Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 8: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați produsul elementelor mulțimii A={x∈N∣73<x≤log⁡221}\displaystyle A=\{x\in\mathbb{N}\mid \sqrt[3]{7}<x\le \log_2 21\}.
Vezi rezolvarea
  1. Încadrăm 73\displaystyle \sqrt[3]{7} între două numere întregi consecutive. Cum 13=1\displaystyle 1^{3}=1, 23=8\displaystyle 2^{3}=8 și 1<7<8\displaystyle 1<7<8, rezultă că 73\displaystyle \sqrt[3]{7} este între 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    1<73<2\displaystyle 1<\sqrt[3]{7}<2
  2. Încadrăm log⁡221\displaystyle \log_2 21. Cum 24=16\displaystyle 2^{4}=16, 25=32\displaystyle 2^{5}=32 și 16<21<32\displaystyle 16<21<32, iar funcția log⁡2\displaystyle \log_2 este strict crescătoare, obținem 4<log⁡221<5\displaystyle 4<\log_2 21<5.
    4<log⁡221<5\displaystyle 4<\log_2 21<5
  3. Căutăm numerele naturale x\displaystyle x cu x>73\displaystyle x>\sqrt[3]{7}, adică x≥2\displaystyle x\ge 2, și cu x≤log⁡221\displaystyle x\le \log_2 21, adică x≤4\displaystyle x\le 4. Rezultă că mulțimea A\displaystyle A are elementele 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3 și 4\displaystyle 4.
    A={2,3,4}\displaystyle A=\{2,3,4\}
  4. Înmulțim elementele mulțimii A\displaystyle A: 2⋅3⋅4=24\displaystyle 2\cdot 3\cdot 4=24.
    2⋅3⋅4=24\displaystyle 2\cdot 3\cdot 4=24
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+4x\displaystyle f(x)=x^2+4x. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f\displaystyle f cu dreapta d\displaystyle d de ecuație y=5x+2\displaystyle y=5x+2.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele de intersecție verifică simultan y=f(x)\displaystyle y=f(x) și y=5x+2\displaystyle y=5x+2, deci egalăm f(x)\displaystyle f(x) cu 5x+2\displaystyle 5x+2.
    x2+4x=5x+2\displaystyle x^{2}+4x=5x+2
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng: x2+4x−5x−2=0\displaystyle x^{2}+4x-5x-2=0, iar după reducerea termenilor asemenea obținem ecuația de gradul al doilea.
    x2−x−2=0\displaystyle x^{2}-x-2=0
  3. Pentru a=1\displaystyle a=1, b=−1\displaystyle b=-1, c=−2\displaystyle c=-2 calculăm discriminantul Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac.
    Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−2)=1+8=9\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=1+8=9
  4. Aplicăm formula x1,2=−b±Δ2a=1±32\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1\pm 3}{2}, de unde x1=1−32=−1\displaystyle x_1=\dfrac{1-3}{2}=-1 și x2=1+32=2\displaystyle x_2=\dfrac{1+3}{2}=2.
    x=−1 și x=2\displaystyle x=-1\text{ și }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2⋅9x−32x−3=0\displaystyle 2\cdot 9^x-3^{2x}-3=0.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 9=32\displaystyle 9=3^{2}, deci 9x=(32)x=32x\displaystyle 9^x=(3^{2})^x=3^{2x}. Astfel ambii termeni cu exponent au aceeași bază 3\displaystyle 3.
    9x=32x\displaystyle 9^x=3^{2x}
  2. Înlocuim 9x\displaystyle 9^x cu 32x\displaystyle 3^{2x} în ecuație și obținem:
    2⋅32x−32x−3=0\displaystyle 2\cdot 3^{2x}-3^{2x}-3=0
  3. Reducem termenii asemenea: 2⋅32x−32x=32x\displaystyle 2\cdot 3^{2x}-3^{2x}=3^{2x}. Apoi mutăm termenul liber în membrul drept și obținem:
    32x−3=0⇔32x=3\displaystyle 3^{2x}-3=0\Leftrightarrow 3^{2x}=3
  4. Scriem 3=31\displaystyle 3=3^{1}, deci 32x=31\displaystyle 3^{2x}=3^{1}. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci egalăm exponenții:
    2x=1\displaystyle 2x=1
  5. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem soluția ecuației:
    x=12\displaystyle x=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă cifrele numere prime distincte.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}. Numerele naturale de trei cifre sunt de la 100\displaystyle 100 la 999\displaystyle 999, deci numărul cazurilor posibile este 999−100+1=900\displaystyle 999-100+1=900.
