Bac matematică M1 mate-info 2020, model, test de evaluare 12: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul N=(5+13)2+(5−13)2\displaystyle N=\left(\sqrt{5}+\sqrt{13}\right)^2+\left(\sqrt{5}-\sqrt{13}\right)^2 este pătratul unui număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm primul pătrat folosind formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Avem (5)2=5\displaystyle \left(\sqrt{5}\right)^2=5 și (13)2=13\displaystyle \left(\sqrt{13}\right)^2=13.
    (5+13)2=5+2⋅5⋅13+13\displaystyle \left(\sqrt{5}+\sqrt{13}\right)^2=5+2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{13}+13
  2. Dezvoltăm al doilea pătrat cu formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2.
    (5−13)2=5−2⋅5⋅13+13\displaystyle \left(\sqrt{5}-\sqrt{13}\right)^2=5-2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{13}+13
  3. Adunăm cele două expresii. Termenii 2⋅5⋅13\displaystyle 2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{13} și −2⋅5⋅13\displaystyle -2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{13} sunt opuși, deci se reduc.
    N=5+2⋅5⋅13+13+5−2⋅5⋅13+13\displaystyle N=5+2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{13}+13+5-2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{13}+13
  4. După reducerea termenilor cu radicali rămân doar numerele întregi: N=5+13+5+13=36\displaystyle N=5+13+5+13=36. Cum 36=62\displaystyle 36=6^2, numărul N\displaystyle N este pătratul numărului natural 6\displaystyle 6.
    N=36=62\displaystyle N=36=6^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că (f∘f)(1)+f(1)=1\displaystyle (f\circ f)(1)+f(1)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) folosind definiția funcției: înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în f(x)=x+a\displaystyle f(x)=x+a.
    f(1)=1+a\displaystyle f(1)=1+a
  2. Calculăm compunerea (f∘f)(1)=f(f(1))\displaystyle (f\circ f)(1)=f(f(1)): aplicăm f\displaystyle f valorii 1+a\displaystyle 1+a, adică adăugăm încă o dată a\displaystyle a.
    f(f(1))=f(1+a)=1+a+a=1+2a\displaystyle f(f(1))=f(1+a)=1+a+a=1+2a
  3. Înlocuim cele două valori în egalitatea dată (f∘f)(1)+f(1)=1\displaystyle (f\circ f)(1)+f(1)=1 și reducem termenii asemenea, obținând o ecuație de gradul întâi în a\displaystyle a.
    (1+2a)+(1+a)=1⇔3a+2=1\displaystyle (1+2a)+(1+a)=1\Leftrightarrow 3a+2=1
  4. Rezolvăm ecuația: scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri, apoi împărțim la 3\displaystyle 3.
    3a=−1⇒a=−13\displaystyle 3a=-1\Rightarrow a=-\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x+41−x=4\displaystyle 4^x+4^{1-x}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea puterilor: 41−x=44x\displaystyle 4^{1-x}=\dfrac{4}{4^{x}}. Ecuația devine 4x+44x=4\displaystyle 4^x+\dfrac{4}{4^x}=4.
    4x+44x=4\displaystyle 4^x+\dfrac{4}{4^x}=4
  2. Notăm t=4x\displaystyle t=4^x, unde t>0\displaystyle t>0, deoarece 4x>0\displaystyle 4^x>0 pentru orice x\displaystyle x real. Ecuația devine t+4t=4\displaystyle t+\dfrac{4}{t}=4.
    t+4t=4\displaystyle t+\dfrac{4}{t}=4, t>0\displaystyle \ t>0
  3. Înmulțim ecuația cu t≠0\displaystyle t\neq 0 și mutăm totul în membrul stâng: t2−4t+4=0\displaystyle t^2-4t+4=0. Revenind la x\displaystyle x, aceasta înseamnă 42x−4⋅4x+4=0\displaystyle 4^{2x}-4\cdot 4^x+4=0.
    42x−4⋅4x+4=0\displaystyle 4^{2x}-4\cdot 4^x+4=0
  4. Recunoaștem un pătrat perfect: t2−4t+4=(t−2)2\displaystyle t^2-4t+4=(t-2)^2. Deci (4x−2)2=0\displaystyle \left(4^x-2\right)^2=0.
    (4x−2)2=0\displaystyle \left(4^x-2\right)^2=0
  5. Un pătrat este zero doar dacă baza este zero, deci 4x=2\displaystyle 4^x=2. Valoarea t=2>0\displaystyle t=2>0 convine.
