Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 4: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră un număr complex z\displaystyle z care are proprietatea z2=1−i\displaystyle z^2=1-i. Arătați că z4+2i=0\displaystyle z^4+2i=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem z4\displaystyle z^{4} ca pătratul lui z2\displaystyle z^{2}, deoarece știm cât este z2\displaystyle z^{2}: z4=(z2)2\displaystyle z^{4}=\left(z^{2}\right)^{2}.
    z4=(z2)2\displaystyle z^{4}=\left(z^{2}\right)^{2}
  2. Înlocuim z2=1−i\displaystyle z^{2}=1-i în relația de mai sus.
    z4=(1−i)2\displaystyle z^{4}=(1-i)^{2}
  3. Dezvoltăm pătratul diferenței cu formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} și folosim i2=−1\displaystyle i^{2}=-1: (1−i)2=1−2i+i2=1−2i−1\displaystyle (1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=1-2i-1.
    z4=(1−i)2=1−2i+i2=1−2i−1=−2i\displaystyle z^{4}=(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=1-2i-1=-2i
  4. Adunăm 2i\displaystyle 2i la z4=−2i\displaystyle z^{4}=-2i și obținem z4+2i=−2i+2i=0\displaystyle z^{4}+2i=-2i+2i=0, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    z4+2i=−2i+2i=0\displaystyle z^{4}+2i=-2i+2i=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−2x+m\displaystyle f(x)=x^2-2x+m, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care f(x)>1\displaystyle f(x)>1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Condiția f(x)>1\displaystyle f(x)>1 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} înseamnă că valoarea minimă a funcției trebuie să fie mai mare decât 1\displaystyle 1. Coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este a=1>0\displaystyle a=1>0, deci ramurile parabolei sunt în sus și funcția are un minim.
    a=1>0, funcția are valoare \displaystyle a=1>0\text{, funcția are valoare }minima˘\displaystyle \text{minimă}
  2. Identificăm coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=m\displaystyle c=m și calculăm discriminantul Δ=b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅m\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot m.
    Δ=4−4m\displaystyle \Delta=4-4m
  3. Valoarea minimă a funcției este −Δ4a\displaystyle -\dfrac{\Delta}{4a}. Înlocuim Δ\displaystyle \Delta și a=1\displaystyle a=1 și simplificăm.
    −Δ4⋅1=−4−4m4=m−1\displaystyle -\frac{\Delta}{4\cdot 1}=-\frac{4-4m}{4}=m-1
  4. Impunem ca valoarea minimă să fie mai mare decât 1\displaystyle 1: m−1>1\displaystyle m-1>1, deci m>2\displaystyle m>2. Prin urmare m\displaystyle m aparține intervalului (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty).
    m−1>1, deci m∈(2,+∞)\displaystyle m-1>1\text{, deci }m\in(2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡5(x+2)+log⁡5(2x−1)=2\displaystyle \log_5(x+2)+\log_5(2x-1)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: x+2>0\displaystyle x+2>0 și 2x−1>0\displaystyle 2x-1>0. Din a doua condiție rezultă x>12\displaystyle x>\dfrac{1}{2}, care o include pe prima. Deci x∈(12,+∞)\displaystyle x\in\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right).
    x∈(12,+∞)\displaystyle x\in\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)
  2. Folosim formula sumei logaritmilor: log⁡5a+log⁡5b=log⁡5(ab)\displaystyle \log_5 a+\log_5 b=\log_5(ab). Ecuația devine log⁡5[(x+2)(2x−1)]=2\displaystyle \log_5\left[(x+2)(2x-1)\right]=2.
    log⁡5[(x+2)(2x−1)]=2\displaystyle \log_5\left[(x+2)(2x-1)\right]=2
  3. Din definiția logaritmului, argumentul este egal cu 52=25\displaystyle 5^{2}=25. Desfacem parantezele: (x+2)(2x−1)=2x2−x+4x−2=2x2+3x−2\displaystyle (x+2)(2x-1)=2x^{2}-x+4x-2=2x^{2}+3x-2. Egalăm cu 25 și obținem 2x2+3x−27=0\displaystyle 2x^{2}+3x-27=0.
    (x+2)(2x−1)=25⇒2x2+3x−27=0\displaystyle (x+2)(2x-1)=25\Rightarrow 2x^{2}+3x-27=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=32−4⋅2⋅(−27)=9+216=225\displaystyle \Delta=3^{2}-4\cdot 2\cdot(-27)=9+216=225, deci Δ=15\displaystyle \sqrt{\Delta}=15.