    900\displaystyle 900
  2. Cifrele care sunt numere prime sunt 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3, 5\displaystyle 5 și 7\displaystyle 7, deci avem 4\displaystyle 4 cifre posibile. Numărul trebuie să aibă cele trei cifre prime distincte.
    {2,3,5,7}\displaystyle \{2,3,5,7\}
  3. Aplicăm principiul înmulțirii: cifra sutelor se alege în 4\displaystyle 4 moduri, cifra zecilor în 3\displaystyle 3 moduri (diferită de prima), iar cifra unităților în 2\displaystyle 2 moduri (diferită de primele două). Numărul cazurilor favorabile este 4⋅3⋅2=24\displaystyle 4\cdot 3\cdot 2=24.
    4⋅3⋅2=24\displaystyle 4\cdot 3\cdot 2=24
  4. Calculăm probabilitatea ca raport dintre cazurile favorabile și cele posibile și simplificăm fracția prin 12\displaystyle 12: p=24900=275\displaystyle p=\dfrac{24}{900}=\dfrac{2}{75}.
    p=24900=275\displaystyle p=\frac{24}{900}=\frac{2}{75}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră punctul M\displaystyle M în planul triunghiului ABC\displaystyle ABC astfel încât 2MB→−MC→=AB→\displaystyle 2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}. Arătați că patrulaterul AMBC\displaystyle AMBC este paralelogram.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 2MB→=MB→+MB→\displaystyle 2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB} și mutăm un termen MB→\displaystyle \overrightarrow{MB} în membrul drept, ca să grupăm vectorii.
    MB→−MC→=AB→−MB→\displaystyle \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MB}
  2. Folosim −MC→=CM→\displaystyle -\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CM} și −MB→=BM→\displaystyle -\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BM}. Ambii membri devin sume de vectori consecutivi.
    MB→+CM→=AB→+BM→\displaystyle \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}
  3. Aplicăm regula triunghiului în fiecare membru: CM→+MB→=CB→\displaystyle \overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CB} și AB→+BM→=AM→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}.
    CB→=AM→\displaystyle \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AM}
  4. Din CB→=AM→\displaystyle \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AM} rezultă că segmentele AM\displaystyle AM și CB\displaystyle CB sunt paralele și congruente, deci laturile opuse AM\displaystyle AM și BC\displaystyle BC ale patrulaterului AMBC\displaystyle AMBC sunt paralele și congruente. Punctul A\displaystyle A nu se află pe dreapta BC\displaystyle BC, deoarece ABC\displaystyle ABC este triunghi, deci patrulaterul nu este degenerat. Rezultă că AMBC\displaystyle AMBC este paralelogram.
    CB→=AM→, deci AMBC este paralelogram\displaystyle \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AM}\text{, deci }AMBC\text{ este paralelogram}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați tg⁡x\displaystyle \operatorname{tg} x, știind că x∈(π,3π2)\displaystyle x\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right) și sin⁡x=−817\displaystyle \sin x=-\frac{8}{17}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim relația fundamentală a trigonometriei: sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, deci cos⁡2x=1−sin⁡2x\displaystyle \cos^{2}x=1-\sin^{2}x.
    cos⁡2x=1−sin⁡2x\displaystyle \cos^{2}x=1-\sin^{2}x
  2. Înlocuim sin⁡x=−817\displaystyle \sin x=-\dfrac{8}{17} și obținem cos⁡2x=1−64289=289−64289\displaystyle \cos^{2}x=1-\dfrac{64}{289}=\dfrac{289-64}{289}.
    cos⁡2x=1−64289=225289\displaystyle \cos^{2}x=1-\frac{64}{289}=\frac{225}{289}
  3. Extragem rădăcina pătrată: cos⁡x=±225289=±1517\displaystyle \cos x=\pm\sqrt{\dfrac{225}{289}}=\pm\dfrac{15}{17}.
    cos⁡x=±1517\displaystyle \cos x=\pm\frac{15}{17}
  4. Intervalul (π,3π2)\displaystyle \left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right) este cadranul al III-lea, unde cosinusul este negativ, deci alegem semnul minus.
    cos⁡x=−1517\displaystyle \cos x=-\frac{15}{17}
  5. Calculăm tg⁡x=sin⁡xcos⁡x=−817−1517=815\displaystyle \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{-\frac{8}{17}}{-\frac{15}{17}}=\dfrac{8}{15}.
    tg⁡x=815\displaystyle \operatorname{tg}x=\frac{8}{15}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a+11a1−1−a2−a11)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a+1 & 1 & a \\ 1 & -1 & -a \\ 2-a & 1 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {(a+1)x+y+az=−5x−y−az=10(2−a)x+y+z=1−a\displaystyle \begin{cases} (a+1)x+y+az=-5 \\ x-y-az=10 \\ (2-a)x+y+z=1-a \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=4\displaystyle \det(A(2))=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în matricea A(a)\displaystyle A(a): prima linie devine (3, 1, 2)\displaystyle (3,\ 1,\ 2), a doua (1, −1, −2)\displaystyle (1,\ -1,\ -2), a treia (0, 1, 1)\displaystyle (0,\ 1,\ 1).