    4x=2\displaystyle 4^x=2
  6. Scriem 4=22\displaystyle 4=2^2, deci 22x=21\displaystyle 2^{2x}=2^1. Egalăm exponenții: 2x=1\displaystyle 2x=1, deci x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}.
    22x=2, deci x=12\displaystyle 2^{2x}=2\text{, deci }x=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați numărul numerelor naturale de trei cifre distincte care se pot forma cu elementele mulțimii A={0,5,7}\displaystyle A=\{0,5,7\}.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de trei cifre distincte format cu elementele mulțimii A={0,5,7}\displaystyle A=\{0,5,7\} folosește fiecare cifră exact o dată, deoarece mulțimea are doar trei elemente. Cifra sutelor nu poate fi 0\displaystyle 0.
    a∈{5,7}\displaystyle a\in\{5,7\}
  2. Pentru cifra sutelor avem 2\displaystyle 2 posibilități (5\displaystyle 5 sau 7\displaystyle 7). După ce am ales cifra sutelor, pentru cifra zecilor rămân 2\displaystyle 2 cifre disponibile, inclusiv 0\displaystyle 0.
    2 moduri pentru cifra \displaystyle 2\text{ moduri pentru cifra }sutelor, 2 moduri pentru cifra \displaystyle \text{sutelor, }2\text{ moduri pentru cifra }zecilor\displaystyle \text{zecilor}
  3. Pentru cifra unităților rămâne o singură cifră, cea nefolosită. Aplicăm regula produsului: 2⋅2⋅1=4\displaystyle 2\cdot 2\cdot 1=4. Numerele sunt 507,570,705,750\displaystyle 507, 570, 705, 750.
    2⋅2⋅1=4\displaystyle 2\cdot 2\cdot 1=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Se consideră punctul G\displaystyle G, centrul de greutate al triunghiului ABC\displaystyle ABC și punctul M\displaystyle M, mijlocul segmentului AG\displaystyle AG. Demonstrați că 6AM→=AB→+AC→\displaystyle 6\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu D\displaystyle D mijlocul laturii BC\displaystyle BC, deci AD\displaystyle AD este mediană. Deoarece D\displaystyle D este mijlocul lui BC\displaystyle BC, avem AD→=12(AB→+AC→)\displaystyle \overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right). Rezultă AB→+AC→=2AD→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}.
    AB→+AC→=2AD→\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}
  2. Centrul de greutate G\displaystyle G se află pe mediana AD\displaystyle AD, la două treimi de vârful A\displaystyle A. Deci AG→=23AD→\displaystyle \overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}.
    AG→=23AD→\displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}
  3. Punctul M\displaystyle M este mijlocul lui AG\displaystyle AG, deci AM→=12AG→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AG}. Înlocuind, obținem AM→=12⋅23AD→=13AD→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}.
    AM→=12⋅23AD→=13AD→\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}
  4. Înmulțim cu 6\displaystyle 6 relația pentru AM→\displaystyle \overrightarrow{AM}: 6AM→=6⋅13AD→=2AD→\displaystyle 6\overrightarrow{AM}=6\cdot\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AD}. Din primul pas, 2AD→=AB→+AC→\displaystyle 2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    6AM→=2AD→=AB→+AC→\displaystyle 6\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați măsura unghiului A\displaystyle A al triunghiului ascuțitunghic ABC\displaystyle ABC, știind că 4AΔABC=AB⋅AC\displaystyle 4\mathcal{A}_{\Delta ABC}=AB\cdot AC.
Vezi rezolvarea
  1. Aria triunghiului ABC\displaystyle ABC se calculează cu formula AΔABC=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}.
    AΔABC=AB⋅AC⋅sin⁡A2\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}
  2. Înlocuim aria în relația 4AΔABC=AB⋅AC\displaystyle 4\mathcal{A}_{\Delta ABC}=AB\cdot AC și obținem 4⋅AB⋅AC⋅sin⁡A2=AB⋅AC\displaystyle 4\cdot\dfrac{AB\cdot AC\cdot\sin A}{2}=AB\cdot AC, adică 2⋅AB⋅AC⋅sin⁡A=AB⋅AC\displaystyle 2\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A=AB\cdot AC.
