Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 8: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați suma elementelor mulțimii A={x∈N∣x≤5}\displaystyle A=\{x\in\mathbb{N}\mid x\leq\sqrt{5}\}.
Vezi rezolvarea
  1. Estimăm 5\displaystyle \sqrt{5}: deoarece 4<5<9\displaystyle 4<5<9, avem 4<5<9\displaystyle \sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}, adică 2<5<3\displaystyle 2<\sqrt{5}<3.
    2<5<3\displaystyle 2<\sqrt{5}<3
  2. Numerele naturale x\displaystyle x cu x≤5\displaystyle x\leq\sqrt{5} sunt cele cu x≤2\displaystyle x\leq 2, adică 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2. Numărul 3\displaystyle 3 nu convine, pentru că 3>5\displaystyle 3>\sqrt{5}.
    A={0,1,2}\displaystyle A=\{0,1,2\}
  3. Adunăm elementele mulțimii A\displaystyle A: 0+1+2=3\displaystyle 0+1+2=3.
    0+1+2=3\displaystyle 0+1+2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numerele reale m\displaystyle m și n\displaystyle n, știind că f(1)=2\displaystyle f(1)=2 și f(2)=1\displaystyle f(2)=1, unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=mx+n\displaystyle f(x)=mx+n.
Vezi rezolvarea
  1. Din condiția f(1)=2\displaystyle f(1)=2 și f(x)=mx+n\displaystyle f(x)=mx+n obținem prima ecuație: m⋅1+n=2\displaystyle m\cdot 1+n=2, adică m+n=2\displaystyle m+n=2.
    m+n=2\displaystyle m+n=2
  2. Din condiția f(2)=1\displaystyle f(2)=1 obținem a doua ecuație: m⋅2+n=1\displaystyle m\cdot 2+n=1, adică 2m+n=1\displaystyle 2m+n=1. Sistemul este format din cele două ecuații.
    m+n=2 și 2m+n=1\displaystyle m+n=2\text{ și }2m+n=1
  3. Scădem prima ecuație din a doua, ca să eliminăm necunoscuta n\displaystyle n: (2m+n)−(m+n)=1−2\displaystyle (2m+n)-(m+n)=1-2, deci m=−1\displaystyle m=-1.
    m=−1\displaystyle m=-1
  4. Înlocuim m=−1\displaystyle m=-1 în prima ecuație: −1+n=2\displaystyle -1+n=2, deci n=3\displaystyle n=3. Verificare: f(x)=−x+3\displaystyle f(x)=-x+3, f(1)=2\displaystyle f(1)=2 și f(2)=1\displaystyle f(2)=1.
    m=−1\displaystyle m=-1, n=3\displaystyle \ n=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 16x+2⋅4x−8=0\displaystyle 16^x+2\cdot 4^x-8=0.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 16x=(42)x=(4x)2\displaystyle 16^x=\left(4^2\right)^x=\left(4^x\right)^2. Rescriem ecuația în funcție de 4x\displaystyle 4^x.
    (4x)2+2⋅4x−8=0\displaystyle \left(4^x\right)^2+2\cdot 4^x-8=0
  2. Notăm t=4x\displaystyle t=4^x. Deoarece 4x>0\displaystyle 4^x>0 pentru orice x\displaystyle x real, avem t>0\displaystyle t>0. Ecuația devine una de gradul al doilea în t\displaystyle t.
    t2+2t−8=0\displaystyle t^2+2t-8=0, t>0\displaystyle \ t>0
  3. Descompunem trinomul în factori: căutăm două numere cu produsul −8\displaystyle -8 și suma 2\displaystyle 2, adică 4\displaystyle 4 și −2\displaystyle -2. Revenim la necunoscuta 4x\displaystyle 4^x.
    (4x+4)(4x−2)=0\displaystyle (4^x+4)(4^x-2)=0
  4. Un produs este zero dacă unul dintre factori este zero. Primul factor, 4x+4\displaystyle 4^x+4, este mereu strict pozitiv, deci nu poate fi zero. Rămâne doar al doilea factor.
    4x−2=0⇒4x=2\displaystyle 4^x-2=0\Rightarrow 4^x=2
  5. Scriem 4=22\displaystyle 4=2^2, deci 4x=22x\displaystyle 4^x=2^{2x}. Egalăm exponenții, deoarece baza 2\displaystyle 2 este aceeași, și aflăm x\displaystyle x. Soluția este convenabilă.
    22x=2, deci 2x=1, adica˘ x=12\displaystyle 2^{2x}=2\text{, deci }2x=1\text{, adică }x=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă cifra sutelor un număr prim.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: numerele naturale de trei cifre sunt de la 100\displaystyle 100 la 999\displaystyle 999. Cifra sutelor poate fi oricare dintre cifrele de la 1\displaystyle 1 la 9\displaystyle 9, adică 9\displaystyle 9 variante, iar cifrele zecilor și unităților au câte 10\displaystyle 10 variante. Deci sunt 9⋅10⋅10\displaystyle 9\cdot 10\cdot 10 numere.
