Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 1: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul a=(4+3i)2+(3−4i)2\displaystyle a=(4+3i)^2+(3-4i)^2 este natural, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm primul pătrat cu formula (x+y)2=x2+2xy+y2\displaystyle (x+y)^2=x^2+2xy+y^2, unde x=4\displaystyle x=4 și y=3i\displaystyle y=3i.
    (4+3i)2=16+24i+9i2\displaystyle (4+3i)^2=16+24i+9i^2
  2. Dezvoltăm al doilea pătrat cu formula (x−y)2=x2−2xy+y2\displaystyle (x-y)^2=x^2-2xy+y^2, unde x=3\displaystyle x=3 și y=4i\displaystyle y=4i.
    (3−4i)2=9−24i+16i2\displaystyle (3-4i)^2=9-24i+16i^2
  3. Adunăm cele două dezvoltări și obținem expresia lui a\displaystyle a, înainte de a folosi i2=−1\displaystyle i^2=-1.
    a=16+24i+9i2+9−24i+16i2\displaystyle a=16+24i+9i^2+9-24i+16i^2
  4. Înlocuim i2=−1\displaystyle i^2=-1: 9i2\displaystyle 9i^2 devine −9\displaystyle -9, iar 16i2\displaystyle 16i^2 devine −16\displaystyle -16. Termenii 24i\displaystyle 24i și −24i\displaystyle -24i se reduc.
    a=16+24i−9+9−24i−16\displaystyle a=16+24i-9+9-24i-16
  5. Rămân doar termenii reali: 16−9+9−16=0\displaystyle 16-9+9-16=0. Numărul 0\displaystyle 0 este natural, deci afirmația este demonstrată.
    a=16−9+9−16=0, care este numa˘r natural\displaystyle a=16-9+9-16=0\text{, care este număr natural}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați cel mai mare număr întreg m\displaystyle m pentru care soluțiile ecuației x2−11x+m=0\displaystyle x^2-11x+m=0 sunt numere reale.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația x2−11x+m=0\displaystyle x^2-11x+m=0 este de gradul al doilea, cu coeficienții a=1\displaystyle a=1, b=−11\displaystyle b=-11, c=m\displaystyle c=m. Soluțiile sunt reale dacă discriminantul este mai mare sau egal cu zero: Δ≥0\displaystyle \Delta\ge 0.
    a=1\displaystyle a=1, b=−11\displaystyle \ b=-11, c=m\displaystyle \ c=m, Δ≥0\displaystyle \ \Delta\ge 0
  2. Calculăm discriminantul: Δ=b2−4ac=(−11)2−4⋅1⋅m=121−4m\displaystyle \Delta=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot 1\cdot m=121-4m.
    Δ=121−4m\displaystyle \Delta=121-4m
  3. Impunem 121−4m≥0\displaystyle 121-4m\ge 0, deci 4m≤121\displaystyle 4m\le 121, adică m≤1214\displaystyle m\le \dfrac{121}{4}.
    m∈(−∞,1214]\displaystyle m\in\left(-\infty,\frac{121}{4}\right]
  4. Avem 1214=30,25\displaystyle \dfrac{121}{4}=30{,}25. Cel mai mare număr întreg m\displaystyle m cu m≤30,25\displaystyle m\le 30{,}25 este 30\displaystyle 30.
    m=30\displaystyle m=30
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡7(7x)+log⁡x7=3\displaystyle \log_7(7x)+\log_x 7=3.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență: baza x\displaystyle x trebuie să fie pozitivă și diferită de 1, iar argumentul 7x\displaystyle 7x este pozitiv. Rezultă x>0\displaystyle x>0 și x≠1\displaystyle x\neq 1, deci log⁡7x≠0\displaystyle \log_7 x\neq 0.
    x∈(0,1)∪(1,∞)\displaystyle x\in(0,1)\cup(1,\infty)
  2. Descompunem primul logaritm folosind logaritmul produsului: log⁡7(7x)=log⁡77+log⁡7x=1+log⁡7x\displaystyle \log_7(7x)=\log_7 7+\log_7 x=1+\log_7 x.
    log⁡7(7x)=1+log⁡7x\displaystyle \log_7(7x)=1+\log_7 x
  3. Schimbăm baza celui de-al doilea logaritm: log⁡x7=1log⁡7x\displaystyle \log_x 7=\dfrac{1}{\log_7 x}.
    log⁡x7=1log⁡7x\displaystyle \log_x 7=\dfrac{1}{\log_7 x}
  4. Notăm t=log⁡7x\displaystyle t=\log_7 x, cu t≠0\displaystyle t\neq 0, și înlocuim în ecuație: 1+t+1t=3\displaystyle 1+t+\dfrac{1}{t}=3.
