Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 5: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Determinați numărul complex

\displaystyle z

, pentru care

\displaystyle z-2\overline{z}=-2+6i

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle z=a+ib$ , cu $\displaystyle a,b\in\mathbb{R}$ . Atunci conjugatul lui $\displaystyle z$ este $\displaystyle \overline{z}=a-ib$ .
$\displaystyle z=a+ib$ , $\displaystyle \quad \overline{z}=a-ib$
Înlocuim în egalitatea $\displaystyle z-2\overline{z}=-2+6i$ și obținem $\displaystyle a+ib-2(a-ib)=-2+6i$ .
$\displaystyle a+ib-2(a-ib)=-2+6i$
Desfacem parantezele: $\displaystyle a+ib-2a+2ib$ . Partea reală este $\displaystyle a-2a=-a$ , iar partea imaginară este $\displaystyle ib+2ib=3ib$ .
$\displaystyle -a+3ib=-2+6i$
Două numere complexe sunt egale când au aceleași părți reale și imaginare. Din părțile reale: $\displaystyle -a=-2$ , deci $\displaystyle a=2$ . Din părțile imaginare: $\displaystyle 3b=6$ , deci $\displaystyle b=2$ .
$\displaystyle a=2\text{ și }b=2$
Înlocuim $\displaystyle a=2$ și $\displaystyle b=2$ în $\displaystyle z=a+ib$ și obținem $\displaystyle z=2+2i$ .
$\displaystyle z=2+2i$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^2+m

, unde

\displaystyle m

este număr real pozitiv. Determinați numărul real pozitiv

\displaystyle m

pentru care numerele

\displaystyle f(0)

,

\displaystyle f(1)

și

\displaystyle f(2)

sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Vezi rezolvarea

Calculăm valorile funcției în $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 2$ , înlocuind $\displaystyle x$ în $\displaystyle f(x)=x^2+m$ : $\displaystyle f(0)=m$ , $\displaystyle f(1)=1+m$ , $\displaystyle f(2)=4+m$ .
$\displaystyle f(0)=m$ , $\displaystyle \ f(1)=1+m$ , $\displaystyle \ f(2)=4+m$
Trei numere $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice dacă $\displaystyle b^2=a\cdot c$ . Aici termenul din mijloc este $\displaystyle f(1)$ , deci $\displaystyle [f(1)]^2=f(0)\cdot f(2)$ .
$\displaystyle (1+m)^2=m(4+m)$
Dezvoltăm ambii membri: în stânga $\displaystyle (1+m)^2=m^2+2m+1$ , iar în dreapta $\displaystyle m(4+m)=4m+m^2$ .
$\displaystyle m^2+2m+1=4m+m^2$
Reducem termenii $\displaystyle m^2$ de pe ambele părți și obținem $\displaystyle 2m+1=4m$ , deci $\displaystyle 2m=1$ .
$\displaystyle 2m=1$
Împărțim la $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle m=\dfrac{1}{2}$ , care este pozitiv, deci convine. Verificare: termenii sunt $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ , $\displaystyle \dfrac{3}{2}$ , $\displaystyle \dfrac{9}{2}$ , cu rația $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle m=\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 2\log_5(x-1)=\log_5(3x+1)

.

