Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 1: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 3\left(2-\sqrt{20}\right)+\sqrt{180}=6

.

Vezi rezolvarea

Scriem pe $\displaystyle 20$ ca produs între un pătrat perfect și un număr: $\displaystyle 20=4\cdot 5$ . Scoatem factorul de sub radical: $\displaystyle \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$ .
$\displaystyle \sqrt{20}=2\sqrt{5}$
La fel, $\displaystyle 180=36\cdot 5$ , deci $\displaystyle \sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}$ .
$\displaystyle \sqrt{180}=6\sqrt{5}$
Înlocuim radicalii simplificați în expresia din enunț: $\displaystyle 3\left(2-\sqrt{20}\right)+\sqrt{180}=3\left(2-2\sqrt{5}\right)+6\sqrt{5}$ .
$\displaystyle 3\left(2-2\sqrt{5}\right)+6\sqrt{5}$
Înmulțim pe $\displaystyle 3$ cu fiecare termen din paranteză: $\displaystyle 3\cdot 2=6$ , iar $\displaystyle 3\cdot 2\sqrt{5}=6\sqrt{5}$ . Obținem $\displaystyle 6-6\sqrt{5}+6\sqrt{5}$ .
$\displaystyle 6-6\sqrt{5}+6\sqrt{5}$
Termenii $\displaystyle -6\sqrt{5}$ și $\displaystyle 6\sqrt{5}$ sunt opuși, deci se reduc. Rămâne $\displaystyle 6$ , adică exact valoarea cerută.
$\displaystyle 6-6\sqrt{5}+6\sqrt{5}=6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=3x-1

. Calculați

\displaystyle (f\circ f)(1)

.

Vezi rezolvarea

Compunerea $\displaystyle f\circ f$ aplicată în $\displaystyle 1$ înseamnă $\displaystyle (f\circ f)(1)=f(f(1))$ . Calculăm mai întâi $\displaystyle f(1)$ , înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 1$ în formula funcției.
$\displaystyle f(1)=3\cdot 1-1=2$
Aplicăm funcția $\displaystyle f$ rezultatului obținut, adică lui $\displaystyle 2$ : $\displaystyle (f\circ f)(1)=f(2)=3\cdot 2-1$ . Obținem răspunsul final.
$\displaystyle (f\circ f)(1)=f(2)=3\cdot 2-1=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle \lg(5x-1)=\lg 2+\lg 7

.

Vezi rezolvarea

Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci $\displaystyle 5x-1>0$ , adică $\displaystyle x>\dfrac{1}{5}$ .
$\displaystyle x>\dfrac{1}{5}$
Transformăm suma logaritmilor din membrul drept într-un singur logaritm, folosind formula $\displaystyle \lg a+\lg b=\lg(a\cdot b)$ : $\displaystyle \lg 2+\lg 7=\lg 14$ .
$\displaystyle \lg 2+\lg 7=\lg 14$
Ecuația devine $\displaystyle \lg(5x-1)=\lg 14$ . Funcția logaritm este injectivă, deci egalăm argumentele: $\displaystyle 5x-1=14$ .
$\displaystyle \lg(5x-1)=\lg 14\Rightarrow 5x-1=14$
Rezolvăm ecuația de gradul întâi: $\displaystyle 5x=15$ , deci $\displaystyle x=3$ .
$\displaystyle 5x=15\Rightarrow x=3$
Verificăm condiția de existență: $\displaystyle 3>\dfrac{1}{5}$ (pentru $\displaystyle x=3$ avem $\displaystyle 5x-1=14>0$ ), deci soluția convine.
$\displaystyle x=3\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

