9\}, acesta să verifice inegalitatea (n−2)(n−6)≥0\displaystyle (n-2)(n-6)\ge 0.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea A={1,2,3,…,9}\displaystyle A=\{1,2,3,\ldots,9\} are 9 elemente, deci numărul cazurilor posibile este 9\displaystyle 9.
    cazuri posibile=9\displaystyle \text{cazuri posibile}=9
  2. Rezolvăm inegalitatea (n−2)(n−6)≥0\displaystyle (n-2)(n-6)\ge 0. Rădăcinile sunt n=2\displaystyle n=2 și n=6\displaystyle n=6, iar expresia (o parabolă cu ramurile în sus) este pozitivă în afara intervalului dintre rădăcini, deci n≤2\displaystyle n\le 2 sau n≥6\displaystyle n\ge 6.
    n≤2 sau n≥6\displaystyle n\le 2\text{ sau }n\ge 6
  3. Din mulțimea A\displaystyle A alegem numerele cu n≤2\displaystyle n\le 2, adică 1,2\displaystyle 1,2, și numerele cu n≥6\displaystyle n\ge 6, adică 6,7,8,9\displaystyle 6,7,8,9. Obținem 6 cazuri favorabile.
    n∈{1,2,6,7,8,9}, deci 6 cazuri \displaystyle n\in\{1,2,6,7,8,9\}\text{, deci 6 cazuri }favorabile\displaystyle \text{favorabile}
  4. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=69\displaystyle p=\dfrac{6}{9}. Simplificăm fracția prin 3\displaystyle 3.
    p=69=23\displaystyle p=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−5,0)\displaystyle A(-5,0), B(−1,8)\displaystyle B(-1,8). Arătați că triunghiul OAM\displaystyle OAM este isoscel, știind că M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formulele pentru coordonatele mijlocului unui segment: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}, yM=yA+yB2\displaystyle \ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(−5,0)\displaystyle A(-5,0) și B(−1,8)\displaystyle B(-1,8): xM=−5+(−1)2=−3\displaystyle x_M=\dfrac{-5+(-1)}{2}=-3, iar yM=0+82=4\displaystyle y_M=\dfrac{0+8}{2}=4.
    M(−3,4)\displaystyle M(-3,4)
  3. Triunghiul OAM\displaystyle OAM este isoscel dacă două laturi ale lui sunt egale. Calculăm OA\displaystyle OA, cu O(0,0)\displaystyle O(0,0) și A(−5,0)\displaystyle A(-5,0): OA=(−5−0)2+(0−0)2=25=5\displaystyle OA=\sqrt{(-5-0)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{25}=5.
    OA=(−5)2+02=5\displaystyle OA=\sqrt{(-5)^{2}+0^{2}}=5
  4. Calculăm OM\displaystyle OM, cu O(0,0)\displaystyle O(0,0) și M(−3,4)\displaystyle M(-3,4): OM=(−3)2+42=9+16=25=5\displaystyle OM=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. Cum OA=OM=5\displaystyle OA=OM=5, triunghiul OAM\displaystyle OAM este isoscel, cu baza AM\displaystyle AM.
    OA=5\displaystyle OA=5, OM=5\displaystyle \ OM=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră pătratul ABCD\displaystyle ABCD astfel încât aria triunghiului ABC\displaystyle ABC este egală cu 2\displaystyle 2. Calculați perimetrul pătratului ABCD\displaystyle ABCD.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în B\displaystyle B, deoarece unghiul B\displaystyle B al pătratului este drept. În plus, AB=BC\displaystyle AB=BC, fiindcă sunt laturi ale pătratului. Notăm latura cu a\displaystyle a.
    AB=BC=a\displaystyle AB=BC=a
  2. Aria triunghiului dreptunghic este jumătate din produsul catetelor AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC. O egalăm cu 2\displaystyle 2.
    AB⋅BC2=2⇒a22=2\displaystyle \frac{AB\cdot BC}{2}=2\Rightarrow \frac{a^{2}}{2}=2
  3. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 și obținem a2=4\displaystyle a^{2}=4. Cum latura este pozitivă, rezultă a=2\displaystyle a=2.
    a2=4⇒AB=2\displaystyle a^{2}=4\Rightarrow AB=2
  4. Perimetrul pătratului este de patru ori latura: PABCD=4⋅AB=4⋅2\displaystyle P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot 2. Deci perimetrul este 8\displaystyle 8.
