Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 2: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul n=(1+6i)2+(3−2i)2\displaystyle n=(1+6i)^2+(3-2i)^2 este întreg negativ, unde i2=−1\displaystyle i^2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm primul pătrat cu formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, unde a=1\displaystyle a=1 și b=6i\displaystyle b=6i.
    (1+6i)2=1+12i+36i2\displaystyle (1+6i)^2=1+12i+36i^2
  2. Dezvoltăm al doilea pătrat cu formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, unde a=3\displaystyle a=3 și b=2i\displaystyle b=2i.
    (3−2i)2=9−12i+4i2\displaystyle (3-2i)^2=9-12i+4i^2
  3. Adunăm cele două dezvoltări și obținem expresia lui n\displaystyle n.
    n=1+12i+36i2+9−12i+4i2\displaystyle n=1+12i+36i^2+9-12i+4i^2
  4. Înlocuim i2=−1\displaystyle i^2=-1 și observăm că termenii 12i\displaystyle 12i și −12i\displaystyle -12i se reduc.
    n=1+12i−36+9−12i−4\displaystyle n=1+12i-36+9-12i-4
  5. Calculăm suma numerelor reale și constatăm că n\displaystyle n este un număr întreg negativ.
    n=1−36+9−4=−30, care este numa˘r ıˆntreg \displaystyle n=1-36+9-4=-30\text{, care este număr întreg }negativ\displaystyle \text{negativ}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+ax\displaystyle f(x)=x^2+ax, unde a\displaystyle a este număr real astfel încât f(1)=f(5)\displaystyle f(1)=f(5). Arătați că f(2)=f(4)\displaystyle f(2)=f(4).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în f(x)=x2+ax\displaystyle f(x)=x^{2}+ax.
    f(1)=12+a⋅1=1+a\displaystyle f(1)=1^{2}+a\cdot 1=1+a
  2. Calculăm f(5)\displaystyle f(5) înlocuind x\displaystyle x cu 5\displaystyle 5 în f(x)=x2+ax\displaystyle f(x)=x^{2}+ax.
    f(5)=52+5a=25+5a\displaystyle f(5)=5^{2}+5a=25+5a
  3. Folosim condiția f(1)=f(5)\displaystyle f(1)=f(5) și obținem ecuația în a\displaystyle a. Trecem termenii cu a\displaystyle a într-o parte și numerele în cealaltă: −4a=24\displaystyle -4a=24, apoi împărțim la −4\displaystyle -4.
    1+a=25+5a⇒−4a=24⇒a=−6\displaystyle 1+a=25+5a\Rightarrow -4a=24\Rightarrow a=-6
  4. Înlocuim a=−6\displaystyle a=-6 în formula funcției și obținem expresia lui f\displaystyle f.
    f(x)=x2−6x\displaystyle f(x)=x^{2}-6x
  5. Calculăm f(2)\displaystyle f(2) cu formula f(x)=x2−6x\displaystyle f(x)=x^{2}-6x.
    f(2)=22−6⋅2=4−12=−8\displaystyle f(2)=2^{2}-6\cdot 2=4-12=-8
  6. Calculăm f(4)\displaystyle f(4) cu aceeași formulă și comparăm cu f(2)\displaystyle f(2). Cele două valori sunt egale, deci f(2)=f(4)\displaystyle f(2)=f(4).
    f(4)=42−6⋅4=16−24=−8, deci f(2)=f(4)=−8\displaystyle f(4)=4^{2}-6\cdot 4=16-24=-8\text{, deci }f(2)=f(4)=-8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(2x2−2)=2log⁡3(x+1)\displaystyle \log_3\left(2x^2-2\right)=2\log_3(x+1).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Din x+1>0\displaystyle x+1>0 obținem x>−1\displaystyle x>-1, iar din 2x2−2>0\displaystyle 2x^{2}-2>0 obținem x2>1\displaystyle x^{2}>1, adică x<−1\displaystyle x<-1 sau x>1\displaystyle x>1. Intersecția dă x>1\displaystyle x>1.
    x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty)
  2. Folosim proprietatea logaritmului unei puteri: 2log⁡3(x+1)=log⁡3(x+1)2\displaystyle 2\log_3(x+1)=\log_3(x+1)^{2}.
    log⁡3(2x2−2)=log⁡3(x+1)2\displaystyle \log_3\left(2x^{2}-2\right)=\log_3(x+1)^{2}
  3. Logaritmul în baza 3\displaystyle 3 este injectiv, deci egalăm argumentele: 2x2−2=(x+1)2\displaystyle 2x^{2}-2=(x+1)^{2}. Desfacem pătratul: 2x2−2=x2+2x+1\displaystyle 2x^{2}-2=x^{2}+2x+1, de unde, după mutarea termenilor în stânga, obținem x2−2x−3=0\displaystyle x^{2}-2x-3=0.
    2x2−2=(x+1)2⇒x2−2x−3=0\displaystyle 2x^{2}-2=(x+1)^{2}\Rightarrow x^{2}-2x-3=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul doi. Discriminantul este Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−3)=16\displaystyle \Delta=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=16, deci x=2±42\displaystyle x=\dfrac{2\pm4}{2}, adică x1=−1\displaystyle x_1=-1 și x2=3\displaystyle x_2=3.
    x1=−1\displaystyle x_1=-1, x2=3\displaystyle \ x_2=3
  5. Verificăm soluțiile cu condiția x>1\displaystyle x>1. Valoarea x=−1\displaystyle x=-1 nu convine, deoarece x+1=0\displaystyle x+1=0 și logaritmul nu există. Valoarea x=3\displaystyle x=3 convine, fiindcă 3>1\displaystyle 3>1: ambele părți devin log⁡316\displaystyle \log_3 16. Singura soluție este x=3\displaystyle x=3.
    x=−1, care nu convine; x=3, care convine\displaystyle x=-1\text{, care nu convine; }x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă cifra unităților egală cu suma dintre cifra sutelor și cifra zecilor.