Vezi rezolvarea

Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, adică $\displaystyle x-1>0$ și $\displaystyle 3x+1>0$ . Din prima condiție rezultă $\displaystyle x>1$ , care o include pe a doua.
$\displaystyle x\in(1,\infty)$
Folosim proprietatea logaritmului unei puteri: $\displaystyle 2\log_5(x-1)=\log_5(x-1)^{2}$ . Ecuația devine $\displaystyle \log_5(x-1)^{2}=\log_5(3x+1)$ .
$\displaystyle \log_5(x-1)^{2}=\log_5(3x+1)$
Logaritmul în baza 5 este injectiv, deci egalăm argumentele: $\displaystyle (x-1)^{2}=3x+1$ . Desfacem pătratul și aducem toți termenii într-o parte: $\displaystyle x^{2}-2x+1-3x-1=0$ , adică $\displaystyle x^{2}-5x=0$ .
$\displaystyle (x-1)^{2}=3x+1\Rightarrow x^{2}-5x=0$
Dăm factor comun $\displaystyle x$ : $\displaystyle x(x-5)=0$ , deci $\displaystyle x=0$ sau $\displaystyle x=5$ .
$\displaystyle x(x-5)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=5$
Verificăm condiția $\displaystyle x>1$ . Valoarea $\displaystyle x=0$ nu convine, pentru că $\displaystyle x-1=-1<0$ . Valoarea $\displaystyle x=5$ convine: $\displaystyle 5>1$ , iar ambele argumente sunt pozitive ( $\displaystyle 4$ și $\displaystyle 16$ ). Soluția ecuației este $\displaystyle x=5$ .
$\displaystyle x=0\text{, care nu convine; }x=5\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea

\displaystyle A=\{0,1,2,\ldots,20\}

, pătratul acestui număr să aparțină mulțimii

\displaystyle A

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$
Numărăm cazurile posibile: mulțimea $\displaystyle A$ are elementele de la $\displaystyle 0$ la $\displaystyle 20$ , deci $\displaystyle 20-0+1=21$ elemente, iar fiecare număr poate fi ales.
$\displaystyle 21$
Cerem ca pătratul numărului $\displaystyle n$ să fie în $\displaystyle A$ , adică $\displaystyle n^{2}\le 20$ . Pentru $\displaystyle n=4$ avem $\displaystyle 4^{2}=16\in A$ , iar pentru $\displaystyle n=5$ avem $\displaystyle 5^{2}=25>20$ , deci $\displaystyle 25\notin A$ .
$\displaystyle n^{2}\le 20 \Rightarrow n\le 4$
Verificăm numerele de la $\displaystyle 0$ la $\displaystyle 4$ : pătratele lor sunt $\displaystyle 0,1,4,9,16$ , toate în $\displaystyle A$ . Deci sunt $\displaystyle 5$ cazuri favorabile.
$\displaystyle 0$ , $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 3\text{ și }4\text{, deci }5$
Înlocuim în formulă: $\displaystyle p=\dfrac{5}{21}$ .
$\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{5}{21}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Se consideră punctele

\displaystyle A

,

\displaystyle B

,

\displaystyle C

și

\displaystyle D

, astfel încât

\displaystyle 2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}

. Demonstrați că

\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle 2\overrightarrow{AD}$ ca $\displaystyle \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}$ , deci relația din ipoteză devine $\displaystyle \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}$
Mutăm vectorul $\displaystyle \overrightarrow{BD}$ în membrul stâng și unul dintre vectorii $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ în membrul drept, schimbându-le semnul. Obținem $\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}$
În membrul stâng, vectorul opus lui $\displaystyle \overrightarrow{BD}$ este $\displaystyle \overrightarrow{DB}$ , deci $\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}$ . Din regula triunghiului, $\displaystyle \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}$
În membrul drept, vectorul opus lui $\displaystyle \overrightarrow{AD}$ este $\displaystyle \overrightarrow{DA}$ , deci $\displaystyle \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}$ . Din regula triunghiului, $\displaystyle \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$ .
$\displaystyle \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$
Cum membrul stâng este $\displaystyle \overrightarrow{AB}$ și membrul drept este $\displaystyle \overrightarrow{DC}$ , egalitatea din pasul 2 devine $\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

cu măsura unghiului

\displaystyle A

de

\displaystyle 30^\circ

. Arătați că lungimea laturii

\displaystyle BC

este egală cu lungimea razei cercului circumscris triunghiului.