    PABCD=4AB=8\displaystyle P_{ABCD}=4AB=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−32−64)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3 & 2\\ -6 & 4\end{pmatrix} și B(x)=(x2−7x−4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & 2\\ -7 & x-4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=∣−32−64∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}-3 & 2\\ -6 & 4\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣−32−64∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}-3 & 2\\ -6 & 4\end{vmatrix}
  2. Aplicăm definiția determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, deci det⁡A=−3⋅4−2⋅(−6)\displaystyle \det A=-3\cdot 4-2\cdot(-6).
    det⁡A=−3⋅4−2⋅(−6)\displaystyle \det A=-3\cdot 4-2\cdot(-6)
  3. Calculăm produsele: −3⋅4=−12\displaystyle -3\cdot 4=-12 și 2⋅(−6)=−12\displaystyle 2\cdot(-6)=-12, deci scăderea lui −12\displaystyle -12 înseamnă adunarea lui 12\displaystyle 12. Obținem −12+12=0\displaystyle -12+12=0.
    det⁡A=−12+12=0\displaystyle \det A=-12+12=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−32−64)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3 & 2\\ -6 & 4\end{pmatrix} și B(x)=(x2−7x−4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & 2\\ -7 & x-4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care det⁡(B(x))+det⁡(B(7)−A)=0\displaystyle \det(B(x))+\det(B(7)-A)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei B(x)\displaystyle B(x) ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(B(x))=x(x−4)−2⋅(−7)\displaystyle \det(B(x))=x(x-4)-2\cdot(-7).
    det⁡(B(x))=x(x−4)+14\displaystyle \det(B(x))=x(x-4)+14
  2. Desfacem parantezele: x(x−4)+14=x2−4x+14\displaystyle x(x-4)+14=x^{2}-4x+14.
    det⁡(B(x))=x2−4x+14\displaystyle \det(B(x))=x^{2}-4x+14
  3. Înlocuim x=7\displaystyle x=7 în B(x)\displaystyle B(x) și obținem B(7)=(72−73)\displaystyle B(7)=\begin{pmatrix}7 & 2\\ -7 & 3\end{pmatrix}.
    B(7)=(72−73)\displaystyle B(7)=\begin{pmatrix}7 & 2\\ -7 & 3\end{pmatrix}
  4. Scădem element cu element: B(7)−A=(7−(−3)2−2−7−(−6)3−4)\displaystyle B(7)-A=\begin{pmatrix}7-(-3) & 2-2\\ -7-(-6) & 3-4\end{pmatrix}.
    B(7)−A=(100−1−1)\displaystyle B(7)-A=\begin{pmatrix}10 & 0\\ -1 & -1\end{pmatrix}
  5. Calculăm determinantul: det⁡(B(7)−A)=10⋅(−1)−0⋅(−1)\displaystyle \det(B(7)-A)=10\cdot(-1)-0\cdot(-1).
    det⁡(B(7)−A)=−10\displaystyle \det(B(7)-A)=-10
  6. Înlocuim în ecuația dată: x2−4x+14−10=0\displaystyle x^{2}-4x+14-10=0, adică x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0.
    x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0
  7. Ecuația se scrie (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0, deci x=2\displaystyle x=2.
    (x−2)2=0⇒x=2\displaystyle (x-2)^{2}=0\Rightarrow x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−32−64)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-3 & 2\\ -6 & 4\end{pmatrix} și B(x)=(x2−7x−4)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}x & 2\\ -7 & x-4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați matricea C∈M2(R)\displaystyle C\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) cu proprietatea că xA−A⋅B(x)=14C\displaystyle xA-A\cdot B(x)=14C, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm xA\displaystyle xA înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu x\displaystyle x.
    xA=(−3x2x−6x4x)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}-3x & 2x\\ -6x & 4x\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A⋅B(x)\displaystyle A\cdot B(x) element cu element, după regula linie ori coloană. Primul element: (−3)⋅x+2⋅(−7)=−3x−14\displaystyle (-3)\cdot x+2\cdot(-7)=-3x-14.