    1+t+1t=3\displaystyle 1+t+\dfrac{1}{t}=3
  5. Înmulțim cu t\displaystyle t și aducem toți termenii într-o parte: t+t2+1=3t\displaystyle t+t^{2}+1=3t, deci t2−2t+1=0\displaystyle t^{2}-2t+1=0, adică (t−1)2=0\displaystyle (t-1)^{2}=0. Revenind la notație, obținem (log⁡7x−1)2=0\displaystyle (\log_7 x-1)^{2}=0.
    (log⁡7x−1)2=0\displaystyle (\log_7 x-1)^{2}=0
  6. Din (t−1)2=0\displaystyle (t-1)^{2}=0 rezultă t=1\displaystyle t=1, adică log⁡7x=1\displaystyle \log_7 x=1, deci x=7\displaystyle x=7. Valoarea verifică condițiile de existență (x>0\displaystyle x>0, x≠1\displaystyle x\neq 1), deci convine.
    log⁡7x=1, deci x=7, care convine\displaystyle \log_7 x=1\text{, deci }x=7\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 45\displaystyle 45 de submulțimi cu două elemente.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu n\displaystyle n numărul de elemente ale mulțimii. Numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi cu n\displaystyle n elemente este Cn2\displaystyle C_n^2, cu n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}, n≥2\displaystyle n\ge 2. Din enunț obținem ecuația Cn2=45\displaystyle C_n^2=45.
    Cn2=45, unde n∈N\displaystyle C_n^2=45\text{, unde }n\in\mathbb{N}, n≥2\displaystyle \ n\ge 2
  2. Scriem combinările cu formula Cn2=n!2! (n−2)!\displaystyle C_n^2=\dfrac{n!}{2!\,(n-2)!}, adică Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}.
    Cn2=n(n−1)2\displaystyle C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}
  3. Înlocuim în ecuație și înmulțim cu 2\displaystyle 2: n(n−1)=90\displaystyle n(n-1)=90, deci n2−n−90=0\displaystyle n^{2}-n-90=0.
    n2−n−90=0\displaystyle n^{2}-n-90=0
  4. Discriminantul este Δ=1+360=361\displaystyle \Delta=1+360=361, iar 361=19\displaystyle \sqrt{361}=19. Rădăcinile sunt n=1+192=10\displaystyle n=\dfrac{1+19}{2}=10 și n=1−192=−9\displaystyle n=\dfrac{1-19}{2}=-9. Cum n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N} și n≥2\displaystyle n\ge 2, convine doar n=10\displaystyle n=10. Verificare: 10⋅92=45\displaystyle \dfrac{10\cdot 9}{2}=45.
    n(n−1)2=45, deci n=10\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}=45\text{, deci }n=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,−2)\displaystyle A(2,-2), B(−4,4)\displaystyle B(-4,4) și C(−4,0)\displaystyle C(-4,0). Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele B(−4,4)\displaystyle B(-4,4) și C(−4,0)\displaystyle C(-4,0) au aceeași abscisă, deci dreapta BC\displaystyle BC este verticală, cu ecuația x=−4\displaystyle x=-4.
    BC: x=−4\displaystyle BC:\ x=-4
  2. Luăm BC\displaystyle BC ca bază. Cum punctele au aceeași abscisă, lungimea ei este diferența ordonatelor: BC=∣4−0∣\displaystyle BC=|4-0|.
    BC=4\displaystyle BC=4
  3. Înălțimea este distanța de la A(2,−2)\displaystyle A(2,-2) la dreapta x=−4\displaystyle x=-4, adică modulul diferenței absciselor: d(A,BC)=∣2−(−4)∣\displaystyle d(A,BC)=|2-(-4)|.
    d(A,BC)=∣2+4∣=6\displaystyle d(A,BC)=|2+4|=6
  4. Aplicăm formula ariei: AΔABC=BC⋅d(A,BC)2=4⋅62\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{BC\cdot d(A,BC)}{2}=\dfrac{4\cdot 6}{2}.
    AΔABC=4⋅62=12\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{4\cdot 6}{2}=12
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right) pentru care cos⁡xsin⁡(π2−x)−sin⁡xcos⁡(π2−x)=12\displaystyle \cos x\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\sin x\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formulele de reducere la primul cadran: sin⁡(π2−x)=cos⁡x\displaystyle \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x și cos⁡(π2−x)=sin⁡x\displaystyle \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x.
    sin⁡(π2−x)=cos⁡x\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,cos⁡(π2−x)=sin⁡x\displaystyle \quad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x
  2. Înlocuim în ecuație și obținem cos⁡xcos⁡x−sin⁡xsin⁡x=12\displaystyle \cos x\cos x-\sin x\sin x=\dfrac{1}{2}.
    cos⁡xcos⁡x−sin⁡xsin⁡x=12\displaystyle \cos x\cos x-\sin x\sin x=\frac{1}{2}
  3. Recunoaștem formula cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b pentru a=b=x\displaystyle a=b=x. Deci membrul stâng este cos⁡2x\displaystyle \cos 2x și ecuația devine cos⁡2x=12\displaystyle \cos 2x=\dfrac{1}{2}.
    cos⁡2x=12\displaystyle \cos 2x=\frac{1}{2}
  4. Din x∈(0,π2)\displaystyle x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) rezultă 2x∈(0,π)\displaystyle 2x\in(0,\pi).
