Bac matematică M1 mate-info 2021, model, test de evaluare 11: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (6−2)33+(1−2)2=5\displaystyle \sqrt[3]{(6-\sqrt{2})^3}+\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul de ordin 3\displaystyle 3 dintr-un cub este chiar numărul de sub puterea a treia, deoarece radicalul de ordin impar există pentru orice număr real. Deci primul termen este 6−2\displaystyle 6-\sqrt{2}.
    (6−2)33=6−2\displaystyle \sqrt[3]{(6-\sqrt{2})^3}=6-\sqrt{2}
  2. Radicalul de ordin 2\displaystyle 2 dintr-un pătrat este modulul numărului: a2=∣a∣\displaystyle \sqrt{a^2}=|a|. Aplicăm acest lucru pentru a=1−2\displaystyle a=1-\sqrt{2}.
    (1−2)2=∣1−2∣\displaystyle \sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|
  3. Deoarece 2>1\displaystyle \sqrt{2}>1, numărul 1−2\displaystyle 1-\sqrt{2} este negativ. Modulul unui număr negativ este opusul lui, deci obținem 2−1\displaystyle \sqrt{2}-1.
    ∣1−2∣=−(1−2)=2−1\displaystyle |1-\sqrt{2}|=-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1
  4. Adunăm cei doi termeni și reducem radicalii: −2\displaystyle -\sqrt{2} se reduce cu +2\displaystyle +\sqrt{2}, iar 6−1=5\displaystyle 6-1=5.
    (6−2)33+(1−2)2=6−2+2−1=5\displaystyle \sqrt[3]{(6-\sqrt{2})^3}+\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=6-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−3\displaystyle f(x)=x-3 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2−2mx−6\displaystyle g(x)=x^2-2mx-6, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că graficul funcției f\displaystyle f intersectează axa Ox\displaystyle Ox într-un punct în care și graficul funcției g\displaystyle g intersectează axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Graficul funcției f\displaystyle f intersectează axa Ox\displaystyle Ox în punctul în care f(x)=0\displaystyle f(x)=0. Rezolvăm ecuația x−3=0\displaystyle x-3=0.
    x=3\displaystyle x=3
  2. Punctul de intersecție al graficului lui f\displaystyle f cu axa Ox\displaystyle Ox este (3,0)\displaystyle (3,0).
    (3,0)\displaystyle (3,0)
  3. Graficul lui g\displaystyle g trebuie să treacă prin același punct de pe axa Ox\displaystyle Ox, deci g(3)=0\displaystyle g(3)=0. Înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în expresia lui g\displaystyle g.
    g(3)=32−2m⋅3−6=9−6m−6\displaystyle g(3)=3^{2}-2m\cdot 3-6=9-6m-6
  4. Impunem condiția g(3)=0\displaystyle g(3)=0 și rezolvăm ecuația în m\displaystyle m: 9−6m−6=0\displaystyle 9-6m-6=0, adică 3−6m=0\displaystyle 3-6m=0, deci 6m=3\displaystyle 6m=3.
    m=12\displaystyle m=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x2−4x+12)=log⁡327\displaystyle \log_2(x^2-4x+12)=\log_3 27.
Vezi rezolvarea
  1. Condiția de existență: x2−4x+12>0\displaystyle x^2-4x+12>0. Discriminantul este Δ=16−48=−32<0\displaystyle \Delta=16-48=-32<0, iar coeficientul lui x2\displaystyle x^2 este pozitiv, deci expresia este pozitivă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}.
    x2−4x+12>0\displaystyle x^2-4x+12>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm membrul drept: 27=33\displaystyle 27=3^3, deci log⁡327=3\displaystyle \log_3 27=3.
    log⁡327=3\displaystyle \log_3 27=3
  3. Ecuația devine log⁡2(x2−4x+12)=3\displaystyle \log_2(x^2-4x+12)=3. Din definiția logaritmului, x2−4x+12=23=8\displaystyle x^2-4x+12=2^3=8.
    x2−4x+12=8\displaystyle x^2-4x+12=8
  4. Mutăm 8 în membrul stâng: x2−4x+12−8=0\displaystyle x^2-4x+12-8=0, adică x2−4x+4=0\displaystyle x^2-4x+4=0.
    x2−4x+4=0\displaystyle x^2-4x+4=0
  5. Recunoaștem pătratul perfect: x2−4x+4=(x−2)2=0\displaystyle x^2-4x+4=(x-2)^2=0, deci x−2=0\displaystyle x-2=0.
    x=2\displaystyle x=2
  6. Verificare: pentru x=2\displaystyle x=2 avem 22−4⋅2+12=8>0\displaystyle 2^2-4\cdot 2+12=8>0 și log⁡28=3\displaystyle \log_2 8=3, egal cu membrul drept. Soluția convine.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor divizibilă cu 3\displaystyle 3.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt 10,11,…,99\displaystyle 10,11,\ldots,99. Numărul cazurilor posibile este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90.
    90\displaystyle 90
  2. Un număr are suma cifrelor divizibilă cu 3\displaystyle 3 exact când el însuși este divizibil cu 3\displaystyle 3. Deci cazurile favorabile sunt multiplii lui 3\displaystyle 3 de două cifre.
    3∣ab‾  ⟺  3∣a+b\displaystyle 3\mid \overline{ab}\iff 3\mid a+b
  3. Cel mai mic multiplu de două cifre al lui 3\displaystyle 3 este 12=3⋅4\displaystyle 12=3\cdot 4, iar cel mai mare este 99=3⋅33\displaystyle 99=3\cdot 33. Deci multiplii sunt 3k\displaystyle 3k cu k∈{4,5,…,33}\displaystyle k\in\{4,5,\ldots,33\}, adică 33−4+1=30\displaystyle 33-4+1=30 de numere.
    33−4+1=30\displaystyle 33-4+1=30
  4. Aplicăm definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=3090\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{30}{90}, apoi simplificăm fracția cu 30\displaystyle 30.
    p=3090=13\displaystyle p=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−4,0)\displaystyle A(-4,0), B(−1,3)\displaystyle B(-1,3) și C(1,m)\displaystyle C(1,m), unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în B\displaystyle B, deci AB⊥BC\displaystyle AB\perp BC. Pentru drepte neverticale, perpendicularitatea înseamnă că produsul pantelor este −1\displaystyle -1.
    mAB⋅mBC=−1\displaystyle m_{AB}\cdot m_{BC}=-1
  2. Calculăm panta dreptei AB\displaystyle AB cu formula mAB=yB−yAxB−xA\displaystyle m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}, unde A(−4,0)\displaystyle A(-4,0) și B(−1,3)\displaystyle B(-1,3).
    mAB=3−0−1−(−4)=33=1\displaystyle m_{AB}=\frac{3-0}{-1-(-4)}=\frac{3}{3}=1
  3. Calculăm panta dreptei BC\displaystyle BC, cu B(−1,3)\displaystyle B(-1,3) și C(1,m)\displaystyle C(1,m).
    mBC=m−31−(−1)=m−32\displaystyle m_{BC}=\frac{m-3}{1-(-1)}=\frac{m-3}{2}
  4. Înlocuim în condiția mAB⋅mBC=−1\displaystyle m_{AB}\cdot m_{BC}=-1 și obținem 1⋅m−32=−1\displaystyle 1\cdot\dfrac{m-3}{2}=-1, deci m−3=−2\displaystyle m-3=-2, de unde m=1\displaystyle m=1.
    m−32=−1⇒m−3=−2⇒m=1\displaystyle \frac{m-3}{2}=-1\Rightarrow m-3=-2\Rightarrow m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡25π6+cos⁡23π3=1\displaystyle \sin\frac{25\pi}{6}+\cos\frac{23\pi}{3}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem unghiul 25π6\displaystyle \dfrac{25\pi}{6} ca o sumă dintre un multiplu de 2π\displaystyle 2\pi și un unghi mic: 25π6=24π6+π6=4π+π6\displaystyle \dfrac{25\pi}{6}=\dfrac{24\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}=4\pi+\dfrac{\pi}{6}.
    25π6=4π+π6\displaystyle \frac{25\pi}{6}=4\pi+\frac{\pi}{6}
  2. Funcția sinus are perioada 2π\displaystyle 2\pi, deci putem elimina 4π\displaystyle 4\pi (adică două perioade întregi). Valoarea sinusului la π6\displaystyle \dfrac{\pi}{6} este 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    sin⁡25π6=sin⁡(4π+π6)=sin⁡π6=12\displaystyle \sin\frac{25\pi}{6}=\sin\left(4\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}
  3. Scriem unghiul 23π3\displaystyle \dfrac{23\pi}{3} ca o sumă dintre un multiplu de 2π\displaystyle 2\pi și un unghi din primul ciclu: 23π3=18π3+5π3=6π+5π3\displaystyle \dfrac{23\pi}{3}=\dfrac{18\pi}{3}+\dfrac{5\pi}{3}=6\pi+\dfrac{5\pi}{3}.
    23π3=6π+5π3\displaystyle \frac{23\pi}{3}=6\pi+\frac{5\pi}{3}
  4. Cosinusul are perioada 2π\displaystyle 2\pi, deci eliminăm 6π\displaystyle 6\pi (trei perioade). Apoi, 5π3=2π−π3\displaystyle \dfrac{5\pi}{3}=2\pi-\dfrac{\pi}{3}, iar cos⁡(2π−π3)=cos⁡π3=12\displaystyle \cos\left(2\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}.
    cos⁡23π3=cos⁡(6π+5π3)=cos⁡5π3=12\displaystyle \cos\frac{23\pi}{3}=\cos\left(6\pi+\frac{5\pi}{3}\right)=\cos\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}
  5. Adunăm cele două valori obținute: 12+12=1\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1, ceea ce trebuia demonstrat.
    sin⁡25π6+cos⁡23π3=12+12=1\displaystyle \sin\frac{25\pi}{6}+\cos\frac{23\pi}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b,c)=(1+a1111+b1111+c)\displaystyle A(a,b,c)=\begin{pmatrix}1+a&1&1\\1&1+b&1\\1&1&1+c\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {(1+a)x+y+z=0x+(1+b)y+z=0x+y+(1+c)z=0\displaystyle \begin{cases}(1+a)x+y+z=0\\x+(1+b)y+z=0\\x+y+(1+c)z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt numere reale nenule.

