Bac matematică M1 mate-info 2024, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2(1−2i)+i(4+i)=1\displaystyle 2(1-2i)+i(4+i)=1, unde i2=−1\displaystyle i^{2}=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se desface prima paranteză, aplicând distributivitatea înmulțirii cu 2\displaystyle 2.
    2(1−2i)=2−4i\displaystyle 2(1-2i)=2-4i
  2. Se desface a doua paranteză, aplicând distributivitatea înmulțirii cu i\displaystyle i.
    i(4+i)=4i+i2\displaystyle i(4+i)=4i+i^{2}
  3. Se adună cele două rezultate obținute, scriind expresia inițială desfăcută complet.
    2(1−2i)+i(4+i)=2−4i+4i+i2\displaystyle 2(1-2i)+i(4+i)=2-4i+4i+i^{2}
  4. Se înlocuiește i2\displaystyle i^{2} cu −1\displaystyle -1, conform relației date în enunț.
    2−4i+4i+i2=2−4i+4i+(−1)\displaystyle 2-4i+4i+i^{2}=2-4i+4i+(-1)
  5. Se reduc termenii asemenea: −4i\displaystyle -4i și 4i\displaystyle 4i se anulează reciproc, rămânând 2\displaystyle 2 și −1\displaystyle -1.
    2−4i+4i+(−1)=2+(−1)\displaystyle 2-4i+4i+(-1)=2+(-1)
  6. Se efectuează adunarea finală, obținând rezultatul cerut.
    2+(−1)=1\displaystyle 2+(-1)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ax−a\displaystyle f(x)=x^{2}+ax-a, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care punctul A(3,−3)\displaystyle A(3,-3) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția ca punctul A(3,−3)\displaystyle A(3,-3) să aparțină graficului funcției f\displaystyle f, adică f(3)\displaystyle f(3) să fie egal cu ordonata punctului, −3\displaystyle -3
    A(3,−3)∈Gf⇒f(3)=−3\displaystyle A(3,-3)\in G_f\Rightarrow f(3)=-3
  2. Se calculează f(3)\displaystyle f(3) înlocuind x=3\displaystyle x=3 în expresia funcției f(x)=x2+ax−a\displaystyle f(x)=x^{2}+ax-a
    f(3)=32+a⋅3−a=9+3a−a\displaystyle f(3)=3^{2}+a\cdot3-a=9+3a-a
  3. Se scrie ecuația obținută din condiția f(3)=−3\displaystyle f(3)=-3
    f(3)=−3⇒9+3a−a=−3\displaystyle f(3)=-3\Rightarrow9+3a-a=-3
  4. Se reduc termenii asemenea din membrul stâng al ecuației
    9+2a=−3\displaystyle 9+2a=-3
  5. Se trece termenul liber 9\displaystyle 9 în membrul drept, schimbând semnul
    2a=−3−9\displaystyle 2a=-3-9
  6. Se efectuează calculul din membrul drept
    2a=−12\displaystyle 2a=-12
  7. Se împarte ecuația prin 2\displaystyle 2 pentru a obține valoarea lui a\displaystyle a
    a=−6\displaystyle a=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2+8)=log⁡2(8−2x)\displaystyle \log_{2}(x^{2}+8)=\log_{2}(8-2x).
Vezi rezolvarea
  1. Se pun condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive.
    x2+8>0 (adeva˘rat pentru orice x∈R) și 8−2x>0\displaystyle x^{2}+8>0\text{ (adevărat pentru orice }x\in\mathbb{R}\text{) și }8-2x>0
  2. Se rezolvă a doua inegalitate, obținând condiția de existență finală pentru x\displaystyle x.
    8−2x>0⇒x<4\displaystyle 8-2x>0\Rightarrow x<4
  3. Deoarece baza logaritmului este aceeași (2\displaystyle 2), se egalează argumentele logaritmilor, obținând o ecuație de gradul al doilea.
    x2+8=8−2x, de unde obt¸inem x2+2x=0\displaystyle x^{2}+8=8-2x\text{, de unde obţinem }x^{2}+2x=0
  4. Se factorizează ecuația de gradul al doilea, dând factor comun pe x\displaystyle x.
    x(x+2)=0\displaystyle x(x+2)=0
  5. Se rezolvă ecuația factorizată, obținând cele două soluții posibile.
    x=0 sau x=−2\displaystyle x=0\text{ sau }x=-2
  6. Se verifică dacă soluțiile obținute respectă condiția de existență x<4\displaystyle x<4, ambele valori fiind acceptate.
    x=−2<4 și x=0<4, deci ambele verifica˘ \displaystyle x=-2<4\text{ și }x=0<4\text{, deci ambele verifică }domeniul\displaystyle \text{domeniul}
  7. Se scriu soluțiile finale ale ecuației, care satisfac condițiile de existență.
    x=−2 sau x=0, care convin\displaystyle x=-2\text{ sau }x=0\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor pară, se pot forma cu elementele mulțimii A={1,2,3,4,5}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele mulțimii A\displaystyle A și se determină care dintre ele sunt cifre pare, deoarece cifra zecilor trebuie să fie pară.
    A={1,2,3,4,5}, cifrele pare din A sunt 2 și 4\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\}\text{, cifrele pare din }A\text{ sunt }2\text{ și }4
  2. Se numără câte variante există pentru cifra zecilor (trebuie să fie pară).
    2\displaystyle 2
  3. Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților trebuie să fie diferită de cifra zecilor și aleasă tot din mulțimea A\displaystyle A, care are 5\displaystyle 5 elemente. Rămân deci 5−1=4\displaystyle 5-1=4 cifre posibile pentru unități.
    5−1=4\displaystyle 5-1=4
  4. Se aplică regula produsului: numărul de variante pentru cifra zecilor se înmulțește cu numărul de variante pentru cifra unităților, obținându-se numărul total de numere de două cifre distincte cu cifra zecilor pară.