    2x∈(0,π)\displaystyle 2x\in(0,\pi)
  5. Pe intervalul (0,π)\displaystyle (0,\pi) cosinusul ia valoarea 12\displaystyle \dfrac{1}{2} o singură dată, pentru π3\displaystyle \dfrac{\pi}{3}. Deci 2x=π3\displaystyle 2x=\dfrac{\pi}{3}, de unde x=π6\displaystyle x=\dfrac{\pi}{6}, care aparține intervalului (0,π2)\displaystyle \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right).
    x=π6\displaystyle x=\frac{\pi}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aa2−a012a001)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a&a^2-a\\0&1&2a\\0&0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(1))=1\displaystyle \det(A(1))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Elementul a2−a\displaystyle a^2-a devine 12−1=0\displaystyle 1^2-1=0, elementul a\displaystyle a devine 1\displaystyle 1, iar elementul 2a\displaystyle 2a devine 2\displaystyle 2.
    A(1)=(110012001)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(1)\displaystyle A(1).
    det⁡(A(1))=∣110012001∣\displaystyle \det(A(1))=\begin{vmatrix}1&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{vmatrix}
  3. Aplicăm regula triunghiului (sau regula lui Sarrus). Produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei sunt 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot1\cdot1, 1⋅2⋅0\displaystyle 1\cdot2\cdot0 și 0⋅0⋅0\displaystyle 0\cdot0\cdot0. Produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei sunt 0⋅1⋅0\displaystyle 0\cdot1\cdot0, 1⋅2⋅0\displaystyle 1\cdot2\cdot0 și 1⋅0⋅1\displaystyle 1\cdot0\cdot1, care se scad.
    1⋅1⋅1+1⋅2⋅0+0⋅0⋅0−0⋅1⋅0−1⋅2⋅0−1⋅0⋅1\displaystyle 1\cdot1\cdot1+1\cdot2\cdot0+0\cdot0\cdot0-0\cdot1\cdot0-1\cdot2\cdot0-1\cdot0\cdot1
  4. Efectuăm calculele: doar primul produs este nenul, iar toți ceilalți sunt 0\displaystyle 0. Rezultă că determinantul este 1\displaystyle 1, adică exact ce trebuia arătat.
    1+0+0−0−0−0=1⇒det⁡(A(1))=1\displaystyle 1+0+0-0-0-0=1\Rightarrow\det(A(1))=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aa2−a012a001)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a&a^2-a\\0&1&2a\\0&0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(a)A(b)=A(a+b)\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(a)\displaystyle A(a) și A(b)\displaystyle A(b) și calculăm produsul lor, înmulțind fiecare linie a primei matrice cu fiecare coloană a celei de-a doua.
    A(a)A(b)=(1aa2−a012a001)(1bb2−b012b001)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}1&a&a^2-a\\0&1&2a\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&b&b^2-b\\0&1&2b\\0&0&1\end{pmatrix}
  2. Prima linie a produsului: 1⋅1+a⋅0+(a2−a)⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+a\cdot 0+(a^2-a)\cdot 0=1, apoi 1⋅b+a⋅1+(a2−a)⋅0=a+b\displaystyle 1\cdot b+a\cdot 1+(a^2-a)\cdot 0=a+b, iar ultimul element este 1⋅(b2−b)+a⋅2b+(a2−a)⋅1=b2−b+2ab+a2−a\displaystyle 1\cdot(b^2-b)+a\cdot 2b+(a^2-a)\cdot 1=b^2-b+2ab+a^2-a.
    (1a+bb2−b+2ab+a2−a)\displaystyle \begin{pmatrix}1&a+b&b^2-b+2ab+a^2-a\end{pmatrix}
  3. A doua linie: 0⋅1+1⋅0+2a⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 0+2a\cdot 0=0, 0⋅b+1⋅1+2a⋅0=1\displaystyle 0\cdot b+1\cdot 1+2a\cdot 0=1, 0⋅(b2−b)+1⋅2b+2a⋅1=2a+2b\displaystyle 0\cdot(b^2-b)+1\cdot 2b+2a\cdot 1=2a+2b. A treia linie este (0,0,1)\displaystyle (0,0,1).