După o scumpire cu

\displaystyle 30\%

un obiect costă

\displaystyle 5200

de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle x$ prețul inițial al obiectului, în lei. Scumpirea cu $\displaystyle 30\%$ înseamnă că prețul crește cu $\displaystyle \dfrac{30}{100}\cdot x$ .
$\displaystyle \text{scumpirea}=\frac{30}{100}\cdot x$
Prețul după scumpire este prețul inițial plus scumpirea și este egal cu $\displaystyle 5200$ de lei. Scriem ecuația: $\displaystyle x+\dfrac{30}{100}\cdot x=5200$ .
$\displaystyle x+\frac{30}{100}\cdot x=5200$
Dăm factor comun pe $\displaystyle x$ și calculăm suma din paranteză: $\displaystyle x\left(1+\dfrac{30}{100}\right)=5200$ , adică $\displaystyle \dfrac{130}{100}\cdot x=5200$ .
$\displaystyle \frac{130}{100}\cdot x=5200$
Înmulțim ecuația cu $\displaystyle \dfrac{100}{130}$ și obținem $\displaystyle x=5200\cdot\dfrac{100}{130}=40\cdot 100$ , deoarece $\displaystyle 5200:130=40$ .
$\displaystyle x=5200\cdot\frac{100}{130}=4000$
Verificare: $\displaystyle 30\%$ din $\displaystyle 4000$ este $\displaystyle 1200$ , iar $\displaystyle 4000+1200=5200$ . Prețul inițial este $\displaystyle 4000$ de lei.
$\displaystyle x=4000\text{ de lei}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(0,3)

,

\displaystyle B(4,8)

și

\displaystyle C(4,0)

. Calculați distanța de la punctul

\displaystyle B

la dreapta

\displaystyle AC

.

Vezi rezolvarea

Punctele $\displaystyle B(4,8)$ și $\displaystyle C(4,0)$ au aceeași abscisă, deci $\displaystyle BC$ este verticală, cu ecuația $\displaystyle x=4$ . Lungimea ei este diferența ordonatelor.
$\displaystyle BC=8-0=8$
Distanța de la $\displaystyle A(0,3)$ la dreapta $\displaystyle BC$ , adică $\displaystyle x=4$ , este diferența absciselor.
$\displaystyle d(A,BC)=4-0=4$
Aria triunghiului $\displaystyle ABC$ , cu baza $\displaystyle BC$ și înălțimea $\displaystyle d(A,BC)$ , este:
$\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{d(A,BC)\cdot BC}{2}=\frac{4\cdot 8}{2}=16$
Calculăm $\displaystyle AC$ cu formula distanței dintre două puncte, pentru $\displaystyle A(0,3)$ și $\displaystyle C(4,0)$ .
$\displaystyle AC=\sqrt{(4-0)^{2}+(0-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=5$
Aceeași arie, cu baza $\displaystyle AC$ și înălțimea $\displaystyle d(B,AC)$ , este $\displaystyle \dfrac{AC\cdot d(B,AC)}{2}$ . Egalăm cu $\displaystyle 16$ și aflăm distanța.
$\displaystyle \frac{5\cdot d(B,AC)}{2}=16\Rightarrow d(B,AC)=\frac{32}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \frac{2\cos 30^\circ}{2\,\mathrm{tg}\,45^\circ+1}=\mathrm{tg}\,30^\circ

.

Vezi rezolvarea

Reținem valorile unghiurilor remarcabile: $\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \mathrm{tg}\,45^\circ=1$ și $\displaystyle \mathrm{tg}\,30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .
$\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \ \mathrm{tg}\,45^\circ=1$ , $\displaystyle \ \mathrm{tg}\,30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
Înlocuim valoarea cosinusului în numărător: $\displaystyle 2\cos 30^\circ=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ .
$\displaystyle 2\cos 30^\circ=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
Înlocuim în numitor: $\displaystyle 2\,\mathrm{tg}\,45^\circ+1=2\cdot 1+1=3$ .
$\displaystyle 2\,\mathrm{tg}\,45^\circ+1=2\cdot 1+1=3$
Împărțim numărătorul la numitor: $\displaystyle \dfrac{2\cos 30^\circ}{2\,\mathrm{tg}\,45^\circ+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , iar aceasta este chiar $\displaystyle \mathrm{tg}\,30^\circ$ . Egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle \dfrac{2\cos 30^\circ}{2\,\mathrm{tg}\,45^\circ+1}=\dfrac{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\cdot 1+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\mathrm{tg}\,30^\circ$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1 & 2a+1\\ a & 2a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(10))=10

