Bac matematică M1 mate-info 2020, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\ge 1} este egală cu 30\displaystyle 30. Determinați a2\displaystyle a_2.
Vezi rezolvarea
  1. Din enunț avem a1+a2+a3=30\displaystyle a_1+a_2+a_3=30.
    a1+a2+a3=30\displaystyle a_1+a_2+a_3=30
  2. Într-o progresie aritmetică, fiecare termen (în afară de primul) este media aritmetică a vecinilor săi. Deci a2=a1+a32\displaystyle a_2=\dfrac{a_1+a_3}{2}, de unde 2a2=a1+a3\displaystyle 2a_2=a_1+a_3.
    2a2=a1+a3\displaystyle 2a_2=a_1+a_3
  3. Înlocuim a1+a3\displaystyle a_1+a_3 cu 2a2\displaystyle 2a_2 în suma celor trei termeni: a1+a2+a3=2a2+a2=3a2\displaystyle a_1+a_2+a_3=2a_2+a_2=3a_2.
    a1+a2+a3=3a2\displaystyle a_1+a_2+a_3=3a_2
  4. Din 3a2=30\displaystyle 3a_2=30 rezultă, prin împărțire la 3\displaystyle 3, că a2=10\displaystyle a_2=10.
    a2=10\displaystyle a_2=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−6x+9\displaystyle f(x)=x^2-6x+9. Arătați că (f∘f)(3)=9\displaystyle (f\circ f)(3)=9.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem compunerea de funcții în punctul 3\displaystyle 3: (f∘f)(3)=f(f(3))\displaystyle (f\circ f)(3)=f(f(3)). Așadar calculăm mai întâi f(3)\displaystyle f(3).
    (f∘f)(3)=f(f(3))\displaystyle (f\circ f)(3)=f(f(3))
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în f(x)=x2−6x+9\displaystyle f(x)=x^2-6x+9: obținem 32−6⋅3+9=9−18+9\displaystyle 3^2-6\cdot 3+9=9-18+9, adică 0\displaystyle 0.
    f(3)=32−6⋅3+9=9−18+9=0\displaystyle f(3)=3^{2}-6\cdot 3+9=9-18+9=0
  3. Înlocuim f(3)=0\displaystyle f(3)=0 în compunere: (f∘f)(3)=f(0)\displaystyle (f\circ f)(3)=f(0).
    (f∘f)(3)=f(0)\displaystyle (f\circ f)(3)=f(0)
  4. Înlocuim x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în f(x)\displaystyle f(x): f(0)=02−6⋅0+9=9\displaystyle f(0)=0^2-6\cdot 0+9=9. Deci (f∘f)(3)=9\displaystyle (f\circ f)(3)=9, ceea ce trebuia arătat.
    (f∘f)(3)=f(0)=02−6⋅0+9=9\displaystyle (f\circ f)(3)=f(0)=0^{2}-6\cdot 0+9=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x−6)=6−log⁡2(x+6)\displaystyle \log_2(x-6)=6-\log_2(x+6).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență a logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, adică x−6>0\displaystyle x-6>0 și x+6>0\displaystyle x+6>0. Rezultă x>6\displaystyle x>6, deci domeniul este intervalul (6,+∞)\displaystyle (6,+\infty).
    x∈(6,+∞)\displaystyle x\in(6,+\infty)
  2. Mutăm logaritmul din membrul drept în stânga, ca să obținem suma logaritmilor egală cu 6\displaystyle 6.
    log⁡2(x−6)+log⁡2(x+6)=6\displaystyle \log_2(x-6)+\log_2(x+6)=6
  3. Folosim formula pentru suma logaritmilor cu aceeași bază, apoi definiția logaritmului: log⁡2A=6\displaystyle \log_2 A=6 înseamnă A=26\displaystyle A=2^{6}.
    log⁡2((x−6)(x+6))=6⇒(x−6)(x+6)=26\displaystyle \log_2\big((x-6)(x+6)\big)=6\Rightarrow (x-6)(x+6)=2^{6}
  4. Efectuăm produsul (diferența de pătrate), calculăm 26=64\displaystyle 2^{6}=64 și aducem ecuația la forma x2−100=0\displaystyle x^{2}-100=0.