    2⋅AB⋅AC⋅sin⁡A=AB⋅AC\displaystyle 2\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A=AB\cdot AC
  3. Deoarece AB⋅AC≠0\displaystyle AB\cdot AC\neq 0, simplificăm prin AB⋅AC\displaystyle AB\cdot AC și obținem 2sin⁡A=1\displaystyle 2\sin A=1, deci sin⁡A=12\displaystyle \sin A=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡A=12\displaystyle \sin A=\dfrac{1}{2}
  4. Triunghiul este ascuțitunghic, deci A∈(0∘,90∘)\displaystyle A\in\left(0^\circ,90^\circ\right). Singurul unghi din acest interval cu sin⁡A=12\displaystyle \sin A=\dfrac{1}{2} este 30∘\displaystyle 30^\circ.
    m(∢A)=30∘\displaystyle m(\sphericalangle A)=30^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(32−12−21a+4a+3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3&2&-1\\2&-2&1\\a+4&a+3&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=−15\displaystyle \det(A(0))=-15.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea dată: ultima linie devine (a+4, a+3, a)=(4, 3, 0)\displaystyle (a+4,\ a+3,\ a)=(4,\ 3,\ 0).
    A(0)=(32−12−21430)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}3&2&-1\\2&-2&1\\4&3&0\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0), pe care îl calculăm cu regula lui Sarrus.
    det⁡(A(0))=∣32−12−21430∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}3&2&-1\\2&-2&1\\4&3&0\end{vmatrix}
  3. Termenii cu plus sunt produsele de pe diagonala principală și de pe paralelele ei: 3⋅(−2)⋅0=0\displaystyle 3\cdot(-2)\cdot 0=0, 2⋅3⋅(−1)=−6\displaystyle 2\cdot 3\cdot(-1)=-6 și 4⋅2⋅1=8\displaystyle 4\cdot 2\cdot 1=8.
    0+(−6)+8\displaystyle 0+(-6)+8
  4. Termenii cu minus sunt produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei: (−1)⋅(−2)⋅4=8\displaystyle (-1)\cdot(-2)\cdot 4=8, 3⋅1⋅3=9\displaystyle 3\cdot 1\cdot 3=9 și 2⋅2⋅0=0\displaystyle 2\cdot 2\cdot 0=0.
    −8−9−0\displaystyle -8-9-0
  5. Adunăm termenii: 0+(−6)+8−8−9−0=−15\displaystyle 0+(-6)+8-8-9-0=-15, deci det⁡(A(0))=−15\displaystyle \det(A(0))=-15.
    det⁡(A(0))=0+(−6)+8−8−9−0=−15\displaystyle \det(A(0))=0+(-6)+8-8-9-0=-15
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(32−12−21a+4a+3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3&2&-1\\2&-2&1\\a+4&a+3&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care rangul matricei A(a)\displaystyle A(a) nu este egal cu 3.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea A(a)\displaystyle A(a) este pătratică de ordin 3\displaystyle 3, deci rangul ei este 3\displaystyle 3 exact când determinantul este nenul. Rangul este diferit de 3\displaystyle 3 exact când det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0. Calculăm așadar determinantul.
    rang A(a)≠3⇔det⁡(A(a))=0\displaystyle \text{rang }A(a)\neq 3\Leftrightarrow \det(A(a))=0
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie, cu semnele +,−,+\displaystyle +,-,+.
    det⁡(A(a))=3∣−21a+3a∣−2∣21a+4a∣+(−1)∣2−2a+4a+3∣\displaystyle \det(A(a))=3\begin{vmatrix}-2&1\\a+3&a\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}2&1\\a+4&a\end{vmatrix}+(-1)\begin{vmatrix}2&-2\\a+4&a+3\end{vmatrix}
  3. Calculăm cei trei minori de ordin 2\displaystyle 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară.
    ∣−21a+3a∣=−3a−3\displaystyle \begin{vmatrix}-2&1\\a+3&a\end{vmatrix}=-3a-3,∣21a+4a∣=a−4\displaystyle \quad \begin{vmatrix}2&1\\a+4&a\end{vmatrix}=a-4,∣2−2a+4a+3∣=4a+14\displaystyle \quad \begin{vmatrix}2&-2\\a+4&a+3\end{vmatrix}=4a+14
  4. Înlocuim minorii în dezvoltare, desfacem parantezele și reducem termenii asemenea. Se obține −15(a+1)\displaystyle -15(a+1), pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(A(a))=3(−3a−3)−2(a−4)−(4a+14)=−9a−9−2a+8−4a−14=−15a−15=−15(a+1)\displaystyle \det(A(a))=3(-3a-3)-2(a-4)-(4a+14)=-9a-9-2a+8-4a-14=-15a-15=-15(a+1)
  5. Rangul este diferit de 3\displaystyle 3 exact când determinantul este zero. Din −15(a+1)=0\displaystyle -15(a+1)=0 rezultă a+1=0\displaystyle a+1=0, deci a=−1\displaystyle a=-1.