Arătați că det⁡(A(−2,0,2))=−4\displaystyle \det(A(-2,0,2))=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−2\displaystyle a=-2, b=0\displaystyle b=0, c=2\displaystyle c=2 în matrice: 1+a=−1\displaystyle 1+a=-1, 1+b=1\displaystyle 1+b=1, 1+c=3\displaystyle 1+c=3. Obținem matricea și scriem determinantul ei.
    A(−2,0,2)=(−111111113)⇒det⁡(A(−2,0,2))=∣−111111113∣\displaystyle A(-2,0,2)=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&1&1\\1&1&3\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A(-2,0,2))=\begin{vmatrix}-1&1&1\\1&1&1\\1&1&3\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Termenii cu plus sunt produsul elementelor de pe diagonala principală și produsele pe cele două paralele cu ea: (−1)⋅1⋅3\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot 3, 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1 și 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1.
    (−1)⋅1⋅3+1⋅1⋅1+1⋅1⋅1=−3+1+1=−1\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot 3+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1=-3+1+1=-1
  3. Termenii cu minus sunt produsele corespunzătoare diagonalei secundare și paralelelor cu ea: 1⋅1⋅1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1, (−1)⋅1⋅1\displaystyle (-1)\cdot 1\cdot 1 și 1⋅1⋅3\displaystyle 1\cdot 1\cdot 3.
    1⋅1⋅1+(−1)⋅1⋅1+1⋅1⋅3=1−1+3=3\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1+(-1)\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 3=1-1+3=3
  4. Scădem suma termenilor cu minus din suma termenilor cu plus și obținem valoarea cerută.
    det⁡(A(−2,0,2))=−3+1+1−1−(−1)−3=−1−3=−4\displaystyle \det(A(-2,0,2))=-3+1+1-1-(-1)-3=-1-3=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b,c)=(1+a1111+b1111+c)\displaystyle A(a,b,c)=\begin{pmatrix}1+a&1&1\\1&1+b&1\\1&1&1+c\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {(1+a)x+y+z=0x+(1+b)y+z=0x+y+(1+c)z=0\displaystyle \begin{cases}(1+a)x+y+z=0\\x+(1+b)y+z=0\\x+y+(1+c)z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt numere reale nenule.