    x2−36=64⇒x2−100=0\displaystyle x^{2}-36=64\Rightarrow x^{2}-100=0
  5. Rezolvăm ecuația: x2=100\displaystyle x^{2}=100, deci x=−10\displaystyle x=-10 sau x=10\displaystyle x=10.
    x=−10 sau x=10\displaystyle x=-10\text{ sau }x=10
  6. Verificăm în domeniu: x=−10\displaystyle x=-10 nu verifică x>6\displaystyle x>6, deci nu convine; x=10>6\displaystyle x=10>6, deci convine. Singura soluție este x=10\displaystyle x=10.
    x=−10, care nu convine; x=10, care convine\displaystyle x=-10\text{, care nu convine; }x=10\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii {0,1,2,3,4,5}\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de două cifre are cifra zecilor nenulă. Cifra zecilor se alege din mulțimea {0,1,2,3,4,5}\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}, dar nu poate fi 0\displaystyle 0, deci avem 5\displaystyle 5 posibilități: 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3, 4\displaystyle 4 sau 5\displaystyle 5.
    5 moduri\displaystyle 5\text{ moduri}
  2. Cifrele trebuie să fie distincte. După ce am ales cifra zecilor, cifra unităților se alege din celelalte 5\displaystyle 5 elemente ale mulțimii. Acum 0\displaystyle 0 este permis, dar cifra zecilor nu mai poate fi repetată, deci rămân 5\displaystyle 5 posibilități.
    5 moduri\displaystyle 5\text{ moduri}
  3. Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de moduri de a alege cifra zecilor cu numărul de moduri de a alege cifra unităților. Se pot forma 25\displaystyle 25 de numere.
    5⋅5=25\displaystyle 5\cdot 5=25
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, punctul D\displaystyle D mijlocul laturii AC\displaystyle AC și punctul E\displaystyle E mijlocul segmentului BD\displaystyle BD. Arătați că CE→=14CA→−12BC→\displaystyle \overrightarrow{CE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul E\displaystyle E este mijlocul segmentului BD\displaystyle BD, deci pentru punctul C\displaystyle C avem formula vectorului median: CE→=12(CB→+CD→)\displaystyle \overrightarrow{CE}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right).
    CE→=12CD→+12CB→\displaystyle \overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}
  2. Punctul D\displaystyle D este mijlocul laturii AC\displaystyle AC, deci CD→=12(CA→+CC→)=12CA→\displaystyle \overrightarrow{CD}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CC}\right)=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}.
    CD→=12CA→\displaystyle \overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}
  3. Înlocuim CD→\displaystyle \overrightarrow{CD} în relația de la primul pas: CE→=12⋅12CA→+12CB→\displaystyle \overrightarrow{CE}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}.
    CE→=14CA→+12CB→\displaystyle \overrightarrow{CE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}
  4. Vectorii CB→\displaystyle \overrightarrow{CB} și BC→\displaystyle \overrightarrow{BC} sunt opuși, deci CB→=−BC→\displaystyle \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}. Înlocuim și obținem egalitatea cerută.
    CE→=14CA→−12BC→\displaystyle \overrightarrow{CE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=23\displaystyle AB=2\sqrt{3}, A=π4\displaystyle A=\frac{\pi}{4} și B=5π12\displaystyle B=\frac{5\pi}{12}. Determinați raza cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim faptul că suma unghiurilor unui triunghi este π\displaystyle \pi. Calculăm suma unghiurilor A\displaystyle A și B\displaystyle B: π4+5π12=3π12+5π12=8π12=2π3\displaystyle \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{3\pi}{12}+\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{8\pi}{12}=\dfrac{2\pi}{3}.
    A+B=2π3\displaystyle A+B=\frac{2\pi}{3}
  2. Aflăm unghiul C\displaystyle C scăzând suma lui A\displaystyle A și B\displaystyle B din π\displaystyle \pi: C=π−2π3=π3\displaystyle C=\pi-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}. Deci sin⁡C=sin⁡π3=32\displaystyle \sin C=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    C=π3⇒sin⁡C=32\displaystyle C=\frac{\pi}{3}\Rightarrow \sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. Latura AB\displaystyle AB este opusă unghiului C\displaystyle C. Aplicăm teorema sinusurilor: ABsin⁡C=2R\displaystyle \dfrac{AB}{\sin C}=2R. Înlocuim AB=23\displaystyle AB=2\sqrt{3} și sin⁡C=32\displaystyle \sin C=\dfrac{\sqrt{3}}{2}: 2R=2332=4\displaystyle 2R=\dfrac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4.
    2R=2332=4\displaystyle 2R=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem raza cercului circumscris: R=2\displaystyle R=2.