    (−3)⋅x+2⋅(−7)=−3x−14\displaystyle (-3)\cdot x+2\cdot(-7)=-3x-14
  3. Celelalte elemente. Linia 1, coloana 2: (−3)⋅2+2(x−4)=2x−14\displaystyle (-3)\cdot 2+2(x-4)=2x-14. Linia 2, coloana 1: (−6)⋅x+4⋅(−7)=−6x−28\displaystyle (-6)\cdot x+4\cdot(-7)=-6x-28. Linia 2, coloana 2: (−6)⋅2+4(x−4)=4x−28\displaystyle (-6)\cdot 2+4(x-4)=4x-28.
    A⋅B(x)=(−3x−142x−14−6x−284x−28)\displaystyle A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}-3x-14 & 2x-14\\ -6x-28 & 4x-28\end{pmatrix}
  4. Scădem cele două matrice element cu element. De exemplu, −3x−(−3x−14)=14\displaystyle -3x-(-3x-14)=14, iar 4x−(4x−28)=28\displaystyle 4x-(4x-28)=28; analog pentru celelalte elemente.
    xA−A⋅B(x)=(14142828)\displaystyle xA-A\cdot B(x)=\begin{pmatrix}14 & 14\\ 28 & 28\end{pmatrix}
  5. Egalăm cu 14C\displaystyle 14C și împărțim toate elementele la 14\displaystyle 14. Rezultatul nu depinde de x\displaystyle x, deci C\displaystyle C convine pentru orice x\displaystyle x real.
    (14142828)=14C⇒C=(1122)\displaystyle \begin{pmatrix}14 & 14\\ 28 & 28\end{pmatrix}=14C\Rightarrow C=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 2\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=6xy−6x−6y+7\displaystyle x*y=6xy-6x-6y+7.

Arătați că 1∗3=1\displaystyle 1*3=1.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=6xy−6x−6y+7\displaystyle x*y=6xy-6x-6y+7. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3.
    1∗3=6⋅1⋅3−6⋅1−6⋅3+7\displaystyle 1*3=6\cdot 1\cdot 3-6\cdot 1-6\cdot 3+7
  2. Calculăm produsele: 6⋅1⋅3=18\displaystyle 6\cdot 1\cdot 3=18, 6⋅1=6\displaystyle 6\cdot 1=6 și 6⋅3=18\displaystyle 6\cdot 3=18.
    1∗3=18−6−18+7\displaystyle 1*3=18-6-18+7
  3. Efectuăm adunările și scăderile: 18−6−18+7=1\displaystyle 18-6-18+7=1. Deci 1∗3=1\displaystyle 1*3=1.
    18−6−18+7=1⇒1∗3=1\displaystyle 18-6-18+7=1\Rightarrow 1*3=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=6xy−6x−6y+7\displaystyle x*y=6xy-6x-6y+7.

Demonstrați că e=76\displaystyle e=\frac{7}{6} este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim definiția elementului neutru: e\displaystyle e este element neutru dacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Trebuie să verificăm ambele egalități pentru e=76\displaystyle e=\dfrac{7}{6}.
    x∗76=76∗x=x\displaystyle x*\dfrac{7}{6}=\dfrac{7}{6}*x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Înlocuim y\displaystyle y cu 76\displaystyle \dfrac{7}{6} în definiția legii și calculăm x∗76\displaystyle x*\dfrac{7}{6}. Avem 6x⋅76=7x\displaystyle 6x\cdot\dfrac{7}{6}=7x și 6⋅76=7\displaystyle 6\cdot\dfrac{7}{6}=7.
    x∗76=6x⋅76−6x−6⋅76+7=7x−6x−7+7\displaystyle x*\dfrac{7}{6}=6x\cdot\dfrac{7}{6}-6x-6\cdot\dfrac{7}{6}+7=7x-6x-7+7
  3. Reducem termenii: 7x−6x=x\displaystyle 7x-6x=x, iar −7+7=0\displaystyle -7+7=0. Deci x∗76=x\displaystyle x*\dfrac{7}{6}=x.
    x∗76=x\displaystyle x*\dfrac{7}{6}=x
  4. Calculăm acum 76∗x\displaystyle \dfrac{7}{6}*x, înlocuind primul termen cu 76\displaystyle \dfrac{7}{6} în definiția legii. Avem 6⋅76⋅x=7x\displaystyle 6\cdot\dfrac{7}{6}\cdot x=7x și 6⋅76=7\displaystyle 6\cdot\dfrac{7}{6}=7.