    999−100+1=9⋅10⋅10=900\displaystyle 999-100+1=9\cdot 10\cdot 10=900
  2. Stabilim ce cifre ale sutelor sunt favorabile: cifrele care sunt numere prime sunt 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3, 5\displaystyle 5 și 7\displaystyle 7. Avem deci 4\displaystyle 4 variante pentru cifra sutelor.
    {2,3,5,7}, adica˘ 4 variante\displaystyle \{2,3,5,7\}\text{, adică }4\text{ variante}
  3. Numărăm cazurile favorabile: pentru cifra sutelor avem 4\displaystyle 4 variante, iar pentru cifra zecilor și cifra unităților câte 10\displaystyle 10 variante. Numărul cazurilor favorabile este 4⋅10⋅10\displaystyle 4\cdot 10\cdot 10.
    4⋅10⋅10=400\displaystyle 4\cdot 10\cdot 10=400
  4. Aplicăm formula probabilității, p=cazuri favorabilecazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}, și simplificăm fracția prin 100\displaystyle 100.
    p=400900=49\displaystyle p=\frac{400}{900}=\frac{4}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră paralelogramul ABCD\displaystyle ABCD și punctul O\displaystyle O, intersecția diagonalelor acestuia. Arătați că OB→+OC→=AB→\displaystyle \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}.
Vezi rezolvarea
  1. Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc, deci O\displaystyle O este mijlocul segmentului AC\displaystyle AC. Atunci vectorii OA→\displaystyle \overrightarrow{OA} și OC→\displaystyle \overrightarrow{OC} au aceeași lungime, aceeași direcție și sensuri opuse.
    OA=OC\displaystyle OA=OC, O∈AC\displaystyle \ O\in AC
  2. Din faptul că O\displaystyle O este mijlocul lui AC\displaystyle AC rezultă că OC→\displaystyle \overrightarrow{OC} este opusul lui OA→\displaystyle \overrightarrow{OA}.
    OC→=−OA→\displaystyle \overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}
  3. Înlocuim OC→\displaystyle \overrightarrow{OC} în suma din enunț cu −OA→\displaystyle -\overrightarrow{OA}.
    OB→+OC→=OB→−OA→\displaystyle \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}
  4. Diferența OB→−OA→\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} este vectorul AB→\displaystyle \overrightarrow{AB}, conform regulii triunghiului: OA→+AB→=OB→\displaystyle \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}. Deci suma este egală cu AB→\displaystyle \overrightarrow{AB}, ceea ce trebuia arătat.
    OB→+OC→=OB→−OA→=AB→\displaystyle \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați sin⁡x\displaystyle \sin x, știind că x∈(3π2,2π)\displaystyle x\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right) și cos⁡x=45\displaystyle \cos x=\frac{4}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim identitatea fundamentală a trigonometriei sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. De aici obținem sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x.
    sin⁡2x=1−cos⁡2x\displaystyle \sin^{2}x=1-\cos^{2}x
  2. Înlocuim cos⁡x=45\displaystyle \cos x=\dfrac{4}{5}, deci cos⁡2x=1625\displaystyle \cos^{2}x=\dfrac{16}{25}. Atunci sin⁡2x=1−1625=25−1625=925\displaystyle \sin^{2}x=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{25-16}{25}=\dfrac{9}{25}.
    sin⁡2x=1−1625=925\displaystyle \sin^{2}x=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}
  3. Din sin⁡2x=925\displaystyle \sin^{2}x=\dfrac{9}{25} rezultă sin⁡x=35\displaystyle \sin x=\dfrac{3}{5} sau sin⁡x=−35\displaystyle \sin x=-\dfrac{3}{5}.
    sin⁡x=35 sau sin⁡x=−35\displaystyle \sin x=\frac{3}{5}\text{ sau }\sin x=-\frac{3}{5}
  4. Deoarece x∈(3π2,2π)\displaystyle x\in\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right), punctul de pe cerc este în cadranul al patrulea, unde sinusul este negativ. Deci sin⁡x<0\displaystyle \sin x<0 și alegem valoarea negativă.
    sin⁡x=−35\displaystyle \sin x=-\frac{3}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a1a−3a132a−11)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & a & 1\\ a-3 & a & 1\\ 3 & 2a-1 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+ay+z=1(a−3)x+ay+z=2a−13x+(2a−1)y+z=1\displaystyle \begin{cases}2x+ay+z=1\\ (a-3)x+ay+z=2a-1\\ 3x+(2a-1)y+z=1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=5\displaystyle \det(A(0))=5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a): prima linie devine (2, 0, 1)\displaystyle (2,\ 0,\ 1), a doua (0−3, 0, 1)=(−3, 0, 1)\displaystyle (0-3,\ 0,\ 1)=(-3,\ 0,\ 1), iar a treia (3, 2⋅0−1, 1)=(3, −1, 1)\displaystyle (3,\ 2\cdot 0-1,\ 1)=(3,\ -1,\ 1). Determinantul lui A(0)\displaystyle A(0) este determinantul acestei matrice.
    det⁡(A(0))=∣201−3013−11∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}2 & 0 & 1\\ -3 & 0 & 1\\ 3 & -1 & 1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Mai întâi calculăm suma produselor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea: 2⋅0⋅1\displaystyle 2\cdot 0\cdot 1, 0⋅1⋅3\displaystyle 0\cdot 1\cdot 3 și 1⋅(−3)⋅(−1)\displaystyle 1\cdot(-3)\cdot(-1).