Vezi rezolvarea
  1. Numărăm cazurile posibile: numerele naturale de trei cifre sunt de la 100\displaystyle 100 la 999\displaystyle 999, deci sunt 999−100+1=900\displaystyle 999-100+1=900.
    900\displaystyle 900
  2. Notăm numărul abc‾\displaystyle \overline{abc}, cu a∈{1,…,9}\displaystyle a\in\{1,\dots,9\} cifra sutelor, b\displaystyle b cifra zecilor și c\displaystyle c cifra unităților. Condiția cerută este c=a+b\displaystyle c=a+b. Deoarece c\displaystyle c este cifră, trebuie ca a+b≤9\displaystyle a+b\leq 9.
    c=a+b≤9\displaystyle c=a+b\leq 9
  3. Numărăm perechile (a,b)\displaystyle (a,b) după valoarea lui a\displaystyle a. Pentru a=1\displaystyle a=1, b∈{0,…,8}\displaystyle b\in\{0,\dots,8\}, adică 9\displaystyle 9 valori. Pentru a=2\displaystyle a=2, b∈{0,…,7}\displaystyle b\in\{0,\dots,7\}, adică 8\displaystyle 8 valori. Continuăm la fel, iar pentru a=9\displaystyle a=9 avem doar b=0\displaystyle b=0, adică 1\displaystyle 1 valoare. Fiecare pereche (a,b)\displaystyle (a,b) determină unic cifra c=a+b\displaystyle c=a+b, deci un singur număr favorabil.
    9+8+…+1\displaystyle 9+8+\ldots+1
  4. Calculăm suma: 1+2+…+9=9⋅102=45\displaystyle 1+2+\ldots+9=\dfrac{9\cdot 10}{2}=45, deci sunt 45\displaystyle 45 de cazuri favorabile.
    9+8+…+1=45\displaystyle 9+8+\ldots+1=45
  5. Aplicăm formula probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=45900\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{45}{900}, apoi simplificăm fracția prin 45\displaystyle 45.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=45900=120\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{45}{900}=\frac{1}{20}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,4)\displaystyle A(3,4), B(−4,3)\displaystyle B(-4,3) și C\displaystyle C, astfel încât AOBC\displaystyle AOBC este paralelogram. Arătați că triunghiul ACB\displaystyle ACB este dreptunghic isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm lungimea segmentului OA\displaystyle OA, cu O(0,0)\displaystyle O(0,0) și A(3,4)\displaystyle A(3,4), folosind formula distanței: OA=(3−0)2+(4−0)2\displaystyle OA=\sqrt{(3-0)^{2}+(4-0)^{2}}.
    OA=9+16=5\displaystyle OA=\sqrt{9+16}=5
  2. Calculăm lungimea segmentului OB\displaystyle OB, cu B(−4,3)\displaystyle B(-4,3): OB=(−4)2+32\displaystyle OB=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}. Rezultă că OB\displaystyle OB este egal cu OA\displaystyle OA.
    OB=16+9=5, deci OA=OB=5\displaystyle OB=\sqrt{16+9}=5\text{, deci }OA=OB=5
  3. Laturile alăturate OA\displaystyle OA și OB\displaystyle OB ale paralelogramului AOBC\displaystyle AOBC sunt egale, deci AOBC\displaystyle AOBC este romb. Rămâne de arătat că unghiul AOB\displaystyle AOB este drept, folosind pantele dreptelor AO\displaystyle AO și BO\displaystyle BO.
    OA=OB⇒AOBC este romb\displaystyle OA=OB\Rightarrow AOBC\text{ este romb}
  4. Panta dreptei AO\displaystyle AO este mAO=4−03−0\displaystyle m_{AO}=\dfrac{4-0}{3-0}.
    mAO=43\displaystyle m_{AO}=\frac{4}{3}
  5. Panta dreptei BO\displaystyle BO este mBO=3−0−4−0\displaystyle m_{BO}=\dfrac{3-0}{-4-0}.
    mBO=−34\displaystyle m_{BO}=-\frac{3}{4}
  6. Produsul pantelor este mAO⋅mBO=43⋅(−34)=−1\displaystyle m_{AO}\cdot m_{BO}=\dfrac{4}{3}\cdot\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-1, deci AO⊥BO\displaystyle AO\perp BO. Rombul AOBC\displaystyle AOBC are un unghi drept, deci este pătrat. Diagonala AB\displaystyle AB împarte pătratul în două triunghiuri dreptunghice isoscele, deci triunghiul ACB\displaystyle ACB este dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în C\displaystyle C și CA=CB\displaystyle CA=CB.
    mAO=43 și mBO=−34⇒AO⊥BO, deci AOBC este pa˘trat, deci \displaystyle m_{AO}=\frac{4}{3}\text{ și }m_{BO}=-\frac{3}{4}\Rightarrow AO\perp BO\text{, deci }AOBC\text{ este pătrat, deci }triunghiul ACB este dreptunghic isoscel\displaystyle \text{triunghiul }ACB\text{ este dreptunghic isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Determinați x∈(0,π)\displaystyle x\in(0,\pi) pentru care 2sin⁡xsin⁡(π−x)=1\displaystyle 2\sin x\sin(\pi-x)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula de reducere sin⁡(π−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(\pi-x)=\sin x, deci ecuația devine 2sin⁡x⋅sin⁡x=1\displaystyle 2\sin x\cdot\sin x=1.