    76∗x=6⋅76⋅x−6⋅76−6x+7=7x−7−6x+7\displaystyle \dfrac{7}{6}*x=6\cdot\dfrac{7}{6}\cdot x-6\cdot\dfrac{7}{6}-6x+7=7x-7-6x+7
  5. Reducem termenii: 7x−6x=x\displaystyle 7x-6x=x, iar −7+7=0\displaystyle -7+7=0. Deci 76∗x=x\displaystyle \dfrac{7}{6}*x=x. Cum x∗76=76∗x=x\displaystyle x*\dfrac{7}{6}=\dfrac{7}{6}*x=x pentru orice x\displaystyle x real, e=76\displaystyle e=\dfrac{7}{6} este elementul neutru al legii.
    76∗x=x∗76=x\displaystyle \dfrac{7}{6}*x=x*\dfrac{7}{6}=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=6xy−6x−6y+7\displaystyle x*y=6xy-6x-6y+7.

Determinați suma numerelor întregi m\displaystyle m care verifică inegalitatea m2∗(−m3)≥1\displaystyle \frac{m}{2}*\left(-\frac{m}{3}\right)\ge 1.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru x=m2\displaystyle x=\dfrac{m}{2} și y=−m3\displaystyle y=-\dfrac{m}{3}: m2∗(−m3)=6⋅m2⋅(−m3)−6⋅m2−6⋅(−m3)+7\displaystyle \dfrac{m}{2}*\left(-\dfrac{m}{3}\right)=6\cdot\dfrac{m}{2}\cdot\left(-\dfrac{m}{3}\right)-6\cdot\dfrac{m}{2}-6\cdot\left(-\dfrac{m}{3}\right)+7.
    6⋅m2⋅(−m3)−6⋅m2+6⋅m3+7\displaystyle 6\cdot\dfrac{m}{2}\cdot\left(-\dfrac{m}{3}\right)-6\cdot\dfrac{m}{2}+6\cdot\dfrac{m}{3}+7
  2. Calculăm termenii: 6⋅m2⋅(−m3)=−m2\displaystyle 6\cdot\dfrac{m}{2}\cdot\left(-\dfrac{m}{3}\right)=-m^{2}, −6⋅m2=−3m\displaystyle -6\cdot\dfrac{m}{2}=-3m, 6⋅m3=2m\displaystyle 6\cdot\dfrac{m}{3}=2m. Obținem −m2−3m+2m+7=−m2−m+7\displaystyle -m^{2}-3m+2m+7=-m^{2}-m+7.
    m2∗(−m3)=−m2−m+7\displaystyle \dfrac{m}{2}*\left(-\dfrac{m}{3}\right)=-m^{2}-m+7
  3. Inegalitatea devine −m2−m+7≥1\displaystyle -m^{2}-m+7\ge 1, adică −m2−m+6≥0\displaystyle -m^{2}-m+6\ge 0. Înmulțind cu −1\displaystyle -1 (se schimbă sensul): m2+m−6≤0\displaystyle m^{2}+m-6\le 0.
    m2+m−6≤0\displaystyle m^{2}+m-6\le 0
  4. Ecuația m2+m−6=0\displaystyle m^{2}+m-6=0 are Δ=1+24=25\displaystyle \Delta=1+24=25, deci m=−1±52\displaystyle m=\dfrac{-1\pm 5}{2}, adică m1=−3\displaystyle m_1=-3 și m2=2\displaystyle m_2=2. Cum coeficientul lui m2\displaystyle m^{2} este pozitiv, m2+m−6≤0\displaystyle m^{2}+m-6\le 0 pentru m\displaystyle m între rădăcini.
    m∈[−3,2]\displaystyle m\in[-3,2]
  5. Numerele întregi din interval sunt −3,−2,−1,0,1,2\displaystyle -3,-2,-1,0,1,2. Suma lor este −3+(−2)+(−1)+0+1+2=−3\displaystyle -3+(-2)+(-1)+0+1+2=-3.
    −3+(−2)+(−1)+0+1+2=−3\displaystyle -3+(-2)+(-1)+0+1+2=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x+4\displaystyle f(x)=x^3+\frac{3}{x}+4.