Vezi rezolvarea

Scriem teorema sinusurilor în triunghiul $\displaystyle ABC$ , unde $\displaystyle R$ este raza cercului circumscris: raportul dintre latura $\displaystyle BC$ și sinusul unghiului opus $\displaystyle A$ este egal cu $\displaystyle 2R$ .
$\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=2R$
Înlocuim $\displaystyle A=30^\circ$ și folosim valoarea cunoscută a sinusului acestui unghi.
$\displaystyle \sin A=\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$
Înlocuim $\displaystyle \sin A=\dfrac{1}{2}$ în relația din teorema sinusurilor. Împărțirea la $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ înseamnă înmulțire cu $\displaystyle 2$ , deci obținem $\displaystyle 2BC=2R$ .
$\displaystyle \frac{BC}{\frac{1}{2}}=2R\Rightarrow 2BC=2R$
Împărțim egalitatea la $\displaystyle 2$ și obținem că lungimea laturii $\displaystyle BC$ este egală cu raza cercului circumscris triunghiului, ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle 2BC=2R\text{, deci }BC=R$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ m&1&0\\ 0&m&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det(A(m)+A(-m))=8

, pentru orice număr real

\displaystyle m

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricea $\displaystyle A(-m)$ , înlocuind $\displaystyle m$ cu $\displaystyle -m$ în matricea dată: pe diagonala principală rămân $\displaystyle 1$ , iar elementele $\displaystyle m$ devin $\displaystyle -m$ .
$\displaystyle A(-m)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ -m&1&0\\ 0&-m&1\end{pmatrix}$
Adunăm cele două matrice element cu element. Pe diagonală obținem $\displaystyle 1+1=2$ , iar elementele $\displaystyle m$ și $\displaystyle -m$ se reduc, deci devin $\displaystyle 0$ . Restul elementelor sunt $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle A(m)+A(-m)=\begin{pmatrix}2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2\end{pmatrix}$
Matricea obținută este diagonală, iar determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonala principală. Rezultatul nu depinde de $\displaystyle m$ , deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real $\displaystyle m$ .
$\displaystyle \det(A(m)+A(-m))=\begin{vmatrix}2&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&2\end{vmatrix}=2\cdot 2\cdot 2=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ m&1&0\\ 0&m&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle m

pentru care are loc egalitatea

\displaystyle A(m)\cdot A(m)=A(0)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=0$ în matricea dată și obținem matricea unitate de ordin 3.
$\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}=I_3$
Prima linie a lui $\displaystyle A(m)$ este $\displaystyle (1,0,0)$ , deci prima linie a produsului $\displaystyle A(m)\cdot A(m)$ este chiar prima linie a celei de-a doua matrice.
$\displaystyle \left(1\;\;0\;\;0\right)$
Linia a doua a produsului se obține înmulțind linia $\displaystyle (m,1,0)$ cu coloanele lui $\displaystyle A(m)$ : pe coloana 1 avem $\displaystyle m\cdot 1+1\cdot m+0\cdot 0=2m$ , pe coloana 2 avem $\displaystyle m\cdot 0+1\cdot 1+0\cdot m=1$ , iar pe coloana 3 avem $\displaystyle m\cdot 0+1\cdot 0+0\cdot 1=0$ .
$\displaystyle \left(2m\;\;1\;\;0\right)$
Linia a treia se obține înmulțind linia $\displaystyle (0,m,1)$ cu coloanele lui $\displaystyle A(m)$ : pe coloana 1 avem $\displaystyle 0\cdot 1+m\cdot m+1\cdot 0=m^{2}$ , pe coloana 2 avem $\displaystyle 0\cdot 0+m\cdot 1+1\cdot m=2m$ , iar pe coloana 3 avem $\displaystyle 0\cdot 0+m\cdot 0+1\cdot 1=1$ . Rezultă matricea produs.
$\displaystyle A(m)\cdot A(m)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 2m&1&0\\ m^{2}&2m&1\end{pmatrix}$
Egalitatea $\displaystyle A(m)\cdot A(m)=A(0)$ înseamnă că matricea produs este egală cu matricea unitate. Comparând elementele de pe pozițiile $\displaystyle (2,1)$ , $\displaystyle (3,1)$ și $\displaystyle (3,2)$ , obținem condițiile $\displaystyle 2m=0$ , $\displaystyle m^{2}=0$ și $\displaystyle 2m=0$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}1&0&0\\ 2m&1&0\\ m^{2}&2m&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}\Leftrightarrow 2m=0$ , $\displaystyle \ m^{2}=0$
Din $\displaystyle 2m=0$ rezultă $\displaystyle m=0$ , valoare care verifică și condiția $\displaystyle m^{2}=0$ . Celelalte elemente coincid deja, deci singura valoare cerută este $\displaystyle m=0$ .
$\displaystyle m=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ m&1&0\\ 0&m&1\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle m