    −15(a+1)=0⇒a=−1\displaystyle -15(a+1)=0\Rightarrow a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(32−12−21a+4a+3a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3&2&-1\\2&-2&1\\a+4&a+3&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că matricea M=A(−1)⋅A(−1)⋅A(−1)⋅A(−1)\displaystyle M=A(-1)\cdot A(-1)\cdot A(-1)\cdot A(-1) are toate elementele numere întregi, divizibile cu 25.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−1\displaystyle a=-1 în matricea A(a)\displaystyle A(a): a+4=3\displaystyle a+4=3, a+3=2\displaystyle a+3=2, iar a=−1\displaystyle a=-1. Prima și a treia linie sunt identice.
    A(−1)=(32−12−2132−1)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}3&2&-1\\2&-2&1\\3&2&-1\end{pmatrix}
  2. Calculăm pătratul matricei A(−1)\displaystyle A(-1), înmulțind fiecare linie cu fiecare coloană. Pe prima linie: 9+4−3=10\displaystyle 9+4-3=10, 6−4−2=0\displaystyle 6-4-2=0, −3+2+1=0\displaystyle -3+2+1=0. Pe a doua linie: 6−4+3=5\displaystyle 6-4+3=5, 4+4+2=10\displaystyle 4+4+2=10, −2−2−1=−5\displaystyle -2-2-1=-5. A treia linie coincide cu prima.
    A(−1)⋅A(−1)=(1000510−51000)\displaystyle A(-1)\cdot A(-1)=\begin{pmatrix}10&0&0\\5&10&-5\\10&0&0\end{pmatrix}
  3. Toate elementele pătratului sunt multipli de 5\displaystyle 5, deci dăm factor comun pe 5\displaystyle 5. Obținem 5\displaystyle 5 ori o matrice B\displaystyle B cu elemente întregi.
    A(−1)⋅A(−1)=5B, unde B=(20012−1200)\displaystyle A(-1)\cdot A(-1)=5B\text{, unde }B=\begin{pmatrix}2&0&0\\1&2&-1\\2&0&0\end{pmatrix}
  4. Matricea M\displaystyle M este produsul a două pătrate ale lui A(−1)\displaystyle A(-1). Scoatem scalarii în fața produsului de matrice.
    M=(5B)⋅(5B)=25⋅B⋅B\displaystyle M=(5B)\cdot(5B)=25\cdot B\cdot B
  5. Calculăm B⋅B\displaystyle B\cdot B. Pe prima linie: 4\displaystyle 4, 0\displaystyle 0, 0\displaystyle 0. Pe a doua linie: 2+2−2=2\displaystyle 2+2-2=2, 4\displaystyle 4, −2\displaystyle -2. A treia linie coincide cu prima. Toate elementele sunt numere întregi.
    B⋅B=(40024−2400)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}4&0&0\\2&4&-2\\4&0&0\end{pmatrix}
  6. Înmulțim cu 25\displaystyle 25. Fiecare element al lui M\displaystyle M este 25\displaystyle 25 înmulțit cu un număr întreg, deci M\displaystyle M are elemente întregi, divizibile cu 25\displaystyle 25.
    M=25⋅(40024−2400)=(1000050100−5010000), elemente ıˆntregi \displaystyle M=25\cdot\begin{pmatrix}4&0&0\\2&4&-2\\4&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}100&0&0\\50&100&-50\\100&0&0\end{pmatrix}\text{, elemente întregi }divizibile cu 25\displaystyle \text{divizibile cu }25
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x3+y3+20203\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3+2020}.