    A(2)=(3121−1−2011)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(2)\displaystyle A(2), pe care îl calculăm cu regula lui Sarrus.
    det⁡(A(2))=∣3121−1−2011∣\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}
  3. Termenii cu semnul plus sunt produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 3⋅(−1)⋅1=−3\displaystyle 3\cdot(-1)\cdot 1=-3, 1⋅1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 1\cdot 2=2, 0⋅1⋅(−2)=0\displaystyle 0\cdot 1\cdot(-2)=0.
    −3+2+0=−1\displaystyle -3+2+0=-1
  4. Termenii cu semnul minus sunt produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: 2⋅(−1)⋅0=0\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 0=0, 3⋅(−2)⋅1=−6\displaystyle 3\cdot(-2)\cdot 1=-6, 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1.
    0+(−6)+1=−5\displaystyle 0+(-6)+1=-5
  5. Scădem suma a doua din prima și obținem valoarea determinantului: −1−(−5)=4\displaystyle -1-(-5)=4, deci det⁡(A(2))=4\displaystyle \det(A(2))=4.
    −3+2+0−0−(−6)−1=4\displaystyle -3+2+0-0-(-6)-1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a+11a1−1−a2−a11)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a+1 & 1 & a \\ 1 & -1 & -a \\ 2-a & 1 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {(a+1)x+y+az=−5x−y−az=10(2−a)x+y+z=1−a\displaystyle \begin{cases} (a+1)x+y+az=-5 \\ x-y-az=10 \\ (2-a)x+y+z=1-a \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care sistemul de ecuații **nu** este compatibil determinat.
Vezi rezolvarea
  1. Un sistem liniar de 3 ecuații cu 3 necunoscute este compatibil determinat exact când det⁡(A(a))≠0\displaystyle \det(A(a))\neq 0. Deci sistemul nu este compatibil determinat exact când det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0. Calculăm determinantul și îl simplificăm adunând linia a doua la prima linie, operație care nu schimbă valoarea determinantului.
    det⁡(A(a))=∣a+11a1−1−a2−a11∣=∣a+2001−1−a2−a11∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix} a+1 & 1 & a \\ 1 & -1 & -a \\ 2-a & 1 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a+2 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -a \\ 2-a & 1 & 1 \end{vmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie, unde doar primul element, a+2\displaystyle a+2, este nenul.
    det⁡(A(a))=(a+2)⋅∣−1−a11∣\displaystyle \det(A(a))=(a+2)\cdot\begin{vmatrix} -1 & -a \\ 1 & 1 \end{vmatrix}
  3. Determinantul de ordin 2 este (−1)⋅1−(−a)⋅1=a−1\displaystyle (-1)\cdot 1-(-a)\cdot 1=a-1. Atunci det⁡(A(a))=(a+2)(a−1)=a2+a−2\displaystyle \det(A(a))=(a+2)(a-1)=a^2+a-2, pentru orice a\displaystyle a real.
    det⁡(A(a))=(a+2)(a−1)=a2+a−2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A(a))=(a+2)(a-1)=a^{2}+a-2\text{, pentru orice număr real }a
  4. Punem condiția det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0, adică (a+2)(a−1)=0\displaystyle (a+2)(a-1)=0. Un produs este nul când un factor este nul, deci a+2=0\displaystyle a+2=0 sau a−1=0\displaystyle a-1=0.
    a+2=0 sau a−1=0\displaystyle a+2=0\text{ sau }a-1=0
  5. Pentru a=−2\displaystyle a=-2 și a=1\displaystyle a=1 determinantul este nul, deci sistemul nu este compatibil determinat. Pentru orice alt a\displaystyle a real determinantul este nenul și sistemul este compatibil determinat.