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle A(1)-A(2)+A(3)-A(4)+\ldots+A(2n-1)-A(2n)=n\left(A(-1)-A(0)\right)

, pentru orice număr natural nenul

\displaystyle n

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle A(m)$ diferă de matricea unitate $\displaystyle I_3$ doar prin elementele de sub diagonală, care conțin pe $\displaystyle m$ . Scriem $\displaystyle A(m)=I_3+mB$ , unde $\displaystyle B$ este o matrice fixă.
$\displaystyle A(m)=I_3+mB$ , $\displaystyle \quad B=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}$
Calculăm diferența a doi termeni consecutivi: $\displaystyle A(2k-1)-A(2k)=I_3+(2k-1)B-I_3-2kB=\left((2k-1)-2k\right)B=-B$ .
$\displaystyle A(2k-1)-A(2k)=-B=\begin{pmatrix}0&0&0\\ -1&0&0\\ 0&-1&0\end{pmatrix}$
Grupăm termenii câte doi: $\displaystyle \left(A(1)-A(2)\right)+\left(A(3)-A(4)\right)+\ldots+\left(A(2n-1)-A(2n)\right)$ . Sunt $\displaystyle n$ perechi, pentru $\displaystyle k=1,2,\ldots,n$ , iar fiecare este egală cu $\displaystyle -B$ .
$\displaystyle A(1)-A(2)+\ldots+A(2n-1)-A(2n)=n\begin{pmatrix}0&0&0\\ -1&0&0\\ 0&-1&0\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle A(-1)-A(0)=(I_3-B)-I_3=-B=\begin{pmatrix}0&0&0\\ -1&0&0\\ 0&-1&0\end{pmatrix}$ . Deci suma este $\displaystyle n\left(A(-1)-A(0)\right)$ , pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$ .
$\displaystyle A(1)-A(2)+A(3)-A(4)+\ldots+A(2n-1)-A(2n)=n\begin{pmatrix}0&0&0\\ -1&0&0\\ 0&-1&0\end{pmatrix}=n\left(A(-1)-A(0)\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x^2+4xy+y^2

.

Arătați că

\displaystyle \frac{1}{2}*\frac{3}{2}=\frac{11}{2}

.

Vezi rezolvarea

Scriem legea $\displaystyle x*y=x^{2}+4xy+y^{2}$ pentru $\displaystyle x=\dfrac{1}{2}$ și $\displaystyle y=\dfrac{3}{2}$ , adică înlocuim valorile în formulă.
$\displaystyle \frac{1}{2}*\frac{3}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^2+4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2$
Calculăm fiecare termen separat: $\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$ , $\displaystyle 4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}=3$ și $\displaystyle \left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}$ .
$\displaystyle \frac{1}{4}+3+\frac{9}{4}$
Adunăm fracțiile cu același numitor: $\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}$ . Apoi adăugăm $\displaystyle 3=\dfrac{6}{2}$ și obținem $\displaystyle \dfrac{5}{2}+\dfrac{6}{2}=\dfrac{11}{2}$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle \frac{1}{4}+3+\frac{9}{4}=\frac{11}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x^2+4xy+y^2

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle \left(x*(-x)\right)*\left((-x)*x\right)=24x