    2sin⁡2x=1\displaystyle 2\sin^{2}x=1
  2. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem sin⁡2x=12\displaystyle \sin^{2}x=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡2x=12\displaystyle \sin^{2}x=\frac{1}{2}
  3. Extragem rădăcina pătrată din ambii membri, ținând cont de ambele semne: sin⁡x=±12=±22\displaystyle \sin x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡x=−22 sau sin⁡x=22\displaystyle \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ sau }\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}
  4. Pentru x∈(0,π)\displaystyle x\in(0,\pi) avem sin⁡x>0\displaystyle \sin x>0, deci excludem valoarea negativă și rămâne sin⁡x=22\displaystyle \sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡x=22\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}
  5. În intervalul (0,π)\displaystyle (0,\pi), sinusul are valoarea 22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2} pentru x=π4\displaystyle x=\dfrac{\pi}{4} și pentru unghiul suplementar x=π−π4=3π4\displaystyle x=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}. Ambele aparțin intervalului.
    x=π4 sau x=3π4\displaystyle x=\frac{\pi}{4}\text{ sau }x=\frac{3\pi}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(aa+1a+212311a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & a+1 & a+2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=1\displaystyle \det(A(2))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în matricea A(a)\displaystyle A(a): prima linie devine 2, 3, 4\displaystyle 2,\ 3,\ 4, a doua rămâne 1, 2, 3\displaystyle 1,\ 2,\ 3, iar a treia devine 1, 1, 2\displaystyle 1,\ 1,\ 2.
    A(2)=(234123112)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(2)\displaystyle A(2), pe care îl calculăm cu regula lui Sarrus.
    det⁡(A(2))=∣234123112∣\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}
  3. Termenii cu plus sunt produsul elementelor de pe diagonala principală și produsele de pe cele două paralele cu ea: 2⋅2⋅2\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2, 3⋅3⋅1\displaystyle 3\cdot 3\cdot 1, 4⋅1⋅1\displaystyle 4\cdot 1\cdot 1.
    2⋅2⋅2+3⋅3⋅1+4⋅1⋅1=8+9+4\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2+3\cdot 3\cdot 1+4\cdot 1\cdot 1=8+9+4
  4. Termenii cu minus sunt produsul elementelor de pe diagonala secundară și produsele de pe cele două paralele cu ea: 4⋅2⋅1\displaystyle 4\cdot 2\cdot 1, 3⋅1⋅2\displaystyle 3\cdot 1\cdot 2, 2⋅3⋅1\displaystyle 2\cdot 3\cdot 1.
    4⋅2⋅1+3⋅1⋅2+2⋅3⋅1=8+6+6\displaystyle 4\cdot 2\cdot 1+3\cdot 1\cdot 2+2\cdot 3\cdot 1=8+6+6
  5. Scădem suma termenilor negativi din suma termenilor pozitivi: 8+4+9−8−6−6=21−20=1\displaystyle 8+4+9-8-6-6=21-20=1, deci det⁡(A(2))=1\displaystyle \det(A(2))=1.
    det⁡(A(2))=8+4+9−8−6−6=1\displaystyle \det(A(2))=8+4+9-8-6-6=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(aa+1a+212311a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & a+1 & a+2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care A(a)A(1)=A(1)A(a)\displaystyle A(a)A(1)=A(1)A(a).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(1)\displaystyle A(1), înlocuind a\displaystyle a cu 1\displaystyle 1 în matricea dată.
    A(1)=(123123111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(a)A(1)\displaystyle A(a)A(1), înmulțind fiecare linie din A(a)\displaystyle A(a) cu fiecare coloană din A(1)\displaystyle A(1), adică cu coloanele (1,1,1)\displaystyle (1,1,1), (2,2,1)\displaystyle (2,2,1) și (3,3,1)\displaystyle (3,3,1). De exemplu, elementul din colțul stânga sus este a⋅1+(a+1)⋅1+(a+2)⋅1=3a+3\displaystyle a\cdot 1+(a+1)\cdot 1+(a+2)\cdot 1=3a+3, iar al doilea element de pe linia a doua este 1⋅2+2⋅2+3⋅1=9\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot 2+3\cdot 1=9. Celelalte elemente se calculează la fel.
    A(a)A(1)=(3a+35a+47a+569122+a4+a6+a)\displaystyle A(a)A(1)=\begin{pmatrix} 3a+3 & 5a+4 & 7a+5 \\ 6 & 9 & 12 \\ 2+a & 4+a & 6+a \end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul A(1)A(a)\displaystyle A(1)A(a), înmulțind fiecare linie din A(1)\displaystyle A(1) cu fiecare coloană din A(a)\displaystyle A(a). Coloanele lui A(a)\displaystyle A(a) sunt (a,1,1)\displaystyle (a,1,1), (a+1,2,1)\displaystyle (a+1,2,1) și (a+2,3,a)\displaystyle (a+2,3,a). De exemplu, elementul din colțul stânga sus este 1⋅a+2⋅1+3⋅1=a+5\displaystyle 1\cdot a+2\cdot 1+3\cdot 1=a+5, iar elementul din colțul dreapta jos este 1⋅(a+2)+1⋅3+1⋅a=2a+5\displaystyle 1\cdot(a+2)+1\cdot 3+1\cdot a=2a+5. Primele două linii ale lui A(1)\displaystyle A(1) sunt egale, deci și primele două linii ale produsului sunt egale.