    2⋅4=8\displaystyle 2\cdot4=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În sistemul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,3)\displaystyle A(0,3) și B(4,0)\displaystyle B(4,0). Determinați coordonatele punctului C\displaystyle C pentru care OA→+OB→=OC→\displaystyle \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu coordonatele punctelor date: A(0,3)\displaystyle A(0,3) și B(4,0)\displaystyle B(4,0), care reprezintă componentele vectorilor de poziție ai acestor puncte față de originea O\displaystyle O.
    A(0,3)\displaystyle A(0,3), B(4,0)\displaystyle \ B(4,0)
  2. Se exprimă vectorii de poziție OA⃗\displaystyle \vec{OA} și OB⃗\displaystyle \vec{OB} folosind versorii axelor de coordonate: componenta pe axa Ox\displaystyle Ox se scrie ca multiplu de i⃗\displaystyle \vec{i}, iar cea pe axa Oy\displaystyle Oy ca multiplu de j⃗\displaystyle \vec{j}. Cum A\displaystyle A are abscisa 0\displaystyle 0 și ordonata 3\displaystyle 3, iar B\displaystyle B are abscisa 4\displaystyle 4 și ordonata 0\displaystyle 0, se obțin expresiile de mai jos.
    OA→=3j⃗\displaystyle \overrightarrow{OA}=3\vec{j}, OB→=4i⃗\displaystyle \ \overrightarrow{OB}=4\vec{i}
  3. Se aplică relația dată în enunț, adunând cei doi vectori de poziție componentă cu componentă (coeficienții lui i⃗\displaystyle \vec{i} între ei, respectiv coeficienții lui j⃗\displaystyle \vec{j} între ei).
    OC→=OA→+OB→=4i⃗+3j⃗\displaystyle \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=4\vec{i}+3\vec{j}
  4. Se identifică, din scrierea vectorului OC⃗\displaystyle \vec{OC} în funcție de versori, coordonatele punctului C\displaystyle C: coeficientul lui i⃗\displaystyle \vec{i} este abscisa, iar coeficientul lui j⃗\displaystyle \vec{j} este ordonata.
    OC→=4i⃗+3j⃗, deci punctul C are coordonatele (4,3)\displaystyle \overrightarrow{OC}=4\vec{i}+3\vec{j}\text{, deci punctul }C\text{ are coordonatele }(4,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC\displaystyle ABC, cu AB=5\displaystyle AB=5, C=π4\displaystyle C=\frac{\pi}{4} și înălțimea AD=4\displaystyle AD=4. Arătați că BC=7\displaystyle BC=7.
Vezi rezolvarea
  1. Se trasează înălțimea din A\displaystyle A pe BC\displaystyle BC, notând piciorul înălțimii cu D\displaystyle D. Astfel AD⊥BC\displaystyle AD\perp BC, iar triunghiurile ADC\displaystyle ADC și ADB\displaystyle ADB sunt dreptunghice în D\displaystyle D.
    AD⊥BC\displaystyle AD\perp BC, D∈BC\displaystyle \ D\in BC
  2. În triunghiul dreptunghic ADC\displaystyle ADC (unghiul din D\displaystyle D este de 90°\displaystyle 90°), se folosește unghiul C=π4\displaystyle C=\dfrac{\pi}{4} pentru a calcula catetei DC\displaystyle DC, aplicând tangenta unghiului C\displaystyle C.
    tan⁡(C)=ADDC⇒DC=ADtan⁡(π4)=41=4\displaystyle \tan(C)=\frac{AD}{DC}\Rightarrow DC=\frac{AD}{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{4}{1}=4
  3. În triunghiul dreptunghic ADB\displaystyle ADB (unghiul din D\displaystyle D este de 90°\displaystyle 90°), se aplică teorema lui Pitagora pentru a afla catetei BD\displaystyle BD, folosind AB=5\displaystyle AB=5 și AD=4\displaystyle AD=4.
    AB2=AD2+BD2⇒BD=52−42=25−16=9=3\displaystyle AB^2=AD^2+BD^2\Rightarrow BD=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3
  4. Deoarece D\displaystyle D este situat între B\displaystyle B și C\displaystyle C pe latura BC\displaystyle BC (triunghiul fiind ascuțitunghic), lungimea BC\displaystyle BC este suma segmentelor BD\displaystyle BD și DC\displaystyle DC.
    BD=3, deci BC=BD+DC=3+4=7\displaystyle BD=3\text{, deci }BC=BD+DC=3+4=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_{3}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(001a−1a100)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}0&0&1\\a&-1&a\\1&0&0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) pentru a obține matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(0011−11100)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&-1&1\\1&0&0\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1), care se va calcula prin regula lui Sarrus.
    det⁡(A(1))=∣0011−11100∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}0&0&1\\1&-1&1\\1&0&0\end{vmatrix}
  3. Se aplică regula lui Sarrus: se rescriu primele două coloane alături de determinant și se calculează produsele diagonalelor principale (de la stânga la dreapta) și ale diagonalelor secundare (de la dreapta la stânga).
    Diagonale principale: 0⋅(−1)⋅0+0⋅1⋅1+1⋅1⋅0=0+0+0; Diagonale secundare: 1⋅(−1)⋅1+0⋅1⋅0+0⋅1⋅0=−1+0+0\displaystyle \text{Diagonale principale: }0\cdot(-1)\cdot0+0\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot0=0+0+0\text{; Diagonale secundare: }1\cdot(-1)\cdot1+0\cdot1\cdot0+0\cdot1\cdot0=-1+0+0
  4. Se scade suma produselor diagonalelor secundare din suma produselor diagonalelor principale pentru a obține valoarea determinantului.