    a=−2 sau a=1\displaystyle a=-2\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a+11a1−1−a2−a11)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a+1 & 1 & a \\ 1 & -1 & -a \\ 2-a & 1 & 1 \end{pmatrix} și sistemul de ecuații {(a+1)x+y+az=−5x−y−az=10(2−a)x+y+z=1−a\displaystyle \begin{cases} (a+1)x+y+az=-5 \\ x-y-az=10 \\ (2-a)x+y+z=1-a \end{cases}, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul natural a\displaystyle a pentru care sistemul are soluția unică (x0,y0,z0)\displaystyle (x_0,y_0,z_0) și x0\displaystyle x_0 este număr întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei sistemului, dezvoltând după prima linie: det⁡A(a)=(a+1)(a−1)−(1+2a−a2)+a(3−a)\displaystyle \det A(a)=(a+1)(a-1)-(1+2a-a^{2})+a(3-a). Obținem det⁡A(a)=a2+a−2\displaystyle \det A(a)=a^{2}+a-2.
    det⁡A(a)=a2+a−2=(a+2)(a−1)\displaystyle \det A(a)=a^{2}+a-2=(a+2)(a-1)
  2. Sistemul are soluție unică exact când det⁡A(a)≠0\displaystyle \det A(a)\neq 0, adică a≠1\displaystyle a\neq 1 și a≠−2\displaystyle a\neq -2. Cum a\displaystyle a este număr natural, rămâne a≠1\displaystyle a\neq 1.
    a∈N∖{1}\displaystyle a\in\mathbb{N}\setminus\{1\}
  3. Pentru regula lui Cramer, înlocuim prima coloană cu termenii liberi și dezvoltăm după prima linie: Δx=∣−51a10−1−a1−a11∣=−5(a−1)−(10+a−a2)+a(11−a)\displaystyle \Delta_x=\begin{vmatrix}-5&1&a\\10&-1&-a\\1-a&1&1\end{vmatrix}=-5(a-1)-(10+a-a^{2})+a(11-a).
    Δx=5a−5=5(a−1)\displaystyle \Delta_x=5a-5=5(a-1)
  4. Aflăm x0=Δxdet⁡A(a)=5(a−1)(a+2)(a−1)\displaystyle x_0=\dfrac{\Delta_x}{\det A(a)}=\dfrac{5(a-1)}{(a+2)(a-1)}. Simplificarea cu a−1≠0\displaystyle a-1\neq 0 este posibilă pentru a∈N∖{1}\displaystyle a\in\mathbb{N}\setminus\{1\}.
    x0=5a+2\displaystyle x_0=\frac{5}{a+2}
  5. Pentru ca x0\displaystyle x_0 să fie întreg, a+2\displaystyle a+2 trebuie să dividă 5\displaystyle 5, deci a+2∈{1,5}\displaystyle a+2\in\{1,5\} (divizorii pozitivi ai lui 5). Cum a∈N\displaystyle a\in\mathbb{N}, avem a+2≥2\displaystyle a+2\geq 2, deci a+2=5\displaystyle a+2=5.
    a+2=5\displaystyle a+2=5
  6. Rezultă a=3\displaystyle a=3, valoare diferită de 1\displaystyle 1, deci convine. Atunci x0=55=1\displaystyle x_0=\dfrac{5}{5}=1, număr întreg.
    a=3\displaystyle a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=x+y−xy5\displaystyle x*y=x+y-\frac{xy}{5}.

Arătați că 1∗5=5\displaystyle 1*5=5.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=x+y−xy5\displaystyle x*y=x+y-\dfrac{xy}{5}. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=5\displaystyle y=5.
    1∗5=1+5−1⋅55\displaystyle 1*5=1+5-\frac{1\cdot 5}{5}
  2. Calculăm fracția: 1⋅55=55=1\displaystyle \dfrac{1\cdot 5}{5}=\dfrac{5}{5}=1.
    1⋅55=1\displaystyle \frac{1\cdot 5}{5}=1
  3. Obținem 1∗5=1+5−1=5\displaystyle 1*5=1+5-1=5, deci egalitatea este demonstrată.
    1∗5=1+5−1=5\displaystyle 1*5=1+5-1=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=x+y−xy5\displaystyle x*y=x+y-\frac{xy}{5}.

Determinați numărul real x\displaystyle x, x≥0\displaystyle x\ge 0, pentru care x∗x=5\displaystyle \sqrt{x}*\sqrt{x}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii a∗b=a+b−ab5\displaystyle a*b=a+b-\dfrac{ab}{5} pentru a=b=x\displaystyle a=b=\sqrt{x}. Deoarece x≥0\displaystyle x\ge 0, avem x⋅x=x\displaystyle \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x.
    x∗x=x+x−x5\displaystyle \sqrt{x}*\sqrt{x}=\sqrt{x}+\sqrt{x}-\frac{x}{5}
  2. Egalăm cu 5 și obținem ecuația x+x−x5=5\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{x}-\dfrac{x}{5}=5.
    2x−x5=5\displaystyle 2\sqrt{x}-\frac{x}{5}=5
  3. Înmulțim ambii membri cu 5: 10x−x=25\displaystyle 10\sqrt{x}-x=25, deci 10x=25+x\displaystyle 10\sqrt{x}=25+x.