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle x*(-x)$ folosind definiția $\displaystyle x*y=x^2+4xy+y^2$ , cu $\displaystyle y=-x$ .
$\displaystyle x*(-x)=x^2-4x^2+x^2$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle x^2-4x^2+x^2=-2x^2$ . Expresia $\displaystyle x^2+4xy+y^2$ este simetrică în $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ , deci și $\displaystyle (-x)*x$ dă același rezultat.
$\displaystyle x*(-x)=(-x)*x=-2x^2$
Ecuația devine $\displaystyle (-2x^2)*(-2x^2)=24x$ . Aplicăm definiția cu $\displaystyle x=y=-2x^2$ .
$\displaystyle (-2x^2)^2+4(-2x^2)(-2x^2)+(-2x^2)^2=24x$
Calculăm: $\displaystyle (-2x^2)^2=4x^4$ , deci avem $\displaystyle 4x^4+16x^4+4x^4=24x^4$ . Ecuația devine $\displaystyle 24x^4=24x$ .
$\displaystyle 24x^4=24x$
Împărțim la $\displaystyle 24$ și dăm factor comun: $\displaystyle x(x^3-1)=0$ . Cum $\displaystyle x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ și $\displaystyle x^2+x+1>0$ pentru orice $\displaystyle x$ real, rămân doar soluțiile $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle x=0\text{ sau }x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x^2+4xy+y^2

.

Demonstrați că

\displaystyle x*\frac{1}{x}\ge 6

, pentru orice număr real nenul

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle y=\dfrac{1}{x}$ în definiția $\displaystyle x*y=x^2+4xy+y^2$ , cu $\displaystyle x\neq 0$ .
$\displaystyle x*\frac{1}{x}=x^2+4\cdot x\cdot\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^2$
Deoarece $\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x}=1$ , termenul din mijloc este $\displaystyle 4$ , iar $\displaystyle \left(\dfrac{1}{x}\right)^2=\dfrac{1}{x^2}$ .
$\displaystyle x*\frac{1}{x}=x^2+4+\frac{1}{x^2}$
Calculăm diferența $\displaystyle x*\dfrac{1}{x}-6$ și reducem termenii constanți: $\displaystyle 4-6=-2$ .
$\displaystyle \left(x*\frac{1}{x}\right)-6=x^2+4+\frac{1}{x^2}-6=x^2-2+\frac{1}{x^2}$
Folosim formula $\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ cu $\displaystyle a=x$ și $\displaystyle b=\dfrac{1}{x}$ , unde $\displaystyle 2ab=2$ .
$\displaystyle x^2-2+\frac{1}{x^2}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2$
Cum $\displaystyle \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2\ge 0$ pentru orice $\displaystyle x$ real nenul, avem $\displaystyle x*\dfrac{1}{x}-6\ge 0$ , adică inegalitatea cerută.
$\displaystyle \left(x*\frac{1}{x}\right)-6=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2\ge 0\text{, deci }x*\frac{1}{x}\ge 6$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+2}}

. Arătați că

\displaystyle f'(x)=\frac{2(1-x)}{(x^2+2)\sqrt{x^2+2}}

,

\displaystyle x\in\mathbb{R}

.

Vezi rezolvarea

Funcția este un cât, deci aplicăm formula $\displaystyle \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ , unde $\displaystyle u(x)=x+2$ și $\displaystyle v(x)=\sqrt{x^{2}+2}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{(x+2)'\sqrt{x^{2}+2}-(x+2)\left(\sqrt{x^{2}+2}\right)'}{\left(\sqrt{x^{2}+2}\right)^{2}}$
Calculăm derivatele componentelor: $\displaystyle (x+2)'=1$ , iar $\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+2}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+2}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}$ .
$\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}$
Înlocuim în formulă și folosim faptul că $\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+2}\right)^{2}=x^{2}+2$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+2}-(x+2)\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}}{x^{2}+2}$
Aducem numărătorul la același numitor, $\displaystyle \sqrt{x^{2}+2}$ : amplificăm primul termen cu $\displaystyle \sqrt{x^{2}+2}$ , iar $\displaystyle \sqrt{x^{2}+2}\cdot\sqrt{x^{2}+2}=x^{2}+2$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\dfrac{x^{2}+2-x(x+2)}{\sqrt{x^{2}+2}}}{x^{2}+2}=\dfrac{x^{2}+2-x^{2}-2x}{(x^{2}+2)\sqrt{x^{2}+2}}$
Reducem termenii asemenea de la numărător: $\displaystyle x^{2}$ se reduce cu $\displaystyle -x^{2}$ , rămâne $\displaystyle 2-2x=2(1-x)$ . Obținem egalitatea cerută, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(1-x)}{(x^{2}+2)\sqrt{x^{2}+2}}\text{, }x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+2}}

.