    R=2\displaystyle R=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a21a411−1a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ a & 4 & 1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+2y+z=4ax+4y+z=6x−y+az=1\displaystyle \begin{cases} ax+2y+z=4 \\ ax+4y+z=6 \\ x-y+az=1 \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=0\displaystyle \det(A(1))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem A(1)\displaystyle A(1), apoi scriem determinantul ei.
    det⁡(A(1))=∣1211411−11∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, adică 1⋅4⋅1\displaystyle 1\cdot 4\cdot 1, 2⋅1⋅1\displaystyle 2\cdot 1\cdot 1 și 1⋅1⋅(−1)\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-1).
    1⋅4⋅1+2⋅1⋅1+1⋅1⋅(−1)=4+2−1=5\displaystyle 1\cdot 4\cdot 1+2\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot(-1)=4+2-1=5
  3. Calculăm produsele elementelor de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea: 1⋅4⋅1\displaystyle 1\cdot 4\cdot 1, (−1)⋅1⋅1\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot 1 și 1⋅1⋅2\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2, pe care le vom scădea.
    1⋅4⋅1+(−1)⋅1⋅1+1⋅1⋅2=4−1+2=5\displaystyle 1\cdot 4\cdot 1+(-1)\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 2=4-1+2=5
  4. Scădem suma de la diagonala secundară din suma de la diagonala principală. Scris dezvoltat, determinantul este 4+(−1)+2−4−(−1)−2\displaystyle 4+(-1)+2-4-(-1)-2, deci det⁡(A(1))=0\displaystyle \det(A(1))=0.
    det⁡(A(1))=4+(−1)+2−4−(−1)−2=5−5=0\displaystyle \det(A(1))=4+(-1)+2-4-(-1)-2=5-5=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a21a411−1a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ a & 4 & 1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {ax+2y+z=4ax+4y+z=6x−y+az=1\displaystyle \begin{cases} ax+2y+z=4 \\ ax+4y+z=6 \\ x-y+az=1 \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) are rangul 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei. Scădem linia 1 din linia 2, ceea ce nu schimbă valoarea determinantului. Linia a doua devine (0, 2, 0)\displaystyle (0,\ 2,\ 0).
    det⁡(A(a))=∣a210201−1a∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix} a & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & a \end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după linia a doua, care are un singur element nenul, 2\displaystyle 2, pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2), cu semn plus. Minorul rămas este ∣a11a∣=a2−1\displaystyle \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix}=a^{2}-1.
    det⁡(A(a))=2⋅∣a11a∣=2(a2−1)\displaystyle \det(A(a))=2\cdot\begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix}=2(a^{2}-1)
  3. Căutăm un minor de ordin 2\displaystyle 2 nenul, care nu depinde de a\displaystyle a. Luăm liniile 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2 și coloanele 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3. Acest minor este nenul pentru orice a\displaystyle a, deci rangul matricei este cel puțin 2\displaystyle 2.
    ∣2141∣=2−4=−2≠0\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}=2-4=-2\ne 0
  4. Rangul este 2\displaystyle 2 exact când matricea nu are rang 3\displaystyle 3, adică determinantul ei este zero. Punem această condiție.
    rang⁡A(a)=2⇔det⁡(A(a))=0⇔2(a2−1)=0\displaystyle \operatorname{rang}A(a)=2\Leftrightarrow\det(A(a))=0\Leftrightarrow 2(a^{2}-1)=0
  5. Rezolvăm ecuația a2−1=0\displaystyle a^{2}-1=0. Obținem a=−1\displaystyle a=-1 sau a=1\displaystyle a=1. Pentru aceste două valori rangul matricei este 2\displaystyle 2.
    a=−1 sau a=1\displaystyle a=-1\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−12(x+y)+34\displaystyle x*y=xy-\frac{1}{2}(x+y)+\frac{3}{4}. Legea de compoziție este asociativă și are elementul neutru e=32\displaystyle e=\frac{3}{2}.