Arătați că x∗(−x)=20203\displaystyle x*(-x)=\sqrt[3]{2020}, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii x∗y=x3+y3+20203\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3+2020} și înlocuim y=−x\displaystyle y=-x: x∗(−x)=x3+(−x)3+20203\displaystyle x*(-x)=\sqrt[3]{x^3+(-x)^3+2020}.
    x∗(−x)=x3+(−x)3+20203\displaystyle x*(-x)=\sqrt[3]{x^3+(-x)^3+2020}
  2. Puterea 3 este impară, deci (−x)3=−x3\displaystyle (-x)^3=-x^3. Sub radical obținem x3−x3+2020\displaystyle x^3-x^3+2020.
    x3−x3+20203\displaystyle \sqrt[3]{x^3-x^3+2020}
  3. Termenii x3\displaystyle x^3 și −x3\displaystyle -x^3 se reduc, deci sub radical rămâne doar 2020\displaystyle 2020. Astfel x∗(−x)=20203\displaystyle x*(-x)=\sqrt[3]{2020}, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x3−x3+20203=20203, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \sqrt[3]{x^3-x^3+2020}=\sqrt[3]{2020}\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x3+y3+20203\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3+2020}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (x+1)∗(−x)=20213\displaystyle (x+1)*(-x)=\sqrt[3]{2021}.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru x+1\displaystyle x+1 și −x\displaystyle -x: (x+1)∗(−x)=(x+1)3+(−x)3+20203\displaystyle (x+1)*(-x)=\sqrt[3]{(x+1)^3+(-x)^3+2020}.
    (x+1)∗(−x)=(x+1)3−x3+20203\displaystyle (x+1)*(-x)=\sqrt[3]{(x+1)^3-x^3+2020}
  2. Dezvoltăm (x+1)3=x3+3x2+3x+1\displaystyle (x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1. Cuburile x3\displaystyle x^3 se reduc, deci sub radical avem 3x2+3x+1+2020\displaystyle 3x^2+3x+1+2020.
    (x+1)∗(−x)=3x2+3x+20213\displaystyle (x+1)*(-x)=\sqrt[3]{3x^2+3x+2021}
  3. Egalăm cu 20213\displaystyle \sqrt[3]{2021} și ridicăm la cub ambii membri: 3x2+3x+2021=2021\displaystyle 3x^2+3x+2021=2021.
    3x2+3x+2021=2021\displaystyle 3x^2+3x+2021=2021
  4. Reducem termenii 2021\displaystyle 2021 și obținem 3x2+3x=0\displaystyle 3x^2+3x=0. Scoatem factor comun 3x\displaystyle 3x.
    3x(x+1)=0\displaystyle 3x(x+1)=0
  5. Un produs este nul când un factor este nul: x=0\displaystyle x=0 sau x+1=0\displaystyle x+1=0. Ridicarea la cub este echivalentă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci ambele valori convin.
    x=−1 sau x=0\displaystyle x=-1\text{ sau }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=x3+y3+20203\displaystyle x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3+2020}.

Demonstrați că, pentru orice număr real a\displaystyle a, există un unic număr real x\displaystyle x pentru care x∗x∗x=a\displaystyle x*x*x=a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm mai întâi x∗x\displaystyle x*x, înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii: x∗x=x3+x3+20203\displaystyle x*x=\sqrt[3]{x^3+x^3+2020}.
    x∗x=2x3+20203\displaystyle x*x=\sqrt[3]{2x^3+2020}
  2. Calculăm (x∗x)∗x\displaystyle (x*x)*x. Cubul lui x∗x\displaystyle x*x este 2x3+2020\displaystyle 2x^3+2020, iar cubul celui de-al doilea x\displaystyle x este x3\displaystyle x^3. Legea este asociativă, deci x∗x∗x\displaystyle x*x*x are o singură valoare, indiferent de paranteze.
    x∗x∗x=2x3+2020+x3+20203=3x3+40403\displaystyle x*x*x=\sqrt[3]{2x^3+2020+x^3+2020}=\sqrt[3]{3x^3+4040}
  3. Ecuația x∗x∗x=a\displaystyle x*x*x=a devine 3x3+40403=a\displaystyle \sqrt[3]{3x^3+4040}=a. Funcția t↦t3\displaystyle t\mapsto t^3 este bijectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci ridicăm ambii membri la cub și obținem o ecuație echivalentă: 3x3+4040=a3\displaystyle 3x^3+4040=a^3. Apoi izolăm x3\displaystyle x^3.