    x+x−x5=5⇔10x=25+x\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{x}-\frac{x}{5}=5\Leftrightarrow 10\sqrt{x}=25+x
  4. Trecem totul în același membru: x−10x+25=0\displaystyle x-10\sqrt{x}+25=0. Cum x=(x)2\displaystyle x=\left(\sqrt{x}\right)^2, expresia este de forma a2−10a+25\displaystyle a^2-10a+25 cu a=x\displaystyle a=\sqrt{x}, adică pătratul diferenței a−5\displaystyle a-5.
    (x)2−2⋅5⋅x+52=0\displaystyle \left(\sqrt{x}\right)^2-2\cdot 5\cdot\sqrt{x}+5^2=0
  5. Obținem (x−5)2=0\displaystyle \left(\sqrt{x}-5\right)^2=0, deci x=5\displaystyle \sqrt{x}=5, de unde x=25\displaystyle x=25. Valoarea verifică x≥0\displaystyle x\ge 0.
    (x−5)2=0, de unde x=25\displaystyle \left(\sqrt{x}-5\right)^2=0\text{, de unde }x=25
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru x∗y=x+y−xy5\displaystyle x*y=x+y-\frac{xy}{5}.

Determinați valorile reale ale lui a\displaystyle a, a≠5\displaystyle a\ne 5, pentru care simetricul lui a\displaystyle a în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *” este strict mai mic decât 0\displaystyle 0.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm elementul neutru. Calculăm x∗0=x+0−x⋅05=x\displaystyle x*0=x+0-\dfrac{x\cdot 0}{5}=x și, cum legea este comutativă, 0∗x=x\displaystyle 0*x=x. Rezultă e=0\displaystyle e=0.
    x∗0=0∗x=x, deci e=0\displaystyle x*0=0*x=x\text{, deci }e=0
  2. Scriem condiția de simetric: a∗a′=e=0\displaystyle a*a'=e=0, adică a+a′−aa′5=0\displaystyle a+a'-\dfrac{aa'}{5}=0.
    a+a′−aa′5=0\displaystyle a+a'-\frac{aa'}{5}=0
  3. Înmulțim egalitatea cu 5\displaystyle 5 pentru a elimina numitorul: 5a+5a′−aa′=0\displaystyle 5a+5a'-aa'=0.
    5a+5a′−aa′=0\displaystyle 5a+5a'-aa'=0
  4. Trecem 5a\displaystyle 5a în dreapta și grupăm termenii cu a′\displaystyle a': a′(a−5)=5a\displaystyle a'(a-5)=5a. Cum a≠5\displaystyle a\ne 5, împărțim la a−5\displaystyle a-5 și obținem simetricul lui a\displaystyle a.
    a′(a−5)=5a, deci a′=5aa−5\displaystyle a'(a-5)=5a\text{, deci }a'=\frac{5a}{a-5}
  5. Impunem a′<0\displaystyle a'<0, adică 5aa−5<0\displaystyle \dfrac{5a}{a-5}<0. O fracție este negativă când numărătorul și numitorul au semne contrare: 5a>0\displaystyle 5a>0 și a−5<0\displaystyle a-5<0 dă 0<a<5\displaystyle 0<a<5, iar cazul 5a<0\displaystyle 5a<0 și a−5>0\displaystyle a-5>0 este imposibil. Deci a∈(0,5)\displaystyle a\in(0,5).
    5aa−5<0⇔a∈(0,5)\displaystyle \frac{5a}{a-5}<0\Leftrightarrow a\in(0,5)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=(x-1)\ln(x+1).

Arătați că f′(x)=1+ln⁡(x+1)−2x+1\displaystyle f'(x)=1+\ln(x+1)-\frac{2}{x+1}, x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Funcția este un produs de două funcții, u(x)=x−1\displaystyle u(x)=x-1 și v(x)=ln⁡(x+1)\displaystyle v(x)=\ln(x+1). Aplicăm regula de derivare a produsului: (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'.
    f′(x)=(x−1)′⋅ln⁡(x+1)+(x−1)⋅(ln⁡(x+1))′\displaystyle f'(x)=(x-1)'\cdot\ln(x+1)+(x-1)\cdot(\ln(x+1))'
  2. Calculăm derivatele: (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1, iar (ln⁡(x+1))′=1x+1⋅(x+1)′=1x+1\displaystyle (\ln(x+1))'=\dfrac{1}{x+1}\cdot(x+1)'=\dfrac{1}{x+1}.