    2⋅0⋅1+0⋅1⋅3+1⋅(−3)⋅(−1)=0+0+3=3\displaystyle 2\cdot 0\cdot 1+0\cdot 1\cdot 3+1\cdot(-3)\cdot(-1)=0+0+3=3
  3. Calculăm suma produselor de pe diagonala secundară și de pe cele două paralele cu ea: 1⋅0⋅3\displaystyle 1\cdot 0\cdot 3, 2⋅1⋅(−1)\displaystyle 2\cdot 1\cdot(-1) și 0⋅(−3)⋅1\displaystyle 0\cdot(-3)\cdot 1. Această sumă se scade din prima.
    1⋅0⋅3+2⋅1⋅(−1)+0⋅(−3)⋅1=0−2+0=−2\displaystyle 1\cdot 0\cdot 3+2\cdot 1\cdot(-1)+0\cdot(-3)\cdot 1=0-2+0=-2
  4. Scădem a doua sumă din prima: 3−(−2)=5\displaystyle 3-(-2)=5. Deci determinantul lui A(0)\displaystyle A(0) este 5\displaystyle 5.
    det⁡(A(0))=3−(−2)=5\displaystyle \det(A(0))=3-(-2)=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a1a−3a132a−11)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & a & 1\\ a-3 & a & 1\\ 3 & 2a-1 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+ay+z=1(a−3)x+ay+z=2a−13x+(2a−1)y+z=1\displaystyle \begin{cases}2x+ay+z=1\\ (a-3)x+ay+z=2a-1\\ 3x+(2a-1)y+z=1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a\displaystyle a pentru care sistemul de ecuații este compatibil determinat.
Vezi rezolvarea
  1. Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute. Este compatibil determinat dacă și numai dacă determinantul matricei sistemului este nenul: det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0.
    det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0
  2. Pentru a calcula determinantul, scădem linia a doua din prima linie, L1→L1−L2\displaystyle L_1\to L_1-L_2. Valoarea determinantului nu se schimbă, iar prima linie devine (5−a, 0, 0)\displaystyle (5-a,\ 0,\ 0).
    det⁡(A(a))=∣5−a00a−3a132a−11∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}5-a & 0 & 0\\ a-3 & a & 1\\ 3 & 2a-1 & 1\end{vmatrix}
  3. Dezvoltăm determinantul după prima linie, care are un singur element nenul. Rămâne produsul dintre 5−a\displaystyle 5-a și determinantul de ordinul doi format din ultimele două linii și ultimele două coloane.
    det⁡(A(a))=(5−a)∣a12a−11∣\displaystyle \det(A(a))=(5-a)\begin{vmatrix}a & 1\\ 2a-1 & 1\end{vmatrix}
  4. Calculăm determinantul de ordinul doi: a⋅1−(2a−1)⋅1=1−a\displaystyle a\cdot 1-(2a-1)\cdot 1=1-a. Apoi înmulțim cu 5−a\displaystyle 5-a și obținem (5−a)(1−a)=a2−6a+5\displaystyle (5-a)(1-a)=a^2-6a+5.
    det⁡(A(a))=(5−a)(1−a)=a2−6a+5\displaystyle \det(A(a))=(5-a)(1-a)=a^{2}-6a+5
  5. Aflăm valorile lui a\displaystyle a pentru care determinantul este nul: produsul (5−a)(1−a)\displaystyle (5-a)(1-a) se anulează pentru a=1\displaystyle a=1 sau a=5\displaystyle a=5.
    a2−6a+5=0  ⟺  a=1 sau a=5\displaystyle a^{2}-6a+5=0\iff a=1\text{ sau }a=5
  6. Sistemul este compatibil determinat exact când determinantul este nenul, adică pentru orice a\displaystyle a real diferit de 1\displaystyle 1 și de 5\displaystyle 5.
    a∈R∖{1,5}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{1,5\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a1a−3a132a−11)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & a & 1\\ a-3 & a & 1\\ 3 & 2a-1 & 1\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {2x+ay+z=1(a−3)x+ay+z=2a−13x+(2a−1)y+z=1\displaystyle \begin{cases}2x+ay+z=1\\ (a-3)x+ay+z=2a-1\\ 3x+(2a-1)y+z=1\end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că sistemul de ecuații are soluție unică (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) și x0\displaystyle x_0, y0\displaystyle y_0 și z0\displaystyle z_0 sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei sistemului. Scădem prima linie din a doua și din a treia: L2−L1=(a−5, 0, 0)\displaystyle L_2-L_1=(a-5,\,0,\,0) și L3−L1=(1, a−1, 0)\displaystyle L_3-L_1=(1,\,a-1,\,0). Dezvoltăm după a treia coloană, care are un singur element nenul: det⁡A(a)=∣a−501a−1∣=(a−1)(a−5)\displaystyle \det A(a)=\begin{vmatrix}a-5 & 0\\ 1 & a-1\end{vmatrix}=(a-1)(a-5).