    3x3+40403=a⇔3x3+4040=a3⇔x3=a3−40403\displaystyle \sqrt[3]{3x^3+4040}=a\Leftrightarrow 3x^3+4040=a^3\Leftrightarrow x^3=\frac{a^3-4040}{3}
  4. Funcția t↦t3\displaystyle t\mapsto t^3 este bijectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deci radicalul de ordin 3 există și este unic pentru orice număr real, inclusiv negativ. Pentru orice a\displaystyle a real, a3−40403\displaystyle \dfrac{a^3-4040}{3} este un număr real, deci ecuația x3=a3−40403\displaystyle x^3=\dfrac{a^3-4040}{3} are exact o soluție reală. Prin urmare există un unic x\displaystyle x real cu x∗x∗x=a\displaystyle x*x*x=a.
    x=a3−404033, deci exista˘ un unic \displaystyle x=\sqrt[3]{\frac{a^3-4040}{3}}\text{, deci există un unic }numa˘r real x pentru care x∗x∗x=a\displaystyle \text{număr real }x\text{ pentru care }x*x*x=a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−6x2+9x+5\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x+5.

Arătați că f′(x)=3(x−1)(x−3)\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x-3), x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm termen cu termen funcția f\displaystyle f, folosind regula (xn)′=n⋅xn−1\displaystyle (x^{n})'=n\cdot x^{n-1}. Derivata constantei 5\displaystyle 5 este 0\displaystyle 0.
    f′(x)=3x2−12x+9\displaystyle f'(x)=3x^{2}-12x+9
  2. Observăm că toți coeficienții sunt divizibili cu 3\displaystyle 3, deci dăm factor comun 3\displaystyle 3.
    f′(x)=3(x2−4x+3)\displaystyle f'(x)=3\left(x^{2}-4x+3\right)
  3. Descompunem trinomul x2−4x+3\displaystyle x^{2}-4x+3. Căutăm două numere cu suma 4\displaystyle 4 și produsul 3\displaystyle 3: acestea sunt 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3. Deci x2−4x+3=(x−1)(x−3)\displaystyle x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3). Verificare: (x−1)(x−3)=x2−3x−x+3=x2−4x+3\displaystyle (x-1)(x-3)=x^{2}-3x-x+3=x^{2}-4x+3.
    x2−4x+3=(x−1)(x−3)\displaystyle x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)
  4. Înlocuim descompunerea în expresia derivatei și obținem forma cerută, valabilă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    f′(x)=3(x2−4x+3)=3(x−1)(x−3)\displaystyle f'(x)=3\left(x^{2}-4x+3\right)=3(x-1)(x-3), x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−6x2+9x+5\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x+5.

Determinați intervalele de monotonie a funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata funcției f\displaystyle f, derivând fiecare termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, (−6x2)′=−12x\displaystyle (-6x^{2})'=-12x, (9x)′=9\displaystyle (9x)'=9, iar (5)′=0\displaystyle (5)'=0.
    f′(x)=3x2−12x+9\displaystyle f'(x)=3x^{2}-12x+9
  2. Rezolvăm ecuația f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0. Împărțim ecuația la 3\displaystyle 3 și obținem x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0. Descompunem trinomul: (x−1)(x−3)=0\displaystyle (x-1)(x-3)=0.
    f′(x)=0⇔x=1 sau x=3\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow x=1\text{ sau }x=3
  3. Studiem semnul derivatei. Derivata este o funcție de gradul al doilea cu coeficientul dominant 3>0\displaystyle 3>0, deci este pozitivă în afara rădăcinilor și negativă între ele. Verificăm: f′(0)=9>0\displaystyle f'(0)=9>0, f′(2)=12−24+9=−3<0\displaystyle f'(2)=12-24+9=-3<0, f′(4)=48−48+9=9>0\displaystyle f'(4)=48-48+9=9>0.
    f′(x)>0 pe (−∞,1)∪(3,+∞), f′(x)<0 pe (1,3)\displaystyle f'(x)>0\text{ pe }(-\infty,1)\cup(3,+\infty)\text{, }f'(x)<0\text{ pe }(1,3)
  4. Deducem monotonia: unde derivata este pozitivă funcția crește, iar unde este negativă funcția scade. Punctele 1\displaystyle 1 și 3\displaystyle 3 se includ în intervale, deoarece funcția este continuă.
    f cresca˘toare pe (−∞,1], descresca˘toare pe [1,3], cresca˘toare pe [3,+∞)\displaystyle f\text{ crescătoare pe }(-\infty,1]\text{, descrescătoare pe }[1,3]\text{, crescătoare pe }[3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−6x2+9x+5\displaystyle f(x)=x^3-6x^2+9x+5.

Demonstrați că funcția f\displaystyle f este concavă pe (−∞,2]\displaystyle (-\infty,2].