    A(1)A(a)=(a+5a+84a+8a+5a+84a+8a+2a+42a+5)\displaystyle A(1)A(a)=\begin{pmatrix} a+5 & a+8 & 4a+8 \\ a+5 & a+8 & 4a+8 \\ a+2 & a+4 & 2a+5 \end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare din cele două produse. Din elementul din colțul stânga sus obținem 3a+3=a+5\displaystyle 3a+3=a+5, deci a=1\displaystyle a=1. Din elementul de pe linia a doua, coloana întâi, obținem 6=a+5\displaystyle 6=a+5, deci tot a=1\displaystyle a=1. Verificăm: pentru a=1\displaystyle a=1 avem A(a)=A(1)\displaystyle A(a)=A(1), iar A(1)A(1)=A(1)A(1)\displaystyle A(1)A(1)=A(1)A(1), deci egalitatea are loc și valoarea convine.
    3a+3=a+5⇒a=1, care convine\displaystyle 3a+3=a+5\Rightarrow a=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(aa+1a+212311a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & a+1 & a+2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care matricea A(a)\displaystyle A(a) are rangul doi.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea A(a)\displaystyle A(a) are rangul doi dacă det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0 și există un minor de ordinul doi nenul. Calculăm mai întâi determinantul prin dezvoltare după prima linie.
    det⁡(A(a))=a∣231a∣−(a+1)∣131a∣+(a+2)∣1211∣\displaystyle \det(A(a))=a\begin{vmatrix}2&3\\1&a\end{vmatrix}-(a+1)\begin{vmatrix}1&3\\1&a\end{vmatrix}+(a+2)\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}
  2. Calculăm cei trei minori de ordinul doi: ∣231a∣=2a−3\displaystyle \begin{vmatrix}2&3\\1&a\end{vmatrix}=2a-3, ∣131a∣=a−3\displaystyle \begin{vmatrix}1&3\\1&a\end{vmatrix}=a-3 și ∣1211∣=−1\displaystyle \begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}=-1.
    2a−3\displaystyle 2a-3,a−3\displaystyle \quad a-3,−1\displaystyle \quad -1
  3. Înlocuim minorii în dezvoltare: det⁡(A(a))=a(2a−3)−(a+1)(a−3)−(a+2)\displaystyle \det(A(a))=a(2a-3)-(a+1)(a-3)-(a+2). Efectuăm calculele: 2a2−3a−(a2−2a−3)−a−2\displaystyle 2a^{2}-3a-(a^{2}-2a-3)-a-2.
    2a2−3a−a2+2a+3−a−2\displaystyle 2a^{2}-3a-a^{2}+2a+3-a-2
  4. Reducem termenii asemenea: a2−2a+1\displaystyle a^{2}-2a+1, adică un pătrat perfect, valabil pentru orice a\displaystyle a real.
    det⁡(A(a))=a2−2a+1=(a−1)2\displaystyle \det(A(a))=a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}
  5. Rangul nu poate fi trei, deci cerem det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0, adică (a−1)2=0\displaystyle (a-1)^{2}=0.
    (a−1)2=0⇒a=1\displaystyle (a-1)^{2}=0\Rightarrow a=1
  6. Verificăm că pentru a=1\displaystyle a=1 există un minor de ordinul doi nenul: cel format din liniile a doua și a treia și primele două coloane (care nu depind de a\displaystyle a) este ∣1211∣=1−2=−1≠0\displaystyle \begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}=1-2=-1\neq 0. Deci rangul este exact doi dacă și numai dacă a=1\displaystyle a=1.
    ∣1211∣=−1≠0, matricea A(a) are rangul doi⇔a=1\displaystyle \begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}=-1\neq 0\text{, matricea }A(a)\text{ are rangul doi}\Leftrightarrow a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6 se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.

Arătați că 3^∘3^=3^\displaystyle \hat{3}\circ\hat{3}=\hat{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y pentru x=3^\displaystyle x=\hat{3} și y=3^\displaystyle y=\hat{3}.
    3^∘3^=3^⋅3^+3^+3^\displaystyle \hat{3}\circ\hat{3}=\hat{3}\cdot\hat{3}+\hat{3}+\hat{3}
  2. Calculăm produsul în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6: 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9, iar 9=6+3\displaystyle 9=6+3, deci 3^⋅3^=9^=3^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{3}=\hat{9}=\hat{3}.
    3^⋅3^=9^=3^\displaystyle \hat{3}\cdot\hat{3}=\hat{9}=\hat{3}
  3. Înlocuim produsul în expresie și obținem suma a trei termeni egali cu 3^\displaystyle \hat{3}.
    3^∘3^=3^+3^+3^\displaystyle \hat{3}\circ\hat{3}=\hat{3}+\hat{3}+\hat{3}
  4. Adunăm: 3+3+3=9\displaystyle 3+3+3=9, iar 9^=3^\displaystyle \hat{9}=\hat{3} în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6. Deci rezultatul este 3^\displaystyle \hat{3}, ceea ce trebuia arătat.