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=10$ în matricea $\displaystyle A(a)$ : pe primul rând avem $\displaystyle a+1=11$ și $\displaystyle 2a+1=21$ , iar pe al doilea rând avem $\displaystyle a=10$ și $\displaystyle 2a=20$ .
$\displaystyle A(10)=\begin{pmatrix}11 & 21\\ 10 & 20\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul de ordin doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică $\displaystyle 11\cdot 20-21\cdot 10$ .
$\displaystyle \det(A(10))=\begin{vmatrix}11 & 21\\ 10 & 20\end{vmatrix}=11\cdot 20-21\cdot 10$
Efectuăm înmulțirile: $\displaystyle 11\cdot 20=220$ , iar $\displaystyle 21\cdot 10=210$ . Scădem și obținem $\displaystyle 220-210=10$ , deci $\displaystyle \det(A(10))=10$ .
$\displaystyle 220-210=10$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1 & 2a+1\\ a & 2a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle (A(a)-A(b))(A(a)-A(b))=3(a-b)(A(a)-A(b))

, pentru orice numere reale

\displaystyle a

și

\displaystyle b

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele $\displaystyle A(a)$ și $\displaystyle A(b)$ și le scădem element cu element: $\displaystyle A(a)-A(b)=\begin{pmatrix}a+1-(b+1) & 2a+1-(2b+1)\\ a-b & 2a-2b\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(a)-A(b)=\begin{pmatrix}a-b & 2a-2b\\ a-b & 2a-2b\end{pmatrix}$
Scoatem factorul $\displaystyle a-b$ din toate elementele matricei, deoarece $\displaystyle 2a-2b=2(a-b)$ .
$\displaystyle A(a)-A(b)=\begin{pmatrix}a-b & 2(a-b)\\ a-b & 2(a-b)\end{pmatrix}=(a-b)\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}$
Notăm $\displaystyle B=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}$ . Atunci $\displaystyle (A(a)-A(b))(A(a)-A(b))=(a-b)B\cdot(a-b)B=(a-b)^2B^2$ .
$\displaystyle (A(a)-A(b))(A(a)-A(b))=(a-b)^2B^2$
Calculăm $\displaystyle B^2$ , înmulțind linie cu coloană: $\displaystyle 1\cdot1+2\cdot1=3$ , $\displaystyle 1\cdot2+2\cdot2=6$ , iar a doua linie este identică cu prima.
$\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 6\\ 3 & 6\end{pmatrix}$
Observăm că $\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 6\\ 3 & 6\end{pmatrix}=3B$ . Deci $\displaystyle (A(a)-A(b))^2=3(a-b)^2B=3(a-b)\cdot(a-b)B=3(a-b)(A(a)-A(b))$ , pentru orice $\displaystyle a,b$ reale.
$\displaystyle (A(a)-A(b))(A(a)-A(b))=(a-b)^2\begin{pmatrix}3 & 6\\ 3 & 6\end{pmatrix}=3(a-b)^2\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}=3(a-b)(A(a)-A(b))$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a+1 & 2a+1\\ a & 2a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul natural

\displaystyle n

pentru care

\displaystyle \det(A(2))+\det(A(3))+\cdots+\det(A(n))=35

.