Arătați că f′(x)=3(x2−1)(x2+1)x2\displaystyle f'(x)=\frac{3(x^2-1)(x^2+1)}{x^2}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția cu exponenți: 3x=3x−1\displaystyle \dfrac{3}{x}=3x^{-1}, deci f(x)=x3+3x−1+4\displaystyle f(x)=x^{3}+3x^{-1}+4.
    f(x)=x3+3x−1+4\displaystyle f(x)=x^{3}+3x^{-1}+4
  2. Derivăm termen cu termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, (3x−1)′=−3x−2=−3x2\displaystyle (3x^{-1})'=-3x^{-2}=-\dfrac{3}{x^{2}} și (4)′=0\displaystyle (4)'=0.
    f′(x)=3x2−3x2+0\displaystyle f'(x)=3x^{2}-\frac{3}{x^{2}}+0
  3. Aducem la numitor comun x2\displaystyle x^{2}: 3x2=3x4x2\displaystyle 3x^{2}=\dfrac{3x^{4}}{x^{2}}, deci f′(x)=3x4−3x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^{4}-3}{x^{2}}.
    f′(x)=3x4−3x2=3(x4−1)x2\displaystyle f'(x)=\frac{3x^{4}-3}{x^{2}}=\frac{3(x^{4}-1)}{x^{2}}
  4. Descompunem diferența de pătrate: x4−1=(x2)2−12=(x2−1)(x2+1)\displaystyle x^{4}-1=(x^{2})^{2}-1^{2}=(x^{2}-1)(x^{2}+1). Obținem forma cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=3(x2−1)(x2+1)x2\displaystyle f'(x)=\frac{3(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{x^{2}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x+4\displaystyle f(x)=x^3+\frac{3}{x}+4. Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Derivata lui x3\displaystyle x^{3} este 3x2\displaystyle 3x^{2}, derivata lui 3x\displaystyle \dfrac{3}{x} este −3x2\displaystyle -\dfrac{3}{x^{2}}, iar derivata constantei 4\displaystyle 4 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=3x2−3x2\displaystyle f'(x)=3x^{2}-\dfrac{3}{x^{2}}
  2. Aducem derivata la același numitor, apoi dăm factor comun pe 3\displaystyle 3 la numărător și descompunem diferența de pătrate.
    f′(x)=3x4−3x2=3(x2−1)(x2+1)x2=3(x−1)(x+1)(x2+1)x2\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^{4}-3}{x^{2}}=\dfrac{3(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{x^{2}}=\dfrac{3(x-1)(x+1)(x^{2}+1)}{x^{2}}
  3. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Fracția este zero când numărătorul este zero. Factorii x+1\displaystyle x+1 și x2+1\displaystyle x^{2}+1 sunt strict pozitivi pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci rămâne doar x−1=0\displaystyle x-1=0.
    f′(x)=0⇔x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1
  4. Studiem semnul derivatei. Numitorul și factorii x+1\displaystyle x+1 și x2+1\displaystyle x^{2}+1 sunt pozitivi, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este dat de semnul lui x−1\displaystyle x-1. Pe (0,1]\displaystyle (0,1] avem x−1≤0\displaystyle x-1\le 0, iar pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty) avem x−1≥0\displaystyle x-1\ge 0.
    f′(x){≤0,x∈(0,1]≥0,x∈[1,+∞)\displaystyle f'(x)\begin{cases}\le 0,& x\in(0,1]\\ \ge 0,& x\in[1,+\infty)\end{cases}
  5. Concluzie: unde derivata este negativă funcția este descrescătoare, iar unde este pozitivă funcția este crescătoare.
    f este descresca˘toare pe (0,1] și cresca˘toare pe [1,+∞)\displaystyle f\text{ este descrescătoare pe }(0,1]\text{ și crescătoare pe }[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x3+3x+4\displaystyle f(x)=x^3+\frac{3}{x}+4. Arătați că funcția f\displaystyle f este convexă.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem funcția folosind puteri: 3x=3x−1\displaystyle \dfrac{3}{x}=3x^{-1}, deci f(x)=x3+3x−1+4\displaystyle f(x)=x^{3}+3x^{-1}+4.
    f(x)=x3+3x−1+4\displaystyle f(x)=x^{3}+3x^{-1}+4
  2. Calculăm derivata întâi, termen cu termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, (3x−1)′=−3x−2\displaystyle (3x^{-1})'=-3x^{-2}, iar (4)′=0\displaystyle (4)'=0.