    det⁡A(a)=(a−1)(a−5)\displaystyle \det A(a)=(a-1)(a-5)
  2. Sistemul are soluție unică exact când det⁡A(a)≠0\displaystyle \det A(a)\neq 0, adică a≠1\displaystyle a\neq 1 și a≠5\displaystyle a\neq 5.
    a∈R∖{1,5}\displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{1,5\}
  3. Scădem prima ecuație din a doua: dispar y\displaystyle y și z\displaystyle z. Se obține (a−5)x=2a−2\displaystyle (a-5)x=2a-2, deci x0=2(a−1)a−5\displaystyle x_0=\dfrac{2(a-1)}{a-5}.
    x0=2(a−1)a−5\displaystyle x_0=\dfrac{2(a-1)}{a-5}
  4. Scădem prima ecuație din a treia: x+(a−1)y=0\displaystyle x+(a-1)y=0. Cum a≠1\displaystyle a\neq 1, avem y0=−x0a−1=−2a−5\displaystyle y_0=-\dfrac{x_0}{a-1}=-\dfrac{2}{a-5}.
    y0=−2a−5\displaystyle y_0=-\dfrac{2}{a-5}
  5. Din prima ecuație, z=1−2x−ay\displaystyle z=1-2x-ay. Înlocuim x0\displaystyle x_0 și y0\displaystyle y_0: z0=1−4(a−1)a−5+2aa−5=a−5−4a+4+2aa−5=−a+1a−5\displaystyle z_0=1-\dfrac{4(a-1)}{a-5}+\dfrac{2a}{a-5}=\dfrac{a-5-4a+4+2a}{a-5}=-\dfrac{a+1}{a-5}.
    (x0,y0,z0)=(2(a−1)a−5,−2a−5,−a+1a−5)\displaystyle (x_0,y_0,z_0)=\left(\dfrac{2(a-1)}{a-5},-\dfrac{2}{a-5},-\dfrac{a+1}{a-5}\right)
  6. Numerele x0,y0,z0\displaystyle x_0,y_0,z_0 sunt în progresie aritmetică dacă 2y0=x0+z0\displaystyle 2y_0=x_0+z_0. Înlocuim: 2⋅(−2a−5)=2(a−1)a−5−a+1a−5\displaystyle 2\cdot\left(-\dfrac{2}{a-5}\right)=\dfrac{2(a-1)}{a-5}-\dfrac{a+1}{a-5}.
    −4a−5=a−3a−5\displaystyle -\dfrac{4}{a-5}=\dfrac{a-3}{a-5}
  7. Cum a≠5\displaystyle a\neq 5, egalăm numărătorii: −4=a−3\displaystyle -4=a-3, deci a=−1\displaystyle a=-1. Valoarea este diferită de 1\displaystyle 1 și de 5\displaystyle 5, deci convine.
    a=−1, care convine\displaystyle a=-1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=x+y−xy3\displaystyle x*y=x+y-\frac{xy}{3}.

Arătați că 1∗3=3\displaystyle 1*3=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii pentru x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3, adică x∗y=x+y−xy3\displaystyle x*y=x+y-\dfrac{xy}{3}.
    1∗3=1+3−1⋅33\displaystyle 1*3=1+3-\dfrac{1\cdot 3}{3}
  2. Simplificăm fracția: 1⋅33=1\displaystyle \dfrac{1\cdot 3}{3}=1.
    1⋅33=1\displaystyle \dfrac{1\cdot 3}{3}=1
  3. Înlocuim fracția cu 1\displaystyle 1 și calculăm: 1+3−1=3\displaystyle 1+3-1=3, deci 1∗3=3\displaystyle 1*3=3, ceea ce trebuia arătat.
    1∗3=1+3−1=3\displaystyle 1*3=1+3-1=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=x+y−xy3\displaystyle x*y=x+y-\frac{xy}{3}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∗x∗x=269\displaystyle x*x*x=\frac{26}{9}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub o formă care se pretează la compuneri repetate. Dezvoltăm −13(x−3)(y−3)+3=−13(xy−3x−3y+9)+3\displaystyle -\dfrac{1}{3}(x-3)(y-3)+3=-\dfrac{1}{3}(xy-3x-3y+9)+3 și obținem −xy3+x+y−3+3\displaystyle -\dfrac{xy}{3}+x+y-3+3, adică exact legea dată.