Demonstrați că x∗y=(x−12)(y−12)+12\displaystyle x*y=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=xy−12(x+y)+34\displaystyle x*y=xy-\dfrac{1}{2}(x+y)+\dfrac{3}{4} și desfacem paranteza: −12(x+y)=−x2−y2\displaystyle -\dfrac{1}{2}(x+y)=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{2}.
    x∗y=xy−x2−y2+34\displaystyle x*y=xy-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{3}{4}
  2. Scriem 34=14+12\displaystyle \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}, deoarece 14\displaystyle \dfrac{1}{4} va completa produsul de la final.
    x∗y=xy−x2−y2+14+12\displaystyle x*y=xy-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}
  3. Grupăm xy−x2=x(y−12)\displaystyle xy-\dfrac{x}{2}=x\left(y-\dfrac{1}{2}\right) și −y2+14=−12(y−12)\displaystyle -\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{2}\left(y-\dfrac{1}{2}\right).
    x∗y=x(y−12)−12(y−12)+12\displaystyle x*y=x\left(y-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}
  4. Dăm factor comun y−12\displaystyle y-\dfrac{1}{2} și obținem forma cerută, valabilă pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=(x−12)(y−12)+12\displaystyle x*y=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−12(x+y)+34\displaystyle x*y=xy-\frac{1}{2}(x+y)+\frac{3}{4}. Legea de compoziție este asociativă și are elementul neutru e=32\displaystyle e=\frac{3}{2}. Determinați numerele reale nenule x\displaystyle x pentru care 1x∗x∗1x=x∗1x∗x\displaystyle \frac{1}{x}*x*\frac{1}{x}=x*\frac{1}{x}*x.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea de compoziție prin completarea produsului: x∗y=(x−12)(y−12)+12\displaystyle x*y=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(y-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}. Verificăm: (x−12)(y−12)=xy−12(x+y)+14\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=xy-\dfrac{1}{2}(x+y)+\dfrac{1}{4}, iar adăugând 12\displaystyle \dfrac{1}{2} obținem exact termenul 34\displaystyle \dfrac{3}{4}.
    x∗y=(x−12)(y−12)+12\displaystyle x*y=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}
  2. Legea este asociativă, deci putem scrie x∗y∗z\displaystyle x*y*z fără paranteze. Aplicând forma de mai sus de două ori, obținem x∗y∗z=(x−12)(y−12)(z−12)+12\displaystyle x*y*z=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(y-\dfrac{1}{2}\right)\left(z-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}.
    x∗y∗z=(x−12)(y−12)(z−12)+12\displaystyle x*y*z=\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)\left(z-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}
  3. Scriem ecuația cu această formă pentru ambii membri. Termenul 12\displaystyle \dfrac{1}{2} apare în ambele părți și se reduce: (1x−12)(x−12)(1x−12)=(x−12)(1x−12)(x−12)\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\right)=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right). Trecem totul în stânga și dăm factor comun (1x−12)(x−12)\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right): paranteza rămasă este (1x−12)−(x−12)=1x−x\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\right)-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{x}-x.
    (1x−12)(x−12)(1x−x)=0\displaystyle \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{x}-x\right)=0
  4. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul. Primul factor: 1x−12=0\displaystyle \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}=0 înseamnă 1x=12\displaystyle \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}, deci x=2\displaystyle x=2.
    1x−12=0⇒x=2\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{2}=0\Rightarrow x=2
  5. Al doilea factor: x−12=0\displaystyle x-\dfrac{1}{2}=0, deci x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}.
    x−12=0⇒x=12\displaystyle x-\frac{1}{2}=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}
  6. Al treilea factor: 1x−x=0\displaystyle \dfrac{1}{x}-x=0. Înmulțim cu x\displaystyle x, care este nenul, și obținem 1−x2=0\displaystyle 1-x^{2}=0, adică x2=1\displaystyle x^{2}=1.
    1−x2=0⇒x2=1\displaystyle 1-x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=1
  7. Din x2=1\displaystyle x^{2}=1 rezultă x=−1\displaystyle x=-1 sau x=1\displaystyle x=1. Toate valorile găsite (2\displaystyle 2, 12\displaystyle \dfrac{1}{2}, −1\displaystyle -1 și 1\displaystyle 1) sunt nenule, deci convin. Mulțimea soluțiilor este {−1,12,1,2}\displaystyle \left\{-1,\dfrac{1}{2},1,2\right\}.
    1x−x=0⇒x=−1 sau x=1\displaystyle \frac{1}{x}-x=0\Rightarrow x=-1\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−12(x+y)+34\displaystyle x*y=xy-\frac{1}{2}(x+y)+\frac{3}{4}. Legea de compoziție este asociativă și are elementul neutru e=32\displaystyle e=\frac{3}{2}.