    =0+0+0−(−1)−0−0=1\displaystyle =0+0+0-(-1)-0-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_{3}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(001a−1a100)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}0&0&1\\a&-1&a\\1&0&0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(a)⋅A(b)=A(a)−A(b)+I3\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(a)-A(b)+I_{3}, pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu explicit matricele A(a)\displaystyle A(a) și A(b)\displaystyle A(b), înlocuind pe rând a și b în forma generală dată în enunț.
    A(a)=(001a−1a100)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}0&0&1\\a&-1&a\\1&0&0\end{pmatrix},A(b)=(001b−1b100)\displaystyle \quad A(b)=\begin{pmatrix}0&0&1\\b&-1&b\\1&0&0\end{pmatrix}
  2. Se calculează prima linie a produsului A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b), înmulțind linia (0,0,1)\displaystyle (0,0,1) din A(a)\displaystyle A(a) cu fiecare coloană din A(b)\displaystyle A(b).
    (0,0,1)⋅A(b)=(0⋅0+0⋅b+1⋅1, 0⋅0+0⋅(−1)+1⋅0, 0⋅1+0⋅b+1⋅0)=(1,0,0)\displaystyle (0,0,1)\cdot A(b)=(0\cdot0+0\cdot b+1\cdot1,\ 0\cdot0+0\cdot(-1)+1\cdot0,\ 0\cdot1+0\cdot b+1\cdot0)=(1,0,0)
  3. Se calculează a doua linie a produsului, înmulțind linia (a,−1,a)\displaystyle (a,-1,a) din A(a)\displaystyle A(a) cu fiecare coloană din A(b)\displaystyle A(b).
    (a,−1,a)⋅A(b)=(a⋅0+(−1)⋅b+a⋅1, a⋅0+(−1)⋅(−1)+a⋅0, a⋅1+(−1)⋅b+a⋅0)=(a−b, 1, a−b)\displaystyle (a,-1,a)\cdot A(b)=(a\cdot0+(-1)\cdot b+a\cdot1,\ a\cdot0+(-1)\cdot(-1)+a\cdot0,\ a\cdot1+(-1)\cdot b+a\cdot0)=(a-b,\ 1,\ a-b)
  4. Se calculează a treia linie a produsului, înmulțind linia (1,0,0)\displaystyle (1,0,0) din A(a)\displaystyle A(a) cu fiecare coloană din A(b)\displaystyle A(b).
    (1,0,0)⋅A(b)=(1⋅0+0⋅b+0⋅1, 1⋅0+0⋅(−1)+0⋅0, 1⋅1+0⋅b+0⋅0)=(0,0,1)\displaystyle (1,0,0)\cdot A(b)=(1\cdot0+0\cdot b+0\cdot1,\ 1\cdot0+0\cdot(-1)+0\cdot0,\ 1\cdot1+0\cdot b+0\cdot0)=(0,0,1)
  5. Se adună cele trei linii calculate pentru a obține matricea produs A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b).
    A(a)⋅A(b)=(100a−b1a−b001)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&0&0\\a-b&1&a-b\\0&0&1\end{pmatrix}
  6. Se descompune matricea obținută ca sumă între o matrice care conține doar termenii cu a−b\displaystyle a-b și matricea identitate I3\displaystyle I_3, pentru a evidenția legătura cu A(a)\displaystyle A(a) și A(b)\displaystyle A(b).
    (100a−b1a−b001)=(000a−b0a−b000)+(100010001)\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\a-b&1&a-b\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\a-b&0&a-b\\0&0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
  7. Se observă că matricea cu termenii a−b\displaystyle a-b este exact diferența A(a)−A(b)\displaystyle A(a)-A(b), deci se obține identitatea cerută, valabilă pentru orice numere reale a și b.
    A(a)⋅A(b)=A(a)−A(b)+I3, pentru orice numere \displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(a)-A(b)+I_{3}\text{, pentru orice numere }reale a s¸i b\displaystyle \text{reale }a\text{ şi }b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele I3=(100010001)\displaystyle I_{3}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} și A(a)=(001a−1a100)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}0&0&1\\a&-1&a\\1&0&0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M3(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}) pentru care A(1)⋅X⋅A(0)=I3\displaystyle A(1)\cdot X\cdot A(0)=I_{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică ecuația matriceală care trebuie rezolvată (conform enunțului problemei, la punctul c): se caută matricea X\displaystyle X astfel încât A(1)⋅X⋅A(0)=I3\displaystyle A(1)\cdot X\cdot A(0)=I_3.
    A(1)⋅X⋅A(0)=I3\displaystyle A(1)\cdot X\cdot A(0)=I_{3}
  2. Se particularizează matricea A(a)\displaystyle A(a) pentru a=1\displaystyle a=1 și pentru a=0\displaystyle a=0, scriind explicit cele două matrice.
    A(1)=(0011−11100), A(0)=(0010−10100)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&-1&1\\1&0&0\end{pmatrix}\text{, }A(0)=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}
  3. Se reamintește rezultatul demonstrat la punctul b), și anume că, pentru orice număr real a, matricea A(a)\displaystyle A(a) verifică relația A(a)⋅A(a)=I3\displaystyle A(a)\cdot A(a)=I_3, deci A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă și este propria sa inversă.
    A(a)⋅A(a)=I3, ∀a∈R\displaystyle A(a)\cdot A(a)=I_{3}\text{, }\forall a\in\mathbb{R}
  4. Se particularizează relația de la punctul b) pentru a=1\displaystyle a=1 și pentru a=0\displaystyle a=0, obținând că A(1)\displaystyle A(1) și A(0)\displaystyle A(0) sunt inversabile și fiecare este propria sa inversă.