Arătați că, dacă abc+ab+ac+bc≠0\displaystyle abc+ab+ac+bc\neq 0, atunci matricea A(a,b,c)\displaystyle A(a,b,c) este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim criteriul: o matrice pătratică A\displaystyle A este inversabilă dacă și numai dacă det⁡A≠0\displaystyle \det A\neq 0. Calculăm deci determinantul matricei A(a,b,c)\displaystyle A(a,b,c).
    det⁡(A(a,b,c))=∣1+a1111+b1111+c∣\displaystyle \det(A(a,b,c))=\begin{vmatrix}1+a&1&1\\1&1+b&1\\1&1&1+c\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula lui Sarrus. Produsul de pe diagonala principală este (1+a)(1+b)(1+c)\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c). Cele două produse paralele cu ea dau 1⋅1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1=1 de fiecare dată, deci 1+1\displaystyle 1+1. Produsele de pe diagonala secundară și paralelele ei sunt (1+a)⋅1⋅1\displaystyle (1+a)\cdot 1\cdot 1, 1⋅(1+b)⋅1\displaystyle 1\cdot(1+b)\cdot 1 și 1⋅1⋅(1+c)\displaystyle 1\cdot 1\cdot(1+c), pe care le scădem.
    det⁡(A(a,b,c))=(1+a)(1+b)(1+c)+1+1−(1+a)−(1+b)−(1+c)\displaystyle \det(A(a,b,c))=(1+a)(1+b)(1+c)+1+1-(1+a)-(1+b)-(1+c)
  3. Desfacem produsul: (1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab+ac+bc+abc\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab+ac+bc+abc.
    (1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab+ac+bc+abc\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab+ac+bc+abc
  4. Înlocuim în determinant. Suma celor trei paranteze scăzute este 3+a+b+c\displaystyle 3+a+b+c, iar împreună cu 1+1\displaystyle 1+1 avem de calculat 1+a+b+c+ab+ac+bc+abc+2−3−a−b−c\displaystyle 1+a+b+c+ab+ac+bc+abc+2-3-a-b-c. Se reduc termenii constanți (1+2−3=0\displaystyle 1+2-3=0), precum și a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c.
    det⁡(A(a,b,c))=abc+ab+ac+bc\displaystyle \det(A(a,b,c))=abc+ab+ac+bc
  5. Din ipoteză, abc+ab+ac+bc≠0\displaystyle abc+ab+ac+bc\neq 0, deci det⁡(A(a,b,c))≠0\displaystyle \det(A(a,b,c))\neq 0. Prin urmare matricea A(a,b,c)\displaystyle A(a,b,c) este inversabilă.
    abc+ab+ac+bc≠0, deci matricea A(a,b,c) este inversabila˘\displaystyle abc+ab+ac+bc\neq 0\text{, deci matricea }A(a,b,c)\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte
Se consideră matricea A(a,b,c)=(1+a1111+b1111+c)\displaystyle A(a,b,c)=\begin{pmatrix}1+a&1&1\\1&1+b&1\\1&1&1+c\end{pmatrix} și sistemul de ecuații {(1+a)x+y+z=0x+(1+b)y+z=0x+y+(1+c)z=0\displaystyle \begin{cases}(1+a)x+y+z=0\\x+(1+b)y+z=0\\x+y+(1+c)z=0\end{cases}, unde a\displaystyle a, b\displaystyle b și c\displaystyle c sunt numere reale nenule.

Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații admite și soluții diferite de soluția (0,0,0)\displaystyle (0,0,0), atunci numărul N=1a+1b+1c\displaystyle N=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} este întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Sistemul este omogen. Dacă are și soluții diferite de (0,0,0)\displaystyle (0,0,0), atunci determinantul matricei sistemului este zero: det⁡(A(a,b,c))=0\displaystyle \det(A(a,b,c))=0.
    det⁡(A(a,b,c))=0\displaystyle \det(A(a,b,c))=0
  2. Calculăm determinantul prin regula lui Sarrus: det⁡(A)=(1+a)(1+b)(1+c)+1+1−(1+a)−(1+b)−(1+c)\displaystyle \det(A)=(1+a)(1+b)(1+c)+1+1-(1+a)-(1+b)-(1+c).
    det⁡(A)=(1+a)(1+b)(1+c)+2−(1+a)−(1+b)−(1+c)\displaystyle \det(A)=(1+a)(1+b)(1+c)+2-(1+a)-(1+b)-(1+c)
  3. Desfacem parantezele: (1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab+ac+bc+abc\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)=1+a+b+c+ab+ac+bc+abc, iar 2−(3+a+b+c)=−1−a−b−c\displaystyle 2-(3+a+b+c)=-1-a-b-c. După reducere obținem det⁡(A)=abc+ab+ac+bc\displaystyle \det(A)=abc+ab+ac+bc. Din det⁡(A)=0\displaystyle \det(A)=0 rezultă abc+ab+ac+bc=0\displaystyle abc+ab+ac+bc=0.
    abc+ab+ac+bc=0\displaystyle abc+ab+ac+bc=0
  4. Mutăm termenii în membrul drept: ab+ac+bc=−abc\displaystyle ab+ac+bc=-abc.
    ab+ac+bc=−abc\displaystyle ab+ac+bc=-abc
  5. Cum a,b,c≠0\displaystyle a,b,c\neq 0, avem abc≠0\displaystyle abc\neq 0 și împărțim relația la abc\displaystyle abc: ab+ac+bcabc=−1\displaystyle \dfrac{ab+ac+bc}{abc}=-1. Dar ab+ac+bcabc=1c+1b+1a\displaystyle \dfrac{ab+ac+bc}{abc}=\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}, deci N=1a+1b+1c=−1\displaystyle N=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=-1, care este număr întreg.
    N=1a+1b+1c=−1∈Z\displaystyle N=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=-1\in\mathbb{Z}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.a)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,2)\displaystyle G=(0,2) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xyxy−x−y+2\displaystyle x*y=\frac{xy}{xy-x-y+2} și se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,2)\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,2), f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=\frac{2}{x+1}.

Arătați că 1∗1=1\displaystyle 1*1=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție x∗y=xyxy−x−y+2\displaystyle x*y=\dfrac{xy}{xy-x-y+2} și înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1.
    1∗1=1⋅11⋅1−1−1+2\displaystyle 1*1=\dfrac{1\cdot 1}{1\cdot 1-1-1+2}
  2. Numărătorul este 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, iar numitorul devine 1−1−1+2\displaystyle 1-1-1+2.
    11−1−1+2\displaystyle \dfrac{1}{1-1-1+2}
  3. Calculăm numitorul: 1−1−1+2=1\displaystyle 1-1-1+2=1. Deci fracția este 11=1\displaystyle \dfrac{1}{1}=1, adică 1∗1=1\displaystyle 1*1=1, ceea ce trebuia arătat.
    11=1\displaystyle \dfrac{1}{1}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.b)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,2)\displaystyle G=(0,2) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xyxy−x−y+2\displaystyle x*y=\frac{xy}{xy-x-y+2} și se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,2)\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,2), f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=\frac{2}{x+1}.