Calculați

\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)^{2x}

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle x\to+\infty$ avem $\displaystyle f(x)=\dfrac{x+2}{\sqrt{x^{2}+2}}\to 1$ , iar exponentul $\displaystyle 2x\to+\infty$ . Deci avem cazul de nedeterminare $\displaystyle 1^{\infty}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=1$ , $\displaystyle \quad 2x\to+\infty$
Folosim $\displaystyle \left(f(x)\right)^{2x}=\left(\left(f(x)\right)^{2}\right)^{x}$ , iar $\displaystyle \left(f(x)\right)^{2}=\dfrac{(x+2)^{2}}{x^{2}+2}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)^{2x}=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{(x+2)^{2}}{x^{2}+2}\right)^{x}$
Avem $\displaystyle (x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$ . Scădem și adunăm $\displaystyle x^{2}+2$ la numărător: $\displaystyle \dfrac{x^{2}+4x+4}{x^{2}+2}=\dfrac{x^{2}+2+4x+2}{x^{2}+2}=1+\dfrac{4x+2}{x^{2}+2}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{4x+2}{x^{2}+2}\right)^{x}$
Fracția $\displaystyle \dfrac{4x+2}{x^{2}+2}\to 0$ . Scriem $\displaystyle x=\dfrac{x^{2}+2}{4x+2}\cdot\dfrac{x(4x+2)}{x^{2}+2}$ , deci expresia devine $\displaystyle \left(\left(1+\dfrac{4x+2}{x^{2}+2}\right)^{\frac{x^{2}+2}{4x+2}}\right)^{\frac{x(4x+2)}{x^{2}+2}}$ .
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\left(1+\frac{4x+2}{x^{2}+2}\right)^{\frac{x^{2}+2}{4x+2}}\right)^{\frac{x(4x+2)}{x^{2}+2}}$
Cu $\displaystyle u=\dfrac{4x+2}{x^{2}+2}\to0$ avem $\displaystyle (1+u)^{\frac{1}{u}}\to e$ . Pentru exponent: $\displaystyle \dfrac{x(4x+2)}{x^{2}+2}=\dfrac{4x^{2}+2x}{x^{2}+2}\to 4$ .
$\displaystyle \left(1+u\right)^{\frac{1}{u}}\to e$ , $\displaystyle \qquad \frac{4x^{2}+2x}{x^{2}+2}\to 4$
Rezultă $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)\right)^{2x}=e^{4}$ .
$\displaystyle e^{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+2}}

.