    A(a)A(b)=(1b+ab2−b+2ab+a2−a012b+2a001)\displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}1&b+a&b^2-b+2ab+a^2-a\\0&1&2b+2a\\0&0&1\end{pmatrix}
  4. Grupăm termenii: a2+2ab+b2=(a+b)2\displaystyle a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 și −a−b=−(a+b)\displaystyle -a-b=-(a+b), deci b2−b+2ab+a2−a=(a+b)2−(a+b)\displaystyle b^2-b+2ab+a^2-a=(a+b)^2-(a+b). De asemenea, 2a+2b=2(a+b)\displaystyle 2a+2b=2(a+b).
    b2−b+2ab+a2−a=(a+b)2−(a+b) și 2b+2a=2(a+b)\displaystyle b^2-b+2ab+a^2-a=(a+b)^2-(a+b)\text{ și }2b+2a=2(a+b)
  5. Înlocuind a\displaystyle a cu a+b\displaystyle a+b în definiția lui A(a)\displaystyle A(a), obținem exact matricea de mai sus, deci A(a)A(b)=A(a+b)\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    A(a)A(b)=(1a+b(a+b)2−(a+b)012(a+b)001)=A(a+b), pentru orice numere \displaystyle A(a)A(b)=\begin{pmatrix}1&a+b&(a+b)^2-(a+b)\\0&1&2(a+b)\\0&0&1\end{pmatrix}=A(a+b)\text{, pentru orice numere }reale a și b\displaystyle \text{reale }a\text{ și }b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aa2−a012a001)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a&a^2-a\\0&1&2a\\0&0&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M3(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}) pentru care A(3)⋅X=A(5)\displaystyle A(3)\cdot X=A(5).
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm proprietatea de la punctul b: pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b, produsul A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b) este A(a+b)\displaystyle A(a+b). Calculăm produsul: pe prima linie obținem 1\displaystyle 1, a+b\displaystyle a+b, apoi b2−b+2ab+a2−a=(a+b)2−(a+b)\displaystyle b^2-b+2ab+a^2-a=(a+b)^2-(a+b). Pe linia a doua obținem 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1, 2a+2b\displaystyle 2a+2b, iar pe a treia 0\displaystyle 0, 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1. Aceasta este exact matricea A(a+b)\displaystyle A(a+b).
    A(a)⋅A(b)=A(a+b)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(a+b)
  2. Aplicăm proprietatea pentru a=3\displaystyle a=3 și b=−3\displaystyle b=-3. Obținem A(3)⋅A(−3)=A(0)\displaystyle A(3)\cdot A(-3)=A(0), iar A(0)=I3\displaystyle A(0)=I_3 este matricea unitate. Deci inversa lui A(3)\displaystyle A(3) este A(−3)\displaystyle A(-3).
    A(3)⋅A(−3)=A(0)=I3, deci A(3)−1=A(−3)\displaystyle A(3)\cdot A(-3)=A(0)=I_3\text{, deci }A(3)^{-1}=A(-3)
  3. Înmulțim egalitatea A(3)⋅X=A(5)\displaystyle A(3)\cdot X=A(5) la stânga cu A(−3)\displaystyle A(-3). Cum A(−3)⋅A(3)=I3\displaystyle A(-3)\cdot A(3)=I_3, rămâne X=A(−3)⋅A(5)\displaystyle X=A(-3)\cdot A(5).
    X=A(−3)⋅A(5)\displaystyle X=A(-3)\cdot A(5)
  4. Folosim din nou proprietatea: A(−3)⋅A(5)=A(−3+5)=A(2)\displaystyle A(-3)\cdot A(5)=A(-3+5)=A(2). Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în matricea A(a)\displaystyle A(a): a2−a=2\displaystyle a^2-a=2, iar 2a=4\displaystyle 2a=4. Obținem matricea X\displaystyle X din rezultat.
    X=A(2)=(122014001)\displaystyle X=A(2)=\begin{pmatrix}1&2&2\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−3x−3y+6\displaystyle x*y=2xy-3x-3y+6.

Arătați că x∗y=2(x−32)(y−32)+32\displaystyle x*y=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∗y=2xy−3x−3y+6\displaystyle x*y=2xy-3x-3y+6.
    x∗y=2xy−3x−3y+6\displaystyle x*y=2xy-3x-3y+6
  2. Descompunem termenul liber ca 6=92+32\displaystyle 6=\dfrac{9}{2}+\dfrac{3}{2}, pentru a putea forma grupul care conține 94\displaystyle \dfrac{9}{4} după scoaterea factorului 2\displaystyle 2.
    x∗y=2xy−3x−3y+92+32\displaystyle x*y=2xy-3x-3y+\frac{9}{2}+\frac{3}{2}
  3. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 din primii patru termeni: 2xy=2⋅xy\displaystyle 2xy=2\cdot xy, −3x=2⋅(−32x)\displaystyle -3x=2\cdot\left(-\dfrac{3}{2}x\right), −3y=2⋅(−32y)\displaystyle -3y=2\cdot\left(-\dfrac{3}{2}y\right), 92=2⋅94\displaystyle \dfrac{9}{2}=2\cdot\dfrac{9}{4}.
    x∗y=2(xy−32x−32y+94)+32\displaystyle x*y=2\left(xy-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}y+\frac{9}{4}\right)+\frac{3}{2}
  4. Grupăm xy−32x\displaystyle xy-\dfrac{3}{2}x și scoatem factor comun x\displaystyle x, apoi grupăm −32y+94\displaystyle -\dfrac{3}{2}y+\dfrac{9}{4} și scoatem factor comun −32\displaystyle -\dfrac{3}{2}.