    x∗y=−13(x−3)(y−3)+3\displaystyle x*y=-\frac{1}{3}(x-3)(y-3)+3
  2. Calculăm x∗x\displaystyle x*x punând y=x\displaystyle y=x în forma obținută: x∗x=−13(x−3)(x−3)+3\displaystyle x*x=-\dfrac{1}{3}(x-3)(x-3)+3.
    x∗x=−13(x−3)2+3\displaystyle x*x=-\frac{1}{3}(x-3)^{2}+3
  3. Calculăm x∗x∗x=(x∗x)∗x\displaystyle x*x*x=(x*x)*x. Avem (x∗x)−3=−13(x−3)2\displaystyle (x*x)-3=-\dfrac{1}{3}(x-3)^{2}, iar al doilea factor este x−3\displaystyle x-3. Atunci x∗x∗x=−13⋅(−13(x−3)2)(x−3)+3=132(x−3)3+3\displaystyle x*x*x=-\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{3}(x-3)^{2}\right)(x-3)+3=\dfrac{1}{3^{2}}(x-3)^{3}+3.
    x∗x∗x=132(x−3)3+3\displaystyle x*x*x=\frac{1}{3^{2}}(x-3)^{3}+3
  4. Egalăm cu 269\displaystyle \dfrac{26}{9}: 19(x−3)3+3=269\displaystyle \dfrac{1}{9}(x-3)^{3}+3=\dfrac{26}{9}. Scădem 3=279\displaystyle 3=\dfrac{27}{9} din ambii membri și obținem 19(x−3)3=−19\displaystyle \dfrac{1}{9}(x-3)^{3}=-\dfrac{1}{9}, deci (x−3)3=−1\displaystyle (x-3)^{3}=-1.
    (x−3)3=−1\displaystyle (x-3)^{3}=-1
  5. Ecuația t3=−1\displaystyle t^{3}=-1 are în R\displaystyle \mathbb{R} doar soluția t=−1\displaystyle t=-1. Deci x−3=−1\displaystyle x-3=-1, de unde x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=x+y−xy3\displaystyle x*y=x+y-\frac{xy}{3}.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *” sunt numere naturale.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm elementul neutru. Legea este comutativă, deci este suficient să calculăm x∗0\displaystyle x*0. Avem x∗0=x+0−x⋅03=x\displaystyle x*0=x+0-\dfrac{x\cdot 0}{3}=x, deci elementul neutru este e=0\displaystyle e=0.
    x∗0=0∗x=x\displaystyle x*0=0*x=x, deci e=0\displaystyle \text{ deci }e=0
  2. Simetricul lui n\displaystyle n este n′\displaystyle n' cu n∗n′=0\displaystyle n*n'=0. Scriem condiția: n+n′−nn′3=0\displaystyle n+n'-\dfrac{nn'}{3}=0. Înmulțim cu 3 și obținem 3n+3n′−nn′=0\displaystyle 3n+3n'-nn'=0, adică n′(n−3)=3n\displaystyle n'(n-3)=3n.
    n∗n′=0⇔n′(n−3)=3n\displaystyle n*n'=0\Leftrightarrow n'(n-3)=3n
  3. Dacă n=3\displaystyle n=3, ecuația devine 0=9\displaystyle 0=9, imposibil, deci n≠3\displaystyle n\neq 3. Pentru n≠3\displaystyle n\neq 3 împărțim la n−3\displaystyle n-3 și aflăm simetricul n′\displaystyle n'.
    n′=3nn−3\displaystyle n'=\frac{3n}{n-3}, n≠3\displaystyle \ n\neq 3
  4. Separăm partea întreagă a fracției: 3n=3(n−3)+9\displaystyle 3n=3(n-3)+9, deci n′=3+9n−3\displaystyle n'=3+\dfrac{9}{n-3}.
    n′=3+9n−3\displaystyle n'=3+\frac{9}{n-3}
  5. Cazul n=0\displaystyle n=0: n′=0−3=0\displaystyle n'=\dfrac{0}{-3}=0, care este număr natural, deci n=0\displaystyle n=0 convine. Cazul n=1\displaystyle n=1 sau n=2\displaystyle n=2: numitorul n−3\displaystyle n-3 este negativ, iar numărătorul 3n\displaystyle 3n este pozitiv, deci n′<0\displaystyle n'<0 și nu convine. Rămâne n>3\displaystyle n>3.
    n=0 convine; n∈{1,2} nu convin; n>3\displaystyle n=0\text{ convine; }n\in\{1,2\}\text{ nu convin; }n>3
  6. Pentru n>3\displaystyle n>3, n′\displaystyle n' este natural dacă și numai dacă 9n−3\displaystyle \dfrac{9}{n-3} este întreg, adică n−3\displaystyle n-3 este divizor pozitiv al lui 9. Divizorii sunt 1,3,9\displaystyle 1,3,9, deci n=4\displaystyle n=4, n=6\displaystyle n=6 sau n=12\displaystyle n=12.
    n−3∈{1,3,9}⇒n∈{4,6,12}\displaystyle n-3\in\{1,3,9\}\Rightarrow n\in\{4,6,12\}
  7. Verificăm: pentru n=4\displaystyle n=4 simetricul este 12\displaystyle 12, pentru n=6\displaystyle n=6 este 6\displaystyle 6, pentru n=12\displaystyle n=12 este 4\displaystyle 4, toate numere naturale. Împreună cu n=0\displaystyle n=0 obținem răspunsul.
    n=0\displaystyle n=0, n=4\displaystyle \ n=4, n=6 sau n=12\displaystyle \ n=6\text{ sau }n=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x4−4ln⁡x\displaystyle f(x)=x^4-4\ln x.