    (A(1))−1=A(1), (A(0))−1=A(0)\displaystyle (A(1))^{-1}=A(1)\text{, }(A(0))^{-1}=A(0)
  5. Se înmulțește ecuația A(1)⋅X⋅A(0)=I3\displaystyle A(1)\cdot X\cdot A(0)=I_3 la stânga cu (A(1))−1\displaystyle (A(1))^{-1} și la dreapta cu (A(0))−1\displaystyle (A(0))^{-1}, folosind faptul că (A(1))−1A(1)=I3\displaystyle (A(1))^{-1}A(1)=I_3 și A(0)(A(0))−1=I3\displaystyle A(0)(A(0))^{-1}=I_3, pentru a izola X\displaystyle X.
    X=(A(1))−1⋅I3⋅(A(0))−1=(A(1))−1⋅(A(0))−1\displaystyle X=(A(1))^{-1}\cdot I_{3}\cdot(A(0))^{-1}=(A(1))^{-1}\cdot(A(0))^{-1}
  6. Deoarece (A(1))−1=A(1)\displaystyle (A(1))^{-1}=A(1) și (A(0))−1=A(0)\displaystyle (A(0))^{-1}=A(0), rezultă că X=A(1)⋅A(0)\displaystyle X=A(1)\cdot A(0). Se efectuează înmulțirea celor două matrice, linie cu coloană, și se obține matricea finală X.
    X=(A(1))−1⋅(A(0))−1=A(1)⋅A(0)=(100111001)\displaystyle X=(A(1))^{-1}\cdot(A(0))^{-1}=A(1)\cdot A(0)=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea M=[3,+∞)\displaystyle M=[3,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=m(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=m(x-3)(y-3)+3, unde m∈(0,∞)\displaystyle m\in(0,\infty).

Arătați că 3∘5=3\displaystyle 3\circ5=3, pentru orice m∈(0,∞)\displaystyle m\in(0,\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată în enunț, cu x și y generice, pentru a identifica formula pe care trebuie să o aplicăm.
    x∘y=m(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=m(x-3)(y-3)+3
  2. Se identifică valorile concrete care trebuie substituite: x=3\displaystyle x=3 și y=5\displaystyle y=5, conform expresiei cerute 3∘5\displaystyle 3\circ 5.
    x=3\displaystyle x=3, y=5\displaystyle \text{ }y=5
  3. Se înlocuiește x=3\displaystyle x=3 și y=5\displaystyle y=5 direct în formula legii de compoziție.
    3∘5=m(3−3)(5−3)+3=\displaystyle 3\circ5=m(3-3)(5-3)+3=
  4. Se calculează diferențele din paranteze: 3−3=0\displaystyle 3-3=0 și 5−3=2\displaystyle 5-3=2.
    3−3=0, 5−3=2\displaystyle 3-3=0\text{, }5-3=2
  5. Se înlocuiește în expresie și se observă că produsul conține factorul 0\displaystyle 0, deci întregul termen cu m se anulează, indiferent de valoarea lui m.
    =m⋅0⋅2+3=3, pentru orice m∈(0,∞)\displaystyle =m\cdot0\cdot2+3=3\text{, pentru orice }m\in(0,\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea M=[3,+∞)\displaystyle M=[3,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=m(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=m(x-3)(y-3)+3, unde m∈(0,∞)\displaystyle m\in(0,\infty).

Pentru m=2\displaystyle m=2, arătați că e=72\displaystyle e=\frac{7}{2} este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie condiția ca un element e∈M\displaystyle e\in M să fie element neutru pentru legea "∘\displaystyle \circ": trebuie ca x∘e=x\displaystyle x\circ e=x și e∘x=x\displaystyle e\circ x=x, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M, folosind legea de compoziție dată cu m=2\displaystyle m=2.
    x∘e=2(x−3)(e−3)+3=x s¸i e∘x=2(e−3)(x−3)+3=x, pentru orice x∈M\displaystyle x\circ e=2(x-3)(e-3)+3=x\text{ şi }e\circ x=2(e-3)(x-3)+3=x\text{, pentru orice }x\in M
  2. Din egalitatea 2(x−3)(e−3)+3=x\displaystyle 2(x-3)(e-3)+3=x se scoate factorul (x−3)\displaystyle (x-3) și se simplifică, obținându-se o ecuație în e\displaystyle e care trebuie să fie adevărată pentru orice x∈M\displaystyle x\in M, deci coeficientul lui (x−3)\displaystyle (x-3) trebuie să fie egal cu 1\displaystyle 1.
    2(x−3)(e−3)=x−3⇒2(e−3)=1, pentru orice x∈M\displaystyle 2(x-3)(e-3)=x-3\Rightarrow 2(e-3)=1\text{, pentru orice }x\in M, x≠3\displaystyle \ x\neq 3
  3. Se rezolvă ecuația 2(e−3)=1\displaystyle 2(e-3)=1 pentru a determina valoarea candidatului la elementul neutru e\displaystyle e.
    e−3=12⇒e=3+12=72\displaystyle e-3=\frac{1}{2}\Rightarrow e=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}
  4. Se verifică prima egalitate, x∘e=x\displaystyle x\circ e=x, înlocuind e=72\displaystyle e=\dfrac{7}{2} și m=2\displaystyle m=2 în legea de compoziție, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
    x∘72=2(x−3)(72−3)+3=2(x−3)⋅12+3=x−3+3=x, pentru orice x∈M\displaystyle x\circ\frac{7}{2}=2(x-3)\left(\frac{7}{2}-3\right)+3=2(x-3)\cdot\frac{1}{2}+3=x-3+3=x\text{, pentru orice }x\in M
  5. Se verifică a doua egalitate, e∘x=x\displaystyle e\circ x=x, înlocuind e=72\displaystyle e=\dfrac{7}{2} și m=2\displaystyle m=2 în legea de compoziție, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M, confirmându-se astfel că e=72\displaystyle e=\dfrac{7}{2} este elementul neutru al legii de compoziție "∘\displaystyle \circ".