    f′(x)=ln⁡(x+1)+(x−1)⋅1x+1\displaystyle f'(x)=\ln(x+1)+(x-1)\cdot\frac{1}{x+1}
  3. Scriem produsul ca fracție: (x−1)⋅1x+1=x−1x+1\displaystyle (x-1)\cdot\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x-1}{x+1}. La numărător scriem x−1=(x+1)−2\displaystyle x-1=(x+1)-2.
    f′(x)=ln⁡(x+1)+x+1−2x+1\displaystyle f'(x)=\ln(x+1)+\frac{x+1-2}{x+1}
  4. Separăm fracția în două: x+1x+1=1\displaystyle \dfrac{x+1}{x+1}=1, deci rămâne 1−2x+1\displaystyle 1-\dfrac{2}{x+1}. Obținem egalitatea cerută, pentru orice x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty).
    f′(x)=1+ln⁡(x+1)−2x+1, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=1+\ln(x+1)-\frac{2}{x+1}\text{, }x\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=(x-1)\ln(x+1).

Calculați lim⁡x→+∞(f(x)f(1x))\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)f\left(\frac{1}{x}\right)\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1x)\displaystyle f\left(\dfrac{1}{x}\right): înlocuim x\displaystyle x cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} în formula funcției, deci f(1x)=(1x−1)ln⁡(1x+1)\displaystyle f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\left(\dfrac{1}{x}-1\right)\ln\left(\dfrac{1}{x}+1\right). Cum 1x−1=−x−1x\displaystyle \dfrac{1}{x}-1=-\dfrac{x-1}{x}, obținem o formă cu semnul minus în față.
    f(1x)=−x−1xln⁡(1x+1)\displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{x-1}{x}\ln\left(\frac{1}{x}+1\right)
  2. Înmulțim f(x)=(x−1)ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=(x-1)\ln(x+1) cu f(1x)\displaystyle f\left(\dfrac{1}{x}\right). Factorii (x−1)\displaystyle (x-1) dau (x−1)2\displaystyle (x-1)^2, iar numitorul x\displaystyle x rămâne. Limita cerută este limita acestui produs.
    lim⁡x→+∞(−(x−1)2xln⁡(x+1)ln⁡(1x+1))\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{(x-1)^2}{x}\ln(x+1)\ln\left(\frac{1}{x}+1\right)\right)
  3. Vrem să apară expresia (1+1x)x\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x, a cărei limită este e\displaystyle e. Folosim proprietatea logaritmului: ln⁡(1+1x)=1xln⁡(1+1x)x\displaystyle \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{x}\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x.
    ln⁡(1+1x)=1xln⁡(1+1x)x\displaystyle \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)^x
  4. Înlocuim în produs. Factorul 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} se combină cu numitorul x\displaystyle x și obținem x2\displaystyle x^2 la numitor.
    lim⁡x→+∞(−(x−1)2x2ln⁡(x+1)ln⁡(1+1x)x)\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{(x-1)^2}{x^2}\ln(x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)
  5. Calculăm limitele factorilor. Fracția (x−1)2x2\displaystyle \dfrac{(x-1)^2}{x^2} are limita 1\displaystyle 1, deoarece gradele sunt egale și coeficienții dominanți sunt 1\displaystyle 1. Avem ln⁡(x+1)→+∞\displaystyle \ln(x+1)\to+\infty. Din limita remarcabilă, (1+1x)x→e\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\to e, deci ln⁡(1+1x)x→ln⁡e=1\displaystyle \ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\to\ln e=1. Rezultă −1⋅(+∞)⋅1=−∞\displaystyle -1\cdot(+\infty)\cdot 1=-\infty.
    lim⁡x→+∞(f(x)f(1x))=−1⋅(+∞)⋅1=−∞\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)f\left(\frac{1}{x}\right)\right)=-1\cdot(+\infty)\cdot 1=-\infty
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)ln⁡(x+1)\displaystyle f(x)=(x-1)\ln(x+1).