Arătați că f′(x)=4(x−1)(x+1)(x2+1)x\displaystyle f'(x)=\frac{4(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția termen cu termen: (x4)′=4x3\displaystyle (x^{4})'=4x^{3}, iar (ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, deci (−4ln⁡x)′=−4x\displaystyle (-4\ln x)'=-\dfrac{4}{x}.
    f′(x)=4x3−4x\displaystyle f'(x)=4x^{3}-\dfrac{4}{x}
  2. Aducem la același numitor, x\displaystyle x, amplificând primul termen cu x\displaystyle x: 4x3=4x4x\displaystyle 4x^{3}=\dfrac{4x^{4}}{x}.
    f′(x)=4x4−4x=4(x4−1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{4x^{4}-4}{x}=\dfrac{4(x^{4}-1)}{x}
  3. Descompunem diferența de pătrate: x4−1=(x2)2−12=(x2−1)(x2+1)\displaystyle x^{4}-1=(x^{2})^{2}-1^{2}=(x^{2}-1)(x^{2}+1).
    f′(x)=4(x2−1)(x2+1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{4(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{x}
  4. Descompunem încă o dată diferența de pătrate: x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1). Obținem forma cerută, pentru x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=4(x−1)(x+1)(x2+1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{4(x-1)(x+1)(x^{2}+1)}{x}, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x4−4ln⁡x\displaystyle f(x)=x^4-4\ln x.

Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este definită pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci singurul punct în care poate apărea o asimptotă verticală este capătul finit al domeniului, x=0\displaystyle x=0. Studiem limita funcției la dreapta lui 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→0, x>0f(x)=lim⁡x→0, x>0(x4−4ln⁡x)\displaystyle \lim_{x\to 0,\ x>0} f(x)=\lim_{x\to 0,\ x>0}\left(x^{4}-4\ln x\right)
  2. Calculăm separat cei doi termeni: x4→0\displaystyle x^{4}\to 0, iar ln⁡x→−∞\displaystyle \ln x\to-\infty când x→0\displaystyle x\to 0, x>0\displaystyle x>0, deci −4ln⁡x→+∞\displaystyle -4\ln x\to+\infty.
    lim⁡x→0x4=0\displaystyle \lim_{x\to 0}x^{4}=0,lim⁡x→0(−4ln⁡x)=+∞\displaystyle \quad \lim_{x\to 0}(-4\ln x)=+\infty
  3. Adunând cele două limite, obținem că limita funcției în 0\displaystyle 0 este +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0(x4−4ln⁡x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}(x^{4}-4\ln x)=+\infty
  4. Deoarece limita în 0\displaystyle 0 este infinită, dreapta x=0\displaystyle x=0 este asimptotă verticală la graficul funcției f\displaystyle f.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=x4−4ln⁡x\displaystyle f(x)=x^4-4\ln x.

Demonstrați că, pentru fiecare număr natural n\displaystyle n, n≥2\displaystyle n\geq 2, ecuația f(x)−n=0\displaystyle f(x)-n=0 are două soluții reale distincte.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty): f′(x)=4x3−4x\displaystyle f'(x)=4x^{3}-\dfrac{4}{x}.
    f′(x)=4x3−4x\displaystyle f'(x)=4x^{3}-\dfrac{4}{x}
  2. Aducem derivata la același numitor: f′(x)=4(x4−1)x=4(x−1)(x+1)(x2+1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{4\left(x^{4}-1\right)}{x}=\dfrac{4(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right)}{x}. Pentru x>0\displaystyle x>0, factorii x\displaystyle x, x+1\displaystyle x+1 și x2+1\displaystyle x^{2}+1 sunt strict pozitivi, deci semnul lui f′\displaystyle f' este semnul lui x−1\displaystyle x-1.
    f′(x)=4(x−1)(x+1)(x2+1)x\displaystyle f'(x)=\dfrac{4(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right)}{x}
  3. Ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0 are soluția x=1\displaystyle x=1. Pentru x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1) avem f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0, deci f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (0,1)\displaystyle (0,1). Pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty) avem f′(x)>0\displaystyle f'(x)>0, deci f\displaystyle f este strict crescătoare pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    f′(x)=0⇔x=1\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1, f strict descresca˘toare pe (0,1)\displaystyle \ f\text{ strict descrescătoare pe }(0,1), f strict cresca˘toare pe (1,+∞)\displaystyle \ f\text{ strict crescătoare pe }(1,+\infty)
  4. Calculăm f(1)=14−4ln⁡1=1−0=1\displaystyle f(1)=1^{4}-4\ln 1=1-0=1. Cum f\displaystyle f scade pe (0,1)\displaystyle (0,1) și crește pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), valoarea minimă a lui f\displaystyle f este 1\displaystyle 1.