    72∘x=2(72−3)(x−3)+3=2⋅12⋅(x−3)+3=x−3+3=x, pentru orice x∈M, deci e=72 este elementul neutru al \displaystyle \frac{7}{2}\circ x=2\left(\frac{7}{2}-3\right)(x-3)+3=2\cdot\frac{1}{2}\cdot(x-3)+3=x-3+3=x\text{, pentru orice }x\in M\text{, deci }e=\frac{7}{2}\text{ este elementul neutru al }legii de compozit¸ie „∘”\displaystyle \text{legii de compoziţie „}\circ\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea M=[3,+∞)\displaystyle M=[3,+\infty) se definește legea de compoziție x∘y=m(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=m(x-3)(y-3)+3, unde m∈(0,∞)\displaystyle m\in(0,\infty).

Se consideră funcția f:M→M\displaystyle f:M\to M, f(x)=3+x−3\displaystyle f(x)=3+\sqrt{x-3}. Pentru m=1\displaystyle m=1, arătați că f(x∘y)=f(x)∘f(y)\displaystyle f(x\circ y)=f(x)\circ f(y), pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție pentru cazul particular m=1\displaystyle m=1, conform enunțului.
    x∘y=(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=(x-3)(y-3)+3, pentru m=1\displaystyle \text{ pentru }m=1
  2. Se identifică funcția f dată (f(x)=3+x−3\displaystyle f(x)=3+\sqrt{x-3}) și se pregătește calculul lui f(x∘y)\displaystyle f(x\circ y), scriind x∘y−3\displaystyle x\circ y-3.
    x∘y−3=(x−3)(y−3)+3−3=(x−3)(y−3)\displaystyle x\circ y-3=(x-3)(y-3)+3-3=(x-3)(y-3)
  3. Se aplică definiția funcției f expresiei x∘y\displaystyle x\circ y, obținând f(x∘y)\displaystyle f(x\circ y).
    f(x∘y)=3+x∘y−3=3+(x−3)(y−3)+3−3=3+(x−3)(y−3)\displaystyle f(x\circ y)=3+\sqrt{x\circ y-3}=3+\sqrt{(x-3)(y-3)+3-3}=3+\sqrt{(x-3)(y-3)}
  4. Se calculează separat valorile f(x)−3\displaystyle f(x)-3 și f(y)−3\displaystyle f(y)-3, necesare pentru determinarea lui f(x)∘f(y)\displaystyle f(x)\circ f(y).
    f(x)−3=x−3 și f(y)−3=y−3\displaystyle f(x)-3=\sqrt{x-3}\text{ și }f(y)-3=\sqrt{y-3}
  5. Se aplică legea de compoziție (pentru m=1\displaystyle m=1) elementelor f(x)\displaystyle f(x) și f(y)\displaystyle f(y), folosind faptul că x−3≥0\displaystyle x-3\geq 0 și y−3≥0\displaystyle y-3\geq 0, deci x−3⋅y−3=(x−3)(y−3)\displaystyle \sqrt{x-3}\cdot\sqrt{y-3}=\sqrt{(x-3)(y-3)}, obținându-se astfel egalitatea cerută.
    f(x)∘f(y)=(f(x)−3)(f(y)−3)+3=x−3⋅y−3+3=3+(x−3)(y−3)=f(x∘y), pentru orice x\displaystyle f(x)\circ f(y)=\left(f(x)-3\right)\left(f(y)-3\right)+3=\sqrt{x-3}\cdot\sqrt{y-3}+3=3+\sqrt{(x-3)(y-3)}=f(x\circ y)\text{, pentru orice }x,y∈M\displaystyle y\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−e−xx−1\displaystyle f(x)=x-\frac{e^{-x}}{x-1}.

Arătați că f′(x)=(x−1)2+xe−x(x−1)2\displaystyle f'(x)=\frac{(x-1)^{2}+xe^{-x}}{(x-1)^{2}}, x∈(1,∞)\displaystyle x\in(1,\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie funcția ca diferență între x și câtul e−xx−1\displaystyle \dfrac{e^{-x}}{x-1}, pentru a deriva termen cu termen: derivata lui x este 1, iar pentru al doilea termen se aplică regula de derivare a câtului (uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}, cu u=e−x\displaystyle u=e^{-x}, v=x−1\displaystyle v=x-1.
    u=e−x, v=x−1, u′=−e−x, v′=1\displaystyle u=e^{-x}\text{, }v=x-1\text{, }u'=-e^{-x}\text{, }v'=1
  2. Se aplică formula derivatei câtului pentru termenul e−xx−1\displaystyle \dfrac{e^{-x}}{x-1}, înlocuind u, v, u', v' găsite anterior.
    (e−xx−1)′=−e−x(x−1)−e−x⋅1(x−1)2\displaystyle \left(\frac{e^{-x}}{x-1}\right)'=\frac{-e^{-x}(x-1)-e^{-x}\cdot 1}{(x-1)^{2}}
  3. Se scrie derivata funcției f ca diferență între derivata lui x (egală cu 1) și derivata câtului calculată mai sus, obținându-se forma cerută de barem la primul pas de control.
    f′(x)=1−−e−x(x−1)−e−x(x−1)2\displaystyle f'(x)=1-\frac{-e^{-x}(x-1)-e^{-x}}{(x-1)^{2}}
  4. Se prelucrează numărătorul fracției: se dă factor comun −e−x\displaystyle -e^{-x} și se adună termenii din paranteză.
    −e−x(x−1)−e−x=−e−x[(x−1)+1]=−e−x⋅x=−xe−x\displaystyle -e^{-x}(x-1)-e^{-x}=-e^{-x}\left[(x-1)+1\right]=-e^{-x}\cdot x=-xe^{-x}
  5. Se înlocuiește numărătorul simplificat în expresia derivatei, obținându-se un semn minus în fața unei fracții negative, care devine plus.
    f′(x)=1−−xe−x(x−1)2=1+xe−x(x−1)2\displaystyle f'(x)=1-\frac{-xe^{-x}}{(x-1)^{2}}=1+\frac{xe^{-x}}{(x-1)^{2}}
  6. Se aduc termenii la același numitor (x−1)2\displaystyle (x-1)^2, obținând forma finală a derivatei, valabilă pe domeniul de definiție al lui f.
    f′(x)=1+xe−x(x−1)2=(x−1)2+xe−x(x−1)2, x∈(1,+∞)\displaystyle f'(x)=1+\frac{xe^{-x}}{(x-1)^{2}}=\frac{(x-1)^{2}+xe^{-x}}{(x-1)^{2}}\text{, }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−e−xx−1\displaystyle f(x)=x-\frac{e^{-x}}{x-1}.

Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie condiția generală de existență a asimptotei oblice spre +∞\displaystyle +\infty: dacă există și sunt finite limitele m=lim⁡f(x)x\displaystyle m=\lim\frac{f(x)}{x} și n=lim⁡(f(x)−mx)\displaystyle n=\lim(f(x)-mx), atunci dreapta y=mx+n\displaystyle y=mx+n este asimptotă oblică.
    m=lim⁡x→+∞f(x)x, n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\text{, }n=\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-mx\right)
  2. Se scrie explicit raportul f(x)x\displaystyle \frac{f(x)}{x}, folosind expresia funcției date.
    f(x)x=x−e−xx−1x=1−e−xx(x−1)\displaystyle \frac{f(x)}{x}=\frac{x-\dfrac{e^{-x}}{x-1}}{x}=1-\frac{e^{-x}}{x(x-1)}
  3. Se analizează limita termenului care conține exponențiala: la numărător e−x→0\displaystyle e^{-x}\to 0 (pentru x→+∞\displaystyle x\to+\infty), iar la numitor x(x−1)→+∞\displaystyle x(x-1)\to+\infty, deci fracția tinde la 0.
    lim⁡x→+∞e−xx(x−1)=0+∞=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{-x}}{x(x-1)}=\frac{0}{+\infty}=0
  4. Se calculează limita raportului f(x)x\displaystyle \frac{f(x)}{x}, obținându-se panta m a asimptotei oblice.
    lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞(1−e−xx(x−1))=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{e^{-x}}{x(x-1)}\right)=1
  5. Cu m=1\displaystyle m=1, se scrie diferența f(x)−x\displaystyle f(x)-x, folosind din nou expresia funcției.
    f(x)−x=(x−e−xx−1)−x=−e−xx−1\displaystyle f(x)-x=\left(x-\frac{e^{-x}}{x-1}\right)-x=-\frac{e^{-x}}{x-1}
  6. Se analizează limita acestei diferențe: e−x→0\displaystyle e^{-x}\to 0, iar x−1→+∞\displaystyle x-1\to+\infty, deci raportul tinde la 0, ceea ce dă valoarea lui n.
    lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞(−e−xx−1)=0\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{e^{-x}}{x-1}\right)=0
  7. Deoarece ambele limite m=1\displaystyle m=1 și n=0\displaystyle n=0 sunt finite, se conclude că dreapta y=x\displaystyle y=x este asimptotă oblică spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f.
    lim⁡x→+∞(f(x)−x)=lim⁡x→+∞(−e−xx−1)=0, deci dreapta de ecuat¸ie y=x este asimptota oblica˘ \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{e^{-x}}{x-1}\right)=0\text{, deci dreapta de ecuaţie }y=x\text{ este asimptota oblică }spre +∞ la graficul funct¸iei f\displaystyle \text{spre }+\infty\text{ la graficul funcţiei }f
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x−e−xx−1\displaystyle f(x)=x-\frac{e^{-x}}{x-1}.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este bijectivă.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, aplicând regula câtului pentru termenul e−xx−1\displaystyle \frac{e^{-x}}{x-1}. Notăm u=e−x\displaystyle u=e^{-x}, v=x−1\displaystyle v=x-1, deci u′=−e−x\displaystyle u'=-e^{-x}, v′=1\displaystyle v'=1.
    (e−xx−1)′=−e−x(x−1)−e−x⋅1(x−1)2=−e−x[(x−1)+1](x−1)2=−xe−x(x−1)2\displaystyle \left(\frac{e^{-x}}{x-1}\right)'=\frac{-e^{-x}(x-1)-e^{-x}\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{-e^{-x}\left[(x-1)+1\right]}{(x-1)^2}=\frac{-xe^{-x}}{(x-1)^2}
  2. Înlocuim în expresia derivatei lui f\displaystyle f, ținând cont că f(x)=x−e−xx−1\displaystyle f(x)=x-\dfrac{e^{-x}}{x-1}, deci f′(x)=1−(e−xx−1)′\displaystyle f'(x)=1-\left(\dfrac{e^{-x}}{x-1}\right)'.
    f′(x)=1−(−xe−x(x−1)2)=1+xe−x(x−1)2\displaystyle f'(x)=1-\left(\frac{-xe^{-x}}{(x-1)^2}\right)=1+\frac{xe^{-x}}{(x-1)^2}
  3. Analizăm semnul fiecărui factor din termenul suplimentar, pentru x\displaystyle x în intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty): x>0\displaystyle x>0, e−x>0\displaystyle e^{-x}>0, (x−1)2>0\displaystyle (x-1)^2>0, deci fracția este strict pozitivă.
    x>1⇒x>0\displaystyle x>1\Rightarrow x>0, e−x>0\displaystyle \ e^{-x}>0, (x−1)2>0⇒xe−x(x−1)2>0\displaystyle \ (x-1)^2>0\Rightarrow \frac{xe^{-x}}{(x-1)^2}>0
  4. Concluzionăm semnul derivatei: fiind suma dintre 1\displaystyle 1 și un termen strict pozitiv, derivata este strict pozitivă pe tot domeniul, deci f\displaystyle f este strict crescătoare, adică injectivă.