Demonstrați că f(x)∗f(y)=f(xy)\displaystyle f(x)*f(y)=f(xy), pentru orice x,y∈(0,+∞)\displaystyle x,y\in(0,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii pentru elementele f(x)\displaystyle f(x) și f(y)\displaystyle f(y), care aparțin lui G\displaystyle G: f(x)∗f(y)=f(x)f(y)f(x)f(y)−f(x)−f(y)+2\displaystyle f(x)*f(y)=\dfrac{f(x)f(y)}{f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2}.
    f(x)∗f(y)=f(x)f(y)f(x)f(y)−f(x)−f(y)+2\displaystyle f(x)*f(y)=\frac{f(x)f(y)}{f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2}
  2. Înlocuim f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{2}{x+1} și f(y)=2y+1\displaystyle f(y)=\dfrac{2}{y+1} în expresie.
    f(x)∗f(y)=2x+1⋅2y+12x+1⋅2y+1−2x+1−2y+1+2\displaystyle f(x)*f(y)=\frac{\frac{2}{x+1}\cdot\frac{2}{y+1}}{\frac{2}{x+1}\cdot\frac{2}{y+1}-\frac{2}{x+1}-\frac{2}{y+1}+2}
  3. Amplificăm fracția cu (x+1)(y+1)\displaystyle (x+1)(y+1), care este strict pozitiv. Numărătorul devine 4\displaystyle 4, iar la numitor fiecare termen se înmulțește cu (x+1)(y+1)\displaystyle (x+1)(y+1).
    44−2(y+1)−2(x+1)+2(x+1)(y+1)\displaystyle \frac{4}{4-2(y+1)-2(x+1)+2(x+1)(y+1)}
  4. Desfacem parantezele la numitor și reducem termenii asemenea: 4−2y−2−2x−2+2xy+2x+2y+2=2xy+2\displaystyle 4-2y-2-2x-2+2xy+2x+2y+2=2xy+2.
    42xy+2\displaystyle \frac{4}{2xy+2}
  5. Simplificăm fracția cu 2\displaystyle 2 și recunoaștem expresia lui f(xy)\displaystyle f(xy), deoarece xy∈(0,+∞)\displaystyle xy\in(0,+\infty). Deci egalitatea este adevărată pentru orice x,y\displaystyle x,y pozitive.
    42xy+2=2xy+1=f(xy), pentru orice x\displaystyle \frac{4}{2xy+2}=\frac{2}{xy+1}=f(xy)\text{, pentru orice }x,y∈(0,+∞)\displaystyle y\in(0,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.2.c)

5 puncte
Pe mulțimea G=(0,2)\displaystyle G=(0,2) se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xyxy−x−y+2\displaystyle x*y=\frac{xy}{xy-x-y+2} și se consideră funcția f:(0,+∞)→(0,2)\displaystyle f:(0,+\infty)\to(0,2), f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=\frac{2}{x+1}.

Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care f(12)∗f(23)∗f(34)∗…∗f(20202021)=2nn+1\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)*f\left(\frac{2}{3}\right)*f\left(\frac{3}{4}\right)*\ldots*f\left(\frac{2020}{2021}\right)=\frac{2n}{n+1}.
Vezi rezolvarea
  1. Verificăm relația f(x)∗f(y)=f(xy)\displaystyle f(x)*f(y)=f(xy). Înlocuim f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=\dfrac{2}{x+1} și f(y)=2y+1\displaystyle f(y)=\dfrac{2}{y+1} în definiția legii. Numărătorul este f(x)f(y)=4(x+1)(y+1)\displaystyle f(x)f(y)=\dfrac{4}{(x+1)(y+1)}.
    f(x)f(y)=4(x+1)(y+1)\displaystyle f(x)f(y)=\dfrac{4}{(x+1)(y+1)}
  2. Calculăm numitorul f(x)f(y)−f(x)−f(y)+2\displaystyle f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2 aducând la același numitor: 4−2(y+1)−2(x+1)+2(x+1)(y+1)(x+1)(y+1)=2xy+2(x+1)(y+1)\displaystyle \dfrac{4-2(y+1)-2(x+1)+2(x+1)(y+1)}{(x+1)(y+1)}=\dfrac{2xy+2}{(x+1)(y+1)}.
    2xy+2(x+1)(y+1)\displaystyle \dfrac{2xy+2}{(x+1)(y+1)}
  3. Împărțim cele două fracții: f(x)∗f(y)=42xy+2=2xy+1=f(xy)\displaystyle f(x)*f(y)=\dfrac{4}{2xy+2}=\dfrac{2}{xy+1}=f(xy). Legea fiind asociativă, obținem f(x1)∗f(x2)∗…∗f(xk)=f(x1x2⋯xk)\displaystyle f(x_1)*f(x_2)*\ldots*f(x_k)=f(x_1x_2\cdots x_k).
    f(x)∗f(y)=f(xy)\displaystyle f(x)*f(y)=f(xy)
  4. Aplicăm relația produsului din enunț: f(12⋅23⋅34⋅…⋅20202021)=2nn+1\displaystyle f\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\ldots\cdot\dfrac{2020}{2021}\right)=\dfrac{2n}{n+1}. Produsul este telescopic, deci egal cu 12021\displaystyle \dfrac{1}{2021} și ecuația devine f(12021)=2nn+1\displaystyle f\left(\dfrac{1}{2021}\right)=\dfrac{2n}{n+1}.
    f(12021)=2nn+1\displaystyle f\left(\dfrac{1}{2021}\right)=\dfrac{2n}{n+1}
  5. Calculăm f(12021)=212021+1=2⋅20212022\displaystyle f\left(\dfrac{1}{2021}\right)=\dfrac{2}{\frac{1}{2021}+1}=\dfrac{2\cdot 2021}{2022}. Egalitatea 2⋅20212022=2nn+1\displaystyle \dfrac{2\cdot 2021}{2022}=\dfrac{2n}{n+1} se scrie 2⋅20212021+1=2nn+1\displaystyle \dfrac{2\cdot 2021}{2021+1}=\dfrac{2n}{n+1}, de unde n=2021\displaystyle n=2021.
    2⋅20212022=2nn+1, deci n=2021\displaystyle \dfrac{2\cdot 2021}{2022}=\dfrac{2n}{n+1}\text{, deci }n=2021
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2xln⁡x−x2+3\displaystyle f(x)=2x\ln x-x^2+3.