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm derivata întâi a funcției, derivând termen cu termen: (x3)′=3x2\displaystyle (x^{3})'=3x^{2}, (−6x2)′=−12x\displaystyle (-6x^{2})'=-12x, (9x)′=9\displaystyle (9x)'=9, iar (5)′=0\displaystyle (5)'=0.
    f′(x)=3x2−12x+9\displaystyle f'(x)=3x^{2}-12x+9, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Derivăm încă o dată: (3x2)′=6x\displaystyle (3x^{2})'=6x, (−12x)′=−12\displaystyle (-12x)'=-12, iar (9)′=0\displaystyle (9)'=0. Obținem derivata a doua.
    f′′(x)=6x−12\displaystyle f''(x)=6x-12, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Pentru concavitate trebuie ca f′′(x)≤0\displaystyle f''(x)\leq 0 pe interval. Rezolvăm inegalitatea 6x−12≤0\displaystyle 6x-12\leq 0: adunăm 12 și împărțim la 6, deci x≤2\displaystyle x\leq 2. Aceasta este exact mulțimea (−∞,2]\displaystyle (-\infty,2] de la enunț.
    6x−12≤0  ⟺  x≤2\displaystyle 6x-12\leq 0\iff x\leq 2
  4. Deoarece f′′(x)≤0\displaystyle f''(x)\leq 0 pentru orice x∈(−∞,2]\displaystyle x\in(-\infty,2], funcția f\displaystyle f este concavă pe (−∞,2]\displaystyle (-\infty,2].
    f′′(x)≤0, pentru orice x∈(−∞,2], deci f este concava˘ pe (−∞,2]\displaystyle f''(x)\leq 0\text{, pentru orice }x\in(-\infty,2]\text{, deci }f\text{ este concavă pe }(-\infty,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+3x+5\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x+5}}.

Arătați că ∫01f(x)⋅x2+3x+5 dx=4\displaystyle \int_0^1 f(x)\cdot\sqrt{x^2+3x+5}\,dx=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim f(x)\displaystyle f(x) în integrală: f(x)⋅x2+3x+5=2x+3x2+3x+5⋅x2+3x+5\displaystyle f(x)\cdot\sqrt{x^2+3x+5}=\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x+5}}\cdot\sqrt{x^2+3x+5}. Expresia x2+3x+5\displaystyle x^2+3x+5 este strict pozitivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, deoarece Δ=9−20<0\displaystyle \Delta=9-20<0, deci radicalul se simplifică.
    f(x)⋅x2+3x+5=2x+3\displaystyle f(x)\cdot\sqrt{x^2+3x+5}=2x+3
  2. Integrala devine ∫01(2x+3) dx\displaystyle \int_0^1(2x+3)\,dx. O primitivă a funcției 2x+3\displaystyle 2x+3 este x2+3x\displaystyle x^2+3x, deoarece (x2+3x)′=2x+3\displaystyle (x^2+3x)'=2x+3.
    ∫01f(x)⋅x2+3x+5 dx=∫01(2x+3) dx=(x2+3x)∣01\displaystyle \int_0^1 f(x)\cdot\sqrt{x^2+3x+5}\,dx=\int_0^1(2x+3)\,dx=\left(x^2+3x\right)\Big|_0^1
  3. Aplicăm formula Leibniz-Newton: (12+3⋅1)−(02+3⋅0)=1+3−0=4\displaystyle \left(1^2+3\cdot 1\right)-\left(0^2+3\cdot 0\right)=1+3-0=4. Deci integrala este egală cu 4\displaystyle 4.
    1+3−0=4\displaystyle 1+3-0=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+3x+5\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x+5}}.

Calculați ∫−41f(x) dx\displaystyle \int_{-4}^{1}f(x)\,dx.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem integrala cerută, înlocuind f(x)\displaystyle f(x) cu expresia ei: ∫−41f(x) dx=∫−412x+3x2+3x+5 dx\displaystyle \int_{-4}^{1}f(x)\,dx=\int_{-4}^{1}\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^{2}+3x+5}}\,dx.
    ∫−412x+3x2+3x+5 dx\displaystyle \int_{-4}^{1}\frac{2x+3}{\sqrt{x^{2}+3x+5}}\,dx
  2. Observăm că numărătorul este derivata expresiei de sub radical: (x2+3x+5)′=2x+3\displaystyle \left(x^{2}+3x+5\right)'=2x+3. Rescriem integrala cu această derivată la numărător.