    x∗y=2(x(y−32)−32(y−32))+32\displaystyle x*y=2\left(x\left(y-\frac{3}{2}\right)-\frac{3}{2}\left(y-\frac{3}{2}\right)\right)+\frac{3}{2}
  5. Scoatem factorul comun y−32\displaystyle y-\dfrac{3}{2} și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=2(x−32)(y−32)+32, pentru orice numere \displaystyle x*y=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−3x−3y+6\displaystyle x*y=2xy-3x-3y+6.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x=14\displaystyle x*x=14.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii și reducem termenii asemenea: x∗x=2x2−3x−3x+6=2x2−6x+6\displaystyle x*x=2x^{2}-3x-3x+6=2x^{2}-6x+6.
    x∗x=2x2−6x+6\displaystyle x*x=2x^{2}-6x+6
  2. Scriem expresia sub formă canonică, prin completare de pătrat: 2(x−32)2=2x2−6x+92\displaystyle 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=2x^{2}-6x+\dfrac{9}{2}, deci 2x2−6x+6=2(x−32)2+32\displaystyle 2x^{2}-6x+6=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{2}.
    x∗x=2(x−32)2+32\displaystyle x*x=2\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{3}{2}
  3. Punem condiția x∗x=14\displaystyle x*x=14 și izolăm pătratul: scădem 32\displaystyle \dfrac{3}{2} din ambii membri, apoi împărțim la 2\displaystyle 2. Obținem (x−32)2=254\displaystyle \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{25}{4}.
    2(x−32)2+32=14⇔(x−32)2=254\displaystyle 2\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{3}{2}=14\Leftrightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}
  4. Extragem rădăcina pătrată din ambii membri, ținând cont de ambele semne, deoarece 254=(52)2\displaystyle \dfrac{25}{4}=\left(\dfrac{5}{2}\right)^{2}.
    x−32=−52 sau x−32=52\displaystyle x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}\text{ sau }x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}
  5. Adunăm 32\displaystyle \dfrac{3}{2} în fiecare caz: x=−52+32=−1\displaystyle x=-\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}=-1 sau x=52+32=4\displaystyle x=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}=4. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    x=−1 sau x=4\displaystyle x=-1\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−3x−3y+6\displaystyle x*y=2xy-3x-3y+6.

Determinați numărul natural n\displaystyle n, știind că (2n+32)∗(2n+1+32)∗(2n+2+32)=220+32\displaystyle \left(2^n+\frac{3}{2}\right)*\left(2^{n+1}+\frac{3}{2}\right)*\left(2^{n+2}+\frac{3}{2}\right)=2^{20}+\frac{3}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă canonică. Avem 2(x−32)(y−32)=2xy−3x−3y+92\displaystyle 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)=2xy-3x-3y+\dfrac{9}{2}, deci adăugând 32\displaystyle \dfrac{3}{2} obținem x∗y=2xy−3x−3y+6\displaystyle x*y=2xy-3x-3y+6.
    x∗y=2(x−32)(y−32)+32\displaystyle x*y=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}
  2. Calculăm compunerea a trei elemente. Din forma canonică, x∗y−32=2(x−32)(y−32)\displaystyle x*y-\dfrac{3}{2}=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right). Atunci (x∗y)∗z=2(x∗y−32)(z−32)+32\displaystyle (x*y)*z=2\left(x*y-\dfrac{3}{2}\right)\left(z-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}, iar factorii 2\displaystyle 2 se înmulțesc.
    x∗y∗z=4(x−32)(y−32)(z−32)+32\displaystyle x*y*z=4\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)\left(z-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}
  3. Aplicăm formula pentru x=2n+32\displaystyle x=2^n+\dfrac{3}{2}, y=2n+1+32\displaystyle y=2^{n+1}+\dfrac{3}{2}, z=2n+2+32\displaystyle z=2^{n+2}+\dfrac{3}{2}. În fiecare paranteză 32\displaystyle \dfrac{3}{2} se reduce, iar scăzând 32\displaystyle \dfrac{3}{2} din ambii membri rămâne 4⋅2n⋅2n+1⋅2n+2=220\displaystyle 4\cdot 2^n\cdot 2^{n+1}\cdot 2^{n+2}=2^{20}. Cum 4=22\displaystyle 4=2^2, adunăm exponenții.
    4(2n+32−32)(2n+1+32−32)(2n+2+32−32)+32=220+32⇔22+n+n+1+n+2=220\displaystyle 4\left(2^n+\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}\right)\left(2^{n+1}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}\right)\left(2^{n+2}+\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{3}{2}=2^{20}+\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow 2^{2+n+n+1+n+2}=2^{20}
  4. Bazele fiind egale, egalăm exponenții: 2+n+(n+1)+(n+2)=3n+5\displaystyle 2+n+(n+1)+(n+2)=3n+5, deci 3n+5=20\displaystyle 3n+5=20, de unde 3n=15\displaystyle 3n=15.