    Δ=225\displaystyle \Delta=225, Δ=15\displaystyle \ \sqrt{\Delta}=15
  5. Aflăm rădăcinile: x=−3±154\displaystyle x=\dfrac{-3\pm 15}{4}. Obținem x=3\displaystyle x=3 sau x=−92\displaystyle x=-\dfrac{9}{2}.
    x1=3\displaystyle x_1=3, x2=−92\displaystyle \ x_2=-\dfrac{9}{2}
  6. Verificăm condiția de existență x>12\displaystyle x>\dfrac{1}{2}. Valoarea −92\displaystyle -\dfrac{9}{2} este negativă, deci nu convine. Valoarea 3\displaystyle 3 este mai mare decât 12\displaystyle \dfrac{1}{2}, deci convine. Verificare: log⁡55+log⁡55=1+1=2\displaystyle \log_5 5+\log_5 5=1+1=2. Soluția ecuației este x=3\displaystyle x=3.
    x=−92, care nu convine; x=3, care convine\displaystyle x=-\dfrac{9}{2}\text{, care nu convine; }x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă suma cifrelor divizibilă cu 9\displaystyle 9.
Vezi rezolvarea
  1. Cazurile posibile sunt numerele naturale de trei cifre, adică 100,101,…,999\displaystyle 100, 101, \ldots, 999. Numărul lor este 999−100+1\displaystyle 999-100+1.
    999−100+1=900\displaystyle 999-100+1=900
  2. Conform criteriului de divizibilitate cu 9\displaystyle 9, suma cifrelor este divizibilă cu 9\displaystyle 9 exact când numărul este divizibil cu 9\displaystyle 9. Căutăm deci multiplii de 9\displaystyle 9 de forma 9k\displaystyle 9k care sunt numere de trei cifre, adică 100≤9k≤999\displaystyle 100\le 9k\le 999.
    100≤9k≤999\displaystyle 100\le 9k\le 999
  3. Cum 9⋅11=99<100\displaystyle 9\cdot 11=99<100 și 9⋅12=108≥100\displaystyle 9\cdot 12=108\ge 100, cel mai mic multiplu este 9⋅12\displaystyle 9\cdot 12. Cum 999=9⋅111\displaystyle 999=9\cdot 111, cel mai mare multiplu este 9⋅111\displaystyle 9\cdot 111. Deci k∈{12,13,14,…,111}\displaystyle k\in\{12,13,14,\ldots,111\}.
    {9⋅12,9⋅13,9⋅14,…,9⋅111}\displaystyle \{9\cdot 12, 9\cdot 13, 9\cdot 14,\ldots, 9\cdot 111\}
  4. Numărul valorilor lui k\displaystyle k de la 12\displaystyle 12 la 111\displaystyle 111 este 111−12+1\displaystyle 111-12+1, deci sunt 100\displaystyle 100 de cazuri favorabile.
    {9⋅12,9⋅13,9⋅14,…,9⋅111} are 100 de elemente\displaystyle \{9\cdot 12, 9\cdot 13, 9\cdot 14,\ldots, 9\cdot 111\}\text{ are }100\text{ de elemente}
  5. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și cel al cazurilor posibile: p=100900\displaystyle p=\dfrac{100}{900}. Simplificând cu 100\displaystyle 100 obținem 19\displaystyle \dfrac{1}{9}.
    p=100900=19\displaystyle p=\frac{100}{900}=\frac{1}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,1)\displaystyle A(2,1), B(3,2)\displaystyle B(3,2) și C(4,5)\displaystyle C(4,5). Determinați coordonatele punctului D\displaystyle D, știind că AB→+AC→+AD→=0⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\vec{0}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm vectorul AB→\displaystyle \overrightarrow{AB} scăzând coordonatele lui A\displaystyle A din cele ale lui B\displaystyle B: AB→=(3−2)i⃗+(2−1)j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=(3-2)\vec{i}+(2-1)\vec{j}.
    AB→=i⃗+j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=\vec{i}+\vec{j}
  2. Calculăm vectorul AC→\displaystyle \overrightarrow{AC} scăzând coordonatele lui A\displaystyle A din cele ale lui C\displaystyle C: AC→=(4−2)i⃗+(5−1)j⃗\displaystyle \overrightarrow{AC}=(4-2)\vec{i}+(5-1)\vec{j}.
    AC→=2i⃗+4j⃗\displaystyle \overrightarrow{AC}=2\vec{i}+4\vec{j}
  3. Notăm D(xD,yD)\displaystyle D(x_D,y_D) și scriem vectorul AD→\displaystyle \overrightarrow{AD} în coordonate, scăzând coordonatele lui A\displaystyle A din cele ale lui D\displaystyle D.