Demonstrați că

\displaystyle \frac{e^x+2}{\sqrt{3}}\le\sqrt{e^{2x}+2}

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Calculăm derivata funcției $\displaystyle f$ cu formula de derivare a câtului. Derivata lui $\displaystyle x+2$ este $\displaystyle 1$ , iar derivata lui $\displaystyle \sqrt{x^2+2}$ este $\displaystyle \dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+2}-(x+2)\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{x^2+2}$
Aducem la numitor comun la numărător: amplificăm cu $\displaystyle \sqrt{x^2+2}$ și reducem termenii asemenea. Numărătorul devine $\displaystyle x^2+2-x(x+2)=2-2x$ .
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{2(1-x)}{(x^2+2)\sqrt{x^2+2}}$
Numitorul este strict pozitiv pentru orice $\displaystyle x$ real, deci semnul derivatei este dat de semnul lui $\displaystyle 1-x$ . Pentru $\displaystyle x\le 1$ avem $\displaystyle f'(x)\ge 0$ , deci $\displaystyle f$ crește pe $\displaystyle (-\infty,1]$ . Pentru $\displaystyle x\ge 1$ avem $\displaystyle f'(x)\le 0$ , deci $\displaystyle f$ scade pe $\displaystyle [1,+\infty)$ .
$\displaystyle f'(x)\ge 0\text{ pe }(-\infty,1]\text{, }f'(x)\le 0\text{ pe }[1,+\infty)$
Funcția crește până în $\displaystyle x=1$ și scade după aceea, deci $\displaystyle f(1)$ este valoarea maximă. Calculăm $\displaystyle f(1)=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ . Rezultă că $\displaystyle f(x)\le\sqrt{3}$ pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle f(1)=\dfrac{1+2}{\sqrt{1+2}}=\sqrt{3}\text{, deci }f(x)\le\sqrt{3}\text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}$
Inegalitatea $\displaystyle f(t)\le\sqrt{3}$ este adevărată pentru orice $\displaystyle t$ real, iar $\displaystyle e^x$ este un număr real pentru orice $\displaystyle x$ real. Deci putem înlocui $\displaystyle t$ cu $\displaystyle e^x$ .
$\displaystyle f(e^x)\le\sqrt{3}\Rightarrow\dfrac{e^x+2}{\sqrt{e^{2x}+2}}\le\sqrt{3}$
Înmulțim inegalitatea cu $\displaystyle \sqrt{e^{2x}+2}>0$ , apoi o împărțim la $\displaystyle \sqrt{3}>0$ . Sensul inegalității nu se schimbă. Obținem inegalitatea cerută, valabilă pentru orice $\displaystyle x$ real.
$\displaystyle \dfrac{e^x+2}{\sqrt{3}}\le\sqrt{e^{2x}+2}\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3-\ln x

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^{\sqrt{2}}\left(f(x)+\ln x\right)dx=\frac{3}{4}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=x^3-\ln x$ în expresia de sub integrală: $\displaystyle f(x)+\ln x=x^3-\ln x+\ln x$ .
$\displaystyle f(x)+\ln x=x^{3}-\ln x+\ln x$
Termenii $\displaystyle -\ln x$ și $\displaystyle +\ln x$ se reduc, deci $\displaystyle f(x)+\ln x=x^3$ . Integrala devine $\displaystyle \int_1^{\sqrt{2}}x^3\,dx$ .
$\displaystyle \int_1^{\sqrt{2}}\left(f(x)+\ln x\right)dx=\int_1^{\sqrt{2}}x^{3}\,dx$
O primitivă a lui $\displaystyle x^3$ este $\displaystyle \dfrac{x^4}{4}$ . Aplicăm formula Leibniz-Newton pe intervalul $\displaystyle [1,\sqrt{2}]$ .
$\displaystyle \int_1^{\sqrt{2}}x^{3}\,dx=\left.\frac{x^{4}}{4}\right|_1^{\sqrt{2}}$
Pentru limita superioară, $\displaystyle (\sqrt{2})^4=4$ , deci obținem $\displaystyle \dfrac{4}{4}$ . Pentru limita inferioară, $\displaystyle 1^4=1$ , deci obținem $\displaystyle \dfrac{1}{4}$ .
$\displaystyle \frac{(\sqrt{2})^{4}}{4}-\frac{1^{4}}{4}=\frac{4}{4}-\frac{1}{4}$
Scădem fracțiile: $\displaystyle \dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$ , ceea ce trebuia demonstrat.
$\displaystyle \frac{4}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3-\ln x

.