Vezi rezolvarea

Calculăm determinantul matricei $\displaystyle A(a)$ pentru un $\displaystyle a$ real: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală.
$\displaystyle \det(A(a))=(a+1)\cdot 2a-a(2a+1)$
Desfacem parantezele: $\displaystyle 2a^{2}+2a-2a^{2}-a$ . Termenii $\displaystyle 2a^{2}$ se reduc și rămâne $\displaystyle a$ . Deci $\displaystyle \det(A(k))=k$ pentru orice $\displaystyle k$ .
$\displaystyle \det(A(a))=2a^{2}+2a-2a^{2}-a=a$
Suma din enunț devine $\displaystyle 2+3+\cdots+n$ . Adăugăm și scădem $\displaystyle 1$ , ca să folosim suma primelor $\displaystyle n$ numere naturale nenule: $\displaystyle 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ .
$\displaystyle \det(A(2))+\cdots+\det(A(n))=2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}-1$
Egalăm suma cu $\displaystyle 35$ : $\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2}-1=35$ . Adunăm $\displaystyle 1$ la ambii membri și obținem $\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2}=36$ , apoi înmulțim cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle n(n+1)=72$
Aducem ecuația la forma $\displaystyle n^{2}+n-72=0$ . Discriminantul este $\displaystyle \Delta=1+288=289$ , cu $\displaystyle \sqrt{\Delta}=17$ , deci $\displaystyle n=\dfrac{-1\pm 17}{2}$ , adică $\displaystyle n=8$ sau $\displaystyle n=-9$ . Fiind număr natural, $\displaystyle n$ nu poate fi negativ, deci $\displaystyle n=8$ . Verificare: $\displaystyle 8\cdot 9=72$ .
$\displaystyle n=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=\left[\sqrt{2},+\infty\right)

se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru

\displaystyle x*y=\sqrt{\left(x^2-2\right)\left(y^2-2\right)+2}

.

Arătați că

\displaystyle 4*\sqrt{3}=4

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția legii pentru $\displaystyle x=4$ și $\displaystyle y=\sqrt{3}$ : $\displaystyle x*y=\sqrt{\left(x^2-2\right)\left(y^2-2\right)+2}$ .
$\displaystyle 4*\sqrt{3}=\sqrt{\left(4^2-2\right)\left(\left(\sqrt{3}\right)^2-2\right)+2}$
Avem $\displaystyle \left(\sqrt{3}\right)^2=3$ , deci $\displaystyle \left(\sqrt{3}\right)^2-2=3-2=1$ .
$\displaystyle 4*\sqrt{3}=\sqrt{\left(4^2-2\right)\cdot 1+2}=\sqrt{4^2-2+2}$
Reducem $\displaystyle -2+2=0$ , rămâne $\displaystyle \sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4$ . Deci $\displaystyle 4*\sqrt{3}=4$ .
$\displaystyle \sqrt{16}=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=\left[\sqrt{2},+\infty\right)

se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru

\displaystyle x*y=\sqrt{\left(x^2-2\right)\left(y^2-2\right)+2}

.

Determinați simetricul elementului

\displaystyle x=\sqrt{6}

, în raport cu legea de compoziție „

\displaystyle *

”.

Vezi rezolvarea

Căutăm elementul neutru $\displaystyle e\in M$ , adică un element pentru care $\displaystyle x*e=x$ pentru orice $\displaystyle x\in M$ . Scriem egalitatea $\displaystyle \sqrt{(x^2-2)(e^2-2)+2}=x$ și ridicăm la pătrat, ambii membri fiind pozitivi.
$\displaystyle (x^2-2)(e^2-2)+2=x^2$
Mutăm 2 în membrul drept și obținem $\displaystyle (x^2-2)(e^2-2)=x^2-2$ . Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice $\displaystyle x$ , deci simplificăm cu $\displaystyle x^2-2$ , care este nenul pentru $\displaystyle x>\sqrt{2}$ . Obținem $\displaystyle e^2-2=1$ , deci $\displaystyle e=\sqrt{3}$ , care aparține lui $\displaystyle M$ . Legea este comutativă, deci $\displaystyle e$ este neutru și la stânga.
$\displaystyle x*\sqrt{3}=\sqrt{3}*x=x\text{, pentru orice }x\in M\text{, deci }e=\sqrt{3}$
Fie $\displaystyle t\in M$ simetricul lui $\displaystyle \sqrt{6}$ . El trebuie să verifice egalitatea $\displaystyle \sqrt{6}*t=e$ , adică $\displaystyle \sqrt{6}*t=\sqrt{3}$ .
$\displaystyle \sqrt{6}*t=\sqrt{3}$
Înlocuim în definiția legii. Pentru $\displaystyle x=\sqrt{6}$ avem $\displaystyle x^2-2=6-2=4$ , deci egalitatea devine o ecuație în $\displaystyle t$ .
$\displaystyle \sqrt{4\left(t^2-2\right)+2}=\sqrt{3}$
Ridicăm la pătrat și obținem $\displaystyle 4\left(t^2-2\right)+2=3$ , deci $\displaystyle t^2-2=\dfrac{1}{4}$ și $\displaystyle t^2=\dfrac{9}{4}$ . Cum $\displaystyle t\in M$ este pozitiv, avem $\displaystyle t=\dfrac{3}{2}$ . Verificăm că $\displaystyle t\ge\sqrt{2}$ : $\displaystyle \dfrac{9}{4}>2$ , deci valoarea convine.
$\displaystyle \sqrt{4\left(t^2-2\right)+2}=\sqrt{3}\text{, de unde }t^2=\frac{9}{4}\text{ și }t=\frac{3}{2}\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea

\displaystyle M=\left[\sqrt{2},+\infty\right)

se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru

\displaystyle x*y=\sqrt{\left(x^2-2\right)\left(y^2-2\right)+2}

.

Calculați

\displaystyle \sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{4}*\ldots*\sqrt{2020}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle \sqrt{2},\sqrt{3},\ldots,\sqrt{2020}\in M=\left[\sqrt{2},+\infty\right)$ , deoarece fiecare este mai mare sau egal cu $\displaystyle \sqrt{2}$ . Legea fiind asociativă, putem grupa termenii cum dorim, deci produsul se poate scrie $\displaystyle \sqrt{2}*\left(\sqrt{3}*\sqrt{4}*\ldots*\sqrt{2020}\right)$ .
$\displaystyle \sqrt{2}*\sqrt{3}*\ldots*\sqrt{2020}=\sqrt{2}*\left(\sqrt{3}*\sqrt{4}*\ldots*\sqrt{2020}\right)$
Notăm cu $\displaystyle x=\sqrt{3}*\sqrt{4}*\ldots*\sqrt{2020}$ ; avem $\displaystyle x\in M$ , deoarece legea este internă pe $\displaystyle M$ . Calculăm $\displaystyle \sqrt{2}*x$ : cum $\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^2-2=0$ , produsul de sub radical se anulează.
$\displaystyle \sqrt{2}*x=\sqrt{(2-2)\left(x^2-2\right)+2}=\sqrt{2}\text{, unde }x\in M$
Deci $\displaystyle \sqrt{2}$ este element absorbant în $\displaystyle M$ . Aplicăm acest lucru pentru $\displaystyle x=\sqrt{3}*\sqrt{4}*\ldots*\sqrt{2020}$ și obținem rezultatul.
$\displaystyle \sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{4}*\ldots*\sqrt{2020}=\sqrt{2}*\left(\sqrt{3}*\sqrt{4}*\ldots*\sqrt{2020}\right)=\sqrt{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2\sqrt{x}(\ln x-1)

.

Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt{x}(\ln x+1)}{x}

,

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un produs de două funcții: $\displaystyle u(x)=2\sqrt{x}$ și $\displaystyle v(x)=\ln x-1$ . Aplicăm formula $\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$ .
$\displaystyle f'(x)=\left(2\sqrt{x}\right)'(\ln x-1)+2\sqrt{x}\,(\ln x-1)'$
Calculăm derivatele factorilor: $\displaystyle \left(2\sqrt{x}\right)'=2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ și $\displaystyle (\ln x-1)'=\dfrac{1}{x}$ . Înlocuim în formula produsului.
$\displaystyle f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{x}}(\ln x-1)+2\sqrt{x}\cdot\frac{1}{x}$
Simplificăm prima fracție: $\displaystyle \dfrac{2}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ . Amplificăm cu $\displaystyle \sqrt{x}$ și obținem $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{x}$ . Deci primul termen este $\displaystyle \dfrac{\sqrt{x}(\ln x-1)}{x}$ .
$\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{x}}(\ln x-1)=\frac{\sqrt{x}\ln x-\sqrt{x}}{x}$
Al doilea termen este $\displaystyle 2\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{2\sqrt{x}}{x}$ și are deja numitorul $\displaystyle x$ . Adunăm cele două fracții.
$\displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt{x}\ln x-\sqrt{x}+2\sqrt{x}}{x}$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle -\sqrt{x}+2\sqrt{x}=\sqrt{x}$ . Dând factor comun $\displaystyle \sqrt{x}$ la numărător, obținem egalitatea cerută, pentru orice $\displaystyle x\in(0,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)=\frac{\sqrt{x}\ln x+\sqrt{x}}{x}=\frac{\sqrt{x}(\ln x+1)}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2\sqrt{x}(\ln x-1)