    f′(x)=3x2−3x2\displaystyle f'(x)=3x^{2}-\dfrac{3}{x^{2}}
  3. Derivăm încă o dată: (3x2)′=6x\displaystyle (3x^{2})'=6x și (−3x−2)′=6x−3=6x3\displaystyle \left(-3x^{-2}\right)'=6x^{-3}=\dfrac{6}{x^{3}}. Deci derivata a doua pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) este:
    f′′(x)=6x+6x3\displaystyle f''(x)=6x+\dfrac{6}{x^{3}}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  4. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f''. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem 6x>0\displaystyle 6x>0 și x3>0\displaystyle x^{3}>0, deci 6x3>0\displaystyle \dfrac{6}{x^{3}}>0. Suma a doi termeni pozitivi este pozitivă.
    6x>0\displaystyle 6x>0, 6x3>0⇒f′′(x)>0\displaystyle \ \dfrac{6}{x^{3}}>0\Rightarrow f''(x)>0
  5. Deoarece f′′(x)≥0\displaystyle f''(x)\ge 0 pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty), funcția f\displaystyle f este convexă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′′(x)≥0\displaystyle f''(x)\ge 0, x∈(0,+∞), deci f este convexa˘\displaystyle \ x\in(0,+\infty)\text{, deci }f\text{ este convexă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2xx+1\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x+1}.

Arătați că ∫02(x+1)f(x) dx=4\displaystyle \int_0^2 (x+1)f(x)\,dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2xx+1\displaystyle f(x)=\dfrac{2x}{x+1} în integrală: (x+1)f(x)=(x+1)⋅2xx+1\displaystyle (x+1)f(x)=(x+1)\cdot\dfrac{2x}{x+1}.
    (x+1)f(x)=(x+1)⋅2xx+1\displaystyle (x+1)f(x)=(x+1)\cdot\dfrac{2x}{x+1}
  2. Pe intervalul [0,2]\displaystyle [0,2] avem x+1≠0\displaystyle x+1\neq 0, deci simplificăm factorul x+1\displaystyle x+1. Rămâne (x+1)f(x)=2x\displaystyle (x+1)f(x)=2x.
    ∫02(x+1)f(x) dx=∫022x dx\displaystyle \int_0^2 (x+1)f(x)\,dx=\int_0^2 2x\,dx
  3. O primitivă a funcției 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, deci integrala devine x2∣02\displaystyle x^{2}\Big|_0^2.
    ∫022x dx=x2∣02\displaystyle \int_0^2 2x\,dx=x^{2}\Big|_0^2
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: x2∣02=22−02=4−0=4\displaystyle x^{2}\Big|_0^2=2^{2}-0^{2}=4-0=4.
    4−0=4\displaystyle 4-0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2xx+1\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x+1}.

Calculați ∫13f(x)x dx\displaystyle \int_1^3 \frac{f(x)}{x}\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2xx+1\displaystyle f(x)=\dfrac{2x}{x+1} în integrală: f(x)x=2xx(x+1)\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{2x}{x(x+1)}.
    f(x)x=2xx(x+1)\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{2x}{x(x+1)}
  2. Pe [1,3]\displaystyle [1,3] avem x≠0\displaystyle x\neq 0, deci simplificăm prin x\displaystyle x și obținem f(x)x=2x+1\displaystyle \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{2}{x+1}. Integrala devine ∫132x+1 dx\displaystyle \displaystyle\int_1^3\dfrac{2}{x+1}\,dx.
    ∫132x+1 dx\displaystyle \int_1^3\frac{2}{x+1}\,dx
  3. Scoatem constanta în fața integralei. Cum (x+1)′=1\displaystyle (x+1)'=1, avem ∫132x+1 dx=2∫13(x+1)′x+1 dx\displaystyle \displaystyle\int_1^3\dfrac{2}{x+1}\,dx=2\int_1^3\dfrac{(x+1)'}{x+1}\,dx. O primitivă este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 pe [1,3]\displaystyle [1,3].
    2∫13(x+1)′x+1 dx=2ln⁡(x+1)∣13\displaystyle 2\int_1^3\frac{(x+1)'}{x+1}\,dx=2\ln(x+1)\Big|_1^3
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 2ln⁡(3+1)−2ln⁡(1+1)=2ln⁡4−2ln⁡2\displaystyle 2\ln(3+1)-2\ln(1+1)=2\ln 4-2\ln 2.