Arătați că lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=0\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Limita lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1\displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} este, prin definiție, derivata funcției f\displaystyle f în punctul 1\displaystyle 1, adică f′(1)\displaystyle f'(1). Funcția f\displaystyle f este derivabilă pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), deci este suficient să calculăm f′(1)\displaystyle f'(1).
    lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)
  2. Derivăm 2xln⁡x\displaystyle 2x\ln x cu formula produsului (u⋅v)′=u′v+uv′\displaystyle (u\cdot v)'=u'v+uv', cu u=2x\displaystyle u=2x și v=ln⁡x\displaystyle v=\ln x.
    (2xln⁡x)′=2ln⁡x+2x⋅1x=2ln⁡x+2\displaystyle (2x\ln x)'=2\ln x+2x\cdot\frac{1}{x}=2\ln x+2
  3. Derivăm și ceilalți termeni: (−x2)′=−2x\displaystyle (-x^{2})'=-2x și (3)′=0\displaystyle (3)'=0. Adunând, obținem derivata lui f\displaystyle f pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty).
    f′(x)=2ln⁡x−2x+2, x∈(0,+∞)\displaystyle f'(x)=2\ln x-2x+2\text{, }x\in(0,+\infty)
  4. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în derivată, ținând cont că ln⁡1=0\displaystyle \ln 1=0: f′(1)=2⋅0−2⋅1+2=0\displaystyle f'(1)=2\cdot 0-2\cdot 1+2=0. Deci limita cerută este 0\displaystyle 0.
    lim⁡x→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)=2ln⁡1−2+2=0\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)=2\ln 1-2+2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2xln⁡x−x2+3\displaystyle f(x)=2x\ln x-x^2+3.

Arătați că funcția f\displaystyle f este convexă pe (0,1)\displaystyle (0,1).
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a studia convexitatea, calculăm prima derivată a funcției f\displaystyle f. Folosim regula produsului pentru 2xln⁡x\displaystyle 2x\ln x: (2xln⁡x)′=2ln⁡x+2x⋅1x\displaystyle (2x\ln x)'=2\ln x+2x\cdot\dfrac{1}{x}.
    f′(x)=2ln⁡x+2−2x\displaystyle f'(x)=2\ln x+2-2x, x∈(0,+∞)\displaystyle \ x\in(0,+\infty)
  2. Derivăm încă o dată: (2ln⁡x)′=2x\displaystyle (2\ln x)'=\dfrac{2}{x}, (2)′=0\displaystyle (2)'=0, (−2x)′=−2\displaystyle (-2x)'=-2. Deci f′′(x)=2x−2=2−2xx=2(1−x)x\displaystyle f''(x)=\dfrac{2}{x}-2=\dfrac{2-2x}{x}=\dfrac{2(1-x)}{x}.
    f′′(x)=2(1−x)x, x∈(0,+∞)\displaystyle f''(x)=\dfrac{2(1-x)}{x}\text{, }x\in(0,+\infty)
  3. Studiem semnul lui f′′\displaystyle f'' pe (0,1)\displaystyle (0,1). Pentru x∈(0,1)\displaystyle x\in(0,1) avem x>0\displaystyle x>0, deci numitorul este pozitiv, și 1−x>0\displaystyle 1-x>0, deci numărătorul 2(1−x)\displaystyle 2(1-x) este pozitiv.
    x>0 și 2(1−x)>0, pentru x∈(0,1)\displaystyle x>0\text{ și }2(1-x)>0\text{, pentru }x\in(0,1)
  4. Un raport de două numere pozitive este pozitiv, deci f′′(x)>0\displaystyle f''(x)>0 pe (0,1)\displaystyle (0,1). O funcție cu derivata a doua pozitivă pe un interval este convexă pe acel interval, deci f\displaystyle f este convexă pe (0,1)\displaystyle (0,1).
    f′′(x)>0, pentru orice x∈(0,1), obținem ca˘ funcția f este convexa˘ pe (0,1)\displaystyle f''(x)>0\text{, pentru orice }x\in(0,1)\text{, obținem că funcția }f\text{ este convexă pe }(0,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte
Se consideră funcția f:(0,+∞)→R\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(x)=2xln⁡x−x2+3\displaystyle f(x)=2x\ln x-x^2+3.