.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției

\displaystyle f

în punctul de abscisă

\displaystyle x=\frac{1}{e}

situat pe graficul funcției

\displaystyle f

.

Vezi rezolvarea

Ecuația tangentei la graficul lui $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle a$ este $\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)$ . Aici $\displaystyle a=\dfrac{1}{e}$ , deci avem nevoie de $\displaystyle f'\left(\dfrac{1}{e}\right)$ și de $\displaystyle f\left(\dfrac{1}{e}\right)$ .
$\displaystyle y-f(a)=f'(a)(x-a)$ , $\displaystyle \ a=\dfrac{1}{e}$
Derivăm $\displaystyle f$ cu formula de derivare a produsului. Derivata lui $\displaystyle 2\sqrt{x}$ este $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ , iar derivata lui $\displaystyle \ln x-1$ este $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ . Rezultă $\displaystyle f'(x)=\dfrac{\ln x-1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{\ln x-1}{\sqrt{x}}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}$ . Prin reducere, $\displaystyle f'(x)=\dfrac{\ln x+1}{\sqrt{x}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\ln x+1}{\sqrt{x}}$
Calculăm $\displaystyle f'\left(\dfrac{1}{e}\right)$ . Deoarece $\displaystyle \ln\dfrac{1}{e}=-1$ , numărătorul este $\displaystyle -1+1=0$ , deci derivata este nulă.
$\displaystyle f'\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{-1+1}{\sqrt{1/e}}=0$
Calculăm $\displaystyle f\left(\dfrac{1}{e}\right)$ . Avem $\displaystyle \sqrt{\dfrac{1}{e}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ , iar $\displaystyle \ln\dfrac{1}{e}-1=-2$ . Obținem $\displaystyle f\left(\dfrac{1}{e}\right)=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{e}}\cdot(-2)=-\dfrac{4}{\sqrt{e}}$ . Împreună cu pasul precedent, avem $\displaystyle f'\left(\dfrac{1}{e}\right)=0$ și $\displaystyle f\left(\dfrac{1}{e}\right)=-\dfrac{4}{\sqrt{e}}$ .
$\displaystyle f'\left(\dfrac{1}{e}\right)=0$ , $\displaystyle \ f\left(\dfrac{1}{e}\right)=-\dfrac{4}{\sqrt{e}}$
Înlocuim în formula tangentei: $\displaystyle y-\left(-\dfrac{4}{\sqrt{e}}\right)=0\cdot\left(x-\dfrac{1}{e}\right)$ . Panta fiind $\displaystyle 0$ , termenul cu $\displaystyle x$ dispare, deci tangenta este dreapta orizontală $\displaystyle y=-\dfrac{4}{\sqrt{e}}$ .
$\displaystyle y=-\dfrac{4}{\sqrt{e}}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2\sqrt{x}(\ln x-1)

.