Arătați că nu există numere întregi x\displaystyle x și y\displaystyle y, astfel încât x\displaystyle x să fie simetricul lui y\displaystyle y în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Presupunem prin reducere la absurd că există numere întregi x\displaystyle x și y\displaystyle y, astfel încât x\displaystyle x este simetricul lui y\displaystyle y. Atunci x∗y=e\displaystyle x*y=e, adică x∗y=32\displaystyle x*y=\dfrac{3}{2}.
    x∗y=e=32\displaystyle x*y=e=\frac{3}{2}
  2. Observăm că x∗y=(x−12)(y−12)+12\displaystyle x*y=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(y-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}. Verificăm: (x−12)(y−12)=xy−x+y2+14\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=xy-\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{1}{4}, iar adăugând 12\displaystyle \dfrac{1}{2} obținem xy−12(x+y)+34\displaystyle xy-\dfrac{1}{2}(x+y)+\dfrac{3}{4}. Deci condiția x∗y=32\displaystyle x*y=\dfrac{3}{2} devine egalitatea din rezultat.
    (x−12)(y−12)+12=32\displaystyle \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}
  3. Scădem 12\displaystyle \dfrac{1}{2} din ambii membri și obținem (x−12)(y−12)=1\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=1.
    (x−12)(y−12)=1\displaystyle \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)=1
  4. Scriem x−12=2x−12\displaystyle x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2x-1}{2} și y−12=2y−12\displaystyle y-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2y-1}{2}, deci (2x−1)(2y−1)4=1\displaystyle \dfrac{(2x-1)(2y-1)}{4}=1. Înmulțind cu 4\displaystyle 4, obținem (2x−1)(2y−1)=4\displaystyle (2x-1)(2y-1)=4.
    (2x−1)(2y−1)=4\displaystyle (2x-1)(2y-1)=4
  5. Dacă x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt întregi, numerele 2x−1\displaystyle 2x-1 și 2y−1\displaystyle 2y-1 sunt impare. Produsul a două numere impare este impar, dar 4\displaystyle 4 este număr par. Contradicție, deci presupunerea este falsă și nu există numere întregi x\displaystyle x și y\displaystyle y cu proprietatea cerută.
    (2x−1)(2y−1) este impar, dar 4 este par⇒ nu exista˘ x\displaystyle (2x-1)(2y-1)\text{ este impar, dar }4\text{ este par}\Rightarrow\text{ nu există }x,y∈Z cu proprietatea ceruta˘\displaystyle y\in\mathbb{Z}\text{ cu proprietatea cerută}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−8x+8ln⁡x+12−8ln⁡2\displaystyle f(x)=x^2-8x+8\ln x+12-8\ln 2.

Arătați că f′(x)=2(x−2)2x\displaystyle f'(x)=\frac{2(x-2)^2}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen. Derivata lui x2\displaystyle x^{2} este 2x\displaystyle 2x, derivata lui −8x\displaystyle -8x este −8\displaystyle -8, derivata lui 8ln⁡x\displaystyle 8\ln x este 8x\displaystyle \dfrac{8}{x}, iar constantele 12\displaystyle 12 și −8ln⁡2\displaystyle -8\ln 2 au derivata 0\displaystyle 0.
    f′(x)=2x−8+8x\displaystyle f'(x)=2x-8+\frac{8}{x}
  2. Aducem la numitorul comun x\displaystyle x: scriem 2x=2x2x\displaystyle 2x=\dfrac{2x^{2}}{x} și −8=−8xx\displaystyle -8=\dfrac{-8x}{x}.
    f′(x)=2x2−8x+8x\displaystyle f'(x)=\frac{2x^{2}-8x+8}{x}
  3. La numărător dăm factor comun 2\displaystyle 2: 2x2−8x+8=2(x2−4x+4)\displaystyle 2x^{2}-8x+8=2\left(x^{2}-4x+4\right), iar paranteza este pătratul perfect (x−2)2\displaystyle (x-2)^{2}. Rezultă formula cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=2(x−2)2x, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\frac{2(x-2)^{2}}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−8x+8ln⁡x+12−8ln⁡2\displaystyle f(x)=x^2-8x+8\ln x+12-8\ln 2.