Demonstrați că 2ln⁡x<x−1x\displaystyle 2\ln x<x-\frac{1}{x}, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția f(x)=2xln⁡x−x2+3\displaystyle f(x)=2x\ln x-x^{2}+3 pe (0,+∞)\displaystyle (0,+\infty), folosind derivata produsului pentru 2xln⁡x\displaystyle 2x\ln x.
    f′(x)=2ln⁡x+2−2x\displaystyle f'(x)=2\ln x+2-2x
  2. Derivăm încă o dată: derivata lui 2ln⁡x\displaystyle 2\ln x este 2x\displaystyle \dfrac{2}{x}, iar derivata lui 2−2x\displaystyle 2-2x este −2\displaystyle -2.
    f′′(x)=2x−2=2(1−x)x\displaystyle f''(x)=\frac{2}{x}-2=\frac{2(1-x)}{x}
  3. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem 1−x<0\displaystyle 1-x<0 și x>0\displaystyle x>0, deci f′′(x)<0\displaystyle f''(x)<0. Rezultă că f′\displaystyle f' este strict descrescătoare pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty).
    f′′(x)<0, pentru orice x∈(1,+∞)⇒f′ strict descresca˘toare pe (1,+∞)\displaystyle f''(x)<0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)\Rightarrow f'\text{ strict descrescătoare pe }(1,+\infty)
  4. Calculăm f′(1)=2ln⁡1+2−2=0\displaystyle f'(1)=2\ln 1+2-2=0. Cum f′\displaystyle f' este strict descrescătoare, pentru x>1\displaystyle x>1 avem f′(x)<f′(1)=0\displaystyle f'(x)<f'(1)=0.
    f′(x)<f′(1)=0, deci f′(x)<0, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle f'(x)<f'(1)=0\text{, deci }f'(x)<0\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)
  5. Cum f′(x)<0\displaystyle f'(x)<0 pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty) și f\displaystyle f este continuă, f\displaystyle f este strict descrescătoare pe (1,+∞)\displaystyle (1,+\infty). Calculăm f(1)=2⋅1⋅ln⁡1−1+3=2\displaystyle f(1)=2\cdot 1\cdot\ln 1-1+3=2.
    f strict descresca˘toare pe (1,+∞), f(1)=2\displaystyle f\text{ strict descrescătoare pe }(1,+\infty)\text{, }f(1)=2
  6. Pentru x>1\displaystyle x>1 avem f(x)<f(1)\displaystyle f(x)<f(1), adică 2xln⁡x−x2+3<2\displaystyle 2x\ln x-x^{2}+3<2. Rezultă 2xln⁡x<x2−1\displaystyle 2x\ln x<x^{2}-1.
    2xln⁡x−x2+3<2⇔2xln⁡x<x2−1\displaystyle 2x\ln x-x^{2}+3<2\Leftrightarrow 2x\ln x<x^{2}-1
  7. Împărțim la x>0\displaystyle x>0, deci sensul inegalității nu se schimbă: 2ln⁡x<x2−1x=x−1x\displaystyle 2\ln x<\dfrac{x^{2}-1}{x}=x-\dfrac{1}{x}, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle x\in(1,+\infty).
    2ln⁡x<x−1x, pentru orice x∈(1,+∞)\displaystyle 2\ln x<x-\frac{1}{x}\text{, pentru orice }x\in(1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.a)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=n∫01xn1+xn dx\displaystyle I_n=n\int_0^1\frac{x^n}{1+x^n}\,dx.

Arătați că I1+∫0111+x dx=1\displaystyle I_1+\int_0^1\frac{1}{1+x}\,dx=1.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=1\displaystyle n=1, definiția dă I1=1⋅∫01x1+x dx\displaystyle I_1=1\cdot\int_0^1\dfrac{x}{1+x}\,dx, adică I1=∫01x1+x dx\displaystyle I_1=\int_0^1\dfrac{x}{1+x}\,dx.
    I1=∫01x1+x dx\displaystyle I_1=\int_0^1\frac{x}{1+x}\,dx
  2. Înlocuim I1\displaystyle I_1 în suma din enunț. Cele două integrale au aceleași limite, 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1, deci le scriem sub o singură integrală.
    I1+∫0111+x dx=∫01(x1+x+11+x)dx\displaystyle I_1+\int_0^1\frac{1}{1+x}\,dx=\int_0^1\left(\frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x}\right)dx
  3. Adunăm fracțiile, care au același numitor 1+x\displaystyle 1+x. Numărătorul devine x+1\displaystyle x+1, care se simplifică cu numitorul, deci funcția de integrat este constanta 1\displaystyle 1.
    ∫01(x1+x+11+x)dx=∫01x+11+x dx=∫011 dx\displaystyle \int_0^1\left(\frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x}\right)dx=\int_0^1\frac{x+1}{1+x}\,dx=\int_0^1 1\,dx
  4. Calculăm integrala constantei 1\displaystyle 1. O primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, apoi aplicăm formula Leibniz-Newton: valoarea în 1\displaystyle 1 minus valoarea în 0\displaystyle 0. Obținem 1\displaystyle 1, deci egalitatea din enunț este demonstrată.
    ∫011 dx=x∣01=1−0=1\displaystyle \int_0^1 1\,dx=x\Big|_0^1=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.b)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=n∫01xn1+xn dx\displaystyle I_n=n\int_0^1\frac{x^n}{1+x^n}\,dx.