    f′(x)>0, pentru orice x∈(1,+∞)⇒f este strict cresca˘toare \displaystyle f'(x)>0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)\Rightarrow f\text{ este strict crescătoare }pe (1,+∞), deci f este injectiva˘\displaystyle \text{pe }(1,+\infty)\text{, deci }f\text{ este injectivă}
  5. Calculăm limita funcției f\displaystyle f la capătul din stânga al intervalului, x→1\displaystyle x\to 1, x>1\displaystyle x>1. Numărătorul e−x\displaystyle e^{-x} tinde la e−1>0\displaystyle e^{-1}>0, iar numitorul x−1\displaystyle x-1 tinde la 0\displaystyle 0 prin valori pozitive, deci fracția tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→1, x>1e−xx−1=e−10+=+∞⇒lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1(x−e−xx−1)=1−∞=−∞\displaystyle \lim_{x\to1,\ x>1}\frac{e^{-x}}{x-1}=\frac{e^{-1}}{0^{+}}=+\infty\Rightarrow \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\left(x-\frac{e^{-x}}{x-1}\right)=1-\infty=-\infty
  6. Calculăm limita funcției f la +∞\displaystyle +\infty. Termenul e−x\displaystyle e^{-x} tinde la 0, iar x−1\displaystyle x-1 tinde la +∞\displaystyle +\infty, deci raportul e−xx−1\displaystyle \frac{e^{-x}}{x-1} tinde la 0, iar x domină, ducând la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞e−xx−1=0⇒lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞(x−e−xx−1)=+∞−0=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{-x}}{x-1}=0\Rightarrow \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(x-\frac{e^{-x}}{x-1}\right)=+\infty-0=+\infty
  7. Observăm că f este continuă pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), fiind formată din diferența a două funcții continue: x\displaystyle x și e−xx−1\displaystyle \frac{e^{-x}}{x-1} (raport de funcții continue cu numitor nenul pe domeniu).
    f este continua˘ pe (1,+∞), fiind \displaystyle f\text{ este continuă pe }(1,+\infty)\text{, fiind }suma˘/produs/raport de \displaystyle \text{sumă/produs/raport de }funcții elementare \displaystyle \text{funcții elementare }continue, cu numitorul x−1≠0\displaystyle \text{continue, cu numitorul }x-1\neq0
  8. Folosind faptul că f este continuă pe intervalul (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) și are limitele −∞\displaystyle -\infty la 1 și +∞\displaystyle +\infty la +∞\displaystyle +\infty, aplicăm proprietatea lui Darboux (teorema valorii intermediare) pentru a arăta că f ia toate valorile reale, deci este surjectivă. Împreună cu injectivitatea stabilită anterior, obținem că f este bijectivă.
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,lim⁡x→1f(x)=−∞ s¸i f este continua˘, deci f este surjectiva˘, de unde \displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=-\infty\text{ şi }f\text{ este continuă, deci }f\text{ este surjectivă, de unde }obt¸inem ca˘ f este bijectiva˘\displaystyle \text{obţinem că }f\text{ este bijectivă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2+1)2\displaystyle f(x)=\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Arătați că ∫13f(x)(x2+1)2dx=4\displaystyle \int_{1}^{3}f(x)(x^{2}+1)^{2}dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției date și se identifică produsul care trebuie calculat.
    f(x)=x(x2+1)2\displaystyle f(x)=\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}
  2. Se înmulțește f(x)\displaystyle f(x) cu (x2+1)2\displaystyle (x^2+1)^2 pentru a simplifica fracția, obținând un termen polinomial simplu.
    f(x)⋅(x2+1)2=x(x2+1)2⋅(x2+1)2=x\displaystyle f(x)\cdot(x^{2}+1)^{2}=\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\cdot(x^{2}+1)^{2}=x
  3. Se înlocuiește produsul simplificat în integrala definită și se calculează antiderivata funcției x, obținând x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}, evaluată între limitele 1 și 3.
    ∫13f(x)(x2+1)2dx=∫13xdx=x22∣13=\displaystyle \int_{1}^{3}f(x)(x^{2}+1)^{2}dx=\int_{1}^{3}xdx=\frac{x^{2}}{2}\bigg|_{1}^{3}=
  4. Se calculează valorile antiderivatei x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2} la capetele intervalului, x=3\displaystyle x=3 și x=1\displaystyle x=1, obținând 92\displaystyle \dfrac{9}{2} și 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    322−122=92−12\displaystyle \frac{3^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}
  5. Se efectuează scăderea fracțiilor pentru a obține rezultatul final al integralei definite.
    =92−12=4\displaystyle =\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2+1)2\displaystyle f(x)=\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Arătați că ∫01f(x)dx=14\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{1}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică integrala ce trebuie calculată, pornind de la funcția dată.
    ∫01f(x)dx=∫01x(x2+1)2dx\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}dx
  2. Se observă că numărătorul x\displaystyle x este, până la un factor constant, derivata expresiei de la numitor. Se notează u=x2+1\displaystyle u=x^{2}+1, deci u′=2x\displaystyle u'=2x.
    u=x2+1⇒u′=2x\displaystyle u=x^{2}+1\Rightarrow u'=2x
  3. Se scrie integrandul sub forma u′u2\displaystyle \dfrac{u'}{u^{2}}, introducând factorul 12\displaystyle \dfrac{1}{2} pentru a compensa faptul că u′=2x\displaystyle u'=2x, nu x\displaystyle x.