    3^+3^+3^=9^=3^, deci 3^∘3^=3^\displaystyle \hat{3}+\hat{3}+\hat{3}=\hat{9}=\hat{3}\text{, deci }\hat{3}\circ\hat{3}=\hat{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6 se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y. Arătați că 0^\displaystyle \hat{0} este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția elementului neutru: trebuie ca pentru orice x∈Z6\displaystyle x\in\mathbb{Z}_6 să avem x∘e=x\displaystyle x\circ e=x și e∘x=x\displaystyle e\circ x=x. Verificăm acest lucru pentru e=0^\displaystyle e=\hat{0}.
    x∘0^=x și 0^∘x=x\displaystyle x\circ\hat{0}=x\text{ și }\hat{0}\circ x=x, ∀x∈Z6\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{Z}_6
  2. Verificăm la dreapta: înlocuim y\displaystyle y cu 0^\displaystyle \hat{0} în definiția legii.
    x∘0^=x⋅0^+x+0^\displaystyle x\circ\hat{0}=x\cdot\hat{0}+x+\hat{0}
  3. Deoarece x⋅0^=0^\displaystyle x\cdot\hat{0}=\hat{0} și adunarea lui 0^\displaystyle \hat{0} nu schimbă elementul, obținem x\displaystyle x. Egalitatea este valabilă pentru orice x∈Z6\displaystyle x\in\mathbb{Z}_6.
    x∘0^=0^+x+0^=x, pentru orice x∈Z6\displaystyle x\circ\hat{0}=\hat{0}+x+\hat{0}=x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{Z}_6
  4. Verificăm la stânga: înlocuim x\displaystyle x cu 0^\displaystyle \hat{0} în definiția legii.
    0^∘x=0^⋅x+0^+x\displaystyle \hat{0}\circ x=\hat{0}\cdot x+\hat{0}+x
  5. Deoarece 0^⋅x=0^\displaystyle \hat{0}\cdot x=\hat{0}, rămâne x\displaystyle x. Cum 0^\displaystyle \hat{0} verifică ambele egalități, el este elementul neutru al legii ∘\displaystyle \circ.
    0^∘x=0^+0^+x=x, pentru orice x∈Z6, deci 0^ este elementul neutru al \displaystyle \hat{0}\circ x=\hat{0}+\hat{0}+x=x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{Z}_6\text{, deci }\hat{0}\text{ este elementul neutru al }legii ∘\displaystyle \text{legii }\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6 se definește legea de compoziție x∘y=xy+x+y\displaystyle x\circ y=xy+x+y.

Demonstrați că funcția f:Z6→Z6\displaystyle f:\mathbb{Z}_6\to\mathbb{Z}_6, f(x)=4^∘x\displaystyle f(x)=\hat{4}\circ x este bijectivă.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x∘0^=x⋅0^+x+0^=x\displaystyle x\circ \hat{0}=x\cdot\hat{0}+x+\hat{0}=x și legea este comutativă, deci 0^\displaystyle \hat{0} este element neutru.
    x∘0^=0^∘x=x\displaystyle x\circ\hat{0}=\hat{0}\circ x=x
  2. Calculăm 4^∘4^=4^⋅4^+4^+4^=16^+8^=24^\displaystyle \hat{4}\circ\hat{4}=\hat{4}\cdot\hat{4}+\hat{4}+\hat{4}=\hat{16}+\hat{8}=\hat{24}, iar 24\displaystyle 24 este multiplu de 6\displaystyle 6.
    4^∘4^=24^=0^\displaystyle \hat{4}\circ\hat{4}=\hat{24}=\hat{0}
  3. Cum 4^∘4^=0^\displaystyle \hat{4}\circ\hat{4}=\hat{0} este elementul neutru, 4^\displaystyle \hat{4} este simetrizabil în raport cu legea ∘\displaystyle \circ, iar simetricul lui este 4^\displaystyle \hat{4}.
    4^∘4^=0^⇒4^ este simetrizabil, cu \displaystyle \hat{4}\circ\hat{4}=\hat{0}\Rightarrow \hat{4}\text{ este simetrizabil, cu }simetricul 4^\displaystyle \text{simetricul }\hat{4}
  4. Pentru injectivitate, fie f(x)=f(y)\displaystyle f(x)=f(y), adică 4^∘x=4^∘y\displaystyle \hat{4}\circ x=\hat{4}\circ y. Compunem la stânga cu 4^\displaystyle \hat{4} și folosim asociativitatea legii: 4^∘(4^∘x)=4^∘(4^∘y)\displaystyle \hat{4}\circ(\hat{4}\circ x)=\hat{4}\circ(\hat{4}\circ y), deci (4^∘4^)∘x=(4^∘4^)∘y\displaystyle (\hat{4}\circ\hat{4})\circ x=(\hat{4}\circ\hat{4})\circ y.
    0^∘x=0^∘y⇒x=y\displaystyle \hat{0}\circ x=\hat{0}\circ y\Rightarrow x=y
  5. Deci f\displaystyle f este injectivă. Mulțimea Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6 este finită, iar f\displaystyle f merge de la Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6 în Z6\displaystyle \mathbb{Z}_6, așa că Im⁡f=Z6\displaystyle \operatorname{Im}f=\mathbb{Z}_6, adică f\displaystyle f este și surjectivă, deci bijectivă.
    f injectiva˘⇒Im⁡f=Z6⇒f este bijectiva˘\displaystyle f\text{ injectivă}\Rightarrow \operatorname{Im}f=\mathbb{Z}_6\Rightarrow f\text{ este bijectivă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,1)∪(1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,1)\cup(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1(x−1)2−1(x+1)2\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{(x+1)^2}.