Demonstrați că orice două drepte distincte, tangente la graficul funcției f\displaystyle f, sunt concurente.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima derivată a funcției f\displaystyle f cu regula de derivare a produsului: (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1, iar (ln⁡(x+1))′=1x+1\displaystyle \left(\ln(x+1)\right)'=\dfrac{1}{x+1}.
    f′(x)=ln⁡(x+1)+x−1x+1\displaystyle f'(x)=\ln(x+1)+\dfrac{x-1}{x+1}
  2. Derivăm încă o dată. Derivata lui ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1) este 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1}. Derivata fracției este (x−1x+1)′=(x+1)−(x−1)(x+1)2=2(x+1)2\displaystyle \left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)'=\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^{2}}=\dfrac{2}{(x+1)^{2}}. Aducem la același numitor.
    f′′(x)=1x+1+2(x+1)2=x+3(x+1)2\displaystyle f''(x)=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x+3}{(x+1)^{2}}
  3. Pentru x>0\displaystyle x>0 avem x+3>0\displaystyle x+3>0 și (x+1)2>0\displaystyle (x+1)^{2}>0, deci f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty). Rezultă că f′\displaystyle f' este strict crescătoare pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′′(x)=x+3(x+1)2>0, pentru orice x∈(0,+∞)⇒f′ este strict cresca˘toare \displaystyle f''(x)=\dfrac{x+3}{(x+1)^{2}}>0\text{, pentru orice }x\in(0,+\infty)\Rightarrow f'\text{ este strict crescătoare }pe (0,+∞)\displaystyle \text{pe }(0,+\infty)
  4. Fie două drepte distincte, tangente la graficul lui f\displaystyle f, în punctele de abscise a\displaystyle a și b\displaystyle b. Dacă a=b\displaystyle a=b, tangenta în acel punct este unică, deci cele două drepte ar coincide. Prin urmare a≠b\displaystyle a\ne b. Pantele tangentelor sunt f′(a)\displaystyle f'(a) și f′(b)\displaystyle f'(b).
    a≠b, pantele sunt m1=f′(a) și m2=f′(b)\displaystyle a\ne b\text{, pantele sunt }m_1=f'(a)\text{ și }m_2=f'(b)
  5. Deoarece f′\displaystyle f' este strict crescătoare și a≠b\displaystyle a\ne b, rezultă f′(a)≠f′(b)\displaystyle f'(a)\ne f'(b). Cele două drepte au pante diferite, deci nu sunt paralele și nu coincid. Două drepte cu pante diferite se intersectează într-un singur punct, deci tangentele sunt concurente.
    f′(a)≠f′(b), pentru orice a\displaystyle f'(a)\ne f'(b)\text{, pentru orice }a,b∈(0,+∞), a≠b, deci tangentele sunt \displaystyle b\in(0,+\infty)\text{, }a\ne b\text{, deci tangentele sunt }concurente\displaystyle \text{concurente}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3xx+1\displaystyle f(x)=\frac{3x}{\sqrt{x+1}}.

Arătați că ∫12xx+1f(x) dx=7\displaystyle \int_1^2 x\sqrt{x+1}f(x)\,dx=7.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=3xx+1\displaystyle f(x)=\dfrac{3x}{\sqrt{x+1}} în integrală, pe intervalul [1,2]\displaystyle [1,2], unde x+1>0\displaystyle x+1>0, deci expresia are sens.
    ∫12xx+1⋅3xx+1 dx\displaystyle \int_1^2 x\sqrt{x+1}\cdot\frac{3x}{\sqrt{x+1}}\,dx
  2. Simplificăm x+1\displaystyle \sqrt{x+1} de la numărător cu cel de la numitor (este nenul pe [1,2]\displaystyle [1,2]). Rămâne produsul x⋅3x=3x2\displaystyle x\cdot 3x=3x^{2}.
    ∫12xx+1f(x) dx=∫123x2 dx\displaystyle \int_1^2 x\sqrt{x+1}f(x)\,dx=\int_1^2 3x^{2}\,dx
  3. O primitivă a lui 3x2\displaystyle 3x^{2} este 3⋅x33=x3\displaystyle 3\cdot\dfrac{x^{3}}{3}=x^{3}. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫123x2 dx=x3∣12\displaystyle \int_1^2 3x^{2}\,dx=x^{3}\Big|_1^2
  4. Calculăm valorile la limite: 23−13=8−1=7\displaystyle 2^{3}-1^{3}=8-1=7, deci egalitatea cerută este adevărată.
    x3∣12=8−1=7\displaystyle x^{3}\Big|_1^2=8-1=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3xx+1\displaystyle f(x)=\frac{3x}{\sqrt{x+1}}.

Calculați ∫01f2(x) dx\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Ridicăm funcția la pătrat: f2(x)=(3xx+1)2\displaystyle f^2(x)=\left(\dfrac{3x}{\sqrt{x+1}}\right)^2. Rădăcina dispare, iar numărătorul devine 9x2\displaystyle 9x^2.
    f2(x)=9x2x+1\displaystyle f^2(x)=\frac{9x^{2}}{x+1}
  2. Integrala cerută devine ∫019x2x+1 dx\displaystyle \int_0^1 \dfrac{9x^2}{x+1}\,dx. Scoatem constanta 9\displaystyle 9 în fața integralei.