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A(3,3)\displaystyle A(3,3) și este paralelă cu tangenta la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Panta tangentei la grafic în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2 este f′(2)\displaystyle f'(2). O dreaptă paralelă cu tangenta are aceeași pantă, deci m=f′(2)\displaystyle m=f'(2).
    m=f′(2)\displaystyle m=f'(2)
  2. Derivăm pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty) termen cu termen; constantele 12\displaystyle 12 și −8ln⁡2\displaystyle -8\ln 2 au derivata 0\displaystyle 0, iar (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=2x−8+8x\displaystyle f'(x)=2x-8+\dfrac{8}{x}
  3. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în derivată: f′(2)=2⋅2−8+82=4−8+4\displaystyle f'(2)=2\cdot 2-8+\dfrac{8}{2}=4-8+4.
    f′(2)=0\displaystyle f'(2)=0
  4. Dreapta trece prin A(3,3)\displaystyle A(3,3) și are panta m=0\displaystyle m=0, deci ecuația ei este y−3=0⋅(x−3)\displaystyle y-3=0\cdot(x-3), adică y=3\displaystyle y=3.
    f′(2)=0, ecuația dreptei este y=3\displaystyle f'(2)=0\text{, ecuația dreptei este }y=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x2−8x+8ln⁡x+12−8ln⁡2\displaystyle f(x)=x^2-8x+8\ln x+12-8\ln 2.

Se consideră numerele reale a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c astfel încât punctul M(a,b)\displaystyle M(a,b) este situat pe graficul funcției g:(0,+∞)→R\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, g(x)=x2−8ln⁡2+8ln⁡x\displaystyle g(x)=x^2-8\ln 2+8\ln x și punctul N(a,c)\displaystyle N(a,c) este situat pe graficul funcției h:(0,+∞)→R\displaystyle h:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, h(x)=8x−12\displaystyle h(x)=8x-12. Demonstrați că b≥c\displaystyle b\ge c, pentru orice a∈[2,+∞)\displaystyle a\in[2,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Punctul M(a,b)\displaystyle M(a,b) este pe graficul lui g\displaystyle g, deci b=g(a)\displaystyle b=g(a). Punctul N(a,c)\displaystyle N(a,c) este pe graficul lui h\displaystyle h, deci c=h(a)\displaystyle c=h(a).
    b=g(a)=a2−8ln⁡2+8ln⁡a\displaystyle b=g(a)=a^{2}-8\ln 2+8\ln a,c=h(a)=8a−12\displaystyle \quad c=h(a)=8a-12
  2. Calculăm g(x)−h(x)\displaystyle g(x)-h(x) și observăm că este chiar f(x)\displaystyle f(x). Deci b−c=g(a)−h(a)=f(a)\displaystyle b-c=g(a)-h(a)=f(a), iar inegalitatea b≥c\displaystyle b\ge c revine la f(a)≥0\displaystyle f(a)\ge 0.
    g(x)−h(x)=x2−8ln⁡2+8ln⁡x−8x+12=f(x)\displaystyle g(x)-h(x)=x^{2}-8\ln 2+8\ln x-8x+12=f(x)
  3. Derivăm funcția f(x)=x2−8x+8ln⁡x+12−8ln⁡2\displaystyle f(x)=x^{2}-8x+8\ln x+12-8\ln 2 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′(x)=2x−8+8x\displaystyle f'(x)=2x-8+\dfrac{8}{x}
  4. Aducem la același numitor: f′(x)=2x2−8x+8x=2(x−2)2x\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^{2}-8x+8}{x}=\dfrac{2(x-2)^{2}}{x}. Pentru x>0\displaystyle x>0 numitorul este pozitiv, iar (x−2)2≥0\displaystyle (x-2)^{2}\ge 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0.
    f′(x)=2(x−2)2x≥0, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(x-2)^{2}}{x}\ge 0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)
  5. Cum f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0, funcția f\displaystyle f este crescătoare pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Calculăm f(2)=4−16+8ln⁡2+12−8ln⁡2=0\displaystyle f(2)=4-16+8\ln 2+12-8\ln 2=0.
    f(2)=4−16+8ln⁡2+12−8ln⁡2=0\displaystyle f(2)=4-16+8\ln 2+12-8\ln 2=0
  6. Dacă a≥2\displaystyle a\ge 2, atunci, f\displaystyle f fiind crescătoare, f(a)≥f(2)=0\displaystyle f(a)\ge f(2)=0.
    f(a)≥0, pentru orice a∈[2,+∞)\displaystyle f(a)\ge 0\text{, pentru orice }a\in[2,+\infty)
  7. Cum f(a)=g(a)−h(a)≥0\displaystyle f(a)=g(a)-h(a)\ge 0, rezultă g(a)≥h(a)\displaystyle g(a)\ge h(a), adică b≥c\displaystyle b\ge c, pentru orice a∈[2,+∞)\displaystyle a\in[2,+\infty).
    f(a)≥0⇒g(a)≥h(a)⇒b≥c, pentru orice a∈[2,+∞)\displaystyle f(a)\ge 0\Rightarrow g(a)\ge h(a)\Rightarrow b\ge c\text{, pentru orice }a\in[2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x2+4\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4}.