Arătați că f′(x)=−4(3x2+1)(x2−1)3\displaystyle f'(x)=\frac{-4\left(3x^2+1\right)}{\left(x^2-1\right)^3}, x∈(−1,1)∪(1,+∞)\displaystyle x\in(-1,1)\cup(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem funcția cu puteri negative, ca să putem aplica regula de derivare a puterii: f(x)=(x−1)−2−(x+1)−2\displaystyle f(x)=(x-1)^{-2}-(x+1)^{-2}.
    f(x)=(x−1)−2−(x+1)−2\displaystyle f(x)=(x-1)^{-2}-(x+1)^{-2}
  2. Derivăm termen cu termen. Derivata lui (x−1)−2\displaystyle (x-1)^{-2} este −2(x−1)−3\displaystyle -2(x-1)^{-3}, iar derivata lui (x+1)−2\displaystyle (x+1)^{-2} este −2(x+1)−3\displaystyle -2(x+1)^{-3}, deoarece x−1\displaystyle x-1 și x+1\displaystyle x+1 au derivata 1\displaystyle 1.
    f′(x)=−2(x−1)3+2(x+1)3\displaystyle f'(x)=-\frac{2}{(x-1)^{3}}+\frac{2}{(x+1)^{3}}
  3. Aducem fracțiile la același numitor, (x+1)3(x−1)3\displaystyle (x+1)^{3}(x-1)^{3}, și dăm factor comun pe 2\displaystyle 2 la numărător.
    f′(x)=2((x−1)3−(x+1)3)(x+1)3(x−1)3\displaystyle f'(x)=\frac{2\left((x-1)^{3}-(x+1)^{3}\right)}{(x+1)^{3}(x-1)^{3}}
  4. Dezvoltăm cuburile: (x−1)3=x3−3x2+3x−1\displaystyle (x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1 și (x+1)3=x3+3x2+3x+1\displaystyle (x+1)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1. Diferența lor este −6x2−2\displaystyle -6x^{2}-2.
    (x−1)3−(x+1)3=−6x2−2=−2(3x2+1)\displaystyle (x-1)^{3}-(x+1)^{3}=-6x^{2}-2=-2\left(3x^{2}+1\right)
  5. Înlocuim în fracție: numărătorul devine 2⋅(−2)(3x2+1)=−4(3x2+1)\displaystyle 2\cdot(-2)\left(3x^{2}+1\right)=-4\left(3x^{2}+1\right). La numitor folosim (x+1)3(x−1)3=((x+1)(x−1))3=(x2−1)3\displaystyle (x+1)^{3}(x-1)^{3}=\left((x+1)(x-1)\right)^{3}=\left(x^{2}-1\right)^{3}. Obținem formula cerută.
    f′(x)=−4(3x2+1)(x+1)3(x−1)3=−4(3x2+1)(x2−1)3\displaystyle f'(x)=\frac{-4\left(3x^{2}+1\right)}{(x+1)^{3}(x-1)^{3}}=\frac{-4\left(3x^{2}+1\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{3}}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,1)∪(1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,1)\cup(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1(x−1)2−1(x+1)2\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{(x+1)^2}.

Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f\displaystyle f în punctul în care graficul funcției f\displaystyle f intersectează axa Oy\displaystyle Oy.
Vezi rezolvarea
  1. Graficul intersectează axa Oy\displaystyle Oy în punctul de abscisă x=0\displaystyle x=0. Calculăm f(0)\displaystyle f(0), înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în formula funcției: f(0)=1(0−1)2−1(0+1)2\displaystyle f(0)=\dfrac{1}{(0-1)^{2}}-\dfrac{1}{(0+1)^{2}}.
    f(0)=11−11=0\displaystyle f(0)=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{1}=0
  2. Cum 0∈(−1,1)\displaystyle 0\in(-1,1), punctul există, iar graficul intersectează axa Oy\displaystyle Oy în punctul O(0,0)\displaystyle O(0,0).
    f(0)=0, graficul intersecteaza˘ \displaystyle f(0)=0\text{, graficul intersectează }axa Oy ıˆn punctul O(0,0)\displaystyle \text{axa }Oy\text{ în punctul }O(0,0)
  3. Scriem funcția sub forma f(x)=(x−1)−2−(x+1)−2\displaystyle f(x)=(x-1)^{-2}-(x+1)^{-2}.
    f(x)=(x−1)−2−(x+1)−2\displaystyle f(x)=(x-1)^{-2}-(x+1)^{-2}
  4. Derivăm cu formula (un)′=n un−1⋅u′\displaystyle \left(u^{n}\right)'=n\,u^{n-1}\cdot u', unde u′=1\displaystyle u'=1 în ambele cazuri.
    f′(x)=−2(x−1)−3+2(x+1)−3=−2(x−1)3+2(x+1)3\displaystyle f'(x)=-2(x-1)^{-3}+2(x+1)^{-3}=-\dfrac{2}{(x-1)^{3}}+\dfrac{2}{(x+1)^{3}}
  5. Calculăm f′(0)\displaystyle f'(0), care este panta tangentei: f′(0)=−2(−1)3+213\displaystyle f'(0)=-\dfrac{2}{(-1)^{3}}+\dfrac{2}{1^{3}}.
    f′(0)=−2−1+21=2+2=4\displaystyle f'(0)=-\dfrac{2}{-1}+\dfrac{2}{1}=2+2=4
  6. Ecuația tangentei în punctul de abscisă 0\displaystyle 0 este y−f(0)=f′(0)(x−0)\displaystyle y-f(0)=f'(0)(x-0), adică y−0=4x\displaystyle y-0=4x.
    f′(0)=4, deci ecuația tangentei \displaystyle f'(0)=4\text{, deci ecuația tangentei }este y=4x\displaystyle \text{este }y=4x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(−1,1)∪(1,+∞)→R\displaystyle f:(-1,1)\cup(1,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=1(x−1)2−1(x+1)2\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{(x+1)^2}.