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1
  5. Calculăm lim⁡x→0f(x)\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x). Deoarece x4→0\displaystyle x^{4}\to 0 și ln⁡x→−∞\displaystyle \ln x\to-\infty, avem −4ln⁡x→+∞\displaystyle -4\ln x\to+\infty, deci limita este +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→0f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=+\infty
  6. Calculăm lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞x4(1−4ln⁡xx4)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x^{4}\left(1-\dfrac{4\ln x}{x^{4}}\right). Cum ln⁡xx4→0\displaystyle \dfrac{\ln x}{x^{4}}\to 0, parantezea tinde la 1\displaystyle 1, iar x4→+∞\displaystyle x^{4}\to+\infty, deci limita este +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
  7. Ecuația f(x)−n=0\displaystyle f(x)-n=0 este echivalentă cu f(x)=n\displaystyle f(x)=n, iar pentru n≥2\displaystyle n\geq 2 avem n>1=f(1)\displaystyle n>1=f(1). Pe (0,1)\displaystyle (0,1), f\displaystyle f este continuă și strict descrescătoare, cu lim⁡x→0f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=+\infty și f(1)=1\displaystyle f(1)=1, iar n∈(1,+∞)\displaystyle n\in(1,+\infty); din proprietatea lui Darboux există un unic x1∈(0,1)\displaystyle x_1\in(0,1) cu f(x1)=n\displaystyle f(x_1)=n. Pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty), f\displaystyle f este continuă și strict crescătoare, cu f(1)=1\displaystyle f(1)=1 și lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, deci există un unic x2∈(1,+∞)\displaystyle x_2\in(1,+\infty) cu f(x2)=n\displaystyle f(x_2)=n. Intervalele (0,1)\displaystyle (0,1) și (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) sunt disjuncte, deci x1≠x2\displaystyle x_1\neq x_2 și ecuația are două soluții reale distincte.
    lim⁡x→0f(x)=+∞\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=+\infty, f(1)=1\displaystyle \ f(1)=1, lim⁡x→+∞f(x)=+∞\displaystyle \ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, x1∈(0,1) și x2∈(1,+∞)\displaystyle \ x_1\in(0,1)\text{ și }x_2\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3ex\displaystyle f(x)=x^3e^x.

Arătați că ∫02f(x)e−x dx=4\displaystyle \int_0^2 f(x)e^{-x}\,dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x3ex\displaystyle f(x)=x^{3}e^{x} în integrala dată: integrala devine ∫02x3exe−x dx\displaystyle \int_0^2 x^{3}e^{x}e^{-x}\,dx.
    ∫02f(x)e−x dx=∫02x3exe−x dx\displaystyle \int_0^2 f(x)e^{-x}\,dx=\int_0^2 x^{3}e^{x}e^{-x}\,dx
  2. Folosim ex⋅e−x=e0=1\displaystyle e^{x}\cdot e^{-x}=e^{0}=1, deci expresia de sub integrală se reduce la x3\displaystyle x^{3}. Primitiva lui x3\displaystyle x^{3} este x44\displaystyle \dfrac{x^{4}}{4}.
    ∫02x3 dx=x44∣02\displaystyle \int_0^2 x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}\Big|_0^2
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 244−044=164−0\displaystyle \dfrac{2^{4}}{4}-\dfrac{0^{4}}{4}=\dfrac{16}{4}-0.
    164−0=4−0=4\displaystyle \frac{16}{4}-0=4-0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3ex\displaystyle f(x)=x^3e^x.

Calculați ∫1e1x2f(ln⁡x) dx\displaystyle \int_1^e\frac{1}{x^2}f(\ln x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(ln⁡x)\displaystyle f(\ln x) înlocuind x\displaystyle x cu ln⁡x\displaystyle \ln x în f(x)=x3ex\displaystyle f(x)=x^3e^x. Folosim faptul că eln⁡x=x\displaystyle e^{\ln x}=x.
    f(ln⁡x)=ln⁡3x⋅eln⁡x=xln⁡3x\displaystyle f(\ln x)=\ln^3 x\cdot e^{\ln x}=x\ln^3 x
  2. Înlocuim în integrală și simplificăm: x\displaystyle x din f(ln⁡x)\displaystyle f(\ln x) se reduce cu unul dintre factorii lui x2\displaystyle x^2 de la numitor.