    2ln⁡4−2ln⁡2\displaystyle 2\ln 4-2\ln 2
  5. Cum ln⁡4=ln⁡22=2ln⁡2\displaystyle \ln 4=\ln 2^{2}=2\ln 2, obținem 2⋅2ln⁡2−2ln⁡2=4ln⁡2−2ln⁡2=2ln⁡2\displaystyle 2\cdot 2\ln 2-2\ln 2=4\ln 2-2\ln 2=2\ln 2. Același rezultat rezultă din 2(ln⁡4−ln⁡2)=2ln⁡42=2ln⁡2\displaystyle 2(\ln 4-\ln 2)=2\ln\dfrac{4}{2}=2\ln 2.
    2ln⁡2\displaystyle 2\ln 2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2xx+1\displaystyle f(x)=\frac{2x}{x+1}.

Arătați că ∫−1212f(x)⋅f(−x) dx=4(1−ln⁡3)\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} f(x)\cdot f(-x)\,dx=4(1-\ln 3).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(−x)\displaystyle f(-x). Pentru x∈[−12,12]\displaystyle x\in\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right], atât x\displaystyle x cât și −x\displaystyle -x aparțin domeniului (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty). Avem f(−x)=2⋅(−x)−x+1=−2x1−x\displaystyle f(-x)=\dfrac{2\cdot(-x)}{-x+1}=\dfrac{-2x}{1-x}.
    f(−x)=−2x1−x\displaystyle f(-x)=\frac{-2x}{1-x}
  2. Scriem produsul f(x)⋅f(−x)\displaystyle f(x)\cdot f(-x) ca fracție și folosim (1+x)(1−x)=1−x2\displaystyle (1+x)(1-x)=1-x^{2}. Obținem f(x)⋅f(−x)=2xx+1⋅−2x1−x=−4x21−x2=4x2x2−1\displaystyle f(x)\cdot f(-x)=\dfrac{2x}{x+1}\cdot\dfrac{-2x}{1-x}=\dfrac{-4x^{2}}{1-x^{2}}=\dfrac{4x^{2}}{x^{2}-1}.
    f(x)⋅f(−x)=4x2x2−1\displaystyle f(x)\cdot f(-x)=\frac{4x^{2}}{x^{2}-1}
  3. Separăm partea întreagă: adunăm și scădem 1\displaystyle 1 la numărător, apoi simplificăm. Scoatem constanta 4\displaystyle 4 în fața integralei.
    ∫−12124x2x2−1 dx=4∫−1212x2−1+1x2−1 dx=4∫−1212(1+1x2−1)dx\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{4x^2}{x^2-1}\,dx=4\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\frac{x^2-1+1}{x^2-1}\,dx=4\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(1+\frac{1}{x^2-1}\right)dx
  4. Aflăm primitiva. Primitiva lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Pentru 1x2−1\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}-1} folosim formula pentru 1x2−a2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}-a^{2}} cu a=1\displaystyle a=1: primitiva este 12ln⁡∣x−1x+1∣\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|. Pe intervalul [−12,12]\displaystyle \left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right] avem ∣x∣<1\displaystyle |x|<1, deci ∣x−1x+1∣=1−x1+x\displaystyle \left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|=\dfrac{1-x}{1+x}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    4(x+12ln⁡1−x1+x)∣−1212\displaystyle 4\left(x+\frac{1}{2}\ln\frac{1-x}{1+x}\right)\Big|_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}
  5. Calculăm valoarea în x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}: 1−121+12=13\displaystyle \dfrac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{3}. Calculăm valoarea în x=−12\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}: 1+121−12=3\displaystyle \dfrac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3. Apoi facem diferența.
    4[(12+12ln⁡13)−(−12+12ln⁡3)]=4(12+12ln⁡13+12−12ln⁡3)\displaystyle 4\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln 3\right)\right]=4\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 3\right)
  6. Folosim ln⁡13=−ln⁡3\displaystyle \ln\dfrac{1}{3}=-\ln 3. Atunci 12ln⁡13−12ln⁡3=−ln⁡3\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\ln 3=-\ln 3, iar 12+12=1\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1. Rezultă că integrala este egală cu 4(1−ln⁡3)\displaystyle 4(1-\ln 3), ceea ce trebuia arătat.
    4(1−ln⁡3)\displaystyle 4(1-\ln 3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M3 tehnologic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.