Calculați lim⁡n→+∞(f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n))n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(f(2)+f(4)+f(6)+\ldots+f(2n)\right)^n.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(2k)\displaystyle f(2k) pentru k≥1\displaystyle k\geq 1: f(2k)=1(2k−1)2−1(2k+1)2\displaystyle f(2k)=\dfrac{1}{(2k-1)^{2}}-\dfrac{1}{(2k+1)^{2}}.
    f(2k)=1(2k−1)2−1(2k+1)2\displaystyle f(2k)=\frac{1}{(2k-1)^{2}}-\frac{1}{(2k+1)^{2}}
  2. Scriem suma: f(2)+f(4)+…+f(2n)=112−132+132−152+…+1(2n−1)2−1(2n+1)2\displaystyle f(2)+f(4)+\ldots+f(2n)=\dfrac{1}{1^{2}}-\dfrac{1}{3^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}-\dfrac{1}{5^{2}}+\ldots+\dfrac{1}{(2n-1)^{2}}-\dfrac{1}{(2n+1)^{2}}. Termenii intermediari se reduc doi câte doi.
    lim⁡n→+∞(112−132+132−152+…+1(2n−1)2−1(2n+1)2)n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{5^2}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)^2}-\frac{1}{(2n+1)^2}\right)^n
  3. După reduceri rămân doar primul și ultimul termen: suma este 1−1(2n+1)2\displaystyle 1-\dfrac{1}{(2n+1)^{2}}. Limita cerută este de forma 1∞\displaystyle 1^{\infty}: lim⁡n→+∞(1−1(2n+1)2)n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(1-\dfrac{1}{(2n+1)^{2}}\right)^{n}.
    lim⁡n→+∞(1−1(2n+1)2)n\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{(2n+1)^{2}}\right)^{n}
  4. Scriem baza sub forma 1+−1(2n+1)2\displaystyle 1+\dfrac{-1}{(2n+1)^{2}} și compensăm exponentul: (1−1(2n+1)2)n=((1+−1(2n+1)2)−(2n+1)2)−n(2n+1)2\displaystyle \left(1-\dfrac{1}{(2n+1)^{2}}\right)^{n}=\left(\left(1+\dfrac{-1}{(2n+1)^{2}}\right)^{-(2n+1)^{2}}\right)^{\frac{-n}{(2n+1)^{2}}}.
    lim⁡n→+∞((1+−1(2n+1)2)−(2n+1)2)−n(2n+1)2\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\left(1+\frac{-1}{(2n+1)^2}\right)^{-(2n+1)^2}\right)^{\frac{-n}{(2n+1)^2}}
  5. Paranteza interioară tinde la e\displaystyle e, deoarece −1(2n+1)2→0\displaystyle \dfrac{-1}{(2n+1)^{2}}\to 0. Exponentul −n(2n+1)2→0\displaystyle \dfrac{-n}{(2n+1)^{2}}\to 0, deoarece numitorul are grad 2, iar numărătorul grad 1. Deci limita este e0=1\displaystyle e^{0}=1.
    e0=1\displaystyle e^{0}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−2x2+4\displaystyle f(x)=\frac{2x-2}{x^2+4}.

Arătați că ∫02(x2+4)f(x) dx=0\displaystyle \int_0^2\left(x^2+4\right)f(x)\,dx=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) cu expresia dată: (x2+4)f(x)=(x2+4)⋅2x−2x2+4\displaystyle \left(x^2+4\right)f(x)=\left(x^2+4\right)\cdot\dfrac{2x-2}{x^2+4}. Factorul x2+4\displaystyle x^2+4 se simplifică (este nenul pentru orice x\displaystyle x real), deci rămâne 2x−2\displaystyle 2x-2.
    (x2+4)f(x)=2x−2\displaystyle \left(x^2+4\right)f(x)=2x-2
  2. Integrala devine ∫02(2x−2) dx\displaystyle \int_0^2(2x-2)\,dx. O primitivă a funcției 2x−2\displaystyle 2x-2 este x2−2x\displaystyle x^2-2x, deoarece (x2−2x)′=2x−2\displaystyle \left(x^2-2x\right)'=2x-2.
    ∫02(x2+4)f(x) dx=∫02(2x−2) dx=(x2−2x)∣02\displaystyle \int_0^2\left(x^2+4\right)f(x)\,dx=\int_0^2(2x-2)\,dx=\left(x^2-2x\right)\Big|_0^2
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: (x2−2x)∣02=(22−2⋅2)−(02−2⋅0)=4−4−0\displaystyle \left(x^2-2x\right)\Big|_0^2=\left(2^2-2\cdot 2\right)-\left(0^2-2\cdot 0\right)=4-4-0. Rezultă că integrala este 0\displaystyle 0, ceea ce trebuia arătat.
    4−4=0\displaystyle 4-4=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−2x2+4\displaystyle f(x)=\frac{2x-2}{x^2+4}.

Calculați ∫023f(x) dx\displaystyle \int_0^{2\sqrt{3}}f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem fracția în două fracții, separând termenii de la numărător: 2x\displaystyle 2x și −2\displaystyle -2.
    ∫023f(x) dx=∫0232xx2+4 dx−2∫0231x2+4 dx\displaystyle \int_0^{2\sqrt{3}}f(x)\,dx=\int_0^{2\sqrt{3}}\frac{2x}{x^2+4}\,dx-2\int_0^{2\sqrt{3}}\frac{1}{x^2+4}\,dx
  2. Prima integrală este de tip logaritmic: numărătorul 2x\displaystyle 2x este derivata numitorului x2+4\displaystyle x^2+4, deci o primitivă este ln⁡(x2+4)\displaystyle \ln(x^2+4), iar x2+4>0\displaystyle x^2+4>0 pentru orice x\displaystyle x.