    AD→=(xD−2)i⃗+(yD−1)j⃗\displaystyle \overrightarrow{AD}=(x_D-2)\vec{i}+(y_D-1)\vec{j}
  4. Adunăm cei trei vectori și egalăm cu vectorul nul: (1+2+xD−2)i⃗+(1+4+yD−1)j⃗=0⃗\displaystyle (1+2+x_D-2)\vec{i}+(1+4+y_D-1)\vec{j}=\vec{0}. Fiecare coeficient trebuie să fie zero.
    {xD+1=0yD+4=0\displaystyle \begin{cases} x_D+1=0 \\ y_D+4=0 \end{cases}
  5. Rezolvăm cele două ecuații: xD=−1\displaystyle x_D=-1 și yD=−4\displaystyle y_D=-4, deci punctul este D(−1,−4)\displaystyle D(-1,-4).
    xD=−1\displaystyle x_D=-1, yD=−4\displaystyle \ y_D=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1) pentru care 4cos⁡xcos⁡(π−x)+3=0\displaystyle 4\cos x\cos(\pi-x)+3=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula de reducere: cos⁡(π−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(\pi-x)=-\cos x.
    cos⁡(π−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(\pi-x)=-\cos x
  2. Înlocuim în ecuație: 4cos⁡x⋅(−cos⁡x)+3=0\displaystyle 4\cos x\cdot(-\cos x)+3=0, adică −4cos⁡2x+3=0\displaystyle -4\cos^2 x+3=0.
    −4cos⁡2x+3=0\displaystyle -4\cos^2 x+3=0
  3. Mutăm termenul 3\displaystyle 3 în dreapta: −4cos⁡2x=−3\displaystyle -4\cos^2 x=-3, apoi împărțim ambii membri la −4\displaystyle -4.
    cos⁡2x=34\displaystyle \cos^2 x=\frac{3}{4}
  4. Intervalul (0,1)\displaystyle (0,1) este inclus în (0,π2)\displaystyle \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), deoarece 1<π2\displaystyle 1<\dfrac{\pi}{2}. Pe acest interval cos⁡x>0\displaystyle \cos x>0, deci păstrăm doar rădăcina pozitivă.
    cos⁡x=32\displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}
  5. Soluția din (0,π2)\displaystyle \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) este x=π6\displaystyle x=\dfrac{\pi}{6}. Verificăm: π6≈0,52∈(0,1)\displaystyle \dfrac{\pi}{6}\approx 0{,}52\in(0,1), deci convine.
    cos⁡x=32 și x=π6, care convine\displaystyle \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{ și }x=\frac{\pi}{6}\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricele A=(100020003)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix} și B=(010001000)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=6\displaystyle \det A=6.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, care este o matrice diagonală de ordin 3\displaystyle 3.
    det⁡A=∣100020003∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus: adunăm produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi scădem produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
    det⁡A=1⋅2⋅3+0⋅0⋅0+0⋅0⋅0−0⋅2⋅0−0⋅0⋅1−3⋅0⋅0\displaystyle \det A=1\cdot 2\cdot 3+0\cdot 0\cdot 0+0\cdot 0\cdot 0-0\cdot 2\cdot 0-0\cdot 0\cdot 1-3\cdot 0\cdot 0
  3. Toți termenii care conțin un element nul sunt egali cu 0\displaystyle 0, deci rămâne doar produsul elementelor de pe diagonala principală. Obținem det⁡A=1⋅2⋅3=6\displaystyle \det A=1\cdot 2\cdot 3=6.
    det⁡A=1⋅2⋅3+0+0−0−0−0=6\displaystyle \det A=1\cdot 2\cdot 3+0+0-0-0-0=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricele A=(100020003)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix} și B=(010001000)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅B+B=B⋅A\displaystyle A\cdot B+B=B\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B. Fiind diagonală, matricea A\displaystyle A înmulțește fiecare linie a lui B\displaystyle B cu elementul corespunzător de pe diagonală: linia 1 cu 1\displaystyle 1, linia 2 cu 2\displaystyle 2, linia 3 cu 3\displaystyle 3.
    A⋅B=(010002000)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricea B\displaystyle B la A⋅B\displaystyle A\cdot B, element cu element.
    A⋅B+B=(010002000)+(010001000)=(020003000)\displaystyle A\cdot B+B=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A. Acum matricea diagonală A\displaystyle A este în dreapta și înmulțește fiecare coloană a lui B\displaystyle B cu elementul corespunzător de pe diagonală: coloana 1 cu 1\displaystyle 1, coloana 2 cu 2\displaystyle 2, coloana 3 cu 3\displaystyle 3. Elementul 1\displaystyle 1 din poziția (1,2)\displaystyle (1,2) devine 2\displaystyle 2, iar elementul 1\displaystyle 1 din poziția (2,3)\displaystyle (2,3) devine 3\displaystyle 3.