    ∫01x(x2+1)2dx=12∫01(x2+1)′(x2+1)2dx\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{(x^{2}+1)'}{(x^{2}+1)^{2}}dx
  4. Se folosește formula de integrare ∫u′u2dx=−1u+C\displaystyle \int \dfrac{u'}{u^{2}}dx=-\dfrac{1}{u}+C, aplicată pentru u=x2+1\displaystyle u=x^{2}+1, obținându-se primitiva funcției.
    12∫(x2+1)′(x2+1)2dx=−12⋅1x2+1+C\displaystyle \frac{1}{2}\int\frac{(x^{2}+1)'}{(x^{2}+1)^{2}}dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}+C
  5. Se scrie integrala definită folosind primitiva găsită, evaluată pe intervalul [0,1]\displaystyle [0,1].
    ∫01f(x)dx=∫01x(x2+1)2dx=12∫01(x2+1)′(x2+1)2dx=−12⋅1x2+1∣01=\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{(x^{2}+1)'}{(x^{2}+1)^{2}}dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}\bigg|_{0}^{1}=
  6. Se calculează valorile primitivei la capetele intervalului: pentru x=1\displaystyle x=1 se obține −12⋅12=−14\displaystyle -\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}, iar pentru x=0\displaystyle x=0 se obține −12⋅11=−12\displaystyle -\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1}=-\dfrac{1}{2}.
    −12⋅112+1−(−12⋅102+1)=−14−(−12)\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1^{2}+1}-\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{0^{2}+1}\right)=-\frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)
  7. Se efectuează scăderea și se obține rezultatul final al integralei.
    =−14+12=14\displaystyle =-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x(x2+1)2\displaystyle f(x)=\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01xnxf(x)dx\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}\sqrt{xf(x)}dx. Arătați că In−In+4=2(n+2)(n+4)\displaystyle I_{n}-I_{n+4}=\frac{2}{(n+2)(n+4)}, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul x⋅f(x)\displaystyle x\cdot f(x), folosind expresia dată a funcției f.
    x⋅f(x)=x⋅x(x2+1)2=x2(x2+1)2\displaystyle x\cdot f(x)=x\cdot\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
  2. Extragem radicalul, ținând cont că pentru x din intervalul [0,1]\displaystyle [0,1] avem x≥0\displaystyle x\geq 0, deci x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0 și radicalul se simplifică direct.
    xf(x)=x2(x2+1)2=xx2+1\displaystyle \sqrt{x f(x)}=\sqrt{\frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}}=\frac{x}{x^{2}+1}
  3. Înlocuim în definiția lui In\displaystyle I_{n} și simplificăm integrandul, obținând forma echivalentă a integralei.
    In=∫01xnxf(x)dx=∫01xn+1x2+1dx, pentru orice numa˘r \displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}\sqrt{xf(x)}dx=\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}}{x^{2}+1}dx\text{, pentru orice număr }natural nenul n\displaystyle \text{natural nenul }n
  4. Scriem, folosind aceeași formulă, expresia lui In+4\displaystyle I_{n+4}, înlocuind n cu n+4\displaystyle n+4.
    In+4=∫01xn+5x2+1dx\displaystyle I_{n+4}=\int_{0}^{1}\frac{x^{n+5}}{x^{2}+1}dx
  5. Scriem diferența In−In+4\displaystyle I_{n} - I_{n+4} ca o singură integrală, aducând cele două fracții la același numitor.
    In−In+4=∫01xn+1−xn+5x2+1dx=∫01xn+1(1−x4)x2+1dx\displaystyle I_{n}-I_{n+4}=\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}-x^{n+5}}{x^{2}+1}dx=\int_{0}^{1}\frac{x^{n+1}(1-x^{4})}{x^{2}+1}dx
  6. Factorizăm 1−x4\displaystyle 1-x^{4} ca diferență de pătrate, obținând (1−x2)(1+x2)\displaystyle (1-x^{2})(1+x^{2}), și simplificăm cu numitorul x2+1\displaystyle x^{2}+1.
    xn+1(1−x4)x2+1=xn+1(1−x2)(1+x2)x2+1=xn+1(1−x2)\displaystyle \frac{x^{n+1}(1-x^{4})}{x^{2}+1}=\frac{x^{n+1}(1-x^{2})(1+x^{2})}{x^{2}+1}=x^{n+1}(1-x^{2})
  7. Integrala devine o integrală polinomială simplă; desfacem paranteza pentru a integra termen cu termen.
    In−In+4=∫01xn+1(1−x2)dx=∫01(xn+1−xn+3)dx\displaystyle I_{n}-I_{n+4}=\int_{0}^{1}x^{n+1}(1-x^{2})dx=\int_{0}^{1}\left(x^{n+1}-x^{n+3}\right)dx
  8. Calculăm cele două integrale de puteri folosind formula ∫xk dx=xk+1k+1\displaystyle \int x^{k} \, dx = \frac{x^{k+1}}{k+1}, evaluând între 0 și 1.
    ∫01xn+1dx=xn+2n+2∣01=1n+2, ∫01xn+3dx=xn+4n+4∣01=1n+4\displaystyle \int_{0}^{1}x^{n+1}dx=\frac{x^{n+2}}{n+2}\bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{n+2}\text{, }\int_{0}^{1}x^{n+3}dx=\frac{x^{n+4}}{n+4}\bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{n+4}
  9. Scădem cele două rezultate și aducem la același numitor pentru a obține forma finală a diferenței In−In+4\displaystyle I_{n} - I_{n+4}.
    In−In+4=xn+2n+2∣01−xn+4n+4∣01=1n+2−1n+4=2(n+2)(n+4), pentru orice numa˘r \displaystyle I_{n}-I_{n+4}=\frac{x^{n+2}}{n+2}\bigg|_{0}^{1}-\frac{x^{n+4}}{n+4}\bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+4}=\frac{2}{(n+2)(n+4)}\text{, pentru orice număr }natural nenul n\displaystyle \text{natural nenul }n
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.