    3n+5=20⇒3n=15\displaystyle 3n+5=20\Rightarrow 3n=15
  5. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem n=5\displaystyle n=5, care este număr natural.
    3n+5=20, deci n=5\displaystyle 3n+5=20\text{, deci }n=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1(x−1)2−1x2\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x^2}.

Arătați că f′(x)=−2(3x2−3x+1)x3(x−1)3\displaystyle f'(x)=\frac{-2(3x^2-3x+1)}{x^3(x-1)^3}, x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția cu exponenți negativi, ca să putem aplica regula de derivare a puterii: f(x)=(x−1)−2−x−2\displaystyle f(x)=(x-1)^{-2}-x^{-2}.
    f(x)=(x−1)−2−x−2\displaystyle f(x)=(x-1)^{-2}-x^{-2}
  2. Derivăm primul termen cu regula derivării unei funcții compuse: ((x−1)−2)′=−2(x−1)−3⋅(x−1)′=−2(x−1)3\displaystyle \left((x-1)^{-2}\right)'=-2(x-1)^{-3}\cdot(x-1)'=-\dfrac{2}{(x-1)^{3}}.
    (1(x−1)2)′=−2(x−1)3\displaystyle \left(\frac{1}{(x-1)^{2}}\right)'=-\frac{2}{(x-1)^{3}}
  3. Derivăm al doilea termen: (x−2)′=−2x−3=−2x3\displaystyle \left(x^{-2}\right)'=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^{3}}. Cum termenul apare cu semnul minus, obținem f′(x)=−2(x−1)3+2x3\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2}{(x-1)^{3}}+\dfrac{2}{x^{3}}.
    f′(x)=−2(x−1)3+2x3\displaystyle f'(x)=-\frac{2}{(x-1)^{3}}+\frac{2}{x^{3}}
  4. Aducem fracțiile la numitorul comun x3(x−1)3\displaystyle x^{3}(x-1)^{3}: amplificăm prima fracție cu x3\displaystyle x^{3} și a doua cu (x−1)3\displaystyle (x-1)^{3}.
    f′(x)=−2x3+2(x−1)3x3(x−1)3\displaystyle f'(x)=\frac{-2x^{3}+2(x-1)^{3}}{x^{3}(x-1)^{3}}
  5. Dezvoltăm cubul diferenței: (x−1)3=x3−3x2+3x−1\displaystyle (x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1, deci 2(x−1)3=2x3−6x2+6x−2\displaystyle 2(x-1)^{3}=2x^{3}-6x^{2}+6x-2. Numărătorul devine −2x3+2x3−6x2+6x−2\displaystyle -2x^{3}+2x^{3}-6x^{2}+6x-2.
    −2x3+2x3−6x2+6x−2x3(x−1)3\displaystyle \frac{-2x^{3}+2x^{3}-6x^{2}+6x-2}{x^{3}(x-1)^{3}}
  6. Reducem termenii cu x3\displaystyle x^{3}, apoi dăm factor comun −2\displaystyle -2 la numărător: −6x2+6x−2=−2(3x2−3x+1)\displaystyle -6x^{2}+6x-2=-2(3x^{2}-3x+1). Obținem forma cerută, pentru x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
    f′(x)=−2(3x2−3x+1)x3(x−1)3, x∈(1,+∞)\displaystyle f'(x)=\frac{-2(3x^{2}-3x+1)}{x^{3}(x-1)^{3}}\text{, }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1(x−1)2−1x2\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x^2}.

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A(0,3)\displaystyle A(0,3) și este paralelă cu tangenta la graficul funcției f\displaystyle f în punctul de abscisă x=2\displaystyle x=2, situat pe graficul funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția cu exponenți negativi, ca să derivăm mai ușor: f(x)=(x−1)−2−x−2\displaystyle f(x)=(x-1)^{-2}-x^{-2}.
    f(x)=(x−1)−2−x−2\displaystyle f(x)=(x-1)^{-2}-x^{-2}
  2. Derivăm termen cu termen, folosind derivata unei puteri și faptul că (x−1)′=1\displaystyle (x-1)'=1. Obținem f′(x)=−2(x−1)3+2x3\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2}{(x-1)^{3}}+\dfrac{2}{x^{3}}.
    f′(x)=−2(x−1)3+2x3\displaystyle f'(x)=-\dfrac{2}{(x-1)^{3}}+\dfrac{2}{x^{3}}
  3. Calculăm derivata în x=2\displaystyle x=2: −213+223=−2+14=−74\displaystyle -\dfrac{2}{1^{3}}+\dfrac{2}{2^{3}}=-2+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{7}{4}. Aceasta este panta tangentei în punctul de abscisă 2\displaystyle 2.