    ∫−41(x2+3x+5)′x2+3x+5 dx\displaystyle \int_{-4}^{1}\frac{\left(x^{2}+3x+5\right)'}{\sqrt{x^{2}+3x+5}}\,dx
  3. Folosim formula ∫u′u dx=2u\displaystyle \int\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\,dx=2\sqrt{u}, deoarece (2u)′=u′u\displaystyle \left(2\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{\sqrt{u}}. Pentru u=x2+3x+5\displaystyle u=x^{2}+3x+5 obținem primitiva și o evaluăm între −4\displaystyle -4 și 1\displaystyle 1.
    2x2+3x+5 ∣−41\displaystyle 2\sqrt{x^{2}+3x+5}\,\Big|_{-4}^{1}
  4. Calculăm expresia de sub radical în cele două capete. Pentru x=1\displaystyle x=1: 1+3+5=9\displaystyle 1+3+5=9. Pentru x=−4\displaystyle x=-4: 16−12+5=9\displaystyle 16-12+5=9.
    12+3⋅1+5=9\displaystyle 1^{2}+3\cdot 1+5=9,(−4)2+3⋅(−4)+5=9\displaystyle \quad (-4)^{2}+3\cdot(-4)+5=9
  5. Aplicăm formula Leibniz-Newton: 29−29=6−6=0\displaystyle 2\sqrt{9}-2\sqrt{9}=6-6=0. Deci integrala este 0\displaystyle 0.
    29−29=0\displaystyle 2\sqrt{9}-2\sqrt{9}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+3x2+3x+5\displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x+5}}.

Arătați că ∫0π2cos⁡x f(sin⁡x) dx=6−25\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\, f(\sin x)\,dx=6-2\sqrt{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Căutăm o primitivă a lui f\displaystyle f. Observăm că derivata expresiei de sub radical, x2+3x+5\displaystyle x^2+3x+5, este 2x+3\displaystyle 2x+3, adică exact numărătorul lui f\displaystyle f.
    (x2+3x+5)′=2x+3\displaystyle (x^2+3x+5)'=2x+3
  2. Derivata lui x2+3x+5\displaystyle \sqrt{x^2+3x+5} este 2x+32x2+3x+5\displaystyle \dfrac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x+5}}. Deci derivata lui 2x2+3x+5\displaystyle 2\sqrt{x^2+3x+5} este f(x)\displaystyle f(x). Alegem F(x)=2x2+3x+5\displaystyle F(x)=2\sqrt{x^2+3x+5}, primitivă a lui f\displaystyle f pe R\displaystyle \mathbb{R} (expresia de sub radical este strict pozitivă, discriminantul fiind negativ).
    F(x)=2x2+3x+5\displaystyle F(x)=2\sqrt{x^2+3x+5},F′(x)=2x+3x2+3x+5=f(x)\displaystyle \quad F'(x)=\dfrac{2x+3}{\sqrt{x^2+3x+5}}=f(x)
  3. Derivăm funcția compusă F(sin⁡x)\displaystyle F(\sin x) cu formula de derivare a funcțiilor compuse. Derivata lui sin⁡x\displaystyle \sin x este cos⁡x\displaystyle \cos x, iar F′=f\displaystyle F'=f.
    (F(sin⁡x))′=F′(sin⁡x)⋅(sin⁡x)′=f(sin⁡x)⋅cos⁡x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle (F(\sin x))'=F'(\sin x)\cdot(\sin x)'=f(\sin x)\cdot\cos x\text{, pentru orice număr real }x
  4. Integrandul este derivata lui F(sin⁡x)\displaystyle F(\sin x), deci aplicăm formula Leibniz-Newton: integrala este diferența valorilor lui F(sin⁡x)\displaystyle F(\sin x) la capetele intervalului, deoarece sin⁡π2=1\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}=1 și sin⁡0=0\displaystyle \sin 0=0.
    ∫0π2cos⁡x f(sin⁡x) dx=F(sin⁡x)∣0π2=F(1)−F(0)\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\, f(\sin x)\,dx=F(\sin x)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=F(1)-F(0)
  5. Calculăm F(1)\displaystyle F(1) și F(0)\displaystyle F(0): F(1)=21+3+5=29=6\displaystyle F(1)=2\sqrt{1+3+5}=2\sqrt{9}=6, iar F(0)=25\displaystyle F(0)=2\sqrt{5}. Diferența este cea cerută.
    F(1)−F(0)=212+3⋅1+5−25=6−25\displaystyle F(1)-F(0)=2\sqrt{1^2+3\cdot 1+5}-2\sqrt{5}=6-2\sqrt{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.