Arătați că I2=2−π2\displaystyle I_2=2-\frac{\pi}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru n=2\displaystyle n=2 definiția devine I2=2∫01x21+x2 dx\displaystyle I_2=2\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,dx.
    I2=2∫01x21+x2 dx\displaystyle I_2=2\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,dx
  2. Scriem x2=(1+x2)−1\displaystyle x^2=(1+x^2)-1, deci x21+x2=(1+x2)−11+x2=1−11+x2\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}=\frac{(1+x^2)-1}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}.
    x21+x2=1−11+x2\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}
  3. Obținem I2=2∫01(1−11+x2)dx\displaystyle I_2=2\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx. O primitivă a lui 1\displaystyle 1 este x\displaystyle x, iar o primitivă a lui 11+x2\displaystyle \frac{1}{1+x^2} este arctg⁡x\displaystyle \operatorname{arctg}x, deci integrala este calculată cu formula Leibniz-Newton.
    I2=2(x−arctg⁡x)∣01\displaystyle I_2=2\left(x-\operatorname{arctg}x\right)\Big|_0^1
  4. Cum arctg⁡1=π4\displaystyle \operatorname{arctg}1=\frac{\pi}{4} și arctg⁡0=0\displaystyle \operatorname{arctg}0=0, avem I2=2[(1−π4)−(0−0)]\displaystyle I_2=2\left[\left(1-\frac{\pi}{4}\right)-(0-0)\right].
    I2=2(1−π4)\displaystyle I_2=2\left(1-\frac{\pi}{4}\right)
  5. Distribuim factorul 2\displaystyle 2: 2⋅1−2⋅π4=2−π2\displaystyle 2\cdot 1-2\cdot\frac{\pi}{4}=2-\frac{\pi}{2}.
    I2=2−π2\displaystyle I_2=2-\frac{\pi}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.2.c)

5 puncte
Pentru fiecare număr natural nenul n\displaystyle n se consideră numărul In=n∫01xn1+xn dx\displaystyle I_n=n\int_0^1\frac{x^n}{1+x^n}\,dx.

Demonstrați că In≤ln⁡2\displaystyle I_n\le\ln 2, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Derivăm funcția ln⁡(1+xn)\displaystyle \ln(1+x^{n}): (ln⁡(1+xn))′=nxn−11+xn\displaystyle \left(\ln(1+x^{n})\right)'=\dfrac{n x^{n-1}}{1+x^{n}}.
    (ln⁡(1+xn))′=nxn−11+xn\displaystyle \left(\ln(1+x^{n})\right)'=\dfrac{n x^{n-1}}{1+x^{n}}
  2. Deoarece x⋅xn−1=xn\displaystyle x\cdot x^{n-1}=x^{n}, avem nxn1+xn=x⋅nxn−11+xn=x⋅(ln⁡(1+xn))′\displaystyle n\dfrac{x^{n}}{1+x^{n}}=x\cdot\dfrac{n x^{n-1}}{1+x^{n}}=x\cdot\left(\ln(1+x^{n})\right)'. Deci In=∫01x⋅(ln⁡(1+xn))′ dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x\cdot\left(\ln(1+x^{n})\right)'\,dx.
    In=∫01x⋅(ln⁡(1+xn))′ dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x\cdot\left(\ln(1+x^{n})\right)'\,dx
  3. Pentru x∈[0,1]\displaystyle x\in[0,1] avem x≤1\displaystyle x\le 1, iar (ln⁡(1+xn))′=nxn−11+xn≥0\displaystyle \left(\ln(1+x^{n})\right)'=\dfrac{n x^{n-1}}{1+x^{n}}\ge 0. Înmulțind, rezultă x⋅(ln⁡(1+xn))′≤(ln⁡(1+xn))′\displaystyle x\cdot\left(\ln(1+x^{n})\right)'\le\left(\ln(1+x^{n})\right)'. Prin monotonia integralei, In≤∫01(ln⁡(1+xn))′ dx\displaystyle I_n\le\int_0^1\left(\ln(1+x^{n})\right)'\,dx.
    In=∫01x⋅(ln⁡(1+xn))′ dx≤∫01(ln⁡(1+xn))′ dx\displaystyle I_n=\int_0^1 x\cdot\left(\ln(1+x^{n})\right)'\,dx\le\int_0^1\left(\ln(1+x^{n})\right)'\,dx
  4. Aplicăm formula Leibniz-Newton: ∫01(ln⁡(1+xn))′ dx=ln⁡(1+xn)∣01=ln⁡(1+1)−ln⁡(1+0)=ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2\displaystyle \int_0^1\left(\ln(1+x^{n})\right)'\,dx=\ln(1+x^{n})\Big|_0^1=\ln(1+1)-\ln(1+0)=\ln 2-\ln 1=\ln 2. Așadar In≤ln⁡2\displaystyle I_n\le\ln 2, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n.
    ln⁡(1+xn)∣01=ln⁡2, deci In≤ln⁡2, pentru orice numa˘r \displaystyle \ln(1+x^{n})\Big|_0^1=\ln 2\text{, deci }I_n\le\ln 2\text{, pentru orice număr }natural nenul n\displaystyle \text{natural nenul }n
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M1 mate-info

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.