Arătați că ∫01(x2+4)f(x) dx=−113\displaystyle \int_0^1 (x^2+4)f(x)\,dx=-\frac{11}{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) în produs: (x2+4)f(x)=(x2+4)⋅x2−4x2+4\displaystyle (x^2+4)f(x)=(x^2+4)\cdot\dfrac{x^2-4}{x^2+4}. Deoarece x2+4>0\displaystyle x^2+4>0 pentru orice x\displaystyle x real, putem simplifica.
    (x2+4)f(x)=x2−4\displaystyle (x^2+4)f(x)=x^2-4
  2. Integrala devine ∫01(x2−4) dx\displaystyle \int_0^1 (x^2-4)\,dx. O primitivă a lui x2−4\displaystyle x^2-4 este x33−4x\displaystyle \dfrac{x^3}{3}-4x.
    ∫01(x2+4)f(x) dx=∫01(x2−4) dx=(x33−4x)∣01\displaystyle \int_0^1 (x^2+4)f(x)\,dx=\int_0^1 (x^2-4)\,dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\right|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: în x=1\displaystyle x=1 primitiva are valoarea 13−4\displaystyle \dfrac{1}{3}-4, iar în x=0\displaystyle x=0 are valoarea 0\displaystyle 0. Obținem 13−4−0\displaystyle \dfrac{1}{3}-4-0, adică 1−123\displaystyle \dfrac{1-12}{3}.
    13−4=−113\displaystyle \frac{1}{3}-4=-\frac{11}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x2+4\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4}.

Demonstrați că orice primitivă a funcției f\displaystyle f este concavă pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0].
Vezi rezolvarea
  1. Fie F\displaystyle F o primitivă oarecare a funcției f\displaystyle f. Atunci F\displaystyle F este derivabilă și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x). Concavitatea lui F\displaystyle F se studiază cu ajutorul derivatei a doua F′′\displaystyle F''.
    F′(x)=f(x)=x2−4x2+4, x∈R\displaystyle F'(x)=f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4}\text{, }x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm f\displaystyle f cu formula câtului: (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, cu u=x2−4\displaystyle u=x^2-4 și v=x2+4\displaystyle v=x^2+4, deci u′=2x\displaystyle u'=2x și v′=2x\displaystyle v'=2x.
    f′(x)=2x(x2+4)−(x2−4)⋅2x(x2+4)2\displaystyle f'(x)=\frac{2x(x^2+4)-(x^2-4)\cdot 2x}{(x^2+4)^2}
  3. Simplificăm numărătorul: 2x[(x2+4)−(x2−4)]=2x⋅8=16x\displaystyle 2x\left[(x^2+4)-(x^2-4)\right]=2x\cdot 8=16x. Deci F′′(x)=f′(x)\displaystyle F''(x)=f'(x) are expresia de mai jos pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    F′′(x)=f′(x)=16x(x2+4)2, x∈R\displaystyle F''(x)=f'(x)=\frac{16x}{(x^2+4)^2}\text{, }x\in\mathbb{R}
  4. Studiem semnul lui F′′\displaystyle F'' pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0]. Numitorul (x2+4)2\displaystyle (x^2+4)^2 este strict pozitiv. Numărătorul 16x\displaystyle 16x satisface 16x≤0\displaystyle 16x\le 0 pentru x≤0\displaystyle x\le 0. Prin urmare fracția este mai mică sau egală cu zero.
    F′′(x)=16x(x2+4)2≤0, pentru orice x∈(−∞,0]\displaystyle F''(x)=\frac{16x}{(x^2+4)^2}\le 0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0]
  5. Deoarece F′′(x)≤0\displaystyle F''(x)\le 0 pentru orice x∈(−∞,0]\displaystyle x\in(-\infty,0], funcția F\displaystyle F este concavă pe (−∞,0]\displaystyle (-\infty,0]. Cum F\displaystyle F a fost o primitivă oarecare a lui f\displaystyle f, afirmația este valabilă pentru orice primitivă a lui f\displaystyle f.