    B⋅A=(020003000)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}
  4. Comparăm rezultatele de la pașii 2 și 3: cele două matrice sunt egale, deci egalitatea cerută este adevărată.
    A⋅B+B=(020003000)=B⋅A\displaystyle A\cdot B+B=\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}=B\cdot A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricele A=(100020003)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix} și B=(010001000)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, știind că (x+1)A⋅B+(y−2)B⋅A=B⋅B⋅B\displaystyle (x+1)A\cdot B+(y-2)B\cdot A=B\cdot B\cdot B.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B. Înmulțirea cu matricea diagonală A\displaystyle A din stânga înmulțește fiecare linie a lui B\displaystyle B cu elementul diagonal corespunzător: linia 1 cu 1\displaystyle 1, linia 2 cu 2\displaystyle 2, linia 3 cu 3\displaystyle 3.
    A⋅B=(010002000)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A. Înmulțirea cu matricea diagonală A\displaystyle A din dreapta înmulțește fiecare coloană a lui B\displaystyle B cu elementul diagonal corespunzător: coloana 1 cu 1\displaystyle 1, coloana 2 cu 2\displaystyle 2, coloana 3 cu 3\displaystyle 3.
    B⋅A=(020003000)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm B⋅B⋅B\displaystyle B\cdot B\cdot B. Mai întâi B⋅B\displaystyle B\cdot B are un singur element nenul, în colțul din dreapta sus, iar apoi înmulțirea cu B\displaystyle B dă matricea nulă.
    B⋅B=(001000000)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},B⋅B⋅B=O3\displaystyle \quad B\cdot B\cdot B=O_3
  4. Înlocuim în egalitatea dată: (x+1)(010002000)+(y−2)(020003000)=O3\displaystyle (x+1)\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}+(y-2)\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}=O_3. Egalăm cu zero elementele de pe pozițiile (1,2)\displaystyle (1,2) și (2,3)\displaystyle (2,3) și obținem sistemul.
    {x+1+2(y−2)=02(x+1)+3(y−2)=0\displaystyle \begin{cases}x+1+2(y-2)=0\\2(x+1)+3(y-2)=0\end{cases}
  5. Notăm u=x+1\displaystyle u=x+1 și v=y−2\displaystyle v=y-2. Din prima ecuație u=−2v\displaystyle u=-2v. Înlocuim în a doua: −4v+3v=0\displaystyle -4v+3v=0, deci v=0\displaystyle v=0 și apoi u=0\displaystyle u=0.
    x+1=0 și y−2=0\displaystyle x+1=0\text{ și }y-2=0
  6. Revenim la x\displaystyle x și y\displaystyle y și obținem soluția.
    x=−1\displaystyle x=-1, y=2\displaystyle \ y=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor naturale nenule se definește legea de compoziție x∗y=xy\displaystyle x*y=x^y.

Arătați că 2∗4=4∗2\displaystyle 2*4=4*2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii x∗y=xy\displaystyle x*y=x^{y}. Pentru 2∗4\displaystyle 2*4 luăm x=2\displaystyle x=2 și y=4\displaystyle y=4, deci obținem 24\displaystyle 2^{4}.
    2∗4=24\displaystyle 2*4=2^{4}
  2. Calculăm puterea: 24=2⋅2⋅2⋅2\displaystyle 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2, adică 16\displaystyle 16.
    2∗4=24=16\displaystyle 2*4=2^{4}=16
  3. La fel, pentru 4∗2\displaystyle 4*2 luăm x=4\displaystyle x=4 și y=2\displaystyle y=2, deci obținem 42\displaystyle 4^{2}.
    4∗2=42\displaystyle 4*2=4^{2}
  4. Calculăm: 42=4⋅4=16\displaystyle 4^{2}=4\cdot 4=16. Am obținut același rezultat ca la 2∗4\displaystyle 2*4, deci cele două expresii sunt egale.