    f′(2)=−2+14=−74\displaystyle f'(2)=-2+\dfrac{1}{4}=-\dfrac{7}{4}
  4. Dreptele paralele au aceeași pantă, deci dreapta căutată are panta m=f′(2)=−74\displaystyle m=f'(2)=-\dfrac{7}{4}.
    m=−74\displaystyle m=-\dfrac{7}{4}
  5. Scriem ecuația dreptei de pantă m\displaystyle m care trece prin A(0,3)\displaystyle A(0,3): y−3=f′(2)(x−0)\displaystyle y-3=f'(2)(x-0). Rezultă y=−74x+3\displaystyle y=-\dfrac{7}{4}x+3.
    y−3=−74(x−0), deci y=−74x+3\displaystyle y-3=-\dfrac{7}{4}(x-0)\text{, deci }y=-\dfrac{7}{4}x+3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(1,+∞)→R\displaystyle f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1(x−1)2−1x2\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x^2}.

Calculați lim⁡n→+∞(f(2)+f(3)+…+f(n))n2\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(f(2)+f(3)+\ldots+f(n)\right)^{n^2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem termenii sumei folosind formula funcției: f(k)=1(k−1)2−1k2\displaystyle f(k)=\dfrac{1}{(k-1)^{2}}-\dfrac{1}{k^{2}}, pentru k=2,3,…,n\displaystyle k=2,3,\ldots,n.
    f(2)+f(3)+…+f(n)=(112−122)+(122−132)+…+(1(n−1)2−1n2)\displaystyle f(2)+f(3)+\ldots+f(n)=\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{(n-1)^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)
  2. Suma este telescopică: fiecare termen negativ se reduce cu termenul pozitiv următor, deci rămân doar primul termen 112\displaystyle \dfrac{1}{1^{2}} și ultimul termen −1n2\displaystyle -\dfrac{1}{n^{2}}.
    f(2)+f(3)+…+f(n)=1−1n2\displaystyle f(2)+f(3)+\ldots+f(n)=1-\frac{1}{n^{2}}
  3. Înlocuim suma în limita cerută. Obținem o nedeterminare de tip 1∞\displaystyle 1^{\infty}, deoarece baza 1−1n2\displaystyle 1-\dfrac{1}{n^{2}} tinde la 1\displaystyle 1, iar exponentul n2\displaystyle n^{2} tinde la +∞\displaystyle +\infty.
    lim⁡n→+∞(1−1n2)n2\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n^{2}}
  4. Scriem baza sub forma 1+−1n2\displaystyle 1+\dfrac{-1}{n^{2}} și ajustăm exponentul pentru a folosi limita remarcabilă (1+1an)an→e\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{a_n}\right)^{a_n}\to e când ∣an∣→∞\displaystyle |a_n|\to\infty. Aici an=−n2\displaystyle a_n=-n^{2}, deci scriem n2=(−n2)⋅(−1)\displaystyle n^{2}=(-n^{2})\cdot(-1).
    lim⁡n→+∞(1−1n2)n2=lim⁡n→+∞((1+−1n2)−n2)−1\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n^{2}}=\lim_{n\to+\infty}\left(\left(1+\frac{-1}{n^{2}}\right)^{-n^{2}}\right)^{-1}
  5. Expresia din interior tinde la e\displaystyle e, deci întreaga limită este e−1\displaystyle e^{-1}.
    e−1=1e\displaystyle e^{-1}=\frac{1}{e}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+1}.

Arătați că ∫03xf(x)dx=1\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}\frac{x}{f(x)}dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^{2}+1} în integrală: ∫03xf(x)dx=∫03xx2+1dx\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}\dfrac{x}{f(x)}dx=\int_0^{\sqrt{3}}\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx.
    ∫03xx2+1dx\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx
  2. Verificăm că x2+1\displaystyle \sqrt{x^{2}+1} este primitivă a funcției de integrat: (x2+1)′=2x2x2+1=xx2+1\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+1}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
    (x2+1)′=xx2+1\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}+1}\right)'=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫03xx2+1dx=x2+1∣03\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\sqrt{x^{2}+1}\Big|_0^{\sqrt{3}}.
    ∫03xf(x)dx=x2+1∣03\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}}\frac{x}{f(x)}dx=\sqrt{x^{2}+1}\Big|_0^{\sqrt{3}}
  4. Calculăm valorile în capete: (3)2+1=4=2\displaystyle \sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1}=\sqrt{4}=2 și 02+1=1=1\displaystyle \sqrt{0^{2}+1}=\sqrt{1}=1. Deci integrala este 2−1=1\displaystyle 2-1=1.
    4−1=2−1=1\displaystyle \sqrt{4}-\sqrt{1}=2-1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+1}.

Calculați ∫01f(x)dx\displaystyle \int_0^1 f(x)dx.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm I=∫01f(x)dx\displaystyle I=\int_0^1 f(x)dx. Scriem x2+1=x2+1x2+1\displaystyle \sqrt{x^2+1}=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}, deoarece x2+1=(x2+1)2\displaystyle x^2+1=\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2.