    F′′(x)≤0, pentru orice x∈(−∞,0], deci F este concava˘ pe (−∞,0]\displaystyle F''(x)\le 0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,0]\text{, deci }F\text{ este concavă pe }(-\infty,0]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x2+4\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4}.

Pentru fiecare număr natural n\displaystyle n, se consideră In=∫12xnf(x) dx\displaystyle I_n=\int_1^2 x^n f(x)\,dx. Demonstrați că lim⁡n→+∞In=−∞\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=-\infty.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2] avem xn>0\displaystyle x^n>0 și x2−4≤0\displaystyle x^2-4\le 0, deoarece x2≤4\displaystyle x^2\le 4. Deci produsul xn(x2−4)\displaystyle x^n(x^2-4) este negativ sau nul.
    xn(x2−4)≤0\displaystyle x^n(x^2-4)\le 0, ∀x∈[1,2]\displaystyle \ \forall x\in[1,2]
  2. Pentru x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2] avem 0<x2+4≤8\displaystyle 0<x^2+4\le 8, deci 1x2+4≥18\displaystyle \dfrac{1}{x^2+4}\ge\dfrac{1}{8}. Înmulțim cu xn(x2−4)≤0\displaystyle x^n(x^2-4)\le 0, ceea ce schimbă sensul inegalității. Obținem o margine superioară pentru integrand.
    xnf(x)=xn(x2−4)x2+4≤18xn(x2−4)\displaystyle x^nf(x)=\frac{x^n(x^2-4)}{x^2+4}\le\frac{1}{8}x^n(x^2-4)
  3. Integrăm inegalitatea pe [1,2]\displaystyle [1,2], deoarece integrala păstrează inegalitățile. Astfel In\displaystyle I_n este mai mic sau egal cu integrala majorantei.
    In≤∫1218xn(x2−4) dx=18∫12(xn+2−4xn)dx\displaystyle I_n\le\int_1^2\frac{1}{8}x^n(x^2-4)\,dx=\frac{1}{8}\int_1^2\left(x^{n+2}-4x^n\right)dx
  4. Calculăm o primitivă a funcției xn+2−4xn\displaystyle x^{n+2}-4x^n, folosind formula pentru primitiva unei puteri.
    ∫(xn+2−4xn)dx=xn+3n+3−4xn+1n+1\displaystyle \int\left(x^{n+2}-4x^n\right)dx=\frac{x^{n+3}}{n+3}-\frac{4x^{n+1}}{n+1}
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton. În x=2\displaystyle x=2 obținem 2n+3n+3−2n+3n+1=2n+3((n+1)−(n+3))(n+3)(n+1)=−2n+4(n+3)(n+1)\displaystyle \dfrac{2^{n+3}}{n+3}-\dfrac{2^{n+3}}{n+1}=\dfrac{2^{n+3}\left((n+1)-(n+3)\right)}{(n+3)(n+1)}=-\dfrac{2^{n+4}}{(n+3)(n+1)}. În x=1\displaystyle x=1 valoarea este 1n+3−4n+1\displaystyle \dfrac{1}{n+3}-\dfrac{4}{n+1}, pe care o scădem.
    In≤18(−2n+4(n+3)(n+1)−1n+3+4n+1)\displaystyle I_n\le\frac{1}{8}\left(-\frac{2^{n+4}}{(n+3)(n+1)}-\frac{1}{n+3}+\frac{4}{n+1}\right)
  6. Exponențiala 2n+4\displaystyle 2^{n+4} crește mai repede decât polinomul (n+3)(n+1)\displaystyle (n+3)(n+1), deci fracția tinde la +∞\displaystyle +\infty. Ceilalți doi termeni, 1n+3\displaystyle \dfrac{1}{n+3} și 4n+1\displaystyle \dfrac{4}{n+1}, tind la 0\displaystyle 0. Deci majorantul tinde la −∞\displaystyle -\infty. Din criteriul majorării, deoarece In\displaystyle I_n este mai mic sau egal cu acest șir, rezultă lim⁡n→+∞In=−∞\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=-\infty.
    lim⁡n→+∞2n+4(n+3)(n+1)=+∞, deci lim⁡n→+∞In=−∞\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{2^{n+4}}{(n+3)(n+1)}=+\infty\text{, deci }\lim_{n\to+\infty}I_n=-\infty
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.