    4∗2=42=16, deci 2∗4=4∗2\displaystyle 4*2=4^{2}=16\text{, deci }2*4=4*2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor naturale nenule se definește legea de compoziție x∗y=xy\displaystyle x*y=x^y.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” nu este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă dacă x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere naturale nenule x\displaystyle x și y\displaystyle y. Pentru a arăta că nu este comutativă, este suficient un contraexemplu: alegem x=2\displaystyle x=2 și y=1\displaystyle y=1, ambele numere naturale nenule.
    x=2\displaystyle x=2, y=1\displaystyle \ y=1
  2. Calculăm 2∗1\displaystyle 2*1 folosind definiția x∗y=xy\displaystyle x*y=x^y: 2∗1=21\displaystyle 2*1=2^1.
    2∗1=21=2\displaystyle 2*1=2^1=2
  3. Calculăm 1∗2\displaystyle 1*2 cu aceeași definiție: 1∗2=12\displaystyle 1*2=1^2.
    1∗2=12=1\displaystyle 1*2=1^2=1
  4. Cum 2≠1\displaystyle 2\neq 1, avem 2∗1≠1∗2\displaystyle 2*1\neq 1*2. Deci există două numere naturale nenule pentru care rezultatul depinde de ordine, adică legea „∗\displaystyle *” nu este comutativă.
    2∗1≠1∗2, legea de compoziție „∗” nu este comutativa˘\displaystyle 2*1\neq 1*2\text{, legea de compoziție }\text{„}*\text{” nu este comutativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor naturale nenule se definește legea de compoziție x∗y=xy\displaystyle x*y=x^y.

Determinați numerele naturale nenule n\displaystyle n pentru care (2∗2)∗n<64\displaystyle (2*2)*n<64.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm mai întâi 2∗2\displaystyle 2*2 folosind definiția x∗y=xy\displaystyle x*y=x^y. Obținem 2∗2=22=4\displaystyle 2*2=2^2=4.
    2∗2=22=4\displaystyle 2*2=2^{2}=4
  2. Înlocuim în inegalitate: (2∗2)∗n=4∗n=4n\displaystyle (2*2)*n=4*n=4^n. Inegalitatea devine 4n<64\displaystyle 4^n<64.
    (2∗2)∗n<64⇔4∗n<64⇔4n<64\displaystyle (2*2)*n<64\Leftrightarrow 4*n<64\Leftrightarrow 4^{n}<64
  3. Scriem 64=43\displaystyle 64=4^3, deci inegalitatea devine 4n<43\displaystyle 4^n<4^3.
    4n<43\displaystyle 4^{n}<4^{3}
  4. Baza 4\displaystyle 4 este mai mare decât 1\displaystyle 1, deci funcția t↦4t\displaystyle t\mapsto 4^t este strict crescătoare. De aceea inegalitatea dintre puteri revine la inegalitatea dintre exponenți: n<3\displaystyle n<3.
    n<3\displaystyle n<3
  5. Cum n\displaystyle n este număr natural nenul, din n<3\displaystyle n<3 rezultă că n\displaystyle n poate fi doar 1\displaystyle 1 sau 2\displaystyle 2.
    n=1 sau n=2\displaystyle n=1\text{ sau }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+ln⁡(x2+x+1)\displaystyle f(x)=2x+\ln\left(x^2+x+1\right).

Arătați că f′(x)=2x2+4x+3x2+x+1\displaystyle f'(x)=\frac{2x^2+4x+3}{x^2+x+1}, x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția f(x)=2x+ln⁡(x2+x+1)\displaystyle f(x)=2x+\ln\left(x^2+x+1\right) este o sumă, deci derivăm fiecare termen separat. Derivata lui 2x\displaystyle 2x este 2\displaystyle 2.
    (2x)′=2\displaystyle (2x)'=2
  2. Pentru logaritm folosim formula (ln⁡u)′=u′u\displaystyle \left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}. Aici u=x2+x+1\displaystyle u=x^2+x+1, iar u′=2x+1\displaystyle u'=2x+1. Expresia x2+x+1\displaystyle x^2+x+1 este mereu pozitivă, deci logaritmul este definit pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    (ln⁡(x2+x+1))′=2x+1x2+x+1\displaystyle \left(\ln\left(x^2+x+1\right)\right)'=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}
  3. Adunăm derivatele celor doi termeni și obținem derivata funcției f\displaystyle f.
    f′(x)=2+2x+1x2+x+1\displaystyle f'(x)=2+\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}
  4. Aducem la numitor comun: scriem 2=2(x2+x+1)x2+x+1\displaystyle 2=\dfrac{2\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1}.
    f′(x)=2(x2+x+1)+2x+1x2+x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2\left(x^2+x+1\right)+2x+1}{x^2+x+1}
  5. Desfacem parantezele la numărător: 2x2+2x+2+2x+1\displaystyle 2x^2+2x+2+2x+1, apoi reducem termenii asemenea și obținem 2x2+4x+3\displaystyle 2x^2+4x+3. Prin urmare formula cerută este demonstrată pentru orice x\displaystyle x real.
    f′(x)=2x2+4x+3x2+x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x^2+4x+3}{x^2+x+1}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+ln⁡(x2+x+1)\displaystyle f(x)=2x+\ln\left(x^2+x+1\right).