    ∫01f2(x) dx=9∫01x2x+1 dx\displaystyle \int_0^1 f^2(x)\,dx=9\int_0^1\frac{x^{2}}{x+1}\,dx
  3. Pentru a împărți la x+1\displaystyle x+1, scriem x2=x2−1+1\displaystyle x^2=x^2-1+1. Cum x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1), obținem x2x+1=(x−1)(x+1)+1x+1\displaystyle \dfrac{x^2}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)+1}{x+1}, deci după simplificare x−1+1x+1\displaystyle x-1+\dfrac{1}{x+1}.
    x2x+1=x2−1+1x+1=x−1+1x+1\displaystyle \frac{x^{2}}{x+1}=\frac{x^{2}-1+1}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}
  4. Integrăm termen cu termen: primitiva lui x\displaystyle x este x22\displaystyle \dfrac{x^2}{2}, a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar a lui 1x+1\displaystyle \dfrac{1}{x+1} este ln⁡(x+1)\displaystyle \ln(x+1), deoarece x+1>0\displaystyle x+1>0 pe [0,1]\displaystyle [0,1].
    9∫01(x−1+1x+1)dx=9(x22−x+ln⁡(x+1))∣01\displaystyle 9\int_0^1\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx=9\left(\frac{x^{2}}{2}-x+\ln(x+1)\right)\Big|_0^1
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton. În x=1\displaystyle x=1 avem 12−1+ln⁡2\displaystyle \dfrac{1}{2}-1+\ln 2, iar în x=0\displaystyle x=0 avem 0−0+ln⁡1=0\displaystyle 0-0+\ln 1=0.
    9(12−1+ln⁡2−0)\displaystyle 9\left(\frac{1}{2}-1+\ln 2-0\right)
  6. Reducem termenii din paranteză: 12−1=−12\displaystyle \dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}. Deci valoarea integralei este 9(ln⁡2−12)\displaystyle 9\left(\ln 2-\dfrac{1}{2}\right).
    9(ln⁡2−12)\displaystyle 9\left(\ln 2-\frac{1}{2}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=3xx+1\displaystyle f(x)=\frac{3x}{\sqrt{x+1}}.

Știind că F:(−1,+∞)→R\displaystyle F:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}, F(x)=2(x+1)x+1−6x+1+4\displaystyle F(x)=2(x+1)\sqrt{x+1}-6\sqrt{x+1}+4 este o primitivă a funcției f\displaystyle f, arătați că ∫03f(x)F(x) dx=32\displaystyle \int_0^3 f(x)F(x)\,dx=32.
Vezi rezolvarea
  1. Din enunț, F\displaystyle F este o primitivă a lui f\displaystyle f, deci F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x) pe (−1,+∞)\displaystyle (-1,+\infty). Înlocuim f\displaystyle f cu F′\displaystyle F' în integrală.
    ∫03f(x)F(x) dx=∫03F′(x)F(x) dx\displaystyle \int_0^3 f(x)F(x)\,dx=\int_0^3 F'(x)F(x)\,dx
  2. Deoarece (12F2(x))′=F′(x)F(x)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}F^2(x)\right)'=F'(x)F(x), o primitivă a lui F′F\displaystyle F'F este 12F2\displaystyle \dfrac{1}{2}F^2. Aplicăm formula Leibniz-Newton.
    ∫03F′(x)F(x) dx=12F2(x)∣03=12(F2(3)−F2(0))\displaystyle \int_0^3 F'(x)F(x)\,dx=\frac{1}{2}F^2(x)\Big|_0^3=\frac{1}{2}\left(F^2(3)-F^2(0)\right)
  3. Calculăm F(3)\displaystyle F(3): 3+1=2\displaystyle \sqrt{3+1}=2, deci F(3)=2⋅4⋅2−6⋅2+4\displaystyle F(3)=2\cdot 4\cdot 2-6\cdot 2+4.
    F(3)=16−12+4=8\displaystyle F(3)=16-12+4=8
  4. Calculăm F(0)\displaystyle F(0): 0+1=1\displaystyle \sqrt{0+1}=1, deci F(0)=2⋅1⋅1−6⋅1+4\displaystyle F(0)=2\cdot 1\cdot 1-6\cdot 1+4.
    F(0)=2−6+4=0\displaystyle F(0)=2-6+4=0
  5. Înlocuim F(3)=8\displaystyle F(3)=8 și F(0)=0\displaystyle F(0)=0 în expresia obținută și calculăm.
    12(82−02)=12⋅64=32\displaystyle \frac{1}{2}\left(8^2-0^2\right)=\frac{1}{2}\cdot 64=32
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.