Demonstrați că

\displaystyle \sqrt{e}f(x)+4\geq 0

, pentru orice

\displaystyle x\in(0,+\infty)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției $\displaystyle f$ pe $\displaystyle (0,+\infty)$ , folosind regula produsului. Derivata lui $\displaystyle 2\sqrt{x}$ este $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ , iar derivata lui $\displaystyle \ln x-1$ este $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ . Obținem $\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}(\ln x-1)+2\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{\ln x-1+2}{\sqrt{x}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\ln x+1}{\sqrt{x}}$
Studiem semnul derivatei. Numitorul $\displaystyle \sqrt{x}$ este pozitiv, deci semnul lui $\displaystyle f'(x)$ este semnul lui $\displaystyle \ln x+1$ . Ecuația $\displaystyle \ln x+1=0$ are soluția $\displaystyle x=\dfrac{1}{e}$ . Funcția $\displaystyle \ln$ este strict crescătoare, deci $\displaystyle \ln x+1\leq 0$ pentru $\displaystyle x\leq\dfrac{1}{e}$ și $\displaystyle \ln x+1\geq 0$ pentru $\displaystyle x\geq\dfrac{1}{e}$ .
$\displaystyle f'(x)\leq 0\text{ pe }\left(0,\dfrac{1}{e}\right]\text{, }f'(x)\geq 0\text{ pe }\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right)$
Din semnul derivatei deducem monotonia: $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{e}\right]$ și crescătoare pe $\displaystyle \left[\dfrac{1}{e},+\infty\right)$ . Deci $\displaystyle x=\dfrac{1}{e}$ este punct de minim.
$\displaystyle f\text{ descrescătoare pe }\left(0,\dfrac{1}{e}\right]\text{, crescătoare pe }\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right)$
Calculăm valoarea minimă $\displaystyle f\left(\dfrac{1}{e}\right)$ . Avem $\displaystyle \sqrt{\dfrac{1}{e}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ și $\displaystyle \ln\dfrac{1}{e}=-1$ , deci $\displaystyle f\left(\dfrac{1}{e}\right)=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{e}}\cdot(-1-1)$ .
$\displaystyle f\left(\dfrac{1}{e}\right)=-\dfrac{4}{\sqrt{e}}$
Deoarece $\displaystyle \dfrac{1}{e}$ este punct de minim, $\displaystyle f(x)\geq f\left(\dfrac{1}{e}\right)$ , adică $\displaystyle f(x)\geq-\dfrac{4}{\sqrt{e}}$ , pentru orice $\displaystyle x>0$ . Înmulțim cu $\displaystyle \sqrt{e}>0$ și obținem $\displaystyle \sqrt{e}f(x)\geq-4$ . Adunăm $\displaystyle 4$ și obținem inegalitatea cerută.
$\displaystyle f(x)\geq-\dfrac{4}{\sqrt{e}}\Rightarrow\sqrt{e}f(x)+4\geq 0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x-1, & x\in(-\infty,0]\\ \frac{3x-1}{x+1}, & x\in(0,+\infty)\end{cases}

.

Arătați că funcția

\displaystyle f

admite primitive pe

\displaystyle \mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Pe $\displaystyle (-\infty,0)$ funcția este $\displaystyle f(x)=2x-1$ , o funcție polinomială, deci continuă. Pe $\displaystyle (0,+\infty)$ funcția este $\displaystyle f(x)=\dfrac{3x-1}{x+1}$ , o fracție rațională cu numitorul $\displaystyle x+1\neq 0$ , deci continuă. Rămâne de verificat continuitatea în punctul $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle f\text{ este continuă pe }(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$
Calculăm limita la stânga în $\displaystyle 0$ , folosind expresia $\displaystyle 2x-1$ , și valoarea funcției în $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x<0}f(x)=\lim_{x\to 0}(2x-1)=-1$ , $\displaystyle \quad f(0)=2\cdot 0-1=-1$
Calculăm limita la dreapta în $\displaystyle 0$ , folosind expresia $\displaystyle \dfrac{3x-1}{x+1}$ . Obținem aceeași valoare ca limita la stânga și ca $\displaystyle f(0)$ .
$\displaystyle \lim_{x\to 0,\,x>0}f(x)=\frac{3\cdot 0-1}{0+1}=-1\text{, deci }\lim_{x\to 0,\,x<0}f(x)=\lim_{x\to 0,\,x>0}f(x)=-1=f(0)$
Limitele laterale în $\displaystyle 0$ sunt egale cu $\displaystyle f(0)$ , deci $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle 0$ . Împreună cu continuitatea pe $\displaystyle (-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ , rezultă că $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ . Orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval, deci $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$ .
$\displaystyle f\text{ este continuă pe }\mathbb{R}\text{, deci admite primitive }$ $\displaystyle \text{pe }\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x-1, & x\in(-\infty,0]\\ \frac{3x-1}{x+1}, & x\in(0,+\infty)\end{cases}

.