Calculați lim⁡x→+∞(f(x+1)−f(x))\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x+1)-f(x)\right).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu x+1\displaystyle x+1 în f(x)=2x+ln⁡(x2+x+1)\displaystyle f(x)=2x+\ln\left(x^2+x+1\right) și obținem f(x+1)=2(x+1)+ln⁡((x+1)2+(x+1)+1)\displaystyle f(x+1)=2(x+1)+\ln\left((x+1)^2+(x+1)+1\right).
    f(x+1)=2(x+1)+ln⁡((x+1)2+(x+1)+1)\displaystyle f(x+1)=2(x+1)+\ln\left((x+1)^2+(x+1)+1\right)
  2. Dezvoltăm expresia de sub logaritm: (x+1)2+(x+1)+1=x2+2x+1+x+1+1=x2+3x+3\displaystyle (x+1)^2+(x+1)+1=x^2+2x+1+x+1+1=x^2+3x+3.
    f(x+1)=2(x+1)+ln⁡(x2+3x+3)\displaystyle f(x+1)=2(x+1)+\ln\left(x^2+3x+3\right)
  3. Scriem diferența: f(x+1)−f(x)=2(x+1)+ln⁡(x2+3x+3)−2x−ln⁡(x2+x+1)\displaystyle f(x+1)-f(x)=2(x+1)+\ln\left(x^2+3x+3\right)-2x-\ln\left(x^2+x+1\right). Termenii 2x\displaystyle 2x se reduc, rămâne 2\displaystyle 2, iar logaritmii se grupează cu ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\displaystyle \ln a-\ln b=\ln\dfrac{a}{b}.
    f(x+1)−f(x)=2+ln⁡x2+3x+3x2+x+1\displaystyle f(x+1)-f(x)=2+\ln\frac{x^2+3x+3}{x^2+x+1}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  4. Pentru fracția din logaritm, ambele polinoame au gradul 2 și coeficienții dominanți 1, deci lim⁡x→+∞x2+3x+3x2+x+1=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+3x+3}{x^2+x+1}=1.
    lim⁡x→+∞x2+3x+3x2+x+1=1\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3x+3}{x^2+x+1}=1
  5. Cum ln⁡\displaystyle \ln este continuă în 1\displaystyle 1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0, avem lim⁡x→+∞(2+ln⁡x2+3x+3x2+x+1)=2+ln⁡1=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(2+\ln\dfrac{x^2+3x+3}{x^2+x+1}\right)=2+\ln 1=2.
    lim⁡x→+∞(f(x+1)−f(x))=2+ln⁡1=2\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x+1)-f(x)\right)=2+\ln 1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+ln⁡(x2+x+1)\displaystyle f(x)=2x+\ln\left(x^2+x+1\right).

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este bijectivă.
Vezi rezolvarea
  1. Expresia x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1 are discriminantul Δ=−3<0\displaystyle \Delta=-3<0 și coeficientul dominant pozitiv, deci este strict pozitivă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Derivăm: f′(x)=2+2x+1x2+x+1\displaystyle f'(x)=2+\dfrac{2x+1}{x^{2}+x+1}. Aducem la același numitor.
    f′(x)=2(x2+x+1)+2x+1x2+x+1=2x2+4x+3x2+x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2\left(x^{2}+x+1\right)+2x+1}{x^{2}+x+1}=\dfrac{2x^{2}+4x+3}{x^{2}+x+1}
  2. Numărătorul 2x2+4x+3\displaystyle 2x^{2}+4x+3 are Δ=16−24=−8<0\displaystyle \Delta=16-24=-8<0 și coeficientul dominant pozitiv, deci este pozitiv. Numitorul x2+x+1\displaystyle x^{2}+x+1 este și el pozitiv. Rezultă că f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deci f\displaystyle f este strict crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}, prin urmare injectivă.
    f′(x)>0, pentru orice x∈R⇒f strict cresca˘toare⇒f injectiva˘\displaystyle f'(x)>0\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}\Rightarrow f\text{ strict crescătoare}\Rightarrow f\text{ injectivă}
  3. Pentru surjectivitate calculăm limitele la capetele domeniului. Când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, atât 2x→+∞\displaystyle 2x\to+\infty, cât și ln⁡(x2+x+1)→+∞\displaystyle \ln\left(x^{2}+x+1\right)\to+\infty, deci și suma tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  4. Pentru x→−∞\displaystyle x\to-\infty apare nedeterminarea ∞−∞\displaystyle \infty-\infty. Scoatem x2\displaystyle x^{2} de sub logaritm, pentru x≠0\displaystyle x\neq 0: f(x)=2x+2ln⁡∣x∣+ln⁡(1+1x+1x2)\displaystyle f(x)=2x+2\ln|x|+\ln\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right). Ultimul termen tinde la 0\displaystyle 0. Scoatem factor comun pe x\displaystyle x din primii doi termeni: 2x+2ln⁡∣x∣=2x(1+ln⁡∣x∣x)\displaystyle 2x+2\ln|x|=2x\left(1+\dfrac{\ln|x|}{x}\right), iar ln⁡∣x∣x→0\displaystyle \dfrac{\ln|x|}{x}\to 0, deci paranteza tinde la 1\displaystyle 1, iar produsul cu 2x\displaystyle 2x tinde la −∞\displaystyle -\infty.
    f(x)=2x(1+ln⁡∣x∣x)+ln⁡(1+1x+1x2)⇒lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle f(x)=2x\left(1+\dfrac{\ln|x|}{x}\right)+\ln\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)\Rightarrow\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty
  5. Funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind suma dintre o funcție polinomială și compunerea dintre ln⁡\displaystyle \ln și un polinom pozitiv. Cum limitele la capete sunt −∞\displaystyle -\infty și +∞\displaystyle +\infty, din proprietatea lui Darboux imaginea lui f\displaystyle f este R\displaystyle \mathbb{R}, deci f\displaystyle f este surjectivă. Fiind și injectivă, f\displaystyle f este bijectivă.
    lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, f continua˘⇒f surjectiva˘, deci \displaystyle \ f\text{ continuă}\Rightarrow f\text{ surjectivă, deci }bijectiva˘\displaystyle \text{bijectivă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1.

Arătați că ∫01f(x) dx=0\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu 2x−1\displaystyle 2x-1 în integrala dată: ∫01f(x) dx=∫01(2x−1) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 (2x-1)\,dx.
    ∫01f(x) dx=∫01(2x−1) dx\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx=\int_0^1 (2x-1)\,dx
  2. Aflăm o primitivă a lui f\displaystyle f. O primitivă a lui 2x\displaystyle 2x este x2\displaystyle x^{2}, iar o primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x. Deci F(x)=x2−x\displaystyle F(x)=x^{2}-x este o primitivă a lui f\displaystyle f. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫01(2x−1) dx=F(1)−F(0)\displaystyle \int_0^1 (2x-1)\,dx=F(1)-F(0).
    ∫01(2x−1) dx=(x2−x)∣01\displaystyle \int_0^1 (2x-1)\,dx=\left(x^{2}-x\right)\Big|_0^1
  3. Calculăm valoarea primitivei în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0 și facem diferența: F(1)=12−1=0\displaystyle F(1)=1^{2}-1=0 și F(0)=02−0=0\displaystyle F(0)=0^{2}-0=0. Deci integrala este 0−0=0\displaystyle 0-0=0, ceea ce trebuia arătat.
    (12−1)−(02−0)=1−1=0\displaystyle \left(1^{2}-1\right)-\left(0^{2}-0\right)=1-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1.

Calculați ∫01ex∣f(x)∣dx\displaystyle \int_0^1 e^x\left|f(x)\right|dx.
Vezi rezolvarea
  1. Determinăm semnul lui f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1 pe [0,1]\displaystyle [0,1]. Avem f(x)=0\displaystyle f(x)=0 pentru x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}, f(x)≤0\displaystyle f(x)\le 0 pe [0,12]\displaystyle \left[0,\dfrac{1}{2}\right] și f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge 0 pe [12,1]\displaystyle \left[\dfrac{1}{2},1\right]. Deci ∣f(x)∣=1−2x\displaystyle |f(x)|=1-2x pe prima parte și ∣f(x)∣=2x−1\displaystyle |f(x)|=2x-1 pe a doua.
    ∣f(x)∣={1−2x,x∈[0,12]2x−1,x∈[12,1]\displaystyle |f(x)|=\begin{cases}1-2x,& x\in\left[0,\frac12\right]\\ 2x-1,& x\in\left[\frac12,1\right]\end{cases}
  2. Împărțim integrala în două, în punctul 12\displaystyle \dfrac{1}{2}, unde f\displaystyle f își schimbă semnul.