    ∫0232xx2+4 dx=ln⁡(x2+4)∣023\displaystyle \int_0^{2\sqrt{3}}\frac{2x}{x^2+4}\,dx=\ln\left(x^2+4\right)\Big|_0^{2\sqrt{3}}
  3. A doua integrală se face cu formula ∫1x2+a2 dx=1aarctg⁡xa\displaystyle \int\frac{1}{x^2+a^2}\,dx=\frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a}, cu a=2\displaystyle a=2. Înmulțind cu 2\displaystyle 2, factorul 12\displaystyle \frac{1}{2} dispare.
    2∫0231x2+4 dx=2⋅12arctg⁡x2∣023=arctg⁡x2∣023\displaystyle 2\int_0^{2\sqrt{3}}\frac{1}{x^2+4}\,dx=2\cdot\frac{1}{2}\operatorname{arctg}\frac{x}{2}\Big|_0^{2\sqrt{3}}=\operatorname{arctg}\frac{x}{2}\Big|_0^{2\sqrt{3}}
  4. Adunăm cele două rezultate și obținem expresia cu primitive din barem.
    ∫023f(x) dx=ln⁡(x2+4)∣023−arctg⁡x2∣023\displaystyle \int_0^{2\sqrt{3}}f(x)\,dx=\ln\left(x^2+4\right)\Big|_0^{2\sqrt{3}}-\operatorname{arctg}\frac{x}{2}\Big|_0^{2\sqrt{3}}
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton. Pentru x=23\displaystyle x=2\sqrt{3} avem x2+4=12+4=16\displaystyle x^2+4=12+4=16, iar pentru x=0\displaystyle x=0 avem x2+4=4\displaystyle x^2+4=4. Pentru arctangentă, x2\displaystyle \frac{x}{2} devine 3\displaystyle \sqrt{3}, respectiv 0\displaystyle 0.
    ln⁡16−ln⁡4−(arctg⁡3−arctg⁡0)=ln⁡16−ln⁡4−arctg⁡3\displaystyle \ln 16-\ln 4-\left(\operatorname{arctg}\sqrt{3}-\operatorname{arctg}0\right)=\ln 16-\ln 4-\operatorname{arctg}\sqrt{3}
  6. Folosim ln⁡16−ln⁡4=ln⁡164=ln⁡4=2ln⁡2\displaystyle \ln 16-\ln 4=\ln\dfrac{16}{4}=\ln 4=2\ln 2 și arctg⁡3=π3\displaystyle \operatorname{arctg}\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3}. Obținem răspunsul final.
    ∫023f(x) dx=2ln⁡2−π3\displaystyle \int_0^{2\sqrt{3}}f(x)\,dx=2\ln 2-\frac{\pi}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−2x2+4\displaystyle f(x)=\frac{2x-2}{x^2+4}.

Demonstrați că ∫1xf(t) dt≥0\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt\ge 0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Definim funcția F:R→R\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=∫1xf(t) dt\displaystyle F(x)=\int_1^x f(t)\,dt. Cerința devine F(x)≥0\displaystyle F(x)\ge 0 pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Observăm că F(1)=∫11f(t) dt=0\displaystyle F(1)=\int_1^1 f(t)\,dt=0.
    F(x)=∫1xf(t) dt\displaystyle F(x)=\int_1^x f(t)\,dt,F(1)=0\displaystyle \quad F(1)=0
  2. Funcția f\displaystyle f este continuă pe R\displaystyle \mathbb{R}, fiind raport de polinoame cu numitorul x2+4>0\displaystyle x^2+4>0. Deci F\displaystyle F este derivabilă și F′(x)=f(x)\displaystyle F'(x)=f(x), adică F′(x)=2x−2x2+4=2(x−1)x2+4\displaystyle F'(x)=\dfrac{2x-2}{x^2+4}=\dfrac{2(x-1)}{x^2+4}.
    F′(x)=f(x)=2(x−1)x2+4\displaystyle F'(x)=f(x)=\frac{2(x-1)}{x^2+4},x∈R\displaystyle \quad x\in\mathbb{R}
  3. Numitorul x2+4\displaystyle x^2+4 este mereu pozitiv, deci semnul lui F′(x)\displaystyle F'(x) este semnul lui x−1\displaystyle x-1. Pentru x≤1\displaystyle x\le 1 avem F′(x)≤0\displaystyle F'(x)\le 0, deci F\displaystyle F este descrescătoare pe (−∞,1]\displaystyle (-\infty,1]. Pentru x≥1\displaystyle x\ge 1 avem F′(x)≥0\displaystyle F'(x)\ge 0, deci F\displaystyle F este crescătoare pe [1,+∞)\displaystyle [1,+\infty).
    F′(x)≤0 pe (−∞,1], F′(x)≥0 pe [1,+∞)\displaystyle F'(x)\le 0\text{ pe }(-\infty,1]\text{, }F'(x)\ge 0\text{ pe }[1,+\infty)
  4. F\displaystyle F descrește până în x=1\displaystyle x=1 și crește după aceea, deci x=1\displaystyle x=1 este punct de minim global. Pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem F(x)≥F(1)=0\displaystyle F(x)\ge F(1)=0, deci ∫1xf(t) dt≥0\displaystyle \int_1^x f(t)\,dt\ge 0.
    F(x)≥F(1)=0, deci ∫1xf(t) dt≥0\displaystyle F(x)\ge F(1)=0\text{, deci }\int_1^x f(t)\,dt\ge 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.