Calculați

\displaystyle \int_{1}^{2}f(x)\,dx

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x\in[1,2]$ avem $\displaystyle x>0$ , deci $\displaystyle f(x)=\dfrac{3x-1}{x+1}$ . Integrala devine $\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{3x-1}{x+1}\,dx$ .
$\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{3x-1}{x+1}\,dx$
Scriem $\displaystyle 3x-1=3(x+1)-4$ , deci $\displaystyle \dfrac{3x-1}{x+1}=\dfrac{3(x+1)-4}{x+1}=3-\dfrac{4}{x+1}$ .
$\displaystyle \frac{3x-1}{x+1}=3-\frac{4}{x+1}$
Integrăm termen cu termen: o primitivă a lui $\displaystyle 3$ este $\displaystyle 3x$ , iar o primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{4}{x+1}$ este $\displaystyle 4\ln(x+1)$ , deoarece $\displaystyle x+1>0$ . Obținem integrala scrisă cu limitele de integrare.
$\displaystyle \int_1^2\frac{3x-1}{x+1}dx=\int_1^2\left(3-\frac{4}{x+1}\right)dx=\left(3x-4\ln(x+1)\right)\Big|_1^2$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: $\displaystyle \left(3\cdot 2-4\ln 3\right)-\left(3\cdot 1-4\ln 2\right)$ .
$\displaystyle 6-4\ln 3-3+4\ln 2$
Reducem termenii: $\displaystyle 6-3=3$ , iar $\displaystyle 4\ln 2-4\ln 3=4\ln\dfrac{2}{3}$ . Deci integrala este $\displaystyle 3+4\ln\dfrac{2}{3}$ .
$\displaystyle 3+4\ln\frac{2}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x-1, & x\in(-\infty,0]\\ \frac{3x-1}{x+1}, & x\in(0,+\infty)\end{cases}

.

Arătați că

\displaystyle \int_{-1}^{0}e^{x}f(x)\,dx=\frac{5-3e}{e}

.

Vezi rezolvarea

Pe intervalul $\displaystyle [-1,0]$ avem $\displaystyle x\le 0$ , deci $\displaystyle f(x)=2x-1$ . Înlocuim în integrală.
$\displaystyle \int_{-1}^{0}e^{x}f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}e^{x}(2x-1)\,dx$
Integrăm prin părți: luăm $\displaystyle u=2x-1$ și $\displaystyle dv=e^{x}dx$ , deci $\displaystyle du=2\,dx$ și $\displaystyle v=e^{x}$ .
$\displaystyle \int_{-1}^{0}e^{x}(2x-1)\,dx=e^{x}(2x-1)\Big|_{-1}^{0}-2\int_{-1}^{0}e^{x}\,dx$
Calculăm integrala rămasă: o primitivă a lui $\displaystyle e^{x}$ este $\displaystyle e^{x}$ , deci obținem $\displaystyle e^{x}(2x-1)-2e^{x}=e^{x}(2x-3)$ pe intervalul $\displaystyle [-1,0]$ .
$\displaystyle \int_{-1}^{0}e^{x}f(x)\,dx=e^{x}(2x-3)\Big|_{-1}^{0}$
Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm valoarea în $\displaystyle 0$ și în $\displaystyle -1$ . În $\displaystyle 0$ obținem $\displaystyle e^{0}\cdot(-3)=-3$ , iar în $\displaystyle -1$ obținem $\displaystyle e^{-1}\cdot(-5)$ .
$\displaystyle e^{0}\cdot(-3)-e^{-1}\cdot(-5)=-3+\frac{5}{e}$
Aducem la același numitor și obținem rezultatul cerut.
$\displaystyle -3+\frac{5}{e}=\frac{5-3e}{e}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M3 tehnologic 2020, model, test de evaluare 1: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani