Bac matematică M1 mate-info 2014, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, știind că a+ib\displaystyle a+ib este conjugatul numărului complex z=1+i1−i\displaystyle z=\frac{1+i}{1-i}.
Vezi rezolvarea
  1. Amplificăm fracția cu conjugatul numitorului, adică cu 1+i\displaystyle 1+i, ca să scăpăm de i\displaystyle i de la numitor: z=1+i1−i⋅1+i1+i\displaystyle z=\dfrac{1+i}{1-i}\cdot\dfrac{1+i}{1+i}.
    z=(1+i)2(1−i)(1+i)\displaystyle z=\dfrac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)}
  2. Calculăm numărătorul: (1+i)2=1+2i+i2=2i\displaystyle (1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i. Numitorul este (1−i)(1+i)=1−i2=2\displaystyle (1-i)(1+i)=1-i^{2}=2, deoarece i2=−1\displaystyle i^{2}=-1.
    z=2i2=i\displaystyle z=\dfrac{2i}{2}=i
  3. Conjugatul se obține schimbând semnul părții imaginare: pentru z=i=0+1⋅i\displaystyle z=i=0+1\cdot i avem z‾=0−i\displaystyle \overline{z}=0-i.
    z‾=−i\displaystyle \overline{z}=-i
  4. Din ipoteză, a+ib=z‾=−i=0+(−1)⋅i\displaystyle a+ib=\overline{z}=-i=0+(-1)\cdot i. Cum a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt reale, identificăm părțile reale și imaginare: a=0\displaystyle a=0 și b=−1\displaystyle b=-1.
    a=0\displaystyle a=0, b=−1\displaystyle \ b=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x2−4)=log⁡3(6x−12)\displaystyle \log_3\left(x^2-4\right)=\log_3(6x-12).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, adică x2−4>0\displaystyle x^{2}-4>0 și 6x−12>0\displaystyle 6x-12>0.
    x2−4>0 și 6x−12>0\displaystyle x^{2}-4>0\text{ și }6x-12>0
  2. Din a doua condiție obținem x>2\displaystyle x>2. Atunci și prima condiție este îndeplinită, deoarece x2−4=(x−2)(x+2)\displaystyle x^{2}-4=(x-2)(x+2), iar ambii factori sunt pozitivi. Deci domeniul este x∈(2,+∞)\displaystyle x\in(2,+\infty).
    x∈(2,+∞)\displaystyle x\in(2,+\infty)
  3. Logaritmul în baza 3 este injectiv, deci egalăm argumentele: x2−4=6x−12\displaystyle x^{2}-4=6x-12.
    x2−4=6x−12\displaystyle x^{2}-4=6x-12
  4. Mutăm toți termenii în partea stângă și obținem ecuația de gradul al doilea x2−6x+8=0\displaystyle x^{2}-6x+8=0.
    x2−6x+8=0\displaystyle x^{2}-6x+8=0
  5. Calculăm discriminantul: Δ=36−32=4\displaystyle \Delta=36-32=4, deci Δ=2\displaystyle \sqrt{\Delta}=2. Rădăcinile sunt x1=6−22=2\displaystyle x_1=\dfrac{6-2}{2}=2 și x2=6+22=4\displaystyle x_2=\dfrac{6+2}{2}=4.
    x1=2\displaystyle x_1=2, x2=4\displaystyle \ x_2=4
  6. Verificăm condiția de existență x>2\displaystyle x>2. Valoarea x1=2\displaystyle x_1=2 nu convine, deoarece pentru ea argumentele devin 0\displaystyle 0. Valoarea x2=4\displaystyle x_2=4 convine: argumentele sunt 12\displaystyle 12 și 12\displaystyle 12, ambele pozitive. Soluția ecuației este x=4\displaystyle x=4.
    x1=2 nu convine și x2=4 verifica˘ ecuația, deci x=4\displaystyle x_1=2\text{ nu convine și }x_2=4\text{ verifică ecuația, deci }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să fie divizibil cu 100\displaystyle 100.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de trei cifre sunt cele de la 100\displaystyle 100 la 999\displaystyle 999. Numărul lor este 999−100+1\displaystyle 999-100+1, deci avem 900\displaystyle 900 de cazuri posibile.
    900\displaystyle 900
  2. Numerele de trei cifre divizibile cu 100\displaystyle 100 au forma 100⋅k\displaystyle 100\cdot k, unde k∈{1,2,…,9}\displaystyle k\in\{1,2,\dots,9\}, adică 100,200,…,900\displaystyle 100, 200, \dots, 900 (pentru k=10\displaystyle k=10 s-ar obține 1000\displaystyle 1000, care are patru cifre).
    {100,200,300,400,500,600,700,800,900}\displaystyle \{100,200,300,400,500,600,700,800,900\}
  3. Numărăm aceste numere: avem 9\displaystyle 9 cazuri favorabile.
    9 cazuri favorabile\displaystyle 9\text{ cazuri favorabile}
  4. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=9900\displaystyle p=\dfrac{9}{900}. Simplificând prin 9\displaystyle 9, obținem p=1100\displaystyle p=\dfrac{1}{100}.
    p=9900=1100\displaystyle p=\frac{9}{900}=\frac{1}{100}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră punctele A\displaystyle A, B\displaystyle B și C\displaystyle C astfel încât AB→=4i⃗−3j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}=4\vec{i}-3\vec{j} și BC→=2i⃗−5j⃗\displaystyle \overrightarrow{BC}=2\vec{i}-5\vec{j}. Determinați lungimea vectorului AB→+AC→+BC→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim relația lui Chasles: AC→=AB→+BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.
    AC→=AB→+BC→\displaystyle \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}
  2. Adunăm componentele pe direcțiile i⃗\displaystyle \vec{i} și j⃗\displaystyle \vec{j}: 4+2=6\displaystyle 4+2=6 și −3+(−5)=−8\displaystyle -3+(-5)=-8.
    AC→=6i⃗−8j⃗\displaystyle \overrightarrow{AC}=6\vec{i}-8\vec{j}
  3. Calculăm lungimea vectorului AC→\displaystyle \overrightarrow{AC}: AC=62+(−8)2=36+64=100\displaystyle AC=\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}.
    AC=10\displaystyle AC=10
  4. Înlocuim AB→+BC→=AC→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} în suma cerută: AB→+AC→+BC→=AC→+AC→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.
    AB→+AC→+BC→=2AC→=12i⃗−16j⃗\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AC}=12\vec{i}-16\vec{j}
  5. Lungimea vectorului 2AC→\displaystyle 2\overrightarrow{AC} este 2⋅AC=2⋅10\displaystyle 2\cdot AC=2\cdot 10. Verificăm direct: 122+(−16)2=144+256=400=20\displaystyle \sqrt{12^{2}+(-16)^{2}}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20.
    ∣AB→+AC→+BC→∣=20\displaystyle \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right|=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea laturii AC\displaystyle AC a triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că BC=8\displaystyle BC=8, A=π4\displaystyle A=\frac{\pi}{4} și C=7π12\displaystyle C=\frac{7\pi}{12}.
Vezi rezolvarea
  1. Suma unghiurilor unui triunghi este π\displaystyle \pi, deci B=π−A−C=π−π4−7π12\displaystyle B=\pi-A-C=\pi-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{7\pi}{12}.
    B=π−π4−7π12\displaystyle B=\pi-\frac{\pi}{4}-\frac{7\pi}{12}
  2. Aducem fracțiile la numitorul 12\displaystyle 12: π=12π12\displaystyle \pi=\dfrac{12\pi}{12} și π4=3π12\displaystyle \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{12}. Obținem B=12π−3π−7π12=2π12=π6\displaystyle B=\dfrac{12\pi-3\pi-7\pi}{12}=\dfrac{2\pi}{12}=\dfrac{\pi}{6}.
    B=π6\displaystyle B=\frac{\pi}{6}
  3. Scriem teorema sinusurilor: BCsin⁡A=ACsin⁡B\displaystyle \dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}, deoarece BC\displaystyle BC este opusă unghiului A\displaystyle A, iar AC\displaystyle AC este opusă unghiului B\displaystyle B. Cu BC=8\displaystyle BC=8, sin⁡A=sin⁡π4=22\displaystyle \sin A=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și sin⁡B=sin⁡π6=12\displaystyle \sin B=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2} obținem 822=AC12\displaystyle \dfrac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{AC}{\frac{1}{2}}.
    822=AC12\displaystyle \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{AC}{\frac{1}{2}}
  4. Exprimăm AC=8⋅1222=422=82\displaystyle AC=\dfrac{8\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{8}{\sqrt{2}}. Raționalizăm: 82=822=42\displaystyle \dfrac{8}{\sqrt{2}}=\dfrac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}.
    AC=82=42\displaystyle AC=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(x1221110−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -x \end{pmatrix}.

Arătați că A(x)+A(−x)=2A(0)\displaystyle A(x)+A(-x)=2A(0), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(−x)\displaystyle A(-x), înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în matricea dată. Doar elementele care conțin x\displaystyle x își schimbă semnul: în linia întâi apare −x\displaystyle -x, iar în linia a treia apare −(−x)=x\displaystyle -(-x)=x.
    A(−x)=(−x1221110x)\displaystyle A(-x)=\begin{pmatrix} -x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & x \end{pmatrix}
  2. Scriem suma A(x)+A(−x)\displaystyle A(x)+A(-x) cu cele două matrice.
    A(x)+A(−x)=(x1221110−x)+(−x1221110x)\displaystyle A(x)+A(-x)=\begin{pmatrix} x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & x \end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element: în prima linie x+(−x)=0\displaystyle x+(-x)=0, apoi 1+1=2\displaystyle 1+1=2 și 2+2=4\displaystyle 2+2=4; în a doua linie 4, 2, 2\displaystyle 4,\ 2,\ 2; în a treia linie 2\displaystyle 2, 0\displaystyle 0 și −x+x=0\displaystyle -x+x=0. Termenii cu x\displaystyle x dispar.
    A(x)+A(−x)=(024422200)\displaystyle A(x)+A(-x)=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}
  4. Calculăm A(0)\displaystyle A(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0, apoi înmulțim cu 2\displaystyle 2 fiecare element al matricei.
    A(0)=(012211100)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},2A(0)=(024422200)\displaystyle \quad 2A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}
  5. Matricea obținută pentru sumă coincide cu 2A(0)\displaystyle 2A(0), pentru orice număr real x\displaystyle x, deci egalitatea este demonstrată.
    A(x)+A(−x)=(024422200)=2A(0)\displaystyle A(x)+A(-x)=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}=2A(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(x1221110−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -x \end{pmatrix}. Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care det⁡(A(x))=0\displaystyle \det(A(x))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm determinantul după prima linie: det⁡(A(x))=x∣110−x∣−1⋅∣211−x∣+2∣2110∣\displaystyle \det(A(x))=x\begin{vmatrix}1&1\\0&-x\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&-x\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}.
    det⁡(A(x))=x∣110−x∣−∣211−x∣+2∣2110∣\displaystyle \det(A(x))=x\begin{vmatrix}1&1\\0&-x\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}2&1\\1&-x\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}
  2. Calculăm cei trei determinanți de ordin 2: ∣110−x∣=−x\displaystyle \begin{vmatrix}1&1\\0&-x\end{vmatrix}=-x, ∣211−x∣=−2x−1\displaystyle \begin{vmatrix}2&1\\1&-x\end{vmatrix}=-2x-1 și ∣2110∣=−1\displaystyle \begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}=-1.
    −x−2x−1−1\displaystyle \begin{array}{c}-x\\-2x-1\\-1\end{array}
  3. Înlocuim și reducem termenii: det⁡(A(x))=x⋅(−x)−(−2x−1)+2⋅(−1)=−x2+2x+1−2\displaystyle \det(A(x))=x\cdot(-x)-(-2x-1)+2\cdot(-1)=-x^{2}+2x+1-2, deci det⁡(A(x))=−x2+2x−1\displaystyle \det(A(x))=-x^{2}+2x-1.
    det⁡(A(x))=−x2+2x−1\displaystyle \det(A(x))=-x^{2}+2x-1
  4. Punem condiția det⁡(A(x))=0\displaystyle \det(A(x))=0, adică −x2+2x−1=0\displaystyle -x^{2}+2x-1=0. Înmulțim cu −1\displaystyle -1 și obținem x2−2x+1=0\displaystyle x^{2}-2x+1=0.
    x2−2x+1=0\displaystyle x^{2}-2x+1=0
  5. Membrul stâng este pătrat perfect: (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^{2}=0, deci x−1=0\displaystyle x-1=0.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr real x\displaystyle x se consideră matricea A(x)=(x1221110−x)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -x \end{pmatrix}.

Arătați că există o infinitate de matrice X∈M3,1(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}) care verifică relația A(1)⋅X=(000)\displaystyle A(1)\cdot X=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(1)\displaystyle A(1), înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în matricea dată.
    A(1)=(11221110−1)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
  2. Notăm X=(xyz)\displaystyle X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} cu x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} și efectuăm produsul A(1)⋅X\displaystyle A(1)\cdot X, pe care îl egalăm cu coloana nulă.
    (x+y+2z2x+y+zx−z)=(000)\displaystyle \begin{pmatrix} x+y+2z \\ 2x+y+z \\ x-z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
  3. Egalând componentele, obținem sistemul omogen asociat relației A(1)⋅X=O\displaystyle A(1)\cdot X=O.
    {x+y+2z=02x+y+z=0x−z=0\displaystyle \begin{cases} x+y+2z=0 \\ 2x+y+z=0 \\ x-z=0 \end{cases}
  4. Calculăm determinantul matricei sistemului, dezvoltându-l după ultima linie: Δ=1⋅∣1211∣+(−1)⋅∣1121∣\displaystyle \Delta=1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}+(-1)\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}.
    Δ=1⋅(1−2)+(−1)⋅(1−2)=−1+1=0\displaystyle \Delta=1\cdot(1-2)+(-1)\cdot(1-2)=-1+1=0
  5. Sistemul este omogen, deci are soluția nulă. Cum Δ=0\displaystyle \Delta=0, sistemul este compatibil nedeterminat. Verificare: din a treia ecuație z=x\displaystyle z=x, iar din prima y=−3x\displaystyle y=-3x; a doua ecuație devine 2x−3x+x=0\displaystyle 2x-3x+x=0, adevărată, deci pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} obținem o soluție X=(x−3xx)\displaystyle X=\begin{pmatrix} x \\ -3x \\ x \end{pmatrix}.
    Δ=0⇒sistemul are o infinitate \displaystyle \Delta=0\Rightarrow\text{sistemul are o infinitate }de soluții\displaystyle \text{de soluții}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2+mX+1\displaystyle f=X^3+mX^2+mX+1, unde m\displaystyle m este un număr real.

Calculați f(−1)\displaystyle f(-1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim X\displaystyle X cu −1\displaystyle -1 în expresia polinomului f=X3+mX2+mX+1\displaystyle f=X^3+mX^2+mX+1.
    f(−1)=(−1)3+m⋅(−1)2+m⋅(−1)+1\displaystyle f(-1)=(-1)^3+m\cdot(-1)^2+m\cdot(-1)+1
  2. Calculăm puterile: (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1 și (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1.
    f(−1)=−1+m⋅1+m⋅(−1)+1=−1+m−m+1\displaystyle f(-1)=-1+m\cdot 1+m\cdot(-1)+1=-1+m-m+1
  3. Termenii m\displaystyle m și −m\displaystyle -m se reduc, iar −1+1=0\displaystyle -1+1=0. Deci f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0, oricare ar fi m\displaystyle m.
    f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2+mX+1\displaystyle f=X^3+mX^2+mX+1, unde m\displaystyle m este un număr real.

Determinați numărul real m\displaystyle m știind că x12+x22+x32=−1\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=-1, unde x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 sunt rădăcinile complexe ale polinomului f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Polinomul f=X3+mX2+mX+1\displaystyle f=X^3+mX^2+mX+1 are coeficienții 1,m,m,1\displaystyle 1, m, m, 1. Relațiile lui Viète pentru rădăcinile x1,x2,x3\displaystyle x_1,x_2,x_3 dau suma rădăcinilor egală cu minus coeficientul lui X2\displaystyle X^2, iar suma produselor luate câte două egală cu coeficientul lui X\displaystyle X.
    x1+x2+x3=−m și x1x2+x1x3+x2x3=m\displaystyle x_1+x_2+x_3=-m\text{ și }x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m
  2. Folosim identitatea x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3), care se obține din dezvoltarea pătratului sumei.
    x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)
  3. Înlocuim x1+x2+x3=−m\displaystyle x_1+x_2+x_3=-m și x1x2+x1x3+x2x3=m\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m și obținem (−m)2−2m\displaystyle (-m)^2-2m, adică o expresie care depinde doar de m\displaystyle m.
    x12+x22+x32=(−m)2−2m=m2−2m\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-m)^2-2m=m^2-2m
  4. Din condiția x12+x22+x32=−1\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=-1 obținem ecuația m2−2m=−1\displaystyle m^2-2m=-1, adică m2−2m+1=0\displaystyle m^2-2m+1=0, care se scrie ca pătrat perfect (m−1)2=0\displaystyle (m-1)^2=0.
    m2−2m+1=0⇔(m−1)2=0\displaystyle m^2-2m+1=0\Leftrightarrow (m-1)^2=0
  5. Din (m−1)2=0\displaystyle (m-1)^2=0 rezultă m−1=0\displaystyle m-1=0, deci m=1\displaystyle m=1, care este număr real, așa cum cere enunțul.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Se consideră polinomul f=X3+mX2+mX+1\displaystyle f=X^3+mX^2+mX+1, unde m\displaystyle m este un număr real.

Determinați valorile reale ale lui m\displaystyle m pentru care toate rădăcinile polinomului f\displaystyle f sunt reale.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm că −1\displaystyle -1 este rădăcină a lui f\displaystyle f: f(−1)=−1+m−m+1=0\displaystyle f(-1)=-1+m-m+1=0. Deci f\displaystyle f se împarte exact la X+1\displaystyle X+1.
    f(−1)=−1+m−m+1=0\displaystyle f(-1)=-1+m-m+1=0
  2. Grupăm termenii: X3+1=(X+1)(X2−X+1)\displaystyle X^3+1=(X+1)(X^2-X+1) și mX2+mX=mX(X+1)\displaystyle mX^2+mX=mX(X+1). Dând factor comun X+1\displaystyle X+1, obținem f=(X+1)(X2−X+1+mX)\displaystyle f=(X+1)\left(X^2-X+1+mX\right).
    f=(X+1)(X2+(m−1)X+1)\displaystyle f=(X+1)\left(X^2+(m-1)X+1\right)
  3. Rădăcina −1\displaystyle -1 este reală, deci toate rădăcinile lui f\displaystyle f sunt reale exact când rădăcinile lui X2+(m−1)X+1\displaystyle X^2+(m-1)X+1 sunt reale, adică Δ≥0\displaystyle \Delta\ge 0. Aici a=1\displaystyle a=1, b=m−1\displaystyle b=m-1, c=1\displaystyle c=1, deci Δ=(m−1)2−4\displaystyle \Delta=(m-1)^2-4.
    Δ=(m−1)2−4≥0\displaystyle \Delta=(m-1)^2-4\ge 0
  4. Descompunem: (m−1)2−4=(m−3)(m+1)\displaystyle (m-1)^2-4=(m-3)(m+1). Inegalitatea (m−3)(m+1)≥0\displaystyle (m-3)(m+1)\ge 0 are loc când m\displaystyle m este în afara intervalului deschis dintre −1\displaystyle -1 și 3\displaystyle 3, adică m≤−1\displaystyle m\le -1 sau m≥3\displaystyle m\ge 3.
    (m−3)(m+1)≥0⇔m∈(−∞,−1]∪[3,+∞)\displaystyle (m-3)(m+1)\ge 0\Leftrightarrow m\in(-\infty,-1]\cup[3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+x+1}.

Calculați f′(x)\displaystyle f'(x), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că f(x)=u(x)\displaystyle f(x)=\sqrt{u(x)} cu u(x)=x2+x+1\displaystyle u(x)=x^2+x+1. Discriminantul lui u\displaystyle u este Δ=1−4=−3<0\displaystyle \Delta=1-4=-3<0 și coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este pozitiv, deci u(x)>0\displaystyle u(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, iar f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    u(x)=x2+x+1>0\displaystyle u(x)=x^2+x+1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Folosim formula (u)′=12u⋅u′\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u', cu u=x2+x+1\displaystyle u=x^2+x+1.
    f′(x)=12x2+x+1⋅(x2+x+1)′\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\cdot\left(x^2+x+1\right)'
  3. Calculăm (x2+x+1)′=(x2)′+(x)′+(1)′=2x+1+0\displaystyle \left(x^2+x+1\right)'=\left(x^2\right)'+(x)'+(1)'=2x+1+0.
    (x2+x+1)′=2x+1\displaystyle \left(x^2+x+1\right)'=2x+1
  4. Înlocuim (x2+x+1)′=2x+1\displaystyle \left(x^2+x+1\right)'=2x+1 în expresia lui f′(x)\displaystyle f'(x) și obținem rezultatul, valabil pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=2x+12x2+x+1, pentru orice x∈R\displaystyle f'(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+x+1}.

Determinați ecuația asimptotei spre +∞\displaystyle +\infty la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Cum f(x)→+∞\displaystyle f(x)\to+\infty când x→+∞\displaystyle x\to+\infty, căutăm o asimptotă oblică y=mx+n\displaystyle y=mx+n spre +∞\displaystyle +\infty. Panta este m=lim⁡x→+∞f(x)x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}.
    m=lim⁡x→+∞x2+x+1x\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x}
  2. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x=x2\displaystyle x=\sqrt{x^2}, deci împărțim sub radical la x2\displaystyle x^2. Fracțiile 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} și 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^2} tind la 0\displaystyle 0.
    m=lim⁡x→+∞1+1x+1x2=1\displaystyle m=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}=1
  3. Termenul liber este n=lim⁡x→+∞(f(x)−mx)=lim⁡x→+∞(x2+x+1−x)\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-mx)=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right). Limita are forma ∞−∞\displaystyle \infty-\infty, deci amplificăm cu conjugata x2+x+1+x\displaystyle \sqrt{x^2+x+1}+x.
    n=lim⁡x→+∞(x2+x+1−x)(x2+x+1+x)x2+x+1+x\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+x+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+x+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+x+1}+x}
  4. La numărător aplicăm formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^2-b^2: x2+x+1−x2=x+1\displaystyle x^2+x+1-x^2=x+1.
    n=lim⁡x→+∞x+1x2+x+1+x\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x}
  5. Împărțim numărătorul și numitorul la x>0\displaystyle x>0. Termenii 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} și 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^2} tind la 0\displaystyle 0, deci numărătorul tinde la 1\displaystyle 1, iar numitorul la 1+1=2\displaystyle 1+1=2.
    n=lim⁡x→+∞1+1x1+1x+1x2+1=12\displaystyle n=\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+1}=\frac{1}{2}
  6. Cu m=1\displaystyle m=1 și n=12\displaystyle n=\dfrac{1}{2}, asimptota oblică spre +∞\displaystyle +\infty are ecuația y=mx+n\displaystyle y=mx+n.
    y=x+12\displaystyle y=x+\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+x+1}.

Determinați intervalele de monotonie ale funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x2+x+1>0\displaystyle x^{2}+x+1>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, deoarece Δ=1−4=−3<0\displaystyle \Delta=1-4=-3<0 și coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este pozitiv. Deci f\displaystyle f este derivabilă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    x2+x+1>0\displaystyle x^{2}+x+1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm derivata cu formula (u)′=u′2u\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, unde u=x2+x+1\displaystyle u=x^{2}+x+1 și u′=2x+1\displaystyle u'=2x+1.
    f′(x)=2x+12x2+x+1\displaystyle f'(x)=\dfrac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x+1}}
  3. Rezolvăm f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Numitorul este strict pozitiv, deci fracția este zero doar când 2x+1=0\displaystyle 2x+1=0.
    f′(x)=0⇔x=−12\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}
  4. Numitorul lui f′\displaystyle f' este pozitiv, deci semnul lui f′(x)\displaystyle f'(x) este semnul lui 2x+1\displaystyle 2x+1. Pentru x≥−12\displaystyle x\ge -\dfrac{1}{2} avem 2x+1≥0\displaystyle 2x+1\ge 0, deci f′(x)≥0\displaystyle f'(x)\ge 0 și f\displaystyle f este crescătoare.
    f′(x)≥0 pentru x∈[−12,+∞)⇒f este cresca˘toare pe [−12,+∞)\displaystyle f'(x)\ge 0\text{ pentru }x\in\left[-\dfrac{1}{2},+\infty\right)\Rightarrow f\text{ este crescătoare pe }\left[-\dfrac{1}{2},+\infty\right)
  5. Pentru x≤−12\displaystyle x\le -\dfrac{1}{2} avem 2x+1≤0\displaystyle 2x+1\le 0, deci f′(x)≤0\displaystyle f'(x)\le 0 și f\displaystyle f este descrescătoare. Așadar f\displaystyle f este descrescătoare pe (−∞,−12]\displaystyle \left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right] și crescătoare pe [−12,+∞)\displaystyle \left[-\dfrac{1}{2},+\infty\right).
    f′(x)≤0 pentru x∈(−∞,−12]⇒f este descresca˘toare pe (−∞,−12]\displaystyle f'(x)\le 0\text{ pentru }x\in\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right]\Rightarrow f\text{ este descrescătoare pe }\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01(1−x)nex dx\displaystyle I_n=\int_0^1 (1-x)^n e^x\,dx.

Calculați I1\displaystyle I_1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1 avem integrala I1=∫01(1−x)ex dx\displaystyle I_1=\int_0^1 (1-x)e^x\,dx. Integrandul este produsul dintre un polinom și ex\displaystyle e^x, deci folosim integrarea prin părți.
    I1=∫01(1−x)ex dx\displaystyle I_1=\int_0^1 (1-x)e^x\,dx
  2. Alegem u=1−x\displaystyle u=1-x și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx. Atunci du=−dx\displaystyle du=-dx, iar v=ex\displaystyle v=e^x.
    u=1−x\displaystyle u=1-x, dv=ex dx ⇒ du=−dx\displaystyle \ dv=e^x\,dx\ \Rightarrow\ du=-dx, v=ex\displaystyle \ v=e^x
  3. Aplicăm formula ∫abu dv=uv∣ab−∫abv du\displaystyle \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du. Cum du=−dx\displaystyle du=-dx, obținem plus în fața integralei lui ex\displaystyle e^x.
    I1=(1−x)ex∣01+∫01ex dx\displaystyle I_1=(1-x)e^x\Big|_0^1+\int_0^1 e^x\,dx
  4. Calculăm termenul din afara integralei, înlocuind limitele: la x=1\displaystyle x=1 obținem (1−1)e1=0\displaystyle (1-1)e^1=0, iar la x=0\displaystyle x=0 obținem (1−0)e0=1\displaystyle (1-0)e^0=1.
    (1−x)ex∣01=0−1=−1\displaystyle (1-x)e^x\Big|_0^1=0-1=-1
  5. Calculăm integrala rămasă, deoarece o primitivă a lui ex\displaystyle e^x este ex\displaystyle e^x.
    ∫01ex dx=ex∣01=e−1\displaystyle \int_0^1 e^x\,dx=e^x\Big|_0^1=e-1
  6. Adunăm cele două rezultate: I1=−1+(e−1)\displaystyle I_1=-1+(e-1).
    I1=−1+e−1=e−2\displaystyle I_1=-1+e-1=e-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01(1−x)nex dx\displaystyle I_n=\int_0^1 (1-x)^n e^x\,dx.

Arătați că In+1=(n+1)In−1\displaystyle I_{n+1}=(n+1)I_n-1, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem In+1=∫01(1−x)n+1ex dx\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1 (1-x)^{n+1}e^x\,dx. Cum ex=(ex)′\displaystyle e^x=\left(e^x\right)', integrăm prin părți, cu u=(1−x)n+1\displaystyle u=(1-x)^{n+1} și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx.
    In+1=∫01(1−x)n+1(ex)′ dx\displaystyle I_{n+1}=\int_0^1 (1-x)^{n+1}\left(e^x\right)'\,dx
  2. Aplicăm formula ∫01u v′ dx=uv∣01−∫01u′ v dx\displaystyle \int_0^1 u\,v'\,dx=uv\Big|_0^1-\int_0^1 u'\,v\,dx, cu u=(1−x)n+1\displaystyle u=(1-x)^{n+1} și v=ex\displaystyle v=e^x.
    In+1=(1−x)n+1ex∣01−∫01((1−x)n+1)′ex dx\displaystyle I_{n+1}=(1-x)^{n+1}e^x\Big|_0^1-\int_0^1\left((1-x)^{n+1}\right)'e^x\,dx
  3. Calculăm termenul din afara integralei: la x=1\displaystyle x=1 avem (1−1)n+1e1=0\displaystyle (1-1)^{n+1}e^1=0, iar la x=0\displaystyle x=0 avem (1−0)n+1e0=1\displaystyle (1-0)^{n+1}e^0=1. Deci diferența este 0−1=−1\displaystyle 0-1=-1.
    (1−x)n+1ex∣01=0−1=−1\displaystyle (1-x)^{n+1}e^x\Big|_0^1=0-1=-1
  4. Derivăm (1−x)n+1\displaystyle (1-x)^{n+1} cu regula funcției compuse, ținând cont că (1−x)′=−1\displaystyle (1-x)'=-1.
    ((1−x)n+1)′=−(n+1)(1−x)n\displaystyle \left((1-x)^{n+1}\right)'=-(n+1)(1-x)^{n}
  5. Înlocuim în integrală. Semnul minus din fața integralei se combină cu cel din derivată și se obține plus.
    −∫01(−(n+1)(1−x)n)ex dx=(n+1)∫01(1−x)nex dx\displaystyle -\int_0^1\left(-(n+1)(1-x)^{n}\right)e^x\,dx=(n+1)\int_0^1(1-x)^n e^x\,dx
  6. Recunoaștem ∫01(1−x)nex dx=In\displaystyle \int_0^1(1-x)^n e^x\,dx=I_n. Adunând cele două părți obținem relația cerută, valabilă pentru orice n\displaystyle n natural nenul.
    In+1=−1+(n+1)In=(n+1)In−1, pentru orice numa˘r \displaystyle I_{n+1}=-1+(n+1)I_n=(n+1)I_n-1\text{, pentru orice număr }natural nenul n\displaystyle \text{natural nenul }n
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=∫01(1−x)nex dx\displaystyle I_n=\int_0^1 (1-x)^n e^x\,dx.

Demonstrați că In=n!(e−1−11!−…−1n!)\displaystyle I_n=n!\left(e-1-\frac{1}{1!}-\ldots-\frac{1}{n!}\right), pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Demonstrăm prin inducție matematică. Verificăm cazul n=1\displaystyle n=1: calculăm I1\displaystyle I_1 prin părți, cu u=1−x\displaystyle u=1-x și dv=exdx\displaystyle dv=e^{x}dx, apoi comparăm cu formula din enunț. Avem I1=[(1−x)ex]01+∫01ex dx=−1+(e−1)=e−2\displaystyle I_1=\left[(1-x)e^{x}\right]_0^1+\int_0^1 e^{x}\,dx=-1+(e-1)=e-2, iar 1!(e−1−11!)=e−2\displaystyle 1!\left(e-1-\dfrac{1}{1!}\right)=e-2.
    I1=e−2=1!(e−1−11!)\displaystyle I_1=e-2=1!\left(e-1-\dfrac{1}{1!}\right)
  2. Presupunem că formula este adevărată pentru un număr natural nenul k\displaystyle k, adică ipoteza de inducție, și vrem să o demonstrăm pentru k+1\displaystyle k+1.
    Ik=k!(e−1−11!−…−1k!)\displaystyle I_k=k!\left(e-1-\dfrac{1}{1!}-\ldots-\dfrac{1}{k!}\right)
  3. Folosim recurența de la punctul b. O reobținem prin integrare prin părți, cu u=(1−x)k+1\displaystyle u=(1-x)^{k+1} și dv=exdx\displaystyle dv=e^{x}dx. Avem Ik+1=[(1−x)k+1ex]01+(k+1)∫01(1−x)kex dx=−1+(k+1)Ik\displaystyle I_{k+1}=\left[(1-x)^{k+1}e^{x}\right]_0^1+(k+1)\int_0^1(1-x)^{k}e^{x}\,dx=-1+(k+1)I_k.
    Ik+1=(k+1)Ik−1\displaystyle I_{k+1}=(k+1)I_k-1
  4. Înlocuim în recurență ipoteza de inducție pentru Ik\displaystyle I_k.
    Ik+1=(k+1)⋅k!(e−1−11!−…−1k!)−1=(k+1)!(e−1−11!−…−1k!)−1\displaystyle I_{k+1}=(k+1)\cdot k!\left(e-1-\dfrac{1}{1!}-\ldots-\dfrac{1}{k!}\right)-1=(k+1)!\left(e-1-\dfrac{1}{1!}-\ldots-\dfrac{1}{k!}\right)-1
  5. Scriem termenul −1\displaystyle -1 ca produs: −1=(k+1)!⋅(−1(k+1)!)\displaystyle -1=(k+1)!\cdot\left(-\dfrac{1}{(k+1)!}\right). Apoi dăm factor comun (k+1)!\displaystyle (k+1)! și obținem formula pentru k+1\displaystyle k+1. Prin inducție, formula este adevărată pentru orice n\displaystyle n natural nenul.
    Ik+1=(k+1)!(e−1−11!−…−1k!−1(k+1)!)\displaystyle I_{k+1}=(k+1)!\left(e-1-\dfrac{1}{1!}-\ldots-\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.