Calculați

\displaystyle \int_1^e x\left(x^3-f(x)\right)dx

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle f(x)=x^3-\ln x$ în integrand: $\displaystyle x^3-f(x)=x^3-\left(x^3-\ln x\right)=\ln x$ .
$\displaystyle x\left(x^3-f(x)\right)=x\ln x$
Integrala devine $\displaystyle \int_1^e x\ln x\,dx$ . O calculăm prin părți, alegând $\displaystyle u=\ln x$ și $\displaystyle dv=x\,dx$ .
$\displaystyle \int_1^e x\ln x\,dx$
Calculăm $\displaystyle du=\dfrac{1}{x}\,dx$ și $\displaystyle v=\dfrac{x^{2}}{2}$ .
$\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx$ , $\displaystyle \quad v=\frac{x^{2}}{2}$
Aplicăm formula integrării prin părți: $\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du$ , cu limitele 1 și $\displaystyle e$ .
$\displaystyle \left.\frac{x^2}{2}\ln x\right|_1^e-\int_1^e\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx$
Simplificăm: $\displaystyle \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{2}$ , a cărui primitivă este $\displaystyle \dfrac{x^2}{4}$ . Primul termen este $\displaystyle \dfrac{e^2}{2}\ln e-\dfrac{1}{2}\ln 1=\dfrac{e^2}{2}$ , deoarece $\displaystyle \ln e=1$ și $\displaystyle \ln 1=0$ .
$\displaystyle \frac{e^2}{2}-\left.\frac{x^2}{4}\right|_1^e$
Evaluăm $\displaystyle \left.\dfrac{x^2}{4}\right|_1^e=\dfrac{e^2}{4}-\dfrac{1}{4}$ , deci rezultatul este $\displaystyle \dfrac{e^2}{2}-\dfrac{e^2}{4}+\dfrac{1}{4}$ .
$\displaystyle \frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{e^2+1}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x^3-\ln x

.

Arătați că

\displaystyle \int_1^{e^2}\frac{1}{x}f\left(\sqrt{x}\right)dx=\frac{2e^3-5}{3}

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle \sqrt{x}$ în $\displaystyle f(x)=x^3-\ln x$ .
$\displaystyle f\left(\sqrt{x}\right)=\left(\sqrt{x}\right)^3-\ln\sqrt{x}$
Folosim $\displaystyle \ln\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\ln x$ . Apoi înmulțim cu $\displaystyle \dfrac{1}{x}$ și simplificăm, deoarece $\displaystyle \dfrac{\left(\sqrt{x}\right)^3}{x}=\dfrac{x\sqrt{x}}{x}=\sqrt{x}$ .
$\displaystyle \frac{1}{x}f\left(\sqrt{x}\right)=\sqrt{x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}\ln x$
Pentru $\displaystyle \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ primitiva este $\displaystyle \dfrac{2}{3}\sqrt{x^3}$ . Pentru al doilea termen, cum $\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ , o primitivă a lui $\displaystyle \dfrac{1}{x}\ln x$ este $\displaystyle \dfrac{1}{2}\ln^2 x$ , deci pentru $\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\ln x$ obținem $\displaystyle \dfrac{1}{4}\ln^2 x$ .
$\displaystyle \int_1^{e^2}\frac{1}{x}f\left(\sqrt{x}\right)dx=\left.\left(\frac{2}{3}\sqrt{x^3}-\frac{1}{4}\ln^2 x\right)\right|_1^{e^2}$
Aplicăm formula Leibniz-Newton. În $\displaystyle e^2$ : $\displaystyle \sqrt{\left(e^2\right)^3}=e^3$ și $\displaystyle \ln\left(e^2\right)=2$ , deci $\displaystyle \ln^2\left(e^2\right)=4$ . În $\displaystyle 1$ : $\displaystyle \sqrt{1}=1$ și $\displaystyle \ln 1=0$ .
$\displaystyle \left(\frac{2}{3}e^3-\frac{1}{4}\cdot 4\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot 1-\frac{1}{4}\cdot 0\right)=\frac{2}{3}e^3-\frac{2}{3}-1$
Aducem la același numitor: $\displaystyle \dfrac{2}{3}e^3-\dfrac{2}{3}-1=\dfrac{2e^3-2-3}{3}$ , adică rezultatul cerut.
$\displaystyle \frac{2e^3-5}{3}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 5: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.2.a)

Subiectul II.2.b)

Subiectul II.2.c)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.2.a)

Subiectul III.2.b)

Subiectul III.2.c)

Aceeași sesiune, alți ani