    ∫01ex∣f(x)∣dx=∫012ex(1−2x)dx+∫121ex(2x−1)dx\displaystyle \int_0^1 e^x|f(x)|dx=\int_0^{\frac12}e^x(1-2x)dx+\int_{\frac12}^1 e^x(2x-1)dx
  3. Calculăm o primitivă a lui ex(1−2x)\displaystyle e^x(1-2x) prin părți: alegem u=1−2x\displaystyle u=1-2x și dv=exdx\displaystyle dv=e^x dx, deci du=−2 dx\displaystyle du=-2\,dx și v=ex\displaystyle v=e^x. Rezultă ∫ex(1−2x)dx=ex(1−2x)+2∫exdx=ex(1−2x)+2ex=ex(3−2x)\displaystyle \int e^x(1-2x)dx=e^x(1-2x)+2\int e^x dx=e^x(1-2x)+2e^x=e^x(3-2x).
    ∫ex(1−2x)dx=ex(3−2x)+C\displaystyle \int e^x(1-2x)dx=e^x(3-2x)+C
  4. Primitiva lui ex(2x−1)\displaystyle e^x(2x-1) este opusa celei anterioare: ex(2x−3)\displaystyle e^x(2x-3). Verificăm prin derivare: (ex(2x−3))′=ex(2x−3)+2ex=ex(2x−1)\displaystyle \left(e^x(2x-3)\right)'=e^x(2x-3)+2e^x=e^x(2x-1). Scriem integrala cu primitivele găsite.
    ∫01ex∣f(x)∣dx=ex(3−2x)∣012+ex(2x−3)∣121\displaystyle \int_0^1 e^x|f(x)|dx=e^x(3-2x)\Big|_0^{\frac12}+e^x(2x-3)\Big|_{\frac12}^1
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Pentru prima parte: e12(3−1)−e0⋅3=2e−3\displaystyle e^{\frac12}(3-1)-e^0\cdot 3=2\sqrt{e}-3. Pentru a doua parte: e(2−3)−e12(1−3)=−e+2e\displaystyle e(2-3)-e^{\frac12}(1-3)=-e+2\sqrt{e}.
    (2e−3)+(−e+2e)\displaystyle \left(2\sqrt{e}-3\right)+\left(-e+2\sqrt{e}\right)
  6. Adunăm cele două rezultate și obținem valoarea integralei.
    4e−e−3\displaystyle 4\sqrt{e}-e-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1.

Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n, se consideră numărul In=∫01fn(x) dx\displaystyle I_n=\int_0^1 f^n(x)\,dx. Calculați lim⁡n→+∞In\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=2x−1\displaystyle f(x)=2x-1 în integrală. Aici fn(x)=(2x−1)n\displaystyle f^n(x)=(2x-1)^n este puterea a n\displaystyle n-a a lui f(x)\displaystyle f(x).
    In=∫01(2x−1)n dx\displaystyle I_n=\int_0^1(2x-1)^n\,dx
  2. Găsim o primitivă. Derivata lui (2x−1)n+1\displaystyle (2x-1)^{n+1} este (n+1)(2x−1)n⋅2\displaystyle (n+1)(2x-1)^{n}\cdot 2, deci o primitivă a lui (2x−1)n\displaystyle (2x-1)^n este împărțită la 2(n+1)\displaystyle 2(n+1).
    ∫(2x−1)n dx=(2x−1)n+12(n+1)+C\displaystyle \int(2x-1)^n\,dx=\frac{(2x-1)^{n+1}}{2(n+1)}+C
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: calculăm primitiva în 1\displaystyle 1 și în 0\displaystyle 0. Pentru x=1\displaystyle x=1 avem 2x−1=1\displaystyle 2x-1=1, iar pentru x=0\displaystyle x=0 avem 2x−1=−1\displaystyle 2x-1=-1.
    In=1n+1−(−1)n+12(n+1)=1−(−1)n+12(n+1)\displaystyle I_n=\frac{1^{n+1}-(-1)^{n+1}}{2(n+1)}=\frac{1-(-1)^{n+1}}{2(n+1)}
  4. Evaluăm numărătorul: (−1)n+1∈{−1,1}\displaystyle (-1)^{n+1}\in\{-1,1\}, deci 1−(−1)n+1∈{0,2}\displaystyle 1-(-1)^{n+1}\in\{0,2\} și 0≤1−(−1)n+1≤2\displaystyle 0\le 1-(-1)^{n+1}\le 2. Împărțind la 2(n+1)>0\displaystyle 2(n+1)>0 obținem o dublă inegalitate pentru In\displaystyle I_n.
    0≤In≤22(n+1)=1n+1\displaystyle 0\le I_n\le\frac{2}{2(n+1)}=\frac{1}{n+1}
  5. Cum lim⁡n→+∞0=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}0=0 și lim⁡n→+∞1n+1=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1}=0, din criteriul cleștelui rezultă limita lui In\displaystyle I_n.
    lim⁡n→+∞In=0\displaystyle \lim_{n\to+\infty}I_n=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.