    ∫1e1x2f(ln⁡x) dx=∫1exln⁡3xx2 dx=∫1e1xln⁡3x dx\displaystyle \int_1^e\frac{1}{x^2}f(\ln x)\,dx=\int_1^e\frac{x\ln^3 x}{x^2}\,dx=\int_1^e\frac{1}{x}\ln^3 x\,dx
  3. Facem substituția ln⁡x=t\displaystyle \ln x=t, deci 1x dx=dt\displaystyle \dfrac{1}{x}\,dx=dt. Limitele devin: pentru x=1\displaystyle x=1, t=0\displaystyle t=0; pentru x=e\displaystyle x=e, t=1\displaystyle t=1. Integrala devine ∫01t3 dt\displaystyle \int_0^1 t^3\,dt, cu primitiva t44\displaystyle \dfrac{t^4}{4}. Revenind la x\displaystyle x, obținem forma din barem.
    ∫1e1xln⁡3x dx=∫01t3 dt=ln⁡4x4∣1e\displaystyle \int_1^e\frac{1}{x}\ln^3 x\,dx=\int_0^1 t^3\,dt=\frac{\ln^4 x}{4}\Big|_1^e
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton, cu ln⁡e=1\displaystyle \ln e=1 și ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0.
    ln⁡4e4−ln⁡414=14−0=14\displaystyle \frac{\ln^4 e}{4}-\frac{\ln^4 1}{4}=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3ex\displaystyle f(x)=x^3e^x.

Arătați că ∫01f(x)F(x) dx=2(e−3)2\displaystyle \int_0^1 f(x)F(x)\,dx=2(e-3)^2, unde F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R} este primitiva funcției f\displaystyle f pentru care F(0)=0\displaystyle F(0)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm primitiva prin integrare prin părți, repetat. Pentru ∫x3ex dx\displaystyle \int x^3e^x\,dx alegem u=x3\displaystyle u=x^3 și dv=ex dx\displaystyle dv=e^x\,dx, deci ∫x3ex dx=x3ex−3∫x2ex dx\displaystyle \int x^3e^x\,dx=x^3e^x-3\int x^2e^x\,dx.
    ∫x3ex dx=x3ex−3∫x2ex dx\displaystyle \int x^3e^x\,dx=x^3e^x-3\int x^2e^x\,dx
  2. Aplicăm din nou părțile: ∫x2ex dx=x2ex−2∫xex dx\displaystyle \int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\int xe^x\,dx, iar ∫xex dx=xex−ex\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-e^x.
    ∫x2ex dx=x2ex−2(xex−ex)=(x2−2x+2)ex\displaystyle \int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\left(xe^x-e^x\right)=(x^2-2x+2)e^x
  3. Înlocuim în prima relație și obținem forma generală a primitivelor lui f\displaystyle f, cu o constantă c\displaystyle c.
    F(x)=x3ex−3(x2−2x+2)ex+c=(x3−3x2+6x−6)ex+c\displaystyle F(x)=x^3e^x-3(x^2-2x+2)e^x+c=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+c
  4. Impunem condiția F(0)=0\displaystyle F(0)=0. Pentru x=0\displaystyle x=0 avem F(0)=−6+c\displaystyle F(0)=-6+c, deci c=6\displaystyle c=6.
    F(x)=(x3−3x2+6x−6)ex+6\displaystyle F(x)=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+6
  5. Deoarece F\displaystyle F este primitiva lui f\displaystyle f, avem F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x). Integrala cerută devine ∫01F′(x)F(x) dx\displaystyle \int_0^1 F'(x)F(x)\,dx. Aceasta are primitiva F2(x)2\displaystyle \dfrac{F^2(x)}{2}, pentru că (F2(x)2)′=F′(x)F(x)\displaystyle \left(\dfrac{F^2(x)}{2}\right)'=F'(x)F(x).
    ∫01f(x)F(x) dx=∫01F′(x)F(x) dx=12F2(x)∣01=12(F2(1)−F2(0))\displaystyle \int_0^1 f(x)F(x)\,dx=\int_0^1 F'(x)F(x)\,dx=\frac{1}{2}F^2(x)\Big|_0^1=\frac{1}{2}\left(F^2(1)-F^2(0)\right)
  6. Calculăm valorile: F(0)=0\displaystyle F(0)=0, iar F(1)=(1−3+6−6)e+6=−2e+6=−2(e−3)\displaystyle F(1)=(1-3+6-6)e+6=-2e+6=-2(e-3). Deci F2(1)=4(e−3)2\displaystyle F^2(1)=4(e-3)^2.
    F(0)=0\displaystyle F(0)=0,F(1)=−2(e−3)\displaystyle \quad F(1)=-2(e-3),F2(1)=4(e−3)2\displaystyle \quad F^2(1)=4(e-3)^2
  7. Înlocuim în formula obținută: 12(4(e−3)2−0)=2(e−3)2\displaystyle \dfrac{1}{2}\left(4(e-3)^2-0\right)=2(e-3)^2, ceea ce trebuia demonstrat.
    ∫01f(x)F(x) dx=12(4(e−3)2−0)=2(e−3)2\displaystyle \int_0^1 f(x)F(x)\,dx=\frac{1}{2}\left(4(e-3)^2-0\right)=2(e-3)^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.