    I=∫01x2+1x2+1dx\displaystyle I=\int_0^1\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}dx
  2. Separăm fracția în doi termeni: x2+1x2+1=x⋅xx2+1+1x2+1\displaystyle \dfrac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}=x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}.
    I=∫01(x⋅xx2+1+1x2+1)dx\displaystyle I=\int_0^1\left(x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)dx
  3. Observăm că (x2+1)′=2x2x2+1=xx2+1\displaystyle \left(\sqrt{x^2+1}\right)'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}. Deci integrala se scrie ca suma a două integrale, prima fiind pregătită pentru integrarea prin părți.
    I=∫01x(x2+1)′dx+∫011x2+1dx\displaystyle I=\int_0^1 x\left(\sqrt{x^2+1}\right)'dx+\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx
  4. Integrăm prin părți prima integrală, cu u=x\displaystyle u=x și v=x2+1\displaystyle v=\sqrt{x^2+1}: ∫01x(x2+1)′dx=xx2+1∣01−∫01x2+1dx\displaystyle \int_0^1 x\left(\sqrt{x^2+1}\right)'dx=x\sqrt{x^2+1}\Big|_0^1-\int_0^1\sqrt{x^2+1}dx. Ultima integrală este chiar I\displaystyle I.
    ∫01x(x2+1)′dx=xx2+1∣01−I=2−I\displaystyle \int_0^1 x\left(\sqrt{x^2+1}\right)'dx=x\sqrt{x^2+1}\Big|_0^1-I=\sqrt{2}-I
  5. Pentru a doua integrală folosim primitiva cunoscută ln⁡(x+x2+1)\displaystyle \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right). Evaluăm între 0 și 1: ln⁡(1+2)−ln⁡1\displaystyle \ln\left(1+\sqrt{2}\right)-\ln 1.
    ∫011x2+1dx=ln⁡(x+x2+1)∣01=ln⁡(1+2)\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\Big|_0^1=\ln\left(1+\sqrt{2}\right)
  6. Înlocuim în egalitatea pentru I\displaystyle I: I=2−I+ln⁡(1+2)\displaystyle I=\sqrt{2}-I+\ln\left(1+\sqrt{2}\right). Deci 2I=2+ln⁡(1+2)\displaystyle 2I=\sqrt{2}+\ln\left(1+\sqrt{2}\right), de unde se obține valoarea lui I\displaystyle I.
    I=∫01f(x)dx=2+ln⁡(1+2)2\displaystyle I=\int_0^1 f(x)dx=\frac{\sqrt{2}+\ln\left(1+\sqrt{2}\right)}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+1\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+1}.

Arătați că există un unic număr real x\displaystyle x pentru care ∫0xef2(t)dt=x\displaystyle \int_0^x e^{f^2(t)}dt=x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f2(t)\displaystyle f^2(t): deoarece f(t)=t2+1\displaystyle f(t)=\sqrt{t^2+1}, avem f2(t)=t2+1\displaystyle f^2(t)=t^2+1. Integrandul devine et2+1\displaystyle e^{t^2+1}, o funcție continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}.
    f2(t)=t2+1\displaystyle f^2(t)=t^2+1
  2. Ecuația ∫0xef2(t)dt=x\displaystyle \int_0^x e^{f^2(t)}dt=x este echivalentă cu g(x)=0\displaystyle g(x)=0, unde g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=∫0xef2(t)dt−x\displaystyle g(x)=\int_0^x e^{f^2(t)}dt-x. Integrandul este continuu, deci g\displaystyle g este derivabilă și (∫0xet2+1dt)′=ex2+1\displaystyle \left(\int_0^x e^{t^2+1}dt\right)'=e^{x^2+1}. Rezultă g′(x)=ex2+1−1\displaystyle g'(x)=e^{x^2+1}-1.
    g′(x)=ex2+1−1\displaystyle g'(x)=e^{x^2+1}-1
  3. Studiem semnul derivatei. Pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x2+1≥1\displaystyle x^2+1\ge 1, iar exponențiala fiind strict crescătoare, ex2+1≥e>1\displaystyle e^{x^2+1}\ge e>1. Deci g′(x)>0\displaystyle g'(x)>0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    g′(x)≥e−1>0\displaystyle g'(x)\ge e-1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  4. Cum g′(x)>0\displaystyle g'(x)>0 pe R\displaystyle \mathbb{R}, funcția g\displaystyle g este strict crescătoare pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci injectivă, iar ecuația g(x)=0\displaystyle g(x)=0 are cel mult o soluție. Avem g(0)=∫00et2+1dt−0=0\displaystyle g(0)=\int_0^0 e^{t^2+1}dt-0=0, deci x=0\displaystyle x=0 este soluție. Prin urmare ecuația are o unică soluție, x=0\displaystyle x=0.
    g strict cresca˘toare\displaystyle g\text{ strict crescătoare}, g(0)=0 ⇒ unic x=0\displaystyle \ g(0)=0\ \Rightarrow\ \text{unic }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.